高考数学(理科)异构异模复习对点练：2-4-1二次函数

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数学(北师大版)必修一教学设计：2-4-1二次函数的图像 Word版含答案

教学设计§4二次函数性质的再研究4．1二次函数的图像整体设计教学分析二次函数是作为全面介绍函数的第一个例子出现的．本节教材从三个递进的问题开始：1.解决二次函数的形状问题；2.解决其移动问题；3.解决配方问题．在教师引导和学生动手的基础上，围绕三个问题，每走一步都抽象概括，再明晰一次．这部分教材，信息技术大有用武之地．可以充分利用信息技术的动态特点，画出各种曲线族，把变化极其形象地表现出来，以便使学生掌握二次函数中各参数的变化对图像的影响．三维目标理解在二次函数的图像中a，b，c，h，k的作用，掌握研究二次函数移动的方法，能够熟练地对二次函数图像的上下左右移动，并能迁移到其他函数，培养学生变换作图的能力．重点难点教学重点：二次函数图像的变换．教学难点：将二次函数图像的上下左右移动迁移到其他函数．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在初中，我们已经学过了二次函数，知道其图像为抛物线，并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征，本节课进一步研究一般的二次函数的性质，引出课题．思路2.高考试题中，有关二次函数的题目经常出现，二次函数是高中数学最重要的函数，因此有必要对二次函数的图像和性质进行深入学习，教师引出课题．推进新课新知探究提出问题①请回顾二次函数的定义.②二次函数的解析式有几种形式？③二次函数的图像是什么形状？如何快速画出其草图？讨论结果①一般地，函数y＝ax2＋bx＋c( a，b，c为常数且a≠0)叫作二次函数．其中自变量的最高次数是2，自变量取值范围即函数的定义域是全体实数．②有三种形式：一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；零点式：y＝a (x－x1)(x－x2)(a≠0)．注意：任意二次函数的解析式均有一般式和顶点式，但是不一定有零点式．当且仅当二次函数的图像与x轴相交时，二次函数的解析式才有零点式．③二次函数的图像是抛物线．画抛物线的草图时，通常根据“三点一线一开口”来画．“三点”是指：顶点，抛物线与x轴的两个交点；“一线”是指对称轴这条直线，“一开口”是指抛物线的开口方向，根据抛物线的这些特征描出其草图．如果抛物线与x轴仅有一个交点或没有交点时，可以先在抛物线上任取一点(除顶点)，再作出此点关于抛物线对称轴的对称点，这两个点和顶点合起来组成“三点”．提出问题①画出y＝x2的图像．并填写表1.表1何在图像上表现的？③如何由y＝x2的图像得到y＝2x2的图像？④如何由函数y＝f(x)的图像得到函数y＝Af(x)(A＞0，A≠1)的图像？讨论结果：①如图1是y＝x2的图像，图1如表2为所填表格：表2图2所示，就是把AB 伸长为原来的2倍，即AC 的长度，得到当x ＝1时y ＝2x 2对应的值．图2 图3③将y ＝x 2的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的2倍得到y ＝2x 2的图像．④将y ＝Af (x )的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的A (A ＞1)倍或缩短为原来的A (0＜A ＜1)倍得到y ＝Af (x )的图像．提出问题①在同一坐标系中画出y ＝2x 2，y ＝2(x ＋1)2，y ＝2(x ＋1)2＋3的图像，观察图像，如何由y ＝2x 2的图像得到y ＝2(x ＋1)2＋3的图像？②如何由y ＝ax 2的图像得到y ＝a (x ＋h )2＋k (h ≠0，k ≠0)的图像？ ③如何由y ＝f (x )的图像得到y ＝f (x ＋h )＋k (h ≠0，k ≠0)的图像？ ④由y ＝ax 2的图像如何平移得到y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像？讨论结果：①y ＝2x 2，y ＝2(x ＋1)2，y ＝2(x ＋1)2＋3的图像，如图4.图4观察图4，得把y ＝2x 2的图像向左平移一个单位长度得y ＝2(x ＋1)2的图像，再把y ＝2(x ＋1)2的图像向上平移3个单位得y ＝2(x ＋1)2＋3的图像．②把y ＝ax 2的图像向左(h ＞0)或向右(h ＜0)平移|h |个单位长度得y ＝a (x ＋h )2的图像，再把y ＝a (x ＋h )2的图像向上(k ＞0)或向下(k ＜0)平移|k |个单位得y ＝a (x ＋h )2＋k 的图像．③把y ＝f (x )的图像向左(h ＞0)或向右(h ＜0)平移|h |个单位长度得y ＝f (x ＋h )的图像，再把y ＝f (x ＋h )的图像向上(k ＞0)或向下(k ＜0)平移|k |个单位得y ＝f (x ＋h )＋k 的图像．④一般地，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可通过配方得到它的恒等形式y ＝a (x ＋h )2＋k ，从而就可以知道由y ＝ax 2的图像如何平移得到y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像．提出问题①二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，h，k对函数的图像有何影响？②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，确定函数图像开口大小及方向的参数是什么？确定函数图像位置的参数是什么？③写出一个开口向下，顶点为(－3，1)的二次函数的解析式，并画出其图像.讨论结果：①h，k只改变函数图像的顶点位置，不改变图像形状．②确定函数图像开口大小及方向的参数是a，确定函数图像位置的参数是a，b，c.③例如y＝－(x＋3)2＋1.其图像如图5所示，图5应用示例例1 二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)的解析式和f(x)图像的顶点，写出函数f(x)的解析式；(1)函数g(x)＝x2，f(x)图像的顶点是(4，－7)；(2)函数g(x)＝－2(x＋1)2，f(x)图像的顶点是(－3,2)．活动：学生思考确定二次函数的开口大小和方向的参数，以及二次函数解析式的顶点式．解：如果二次函数的图像与y＝ax2的图像开口大小相同，开口方向也相同，顶点坐标是(－h，k)，则其解析式为y＝a(x＋h)2＋k，(1)因为f(x)与g(x)＝x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，f(x)图像的顶点是(4，－7)，所以f(x)＝(x－4)2－7＝x2－8x＋9；(2)因为f(x)与g(x)＝－2(x＋1)2的图像开口大小相同，开口方向也相同，g(x)＝－2(x＋1)2又与y＝－2x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，所以f(x)与y＝－2x2的图像开口大小也相同，开口方向也相同．又因为f(x)图像的顶点是(－3,2)，所以f(x)＝－2(x＋3)2＋2＝－2x2－12x－16.点评：本题主要考查二次函数的解析式、其图像和性质，以及数形结合的能力．已知二次函数的顶点坐标求其解析式时，常设二次函数的顶点式．变式训练1．函数y＝2x2＋4x－1的对称轴和顶点分别是()．A ．x ＝－2，(－2，－1)B ．x ＝2，(－2，－1)C ．x ＝－1，(－1，－3)D ．x ＝1，(－2,3)解析：由y ＝2x 2＋4x －1＝2(x ＋1)2－3得对称轴是x ＝－1，顶点是(－1，－3)．答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |2x ＋3|，x 2，x ，x ∈(－6，－1)，x ∈[－1，1]，x ∈[1，6]，则f (2)等于( )．A ．2 2B ．2C ． 2D ．无法确定解析：∵2∈[1,6]，∴f (2)＝ 2. 答案：C3．将函数y ＝x 2－2x 的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得函数解析式为( )．A ．y ＝x 2＋6x ＋7B ．y ＝x 2－6x ＋7C ．y ＝x 2＋2x －1D ．y ＝x 2－2x ＋1解析：所得解析式为y ＝(x －2)2－2(x －2)－1＝x 2－6x ＋7.答案：B例2 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到？分析：利用题设条件，再根据根与系数的关系列方程并解出抛物线方程的系数，之后利用二次函数图像的平移规律得到答案．解：由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开，得y ＝－3x 2＋6x －3＋k ，由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k2，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，得4－2(3－k )3＝269.解得k ＝43.所以该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.点评：本题考查利用二次函数的知识解决问题．函数图像的平移会对解析式产生影响，但函数图像中的某些特征不会产生变化．我们要抓住变化的关键，对函数解析式中变化的系数进行讨论．变式训练如果把函数y ＝ f (x )的图像平移，可以使图像上的点P (1,0)变成Q (2,2)，则函数y ＝ f (x )的图像经过此种变换后所对应的函数为( )．A ．y ＝f (x －1)＋2B ．y ＝f (x －1)－2C ．y ＝f (x ＋1)＋2D ．y ＝f (x ＋1)－2解析：点P (1,0)变成Q (2,2)可以看成将点P (1,0)向右平移一个单位，再向上平移2个单位得到点Q (2,2)，则将函数y ＝ f (x )的图像向右平移一个单位，再向上平移2个单位得函数y ＝ f (x －1)＋2的图像．答案：A知能训练1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点坐标为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)，则( )．A ．a ＝1，b ＝－4，c ＝－11B ．a ＝3，b ＝12，c ＝11C ．a ＝3，b ＝－6，c ＝11D ． a ＝3，b ＝－12，c ＝11解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝2，4ac －b24a ＝－1，11＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－12，c ＝11.答案：D2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x 2＋bx ＋c ，x >0，x ≤0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝__________，关于x 的方程f (x )＝ x 的解的个数为__________．解析：∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－4)2－4b ＋c ＝c ，(－2)2－2b ＋c ＝－2.解得b ＝4，c ＝2，画出函数y ＝f (x )，y ＝x 的图像，它们的图像有3个交点，故关于x 的方程f (x )＝ x 有3个解．答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x 2＋4x ＋2，x >0，x ≤033．已知二次函数f (x )的顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f (x )＝__________. 解析：设f (x )＝a (x －1)2－2，因为过点(2,4)，所以有a (2－1)2－2＝4，得a ＝6. 所以f (x )＝6(x －1)2－2＝6x 2－12x ＋4. 答案：6x 2－12x ＋4拓展提升问题：两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图像只可能是图6中的( )．图6解析：这是一道考查二次函数解析式中a ，b ，c 的性质与函数图像特征的相关题目．由于f (x )，g (x )图像的对称轴方程分别是x ＝－b 2a ，x ＝－a 2b ，且－b 2a 与－a2b 同号，即它们的对称轴位于y 轴的同一侧，由此排除A ，B ；又由C ，D 中给出的图像可断定它们开口方向相反，故ab ＜0.于是－b 2a ＞0，－a2b＞0，即它们的对称轴都位于y 轴右侧，排除C.答案：D课堂小结本节学习了：(1)二次函数的解析式及其求法． (2)变换法画二次函数的图像．作业习题2—4A组2、3、4.设计感想本节课的教学设计中，主要涉及图像的移动，“形”十分突出，因此教师一定要注意用好“形”，但是，又不能仅仅满足于对“形”的认识，教材还设置了“抽象概括”，意在从形出发，然后升华为对一般的数的认识．备课资料函数图像的变换函数的变换，教材中给出的实际是函数的平移变换，而变换还可以有对称变换、放缩变换等．所谓对称变换，是指对于两个函数y＝f(x)和y＝g(x)，如果对于定义域内的所有x都有f(x)＝g(－x)，那么它们的图像关于y轴对称，如果f(x)＝－g(x)，那么它们的图像关于x轴对称，如果f(x)＝－g(－x)，那么它们的图像关于原点O成中心对称，则称其中一个函数由另一个函数经对称变换而得到．所谓放缩变换，是指对于两个函数y＝f(x)和y＝g(x)，如果对于定义域内的所有x都有f(x)＝kg(x)，那么函数y＝f(x)的图像由函数y＝g(x)的图像在y轴方向上扩大a倍，如果f(x)＝g(kx)，那么函数y＝f(x)的图像由函数y＝g(x)的图像在x轴方向上压缩a倍，则称其中一个函数由另一个函数经放缩变换而得到．(设计者张新军)。

