01讲-函数基础
01第一章 函数与极限
高等数学教学备课系统与《高等数学多媒体教学系统（经济类）》配套使用教师姓名：________________________教学班级：________________________2005年9月1至2006年1月10微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.冯. 诺伊曼注：冯. 诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献. 他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”.第一章函数、极限与连续函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象. 极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键. 连续是函数的一个重要性态. 本章将介绍函数、极限与连续的基本知识和有关的基本方法，为今后的学习打下必要的基础.第一节函数概念在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着. 17世纪初，数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数这个基本概念. 在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置.本节将介绍函数的概念、函数关系的构建与函数的特性.内容分布图示★集合的概念★集合的运算★区间★例1 ★邻域★函数概念★例2 ★例3 ★例4★例5 ★例6★函数的表示法★分段函数举例★例7★函数关系的建立★例8 ★例9函数的特性★有界性★例10 ★单调性★例11★奇偶性★例12 ★例13★周期性★例14 ★例15★内容小结★课堂练习★ 习题 1- 1★ 返回内容要点：一、 集合：集合的概念；集合的表示；集合之间的关系；集合的基本运算；区间；邻域； 二、 函数的概念：函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型. 函数的定义、函数的图形、函数的表示法三、 函数关系的建立：为解决实际应用问题, 首先要将该问题量化, 从而建立起该问题的数学模型, 即建立函数关系；四、 函数特性：函数的有界性；函数的单调性；函数的奇偶性；函数的周期性.例题选讲：函数举例例1 解下列不等式, 并将其解用区间表示.(1) ;312<-x (2) ;323≥+x (3) ().9102<-<x例2 函数2=y . 定义域),(+∞-∞=D , 值域{}.2=f R 例3（讲义例1） 绝对值函数 ⎩⎨⎧<-≥==0,,||x x x x x y 例4判断下面函数是否相同, 并说明理由. (1) 1=y 与;cos sin 22x x y += (2) 12+=x y 与12+=y x .例5求函数 2112++-=x xy 的定义域. 例6 求函数()()245sin 3lg x x xx x f -++-=的定义域. 例7 设(),21,210,1⎩⎨⎧≤<-≤≤=x x x f求函数()3+x f 的定义域.例8（讲义例4）某工厂生产某型号车床, 年产量为a 台, 分若干批进行生产, 每批生产准备费为b 元, 设产品均匀投入市场, 且上一批用完后立即生产下一批, 即平均库存量为批量的一半. 设每年每台库存费为c 元. 显然, 生产批量大则库存费高; 生产批量少则批数增多, 因而生产准备费高. 为了选择最优批量, 试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.例9（讲义例5）某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a 公里以内,每公里k 元, 超过部分公里为k 54元. 求运价m 和里程s 之间的函数关系.例10 证明(1)（讲义例6）函数 12+=x xy 在),(+∞-∞上是有界的; (2) 函数21xy =在()1,0上是无界的.例11（讲义例7）证明函数xxy +=1在),1(∞+-内是单调增加的函数. 例12（讲义例8）判断函数)1ln(2x x y ++=的奇偶性. 例13 判断函数()()1111ln 11<<-+-+-=x xxe e xf xx 的奇偶性. 例14（讲义例9）设函数)(x f 是周期T 的周期函数，试求函数)(b ax f +的周期，其中b a ,为常数，且0>a .例15 若)(x f 对其定义域上的一切, 恒有),2()(x a f x f -=则称)(x f 对称于.a x =证明: 若)(x f 对称于a x =及),(b a b x <= 则)(x f 是以)(2a b T -=为周期的周期函数.例6（讲义例2）符号函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,1,0,0,0,1s g nx x x x y 例3（讲义例3）取整函数 ],[x y = 其中，][x 表示不超过x 的最大整数.函数的有界性： 函数的增减性： 函数的奇偶性： 函数的周期性：课堂练习1. 用分段函数表示函数 .|1|3--=x y2. 判别函数⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+=0,0,)(22x x x x x x x f 的奇偶性.3.设b a ,为两个函数, 且b a <. 对于任意实数x , 函数()x f 满足条件: ()(),x a f x a f +=- 及()()x b f x b f +=-证明: ()x f 以()a b T -=2周期.第二节 初等函数内容分布图示★ 反函数 ★ 例1 ★ 例2 ★ 复合函数 ★ 例3-4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 幂函数、指数函数与对数函数★ 三角函数 ★ 反三角函数★ 初等函数 ★ 函数图形的迭加与变换★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-2 ★ 返回内容要点：一、 反函数：反函数的概念；函数存在反函数的条件；在同一个坐标平面内, 直接函数)(x f y =和反函数)(x y ϕ=的图形关于直线x y =是对称的.