2.2-6无穷小的阶
常用的等价无穷小及泰勒公式
常用的等价无穷小及泰勒公式常用的等价无穷小及泰勒公式一、等价无穷小等价无穷小是微积分中常用的概念，它在研究极限、无穷级数和泰勒公式等数学问题时具有重要的作用。
等价无穷小是指当自变量趋于某一特定值时，与之相对应的函数值的差异可以忽略不计。
在这里，我们将介绍几种常用的等价无穷小的概念。
1. 零阶无穷小零阶无穷小是最基本的一类等价无穷小。
它表示当自变量趋于某一特定值时，函数值的差异为无穷小，但它的阶数为0。
零阶无穷小通常表示为$o(x)$。
例如，当$x$趋于0时，$x^2$是一个零阶无穷小。
2. 一阶无穷小一阶无穷小是比零阶无穷小更高一级的概念。
它表示当自变量趋于某一特定值时，函数值的差异为无穷小，但它的阶数为1。
一阶无穷小通常表示为$O(x)$。
例如，当$x$趋于0时，$x$是一个一阶无穷小。
3. 高阶无穷小高阶无穷小是比一阶无穷小更高阶的概念。
它表示当自变量趋于某一特定值时，函数值的差异为无穷小，但它的阶数大于1。
高阶无穷小通常表示为$o(x^n)$或$O(x^n)$，其中$n>1$。
例如，当$x$趋于0时，$x^3$是一个三阶无穷小。
二、泰勒公式泰勒公式是一种重要的数学工具，用于将一个函数在某一点附近的局部信息转化为整体的近似信息。
泰勒公式可以将一个光滑函数表示为无穷级数的形式，使得我们可以通过有限项来近似计算函数的值。
1. 一元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式可以表示为以下形式：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$a$为泰勒展开点，$f^{(n)}(a)$表示函数$f(x)$在点$a$处的$n$次导数。
2. 多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式可以表示为以下形式：$$f(\\mathbf{x}) = f(\\mathbf{a}) + \abla f(\\mathbf{a}) \\cdot (\\mathbf{x}-\\mathbf{a}) + \\frac{1}{2!}(\\mathbf{x}-\\mathbf{a})^T \\cdotH(\\mathbf{a}) \\cdot (\\mathbf{x}-\\mathbf{a}) + \\ldots $$其中，$\\mathbf{x}$和$\\mathbf{a}$为多元函数的向量自变量，$\abla f(\\mathbf{a})$为函数$f(\\mathbf{x})$在点$\\mathbf{a}$处的梯度向量，$H(\\mathbf{a})$为函数$f(\\mathbf{x})$在点$\\mathbf{a}$处的Hessian矩阵。
第三节无穷小量与无穷大量、无穷小的阶2012-9-23
第三节无穷小量与无穷大量、无穷小的阶2012-9-23§2.3 无穷小量与无穷大量教学目的：掌握无穷小量与无穷大量的定义及性质；掌握无穷小量阶的概念，能正确判断所给两个无穷小量的关系；熟记常用的等价无穷小量，会灵活运用求极限．重难点：正确运用无穷小量与无穷大量的概念及性质，熟练运用等价无穷小量计算函数的极限，证明相关问题.教学过程:在极限的研究中，极限为零的函数发挥着重要的作用。
一、无穷大量1.引例：函数 11y x =-在1x →时的变化趋势. 当x 越来越接近1时，11y x =-越来越大，在x 无限接近1时，11x -可以任意大.“任意大”就是不论预先指定一个多么大的正数，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，变量的绝对值就可以大于那个指定的正数.显然，对于0M ?>，要使 11M x >-，只要11x M -<就可以了，此时称1x →时，11y x =-是一个无穷大量.即 11lim 1x x →=∞-. 2.【定义2.8】对于0E ?>，变量y 在其变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，不等式 y E >恒成立，则称变量y 无穷大量，或称变量y 趋于无穷大.记作lim y =∞. 另一种定义：设)()(y D U ??λ (或x 大于某一正数时有定义), 0>?M ,0>?θ（或正数X ）,当),(θλ U x ∈（或x X >）时,恒有M y >||,则称y 当λ→x 时为无穷大量, 记作∞=→y x λlim . 注：① 无穷大量并不是很大数.② 将||y M >换成y M >,可定义lim x y λ→=+∞. ③ 将||y M >换成y M <-,可定义lim x y λ→=-∞.可以证明 1111lim ,lim 11x x x x +-→→=+∞=-∞--.二、无穷小量 1.【定义2.9】以0 为极限的变量称为无穷小量.即对于0ε?>，变量y 在其变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，不等式y ε<恒成立，则称变量y 无穷小量.另一种定义：若lim ()0x f x λ→=,称()f x 当x λ→时为无穷小量,记作()(1)f x o =,(x λ→).注意：无穷小量并不是很小数，而是某一过程中极限为０的量．常数中只有０是无穷小量．例1 讨论下列无穷小量：（1）lim 20n -→∞= n , ∴ n →∞时，变量2n n y -=是无穷小量；即n →∞时，2(1)n o -=；(2) 1lim(1)0x x →-= , ∴ 1→x 时， 1-x )1(o =； (3) 1lim 0x x →∞= , ∴ ∞→x 时，x1)1(o =；(4) 21lim 01n n →∞=+ , ∴∞→n 时， 112+n )1(o =. （5）20li m 0x x →= , ∴ 0x →时，2x (1)o =.2．