二次函数经典例题及解答

定义
一般形式为$y = ax^2 + bx + c$ （$a neq 0$）的函数称为二次函数。
图像特征
二次函数的图像是一条抛物线，开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。
对称轴与顶点坐标求解
对称轴
对于一般形式的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。
05
当$-2 leq x < 1$时，由$a geq frac{x^2 + 3}{x - 1}$恒成立，得$a geq (frac{x^2 + 3}{x - 1})_{max}$。
03
当$x = 1$时，不等式恒成立，$a in R$；
06
综合以上情况，可求得$a$的取值范围。
转化思想在恒成立问题中运用
对称轴和顶点坐标公式记忆错误。避免策略
通过多做练习加深记忆，同时理解公式的推导过程。
判别式 $Delta$ 使用不当，导致…
正确理解判别式的含义和使用方法，结合二次函数的图像进行分析。
忽略二次函数图像与性质的综合运用。避免策略
在解题时注重数形结合，充分利用二次函数的图像和性质进行分析和求解。
拓展延伸：高阶导数在二次函数研究中的应用
第四步
求极限。根据单调性，求出开区间上的极限值，即为最值。
含参数最值问题处理方法
第一步
确定参数范围。根据题目条件，确定参数的取值范围。
01
第三步
求导数。对新函数进行求导，得到导函数。
03
第五步
判断单调性。根据二次函数的开口方向和临界点的位置，判断新函数在参数范围内的单

解析高考数学二次函数题型

解析高考数学二次函数题型二次函数是高中数学中的重要内容，也是高考中不可避免的考点之一。

在二次函数中，最常见的要素是a、b、c，分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。

掌握这些基本知识后，就可以开始解析高考数学中的二次函数题型。

一、基础题型1.给定二次函数y = x² - 4x + 3，求它的顶点坐标。

解析：顶点的横坐标为x = -b/2a，带入函数得到y = 1。

因此，该二次函数的顶点坐标为(-2,1)。

2. 给定二次函数y = x² - 4x + 3，求它的对称轴方程。

解析：对称轴方程为x = -b/2a，带入函数得到x = 2。

因此，该二次函数的对称轴方程为x = 2。

3. 给定二次函数y = x² - 2x - 3，求它的零点并画出函数图像。

解析：零点为x1 = -1、x2 = 3。

画出函数图像如下：(图片暂缺)二、高级题型1. 给定二次函数y = ax² + bx + c，其中a>0，若当x = 1时，y = 0；当x = 2时，y = 1，则求a、b、c的值。

解析：根据给定条件可列出如下方程组：a +b +c = 04a + 2b + c = 1a +b +c = 0解方程得到a = 1/2、b = -3/2、c = 1/2。

因此，该二次函数的表达式为y = 1/2x² - 3/2x + 1/2。

2. 给定二次函数y = x² + bx + c，其中c ≠ 0，若它的顶点在y轴上，则求b、c的值。

解析：由题可得该二次函数的顶点坐标为(0, c)。

又因为顶点在y轴上，所以对称轴方程为x = 0，即-b/2 = 0，解得b = 0。

代入函数得到c ≠ 0。

因此，二次函数的表达式为y = x² + c。

3. 给定二次函数y = ax² + bx + c，其中a>0，且该函数图像经过点(2,5)，交x轴于点(3,0)和(k,0)，求k的值。

2019-2020学年高中数学北师大版必修1练习：2.4.1 二次函数的图像 Word版含解析

4.1二次函数的图像课后篇巩固提升1.将函数y=x2-2x的图像向右平移2个单位,再向下平移1个单位后所得图像的解析式为()A.y=(x+1)2-2B.y=(x-3)2C.y=(x-3)2-2D.y=(x-3)2+2解析:函数y=x2-2x=(x-1)2-1的图像函数y=(x-3)2-1的图像函数y=(x-3)2-2的图像.故选C.答案:C2.已知二次函数y=x2+bx+c图像的顶点是(-1,-3),则b与c的值是()A.b=2,c=2B.b=2,c=-2C.b=-2,c=2D.b=-2,c=-2解析:顶点横坐标x=-=-1,得b=2.纵坐标y=-=-3,得c=-2.答案:B3.已知y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,则点M(a,bc)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由题图可知a>0,->0,c<0,∴b<0,∴bc>0.故点M(a,bc)在第一象限.答案:A4.已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图像是()解析:若a>0,则y=ax+c为增函数,y=ax2+bx+c的图像开口向上,故排除A;若a<0,则排除C;若c>0,可知B中图像相矛盾;D中图像相吻合.综上知,D中图像是正确的.答案:D5.导学号85104037二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,下列结论:①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a,其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1解析:由图像可得,当x=1时,y=a+b+c<0,当x=-1时,y=a-b+c>0.∵-=-1,∴b=2a.由b=2a可知,a,b同号,∴ab>0.又∵f(0)=c>0,∴abc>0.答案:A6.函数y=x2,y=x2,y=2x2的图像大致如右图所示,则图中从里向外的三条抛物线对应的函数依次是.解析:根据“二次项的系数的绝对值越大,抛物线开口越小,抛物线就越接近y轴;二次项系数的绝对值越小,抛物线的开口就越大,抛物线就越远离y轴”这一规律来判定,易知对应的函数由里向外依次是y=2x2,y=x2,y=x2.答案:y=2x2,y=x2,y=x27.已知二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图像全部在x轴上方,则m的取值范围是.解析:要使函数图像全部在x轴上方,则m需满足-解不等式组得m>.答案:m>8.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R),若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),则f(-8)=.解析:因为f(-1)=0,所以a-b+1=0.因为f(x)的值域为[0,+∞),所以-所以b2-4(b-1)=0.解得b=2,a=1.所以f(x)=(x+1)2,所以f(-8)=(-8+1)2=49.答案:499.已知二次函数的图像如图,求其解析式及顶点M的坐标.解:设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).由图像过点A(-1,0),B(-3,0),C(0,-3),得---解得---所以二次函数的解析式为y=-x2-4x-3,其顶点为M(-2,1).10.导学号85104038(拓展探究)抛物线经过点(2,-3),它与x轴交点的横坐标是-1和3.(1)求出抛物线的解析式;(2)用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标;(3)画出草图;(4)观察图像,x取何值时,函数值y小于零?x取何值时,y随x的增大而减小?解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),把(2,-3)代入,得-3=a(2+1)(2-3),∴a=1.∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.(2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4.由此可知抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-4).(3)抛物线的草图如图所示.(4)由图像可知,当x∈(-1,3)时,函数值y小于零;当x∈(-∞,1]时,y随x的增大而减小.。

高考数学异构异模复习第十四章数系的扩充与复数的引入14.2复数的运算课件文

二、同步听课法
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记下来，到课后再慢慢弄懂它。
法运算及 i 的运算规律为命题热点．
命题法复数的四则运算
典例
(1)下面是关于复数 z＝－12＋i的四个命题：
p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，
p3：z 的共轭复数为 1＋i，p4：z 的虚部为－1，
其中的真命题为( )
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p2，p4 D．p3，p4
(2)已知复数
z＝1－3＋3ii2，－z 是
5 复数的除法运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－＋add2 i(c ＋di≠0)，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化，以简化运算．
第十四章数系的扩充与复数的引入
考点二复数的运算
撬点·基础点重难点
1 复数的加法
(1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两复数，那么
z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)I
.
(2)运算律：交换律、结合律．
→→
→
→→
(3)几何意义：复数 z1＋z2 是以OZ1，知复数

二次函数习题及答案

二次函数习题及答案二次函数习题及答案二次函数是高中数学中的一个重要概念，也是数学建模中常用的数学工具之一。

它的形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

在解决实际问题时，我们经常需要运用二次函数来进行建模和分析。

下面，我将给大家提供一些常见的二次函数习题及其答案，供大家参考和练习。

1. 习题一：已知二次函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求解以下问题：a) 函数的顶点坐标是多少？b) 函数的对称轴方程是什么？c) 函数的图像是否开口向上？d) 函数的零点是多少？答案：a) 函数的顶点坐标为（3/4, 7/8）。

b) 函数的对称轴方程为x = 3/4。

c) 函数的图像开口向上。

d) 函数的零点为x = 1和x = 1/2。

2. 习题二：已知二次函数f(x) = -x^2 + 4x - 3，求解以下问题：a) 函数的顶点坐标是多少？b) 函数的对称轴方程是什么？c) 函数的图像是否开口向下？d) 函数的零点是多少？答案：a) 函数的顶点坐标为（2, -3）。

b) 函数的对称轴方程为x = 2。

c) 函数的图像开口向下。

d) 函数的零点为x = 1和x = 3。

3. 习题三：已知二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求解以下问题：a) 函数的顶点坐标是多少？b) 函数的对称轴方程是什么？c) 函数的图像是否开口向上？d) 函数的零点是多少？答案：a) 函数的顶点坐标为（-1, 0）。

b) 函数的对称轴方程为x = -1。

c) 函数的图像开口向上。

d) 函数的零点为x = -1。

通过以上三个习题的解答，我们可以看出，解决二次函数问题需要掌握一些基本的概念和技巧。

首先，顶点坐标可以通过求解二次函数的导数为0的点来得到。

其次，对称轴方程可以通过求解二次函数的x坐标的平均值来得到。

此外，通过判断二次函数的系数a的正负可以确定图像的开口方向，正数表示开口向上，负数表示开口向下。

二次函数练习题及答案(解析版)

