04.高一寒假数学讲义：基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”(应用)【讲师版】
基本不等式求最值的策略
2x + 3 - 2x ⎫ ∈ 0, ⎪ 时等号成立.例谈用基本不等式求最值的四大策略摘要基本不等式 a + b 2≥ ab （ a > 0, b > 0 当且仅当 a = b 时等号成立）是高中必修五《不等式》一章的重要内容之一，也是高考常考的重要知识点。
从本质上 看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求取积的最值、 和的最值当中，基本不等式将会焕发出强大的生命力，它将会是解决最值问题 的强有力工具。
本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略。
关键字：基本不等式 求和与积的最值 策略一、基本不等式的基础知识[1]基本不等式：如果 a > 0, b > 0 ，则 a + b 2≥ ab ，当且仅当 a = b 时等号成立。
在基本不等式的应用中，我们需要注意以下三点：“一正”： a 、b 是正数，这是利用基本不等式求最值的前提条件。
“二定”：当两正数的和 a + b 是定值时，积 ab 有最大值；当两正数的积 ab 是 定值时，和 a + b 有最小值。
“三相等”： a = b 是 a + b 2= ab 的充要条件，所以多次使用基本不等式时，要注意等号成立的条件是否一致。
二、利用基本不等式求最值的四大策略策略一 利用配凑法，构造可用基本不等式求最值的结构通过简单的配凑（凑系数或凑项）后，使原本与基本不等式结构不一致的 式子，变为结构一致，再利用均值不等式求解最值。
题型一 配凑系数例 1 设 0 < x < 3 2 ，求函数 y = 4x (3 - 2x ) 的最大值。
分析：因为 4x + (3 - 2x ) = 3 + 2x 不是个定值，所以本题无法直接运用基本不等式求解。
但凑系数将 4 x 拆为 2 ⋅ 2x 后可得到和 2x + (3 - 2x ) = 3 为定值，从而可 利用基本不等式求其最大值。
解：因为 0 < x < 3 2，所以 3 - 2x > 0故 y = 4x (3 - 2x ) = 2 ⋅ 2x (3 - 2x ) ≤ 2⎛ ⎝2 ⎭ 2⎪ =9 2当且仅当 2x = 3 - 2x , 即 x =3 4⎝ 2 ⎭所以原式的最大值为9.2= - 5 - 4x + ⎪ + 3 ≤ -2 + 3 = 1a 2+ +b (a 2 - ab ) ⋅ 2 - a 2 + + a 2- ab + ab + +题型二 配凑项1 配凑常数项例 2 已知 x < 5 4 ，求函数 y = 4x - 2 + 1 4x - 5 的最大值。
基本不等式求最值的类型及方法,经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式：①，、)(222222R b a ba ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a xbax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：(0,，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=， 当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
高中数学如何正确运用基本不等式求函数最值
高中数学如何正确运用基本不等式求函数最值摘要：基本不等式贯穿于整个高中数学阶段中，是学生学习基础知识，提高运算能力的重要因素。
在函数最值问题中，应用基本不等式，可以提高计算质量。
文章以高中数学基本不等式求解函数最值为研究对象，对此进行全面分析，希望对相关人士提供帮助。
关键词：高中数学；基本不等式；函数；最值引言：函数与基本不等式，是高中学习基础，也是重点内容。
运用基本不等式解决函数最值问题，可以培养学生数学思想，使学生掌握数学学习方法。
本文就如何应用基本不等式求函数最值问题进行分析。
1基本不等式在函数最值中应用注意问题1.在基本不等式应用的过程中，应做到“一正、二定、三相等”。
其中一正，就是在不等式中a+b≥2中a、b两个数值为正数。
二定，当a+b为定值时，可以确定ab的最大值。
当ab为定值时，可以确定a+b的最小值。
三相等，就是当数值a、b相等时，等式成立，即a+b=2或者a+b＞。
在应用的过程中，必须要掌握基础性知识，并在实际问题中灵活应用。
2.应用基本不等式求函数最值时，需要根据函数公式特点，进行变形，优化成函数方程积、和为常数的公式，然后利用基本不等式基础知识计算问题答案。
3.基本不等式在函数最值求解中，主要采用消元法和条件变形的方式进行计算，将函数公式简单化，然后利用基础知识解决问题[1]。
不同解题方法的灵活应用，以此提高学习效果。
2基本不等式在函数最值中应用策略2.1已知定值函数最值问题中应用在函数最值问题中，有部分类型题中已经给出定值，遇到这一类型问题时，可以直接利用基本不等式直接求解[2]。
例如，已知x＞0,y＞0，且8/x+1/y=1,求x+2y最小值是多少。
在计算这一问题时，学生可以8/x+1/y=1转化成公式y=1/(1-8/x)=x/(x-8)=1+8/(x-8)。
根据题目可以知8/x+1/y=1,x＞0,y＞0。
所以x+2y=x+2+16/(x-8)=(x-8)+16/(x-8)+10≥2√16+10=18。
基本不等式求最值的策略
例谈用基本不等式求最值的四大策略摘要 基本不等式ab b a ≥+2（0,0>>b a 当且仅当b a =时等号成立）是高中必修五《不等式》一章的重要内容之一，也是高考常考的重要知识点。
从本质上看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求取积的最值、和的最值当中，基本不等式将会焕发出强大的生命力，它将会是解决最值问题的强有力工具。
本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略。
关键字：基本不等式 求和与积的最值 策略一、 基本不等式的基础知识[1]基本不等式：如果0,0>>b a ，则ab b a ≥+2，当且仅当b a =时等号成立。
在基本不等式的应用中，我们需要注意以下三点：“一正”：a 、b 是正数，这是利用基本不等式求最值的前提条件。
“二定”：当两正数的和b +a 是定值时，积ab 有最大值；当两正数的积ab 是定值时，和b +a 有最小值。
“三相等”： b a =是ab b a =+2的充要条件，所以多次使用基本不等式时，要注意等号成立的条件是否一致。