性质【定理2.5】变量y 以A 为极限y A a ?=+，其中a 是一个无穷小量. 即lim ()x f x A λ→=?()(1)f x A o =+ ?()(1)f x A o -=,x λ→.证明：lim ()lim[()]0x x f x A f x A λλ→→=?-= ()(1)f x A o ?-=()(1),f x A o x λ?=+→.【定理2.6】如果变量a 是一个无穷小量，()y f x =是个有界变量，则变量ay 是无穷小量.即(1)(1)(1)O o o ?=, x λ→.证：设变量y 是某个时刻后的有界变量，所以存在正数M ，在这一刻后恒有y M ≤.又因为 a 是一个无穷小量，所以对于0ε?>，总有那么一个时刻，在那个时刻以后恒有a M ε<.从而在那个时刻以后，恒有ay a y M M εε=?<=成立.故变量ay 是无穷小量. 另证明：设)1(O u =,)(λU x ∈?10,0M δ?>> ..t s M u ≤||,1(,)x U λδ∈ ；又设)1(o v =,那么0>?ε,20δ?>..t s 2(,)x U λδ∈ 时,M v ε<||,取12min{,}δδδ= ..t s 当(,)x U λδ∈ 时,有M u ≤||,M v ε<||, 于是εε=?<?≤MM v u uv ||||||, 所以)1(o uv = 即)1()1()1(o o O =, )(λ→x .例2 证明 01lim sin0x x x→?=. 证因为1sin 1x≤，所以1sin x 是有界变量，又因为0lim 0x x →=；故01lim sin 0x x x →?=. 【推论1】常量与无穷小量的乘积还是无穷小量.即(1)(1)C o o ?=, x λ→.【推论2】两个无穷小量的和是无穷小量，即(1)(1)(1),o o o x λ±=→.证明：设(1)u o =,(1)v o =，那么0ε?>,10δ?>..s t 1(,)x U λδ∈时,||2u ε<, 20δ?>..s t 2(,)x U λδ∈ 时,||2v ε<, 取{}12min ,δδδ= ..s t 当12(,)(,)(,)x U U U λδλδλδ∈= , 时, 同时有||2u ε<,||2v ε<,于是 ||||||22u v u v εε±≤+【推论3】有限个无穷小量的积仍是无穷小量.注意：无限个无穷小的和不一定是无穷小.例11lim()10n n n →∞++=≠ ；314lim()0325n n n n→∞++=-. 【推论4】有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量.即(1)(1)(1),o o o x λ?=→. (可推广至有限项)例3计算极限(1) sin lim 0x x x→∞= (2) 201lim sin 0x x x→=. 解：因0lim 0x x →=,1sin 1x≤(0)x ≠, 所以 201lim sin 0x x x→=. (3) arctan lim x x x→∞. 解：因1lim 0x x →∞=,arctan 2π≤, 所以 arctan lim 0x x x→∞=. (4★)lim (sin 1sin )x x x →+∞+- 解：由于sin 1sin x x +-112cossin 22x x x x +++-=，而 1cos 2x x ++ 是有界函数，且 1l i m s i n 2x x x →+∞+- 1lim sin 02(1)x x x →+∞==++，故 l i m (s i n 1s i n )0x x x →+∞+-=． (2) 由于cos x 是有界函数，而2lim01x x x →+∞=+，故 2c o s l i m 01x x x x →+∞=+．三、无穷大与无穷小的关系【定理2.7】在变量y 的变化过程中，（1）如果y 是无穷大量，则 1y是无穷小量；（2）如果(0)y y ≠是无穷小量，则 1y是无穷大量.另一种形式：在自变量的同一变化过程中，若()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小；反之，若()f x 为无穷小且()0f x ≠，则1()f x 为无穷大. 分析：（1）0ε?>,欲使1()f x ε<, 只需1()f x ε>，取1E ε=即可；（2）0E ?>,欲使()f x E >, 只需11()f x E <，取1E ε=即可. 例如由于11lim 1x x →=∞-，所以1x →时，1x -是无穷小量且非零，所以 11x -是无穷大量. 例4 根据定义证明：(1) 1y x =-为当1x →时的无穷小；证明：0ε?>,取0δε=>,当0|1|x δ<-<时,恒有|||1|y x ε=-<,所以 1y x =-为当1x →时的无穷小. (2) 1cosy x x=为当0x →时的无穷小. 证明：0ε?>,取0δε=>,当0|0|x δ<-<时, 恒有 1|0|cos||0y x x x x ε-=≤=-<, 所以1cosy x x =为当0x →时的无穷小. 例5 函数12x y x+=是当0x →时的无穷大,问x 应满足什么条件,能使4||10y >？（1）证明：0E ?>,欲使1211||22||x y E x x x +==+≥->, 只需 10||2x E <<+ 即可. 取 102E δ=>+,则当0||x δ<<时, 恒有 12||x y E x+=>, 所以 0012lim lim x x x y x→→+==∞. (2) 欲使4||10y E >=,取41110210002δ==+, 则x 满足10||10002x << 即可. 例6 函数sin y x x =在区间(0,)+∞内是否有界?又当x →+∞时,这个函数是否为无穷大?为什么?