二次函数练习题及答案(解析版)一、选择题：1 下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )2 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A (1，-4) B(-1，2) C (1，2) D(0，3)23 抛物线y=2(x-3)的顶点在( )A 第一象限B 第二象限C x轴上D y轴上4 抛物线的对称轴是( )A x=-2 Bx=2 C x=-4 D x=45 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )A ab>0，c>0B ab>0，c<0C ab<0，c>0D ab<0，c<06 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( )A 一B 二C 三D 四7 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交 x 轴于点A(m，0) 和点B ，且m>4，那么AB 的长是( )A 4+mB mC 2m-8D 8-2m8 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( )9 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1(x1，y 1) ，P 2(x2，y 2) 是抛物线上的点，P3(x3，y 3) 是直线上的点，且-1A y110 把抛物线物线的函数关系式是( ) AC 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛B D二、填空题：11 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________12 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________13 若抛物线y=x2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_________14 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0) ，B(3，0) 两点，则这条抛物线的解析式为_____________15 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，且△ABC 是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________16 在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度v 0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g 是常数，通常取10m/s2) 若v 0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m17 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3) 的抛物线的解析式为______________18 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y 1的值是_________三、解答题：19 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4) 和B(4，0) ，(1)求此二次函数图象上点A 关于对称轴对称的点A ′的坐标; (2)求此二次函数的解析式;20 在直角坐标平面内，点 O 为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x 轴于点A(x1，0) 、B(x2，0) ，且(x1+1)(x2+1)=-8 (1)求二次函数解析式;(2)将上述二次函数图象沿x 轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y 轴的交点为C ，顶点为P ，求△POC 的面积21 已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为(-1，0) ，点C(0，5) ，另抛物线经过点(1，8) ，M 为它的顶点(1)求抛物线的解析式; (2)求△MCB 的面积S △MCB22 某商店销售一种商品，每件的进价为250元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是1350元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件请你分析，销售单价多少时，可以获利最大二次函数练习题参考答案与解析一、选择题1 考点：二次函数概念选A2 考点：求二次函数的顶点坐标解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k) ，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2) ，答案选C3 考点：二次函数的图象特点，顶点坐标解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0) ，所以顶点在x 轴上，答案选C4 考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B5 考点：二次函数的`图象特征解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c) 点，由图知，该点在x 轴上方，答案选C6 考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c) 点，由图知，该点在x 轴上方，在第四象限，答案选D7 考点：二次函数的图象特征解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象的顶点P 的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x 轴于点D ，所以A 、B 两点关于对称轴对称，因为点A(m，0) ，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C8 考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y 轴左侧，交坐标轴于(0，0) 点答案选C9 考点：一次函数、二次函数概念图象及性质解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1-1时，由图象知，y 随x 的增大而减小，所以y 210 考点：二次函数图象的变化抛物线平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到的图象向左答案选C二、填空题11 考点：二次函数性质解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程答案x=112 考点：利用配方法变形二次函数解析式解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2答案y=(x-1)2+213 考点：二次函数与一元二次方程关系解析：二次函数y=x2-2x-3与x 轴交点A 、B 的横坐标为一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，求得x 1=-1，x 2=3，则AB=|x2-x 1|=4答案为414 考点：求二次函数解析式解析：因为抛物线经过A(-1，0) ，B(3，0) 两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-315 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一解析：需满足抛物线与x 轴交于两点，与y 轴有交点，及△ABC 是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-116 考点：二次函数的性质，求最大值解析：直接代入公式，答案：717 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一解析：如：y=x2-4x+318 考点：二次函数的概念性质，求值三、解答题19 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)20 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式解析：(1)由已知x 1，x 2是x 2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x1+1)(x2+1)=-8 ∴x 1x 2+(x1+x2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5 ∴y=x2-9为所求 (2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5) ，P(2，-9)21 解： (1)依题意：(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x 1=5，x 2=-1 ∴B(5，0)由，得M(2，9)作ME ⊥y 轴于点E ，则可得S △MCB =1522 思路点拨：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式：总利润=单个商品的利润×销售量要想获得最大利润，并不是单独提高单个商品的利润或仅大幅提高销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最大因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全可以找出总利润与商品的价格之间的关系，利用这个等式寻找出所求的问题，这里我们不妨设每件商品降价x 元，商品的售价就是(135-x)元了单个的商品的利润是(135-x-25)这时商品的销售量是(500+200x)总利润可设为y 元利用上面的等量关式，可得到y 与x 的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润解：设销售单价为降价x 元顶点坐标为(425，91125)即当每件商品降价425元，即售价为135-425=925时，可取得最大利润91125元数学速算的技巧1、“凑整”先算1.计算：(1)24+44+56 (2)53+36+47解：(1)24+44+56=24+(44+56)=24+100=124因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来。

二次函数复习题与答案新

二次函数测试一、选择题（将唯一正确的答案填在题后括号）1．抛物线y =－2(x －1)2－3与y 轴的交点纵坐标为（）A.－3B.－4C.－5 Ｄ.－12. 在抛物线y ＝x 2－4上的一个点是（）A.（4，4）B.（1，一4）C.（2，0）D.（0，4）3．抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为（）A . b=2， c=2 B. b=2，c=0C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=24．把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式 ( )A.()22412+--=x yB. ()42412+-=x yC.()42412++-=x yD. 321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y5. 二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（） A ．（-1，8） B ．（1，8） C ．（-1，2）D ．（1，-4）6.抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位7．如图，已知正方形ABCD 的边长为4 ，E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ， EF 交DC 于F , 设BE =x ，FC =y ，则当点E 从点B 运动到点C 时,y 关于x 的函数图象是( )．8．在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为252s t t =+，则当物体经过的路程是88米时，该物体所经过的时间为（） A.2秒B. 4秒C.6秒D. 8秒9．如图，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE =BF =CG =DH ，设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是（）x y xyx yxy10．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a>21；④b<1．其中正确的结论是（）A.①②B.②③C.②④D.③④11. 如图，两条抛物线12121+-=xy、12122--=xy与分别经过点()0,2-,()0,2且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（）Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．412、如图为抛物线2y ax bx c=++的图像，A.B.C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是 ( )A．a＋b=－1 B．a－b=－1 C．b<2a D．ac<0二、填空题13．已知函数y=ax2+bx+c，当x=3时，函数的最大值为4，当x=0时，y=－14，则函数关系式____．14．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式．15.已知实数yx,满足yxyxx+=-++则,0332的最大值为。

