1.5循环群
循环群和有限域结构
国家重点实验室
六、有限域GF(2m)的性质(2)
• x4+x3+1在GF(2)上不可约，因此没有GF(2)上的
根，但它在GF(24)上有4个根
7 21
11
13
14
1
7 4 7 3
1 13 6 1
28 2 3 2 3
1 1 0
a q 1 1 a kn r a r
因此，a的级将小于n，与题设矛盾，故n必能整除q-1.
国家重点实验室
一、 有限域的乘法结构
结论1：域的乘法群必为某一个元素生成的循环群，即q元域 中必能找到一个，其级为q-1。
结论2：所有有限域元素都能表示成生成元的幂次的形式，
此时的生成元称为本原元。
• x3+x2+x+1是不可约多项式，但由于它能整除x5-1， 因此它不是本原多项式。
国家重点实验室
五、有限域GF(2m)的构造
m
定理5-3 GF(2)上的任意m次不可约多项式必整除 x 2 有限域GF(2m)的构造
1
1
假设p(x)是GF(2)上的m次本原多项式， 是p(x)的一个根，即
p 0
的最小多项式，且e
x x
2i
国家重点实验室
例
六、有限域GF(2m)的性质(8) 3 考虑GF(2 )，令 ，求 的最小多项式 x
4
2
2
3
2 2 3
2
2
3
x x x x x
元素阶的定义
2k
n
|k
0,1, 2,...n 1}
令
cos 2k isin 2k
n
n
则
Un {1,,2,...n1}
所以Un 是一个 n 阶循环群．直接验证可知当 (k,n) 1
时，k都是 Un 的生成元．
15
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例8 由例2可知，在 Z*5中， ord 2 ord 3 Z*5 4 ，
阶的，则记作 ord a ．
由此定义立即可得，在任何一个群中，单位元的
阶总是1 .
2
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例1 在 Z6中，计算每个元素的阶． 解 Z6 {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 因为 1 2 2,2 2 4,3 2 6 0, 所以 ord 2 3．类似地，可得 ord 0 1, ord 1 6, ord 3 2,
ord 4 3, ord 5 6.
3
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例2 在 Z*5中，计算每个元素的阶． 解 Z*5 {1, 2, 3,4}．直接计算可得：
11 1; 21 2; 22 4; 23 3; 24 1; 31 3; 32 4; 33 2; 34 1; 41 4; 42 1.
所以又有
r | mn． (1.5.2)
将式(1.5.1)和式(1.5.2)结合起来，得 r mn.
这就是所要证明的.
9
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定理1.5.2 设 G 是一个有限群，| G | n．则对
任意的 a G，a是有限阶的，且ord a | |G |．即：
有限群的任 何一个元素的阶都是群阶数的因子．
6
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二、群元素阶的性质
循环群的性质研究
淮北师范大学2012届学士学位论文循环群的性质研究学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向高等代数学生姓名潘帅学号***********指导教师姓名张波指导教师职称讲师2012年4月3日循环群的性质研究潘帅（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要设G是一个群，a G，如果群G中的每一个元素都能写成元素a的乘方的形式，则称G是一个循环群，循环群是近世代数中的一个重要内容，也是一类基本研究明白的群，本文主要讨论了循环群的相关性质及其应用。
文中首先介绍了群的相关基础知识，由此引出循环群的定义和它的相关性质，讨论了循环群及其元素，子群间的关系，然后利用循环群的基础理论讨论了循环群的同态、同构，并给出了循环群的自同构群是交换群的结论。
关键词：循环群，子群，同构，自同构群Study on the Properties of Cyclic GroupsPan Shuai(School of Mathematical science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000 )AbstractLet G be a group, a G∈. If every element can be written the form n a where ∈, then the group is a cyclic group. Cyclic groups is an important content in the n Z+algebra, also a kind of group was nearly researched understand, this subject mainly discussed the cyclic group related properties and application.The basic knowledge of relevant firstly be introduced in this subject, then drawn out the definitions of circulation and some related properties, discussed the cyclic group and its elements, even the relations between the subgroup, and used the circulation of the foundation of the theory to discuss the circulation about the homomorphism and isomorphism, lastly made us know the conclusions what automorphism group of circulation group is an exchange of group.Keywords：cyclic group, subgroup, isomorphism, automorphism group目录一、引言 (1)二、群的定义 (1)三、循环群的若干问题 (7)1、定义与性质 (7)2、循环群的性质 (8)3、循环群的判定 (9)四、循环群的同态，同构 (11)五、结论 (14)参考文献 (14)致谢 (15)一、引言当代科学技术发展的一大特点是，在几乎所有的领域，数学与计算机技术被广泛的应用。
循环群群的结构信息安全数学
• t = 0，gm＝(gs)q．
14
• H的任意元素都是gs的幂，则H = (gs)．
循环群与其子群
• 证明2）当(g)是无限循环群时，如果n m，则gn gm，于是gms (m=0，1，2，…)两两不同，H是
无限循环群．
• 证明3）假设(g)是n阶循环群，由于n = qs+t，0t s，则e = gn = gqs+t，
•
bH=ah0H=a（h0H）=aH，
•反之，bH=aH，存在bh1=ah2，有b=ah2h1-1 ∈aH ，即b ∈aH （其中h0，h 1，h2∈H ）
•（3）若aH=bH，则存在h 1，h2∈H ,ah1=bh2，有
•a-1b=h1h2-1 ∈H ，反之，若a-1b ∈H ，有b ∈aH ,由（2）知，
（4）对任何a，b∈G有aH集=也bH成或立
aHbH
因而H的所有左陪集的集合{aH︱a ∈G}构成了G的
划分。
27
陪集的性质
•证明：
•（1） 若a∈H，aH={ah︱h ∈H}，显然有aH=H;反之，若aH =H，即任意h∈H，有ah ∈H,则有ah=e，a-1 ∈H，故a ∈H
•（2）若b ∈aH，则b=ah0 h0 ∈H ），
• 于是
• gt = (gqs)1H，
• s的最小性使得t = 0，所以
• n = qs，
• H可表示为H = {e，gs，…，g(q1)s }．
15
• 当s = n时H = {e}．
循环群与其子群
• 上页不仅证明了H的阶q是n的正因子，而且给出n的正因子q阶子群．当q跑遍n的所有 正因子时，s也跑遍n的正因子，所以对于n的每一个正因子q，都有而且仅有一个q阶循 环子群．
2019年第循环群.ppt
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12
关于子群定理证明（续）
对于n的每个正因子d, 在G中有且仅有一个d阶子群.