解：(1)取22x k ππ=+,则(2)sin(2)2222y k k k ππππππ=++=+, 0,1,2,k =, 可见, 函数sin y x x =在区间(0,)+∞内无界.(2)取x k π=,则sin()0y k k ππ==,1,2,k = ,可见,当x →+∞时,函数sin y x x =不是无穷大.例7函数1siny x x=在区间(0,)+∞内是否有界?又当x →+∞时,这个函数是否为无穷大?为什么? 解：(1)当0x >时,111sin||sin ||1x x x x x x≤≤=, 可见, 函数1sin y x x=在区间(0,)+∞内有界. (2)因函数1sin y x x=在区间(0,)+∞内有界, 可见,当x →+∞时,函数sin y x x =不是无穷大.提问：当0x →时,下列变量中哪些是无穷小量？22223221100,,,,,,0,0.1,0.012x x x x x x x x x x x x +-解 222231100,,,,0,0.1,0.012x x x x x x x x x +-是无穷小量. 若改为x →∞时，回答上述提问.提问1：函数21(1)y x =-在什么变化过程中是无穷大量？又在什么变化过程中是无穷小量？解2111lim lim (1)x x y x →→==∞?-21(1)y x =-是1x →时的无穷大量；21lim lim 0(1)x x y x →∞→∞==?-,21(1)y x =-是x →∞时的无穷小量. 提问2：下列极限不正确的是( ).(A )e 10lim x x →=∞； (B )e 10lim 0xx -→=；(C )e 10lim x x +→=+∞； (D )e 1lim 1xx →∞=. 提问3：若lim (),lim ()x a x af xg x →→=∞=∞，则必有( D ). (A )lim[()()]x a f x g x →+=∞；(B )lim[()()]x af xg x →-=∞ (C )1lim0()()x a f x g x →=+；(D )lim ()x a kf x →=∞(k 为非零常数) 四、无穷小量的阶无穷小量虽然都是趋于0的变量，但不同的无穷小量趋于0的速度却不一定相同，有时可能差别很大.例如当0x →时，2,2x x x 都是无穷小量，它们趋于0的速度的差别可以通过下表体现：x 1 0.5 0.1 0.01 0.001 → 0 2x2 1 0.2 0.02 0.002 → 0 2x 1 0.25 0.01 0.0001 0.000001 → 0【定义2 .10】(无穷小的比较)设(),()x x ααββ==,为同一极限过程中的无穷小,且0α≠.则1)β是比α高阶的无穷小—— lim0x λβα→=, 记作()o βα=,()x λ→；2) β是比α低阶的无穷小—— lim x λβα→=∞；3) β与α是同阶无穷小——lim 0x C λβα→=≠, (C 为常数)；4)β是关于α的k 阶无穷小—— lim0kx C λβα→=≠, (C 为常数, 0k >)；5)β与α是等价无穷小—— lim 1x λβα→=,记作~αβ,()x λ→. 例8 (1) 203lim 0x x x→=, ∴23()x o x =, (0)x →. (2) 21lim 1n n n→∞=∞, ∴ 当n →∞时,1n 是比21n低阶的无穷小. (3) 239lim 63x x x →-=-, ∴当3x →时,29x -与3x -是同阶无穷小.(4) 2x x +；解： 200lim lim(1)1x x x x x x→→+=+=?2~x x x +,(0)x →. (等价无穷小)例9 当0x →时证明下列结论正确：(1) 22211~x x x +--.证明：因为 2222200112lim lim 11x x x x x x x→→+--=++- 211010==++-, 所以22211~x x x +--（当0x →时）.（2）111~n x x n+-,(0)x →.（常用作代换）证明：因 011lim 1n x x x n→+- 012(1)1lim 1[(1)(1)1]n n x n n n n x x x x n→--+-=+++++ 120lim (1)(1)1n n x n n n x x --→=+++++ 1111n n n ===+++所以 111~n x x n+-,(0)x →. 例10 (89.3) 设()232x x f x =+-.则当0x →时( B ).(A) ()f x 与x 是等价无穷小量(B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量(C) ()f x 比x 较高阶的无穷小量(D) ()f x 比x 较低阶的无穷小量答选(B).因0000lim ()lim(232)2320x x x x f x →→=+-=+-=, 又 00()232lim lim x x x x f x x x →→+-=00(21)(31)lim lim x x x x x x →→--=+ln 2ln 31=+≠,小结: 1.弄清无穷大和无穷小的概念；注意无穷小量并不是很小数，常数只有零为无穷小量.无穷大量不是很大的数.2.在自变量的同一变化过程中，两个无穷大相加或相减的结果是不确定的.但是可以将无穷大的问题转化为无穷小，利用无穷小的性质解决无穷大问题.课后记：利用极限的性质求函数极限时概念不熟悉. 不能灵活运用等价无穷小量计算极限．。
无穷小的比较公式
无穷小的比较公式无穷小比较是微积分中的一个重要概念，用来比较无穷小的大小。
在学习微积分时，我们经常会遇到一些涉及到无穷小的极限问题，而比较无穷小的大小关系就成为解决这些问题的关键。
首先，我们来回顾下无穷小的定义。
