高一数学必修一常用公式及常用结论

高中数学必修一、二常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系

U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.

2.包含关系

A B A A B B =⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=U

3．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 4.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式2

()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2

()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.

5.闭区间上的二次函数的最值

二次函数)0()(2

≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a

b

x 2-

=处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若[]q p a b

x ,2∈-

=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a

=-=；

[]q p a

b

x ,2∉-

=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.

(2)当a<0时，若[]q p a

b

x ,2∈-

=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a

b

x ,2∉-

=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 6.一元二次方程的实根分布（画抛物线帮助理解）

依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则

（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402

p q p m ⎧-≥⎪

⎨->⎪⎩；

（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()040

2

f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪

⎨-≥⎪

⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩

；

（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402

p q p m ⎧-≥⎪

⎨-<⎪⎩ .

7.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数

的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是

min (,)0()f x t x L ≥∉.

(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参

数)恒成立的充要条件是

(,)0()man f x t x L ≤∉.

8.函数的单调性

(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么

[]1212()()()0x x f x f x -->⇔

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在⇔>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --<⇔

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在⇔<--上是减函数. 9.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 10．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

11.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2

b

a x +=

; 12．多项式函数1

1

0()n n n n P x a x a x a --=+++L 的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

13.两个函数图象的对称性

(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数)(x f y =和它的反函数)(1

x f

y -=的图象关于直线y=x 对称.

14.几个常见的函数方程

(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.

(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.

(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.

(4)幂函数

()f x x α=,'

()()(),(1)f xy f x f y f α

==.