n
(4) 设 d|n，则H a d 是 G 的 d 阶子群.
假若 H’=<am>也是 G 的 d 阶子群，其中 am 为最小正方 幂元.则
4
有关循环群的生成元的定理
定理 1 G=<a>是循环群
（1）若 G 是无限循环群，则 G 的生成元是 a 和 a-1;
（2）若 G 是 n 阶循环群，则 G 有(n)个生成元，
当 n=1 时 G=<e>的生成元为 e；
当 n>1 时，r(rZ+r<n)，ar 是 G 的生成元(n,r)=1.
例： 两个Z上的一一变换 f:ZZ,f(x) = x g:ZZ,g(x) = -x
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变换的乘法
定义17.10 设f，g是A上的两个变换, f和g的合成称为f与g的乘积， 记作fg。
如果f和g都是A上的一一变换，则fg也是A上的一一变换。
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n
a md e n | md n | m m n t a m (a d )t H
d
d
H’H, |H’|=|H|=d H’=H
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实例
例 1 (1) <Z12,>, 生成元为与 12 互质的数：1,5,7,11 12 的正因子为 1,2,3,4,6,12， 子群：<0>,<1>, <2>,<3>, <4>, <6>
循环群
例 1 整数加群 Z {n | n Z} {,3,2,1,0,1,2,3,} 中，每 个元素都是 1 的倍数（因为此群是加法运算，所以用“倍数”这个 例1 整数加群中，每个元素都是的倍数（因为此 词） 。
群是加法运算，所以用“倍数”这个词）。事 事实上， 0 是 1 的零倍： 0 0 1 ；正数 m 是 1 的 m 的倍： 实上，是的零倍： m m 1，负数 m 是 1 的 m 倍: m (m) 1 。 ；正数是的的倍：，负数是的倍:。
这说明 a 5 也能生成 G ，即 : (a 5 ) {e, a, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 } . 最后可断 言：上例中的生成元只有 a 和 a 5 。
那么为什么说，只有 a 和 a 5 是 6 阶循环群 G (a) 的生成元 呢？
因为 | a | 6 ，同时例中也验证了 | a 5 | 6 . 这就是说， (a 5 )
的。
由定义 1 可知，例 1 和例 2 都是循环群，并且按习惯记为
Z (1) 和 Z n ([1]) 。其中， 1 和 [1] 分别是 Z 和 Z n 的生成元。
我们仔细观察下面两对群，它们元素之间存在着对应关系：
定理 2
设 G (a) 是由生成元 a 生成的循环群。 如果 | a | ，
同的 (a i ) n 恰有 n 个，所以 (a i ) G (a) 。
思考 3
当 G (a) {a 0 , a1 , a 2 ,, a n1} . 除了 a 自然是 G 的
思考 3 当. 除了自然是的生成元之外，还有其余生成元 生成元之外，还有其余生成元吗？ 吗？ 解 为了讨论的方便，现假设 .这时， n 6 .这时， 解 为了讨论的方便，现假设 ， 0 1 2 3 4 5 G (a) 可以验证也是的生成元 : {a , a , a , a , a , a }， . 可以验证 a 5 也是 G 的生成元: 这说明也能生成，即:. 最后可断言：上例中的生成元只 有和。 e (a 5 ) 0 ; a 5 ; 那么为什么说，只有和是阶循环群的生成元呢？因为， 同时例中也验证了 . 这就是说，中也含有个元素 .与 5 2 10 4 5 3 15 3 5 4 20 2 5 5 25 (a ) a .. a ; ( a ) a a ; (a ) a a ; ( a ) a a . 的一样多 也是生成元，而其他元素的阶都不是，所 以它们都不能成为生成元。
循环群子群讲解学习
例5 设G={0, 1, 2}是由x3=1的三个复根组成的集合，而
G中的代数运算“○”是通常的乘法，那么< G , ○ >必为一 个乘法群。习惯上记为G3，叫做3次单位根群。这里
01,11 23,21 23.
（∵r<n）； r=0m=ngn|m.
性质3 设aG且|a|=n,那么n|m a m=e. 证明 “”正是性质2.
“”nmmng a m a n ga ng e g e .