二、 基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数. 三、 复合函数的概念 四、初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 初等函数的基本特征: 在函数有定义的区间内初等函数的图形是不间断的.例题选讲：求反函数例1（讲义例1）求函数xx y 411411+++-=的反函数.例2 已知x x x x x sgn ,0,10,00,1sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=为符号函数,求()x x y sgn 12+=的反函数.函数的复合例3（讲义例2）设 u u f y sin )(==，1)(2+==x x u ϕ，求)]([x f ϕ. 例4 （讲义例3） 设 u u f y arctan )(==，tt u 1)(==ϕ，)(x t φ=12-=x ，求 )]}([{x f φϕ. 例5 设(),1+=x x f (),2x x =ϕ 求()[]x f ϕ及()[],x f ϕ 并求它们的定义域. 例6（讲义例4）将下列函数分解成基本初等函数的复合. (1) ;sin ln 2x y = (2) ;2arctan x e y =(3) ).12ln(cos 22x y ++= 例7（讲义例5）设,0,10,2)(,1,1,)(2⎩⎨⎧≥-<+=⎩⎨⎧≥<=x x x x x x x x e x f x ϕ求)].([x f ϕ例8 设 ,1122xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 求().x f课堂练习1．下列函数能否复合为函数)]([x g f y =若能, 写出其解析式、定义域、值域. .1sin )(,ln )()2(;)(,)()1(2-====-====x x g u u u f y x x x g u u u f y2．分析函数 32cos arctan x e y =的复合结构.第三节 常用经济函数用数学方法解决实际问题，首先要构建该问题的数学模型，即找出该问题的函数关系. 本节将介绍几种常用的经济函数.内容分布图示★ 单利与复利 ★ 例1★ 多次付息 ★ 贴现 ★ 例2 ★ 需求函数 ★ 供给函数★ 市场均衡 ★ 例3 ★ 例4 ★ 成本函数 ★ 例5★ 收入函数与利润函数 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-3 ★ 返回内容要点：一、单利与复利利息是指借款者向贷款者支付的报酬, 它是根据本金的数额按一定比例计算出来的. 利息又有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等几种主要形式.单利计算公式设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+= 第二年末本利和为 )21()1(2r p rp r p s +=++=……第n 年末的本利和为 )1(nr p s n +=. 复利计算公式设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则 第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+=第二年末本利和为 22)1()1()1(r p r rp r p s +=+++=……第n 年末的本利和为 .)1(nn r p s +=二、多次付息单利付息情形因每次的利息都不计入本金, 故若一年分n 次付息, 则年末的本利和为)1(1r p n r n p s +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=即年末的本利和与支付利息的次数无关.复利付息情形因每次支付的利息都记入本金, 故年末的本利和与支付利息的次数是有关系的. 设初始本金为p (元),年利率为r , 若一年分m 次付息, 则一年末的本利和为mm r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1易见本利和是随付息次数m 的增大而增加的.而第n 年末的本利和为mnn m r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1.三、 贴现票据的持有人, 为在票据到期以前获得资金, 从票面金额中扣除未到期期间的利息后, 得到所余金额的现金称为贴现.钱存在银行里可以获得利息, 如果不考虑贬值因素, 那么若干年后的本利和就高于本金. 如果考虑贬值的因素, 则在若干年后使用的未来值(相当于本利和)就有一个较低的现值.考虑更一般的问题: 确定第n 年后价值为R 元钱的现值.假设在这n 年之间复利年利率r 不变.利用复利计算公式有n r p R )1(+=,得到第n 年后价值为R 元钱的现值为nr Rp )1(+=,式中R 表示第n 年后到期的票据金额, r 表示贴现率, 而p 表示现在进行票据转让时银行付给的贴现金额.若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据, 且每张票据的贴现率都是相同的, 则一次性向银行转让票据而得到的现金nnr R r R r R R p )1()1()1(2210+++++++=式中0R 为已到期的票据金额, n R 为n 年后到期的票据金额.nr )1(1+称为贴现因子, 它表示在贴现率r 下n 年后到期的1元钱的贴现值. 由它可给出不同年限及不同贴现率下的贴现因子表.四、需求函数需求函数是指在某一特定时期内, 市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系.假定其它因素(如消费者的货币收入、偏好和相关商品的价格等)不变, 则决定某种商品需求量的因素就是这种商品的价格. 此时, 需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济量之间的数量关系)(p f q =其中, q 表示需求量, p 表示价格.需求函数的反函数)(1q fp -=称为价格函数, 习惯上将价格函数也统称为需求函数.