如果一个数列{a_n}对于任意正实数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有，a_n，<ε成立，则称该数列{a_n}为无穷小。
换句话说，数列的极限为零时，我们称它为无穷小。
对于无穷小的比较，我们有以下几个基本的比较原则：1.同类无穷小的比较：如果{a_n}和{b_n}是两个无穷小数列，并且对于任意正实数ε，存在正整数N，当n>N时，有，a_n，<，b_n，<ε成立，则称{a_n}的无穷小阶比{b_n}的无穷小阶低。
2.常数和无穷小的比较：对于任意确定的有限实数a ≠ 0，若 {b_n} 是一个无穷小数列，那么 ab_n (n > N) 是一个相对于 {b_n} 的同类无穷小，其无穷小阶相同。
3.多项式和无穷小的比较：对于一个n次多项式P(x)和一个无穷小数列{a_n}，如果存在正整数N和正实数M，使得当n>N时，有，a_n，<M*，P(x)，成立，则称{a_n}为P(x)的更高阶无穷小。
使用这些比较原则，我们可以解决一些与无穷小相关的极限问题。
下面举几个例子来说明。
例子1：求极限 lim(n -> ∞) (e^n / n^2)解：首先，我们可以将极限中的分子e^n和分母n^2分别表示为无穷小的形式。
因为e^n是指数函数，其增长速度远大于任何多项式函数，所以e^n是比n^2更高阶无穷小。
所以我们可以得到以下关系：n^2是比1更高阶无穷小，而e^n是比n^2更高阶无穷小。
根据比较原则3，当n->∞时，e^n/n^2是一个相对于n^2的同类无穷小，其无穷小阶比n^2的无穷小阶低。
因为n^2是一个正实数，所以当n->∞时，e^n/n^2的极限为零。
2-6无穷小的比较 无穷小的阶
cos(a 2
b)
,
x
1
1
cos(a 2
b) ,
x
1
四、1、 cos(a bx), x 1 ；
2、a 2k ( k 0, 1, ) ,b 0.
x0
x2
2
1
lim(cos x)ln(1x2 )
e . 1 2
x0
练习 求 lim ex ex ,( ,且不同时为零) x0 sinx sin x
解
原式
lim
x0
2
sin
ex 1
x
1 cos
ex
x
2
2
ex 1
1 ex
x0
x
三、 证明：若 , 是无穷小，则
~ 0( ).
x2n1 sin x cos(a bx)
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f (x) 的表达式 .
2、确定 a,b 的值,使得
lim f ( x) f (1)， lim f ( x) f (1) .
x f ( x) x
不存在且不为无穷大
故当 x 函数 f ( x)和g( x)不能
比较.
练习题
一、填空题：
1、lim tan 3x ________; x0 sin 2 x
2、
arcsin xm
lim
x0
(sin x)n
_______;
3、 lim ln(1 2x) ________;
lim(
2-6 无穷小量的比较
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小, 记作 o( )；
( ２ ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小 ; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
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tan 2 x 例３ 求 lim . x 0 1 cos x
2
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 2 x 2
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限．
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( x 1) sin x . 例４ 求 lim x 0 arcsin x
解
当x 0时, sin x ~ x , arcsin x ~ x .
( x 1) x lim( x 1) 1. 原式 lim x 0 x 0 x
注意
不能滥用等价无穷小代换.
切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换.
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(4) 如果 lim k C 0, k 0, 就说 是 的 k 阶的 无穷小.
例如，
x2 lim 0， x 0 3 x
sin x lim 1， x 0 x
即 x o( 3 x ) ( x 0).
2
当 x 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小 ;
大学微积分无穷小量的性质与无穷小量的阶
sin
cos
1
sin(
2
)
2 sin(
)(5)
2
cos sin 1 sin( ) sin( )(6)
2
cos cos 1 cos( ) cos( )(7) sin sin 21 cos( ) cos( )(8)
2
arctan x lim x0 arcsin x
解 ∵ 当 x 0 时，
arctan x ~ x, arcsin x ~ x
lim arctanx lim x 1 x0 arcsin x x0 x
微积分（二） calculus
例8 求 lim x0
1 x sin x 1 ex2 1 x0（或
x ）时，
( x )
f (x) 与 g(x)是同阶无穷小量.
特别的，当 c 1时，则称当 x x0（或 x ）时，
f (x) 与 g(x)是等价无穷小量，记作
f (x) ~ g(x) x x0 或 x
注意
无穷小量阶的意义： 反映无穷小量趋于零的速度.