二、 利用基本不等式求最值的四大策略策略一 利用配凑法，构造可用基本不等式求最值的结构通过简单的配凑（凑系数或凑项）后，使原本与基本不等式结构不一致的式子，变为结构一致，再利用均值不等式求解最值。
题型一 配凑系数例1 设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
分析：因为x x x 23)23(4+=-+不是个定值，所以本题无法直接运用基本不等式求解。
但凑系数将4x 拆为x 22⋅后可得到和3)23(2=-+x x 为定值，从而可利用基本不等式求其最大值。
解：因为230<<x ，所以 023>-x 故2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=23,043x 时等号成立. 所以原式的最大值为29.题型二 配凑项1 配凑常数项例2 已知54x <，求函数54124-+-=x x y 的最大值。
高考数学复习点拨：用基本不等式求最值
用基本不等式求最值运用基本不等式求最值是高中阶段一种常用的方法，其约束条件苛刻，情况复杂，现就如何用基本不等式求最值作一分析．一、 注意基本定理应满足的条件基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的功能，但一 定要注意应用的前提：“一正”、“二定”、“三相等”．所谓“一正”是指“正数”，“二定”指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．例1 已知01x <<，求4lg lg y x x=+的最大值． 分析：本题满足4lg 4lg x x=·为定值，但因为01x <<，lg 0x <，所以此时不能直接 应用基本不等式，需将负数转化为正数后再使用基本不等式．解：01x <<Q ，lg 0x ∴<，lg 0x ->．4(lg )4lg y x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭≥，即4y -≤． 当且仅当4lg lg x x -=-，即1100x =时等号成立，故max 4y =-． 二、 连用基本不等式要注意成立的条件要一致有些题目要多次用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致．例2 若x y ，是正数，则221122x y y x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是（ ） Ａ．3 Ｂ．72Ｃ．4 Ｄ．94 解析：由题意221122x y y x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111221224x y xy y x xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥24=≥， “＝”成立的条件，22111224x y x y y x +=+=，两者不矛盾，故“＝”能成立，答案选（Ｃ）．三、 基本不等式“失效”时的对策有些题目，直接用基本不等式求最值，并不满足应用条件，但可以通过添项，分离常数， 平方等手段使之能运用基本不等式，下面我们来看几种经常用到的方法．1． 添项例3 求函数1(3)3y x x x =+>-的最小值． 解：3x >Q ，30x ∴->．133353y x x ⎛⎫∴=+-+= ⎪-⎝⎭≥． 当且仅当133x x =--，即4x =时，取等号， ∴当4x =时，函数y 的最小值为5．2． 分离常数例4 已知52x ≥，则245()24x x f x x -+=-有（ ） Ａ．最大值52 Ｂ．最小值54 Ｃ．最大值1 Ｄ．最小值1 分析：本题看似无法使用基本不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用基本不等 式的条件． 解：2245(2)111(2)1242(2)22x x x y x x x x -+-+⎡⎤===-+⎢⎥---⎣⎦≥． 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立． 故选（Ｄ）． 3． 平方例5 已知θ为锐角，求2cos sin y θθ=的最大值．分析：本题直接使用基本不等式比较困难，但平方以后就满足了使用基本不等式的条件． 解：2422221cos sin cos cos 2sin 2y θθθθθ==g ···32221cos cos 2sin 42327θθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭≤，即9y ≤．当且仅当22cos 2sin θθ=，即arcsin3θ=时等号成立．故max 9y =．。
高中数学-基本不等式---求最值的常见技巧
高中数学-基本不等式---求最值的常见技巧【理论解析】一个技巧：222a b ab+≥逆用就是222a bab+≤，2a b+≥(0,0)a b>>逆用就是2()2a bab+≤等．两个变形：(1) 2112a ba b+≤≤≤+(,)a b R+∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b=时取等号）(2)222()22a b a bab++≤≤(,)a b R∈（当且仅当a b=时取等号)．三个注意“一正、二定、三相等”的忽视．【解题方法技巧举例】1、添、减项（配常数项）例1 求函数221632y xx=++的最小值.222221620,32163(2)6266x y xxxx+>=++=++-+≥=解：当且仅当22163(2)2xx+=+，即22x=时,等号成立. 所以y的最小值是6.2、配系数（乘、除项）例2 已知0,0x y>>，且满足3212x y+=，求lg lgx y+的最大值.分析lg lg lg()x y xy+=, xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y+是否定值，而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为326x y⋅，再用均值不等式.220,032lg lg lg()lg6132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>⋅+==⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≤=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=解： 当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最大值是lg 6.3、 裂项例3已知1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值.