五、 供给函数供给函数是指在某一特定时期内, 市场上某种商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的诸因素之间的数量关系. 六、市场均衡对一种商品而言, 如果需求量等于供给量, 则这种商品就达到了市场均衡. 以线性需求函数和线性供给函数为例, 令s d q q =d cp b ap +=+0p ca bd p ≡--=这个价格0p 称为该商品的市场均衡价格（图1-3-3）.市场均衡价格就是需求函数和供给函数两条直线的交点的横坐标. 当市场价格高于均衡价格时, 将出现供过于求的现象, 而当市场价格低于均衡价格时,将出现供不应求的现象.. 当市场均衡时有,0q q q s d ==称0q 为市场均衡数量.根据市场的不同情况，需求函数与供给函数还有二次函数、多项式函数与指数函数等. 但其基本规律是相同的, 都可找到相应的市场均衡点(0p ,0q ).七、成本函数产品成本是以货币形式表现的企业生产和销售产品的全部费用支出, 成本函数表示费用总额与产量(或销售量)之间的依赖关系, 产品成本可分为固定成本和变动成本两部分. 所谓固定成本, 是指在一定时期内不随产量变化的那部分成本; 所谓变动成本, 是指随产量变化而变化的那部分成本. 一般地, 以货币计值的(总)成本C 是产量x 的函数, 即)0()(≥=x x C C称其为成本函数. 当产量0=x 时, 对应的成本函数值)0(C 就是产品的固定成本值.设)(x C 为成本函数, 称)0()(>=x xx C C 为单位成本函数或平均成本函数. 成本函数是单调增加函数, 其图象称为成本曲线.八、 收入函数与利润函数销售某种产品的收入R , 等于产品的单位价格P 乘以销售量x , 即,x P R ⋅= 称其为收入函数. 而销售利润L 等于收入R 减去成本C , 即,C R L -= 称其为利润函数.当0>-=C R L 时, 生产者盈利; 当0<-=C R L 时, 生产者亏损；当0=-=C R L 时, 生产者盈亏平衡, 使0)(=x L 的点0x 称为盈亏平衡点(又称为保本点).例题选讲：单利与复利例1（讲义例1）现有初始本金100元, 若银行年储蓄利率为7%, 问: (1) 按单利计算, 3年末的本利加为多少? (2) 按复利计算, 3年末的本利和为多少?(3) 按复利计算, 需多少年能使本利和超过初始本金的一倍?贴现例2（讲义例2）某人手中有三张票据, 其中一年后到期的票据金额是500元, 二年后到期的是800元, 五年后到期的是2000元, 已知银行的贴现率6%, 现在将三张票据向银行做一次性转让, 银行的贴现金额是多少?市场均衡例3（讲义例3）某种商品的供给函数和需求函数分别为P Q P Q s d 5200,1025-=-=求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.例4（讲义例4）某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售商, 在这个基础上零售商每次多进100台电扇, 则批发价相应降低2元, 批发商最大批发量为每次1000台, 试将电扇批发价格表示为批发量的函数, 并求零售商每次进800台电扇时的批发价格.成本函数例5（讲义例5） 某工厂生产某产品, 每日最多生产200单位. 它的日固定成本为150元, 生产一个单位产品的可变成本为16元. 求该厂日总成本函数及平均成本函数.收入函数与利润函数例6（讲义例6）某工厂生产某产品年产量为x 台, 每台售价500元, 当年产量超过800台时, 超过部分只能按9折出售. 这样可多售出200台, 如果再多生产，本年就销售不出去了. 试写出本年的收益(入)函数.例7 已知某厂单位产品时，可变成本为15元，每天的固定成本为2000元，如这种产品出厂价为20元，求（1）利润函数；（2）若不亏本，该厂每天至少生产多少单位这种产品. 例8（讲义例7）某电器厂生产一种新产品, 在定价时不单是根据生产成本而定, 还要请各销售单位来出价, 即他们愿意以什么价格来购买. 根据调查得出需求函数为.45000900+-=P x 该厂生产该产品的固定成本是270000元, 而单位产品的变动成本为10元. 为获得最大利润, 出厂价格应为多少?例9 已知该商品的成本函数与收入函数分别是xR x x C 113122=++=试求该商品的盈亏平衡点, 并说明盈亏情况.课堂练习 1．（1）设手表的价格为70元, 销售量为10000只, 若手表每只提高3元, 需求量就减少3000只, 求需求函数d Q .（2）设手表价格为70元, 手表厂可提供10000只手表, 当价格每只增加3元时, 手表厂可多提供300只, 求供应函数s Q . （3）求市场均衡价格和市场均衡数量.第四节 数列的极限极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法----割圆术（参看光盘演示）, 就是极限思想在几何学上的应用. 又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在《庄子.天下篇》一书中对“截丈问题”（参看光盘演示）有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想.极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法. 本节将首先给出数列极限的定义.内容分布图示★ 极限概念的引入 ★ 数列的定义 ★ 数列的极限 ★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 收敛数列的有界性★ 极限的唯一性 ★ 例7★ 收敛数列的保号性 ★ 子数列的收敛性★ 内容小结★ 习题1-4 ★ 返回内容要点：一、 数列的定义 二、 数列的极限：N -ε论证法，其论证步骤为：（1） 任意给定的正数ε, 令 ε<-||a x n ；（2） 上式开始分析倒推, 推出 )(εϕ>n ； （3） 取 )]([εϕ=N ，再用N -ε语言顺述结论. 三、 收敛数列的有界性 四、极限的唯一性五、收敛数列的保号性 六、子数列的收敛性例题选讲：数列的极限例1（讲义例1） 证明 .1)1(lim1=-+-∞→nn n n 例2 设C C x n (≡为常数）， 证明C x n n =∞→lim .