2024年新高一数学初升高衔接《二次函数与一元二次方程、不等式》含答案解析

第08讲二次函数与一元二次方程、不等式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系3．掌握一元二次不等式的实际应用；4．会解一元二次不等式中的恒成立问题.知识点1一元二次不等式1、定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）．3、一元二次不等式的解与解集使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解；一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集；将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形．知识点2二次函数与一元二次方程、不等式的关系1、二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点．2、三个“二次”之间的关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集．知识点3一元二次不等式的解法1、解一元二次不等式的一般步骤（1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值；（2）求根：计算判别式∆，求出相应方程的实数根；①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）；②0∆=时，求根abx x 221-==；③0∆<时，方程无解．（3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图；（4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集．口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间2、含参一元二次不等式的讨论依据（1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；（2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；（3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集．考点一：解不含参的一元二次不等式例1．（23-24高一上·北京·期中）不等式2230x x --<的解集为（）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．(1)(3)∞∞--⋃+，，D ．(3)(1)∞∞--⋃+，，【变式1-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）不等式29124x x -≤-的解集为（）A ．RB ．∅C ．3|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭D ．3|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭【变式1-2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）不等式()()231x x x x +<-+的解集为（）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【变式1-3】（23-24高一上·广东广州·期中）下列不等式解集为R 的是（）A ．23710x x -≤B ．21122x x -+-≤C ．()()230x x +->D ．223x x -+<-考点二：解含参一元二次不等式例2.（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若01a <<，则不等式1(0)(x a x a --<的解集是（）A ．1}|{x a x a<<或C ．1{|}x x a a <<D ．1{|}x x a x a><或【变式2-1】（23-24高一下·广东潮州·开学考试）（多选）对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()(2)0x a x --<的解集可能为（）A ．(2)()a -∞+∞ ,,B ．()(2)a -∞+∞ ,,C ．(),2a D ．∅【变式2-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）解关于x 的不等式：()2330x m x m --->.【变式2-3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）当1a <时，解关于x 的不等式(1)(1)0ax x --<.考点三：由一元二次不等式解集求参例3.（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于x 的不等式2102x mx n -++>的解集为{}|12x x -<<，则m n +的值为（）A ．12-B ．32-C ．32D ．12【变式3-1】（23-24高一上·云南昭通·期末）不等式230ax bx +-<的解集是()(),13,-∞⋃+∞，则b a -的值是（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知不等式20ax bx c ++<的解集为{|13}x x x <->或,则下列结论错误的是（）A ．0a C ．0a b c ++>D ．20cx bx a -+<的解集为1{|1}3x x x <->或【变式3-3】（23-24高一下·云南·月考）若关于x 的不等式()210x m x m -++<的解集中恰有三个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．[)(]2,14,5--⋃C ．()()3,14,5-⋃D ．[]3,5-考点四：三个“二次”关系的应用例4.（23-24高一上·湖南长沙·月考）不等式20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，则函数2y ax bx c =-+的图象大致为（）A ．B ．C．D．【变式4-1】（23-24高一上·江苏苏州·月考）（多选）关于x 的不等式20ax bx c ++>，下列说法不正确的是（）A ．若关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{1x x >或}3x <-，则二次函数2y ax bx c =++的零点为()30A -,，()10B ,B ．若关于x 的不等式20ax bx c ++<解集为{3x x >或}1x <-，则20cx bx a ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>解集为R ，则0a >且240b ac -<D ．若关于x 的不等式()200ax bx c abc ++>≠的解集与关于x 的二次不等式()211111100a x b x c a b c ++>≠的解集相同都是R ，则111a b c a b c ==【变式4-2】（22-23高一上·宁夏石嘴山·期中）关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为()12,x x ，且221215x x -=，则实数=a ．【变式4-3】（23-24高一上·山西临汾·月考）已知二次函数()211y x a x a =----的图象与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点.(1)当3a =时，求2212x x +的值；(2)求关于x 的不等式10y +≥的解集.考点五：一元二次不等式恒成立与有解例5.（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）（多选）若对于R x ∀∈，都有220x mx m -+≥，则m 的值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【变式5-1】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的()0,x ∈+∞，2210x mx -+>恒成立，则m 的取值范围为（）A ．[)1,+∞B ．()1,1-C ．(],1-∞D ．(),1-∞【变式5-2】（23-24高一下·河北保定·开学考试）（多选）若关于x 的不等式2420ax x -+<有实数解，则a 的值可能为（）A ．0B ．3C ．1D ．2-【变式5-3】（23-24高一上·陕西商洛·期中）若关于x 的不等式240x mx +->在区间[]2,4上有解，则实数m 的取值范围为（）A ．()3,-+∞B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．(),3-∞-考点六：一元二次不等式的实际应用例6.（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x 元（110x ≤≤，x ∈Z ），则被租出的客房会减少15x 套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（）A ．250元B ．260元C ．270元D ．280元【变式6-1】（23-24高一上·陕西·月考）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x 元（120x ≤≤，x ∈Z ），则被租出的礼服会减少10x 套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（）A ．220元B ．240元C ．250元D ．280元【变式6-2】（23-24高一上·北京·月考）某市有块三角形荒地，如图ABC 所示，90,200A AB AC ∠=== （单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地ADEF ，其中,,D E F点分别在线段,,AB BC CA 上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则AD 的长度（单位：米）范围是（）A ．[]40,160B ．[]50,150C ．[]55,145D ．[]60,140【变式6-3】（23-24高一上·陕西宝鸡·月考）如图，在长为8m ，宽为6m 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？一、单选题1．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）不等式2450x x --+<的解集是（）A ．(5,1)-B ．(1,5)-C ．(,5)(1,)-∞-+∞ D ．(,1)(5,)-∞-+∞ 2．（23-24高一上·河南商丘·期中）不等式2230x x --<的解集是（）A ．{|1x x <-或3}2x >B ．3|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{}|1x x <-3．（23-24高一上·河南濮阳·月考）已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c +-<的解集为{}|35x x <<，则不等式20cx bx a +->的解集为（）A ．15x x ⎧<⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭B ．13x x ⎧<-⎨⎩或15x ⎫>-⎬⎭C ．1153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．1135x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭4．（23-24高一上·甘肃·期末）若关于x 的不等式()222800x ax a a --<>的解集为()12,x x ，且221220x x +=，则=a （）A ．2B ．1C ．D5．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）若关于x 的不等式()2220x a x a ---<的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值集合是（）A ．{56}aa <≤∣B ．{65}aa -≤<-∣C ．{21aa -<≤-∣或56}a ≤<D ．{65aa -≤<-∣或12}a <≤6．（23-24高一上·江苏南京·期末）设a 为实数，则关于x 的不等式(2)(24)0ax x --<的解集不可能是（）A ．2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2(,2)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(2,)+∞D ．22,a ⎛⎫⎪⎝⎭二、多选题7．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列不等式的解集不是R 的是（）A ．210x x -++≥B ．20x ->C ．26100x x ++>D ．22340x x -+<8．（23-24高一上·湖北·月考）若不等式20ax bx c -+<的解集是{21}xx -<<∣，则下列说法正确的是（）A ．0b <且0c 的两根分别为2和4，则不等式20ax bx c ++<的解集为．10．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若关于x 的不等式210mx x ++>的解集为R ，则实数m 的取值范围为.11．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数x y ，满足2x y +=，若211m m x y+>-恒成立，则实数m 的取值范围为.四、解答题12．（23-24高一上·河南濮阳·月考）解下列一元二次不等式：(1)23710x x -≤；(2)2104x x -+<．13．（23-24高一上·江苏镇江·期中）（1）解关于x 的不等式()210x m x m -++<.（2）若对任意的[]()21,2,10x x m x m ∈-++≤恒成立，求实数m 的取值范围.第08讲二次函数与一元二次方程、不等式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系3．掌握一元二次不等式的实际应用；4．会解一元二次不等式中的恒成立问题.知识点1一元二次不等式1、定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）．3、一元二次不等式的解与解集使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解；一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集；将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形．知识点2二次函数与一元二次方程、不等式的关系1、二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点．2、三个“二次”之间的关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集．知识点3一元二次不等式的解法1、解一元二次不等式的一般步骤（1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值；（2）求根：计算判别式∆，求出相应方程的实数根；①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）；②0∆=时，求根abx x 221-==；③0∆<时，方程无解．（3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图；（4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集．口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间2、含参一元二次不等式的讨论依据（1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；（2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；（3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集．考点一：解不含参的一元二次不等式例1．（23-24高一上·北京·期中）不等式2230x x --<的解集为（）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．(1)(3)∞∞--⋃+，，D ．(3)(1)∞∞--⋃+，，【答案】A【解析】不等式2230x x --<，即()()130x x +-<，解得13x -<<，所以不等式2230x x --<的解集为()1,3-.故选：A【变式1-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）不等式29124x x -≤-的解集为（）A ．RB ．∅C ．3|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭D ．3|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】由29124x x -≤-，得241290x x -+≤，得2(23)0x -≤，解得32x =，所以不等式的解集为3|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，故选：C【变式1-2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）不等式()()231x x x x +<-+的解集为（）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】不等式()()231x x x x +<-+，化为2210x x --<，即(21)(1)0x x +-<，解得112x -<<，所以不等式()()231x x x x +<-+的解集为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A【变式1-3】（23-24高一上·广东广州·期中）下列不等式解集为R 的是（）A ．23710x x -≤B ．211022x x -+-≤C ．()()230x x +->D ．223x x -+<-【答案】B【解析】对于A ，()()23710,13100x x x x -≤+-≤，解得1013x -≤≤，A 错；对于B ，211022x x -+-≤，()210x -≥，解集为R ，B 对；对于C ，()()230x x +->，解得<2x -或3x >，C 错；对于D ，223x x -+<-，()()1230x x +->，解得1x <-或32x >，D 错.故选：B.考点二：解含参一元二次不等式例2.（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若01a <<，则不等式1(0)(x a x a --<的解集是（）A ．1}|{x a x a<<或C ．1{|}x x a a <<D ．1{|}x x a x a><或【答案】A【解析】由01a <<，得110a a>>>，解不等式1(0)(x a x a --<，得1a x a <<，所以不等式1(0)()x a x a --<的解集是1}|{x a x a<<.故选：A【变式2-1】（23-24高一下·广东潮州·开学考试）（多选）对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()(2)0x a x --<的解集可能为（）A ．(2)()a -∞+∞ ,,B ．()(2)a -∞+∞ ,,C ．(),2a D ．∅【答案】CD【解析】当2a <时，此时解集为(),2a ；当2a =时，此时解集为∅；当2a >时，此时解集为()2,a ；故选：CD.【变式2-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）解关于x 的不等式：()2330x m x m --->.【答案】答案见解析【解析】不等式()2330x m x m --->，即()()30x x m +->，当3m =-时，原不等式即()230x +>，解得3x ≠-，即不等式的解集为{}|3x x ≠-；当3m >-时，解得x >m 或3x <-，即不等式的解集为{|x x m >或3}x <-；当3m <-时，解得3x >-或x m <，即不等式的解集为{|3x x >-或}x m <；综上可得：当3m =-时不等式的解集为{}|3x x ≠-，当3m >-时不等式的解集为{|x x m >或3}x <-，当3m <-时不等式的解集为{|3x x >-或}x m <.【变式2-3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）当1a <时，解关于x 的不等式(1)(1)0ax x --<.【答案】答案见解析【解析】当0a =时，代入不等式可得10x -+<，解得1x >；当01a <<时，化简不等式可得1(1)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭即1(1)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，由11a>得不等式的解为11x a <<，当a<0时，化简不等式可得1(1)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭即1(1)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，由11a <得不等式的解为1x >或1x a<，综上可知，当0a =时，不等式(1)(1)0ax x --<的解集为{|1}x x >；当01a <<时，不等式(1)(1)0ax x --<的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当a<0时，不等式(1)(1)0ax x --<的解集为1x x a ⎧<⎨⎩或}1x >.考点三：由一元二次不等式解集求参例3.（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于x 的不等式2102x mx n -++>的解集为{}|12x x -<<，则m n +的值为（）A ．12-B ．32-C ．32D ．12【答案】C【解析】因为不等式2102x mx n -++>的解集为{}|12x x -<<，所以1,2-是方程2102x mx n -++=的两个实根，所以()()221110212202m n m n ⎧-⨯-+⨯-+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩，解得121m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以32m n +=.故选：C.【变式3-1】（23-24高一上·云南昭通·期末）不等式230ax bx +-<的解集是()(),13,-∞⋃+∞，则b a -的值是（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5【答案】D【解析】因为不等式230ax bx +-<的解集是()(),13,-∞⋃+∞，所以a<0，1x =和3x =是方程230ax bx +-=的根，所以13313b a a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪⎩，即1a =-，4b =，则5b a -=．