分析 在分子的各因式中分别凑出1x +，借助于裂项解决问题.()()141110,14(1)5519x x x y x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+>=+=+++≥+=解：当且仅当411x x +=+，即1x =时，取等号.所以min 9y =.4、 取倒数例4 已知102x <<，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 分析 分母是x 与(12)x -的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1)x + (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.解 由102x <<，得10x +>，120x ->.221(12)1312(1)31131211113212x x x x y x x x x x x x --==⋅⋅+++-⎡⎤+⎢⎥++≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦当且仅当31211x xxx -=++，即15x =时，取等号. 故y 的最小值是12.5、 平方例5 已知0,0x y >>且22283y x +=求.分析 条件式中的x 与y 都是平方式，而所求式中的x 是一次式，y 是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.222222222((62)32(1)32(1)9333()22y x y x y x =+=⋅+⎡⎤++⎢⎥≤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：当且仅当222(1)3y x =+，即32x =，2y =时， 等号成立.故的最大值是评注 本题也可将x纳入根号内，即将所求式化为.6、 换元（整体思想）例6求函数y =的最大值.分析t =，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.22,0,2,(0)2100;1014212=.23,2t t x t t y t t t y t y t t t t t x =≥=-=≥+==>=≤=+==-则当时，当时，当且仅当，即所以时7、 逆用条件例7 已知191(0,0)x y x y +=>>,则x y +的最小值是（ ） .分析 直接利用均值不等式，只能求xy 的最小值，而无法求x y +的最小值.这时可逆用条件，即由191x y =+，得19()()x y x y x y +=++，然后展开即可解决问题.190,0,1199()()1010169,4,12.16.x y x y y xx y x y x y x yy x x y x yx y >>+=+=++=++≥====+解：由，得当且仅当即时，等号成立故的最小值是 评注 若已知0,0,x y >>1x y += (或其他定值)，要求19x y +的最大值，则同样可运用此法. 8、 巧组合 例8 若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-求2a b c ++的最小值 .分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用a b +≥来解决.换个思路，可考虑将2a b c ++重新组合，变成()()a b a c +++，而()()a b a c ++等于定值4-，于是就可以利用均值不等式了.,,0,2()()2,,1.2 2.a b c a b c a b a c b c b c a a b c >++=+++≥======-++解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为9、 消元例9、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2y xz 的最小值.分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得32x zy +=，则可对2y xz 进行消元，用,x z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.22223,0,,29666=3,443,,=33.x zx z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为【例题解析】 例1 求函数()()yx x x=++49的最值.解： （1）当x >0时，25362133613=⋅+≥++=xx x x y ， 当且仅当xx=36即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25. （2）当x <0时，->->xx0360，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612， 11213)]36()[(13=-≤-+--=∴xx y .当且仅当-=-x x 36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121.例2已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时，上式等号成立，又191x y+=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 例3 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值.解析：此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.211282(82)[2(82)]()8222x x y x x x x +-=-=-≤=当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8.例4 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.例5已知x，y为正实数，且2212yx+=，求的最大值.解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式222a bab+≤.12，==下面将x=2212222yx++≤4=当且仅当x=2212yx+=，即2x=，2y=时，等号成立.所以的最大值为4.评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.