例3 证明 ,0lim 0=→nn q 其中.1<q例4 设,0>n x 且,0lim >=∞→a x n n 求证 .lima x n n =∞→例5 用数列极限定义证明 323125lim-=-+∞→n n n .例6（讲义例2）用数列极限定义证明 .112lim 22=++-∞→n n n n 例7（讲义例3）证明数列1)1(+-=n n x 是发散的.课堂练习 1．设,0>p 证明数列pn n x 1=的极限是0.第五节 函数的极限数列可看作自变量为正整数n 的函数: )(n f x n =, 数列{}n x 的极限为a ，即：当自变量n 取正整数且无限增大（∞→n ）时，对应的函数值)(n f 无限接近数a . 若将数列极限概念中自变量n 和函数值)(n f 的特殊性撇开，可以由此引出函数极限的一般概念：在自变量x 的某个变化过程中，如果对应的函数值)(x f 无限接近于某个确定的数A ，则A 就称为x 在该变化过程中函数)(x f 的极限. 显然，极限A 是与自变量x 的变化过程紧密相关，自变量的变化过程不同，函数的极限就有不同的表现形式. 本节分下列两种情况来讨论： 1、自变量趋于无穷大时函数的极限； 2、自变量趋于有限值时函数的极限.内容分布图示★ 自变量趋向无穷大时函数的极限★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 自变量趋向有限值时函数的极限★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 左右极限 ★ 例7★ 例8 ★ 例9 ★ 例10★ 函数极限的性质 ★ 子序列收敛性 ★ 函数极限与数列极限的关系 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-5 ★ 返回内容要点：一、自变量趋于无穷大时函数的极限 二、 自变量趋于有限值时函数的极限 三、 左右极限的概念四、函数极限的性质：唯一性 有界性 保号性 五、子序列的收敛性例题选讲：自变量趋于无穷大时函数的极限例1（讲义例1）用极限定义证明 .0sin lim=∞→xxx例2（讲义例2）用极限定义证明 .021lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx例3 证明 .111lim-=+-∞→x xx自变量趋于有限值时函数的极限例4(1)（讲义例3）利用定义证明 C C x x =→0lim （C 为常数）.(2) 证明 .lim 00x x x x =→例5（讲义例4）利用定义证明 211lim 21=--→x x x .例6 证明: 当00>x 时, 00lim x x x x =→.例7 验证xx x 0lim→不存在.左右极限的概念例8（讲义例5）设,0,10,)(⎩⎨⎧<+≥=x x x x x f 求 )(lim 0x f x →. 例9 设(),0,10,12⎩⎨⎧≥+<-=x x x x x f 求 ().lim 0x f x → 例10（讲义例6）设 ,2121)(11xx x f +-=求 ).(lim 0x f x →子序列的收敛性例7（讲义例7）证明 xx 1sinlim 0→ 不存在.课堂练习 1. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>=0,80,20,1sin )(2x x x x x x x f ,试问函数在0=x 处的左、右极限是否存在? 当0→x 时, )(x f 的极限是否存在?2. 若,0)(>x f 且.)(lim A x f =问: 能否保证有0>A 的结论? 试举例说明.第六节 无穷小与无穷大没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人的感情，很少有别的观念能像无穷那样激励理智 产生富有成果的思想，然而也没有任何其它的概 念能像无穷那样需要加于阐明.-------大卫. 希尔伯特对无穷小的认识问题，可以远溯到古希腊，那时，阿基米德就曾用无限小量方法得到许多重要的数学结果，但他认为无限小量方法存在着不合理的地方. 直到1821年，柯西在他的《分析教程》中才对无限小（即这里所说的无穷小）这一概念给出了明确的回答. 而有关无穷小的理论就是在柯西的理论基础上发展起来的.内容分布图示★ 无穷小★ 无穷小与函数极限的关系 ★ 例1 ★ 无穷小的运算性质 ★ 例2 ★ 无穷大★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 无穷大与无界变量★ 无穷小与无穷大的关系 ★ 例6★ 内容小结★ 习题1-6 ★ 返回内容要点：一、 无穷小的概念二、无穷小的运算性质有限个无穷小的代数和仍是无穷小 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 三、无穷大的概念四、 无穷小与无穷大的关系例题选讲：无穷小的概念与无穷小的运算性质例1 根据定义证明: xx y 1sin 2=当0→x 时为无穷小. 例2（讲义例1）求 x xx sin lim ∞→.无穷大的概念例3（讲义例2）证明 ∞=-→11lim1x x .例4 证明 ()().11lim >+∞=-+∞→a a xx例5（讲义例3）当0→x 时, xx y 1sin 1=是一个无界变量, 但不是无穷大. 无穷小与无穷大的关系 例6（讲义例4）求 5lim 34+∞→x x x .课堂练习1. 求 .)1(22lim22--∞→x xx x第七节 极限运算法则本节要建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则. 在下面的讨论中，记号“lim ”下面没有表明自变量的变化过程，是指对0x x →和∞→x 以及单则极限均成立. 但在论证时，只证明了0x x →的情形.内容分布图示★ 极限运算法则 ★ 例1 ★ 例2★ 例3-4 ★ 例5 ★ 例6★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 复合函数的极限运算法则 ★ 例 12 ★ 例 13★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-7 ★ 返回内容要点：一、 极限的四则运算：定理1 推论1 推论2 二、复合函数的极限运算法则：定理2定理2 （复合函数的极限运算法则）设函数)]([x g f y =是由函数)(u f y =与函数)(x g u =复合而成, )]([x g f 在点0x 的某去心邻域内有定义, 若,)(lim ,)(lim 00A u f u x g u u x x ==→→且存在,00>δ 当),(00δx U x∈时, 有0)(u x g ≠, 则.)