故选：D ．【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知不等式20ax bx c ++<的解集为{|13}x x x <->或,则下列结论错误的是（）A ．0a C ．0a b c ++>D ．20cx bx a -+<的解集为1{|1}3x x x <->或【答案】D【解析】根据题意,可以知道,20ax bx c ++=的两根为1,3-.由根与系数的关系得到：2233b b a ac c a a ⎧=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-=⎪⎩.因为2()f x ax bx c =++开口向下,则a<0,故A 正确.22(2)(3)30a b c a a a a ++=+-+-=->,故B 正确.且(1)(3)0f f -==,对称轴为1x =,(1)40f a b c a =++=->,故C 正确.22320cx bx a ax ax a -+=-++<,两边同时除以a -,得到23210x x --<,解得1|13{}x x -<<,故D 错误.故选:D.【变式3-3】（23-24高一下·云南·月考）若关于x 的不等式()210x m x m -++<的解集中恰有三个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．[)(]2,14,5--⋃C ．()()3,14,5-⋃D ．[]3,5-【答案】A【解析】原不等式可化为(1)()0x x m --<，当1m >时，得1x m <<，此时解集中的整数为2，3，4，则45m <≤；当1m <时，得1m x <<，此时解集中的整数为2-，1-，0，则32m -≤<-，综上所述，m 的取值范围是[)(]3,24,5--⋃.故选：A考点四：三个“二次”关系的应用例4.（23-24高一上·湖南长沙·月考）不等式20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，则函数2y ax bx c =-+的图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】A【解析】因为20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，所以方程20ax bx c -+=的两根分别为2-和1，且a<0，则()21,21,b ac a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩变形可得,2,b a c a =-⎧⎨=-⎩故函数()()22221y ax bx c ax ax a a x x =-+=+-=+-的图象开口向下，且与x 轴的交点坐标为()1,0和()2,0-，故A 选项的图象符合.故选：A【变式4-1】（23-24高一上·江苏苏州·月考）（多选）关于x 的不等式20ax bx c ++>，下列说法不正确的是（）A ．若关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{1x x >或}3x <-，则二次函数2y ax bx c =++的零点为()30A -,，()10B ,B ．若关于x 的不等式20ax bx c ++<解集为{3x x >或}1x <-，则20cx bx a ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>解集为R ，则0a >且240b ac -<D ．若关于x 的不等式()200ax bx c abc ++>≠的解集与关于x 的二次不等式()211111100a x b x c a b c ++>≠的解集相同都是R ，则111a b c a b c ==【答案】BC【解析】A 选项：若关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{1x x >或}3x <-，则0a >，且其对应方程20ax bx c ++=有两个解11x =，23x =-，所以对应函数2y ax bx c =++的两个零点为1和3-，A 选项错误；B 选项：若关于x 的不等式20ax bx c ++<解集为{3x x >或}1x <-，则a<0，且其对应方程20ax bx c ++=有两个解13x =，21x =-，且122b x x a=-+=，123cx x a=-=，即2b a =-，3c a =-，所以22320cx bx a ax ax a ++=--+>，即()()23213110x x x x +-=-+<，解得113x -<<，所以不等式的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，B 选项正确；C 选项：若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>解集为R ，则0a >且其对应方程20ax bx c ++=无解，即240b ac -<，C 选项正确；D 选项：若关于x 的不等式()200ax bx c abc ++>≠的解集为R ，则0a >，且240b ac -<，关于x 的二次不等式()211111100a x b x c a b c ++>≠的解集是R ，则10a >，且211140b a c -<，无法确定其比例关系，D 选项错误；故选：BC.【变式4-2】（22-23高一上·宁夏石嘴山·期中）关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为()12,x x ，且221215x x -=，则实数=a ．【答案】/【解析】由题意，22280x ax a --=的两根为12,x x ，所以212122,8x x a x x a +=⋅=-，解得124,2x a x a ==-，或122,4x a x a =-=，当124,2x a x a ==-时，故222121215x x a -==，由12x x <知a<0，所以解得2a =，当122,4x a x a =-=时，222121215x x a -=-=不合题意.故答案为：2-【变式4-3】（23-24高一上·山西临汾·月考）已知二次函数()211y x a x a =----的图象与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点.(1)当3a =时，求2212x x +的值；(2)求关于x 的不等式10y +≥的解集.【答案】(1)12；(2)答案见解析【解析】（1）当3a =时，224y x x =--.由题意可知12,x x 是方程2240x x --=的两个不同实根，则122x x +=，124x x =-，故()()2222121212222412x x x x x x +=+-=-⨯-=.（2）不等式10y +≥可转化为()()10x a x -+≥.当1a >-时，不等式1y ≥的解集是{}1x x x a ≤-≥或；当1a =-时，不等式1y ≥的解集是{}R x x ∈；当1a <-时，不等式1y ≥的解集是{}1x x a x ≤≥-或.考点五：一元二次不等式恒成立与有解例5.（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）（多选）若对于R x ∀∈，都有220x mx m -+≥，则m 的值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】AB【解析】依题意，命题等价于220x mx m -+≥恒成立，所以2440m m ∆=-≤，解得01m ≤≤，即[]0,1m ∈，故AB 正确，CD 错误.故选：AB.【变式5-1】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的()0,x ∈+∞，2210x mx -+>恒成立，则m 的取值范围为（）A ．[)1,+∞B ．()1,1-C ．(],1-∞D ．(),1-∞【答案】D【解析】因为对任意的()0,x ∈+∞，2210x mx -+>恒成立，所以对任意的()0,x ∈+∞，2112x m x x x+<=+恒成立，又12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，所以22m <，解得1m <，即m 的取值范围为(),1-∞.故选：D【变式5-2】（23-24高一下·河北保定·开学考试）（多选）若关于x 的不等式2420ax x -+<有实数解，则a 的值可能为（）A ．0B ．3C ．1D ．2-【答案】ACD【解析】当0a =时，不等式420x -+<有解，符合题意；当a<0时，得Δ1680a =->，则不等式2420ax x -+<有解；当0a >时，由Δ1680a =->，解得02a <<.综上，a 的取值范围为(),2∞-，对照选项，选项ACD 中a 的值符合题意.故选：ACD【变式5-3】（23-24高一上·陕西商洛·期中）若关于x 的不等式240x mx +->在区间[]2,4上有解，则实数m 的取值范围为（）A ．()3,-+∞B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．(),3-∞-【答案】A【解析】易知2160m ∆=+>恒成立，即240x mx +-=有两个不等实数根12,x x ，又1240x x =-<，即二次函数24y x mx =+-有两个异号零点，所以要满足不等式240x mx +->在区间[]2,4上有解，所以只需24440m +->，解得3m >-，所以实数m 的取值范围是()3,-+∞．故选A ．考点六：一元二次不等式的实际应用例6.（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x 元（110x ≤≤，x ∈Z ），则被租出的客房会减少15x 套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（）A ．250元B ．260元C ．270元D ．280元【答案】C【解析】依题意，每天有()50015x -间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为()()250015200101502000100000x x x x -+=-++．因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，所以21502000100000106600x x -++>，即23401320x x -+<，解得2263x <<．因为110x ≤≤且x ∈Z ，所以7x =，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元．故选：C ．【变式6-1】（23-24高一上·陕西·月考）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x 元（120x ≤≤，x ∈Z ），则被租出的礼服会减少10x 套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（）A ．220元B ．240元C ．250元D ．280元【答案】C【解析】依题意，每天有30010x -套礼服被租出，该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为()()23001020010100100060000x x x x -⋅+=-++元.因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元，所以2100100060000x x -++62400>，即210240x x -+<，解得46x <<.因为120x ≤≤且x ∈Z ，所以5x =，即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.故选：C.【变式6-2】（23-24高一上·北京·月考）某市有块三角形荒地，如图ABC 所示，90,200A AB AC ∠=== （单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地ADEF ，其中,,D E F点分别在线段,,AB BC CA 上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则AD 的长度（单位：米）范围是（）A ．[]40,160B ．[]50,150C ．[]55,145D ．[]60,140【答案】B【解析】ABC 中，90,A AB AC ∠== ，ABC 为等腰直角三角形，设AD x =米，则EF FC AD x ===米，200FA x =-米，依题意有()2007500x x -≥，解得50150x ≤≤.即AD 的长度（单位：米）范围是[]50,150.故选：B.【变式6-3】（23-24高一上·陕西宝鸡·月考）如图，在长为8m ，宽为6m 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？【答案】花卉的宽度至少为1m【解析】设花卉带的宽度为m x ，则028026x x <<⎧⎨<<⎩，可得03x <<，所以，草坪的长为()82m x -，宽为()62m x -，则草坪的面积为()()()()8262443x x x x --=--，因为草坪的面积不超过总面积的一半，则()()1443682x x --≤⨯⨯，整理可得2760x x -+≤，解得16x ≤≤，又因为03x <<，可得13x ≤<.所以，花卉的宽度至少为1m .一、单选题1．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）不等式2450x x --+<的解集是（）A ．(5,1)-B ．(1,5)-C ．(,5)(1,)-∞-+∞ D ．(,1)(5,)-∞-+∞ 【答案】C【解析】由2450x x --+<可得2450x x +->，故()()510x x +->，解得1x >或5x <-，故不等式的解为()(),51,-∞-⋃+∞故选：C2．（23-24高一上·河南商丘·期中）不等式2230x x --<的解集是（）A ．{|1x x <-或3}2x >B ．3|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{}|1x x <-【答案】C【解析】不等式2230x x --<可化为()()1230x x +-<，所以312x -<<，即原不等式的解集为3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故选：C.3．（23-24高一上·河南濮阳·月考）已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c +-<的解集为{}|35x x <<，则不等式20cx bx a +->的解集为（）A ．15x x ⎧<⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭B ．13x x ⎧<-⎨⎩或15x ⎫>-⎬⎭C ．1153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．1135x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】因为关于x 的一元二次不等式20ax bx c +-<的解集为{}|35x x <<，所以0a >且方程20ax bx c +-=的解为3,5，所以8,15b ca a-=-=，所以8,15b a c a =-=-，则不等式20cx bx a +->，即为不等式21580ax ax a --->，则215810x x ++<，解得1135x -<<-，所以不等式20cx bx a +->的解集为1135x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.故选：D.4．（23-24高一上·甘肃·期末）若关于x 的不等式()222800x ax a a --<>的解集为()12,x x ，且221220x x +=，则=a （）A ．2B ．1C．D【答案】B【解析】因为关于x 的不等式()222800x ax a a --<>的解集为()12,x x ，所以1x 和2x 是方程()222800x ax a a --=>的两根，则1221228x x a x x a +=⎧⎨⋅=-⎩.又因为221220x x +=，()2221212122x x x x x x +=+-，所以()()2222820a a --=，解得1a =±.又因为0a >，所以1a =.故选：B5．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）若关于x 的不等式()2220x a x a ---<的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值集合是（）A ．{56}aa <≤∣B ．{65}aa -≤<-∣C ．{21aa -<≤-∣或56}a ≤<D ．{65aa -≤<-∣或12}a <≤【答案】D【解析】()()()222020x a x a x x a ---<⇒-+<，当2a >-时，不等式解集为{}2x a x -<<，此时恰有3个整数解，则3个整数解分别为1,0,1-，故21a -≤-<-，解得12a <≤，当2a <-时，不等式解集为{}2x x a <<-，此时恰有3个整数解，则3个整数解分别为3,4,5，故56a <-≤，解得65a -≤<-，当2a =-时，不等式解集为∅，不合要求，故实数a 的取值集合为{65aa -≤<-∣或12}a <≤.故选：D 6．（23-24高一上·江苏南京·期末）设a 为实数，则关于x 的不等式(2)(24)0ax x --<的解集不可能是（）A ．2,2a ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2(,2)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(2,)+∞D ．22,a ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】关于x 的不等式(2)(24)0ax x --<，若0a =，不等式为2(24)0x --<，解得2x >，此时解集为(2,)+∞；若0a ≠，方程(2)(24)0ax x --=，解得2x a=或2x =，a<0时，不等式(2)(24)0ax x --<解得2x a <或2x >，此时解集为()2,2,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ；01a <<时，22a >，不等式(2)(24)0ax x --<解得22x a <<，此时解集为22,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；1a =时，22a=，不等式(2)(24)0ax x --<解集为∅，1a >时，22a <，不等式(2)(24)0ax x --<解得22x a <<，此时解集为2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；所以不等式(2)(24)0ax x --<的解集不可能是2(,2),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：B二、多选题7．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列不等式的解集不是R 的是（）A ．210x x -++≥B ．20x ->C ．26100x x ++>D ．22340x x -+<【答案】ABD【解析】对于A ，由210x x -++≥，得210x x --≤，解得1122x ≤≤，所以A 正确，对于B ，由20x ->，解得x <x >，所以B 正确，对于C ，26100x x ++>，因为364040∆=-=-<，所以不等式26100x x ++>的解集为R ，所以C 错误，对于D ，22340x x -+<，因为932230∆=-=-<，所以不等式22340x x -+<的解集为∅，所以D 正确，故选：ABD8．（23-24高一上·湖北·月考）若不等式20ax bx c -+<的解集是{21}xx -<<∣，则下列说法正确的是（）A ．0b <且0c ，故0,2a b c a +==-，且0a >，故0,0c b <<，故A 正确；20a b c a a a -+=+-=，故B 错误；0a b c c ++=<，故C 正确；20ax bx c ++<，220ax ax a --<，即()()22120x x x x --=+-<的解集是()1,2-，故D 正确.故选：ACD三、填空题9．（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根分别为2和4，则不等式20ax bx c ++<的解集为．【答案】{}|24x x <<【解析】二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根分别为2和4，可得2424b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，即68b a c a =-⎧⎨=⎩，由()200ax bx c a ++<>可得2680x x -+<，解得24x <<，所以不等式2680x x -+<的解集为{}|24x x <<.故答案为：{}|24x x <<.10．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若关于x 的不等式210mx x ++>的解集为R ，则实数m 的取值范围为.【答案】14m >【解析】当0m =时，10x +>，1x >-，不满足题意；当0m ≠时，0Δ140m m >⎧⎨=-<⎩,所以14m >，综上，实数m 的取值范围为14m >.故答案为：14m >11．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数x y ，满足2x y +=，若211m m x y+>-恒成立，则实数m 的取值范围为.【答案】(1,2)-【解析】因为0,0x y >>且2x y +=，所以111111()222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1222⎛≥⨯+= ⎝，当且仅当1y x ==时取等号．因为不等式211m m x y+>-恒成立，所以22m m -<，解得12m -<<．故答案为：(1,2)-.四、解答题12．（23-24高一上·河南濮阳·月考）解下列一元二次不等式：(1)23710x x -≤；(2)2104x x -+<．【答案】(1)1013x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；(2)∅【解析】（1）由23710x x -≤，得237100x x --≤，即()()31010x x -+≤，所以1013x -≤≤，所以不等式得解集为1013x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）由2104x x -+<，得2102x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，无解，所以不等式的解集为∅.13．（23-24高一上·江苏镇江·期中）（1）解关于x 的不等式()210x m x m -++<.（2）若对任意的[]()21,2,10x x m x m ∈-++≤恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）2m ≥.【解析】（1）不等式()210x m x m -++<化为：()(1)0x m x --<，当1m <时，解得1m x <<；当0m =时，不等式无解；当1m >时，解得1x m <<，所以当1m <时，原不等式的解集为(,1)m ；当0m =时，原不等式的解集为∅；当1m >时，原不等式的解集为(1,)m .（2）当1x =时，2(1)0x m x m -++≤恒成立，则m ∈R ，当(1,2]x ∈时，不等式2(1)0(1)(1)x m x m m x x x m x -++≤⇔-≥-⇔≥，依题意，(1,2]x ∀∈，m x ≥，而x 最大值为2，因此2m ≥，所以实数m 的取值范围是2m ≥.。