【基本不等式课堂练习】一、选择题1.已知0,0a b >>，则112ab a b++的最小值是（ ）A ．2 B ．22 C ．4 D ．5 2.当0<x <2π时，函数f (x )=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为（ ）A.2B.23C.4D.433.设y=x 2+2x+5+2125x x ++，则此函数的最小值为（）A ．174B ．2C ．265D ．以上均不对 4，若，下列不等式恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．5，若且，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a6. 设x>0,则的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．Ｃ．Ｄ．－1 7，设的最小值是( ) A. 10 B.C.D.8. 若x, y 是正数，且，则xy 有（ ）Ａ最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值9. a,b 是正数，则三个数的大小顺序是（ ）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．10.下列函数中最小值为4的是( )Ａ Ｂ Ｃ Ｄ11、已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)12、已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．913．设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y)的最小值为 ( )A.6 B.9 C.12 D.1514． 已知定义域为R 的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．15．若，则的最小值为（ ）A ．8 B ．C ．2D ．417.若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A. 245 B. 285C.5D.6 18．下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4xx x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈D ．211()1x R x >∈+ 19若点(,)A x y 在第一象限且在236x y +=上移动，则3322log log x y + （ ）A 、最大值为1B 、最小值为1C 、最大值为2D 、没有最大、小值 20、 已知01x <<，求函数411y x x=+-的最小值.21、已知0,0a b >>，328a b +=，求函数的最大值.。
高三数学复习课“基本不等式求最值”教学简案 .doc
高三数学复习课“基本不等式求最值”教学简案华南师范大学附属中学 xx一、教学目标复习巩固对基本不等式及其变形的理解，掌握使用基本不等式解决高考中常见的求最值问题的方法与技巧。
二、教学难点1. 如何通过代数式的变形想到或理解基本不等式的几何解释；2．使用基本不等式解决最值问题的技巧.三、教学过程1. 直接引入课题内容，开门见山（屏幕显示）1. 考纲① 了解基本不等式的证明过程;② 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题02.a b a b a b +>≥=2.基本不等式:如果，，那么当且仅当时，等号成立 ()()33.133()22112a b c a b c abc a b c R a b c a b a b +++++⎛⎫≥⇔≤ ⎪⎝⎭∈==+≤≤≤+基本不等式的常见变形及推广、、，当且仅当时，等号成立；2. 师生讨论不等式链的证明，数形结合加深对基本不等式的理解（1）代数证明2112a b a b +≤≤≤+ （2）几何解释：如图1，设2a b AD a BD b CD AB DE OC OC +==⊥⊥=，，，，则，211CD DEa b==+，借助几何画板软件，移动点D，可以分析三条线段的关系.图1 图2如图2，ADF BDG∆∆⊥⊥与是等腰直角三角形，FM AD于M，GN BD于N，则连结FG，可证明FG，其中2a bMN+=，比较线段MN FG与即可.3．展示同一问题使用基本不等式的三种解法，分析得出“一正二定三相等”14x y x yx y+问题：已知，都是正数，且+=1，求的最小值.1410014.8x yx yx y x y>>=+≥≥+≥≥+解法：因为，，所以所以，即的最小值是8.()11500444599.4x yx y x y x yx y y xx y⎛⎫>>+=++=++⎪⎝⎭≥+=+解法2：因为，，所以，即的最小值是()()414144414,11144441511159xxyx y x x xxx y x xx x x-++====+---+==++=-++≥---+=解法3：由，得所以，其中，等号成立的充要条件11361x x yx-===-是，即，此时.4. 基本不等式求最值的常见类型()11y x x =+型分式问题： 41,6.1x y x x >-=+++已知求的最值解：41 5 , 110159y x x x x y =+++>-+>+∴≥=由有4 ( 11,"")1x x x +===+当且仅当即时取4691y x x ∴=+++有最小值 备注：让学生做完后，追问“如果条件改为2x ≥呢”变式：()()()5211x x A x y x ++>-=+设，求的最值;()()()1152x B x y x x +>-=++设，求的最值. ()221(1)2(1)y x x x =+>-求几个正数和的最小值求函数的最小值. ()23sin cos (0).2y x x x π=<<求几个正数积的最大值求函数的最大值 ()48112x y x y x y +=+条件最值问题已知正数、满足，求的最小值. ()53x y xy x y xy =++利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题已知正数、满足，试求的范围.5. 高考试题赏识 （1）[2010·山东卷]若对任意x >0，≤a 恒成立，则a 的取值范围_．解析：若对任意x >0，≤a 恒成立，只需求得y ＝的最大值即可．因为x >0，所以y ＝＝≤＝，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是[，＋∞).