补充：
微积分（二） calculus
思考题：
任意两个无穷小都可以比较吗？
x 2 sin 1
lim
x0
x x2
lim sin 1 x0 x
不存在. 不可比.
作业
微积分（二） calculus
先看书 再做练习
P66 练习2.4 T1（2、3、4），T2(3、4)， T5（3、4）
补充三角函数的微和积差分（化二积） 与calc积ulu化s 和差
x0
x0
x0
微积分（二） calculus
推论：有限个无穷小量的代数和还是无穷小.
高阶无穷小的四则运算公式
高阶无穷小的四则运算公式高阶无穷小是微积分中一个非常重要的概念，它在解决极限、微分和积分等问题时起着至关重要的作用。
通过四则运算公式，我们可以更好地理解高阶无穷小的性质和运算规则。
首先，让我们来回顾一下无穷小的定义。
在某个点a处，如果函数f(x)满足对于任意给定的正实数ε，存在一个正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)|<ε成立，那么我们称f(x)在点a处是无穷小。
无穷小可分为一阶无穷小、二阶无穷小，以此类推。
高阶无穷小即指无穷小的阶数更高。
接下来，我们将介绍高阶无穷小的四则运算公式。
这些公式包括加法、减法、乘法和除法。
首先是加法的运算公式。
设f(x)和g(x)是函数，它们分别在点a处是高阶无穷小，那么它们的和f(x)+g(x)在点a处也是高阶无穷小。
换句话说，高阶无穷小的和仍然是高阶无穷小。
接下来是减法的运算公式。
同样假设f(x)和g(x)是在点a处的高阶无穷小，那么它们的差f(x)-g(x)在点a处也是高阶无穷小。
这个公式告诉我们，高阶无穷小的差也是高阶无穷小。
然后是乘法的运算公式。
设f(x)和g(x)是在点a处的高阶无穷小，那么它们的乘积f(x)g(x)在点a处也是高阶无穷小。
这个公式说明，高阶无穷小的乘积仍然是高阶无穷小。
最后是除法的运算公式。
假设f(x)和g(x)是在点a处的高阶无穷小，且g(x)在点a处不为零，那么它们的商f(x)/g(x)在点a处也是高阶无穷小。
这个公式告诉我们，高阶无穷小的商仍然是高阶无穷小。
通过以上四则运算公式，我们可以对高阶无穷小进行复杂的运算。
这些公式为我们解决函数极限、导数和积分等问题提供了便利。
不仅如此，高阶无穷小的四则运算公式也有一定的指导意义。
它们在理解微积分的基本概念和解决实际问题时起到了重要的作用。
在实际应用中，我们可以利用这些公式精确计算高阶无穷小的值，从而得到更准确的结果。
总之，高阶无穷小的四则运算公式对于掌握微积分的基本知识和解决实际问题具有重要意义。
高阶无穷小计算规则
高阶无穷小计算规则
嘿，朋友们！今天咱们来聊聊高阶无穷小的计算规则。
啥是高阶无穷小呢？简单说，就是在某个变化过程中，一个无穷小
量比另一个无穷小量趋向于零的速度更快。
在计算的时候，有这么几个重要的规则得记住哈。
允许这样做：如果有两个无穷小量α和β，当α/β的极限等于0 时，那α就是β的高阶无穷小。
比如说，当 x 趋向于 0 时，x²就是 x 的高
阶无穷小。
为啥呢？因为 x 趋向于 0 时，(x²)/x 的极限是 0 呀，这就说
明 x²趋向于 0 的速度比 x 快得多。
禁止这样做：可别随便把不同阶的无穷小量直接相加减就认为还是
无穷小量哦。
比如说 x 是一个无穷小量，x²是比 x 高阶的无穷小量，
要是直接把它们相加，x + x²，可不能简单地认为它还是个无穷小量。
还有哦，如果有一串无穷小量α₁，α₂，α₃……，按照阶数从高到
低排列。
那在计算的时候，低阶的那些无穷小量在高阶无穷小量面前，影响就很小啦，可以忽略不计。
为啥要搞清楚这些规则呢？这可太重要啦！比如说在研究函数的极限、泰勒展开这些地方，搞清楚高阶无穷小，就能让咱们更准确地把
握函数的变化趋势，不会出错。
就像走迷宫，知道了这些规则，就等
于有了一张清晰的地图，能更快更准地找到出口。
总之，高阶无穷小的计算规则虽然有点复杂，但只要咱们用心去理解，多做几道题练练手，就一定能掌握好，让数学变得不再那么可怕，反而有趣起来！
好啦，今天关于高阶无穷小计算规则就说到这儿，希望对大家有帮
助哟！。
常用等价无穷小等价替换-常见等价无穷小等价
常用等价无穷小等价替换-常见等价无穷小等价在数学中，我们常常需要处理无穷小量的问题。
无穷小量就是那些在极限情况下趋近于零的量。
今天，我们聊聊常用的等价无穷小，特别是在数学分析中的应用。
1. 无穷小的概念1.1 什么是无穷小无穷小，简单来说，就是比任何正数都小的量。
比如，假设有一个量\(x\)，当它越来越接近0时，我们称之为无穷小。
很多时候，我们会用无穷小来近似计算一些复杂的数学问题，特别是在极限的过程中。
1.2 无穷小的例子比如，设 \(f(x) = x\)，当 \(x \to 0\) 时，\(f(x)\) 就是一个无穷小。
再如，\(g(x) = x^2\) 在 \(x\) 趋近于0时也是无穷小。