高中数学北师大版必修一2.4.1【同步练习】《二次函数的图像》

《2.4.1二次函数的图像》同步练习1.函数y ＝x2＋(a ＋2)x ＋3(a ≤x ≤b )的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝ 2.设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )＝________3.将二次函数y ＝－2x 2的顶点移到(－3,2)后，得到的函数的解析式为________4.二次函数y ＝x 2＋ax ＋b ，若a ＋b ＝0，则它的图象必经过点1.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则点(a ，c )在 ( )A .B .C .D . 2.如何平移抛物线y ＝2x 2可得到抛物线y ＝2(x －4)2－1 ( )A .4个单位，再向上平移1个单位 B .4个单位，再向下平移1个单位 C .4个单位，再向上平移1个单位 D .4个单位，再向下平移1个单位1.已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数为y ＝x 2－2x ＋1，求该二次函数的解析式。

答案与解析1.【解析】对称轴x＝－＝1，∴a＝－4.又a、b关于x＝1对称，∴＝1，b＝6【答案】62.【解析】∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，∴解得b＝4，c＝2.∴f(x)＝x2＋4x＋2【答案】x2＋4x＋23.【解析】因为二次函数y＝－2x2的顶点为(0,0)，所以要将其顶点移到(－3,2)，只要把图像向左平移3个单位，向上平移2个单位即可，所以平移后的函数解析式为y＝－2(x＋3)2＋2【答案】y＝－2(x＋3)2＋24.【解析】∵a＋b＝0，∴当x＝1时，y＝1＋a＋b＝1，∴过点(1,1)【答案】(1,1)1.【解析】由图像可知，开口向上则a>0,与y轴的交点在y轴负半轴上则c<0，因此点（a，c）在第四象限。

【答案】D2.【解析】要得到y＝2(x－4)2－1的图象，只需将y＝2x2的图象向右平移4个单位，再向下平移1个单位。

高考数学(理)一轮复习对点训练：2-4-1二次函数(含答案解析)

1.假如函数 f(x)＝1(m －2)x 2＋(n －8)x ＋ 1(m ≥0， n ≥0)在区间1， 2 上单一递减，那么 mn2 2的最大值为 ()A ． 16B ．1881 C ． 25 D. 2答案 B解析由已知得f ′(x)＝ (m － 2)x ＋ n － 8 ，又对随意的 x ∈ 1， 2， f ′(x)≤0，所以21f ′2 ≤0，fm ≥0， n ≥0即 m ＋ 2n ≤ 18 ，画出该不等式组表示的平面地区如图中暗影部分所示，2m ＋ n ≤ 12令 mn ＝ t ，则当 n ＝ 0 时， t ＝ 0，当 n ≠0时， m ＝t.由线性规划的有关知识知，只有当直nt1 线 2m ＋ n ＝ 12 与曲线 m ＝ t相切时， t 获得最大值．由－n 2＝－2 1，nt6－ 2n ＝n解得 n ＝ 6， t ＝ 18，所以 (mn) max ＝ 18，选 B.2．已知 a ， b ，c ∈ R ，函数 f(x)＝ ax 2＋ bx ＋ c.若 f(0)＝ f(4)> f(1)，则 ()A ． a>0,4a ＋ b ＝ 0B ．a<0,4a ＋ b ＝ 0C ． a>0,2a ＋b ＝ 0D ． a<0,2a ＋ b ＝ 0答案A分析由 f(0)＝ f(4) 得 f(x) ＝ax2＋ bx＋ c的对称轴为x＝－ b ＝2，∴ 4a＋b＝ 0，又 2af(0)> f(1)，∴f(x)先减后增，∴ a>0 ，选 A.3．两个二次函数f(x)＝ ax2＋ bx＋ c 与 g(x)＝ bx2＋ ax＋c 的图象可能是 ()答案D分析函数 f(x)图象的对称轴为x＝－b，函数 g(x)图象的对称轴为x＝－a，明显－b 2a2b2a与－a同号，故两个函数图象的对称轴应当在y 轴的同侧，只有 D 知足．应选 D.2bπ πa 的取值范围是 ________．4．若函数 f(x) ＝cos2x＋ asinx 在区间6，2上是减函数，则答案 (－∞， 2]分析f(x)＝ cos2x＋ asinx＝1－ 2sin2x＋asinx，令 t＝ sinx，x∈π π16，，则 t∈，1 ，原22函数化为 y＝－ 2t2＋ at＋ 1，由题意及复合函数单一性的判断可知y＝－ 2t 2＋ at＋ 1 在12，1 上是减函数，联合抛物线图象可知，a 1≤，所以 a≤2. 425.已知函数f(x)＝－ x2＋ 2ax＋ 1－a 在 x∈ [0,1] 时有最大值2，则 a 的值为 ________．答案2或－1分析f(x)＝－ (x－ a)2＋ a2－ a＋1，在 x∈[0,1] 时，当 a≥1时， f(x)max＝ f(1) ＝ a；当 0<a<1 时， f(x)max＝ f(a) ＝ a2－ a＋ 1；当 a≤0时， f(x)max＝ f(0) ＝ 1－a.a≥1，0<a<1，a≤0，依据已知条件得，或2或1－ a＝2.a＝ 2a－ a＋1＝ 2解得 a＝ 2 或 a＝－ 1.6．对于 c>0 ，当非零实数a，b 知足 4a2－ 2ab＋ 4b2－ c＝ 0 且使 |2a＋ b|最大时，3－4＋5a b c 的最小值为 ________．答案－ 2分析设 2a＋b＝ t，则2a＝ t－ b，由已知得对于 b 的方程 (t－ b)2－ b(t－ b)＋ 4b2－c＝ 0有解，即 6b 2－ 3tb ＋ t 2－c ＝ 0 有解．故222 8＝ 9t － 24(t － c) ≥0，所以 t≤5c ，所以 |t|max ＝ 2 10c5 213t3t.，此时 c ＝ t ， b ＝ t ， 2a ＝t － b ＝，所以 a ＝ 85 8 4 4 3 4 58 16 8 1 1故 a －b ＋ c ＝ t － t ＋ t 2＝ 8 t 2 － t＝ 8 1－ 1 2－2≥－2.t 27．已知函数 f( x)＝ |x 2＋ 3x|， x ∈ R .若方程 f(x)－ a|x － 1|＝0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为 ________．答案 (0,1)∪ (9，＋ ∞)分析在同一坐标系中分别作出函数f(x)与 y ＝a|x － 1|的图象，由图知，当a ＝0 时，两函数的图象只有 2 个交点，当 a<0 时，两图象没有交点，故必有a>0.若曲线 y ＝－ x 2－ 3x(－ 3≤x ≤0)与直线 y ＝－ a(x －1)( x ≤1)相切，联立方程得 x 2 ＋(3－ a)x ＋a ＝ 0，则由＝0 得 a ＝1(a ＝ 9 舍去 )，所以当 0<a<1 时， f(x)的图象与 y ＝a|x － 1|的图象有 4个交点；若曲线 y ＝ x 2＋ 3x(x>0) 与直线 y ＝ a(x － 1)(x>1) 相切，联立方程得 x 2＋ (3－ a)x ＋ a ＝0，则由＝ 0 可得 a ＝ 9(a ＝ 1 舍去 )，所以当 a>9 时， f(x)的图象与 y ＝ a|x － 1|的图象有 4 个交点，故当方程有4 个互异实数根时，实数a 的取值范围是(0,1)∪ (9，＋ ∞)．。

高考四元聚焦·理数——《对点训练》第7讲二次函数与一元二次方程

高考四元聚焦·理数——《对点训练》第7讲二次函数与一元二次方程第二单元函数第7讲二次函数与一元二次方程1.已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( A )A ．a ≤2或a ≥3B ．2≤a ≤3C ．a ≤－3或a ≥－2D ．－3≤a ≤－2 解析：由已知可得二次函数图象的对称轴方程为x ＝a ，又函数在(2,3)内单调，所以a ≤2或a ≥3，故选A.2.二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象的最高点为(－1，－3)，则b 与c 的值是( D )A ．b ＝2，c ＝4B ．b ＝2，c ＝－4C ．b ＝－2，c ＝4D ．b ＝－2，c ＝－4解析：由已知⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ －b －2＝－14×(－1)·c －b 24×(－1)＝－3⇒⎩⎨⎧b ＝－2c ＝－4，故选D.3.(2019·福建晋江市第二次联考)已知函数f (x )＝x |x －4|－5，则当方程f (x )＝a 有三个不解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22＝1a ＋b ＝2⇒⎩⎨⎧a ＝－4b ＝6，故b 的值是6.6.设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为－3或38. 解析：因为f (x )的图象的对称轴为x ＝－1. 若a <0，则f (x )max ＝f (－1)＝－a ＋1＝4，所以a ＝－3；若a >0，则f (x )max ＝f (2)＝8a ＋1＝4，所以a ＝38. 综上得a ＝－3或38. 7.(2019·江苏省无锡市五校联考)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，a >b >c ，则c a 的取值范围是 (－2，－12) . 解析：由f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，a >b >c 知a ＞0，c ＜0，b ＝－a －c ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0a >－a －c－a －c >c ，所以c a >－2，且c a <－12，即－2<c a <－12，故c a 的取值范围是(－2，－12)． 8.(2019·广东深圳12月)如图是一个二次函数y ＝f (x )的图象．(1)写出这个二次函数的零点；(2)写出这个二次函数的解析式及x ∈[－2,1]时函数的值域．解析：(1)由图可知这个二次函数的零点为x 1＝－3，x 2＝1.(2)可设两点式f (x )＝a (x ＋3)(x －1)，又f (x )的图象过点(－1,4)点，代入得a ＝－1，所以f (x )＝－x 2－2x ＋3.当x ∈[－2,1]时，f (x )在[－2，－1]上递增，在[－1,1]上递减，所以最大值为f (－1)＝4，又f (－2)＝3，f (1)＝0，所以f (x )的最小值为0，所以x ∈[－2,1]时函数的值域为[0,4]．9.(2019·山东省济南质检)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝2x ＋m 上方，试确定实数m 的取值范围．解析：(1)由f (0)＝1，可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，故f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ，由题意得⎩⎨⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1，故f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意得，x 2－x ＋1>2x ＋m 在x ∈[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1>m 对x ∈[－1,1]恒成立，设g (x )＝x 2－3x ＋1，则问题可转化为g (x )min ＞m ，又g (x )在[－1,1]上递减，故g (x )min ＝g (1)＝－1，故m <－1.。