（2）[2011·重庆]若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a ＋b ，2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c ，则c 的最大值是________．解析：依题意得2a ＋2b ＝2a ＋b ＝2a ·2b ≤()2，由此得2a ＋2b ≥4；由2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c ＝(2a ＋2b )·2c 得＝1－，≥1－＝，2c≤，c≤log2＝2－log23，当且仅当a＝b＝1时，c≤2－log23取等号，因此c的最大值是2－log23.（3）2211(2)(2)() A6 B7 C16 D9x y x yy x+++若，为正数，则的最小值是 ．．．．22222222221100(2)(2)1144(4)(4)()114444C.216:x y x yy xy xx yx y x yy xx y x yx y x y+++ =+++++≥=====因为＞，＞，所以当且仅当，，，即时取等号，即所求的最小值为，故选解析6. 小结（1）注意使用基本不等式的三个条件“一正二定三相等”；（2）若和为定值时，积有最大值；若积为定值时，和有最小值；（3）有时需要结合题意适当拼凑，需要细心观察。
高考数学：用基本不等式求最值
高考数学：用基本不等式求最值
用基本不等式求最值时，要注意基本不等式的三个使用条件：一正、二定、三相等。
一正，即变量均为正值，二定即变量的和或者积为定值，三相等即当且仅当二个变量相等的时候等号才能取到。
漏一个条件都不能用基本不等式。
另一个求最值要注意“和定积最大，积定和最小”。
如果没有定值要想办法构造定值使用基本不等式，比如配系数、加减某个常数等。
最后要说明的是，等号取不到时，通常考虑单调性来做而不是单纯的认为把等号去掉改为严格不等号就行这种思想是错误的。
下面会有例题说明。
双勾函数是经常用到的，图像要记得住。
基本不等式是我们除了导数以外另一个求最值的有力工具，大家要掌握。
基本不等式求最值的类型及方法,经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式：①，、)(222222R b a ba ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a xbax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：(0,，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=， 当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
利用基本不等式求最值技巧
利用基本不等式求最值的技巧基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的功能，但一定要注意应用的前提：“一正”、“二定”、“三相等”．所谓“一正”是指“正数”，“二定”指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．在运用基本不等式ab b a 222≥+与2ba ab +≤或其变式解题时,要注意如下技巧 1：配系数【例1】已知230<<x ，求)23(x x y -=的最大值. 2:添加项 【例2】已知23>x ，求322-+=x x y 的最小值. 3:分拆项【例3】已知2>x ，求2632-+-=x x x y 的最小值.4:巧用”1”代换【例4】已知正数y x ,满足12=+y x ,求yx 21+的最小值.一般地有,2)())((bd ac ydx c by ax +≥++,其中d c b a y x ,,,,,都是正数.这里巧妙地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解. 【例5】已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求zy x 941++的最小值. 5:换元【例6】已知c b a >>,求cb ca b a c a w --+--=的最小值.【例7】已知1->x ,求8512+++=x x x y 的最大值.6:利用对称性【例8】已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求121212+++++z y x 的最大值. 【分析】由于条件式1=++z y x 与结论式121212+++++z y x 都是关于正数z y x ,,轮换对称的,故最大值必然是当31===z y x 时取到,这时35121212=+=+=+z y x ,从而得到下面证明思路与方向 【解】利用基本不等式b a ab +≤2得351235)12(2++≤⨯+x x , 351235)12(2++≤⨯+y y ,351235)12(2++≤⨯+z z ,以上三式同向相加得1053)(235)121212(2=++++≤+++++z y x z y x ,所以化简得15121212≤+++++z y x ,所以当且仅当31===z y x 时121212+++++z y x 取到最大值15.一般地,如果条件式与结论式都是关于各个元素轮换对称的,则最值必定是在各个元素相等时取到.利用这一思想往往可给解题者提供解题的方向与思路.7:直接运用化为其它【例9】已知正数b a ,满足3++=b a ab ,求ab 的取值范围.含参不等式的解法举例当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。
第2课时 基本不等式的实际应用 高一数学
已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利
用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为
y(单位:元).
(1)将总费用y用旧墙长度x表示出来;
(2)试确定x的值,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求
出最小总费用.
· =9,
当且仅当 = ,即 y=2x 时,等号成立.
故(x+y) + 的最小值为 9.
防范措施
1.在运用基本不等式时,要特别注意等号成立的条件,尤其多
次使用基本不等式时,等号成立的条件必须相同,否则会造成
错误.
2.尽量对式子进行化简、变形,利用一次基本不等式求最值.
的最大值.
+
解:(1)∵x<,∴5-4x>0,
∴y=4x-2+
=-
当且仅当
- +
+3≤-2+3=1,
-
5-4x=
,即 x=1 时,上式等号成立,
-
故当 x=1 时,y 取得最大值 1.
(2)∵0<x<,∴1-2x>0,
+-
x=y= 时,取等号.