通过这些例子，我们可以理解，无穷小是处理极限问题的重要工具。
2. 等价无穷小的定义2.1 等价关系当我们说两个无穷小量 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在某个点附近是等价的，意思是它们在那个点附近的极限是相同的。
即：\[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1\]这意味着，当 \(x\) 趋近于0时，\(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的变化趋势是一致的。
2.2 常用的等价无穷小有些等价无穷小是特别常见的。
比如：\[\sin(x) \sim x \quad (x \to 0)\]这表明，当 \(x\) 很小时，\(\sin(x)\) 和 \(x\) 是等价的。
又如： \[1 \cos(x) \sim \frac{x^2}{2} \quad (x \to 0)\]这两者在极限情况下也趋于相同。
2.3 重要性这些等价无穷小帮助我们在做极限计算时简化问题。
通过把复杂的表达式转化为更简单的形式，我们可以轻松求解出原本难以解决的问题。
3. 应用实例3.1 求极限让我们看看一个具体的例子。
考虑极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\]我们知道，\(\sin(x) \sim x\)，所以这个极限可以写成： \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1\]这样，通过使用等价无穷小，我们很容易得到答案。
常见等价无穷小公式
常见等价无穷小公式在微积分中，无穷小是一种重要的概念，用于描述极限过程中趋于0的量。
无穷小可以被分类为等价无穷小和高阶无穷小。
等价无穷小是在极限过程中与给定无穷小相比具有相同的数量级，而高阶无穷小的数量级比给定无穷小要高。
等价无穷小在微积分中有着广泛的应用，可以简化复杂的极限计算。
以下是常见的等价无穷小公式：1.当x趋于无穷时，有以下等价无穷小公式：-x^n(n>0)是阶为无穷大的等价无穷小；-e^x-1是阶为无穷大的等价无穷小；- ln(1 + x) 是阶为无穷小的等价无穷小；- sin(x)、tan(x)、arcsin(x)、arctan(x) 是阶为无穷小的等价无穷小。
2.当x趋于0时，有以下等价无穷小公式：- (1 - cos(x)) 是阶为二阶无穷小的等价无穷小；- x - sin(x) 是阶为三阶无穷小的等价无穷小；- x - tan(x) 是阶为三阶无穷小的等价无穷小；- x - arcsin(x) 是阶为三阶无穷小的等价无穷小；- x - arctan(x) 是阶为三阶无穷小的等价无穷小；- ln(1 + x) 是阶为无穷小的等价无穷小。
3.在一些特殊的表达式中，有以下等价无穷小公式：- 当 x 趋于0 时，sin(x) / x 是阶为一阶无穷小的等价无穷小；- 当 x 趋于0 时，tan(x) / x 是阶为一阶无穷小的等价无穷小；- 当 x 趋于0 时，arcsin(x) / x 是阶为一阶无穷小的等价无穷小；- 当 x 趋于0 时，arctan(x) / x 是阶为一阶无穷小的等价无穷小。
这些等价无穷小公式在微积分中的应用是非常广泛的。
例如，在计算极限时可以将一个复杂的无穷小函数替换为一个数量级相同的等价无穷小函数，从而简化计算过程。
这些公式也有助于理解一些微积分概念的本质，如导数的定义和微分的概念。
需要注意的是，以上公式仅在特定条件下成立，例如在特定的极限过程中。
在具体的问题中，需要根据具体情况来确定等价无穷小的使用条件。
2.2.6无穷小的比较
一般地, 一般地 若x→x0时, α~A(x−x0)k(A≠0 , k>0), → − ≠ 则有: α=A(x−x0)k+o((x−x0)k), 及 α≈A(x−x0)k. 则有 − − α≈ −
求常数A和 例. 求常数 和k, 使x→0时, → 时
1 2 x 2 e
− cos 3 x ~ Ax k .
故, e − 1 ~ x.
x
无穷小的等价关系具有传递性, 在自变量x的某趋限过 无穷小的等价关系具有传递性 即: 在自变量 的某趋限过 程中，无穷小α 满足: 程中，无穷小α、β、γ, 满足 α~β, β~γ, 则必有 α ~ γ。 β γ 则必有:
由此可以证明: 由此可以证明
当 µ ≠ 0时 , (1 + x ) µ − 1 ~ µx , ( x → 0 ).
解：因为
1 2 x 2 e
1 2 = 1 + x + o( x 2 ), 2
1 cos 3 x = 1 − ( 3 x )2 + o( x 2 ), 2
1 2 x 2 所以， 所以，e
− cos 3 x = 5 x 2 + o( x 2 ) ~ 5 x 2 .
A 故， = 5，k = 2.