性质4 设群G中元素a的阶是m,则|ak|=m/(m,k),其中k为任 意整数．
证明 首先，设(k,m)=d，且m=dm1,k=dk1,(m1,k1)=1, 则由于|a|=m,就有
（2）阶的计算方法 按照定义寻找使成立的最小正整数。 例1 乘法群Z5*= {[1], [2], [3], [4]}中，[1]是单位元，显然
|[1]|=1，而[2]12=[2]8=[2]4=[1]，|[2]|=4,同理知 |[3]|=4,|[4]|=2。 例2 加法群<Z5 ,+ >= {[0], [1], [2], [3], [4]}中，[0]是单位元，
证明 由于a m=e ，这本身说明|a|<+∞，令|a|=k， 若k > m，则与元素的阶的定义矛盾，故知k m 。 性质2 设aG, 且若存在mZ+使a m=e |a|=n <+∞, 且
n|m(但不能保证n=m)。 证明 由整数的带余除法知,g,rZ使m=ng+r, r=0或者
0<r<n. 如果r≠0,那么e=a m=ang+r=angar=(an)gar=(e)gar=ar矛盾
(完整版)循环群讲义
§7循环群本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群――循环群.(它是一类基本而又重要的群,数学的一些分支（数论、有限域论等）和它有密切的联系.)通过对循环群的学习,可初步了解抽象代数研究问题的基本方法和格式以及论文的写作方法.本节主要内容是循环群的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题.先看一个简单的例子：{},10,10,10,1,10,10,10,32123---=G 对数的乘法作成群.特点是每个元都是固定元10的方幂.一、循环群的概念1.定义 G 称为循环群⇔群G 的每个元都是G 中某个固定元．．．a 的方幂⎩⎨⎧倍数－－针对加法乘方－－针对乘法. 记为)(a G =，a 称为G 的生成元. 即 G a G ⇔=)(是群，且⎩⎨⎧==∈∃∈∀)()(.,,加法乘法ka x a x st Z k G x k .（注意:k 与x 有关！） 【一般情况下，如果没有特别声明运算是乘法或是加法，就默认是乘法形式.】2.注意:(一般情况下)生成元不唯一.a 是生成元1-⇔a 是生成元.【理由：k k a a --=)(1】3.范例【解决了循环群的存在问题.同时，将得到结论：循环群在同构意义下只有这两种！】 ①整数加群),(+Z ，)1()1(-==Z .【1±是∞阶.00)1(=⇒=±n n 】问题:还有其他生成元?(无)【设1),(1)(1)(±=⇒∈==∈⇒=k Z k n nk k k Z 】*实际上可进一步证明：)()(a G a o =⇒∞=只有两个生成元1,-a a .【课外思考题】 【设)(b G =，则有111,,)(-=⇒=⇒=⇒==∈∞=or s st a a b a a b Zt s a o st t s 】 ②模n 剩余类加群),(+n Z ，])1([=n Z .问题:还有其他生成元?(有)【])1([])1([-=-=n Z n 】*实际上可进一步证明：)()(a G n a o =⇒=的生成元为ra 当且仅当1),(=n r .【习题】 【若1),(=n r ，则)()()()()()(1r u r v u r v n u r vn ur a a a e a a a aa vn ur =⇒====⇒=++. 反之，r a 是生成元，1),(1|)()()()(1=⇒-⇒=⇒=⇒===-n r rk n e a a a a a G n a o rk k r r .】◎设p 为素数，则p 阶循环群)(a G =有1-p 个生成元：12,,,-p a a a .◎设p 为素数，则模p 剩余类加群p Z 的所有非零元都是生成元.二、循环群的种类1.结构定理 设循环群)(a G =同构于⎩⎨⎧=+∞=+n a o if Z a o if Z n)(),,()(),,(. 证明 注意体会生成元a 的阶在证明过程中的用处! (1)设∞=)(a o 【作用：0=⇔=k e a k 】此时，令k a Z G k →→,:ϕ，可证ϕ是同构映射.(证略)【ϕ是映射：若h k a a =，则h k h k e a a o h k =⇒=-⇒=∞=-0)(，说明对应元唯一. 易证ϕ是满射/单射.再证ϕ的同态性: )()()()()()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.】(2)设n a o =)(【作用：k n e a k |⇔=】此时，令][,:k a Z G k n →→ϕϕ是映射：若h k a a =，则][][|)(h k h k n e a na o h k =⇒-⇒==-，说明对应元唯一. ϕ是单射：若][][h k =,则e e a a mn h k h k n m n a o m n h k ===⇒=-⇒-=-)()(|.ϕ是满射：][)(.,,][k a st G a Z k k k n =∈∃∈∀ϕ再证ϕ的同态性: )()()()(][][)()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.例1:循环群)(a G =的阶为⇔n 生成元a 的阶为n .【常用结论】证法 同构必同阶.若n a o =)(，则n Z G Z a n n ==⇒≅)(.反之，设n G =，若n a o ≠)(，则 ①∞=)(a o ,则∞==⇒≅Z G Z a )(矛盾；②n k a o ≠=)(,则n k Z G Z a k k ≠==⇒≅)(也矛盾. 循环群的结构定理说明了什么？