高一数学：二次函数针对训练(含答案)

第六节二次函数[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解] 法一：利用二次函数的一般式设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 考点二二次函数的图象与性质[典例] (1)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为________．(2)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．[解析] (1)函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a . 当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1. 当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)．当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.(2)依题意a ≠0，二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 图象的对称轴是直线x ＝1，因为函数f (x )在区间[0,1]上单调递减，所以a >0，即函数图象的开口向上，所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.[答案] (1)－1或2 (2)[0,2][典例] (1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为________．[解析] (1)作出二次函数f (x )的草图如图所示，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. (2)由题意得x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减． ∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k <1.故k 的取值范围为(－∞，1)． [答案] (1)⎝⎛⎭⎫－22，0 (2)(－∞，1)1．已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，则a 的值为( ) A.54 B ．1或54C ．－1或54D ．－5或54解析：选D2．若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤74，4，则m 的取值范围为( ) A ．(0,4] B.⎣⎡⎦⎤32，4 C.⎣⎡⎦⎤32，3 D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析：选C[课时跟踪检测]A 级1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1，并且过点P (－1,7)，则a ，b的值分别是()A．2,4B．－2,4C．2，－4D．－2，－4解析：选C∵y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴是x＝1，∴－b2a＝1. ①又图象过点P(－1,7)，∴a－b＋1＝7，即a－b＝6. ②由①②可得a＝2，b＝－4.2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则a的值为()A．－1B．0C．1D．－2解析：选D函数f(x)＝－x2＋4x＋a的对称轴为直线x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x ＋a在[0,1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2.3．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()解析：选C若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－b2a<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则()A．a>0,4a＋b＝0B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0D．a<0,2a＋b＝0解析：选A由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－b2a＝2，∴4a＋b ＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.5．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－2)B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞)D．(－∞，－6)解析：选A不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，所以f(x)<f(4)＝－2，所以a<－2.6．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．解析：由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. 答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)7．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．解析：设f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49(a ≠0)，方程a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49＝0的两个实根分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝2－49a＝7，所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40. 答案：f (x )＝－4x 2－12x ＋408．y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，y ＝4x －1，值域为[0，＋∞)，满足条件；当a ≠0时，要使y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，只需⎩⎪⎨⎪⎧2a >0，Δ＝16－8a (a －1)≥0，解得0<a ≤2.综上，0≤a ≤2.答案：[0,2]9．求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．解：函数f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2<－1，－1≤a 2≤1，a2>1，即a <－2，－2≤a ≤2和a >2三种情形讨论．(1)当a <－2时，由图①可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ＝－(a ＋1)． (2)当－2≤a ≤2时，由图②可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a24.(3)当a >2时，由图③可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1.综上可知，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)，a <－2，a24，－2≤a ≤2，a －1，a >2.10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x . 所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1,1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，所以在[－1,1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立；即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1,1]上恒成立．所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －322－54，因为g (x )在[－1,1]上的最小值为g (1)＝－1，所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．B 级1.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a 0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a 0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12C.34 D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12，所以f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，所以m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.所以m －n 的最小值是1.。

2020-2021学年北师大版高中数学必修一《函数2-4-1》课堂课时配套训练及答案

最新（新课标）北师大版高中数学必修一双基达标 (限时20分钟)1．函数y ＝2x 2＋4x －1的对称轴和顶点分别是( )． A ．x ＝－2，(－2，－1) B ．x ＝2，(－2，－1) C ．x ＝－1，(－1，－3)D ．x ＝1，(－2,3)解析由y ＝2x 2＋4x －1＝2(x ＋1)2－3，得对称轴是x ＝－1，顶点是(－1，－3)．答案 C2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点坐标为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)，则( )．A ．a ＝1，b ＝－4，c ＝－11B ．a ＝3，b ＝12，c ＝11C ．a ＝3，b ＝－6，c ＝11D ．a ＝3，b ＝－12，c ＝11解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝2，4ac －b24a ＝－1，11＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－12，c ＝11.答案 D3．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ， x ≥0，－x 2＋4x ，x ＜0，若f(2－a 2)＞f(a)，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析由题知，f(x)在R 上是增函数，由题得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1，故选择C. 答案 C4．若函数f(x)＝(a －2)x 2＋2x －4的图像恒在x 轴下方，则a 的取值范围是________．解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＝22＋4×4(a －2)＜0，解得a ＜74. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，745．二次函数f(x)＝x 2＋ax ，对任意x ∈R ，总有f(1－x)＝f(1＋x)，则实数a ＝________. 解析 ∵对任意x ∈R ，总有f(1－x)＝f(1＋x)，∴函数f(x)的对称轴是x ＝1－x ＋1＋x 2＝1，则有－a2＝1，∴a ＝－2.答案－26．讨论关于x 的方程|x 2＋2x －3|＝a 的实根的个数．解设f(x)＝|x 2＋2x －3|，g(x)＝a ，分别作出f(x)与g(x)的图像，由图知：当a ＜0时，方程无实根；当a ＝0时，方程有两个实根；当0＜a ＜4时，方程有4个根；当a ＝4时，方程有3个实根；当a ＞4时，方程有2个实根．综合提高 (限时25分钟)7．如果二次函数f(x)＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上是减函数，那么f(2)的取值范围是( )．A ．(－∞，7]B ．(－∞，7)C ．(7，＋∞)D ．[7，＋∞)解析二次函数f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上是减函数，由于图像开口向上，∴对称轴a －12≥12. ∴a ≥2.故f(2)＝22－2(a －1)＋5＝11－2a ≤7. 答案 A8．已知函数f(x)＝ax 2＋2(a －2)x ＋a －4，当x ∈(－1,1)时，恒有f(x)＜0，则a 的取值范围为( )．A ．a ≤2B ．a ＜2C ．0＜a ＜2D ．a ＜2且a ≠0解析法一当a ＝0时，f(x)＝－4x －4，则此时f(x)是减函数，且f(－1)＝0，则当x ∈(－1,1)时，恒有f(x)＜f(－1)＝0，即a ＝0符合题意，排除C 、D ；当a ＝2时，f(x)＝2x 2－2，由于x ∈(－1,1)，则有f(x)＝2x 2－2＜f(－1)＝f(1)＝0 即a ＝2符合题意，排除B ；故选A.法二当x ∈(－1,1)时，有x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2＞0，又f(x)＝(x 2＋2x ＋1)a －4(x ＋1)，则恒有(x 2＋2x ＋1)a －4(x ＋1)＜0，即a ＜4(x ＋1)x 2＋2x ＋1＝4x ＋1恒成立，又x ∈(－1,1)，则4x ＋1＞2，则只需a ≤2即可．答案 A9．已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋a ，f(bx)＝9x 2－6x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，则方程f(ax ＋b)＝0的解集为________．解析 ∵f(x)＝x 2＋2x ＋a ，∴f(bx)＝(bx)2＋2bx ＋a ＝b 2x 2＋2bx ＋a ＝9x 2－6x ＋2.则有⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝9，2b ＝－6，a ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，a ＝2.∴f(2x －3)＝(2x －3)2＋2(2x －3)＋2＝4x 2－8x ＋5＝0. ∵Δ＝64－80＜0，∴方程f(ax ＋b)＝0无实根．答案 ∅10．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为f(x)＝________，关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为________．解析 ∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－4)2－4b ＋c ＝c ，(－2)2－2b ＋c ＝－2.解得b ＝4，c ＝2，画出函数y ＝f(x)，y ＝x 的图像，它们的图像有3个交点，故关于x 的方程f(x)＝x 有3个解．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0x 2＋4x ＋2，x ≤0 311．已知一个二次函数的图像经过点(4，－3)，并且当x ＝3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式．解法一 (利用顶点式)设二次函数解析式为y ＝a(x ＋h)2＋k(a ≠0)， ∵当x ＝3时，有最大值4， ∴顶点坐标为(3,4)． ∴h ＝－3，k ＝4. ∴y ＝a(x －3)2＋4.∵函数图像过点(4，－3)， ∴a(4－3)2＋4＝－3. ∴a ＝－7.∴y ＝－7(x －3)2＋4＝－7x 2＋42x －59. ∴二次函数的解析式为y ＝－7x 2＋42x －59. 法二 (利用一般式)设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋c ＝－3，－b2a＝3，4ac －b 24a ＝4，解方程组得：a ＝－7，b ＝42，c ＝－59， ∴二次函数的解析式为y ＝－7x 2＋42x －59.12．(创新拓展)设f(x)＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．解 ①当对称轴x ＝－－2a2x 1＝a ≤－1时，f(x)min ＝f(－1)＝3＋2a ，当x∈[－1，＋∞)，f(x)≥a恒成立⇔f(x)≥a，min即3＋2a≥a⇔a≥－3.故此时－3≤a≤－1.＝f(a)＝a2－2a2＋2＝2－a2，②当a＞－1时，f(x)min当x∈[－1，＋∞)，f(x)≥a恒成立⇔f(x)≥a，min即2－a2≥a⇔a2＋a－2≤0⇔－2≤a≤1.故此时－1＜a≤1.综上所得，实数a的取值范围是[－3,1]．。

二次函数复习题精选

二次函数复习题精选二次函数复习题精选在数学学习中，二次函数是一个重要的概念。

它是由形如y = ax^2 + bx + c的方程所表示的函数，其中a、b和c是实数且a不等于零。

二次函数在几何学、物理学和经济学等领域中都有广泛的应用。

为了帮助大家复习二次函数的知识，下面我将给大家提供一些精选的二次函数复习题。

题目一：求解二次函数的顶点坐标和对称轴方程已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3，求解它的顶点坐标和对称轴方程。

解析：首先，我们可以通过求导数的方法来确定顶点的横坐标。

对于二次函数y =ax^2 + bx + c，它的导数是y' = 2ax + b。

当导数等于零时，函数取得极值。

所以，我们可以令2ax + b = 0，解得x = -b / (2a)。

将a = 2，b = -4代入，得到x = 1。

将x = 1代入原函数，可以求得y = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 1。

所以，顶点的坐标为(1, 1)。

其次，对称轴是通过顶点并且垂直于x轴的一条直线。

所以，对称轴的方程可以通过顶点的横坐标得到。

对于顶点(1, 1)，对称轴的方程为x = 1。

题目二：求解二次函数的零点已知二次函数y = -x^2 + 4x - 3，求解它的零点。

解析：二次函数的零点即为函数的根，也就是使得函数取值为零的x值。

所以，我们可以将函数设为零，即-x^2 + 4x - 3 = 0。

为了方便计算，我们可以使用求根公式来解方程。

根据求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，我们可以得到两个解。

将a = -1，b = 4，c = -3代入，可以得到x = (4 ± √(4^2 - 4(-1)(-3))) / (2(-1))。

简化后，得到x = (4 ± √(16 - 12)) / (-2)。

继续简化，得到x = (4 ±√4) / (-2)。

2024届新高考数学复习：专项(二次函数与一元二次不等式)好题练习(附答案)