=
=
,
答案:(1)2
(2)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
高一基本不等式的知识点
高一基本不等式的知识点在数学学科中，不等式是我们经常遇到的一类问题，也是解决实际问题和推理证明的常用工具。
在高中数学的学习中，如何正确处理和应用不等式是非常重要的。
本文将介绍一些高一阶段常见的基本不等式的知识点，希望能够对同学们的学习有所帮助。
一、正数不等式的基本性质正数不等式是我们在学习不等式时最常见的一种形式。
正数不等式的基本性质有以下几点：1. 加减同项，不等号方向不变。
例如，若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
2. 乘除同正数，不等号方向不变。
例如，若a>b，且c>0，则ac>bc，a/c>b/c。
3. 乘除同负数，不等号方向改变。
例如，若a>b，且c<0，则ac<bc，a/c< b/c。
二、平方不等式的知识点平方不等式是高一阶段经常遇到的一个重要内容。
对于大多数正实数和负实数，我们可以使用平方不等式进行简化和推导。
以下是一些常见的平方不等式知识点：1. 平方不等式基本性质：对于任意实数a和b，若a>b，那么a^2>b^2。
这是由于当a和b都为正数或负数时，平方操作不改变不等关系；而当a为正数，b为负数时，平方操作会改变不等关系。
2. 平方不等式求解方法：对于形如x^2-c>0的平方不等式，我们可以通过因式分解法或配方法将其转化为(x-a)(x-b)>0的形式，然后根据零点的位置关系进行讨论求解。
三、绝对值不等式的知识点绝对值不等式也是高一数学中重要的内容之一。
绝对值不等式的处理方法与普通的不等式稍有不同，需要注意以下几个方面：1. 绝对值不等式基本性质：对于任意实数a和b，若|a|>|b|，那么a^2>b^2。
这是因为绝对值的定义决定了当a和b的符号不同时，|a|>|b|必然意味着a^2>b^2。
2. 绝对值不等式求解方法：对于形如|ax+b|>c或|ax+b|<c的绝对值不等式，我们可以根据绝对值的定义将其转化为不等式组形式进行求解。
基本不等式求最值课件
证明方法二
证明方法三
利用代数方法，通过移项、合并同类项、化简等步骤，证明基本不等式。
利用几何方法，通过图形和面积等直观方式，证明基本不等式。
03
02
01
基本不等式的应用
利用基本不等式，我们可以求解一些函数的最值问题，从而在实际问题中得到应用。
总结词
基本不等式是数学中一种重要的工具，它可以用来求解一些函数的最值问题。例如，对于形如 f(x)=x+4/x 的函数，我们可以利用AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）来求解其在某个区间的最值。
答案解析6
利用AM-GM不等式和平方差公式，得到 y = (x - 1)^2 + (1/x - 1)^2 ≥ 2√((x - 1)^2 * (1/x - 1)^2) = 4，当且仅当 x = √2 时取等号。
谢谢
THANKS
详细描述
总结词
均值不等式是数学中一个基本的不等式，它表示对于任意非负实数，其算术平均值总是大于或等于其几何平均值。
详细描述
均值不等式表述为：对于所有非负实数a和b，有(a+b)/2 >= sqrt(ab)。这个不等式在求最值问题中非常有用，因为它提供了两个正数的和与它们的积之间的关系。
总结词
切比雪夫不等式是数学中一个关于概率和期望的不等式，它给出了一个随机变量的概率分布与其期望值之间的关系。
基本不等式求最值ppt课件
目录
CONTENTS
基本不等式的概念和性质基本不等式的应用基本不等式的扩展和深化基本不等式的实际应用案例基本不等式的解题技巧和策略练习题和答案解析
基本不等式的概念和性质
基本不等式是数学中常用的一个不等式，它表示两个正数的平均数总是大于或等于它们的几何平均数。
高一数学基本不等式一正二定三相等
高一数学基本不等式一正二定三相等想象一下，你和朋友一起去买零食。
你们把钱凑在一起，然后买了很多好吃的。
要是你们的零食有两个口味，咱们不妨称它们为“巧克力”和“薯片”。
如果你俩的钱加起来多，那你们能买更多的零食，对吧？这就是不等式在生活中的体现，钱多就能买得开心，生活就美滋滋。
再想象一下，如果你俩的钱只有一点点，买零食的选择就少了很多，那就很尴尬了。
这里边的逻辑其实就是数学里边的基本不等式，越多越好嘛，没错吧。
咱们再深入一点。
这就涉及到均值不等式了。
听上去高大上，其实就是个“大家平分”的道理。
比如说，你有两种不同的水果，苹果和香蕉，你觉得哪个更好吃呢？有的人爱苹果，有的人偏香蕉。
但如果把它们混在一起，咱们就能享受到一个水果沙拉的美味。
这就是数学的智慧，均值总是能带给我们一种平衡的美好，生活中也是这样，大家都能分享，才会开心嘛。
其实啊，不等式在数学里的魅力，就像生活中的小秘密，藏得深，但一旦发现，哇塞，简直惊艳。
就像你知道了“只要努力就能成功”的道理，成功就不再遥不可及。
这里面还有个重要的点，那就是相等的情况。
想想看，当你和朋友的钱完全相同，买的零食也恰好一样多，生活是不是显得特别完美？这就是数学的奇妙之处，不等式让我们知道，生活有时候并不完美，但努力追求更好的我们，就能在不平衡中找到平衡。
在实际应用中，咱们不等式可以帮助咱们更好地解决问题。
比如说，考试的时候，遇到难题，别着急，先用不等式的思路分析一下。
把已知条件和要求的关系理清楚，搞清楚“上下限”，就能为自己找到突破口。
就像打麻将，知道自己手上的牌能组合出什么，才能决定下一步怎么出牌，才能“越打越顺”。
说到这里，或许有人会想，数学到底有什么用？它就像咱们生活中的调味品，适当的时候，能增添不少乐趣和智慧。
看似枯燥的公式，其实背后藏着生活的真谛。
你想啊，日常生活中的选择、决策，其实都离不开这种理性的思考。
基本不等式就像一盏明灯，照亮你前行的路，让你在复杂的选择中，找到最优的解。
04.高一寒假数学讲义：基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”(应用)【学生版】
高一寒假数学讲义“基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”（应用）”学生姓名授课日期 教师姓名授课时长知识定位基本不等式是几乎在各种场合都会出现的重要不等式，本讲旨在通过一系列题目，让学生学会在各种不同场合运用基本不等式解题。