【凡是无限循环群都彼此同构；有限循环群中，同阶则同构、不同阶则不同构.】例2:n 次单位根群{}1|=∈=n n x C x U 与n Z 同构. 证法1 利用结构定理. )1,,1,0(2sin 2cos 12-=+==⇔=n k n k i n k ex x i n k k n πππ )()(222i n n k i n i n k e U e e πππ=⇒=是循环群,且生成元i n e π2的阶为n ,所以n i n n Z e U ≅=)(2π.证法2 直接建立同构映射. 令][:2k e i n k →πϕ,可证ϕ是同构映射.2.意义：从同构观点看，循环群只有两类――整数加群与模n 剩余类加群.【解决了循环群的数量问题】最后，讨论循环群的构造问题.这个问题从结构定理的证明过程就可得到.三、循环群的构造[构造定理] 设循环群)(a G =，则有{}Z k a a G a o k ∈==⇒∞=|)()(；{}1,,2,1,0|)()(-===⇒=n k a a G n a o k .证明 由结构定理的证明过程即得.另证：直接证明两个集合互相包含.【由运算封闭性，右集⊆左集；反之，m a x a G x =⇒=∈∀)(.若)()(Z k a a o k ∈⇒∞=彼此互异， 此时∈=m a x 右集1；若n a o =)(，设)0(n r r kn m <≤+=，则∈==r r kn m a a a a 右集2】至此，循环群所要研究的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题圆满得到解决.好比线性方程组解的讨论包括判定、数量、结构三大问题.当然，还可进一步把循环群和其他概念相结合，研究新的性质.比如在今后学习中可以得到：循环群是交换群；循环群的子群还是循环群；循环群的同态像还是循环群等等.四、课后思考题n or a o ∞=)(时，循环群)(a G =的生成元有哪几个？在结构定理证明中a 的阶用途是什么？◎3S 是不是循环群？◎),(+Q 不是循环群.【设)(a Q =,则210)12()(220=⇒=-⇒∈=⇒∈⇒∈≠n a n Z n na a Q a Q a a 】 ◎循环群是交换群(习题)；但交换群未必是循环群.比如:{}1|=∈=n n x C x A 是循环群， ∞==1n n AU 是交换群但不是循环群.◎循环群是少数研究清楚的群.此外,有限单群也是.【单群】没有非平凡不变子群的群.有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经全世界上百名的数学家约40年的共同努力，终于在1981年得到解决，这是数学史上的又一个非凡成就.有限单群分类的整个论证用了5000页以上的篇幅，散布在超过300篇文章之中,引用了很多新的群论概念和证明了大量的定理.。
循环群子群讲解学习
0<r<n. 如果r≠0,那么e=a m=ang+r=angar=(an)gar=(e)gar=ar矛盾
（∵r<n）； r=0m=ngn|m.
性质3 设aG且|a|=n,那么n|m a m=e. 证明 “”正是性质2.
性质10 设群G中元素a的阶是m，b的阶是n,则当ab=ba且 (m,n)=1时,|ab|=m。
证明 首先，由于|a|=m,|b|=n,ab=ba,则 (ab)mn=(am)n(bn)m=e;
其次,若有正整数s使得(ab)s=e,则 (ab) sm=(am)sbsm=bsm=e,
但|b|=n,则n|sm. 又因为(m,n)=1,所以n|s. 同理可得m|s,再根据(m,n)=1,故mn|s,从而|ab|=mn. 说明 值得注意的是:当元素a与b不满足定理中的假设条件 时,其乘积的阶会出现各种各样的情况,将无法根据a,b的阶 来作出判断。
定理2 证设明是由(1生)当成时元| a生| 成 ，的作循1环: G群。Z如,1果(ai，) 那i .么由.上如述果的，对 那么。
证明应关(1系)易当知时,，1 作是双.由射上. 述而 的对应关系易知,是双射.而
（2）当时，作1 ( ,a ，i a 由j ) 上 述1 ( a 对i j 应) 关i 系j 也易1 ( a 知i ) ,是2 双( a j 射). 而且
例5 设G={0, 1, 2}是由x3=1的三个复根组成的集合，而
G中的代数运算“○”是通常的乘法，那么< G , ○ >必为一 个乘法群。习惯上记为G3，叫做3次单位根群。这里
01,11 23,21 23.
第循环群-精品文档
n r( n , r )
n n e | a || n | ( n , r ) 1 ( n , r ) ( n , r )
r
© Peking University 7
例：G=<a>是12阶循环群，(12)=4， 12互质的正整数是1,5,7,11，因此 a,a5,a7,a11是生成元
阶元矛盾.
© Peking University 11
关于子群定理证明（续）
定理2 G=<a>是循环群，那么
(3) 若G是n阶的，则G的子群的阶是n的因子， 对于n的每个正因子d, 在G中有且仅有一个d阶子群.
n -1 （ 3） 设G = {e,a,… ,a }， H = {e}命 题 显 然 成 立 .
© Peking University
6
生成元的定理的证明(续)
（2）若G是n阶循环群，则G有(n)个生成元， 当n=1时G=<e>的生成元为e； 当n>1时，r(rZ+r<n)，ar是G的生成元(n,r)=1.
（2）n=1结论为真.n>1 (n,r)=1 u,vZ(un+vr=1) a=aun+vr =(ar)v ar为生成元 ar为生成元
(4)
n 设d|n， 则H ad
是G 的d 阶 子 群 .