2024届新高考数学复习：专项（二次函数与一元二次不等式）好题练习[基础巩固]一、选择题1．如果函数f(x)＝12(2－m)x2＋(n－8)x＋1(m>2)在区间[－2，－1]上单调递减，那么mn 的最大值为()A．16 B．18C．25 D．302．不等式x2＋3x－4>0的解集是()A．{x|x>1或x<－4}B．{x|x>－1或x<－4}C．{x|－4<x<1}D．{x|x<－1或x>4}3．关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是()A．(－∞，1)∪(2，＋∞)B．(－1，2)C．(1，2)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)4．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则实数a的取值范围是()A．{a|－4≤a≤4}B．{a|－4<a<4}C．{a|a≤－4或a≥4}D．{a|a<－4或a>4}5．已知函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值是5，最小值是1，则实数m的取值范围是()A．[2，＋∞) B．[2，4]C．(－∞，2] D．[0，2]6．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240).每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台7．(多选)若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的值可以为()A．－6 B．－5C．－4 D．08．当x∈[0，1]时，下列关于函数y＝(mx－1)2的图象与y＝x＋m 的图象交点个数说法正确的是()A．当m∈[0，1]时，有两个交点B．当m∈(1，2]时，没有交点C．当m∈(2，3]时，有且只有一个交点D．当m∈(3，＋∞)时，有两个交点9．(多选)下列四个解不等式，正确的有( ) A ．不等式2x 2－x －1>0的解集是{x |x >2或x <1}B ．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是{x ⎪⎪x ≤－23 或x ≥12 } C ．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是3 D ．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q ，1)，则p ＋q 的值为－1二、填空题10．若0<a <1，则不等式(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为________．12．已知一元二次不等式(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．[强化练习]13．(多选)对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式a (x －a )(x ＋1)>0的解集可能为( )A ．∅B ．(－1，a )C ．(a ，－1)D ．(－∞，－1)∪(a ，＋∞)14．(多选)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)，则下列说法正确的是( )A ．若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，则k ＝－25B ．若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，则k ＝66 C ．若不等式的解集为R ，则k <－6D ．若不等式的解集为∅，则k ≥6615．已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x －a )(x －b )(x －2a －b )≥0，则( ) A ．a <0 B ．a >0 C ．b <0 D ．b >016．[2023ꞏ山东省实验中学模拟]某辆汽车以x km/h 的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x ≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为15 ⎝⎛⎭⎫x －k ＋4 500x L ，其中k 为常数．若汽车以120 km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L ，则k ＝________，欲使每小时的油耗不超过9 L ，则速度x 的取值范围为________．参考答案1．B 因为m >2，所以函数f (x )的图象开口向下，所以8－n2－m≤－2，即8－n ≥－2(2－m )，所以n ≤12－2m ，故nm ≤(12－2m )m ＝－2m 2＋12m ＝－2(m －3)2＋18≤18，当且仅当m ＝3，n ＝6时等号成立，故选B.2．A 由x 2＋3x －4>0得(x －1)(x ＋4)>0，解得x >1或x <－4.故选A.3．C 由题意知－ba ＝1，即b ＝－a 且a >0. 则不等式(ax ＋b )(x －2)<0. 化为a (x －1)(x －2)<0. 故解集为(1，2).4．A 因为函数y ＝x 2＋ax ＋4的图象开口向上，要使不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，所以Δ＝a 2－16≤0.∴－4≤a ≤4.5．B f (x )＝x 2－4x ＋5可转化为f (x )＝(x －2)2＋1.因为函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，f (2)＝1，f (0)＝f (4)＝5，且函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，所以实数m 的取值范围为[2，4]，故选B. 6．C y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0，即x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去). 7．CD 方法一 ∵x ∈[1，5]，∴不等式x 2＋ax －2>0化为a >2x －x ，令f (x )＝2x －x ，则f ′(x )＝－2x 2 －1<0， ∴f (x )在[1，5]上单调递减，∴f (x )min ＝f (5)＝25 －5＝－235 ，∴a >－235 .方法二由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根，于是不等式在[1，5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得：a >－235 .8．B 设f (x )＝(mx －1)2，g (x )＝x ＋m ，其中x ∈[0，1]．A ．若m ＝0，则f (x )＝1与g (x )＝x 在[0，1]上只有一个交点(1，1)，故A 错误．B ．当m ∈(1，2]时，∵12 ≤1m ＜1，∴f (x )≤f (0)＝1，g (x )≥g (0)＝m ＞1，∴f (x )＜g (x )，即当m ∈(1，2]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象在x ∈[0，1]时无交点，故B 正确．C ．当m ∈(2，3]时，∵13 ≤1m ＜12 ，∴f (x )≤f (1)＝(m －1)2，g (x )≥g (0)＝m ，不妨令m ＝2.1，则f (x )≤1.21，g (x )≥ 2.1 ≈1.45，∴f (x )＜g (x )，此时无交点，即C 不一定正确．D ．当m ∈(3，＋∞)时，g (0)＝m ＞1＝f (0)，此时f (1)＞g (1)，此时两个函数图象只有一个交点，∴D 错误．9．BCD A 中，不等式2x 2－x －1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <－12 ，A 不正确；B 正确；C 中，a >0，且21a ＝7，所以a ＝3，C 正确；D 中，－2＝q ，－p ＝q ＋1＝－2＋1＝－1，∴p ＝1，∴p ＋q ＝1－2＝－1，D 正确．故选BCD.10.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 或x >1a 答案解析：∵0<a <1，∴a <1a ，∴不等式(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 或x >1a . 11．[－1，1]答案解析：当x ≤0时，由x ＋2≥x 2，解得－1≤x ≤2. ∴－1≤x ≤0，当x >0时，由－x ＋2≥x 2解得－2≤x ≤1， ∴0<x ≤1.综上，不等式f (x )≥x 2的解集为[－1，1]. 12．(2，6)答案解析：由题意知m －2≠0 ∴m ≠2∵不等式(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4>0的解集为R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，4（m －2）2－16（m －2）<0，解得2<m <6. 13．ABCD 对于a (x －a )(x ＋1)>0，当a >0时，y ＝a (x －a )(x ＋1)开口向上，与x 轴的交点为a ，－1，故不等式的解集为x ∈(－∞，－1)∪(a ，＋∞)；当a <0时，y ＝a (x －a )(x ＋1)开口向下，若a ＝－1，不等式解集为∅；若－1<a <0，不等式的解集为(－1，a )，若a <－1，不等式的解集为(a ，－1)，综上，ABCD 都成立．14．ACD A 中，∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}， ∴k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25 ，A 正确；B 中，∵不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－6 ，B 错； C 中，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－6，C 正确； D 中，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66 ，D 正确．15．C 方法一若a ，b ，2a ＋b 互不相等，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，b ≤0，2a ＋b ≤0 时，原不等式在x ≥0时恒成立，又因为ab ≠0，所以b <0；若a ＝b ，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＝b ，2a ＋b ≤0时，原不等式在x ≥0时恒成立，又因为ab ≠0，所以b <0；若a ＝2a ＋b ，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＝2a ＋b ，b ≤0时，原不等式在x ≥0时恒成立，又因为ab ≠0，所以b <0；若b ＝2a ＋b ，则a ＝0，与已知矛盾；若a ＝b ＝2a ＋b ，则a ＝b ＝0，与已知矛盾．综上，b <0，故选C.方法二特殊值法：当b ＝－1，a ＝1时，(x －1)(x ＋1)(x －1)≥0在x ≥0时恒成立；当b ＝－1，a ＝－1时，(x ＋1)(x ＋1)(x ＋3)≥0在x ≥0时恒成立；当b ＝1，a ＝－1时，(x ＋1)(x －1)(x ＋1)≥0在x ≥0时不一定成立．故选C.16．100 [60，100]答案解析：由题意，当x ＝120时，15 ⎝⎛⎭⎫120－k ＋4 500120 ＝11.5，解得k ＝100.由15 ⎝⎛⎭⎫x －100＋4 500x ≤9，得x 2－145x ＋4 500≤0，解得45≤x ≤100，又∵60≤x ≤120. ∴60≤x ≤100.。

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1.如果函数f (x )＝1
2(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )
A ．16
B ．18
C ．25 D.81
2
答案 B
解析由已知得f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8，又对任意的x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，f ′(x )≤0，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
f ′⎝⎛⎭⎫12≤0f ，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
m ≥0，n ≥0m ＋2n ≤182m ＋n ≤12
，画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
令mn ＝t ，则当n ＝0时，t ＝0，当n ≠0时，m ＝t
n
.由线性规划的相关知识知，只有当直
线2m ＋n ＝12与曲线m ＝t
n
相切时，t 取得最大值．由
⎩⎨⎧
－t n 2＝－12
6－12n ＝t n
，
解得n ＝6，t ＝18，所以(mn )max ＝18，选B.
2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0
答案 A
解析由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b
2a
＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，∴a >0，选A.
3．两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图象可能是( )
答案 D
解析函数f (x )图象的对称轴为x ＝－b 2a ，函数g (x )图象的对称轴为x ＝－a 2b ，显然－
b
2a 与－a
2b
同号，故两个函数图象的对称轴应该在y 轴的同侧，只有D 满足．故选D.
4．若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫
π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，2]
解析 f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，则t ∈⎝⎛⎭⎫1
2，1，原函数化为y ＝－2t 2＋at ＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝⎛⎭⎫
12，1上是减函数，结合抛物线图象可知，a 4≤1
2
，所以a ≤2.
5.已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．
点击观看解答视频
答案 2或－1
解析 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，在x ∈[0,1]时，当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ；
当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1；当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a .
根据已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤0，1－a ＝2.
解得a ＝2或a ＝－1.
6．对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋
5
c 的最小值为________．
答案－2
解析设2a ＋b ＝t ，则2a ＝t －b ，由已知得关于b 的方程(t －b )2－b (t －b )＋4b 2－c ＝0有解，即6b 2－3tb ＋t 2－c ＝0有解．
故Δ＝9t 2－24(t 2－c )≥0，所以t 2≤8
5
c ，
所以|t |max ＝210c 5，此时c ＝58t 2，b ＝14t ，2a ＝t －b ＝3t 4，所以a ＝3t
8.
故3a －4b ＋5c ＝8t －16t ＋8
t 2＝8⎝⎛⎭⎫1t 2－1t ＝8⎝⎛⎭⎫1t －122－2≥－2.
7．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R.若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．
答案 (0,1)∪(9，＋∞)
解析在同一坐标系中分别作出函数f (x )与y ＝a |x －1|的图象，由图知，当a ＝0时，两函数的图象只有2个交点，当a <0时，两图象没有交点，故必有a >0.
若曲线y ＝－x 2－3x (－3≤x ≤0)与直线y ＝－a (x －1)(x ≤1)相切，联立方程得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则由Δ＝0得a ＝1(a ＝9舍去)，因此当0<a <1时，f (x )的图象与y ＝a |x －1|的图象有4个交点；
若曲线y ＝x 2＋3x (x >0)与直线y ＝a (x －1)(x >1)相切，联立方程得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则由Δ＝0可得a ＝9(a ＝1舍去)，因此当a >9时，f (x )的图象与y ＝a |x －1|的图象有4个交点，故当方程有4个互异实数根时，实数a 的取值范围是(0,1)∪(9，＋∞)．。