1 + sin x − cos x 例 : lim x →0 1 + sin( px ) − cos( px )
于是有: 于是有
sin x ~ x , sin x = x + o( x ), sin x ≈ x ,
tan x ~ x , tan x = x + o( x ), tan x ≈ x , x2 x2 x2 cos x − 1 ~ − , cos x = 1 − , + o ( x 2 ), cos x ≈ 1 − 2 2 2
无穷小量的阶数及其应用
1 无穷小量阶的概念及其运算定义1如果 00()lim ()k x x f x c x x ,就称 ()f x 是 0x x 时关于 0x x 的 k 阶无穷小量。
对于无穷小量的运算,我们有以下结论(1)如果 与 都是 0x 时关于 x 的 m 阶无穷小量,则 是关于 x 的 l 阶无穷小量,其中 l m ;(2)如果 ()m o x , ()n o x ,则是 l x 阶无穷小,其中 min(,)l m n ;(3)如果 ()m o x ,则 k 也是关于 x 的阶无穷小量;(4)如果 ()m o x ,则 1()m x o x ;(5)如果 ()m o x , ()n o x ,则 ()m n o x ;(6) 0x 时,如果, ()~lg x x ,则()()~k l f x g x x 是关于 x 的 k l 阶无穷小。
例1 0x 时, 3452x x x 是 2x 的高阶无穷小, 455x x .是 3x 的高阶无穷小量,则3454534(2)(5)7x x x x x x x 是 2x 的高阶无穷小, 也是 x 的高阶无穷小量。
2 无穷小量阶数的判断方法一、(提取公因数判断法)如果 ()f x 是有限项无穷小量的代数和,且0()()()k f x x x g x ,则当 0lim ()0xx g x c 时, ()f x 是 0x x 时关于 0x x 的 k 阶无穷小量。
例1问当 0x时,无穷小量是关于x 的几阶无穷小量？解221333sin [()]x x x x,21330sin lim[()]1x x x x,所以, 0x 时 x 的 23阶无穷小量。
方法二(导数判断法)如果 ()f x 在 0x x 点的邻域内有连续的 n 阶导数,且 ()0()0k f x ( 0,1,2...1k n )但 ()0()0n f x ,则 0x x 当时, ()f x 是关于 0x x 的 n 阶无穷小量。
怎么判断是几阶无穷小
怎么判断是几阶无穷小
设这个函数是f（x），则计算极限lim（x->0）f（x）/x^n，如果当n=p-1时，极限值=0。
当n=p时，极限值=常数，则可以判断，f（x）是x^p的同阶无穷小，当这个常数=1时，f（x）是x^p的等价无穷小。
根据常数所对应的阶数就可以看出是几阶无穷小。
无穷小量是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数、序列等形式出现。
无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。
确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f（x）与0无限接近，即f（x）→0（或f（x）=0），则称f （x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷小量。
特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。
几阶无穷小怎么看
几阶无穷小怎么看
设这个函数是f（x），则计算极限lim（x->0）f（x）/x^n，如果当n=p-1时，极限值=0。
当n=p时，极限值=常数，则可以判断，f（x）是x^p的同阶无穷小，当这个常数=1时，f（x）是x^p的等价无穷小。
根据常数所对应的阶数就可以看出是几阶无穷小。
无穷小量
无穷小量是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数、序列等形式出现。
无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。
确切地说，当自变量x 无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f（x）与0无限接近，即f（x）→0（或f（x）=0），则称f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷小量。
特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。
2.6 无穷小的阶
高等数学
tan x sin x . 3 x 0 x 1 sin x( 1) tan x sin x cos x 解 lim lim x 0 x 0 x3 x3
例7 求 lim
sin x (1 cos x ) lim 2 x 0 x x cos x 2 x lim x 0 2 x 2 cos x
二. 等价无穷小替换原理
定理2.6.1 α与β 是等价无穷小的充分必要条件为
高等数学
பைடு நூலகம் o( )
定理2.6.2 (等价替换原理) 设 , , , 为同一极限过
程中无穷小量, 且 ~ ~ , 若 lim 存在,
则 证明
lim lim
所以当 x→0时, x 是x的高阶无穷小； x是 x 的低阶无
穷小；sin x 与 x 是等价无穷小.
2 2
例2
1 cos x 1 因为 lim 2 x 0 2 x
2
所以, 当x→0时, 1 cos x 与 x 是同阶无穷小.
高等数学
例3
因为
ln(1 x ) lim x 0 x
cos x(esin x 1)2 . 例6 求 lim 2 x 0 tan x
解 因为，当 x 0 ，有sinx→0, 且
esin x 1 ~ sin x,tan2 x ~ x 2
运用等价无穷小的代换, 有
cos x(e sin x 1)2 sin 2 x lim lim cos x 1 2 2 x 0 x 0 tan x x
lim ln(1 x )
x 0
1 x
ln e 1
所以当 x→0时, ln(1+x) ~ x. 又
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通过比较，发现这些无穷小比值的极限是不同的 .
x2 lim = 0, x → 0 sin x
x → 0 时， x 趋于零的速度比 sin x 快.