第3节 循环群
循环群的定义
循环群的分类
生成元
子群 循环群的实例
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1
循环群的定义及其分类
定义： G = <a> = {ak | kZ}, aG 称 G 为循环群，a 为 G 的生成元. 分类： 生成元的阶无限，则 G 为无限循环群 生成元 a 为 n 阶元，则 G={e,a,a2,…,an-1}为 n 阶循环群 实例：<Z,+>为无限循环群 <Zn,>为 n 阶循环群
循环群与置换群
• 循环群是互换群。 • 若( G,◦)为循环群， g为G旳生成元，则G旳构造
在同构旳意义下完全由 g旳阶所拟定：
（1）若 g旳阶= n，则 ( G,◦) ≅ (Zn, +n)； （2）若 g旳阶=∞，则 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
例7.3.7 在 S3中，我们有
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1 2
2 3
3 1
4 4
55
(123)
(231)
(312)
1 4
2 2
3 5
4 3
15
(1435)
(4351)
(3514)
(5143)
1 2
2 3
3 4
4 5
15
(12345)
(23451)
(34512)
都能够看作n个元素旳循环置换。所以，τ 就分解成若干个
不含公共元素旳循环置换旳乘积。
注意，不含公共元素旳循环置换旳乘法是可互换旳。
例如，
1 3
2 6
3 4
4 1
5 8
6 2
7 5
8 7
(587)(26)(134)
(134)(26)(587)
例 利用循环置换旳措施，我们有 3次对称群 S3旳元素能够表达为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4旳元素能够表达为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34);
第三章_循环群_群的结构
电子科技大学 计算机科学与工程学院
元素的阶及其性质
定理1 一个群G的任意元素a都能生成一个循环群，它是G的 子群．如果a是无限阶元素，则a生成无限循环群；如果a 是n阶元素，则a生成n阶循环群． 证明 设a的幂集合为S． 1）a是无限阶元素情形． 对于任意ai，ajS (i，j = 0，1，2，…)，有 ai(aj)1 = aijS， 由定理2 (page 22)，S是G的子群． 2）a是n阶元素情形． 对于任意ai，ajS (i，j = 0，1，2，…)，有 aiaj = ai+jS， 由定理3 (page 显然无限循环群的元素都是无限阶元素． 23) ，S是G的子群． 有限循环群生成元的阶就是群的阶． 显然S是a生成的循环群．定理证毕．
这m个剩余类称为模m剩余类．记为Zm
第三章 循环群、群的结构
电子科技大学 计算机科学与工程学院
剩余类群
设 i 和 j 是两个模m的剩余类，定义剩余类的加法 如下：
i j i j(mod m)
24 6
如Z8的两个剩余类 2 和 4
第三章 循环群、群的结构
电子科技大学 计算机科学与工程学院
第三章 循环群、群的结构
电子科技大学 计算机科学与工程学院
循环群与其子群
证明2）当(g)是无限循环群时，如果n m，则gn gm，于是gms (m=0，1，2，…)两两不同，H是 无限循环群． 证明3）假设(g)是n阶循环群，设s是H中的最小正指 数，即s是使gsH的最小正整数。由于n = qs+t， 0ts，则e = gn = gqs+t， 于是 gt = (gqs)1H， s的最小性使得t = 0，所以 n = qs， H可表示为H = {e，gs，…，g(q1)s }． 当s = n时H = {e}．
抽象代数循环群
抽象代数循环群定义1.5.1，设 G 为群，若∃a∈G 使得 G={an|n∈Z} 则 G 为循环群。
记为 G=<a>.我们称 a 为生成元。
其实我们知道对任何 {an|a∈G,n∈Z}≤G (由于群对运算封闭）,也就是说循环群其实是 {an}=G 。
例1. {Z;+} , 1,−1 为其生成元。
2. Um={c∈C∗|cm=1} 对乘法成循环群，本原根为生成元。
|Um|=m如： U2={1,−1} , −1 为生成元U3={1,ς,ς2}(ς=−1+3i2) 以ς为生成元。
U4={1,−1,i,−i} , −i 为生成元。
命题1.5.1:循环群为阿贝尔群。
aman=am+n=anam命题1.5.2:循环群的子群也为循环群。
令 G=<a>,H<G , H≠G 设 H≠{e} , m=min{k∈N|ak∈H}下证 H=<am> ,设 al∈H ，由带余除法可得 l=qm+r ( 0≤r<m ) ⇒ar=al−qm=al(am)−q∈H ，故 r=0 否则 ar∈H 且 r<m 则与 m 的定义相反。
推论1.5.3 {Z;+} 的任何子群，一定形如 mZ ， m≥0证： G<{Z;+} 若 G=Z ,取 m=1 ，若 G={0} 取 m=0 ,否则令 m=min{k∈N|k∈G}用命题1.5.2的方法证明。
G=<m>=mZ循环群分类定理：设 G 为循环群，且 |G|=∞ ,则 G≃{Z;+} ，若 |G|=m>0 则 G≃Z/mZ=Zm≃Um思路：证明一个群和一个商群同构，很容易想到同态基本定理。
证：设 G=<a> 定义ϕ:Z→G 使得ϕ(k)=ak 则ϕ(k+l)=ak+l=akal=ϕ(k)ϕ(l) 所以ϕ为同态。
因为 G 中所有元素都可以用 a 的次幂表示，自然ϕ为满射。
由同态基本定理得到： G≃Z/kerϕ。