(lim )]([lim 0A u f x g f u u x x ==→→例题选讲：极限的四则运算例1（讲义例1）求 )53(lim 22+-→x x x .例2（讲义例2）求 27592lim 223---→x x x x .例3（讲义例3）求 3214lim21-+-→x x x x .例4（讲义例4）求 321lim 221-+-→x x x x .例5（讲义例5）求 147532lim 2323-+++∞→x x x x x .例6（讲义例6）计算.231568lim323-+++∞→x x x x x例7（讲义例7）求 .21lim 222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n n n n例8 计算 ()()()();1111lim3431x x x x x ----→例9（讲义例8）求 ).sin 1(sin lim x x x -++∞→例10 计算下列极限：（1）;1!sin lim32+∞→n n n n （2）.2tan lim /10x x ex+→ 例11（讲义例9）已知 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-+<-=0,1130,1)(32x x x x x x x f , 求 ).(lim ),(lim ),(lim 0x f x f x f x x x -∞→+∞→→复合函数的极限运算法则例12（讲义例10）求极限 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→)1(21ln lim 21x x x . 例13（讲义例11）已知2)5(lim 2=+--+∞→c bx ax x x , 求b a ,之值.课堂练习1. 求极限: .231lim)2(;lim )1(31sinxx ex xx x +-++∞→→2.在某个过程中, 若)(x f 有极限, )(x g 无极限, 那么)()(x g x f +是否有极限? 为什么?第八节 极限存在准则 两个重要极限内容分布图示★ 夹逼准则★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 例9★ 单调有界准则 ★ 例10 ★ 例11 ★1sin lim0=→xxx★ 例12★ 例13 ★ 例14★ 例15 ★ 例16★ 例17★ 例18★ e n xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim ★ 例19 ★ 例21 ★ 例22★ 例23★ 例24 ★ 25★ 柯西极限存在准则 ★ 连续复利（例26） ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-8★ 返回内容要点：一、准则I （夹逼准则）：如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件:a) ),3,2,1( =≤≤n z x y n n n ; b) ,lim ,lim a z a y n n n n ==∞→∞→那末数列n x 的极限存在, 且.lim a x n n =∞→注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出n y 与n z , 并且n y 与n z 的极限相同且容易求. 二、 准则II （单调有界准则）：单调有界数列必有极限. 三、 两个重要极限：1. 1sin lim 0=→x x x ； 2．e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim四、连续复利设初始本金为p (元), 年利率为r , 按复利付息, 若一年分m 次付息, 则第n 年末的本利和为mnn m r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1如果利息按连续复利计算, 即计算复利的次数m 趋于无穷大时, t 年末的本利和可按如下公式计算rt mtm pe m r p s =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→1lim若要t 年末的本利和为s , 则初始本金rt se p -=.例题选讲：夹逼准则的应用例1（讲义例1）求 .12111lim 222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 例2 求.)321(lim 1n n n n ++∞→例3 求 ()().1111lim 222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→n n n n n 例4 求 ().1lim >∞→a a nn n例5 求 ().0!lim >∞→a n a nn 例6（讲义例2）求 .!limnn n n ∞→ 例7（讲义例3）求 .lim n n n ∞→例8（讲义例4）求证).0(1lim >=∞→a a n n例9（讲义例5）求极限.1lim 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x单调有界准则的应用例10（讲义例6）设有数列31=x ，,,312 x x +=13-+=n n x x ,求 .lim n n x ∞→例11 设 0>a 为常数, 数列 n x 由下列定义: ),2,1(2111 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--n x a x x n n n 其中0x 为大于零的常数，求.lim n n x ∞→ 两个重要极限的应用例12（讲义例7）求 xxx tan lim0→.