2
x lim 2 = ∞ , x →0 x
x → 0 时，x 趋于零的速度比 x 2慢.
sin x lim = 1, x → 0 时，sin x 趋于零的速度与 x 相仿. x →0 x
究其原因，无穷小趋于零的“速度”是不同的关键.
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定义 设同一趋限过程中，limα ( x ) = 0, lim β ( x ) = 0 且 α ( x ) ≠ 0,
β ( x) (1) lim = 0, 称 β ( x ) 是 α ( x ) 的高阶无穷小 α ( x) 记作 β ( x ) = o(α ( x ))
推论2 若 lim α ′ f ( x ) 存在，则 lim α f ( x ) = lim α ′ f ( x ). 注 在求商或积的极限时，可代换分子或分母中的 一个或多个因子.
arctan x ∼ x 当 x → 0 时，
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ln(1 + x ) = lim ln(1 + x ) x lim x →0 x →0 x
1
u = (1+ x)
1 x
lim ln u = lne = 1
u→ e
当 x → 0 时，ln(1 + x ) ∼ x
ex − 1 lim x →0 x
第2.2.6节 无穷小的阶
一、无穷小的阶 二、等价无穷小代换定理 三、无穷小的主部
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一、无穷小的阶 回顾 有限个无穷小的和、差、积仍为无穷小. 问题 无穷小的商呢？
2 当 x → 0 时, x , x , sin = lim ⋅ x = 0; (2) lim 2 = lim = ∞; x →0 x x →0 x x → 0 sin x x → 0 sin x
β ( x) (2) lim = ∞ , 称 β ( x ) 是 α ( x )的低阶无穷小 α ( x) β ( x) (3) lim = C ( ≠ 0), 称 β ( x ) 与 α ( x ) 是同阶无穷小 α ( x) 记作 β ( x ) = O(α ( x ))
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u = ex − 1
u lim =1 u→ 0 ln(1 + u )
x x → 0 e 当 时， − 1 ∼ x
a −1 lim x →0 x
x
u = ax − 1
x u ln a a − 1 lim = ln a ⇒ lim =1 u→ 0 ln(1 + u ) x → 0 x ln a
x a 当 x → 0 时， − 1 ∼ x ln a
μ
a x − 1 ∼ x ln a
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二、等价无穷小代换定理 定理 设α , β , α ′ , β ′ 为某趋限过程中的无穷小，
α′ 若 α ~ α ′, β ~β ′, 且 lim 存在，则 β′ α α′ lim = lim . β β′ α β =1 证明 α ∼ α ′ ⇒ lim ′ = 1, β ∼ β ′ ⇒ lim α β' α α α′ β ′ ∴ lim = lim ⋅ ⋅ β α′ β ′ β
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(1 + x )μ − 1 = e μ ln(1+ x ) − 1 ∼ μ ln(1 + x ) ∼ μ x
μ (1 + x ) −1∼ μ x x → 0 当 时，
1 如 1+x − 1 ∼ x 2
常用的等价关系 当 x → 0 时，
x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x ∼ ln(1 + x ) 1 2 1 − cos x ∼ x , 2 e x − 1 ∼ x, (1 + x ) − 1 ∼ μ x
当 x → 0 时， sin x ∼ x , tan x ∼ x , arcsin x ∼ x
1 − cos x 1 1 − cos x lim = ⇒ lim =1 2 x →0 x→0 1 2 2 x x 2 1 2 1 − cos x ∼ x 当 x → 0 时， 2 arctan x t = arctan x t lim lim =1 x →0 t → 0 tan t x
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β ( x) lim = 1, 称β ( x ) 与 α ( x ) 是等价无穷小 特别地， α ( x) 记作 α ( x ) ∼ β ( x ) β ( x) (4) lim k = C ( ≠ 0), ( k > 0) α ( x) 称 β ( x ) 是 α ( x ) 的 k 阶无穷小
(1) 自反性： α ∼ α (2) 对称性： 若 α ∼ β , 则 β ∼ α . (3) 传递性： 若 α ∼ β , β ∼ γ , 则 α ∼ γ .
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6
sin x tan x arcsin x = 1, lim = 1, lim =1 回顾 lim x →0 x →0 x→0 x x x
注意到 当 x → x0 时， x − x0 → 0
x − x0 称为基本无穷小
lim 特别地，x →x
α ( x)
( x − x0 )
k
= C ( ≠ 0), ( k > 0)
0
称α ( x ) 是 x → x0 时关于 x − x0 的 k 阶无穷小
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类似地，我们可以定义高阶无穷大、低阶无穷大、 同阶无穷大、等价无穷大的定义. 借鉴符号 o(α ), 把某种趋限情况下的无穷小量记作 o(1). 等价无穷小的基本性质：
α α′ β′ α′ = lim ⋅ lim ⋅ lim = lim . α′ β′ β β′
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注 使用等价无穷小时，可以仅仅代换分子或分母
α α′ lim = lim , β β
α α lim = lim . β β′
α f ( x) α ′ f ( x) α ′ f ( x) . = lim 推论1 若 lim 存在，则 lim β β′ β′