无穷阶循环群定义
无穷阶循环群定义无穷阶循环群是群论中的一个重要概念，它包含了一类具有无限元素且能够被生成的群。
本文将对无穷阶循环群的定义、性质、例子和应用进行探讨。
一、定义无穷阶循环群是由一个元素生成的，其元素可表示为a,a^2,a^3,...,a^n,...，其中 a 是群中的一个非单位元素。
这个集合构成了一个群，称为由元素a 生成的循环群。
当a 的阶等于无限大时，该群称为无穷阶循环群。
二、性质1. 无穷阶循环群是交换群，也就是加法形式下的群。
2. 无穷阶循环群只有两种子群，一个是由单个元素a 生成的循环子群，一个是由单位元数。
这可以从群的定义推导出来。
3. 每个无穷阶循环群都与整数集合 Z 对应，即对于任意一个整数 n，都有一个对应的群元素 a^n。
三、例子1. 整数集合 Z 形成了一个无限生成的循环群。
这时，群元素 a 等于 1，其余元素通过 a^k 表示。
2. 实数集合 R 中的加法群也是一个无穷阶循环群。
它可以通过 i^x 来生成，i 是虚数单位。
3. 空间中的离散移位群也是一个无穷阶循环群。
这个群可以由平面移位向量 (m,n) 生成，其中 m,n 是整数。
四、应用无穷阶循环群在代数几何和数学物理中有广泛的应用。
它们为构建拓扑和几何结构提供了强有力的理论工具。
在代数几何中，无穷阶循环群可以用来建立拓扑空间，如复几何和Riemann 曲面。
这些空间通常以复曲线表示，因为它们密切相关。
这些空间的另一个重要特性是，它们可以通过群表示进行分类。
在数学物理中，无穷阶循环群被用来探索量子力学、量子场论和统计物理学。
在物理系统中，基本粒子的性质可以转化为群元素的性质，从而赋予它们不同的对称性和规范。
总之，无穷阶循环群是一个重要的数学概念，可以在代数和几何中产生深远的影响。
因此，了解这个概念的定义、性质和应用具有重要意义。
密码学基础群 循环群,生成元 ppt课件
密码学基础群 循环群,生成元
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笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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注1: (R, +)是一个交换群, 称为R的加法群. 环R的加法单位元称为环的零元,记为0.
环R的元素a的加法逆元称为a负元, 记为-a.
注2: 如果环R的乘法还满足交换律, 则称R为 交换环.
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注3: 如果环R中存在元素e, 使对任意的a∈R, 有
16岁开始学习牛顿、欧拉、拉格朗日和高斯的 经典数学著作.
19岁时,他解决了一个让一些著名数学家烦脑 了数百年的难题.
他证明了虽然一元二次、三次甚至四次方程都 有求根公式, 但是对于一般的五次方程却不存 在这样的求根公式.
他对于五次方程求解问题的解决为近世代数的 创立做出了基础性的工作.
密码学基础群 循环群,生成元
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有限群
交换群
如果群G的运算还满足:
(G4)交换律:即对所有的a, b∈G, 有a∗b=b∗a.
则称G是一个交换群(commutative group),或阿贝尔群 (abelian group).
G中元素的个数称为群G的阶(order), 记为|G|. 如果|G|是 有限数,则称G是有限群(finite group), 否则称G是无限群 (infinite group).
Zp*的生成元a称为Z的一个模p元根 (primitive root).
近世代数课件 第7节 循环群
近世 代数
证明
(2) 只须证明：对任何正整数 r ( r≤n)， ar是G的生成元 n与r互质，即(n, r)=1.
充分性: n与r互质，即(n, r)=1 ar是G的生成元. 思路1： a) 欲证：ar是G的生成元，因此只需证得：|ar| = n. b) 欲证： |ar| = n ，令|ar| = k，因此只需证得：k | n，且n | k.
(另证)必要性: ar是G的生成元 n与r互质，即(n, r)=1. 思路： a) 欲证(n, r)=1，令(n, r)=d，因此只需证得d = 1. b) 欲证d = 1，只需证得：n | (n/d). c) 欲证n | (n/d)，已知|ar| = n，因此只需证得： (ar)n/d=e. 设ar是G的生成元，则 |ar| = n. 令r与n的最大公约数 为d，则存在正整数 t 使得 r = dt. 因此, |ar| 是n/d的因子，即 n整除n/d. 从而证明了d = 1.
借助于命题：整数r与n互质存在整数 u 和 v 使得ur+vn = 1.
设r与n互质，则存在整数 u 和 v 使得
ur + vn = 1
从而
a = aur+vn = (ar)u(an)v = (ar)u
这就推出ak∈G，ak = (ar)uk∈(ar)，即G(ar).
另一方面，显然有(ar)G. 从而G = (ar).
(3) 设G=3Z={3z | z∈Z}, G上的运算是普通加法. 那 么G只有两个生成元：3和3.
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近世 代数
循环群的子群
定理4 设G=(a)是循环群，则 (1) 循环群G的子群仍是循环群. (2) 若G=(a)是无限循环群，则G的子群除{e}以外都
群和循环群
(ab) 2 a 2b 2 , a, b G .