例13 求 .5sin 3tan lim0xxx →例14（讲义例8）求 .cos 1lim 20xxx -→ 例15 下列运算过程是否正确： 1sin lim tan lim sin .tan lim sin tan lim===→→→→xxx x x x x x x x x x x x x x x x例16 计算 .3cos cos lim 20x xx x -→例17 计算 ;cos sin 1lim2xx x x x -+→例18（讲义例9）求 3sin 2tan 2limxxx x +-+→. 例19（讲义例10）求 311lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛+n n n .例20（讲义例11）求 ().21lim /10xx x -→例21（讲义例12）求 xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→11lim 例22（讲义例13）求 .23lim 2xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛++∞→例23 求 .1lim 22xx x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→ 例24 计算 ().lim /10xxx xe +→例25 求极限 ().tan lim 2tan 4/xx x π→连续复利例26（讲义例14） 一投资者欲用1000元投资5年, 设年利率为6%,试分别按单利、复利、每年按4次复利和连续复利付息方式计算, 到第5年末, 该投资者应得的本利和A .注: 连续复利的计算公式在其它许多问题中也常有应用如细胞分裂、树木增长等问题.课堂练习1. 求极限 .sin sin tan lim20xx xx x -→ 2. 求极限.)93(lim 1x x xx ++∞→第九节 无穷小的比较内容分布图示★ 无穷小的比较 ★ 例1-2 ★ 例3 ★ 常用等价无穷小 ★ 例4 ★ 等价无穷小替换定理 ★ 例5★ 例6★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 例 11★ 例1 2 ★ 等价无穷小的充要条件★ 例13★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-9 ★ 返回内容要点：一、 无穷小比较的概念：无穷小比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同.二、 常用等价无穷小关系：)0(~1)1()0(ln ~1~1~)1ln(21~cos 1~arctan ~arcsin ~tan ~sin 2是常数≠-+>--+-αααx x a a x a xe xx x x x x x x x x x x x x三、 关于等价无穷小的两个重要结论：定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件是).(ααβo +=定理2 设，是同一过程中的无穷小ββαα'',,,且ββαα''~,~，αβ''lim存在, 则 .lim limαβαβ''=例题选讲：无穷小比较概念的应用：例1（讲义例1）证明: 当0→x 时, x x 3tan 4为x 的四阶无穷小. 例2（讲义例2）当0→x 时, 求x x sin tan -关于x 的阶数.例3 当1→x 时，将下列各量与无穷小量1-x 进行比较. （1）;233+-x x （2）;lg x （3）().11sin1--x x 例4 证明.~1x e x -例5（讲义例4） 求极限.1211lim nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→例6（讲义例6）求 xxx 5sin 2tan lim0→.例7（讲义例7）求 .2sin sin tan lim30xxx x -→ 例8求 ().1cos 11lim3/120--+→x x x例9（讲义例8）求 121tan 1tan 1lim-+--+→x xx x例10计算 ().1ln lim 2cos 0x x e e xx x x +-→例11 计算 .sin cos 12lim2xxx +-→ 例12 求 ()().cos sec 1ln 1ln lim220xx x x x x x -+-+++→ 例13（讲义例9）求 xx x x 3sin 1cos 5tan lim 0+-→等价无穷小的应用：例3（讲义例3） 证明: 11lim0=-→xe x x . 例5（讲义例5）设,0≠α证明: .11)1(lim 0=-+→xx x αα无穷小等价替换定理的应用：课堂练习1. 求极限 βαβαβα--→e e lim .2. 任何两个无穷小量都可以比较吗?第十节 函数的连续性与间断点客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性. 本节将要引入的连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型.16、17世纪微积分的酝酿和产生，直接肇始于对物体的连续运动的研究. 例如伽利略所研究的自由落体运动等都是连续变化的量. 但直到19世纪以前，数学家们对连续变量的研究仍停留在几何直观的层面上，即把能一笔画成的曲线所对应的函数称为连续函数. 19世纪中叶，在柯西等数学家建立起严格的极限理论之后，才对连续函数作出了严格的数学表述.连续函数不仅是微积分的研究对象，而且微积分中的主要概念、定理、公式法则等，往往都要求函数具有连续性.本节和下一节将以极限为基础，介绍连续函数的概念、连续函数的运算及连续函数的一些性质.内容分布图示★ 函数的连续性 ★ 例1 ★ 例2 ★ 左右连续 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 连续函数与连续区间 ★ 例7★ 函数的间断点 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 例12 ★ 例 13 ★ 例14★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-10 ★ 返回内容要点：一、函数的连续性：函数的增量 连续性的三种定义形式二、左右连续的概念定理1 函数)(x f 在0x 处连续的充要条件是函数)(x f 在0x 处既左连续又右连续. 三、 连续函数与连续区间四、函数的间断点及其分类：第一类间断点 跳跃间断点 可去间断点；第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点；例题选讲：函数的连续性例1（讲义例1）试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f 在0=x 处连续. 例2设)(x f 是定义于[a , b ]上的单调增加函数, ),,(0b a x ∈如果)(lim 0x f x x →存在, 试证明函数)(x f 在点0x 处连续.例3（讲义例4）讨论⎩⎨⎧<-≥+=,0,2,0,2)(x x x x x f 在0=x 处的连续性.。