知识梳理若+∈R b a ,，则ab b a ≥+2，当且仅当b a =时，等号成立。
例题精讲【试题来源】 【题目】已知45<x ，求函数54124)(-+-=x x x f 的最大值. 【难度系数】2【试题来源】【题目】当40<<x 时，求)28(x x y -=的最大值【难度系数】3【试题来源】 【题目】求函数45)(22++=x x x f 的值域【难度系数】3【试题来源】【题目】已知0,0>>y x ，且191=+y x ，求y x +的最小值【难度系数】4习题演练【试题来源】 【题目】求)0(,132>++=x x x x y 的最小值【难度系数】2【试题来源】 【题目】求3,312>-+=x x x y 的最小值【难度系数】2【试题来源】 3【试题来源】 【题目】求1,1107)(2->+++=x x x x x f 的值域【难度系数】4【试题来源】【题目】若+∈R y x ,且12=+y x ，求y x 11+的最小值.【难度系数】3【试题来源】【题目】已知+∈R y x b a ,,,且1=+y bx a，求y x +的最小值.【难度系数】3【试题来源】【题目】已知0,0>>y x 且191=+y x ，求使不等式m y x ≥+恒成立的实数m 的取值范围.【难度系数】3【试题来源】【题目】已知y x ,为正实数，且1222=+y x ，求21y x +的最大值。
【难度系数】4【试题来源】【题目】已知y x ,为正实数，1023=+y x ，求函数y x w 23+=的最大值【难度系数】3【试题来源】 【题目】求函数x x y 2512-+-=，⎪⎭⎫⎝⎛<<2521x 的最大值【难度系数】3【试题来源】【题目】已知a 、b 、c 为正实数，1=++c b a ，求证：8111111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-c b a 【难度系数】4。
人教版数学-备课资料一正、二定、三相等“亲密接触
一正、二定、三相等“亲密接触”用基本不等式求函数的最大（小）值等问题是高中数学中的重点，也是高考中考查的热点，解题时应注意三个必要条件：一正、二定、三相等.但在平时的练习中发现，很多同学并没有真正理解三条件的含义，现就做一简单的分析，供同学们参考.一、一“正”是指在函数式中，要求各项必须都是正数，才能利用基本不等式求最值；如果不是，则可以乘以-1进行变号转换。
例如，对于函数式x x 1+（0<x ），不能错误地认为关系式21≥+x x 成立， 并由此得出“xx 1+的最小值是2”的结论。
正确的解法应该是：2)1()()1(0100≥-+-=+-⇒>-⇒>-⇒<x x x x x x x 21-≤+⇒xx ， 所以当0<x 时，x x 1+的最大值是－2，而并非最小值是2. 二、二“定”是指在函数式中，要求含变数的各项和或积必须都是常数，才能利用基本不等式求最值；如果不是，则进行折项或分解，务必使不等式的一端的和或积为常数。
例如，对于正数,x y ，满足26x y +=， 不能错误地由基本不等式的变形2()2x y xy +≤， 得出“xy 的最大值为4，当且仅当x=y ，即x=y=2时取等号”的结论。
这样求解初看起来好像很有道理，其实在用基本不等式求最值时，在各项为正的前提下，还应考虑定值。
但在2()2x y xy +≤中，x+y 不是定值，所以xy 的最大值不是4。
正确的解法是： 可将原式变形为211292()2222x y xy x y +=⋅≤=， 当且仅当x=2y 时（此时x=3，32y =）取“=”号，所以xy 的最大值是92。
这样，把已知条件和所求式子结合在一起，通过配凑项的系数，变形构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。
三、三“相等”是指在函数式中，要求含变数的各项相等，才能利用基本不等式求出最大（小）值. 即相等时，变量字母有实数解，且解在定义域内；如无，则说明折项、分解不当，应重新折项、分解或改用其他方法。
基本不等式求最值公开课
小结：
学好基本不等式，灵活应用是关键，
添减项，配系数，“1”的代换别忘了，
“一正二定三相等”格式规范要切记；
千变万化不等式，透过现象看本质。
作业：
完成夺冠相关练习。
基本不等式求最值
授课教师：林英
教学目标：
①掌握运用基本不等式求最大（小）值的条件，会用基本不等式求一些简单的代数式最大（小）值。
②通过基本不等式求最大（小）值时定值条件的构造方法的研究，渗透化归与转化的数学思想。
教学重点与难点：
重点：运用基本不等式求最大（小）值
难点：利用基本不等式求定值条件的构造方法以及最大（小）值满足的条件
教学方法：自主探究式、讲练结合
课时安排：1课时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
教学过程：
复习引入：
1、重要不等式：
2、基本不等式：
3、应用基本不等式求最值的条件：一正，二定，三相等。
（1）若和 （定值），则积 有最大值
当日仅当 时，取“=”号
（2）若积 （定值），则和 有最小值
当日仅当 时，取“=”号
即：“积为常数，和有最小值；和为常数，积有最大值”。
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高一寒假数学讲义
“基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”（应用）”
学生姓名 授课日期 教师姓名
授课时长
知识定位
基本不等式是几乎在各种场合都会出现的重要不等式，本讲旨在通过一系列题目，让学生学会在各种不同场合运用基本不等式解题。
知识梳理
若+
∈R b a ,，则
ab b
a ≥+2
，当且仅当b a =时，等号成立。
例题精讲
【试题来源】 【题目】已知45<x ，求函数5
4124)(-+-=x x x f 的最大值. 【答案】1 【解析】
【知识点】基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”（应用）
【适用场合】当堂例题 【难度系数】2
【试题来源】
【题目】当40<<x 时，求)28(x x y -=的最大值 【答案】8 【解析】