习题. 群G的元素a阶为12，则a8的阶是多少？
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作业
21
作业
习题：证明({晓聪、珂炜、睿江、天虎}, @)为群
@ 晓聪 珂炜 睿江 天虎 晓聪 晓聪 珂炜 睿江 天虎 珂炜 珂炜 睿江 天虎 晓聪 睿江 睿江 天虎 晓聪 珂炜 天虎 天虎 晓聪 珂炜 睿江
群可分为：有限群与无限群
模n的剩余类加法群、乘法群，n次对称群等为有限 群；一般线性群，特殊线性群，整数加群等为无限 群。
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1.2 群的性质-群的阶
定义1.5 设 G为一个群， a G ，如果存在正整 n n a 1 ，则称 a为有限阶元，否则称 数 ，使得 为无限阶元。当 a 为有限阶元时，称使得 a n 1 的最小正整数为元素 a 的阶，记为 | a | 。
计算机学院 付绍静讲师
第一章 群
一 群的定义
二 群的性质
三 正规子群与商群 四 群的同态与同构 五 置换群
上次课复习
定义1.3 设 G 是一个非空集合， 是 G 上的一个代数 运算，如果该运算满足如下三条性质： （1）结合律： a, b, c G,
(a b) c a (b c) （2）有单位元： e G, a G, e a a e a
例1 整数加群是有理数加群的子群；非零有理数乘 法群是非零实数乘法群的子群. 例2 特殊线性群是一般线性群的子群，即
SL(n, R) GL(n, R)
14
1.2 群的性质-子群
定理1.8 群G至少有两个子群：G本身；只包含单 位元的子集{e}，它们称为G的平凡子群，其他子 群为真子群。
问题 :
定理1.9
循环群的一些讨论
循环群的一些讨论姚艳【摘要】The cyclic group is a kind of inaportant group. According to the differences of the generator, the cyclic group is divided into two kinds：finite cyclic group and infinite cyclic group. For the two kinds of cyclic group, the uniqueness of the generator and some natures of subgroup were, discussed. The relations be- tween the cyclic groups by the homomorphism and isomorphism were established. Some methods are posed on the judgments of cyclic group at the end of the article.%循环群是一类很重要的群。
根据生成元阶的情况,循环群分成两类：有限循环群和无限循环群。
对于这两类循环群,主要分析生成元是否具有唯一性以及循环群子群的一些性质,利用同态和同构建立起循环群之间的关系,并推论出几个最基本的判断循环群的方法。
【期刊名称】《黑河学院学报》【年(卷),期】2012(003)001【总页数】3页(P120-122)【关键词】循环群;生成元;子群;阶数【作者】姚艳【作者单位】哈尔滨师范大学数学科学学院,黑龙江哈尔滨150080／黑河学院数学系,黑龙江黑河164300【正文语种】中文【中图分类】O152定义1设G为群，a∈G，如果G的每个元素都可以表示成元素a的某个方幂，即G={am|m∈Z}，则称G为循环群，记作G=(a)。
循环群证明
循环群证明循环群是一种重要的抽象数学概念，在代数学、密码学等领域有广泛的应用。
本文将简要介绍循环群的定义、性质和证明。
1. 循环群的定义循环群是一种特殊的群，定义如下：设G是一个群，a是G的一个元素，如果存在正整数n，使得a^n=1（其中1是G的单位元），则称a是G的一个生成元，G称为由a生成的群，记作<a>。
如果G可以由某个元素生成，则G称为循环群。
2. 循环群的性质循环群有一些重要的性质，如下所示：（1）循环群必定是阿贝尔群。
（2）如果G是有限群，a是G的生成元，则|<a>|=|G|。
（3）如果G是有限群，a是G的生成元，则对于任意b∈G，必存在正整数k，使得a^k=b。
（4）循环群是唯一确定的。
上述性质可以通过循环群的定义和群的基本性质进行证明。
3. 循环群证明下面我们分别对循环群的上述性质进行证明。
（1）循环群必定是阿贝尔群。
首先，因为循环群是由一个元素生成的，所以循环群中的任意两个元素都可以表示为a^k和a^l的形式（其中k、l是正整数）。
那么对于任意x、y∈<a>，有：xy=a^k a^l=a^(k+l)=a^l a^k=yx因此循环群是阿贝尔群。
（2）如果G是有限群，a是G的生成元，则|<a>|=|G|。
设G的阶为n，a是G的生成元。
显然，循环群<a>中的元素个数不超过n，即|<a>|≤n。
又因为a^0=1、a^1=a、a^2、…、a^(n-1)是G的n个不同元素，所以<a>中至少包含n个不同元素。
因此，|<a>|=n。
（3）如果G是有限群，a是G的生成元，则对于任意b∈G，必存在正整数k，使得a^k=b。
考虑集合{a^k|k∈N}，显然这个集合包含于G中。
如果存在b∈G，使得b不属于上述集合，则必存在最小正整数i，使得b=a^i。
因为a^i也生成G，所以a^i=a^k，于是b=a^(k-i)，即b属于上述集合中。
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例1 整数加群[Z, +],除单位元零元0外，每个元素都是 无限阶的.