中考数学复习考点知识归类讲解与练习01 平面直角坐标系与函数基本概念
中考数学复习考点知识归类讲解与练习专题01 平面直角坐标系与函数基本概念知识对接考点一、平面直角坐标系1．相关概念（1）平面直角坐标系（2）象限（3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标（1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标（4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标4.距离（1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离（3）平面上任意两点间的距离5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置（2）利用坐标表示平移1 / 27要点补充：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.考点二、函数及其图象1.变量与常量2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象要点补充：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.专项训练一、单选题1．已知点P （a ，a+3）在第二象限，且点P 到x 轴的距离为2，则a 的值为（）A ．1-B ．5-C ．2-D ．2y x 22y x +【答案】A【分析】先判断a的取值，进而根据点P到x轴的距离为2得到a+3=2，解得即可．【详解】解：∵点P（a，a+3）在第二象限，∴30aa<⎧⎨+>⎩，∴-3＜a＜0，∵点P到x轴的距离为2，∴|a+3|=2，∴a+3=2，∴a=-1，故选：A．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．2．在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣3，4）B．（3，4）C．（﹣3，﹣4）D．（4，﹣3）【答案】A【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】3 / 27解：点P （3，4）关于y 轴对称点的坐标为（－3，4），故选：A ．【点睛】此题主要考查了关于y 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．3．如图，一个机器人从点O 出发，向正西方向走2m 到达点1A ；再向正北方向走4m 到达点2A ，再向正东方向走6m 到达点3A ，再向正南方向走8m 到达点4A ，再向正西方向走10m 到达点5A ，…按如此规律走下去，当机器人走到点20A 时，点20A 的坐标为（）A ．(20,20)-B ．(20,20)C ．(22,20)--D ．(22,22)-【答案】A【分析】 先求出A 1，A 2，A 3，…A 8，发现规律，根据规律求出A 20的坐标即可．【详解】解：∵一个机器人从点O 出发，向正西方向走2m 到达点1A ，点A 1在x 轴的负半轴上，∴A 1（-2,0）从点A 2开始，由点1A 再向正北方向走4m 到达点2A ，A 2（-2,4），由点2A 再向正东方向走6m 到达点3A ，A 3（6-2，4）即（4，4），由点3A 再向正南方向走8m 到达点4A ，A 4（4，4-8）即（4，-4），由点A 4再向正西方向走10m 到达点5A ，A 5（4-10，-4）即（-6，-4），由点A 5再向正北方向走12m 到达点A 6，A 6（-6，12-4）即（-6，8），5 / 27由点A 6再向再向正东方向走14m 到达点A 7，A 7（14-6，8）即（8，8），由点A 7再向正南方向走16m 到达点8A ，A 8（8，8-16）即（8，-8），观察图象可知，下标为偶数时在二四象限，下标为奇数时（除1外）在一三象限，下标被4整除在第四象限．且横坐标与下标相同，因为2054=⨯，所以20A 在第四象限，坐标为(20,20)-．故选择A ．【点睛】本题考查平面直角坐标系点的坐标规律问题，掌握求点的坐标方法与过程，利用下标与坐标的关系找出规律是解题关键．4．小娜驾车从哈尔滨到大庆．设她出发第x min 时的速度为y km/h ，图中的折线表示她在整个驾车过程中y 与x 之间的函数关系式．下列说法：（1）在77≤x ≤88时，小娜在休息；（2）小娜驾车的最高速度是120km/h ；（3）小娜出发第16.5min 时的速度为48km/h ；（4）如果汽车每行驶100km 耗油10升，那么小娜驾车在33≤x ≤66时耗油6.6升． 其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据函数图象对每个选项进行分析判断，最后得出结论．①观察图象在77≤x ≤88时，小娜在以时速96千米在行驶；②观察图象小娜的最高时速为120千米；③用待定系数法求出11≤x ≤22时的函数关系式，可求小娜出发第16.5min 时的速度；④小娜驾车在33≤x ≤66时时速为120千米/小时，依次求出小娜驾车在33≤x ≤66时行驶的路程，从而耗油量可求．【详解】解：①观察图象在77≤x ≤88时，小娜在以时速96千米在行驶；故①错误； ②观察图象小娜的最高时速为120千米，故②正确；③在11≤x ≤22时，设y ＝kx +b ．将（11，24）和（22，72）代入上式：11242272k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：481124k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． ∴482411y x =-． 