【知识点】基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”（应用） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】 【题目】求函数4
5)(2
2++=
x x x f 的值域
【答案】⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,25 【解析】
【知识点】基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”（应用） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知0,0>>y x ，且19
1=+y
x ，求y x +的最小值 【答案】16 【解析】
【知识点】基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”（应用） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4
习题演练
【试题来源】
【题目】求)0(,1
32>++=
x x
x x y 的最小值 【答案】5 【解析】略
【知识点】基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”（应用） 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2
【试题来源】 【题目】求3,3
1
2>-+=x x x y 的最小值 【答案】622+ 【解析】62263
162312+≥+-+-=-+
x x x x 【知识点】基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”（应用）
【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2
【试题来源】 【题目】设2
3
0<<x ，求)23(4x x y -=的最大值 【答案】4.5
【解析】
【知识点】基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”（应用） 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】求1,1
10
7)(2->+++=
x x x x x f 的值域 【答案】[)+∞,9 【解析】
【知识点】基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”（应用） 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】若+
∈R y x ,且12=+y x ，求y
x 1
1+的最小值. 【答案】223+ 【解析】()22323211+≥++=+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+y x
x y y x y x 【知识点】基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”（应用）
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知+
∈R y x b a ,,,且1=+y
b
x a ，求y x +的最小值. 【答案】ab b a 2++ 【解析】()ab b a y x
b x y a b a y x y b x a 2++≥⋅+⋅++=+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+ 【知识点】基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”（应用）
【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知0,0>>y x 且19
1=+y
x ，求使不等式m y x ≥+恒成立的实数m 的取值范围. 【答案】(]16,∞- 【解析】
【知识点】基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”（应用） 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知y x ,为正实数，且12
2
2
=+y x ，求21y x +的最大值。
【答案】
4
2
3 【解析】
【知识点】基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”（应用） 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】已知y x ,为正实数，1023=+y x ，求函数y x w 23+=的最大值 【答案】52 【解析】
【知识点】基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”（应用） 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3
【试题来源】 【题目】求函数x x y 2512-+-=，⎪⎭⎫ ⎝⎛<<252
1
x 的最大值
【答案】22 【解析】
【知识点】基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”（应用）
【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知a 、b 、c 为正实数，1=++c b a ，求证：8111111≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-c b a 【答案】见解析 【解析】
【知识点】基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”（应用）
【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4。