例2 整数模 6 的剩余类加群 Z6, 计算每个元素的阶. 解： Z6= Z / (6) {0, 1, 2, 3, 4, 5} 因为 12=2, 22=4, 32=6=0, 所以元素2的阶是3， (2)= 3. 类似可得 (0)= 1，(1)= 6， (3)= 2， (4)= 3， (5)= 6.
x M , 有x pd r,0 r d 由于 M kd k 0，
由于d 为M的最小元，故r=0．所以 r x pd H ． H k d k 0,1,... kd k 0,1,... ，
由d的最小性可得，m Z , 使md n 故 H 0, d , 2d ,...,(m 1)d d , d / n
1.5 循环群
(1.5 Cyclic Group)
1.5.1 循环群(Cyclic Group)
循环群是一种代数结构特别简单，而在群论中颇有 代表性的群。 在前面我们曾讨论了一个群G的子集S生成的子群。 特别地，当S只含有一个元素，即S= {a}时，由S生成的 子群的构造特别简单，它的任意元素都是a的乘幂，这 样的群叫循环群。 Def：若一个群 G 是由其中的某个元素 a 生成的，即 G=〈a〉 则称G为循环群，而称a是G的生成元。
0,1,.....n 1，并约定它的 (2) G [Z/(n), +] 令 Z /(n) 每一元素的表达式唯一（又因为Ｇ =〈m〉无限， k1 k 2 , mk1 mk2 从而H=〈m〉），均为 k , k n
H km k Z m
0 令M k k H \ 0 ,k n 设 H Z /(n),且H 显然 M ，是自然集的子集，设M的最小元为d,
End
循环群是由一个元素生成的，由几个元素或一个子集 也可以生成一个子群。
def：设S是群G的一个非空子集，包含S的最小子群称 为S生成的子群，记作〈S〉 ，S称为它的生成元素
S a1 , a2 ...ak ai S, i Z , k 1,2,...
1
2
k
如果G =〈S〉，且任何S的真子集生成的子群均 不是G ，则称S是G的极小生成元素。 当G ＝n <∞（有限集）时，元素个数最小的 生成元集称为最小生成元素。
所以f是G → Z同构映射 G (Z, +) ． （2）设(a)= n，G=〈a〉=〈a1,a2, ,an〉 k : a k (G Z /(n)) 仿(1)不难证明 是G到Z/(n) 命 的双射． 且 (ak as ) (ak s ) k s k s (ak ) (as ) 保运算 所以 是G到Z/(n) 的同构映射 G [Z/(n), +].
证明:(1) 由Th1可知G (Z, +)，设H≤Z,若H≠{0}= {e} 令 M x x H且x 0 由于 x H x H，故 M 0 ，由自然数的良序 性知M有最小元，设为m． 于是，x M , 有x pm r,0 r m且r x pm M , 因而 M km k Z 由m的最小性得ｒ＝0，
2. x, y∈G , x≠y, x=a k1, y=a k2 k1≠ k2 f (x) ≠ f (y). （事实上，若k1=k2,则ak1-k2=a0与(a)= ∞ 矛盾） f单射 3. k∈Z ,则 x = ak ∈G , 使 f (x)= k f满射 4. x, y G, x a k1 , y a k2 xy a k1 k2 f ( xy) k1 k2 f ( x) f ( y) f保运算
注1.定理说明，从同构的意义上讲，循环群只有两类 Z和Z/(n). 注2.一般来说，对一个代数体系（代数结构）如果能够解 决其存在问题，数量问题和构造问题，那么这个代数体 系就清楚了．对循环群来说，上述三个基本问题都作了 肯定回答． 下面进一步研究循环群的子群性质 Th2: 循环群G =〈a〉的任意子群仍是循环群，且 （1）若G =〈a〉是无限循环群，则它的全部子群为 Hm=〈m〉, m=0,1…., 且除 {e} 外都是无限循环群． （2）若Ｇ =Hm=〈m〉, 则它的子群的阶是 n 的正因子， 全部子群为〈 〉和〈 〉 ，其中 d/n. d 0
下面给出循环群的构造定理，从同构的意义上，它 的结构是完全确定的． Th1.设G =〈a〉，则G的构造完全由a的阶确定: （1）若(a)= ∞ ，则G与整数加群同构: G (Z, +)，称G为无限循环群． （2）若(a)= n ，则G与模n同余加群同构： G [Z/(n), +]，称G为n阶循环群． 证明:(1) (a)= ∞ ,G =〈a〉 考虑f：ak →k , (G → Z) 1. x∈G , x=ak, f (x)=k ∈Z, 为G到Z的映射.
由循环群的定义容易得到：⑴ 〈a〉=〈a-1〉; ⑵ 如果G是n 阶循环群,则G={e,a,a2,…,an-1}; ⑶如果G是无 限阶循环群,则G={e,a,a-1,a2,a-2,…}. 例1.整数加群[Z, +] 显然，任意整数n都是1的倍数(乘幂)： n=1+1+1+…+1=1n，-1=(-1)1, 0=1+(-1). 所以，整数加群可以看作由1生成的。显然， 它也可以由（-1）生成，即 Z =〈1〉 =〈-1〉 例2.模 n 的剩余类加群 [Z/(n), +] 是一个 n 阶循环群， 1 是它的一个生成元，即 Z/(n) =〈 1 〉
例3. Klein四元群 (K4, ) 的=aa，c=ab 2. {a, b}的任何真子集的生成群均不是K4
K 4 a, b (a) (b) 2, ab ba
1.5.2 循环群的性质
首先给出元素的阶的概念 Def：设G是群，a∈G , 使 an=e 成立的最小整数n称 为a的阶。记作 (a)= n. 若没有这样的整数存在，称a的阶无限(a)= ∞ 显然，单位元的阶是1: e1=e