当x ＝16.5min 时，y ＝48．∴小娜出发第16.5min 时的速度为48km /h ．故③正确；④由图象可知：小娜驾车在33≤x ≤66时时速为120千米/小时，∴车在33≤x ≤66时小娜行驶了66331206660-⨯=（千米）． ∴耗油为：66×10100＝6.6（升）．7 / 27故④正确；综上，正确的有②③④共三个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用．理解函数图象上的点的实际意义是解题的关键．另外待定系数法是确定函数解析式的重要方法．5．下列不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．21y x =+C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的定义（给定一个x 值都有唯一确定的y 值与它对应），对选项逐个判断即可．【详解】解：根据函数的定义（给定一个x 值都有唯一确定的y 值与它对应），对选项逐个判断， A ：观察列表数据发现，符合函数的定义，不符合题意；B ：观察x 与y 的等式发现，符合函数的定义，不符合题意；C ：观察函数图像发现，不符合函数的定义，符合题意；D ：观察函数图像发现，符合函数的定义，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了函数的定义，涉及到了函数的表示方法（解析法，图像法和列表法），熟练掌握函数的基础知识是解题的关键．x的函数的是（）6．下列各图象中，y不是．．A．B．C．D．【答案】B【分析】对于自变量x的每一个确定的值y都有唯一的确定值与其对应，则y是x的函数，根据函数的定义解答即可.【详解】根据函数的定义，选项A、C、D图象表示y是x的函数，B图象中对于x的一个值y有两个值对应，故B中y不是x的函数，故选：B.【点睛】此题考查函数的定义，函数图象，结合函数图象正确理解函数的定义是解题的关键.9 / 277．如图，在平面直角坐标系中，//AB DC ，AC BC ⊥，5CD AD ==，6AC =，将四边形ABCD向左平移m 个单位后，点B 恰好和原点O 重合，则m 的值是（）A ．11.4B ．11.6C ．12.4D ．12.6【答案】A【分析】 由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，根据勾股定理求得DE 的长度，再根据三角形相似求得BF ，矩形的性质得到OF ，即可求解．【详解】解：由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，如下图：∵5CD AD ==，DE AC ⊥ ∴132CE AC ==，90DEC ∠=︒由勾股定理得4DE =∵//AB DC∴DCE BAC ∠=∠，90ODC BOD ∠=∠=︒又∵AC BC⊥∴90 ACB CED∠=∠=︒∴DEC BCA△∽△∴DE CE CDBC AC AB==，即4356BC AB==解得8BC=，10AB=∵CF OB⊥∴90 ACB BFC∠=∠=︒∴BCF BAC∽△△∴BC BFAB BC=，即8108BF=解得 6.4BF=由题意可知四边形OFCD为矩形，∴5OF CD==11.4OB BF OF=+=故选A【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．8．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)、B(2，2)、C(3，0)，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为（）A．(﹣1，2) B．(5，2) C．(1，﹣2) D．(2，﹣2)【答案】D【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的11 / 27性质容易得出点D 的坐标． 【详解】解：分三种情况：①BC 为对角线时，点D 的坐标为（5，2） ②AB 为对角线时，点D 的坐标为（﹣1，2）， ③AC 为对角线时，点D 的坐标为（1，﹣2），综上所述，点D 的坐标可能是（5，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．9．半径是R 的圆的周长C 2R π=，下列说法正确的是（） A ．C ，π，R 是变量，2是常量 B ．C 是变量，2，π，R 是常量 C ．R 是变量，2，π，C 是常量 D ．C ，R 是变量，2π是常量【答案】D 【分析】根据变量和常量的概念解答即可． 【详解】解：在半径是R 的圆的周长2C R π=中，C ，R 是变量，2π是常量． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了变量和常量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．10．关于变量x ，y 有如下关系：①6-=x y ；②24y x =；③2y x =；④3y x =．其中y 是x 函数的是（） A ．①③ B ．①②③④ C ．①③④ D ．①②③【答案】C 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：y 是x 函数的是①x -y =6；③y =2|x |；④3y x =； ∵x =1时，y =±2，∴对于y 2=4x ，y 不是x 的函数； 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的定义，函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量． 二、填空题11．若点()25,4P a a --到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是______． 【答案】()1,1或()3,3-； 【分析】根据题意可得关于a 的绝对值方程，解方程可得a 的值，进一步即得答案. 【详解】解：∵P (2a -5，4-a )到两坐标轴的距离相等， ∴254a a -=-.13 / 27∴254a a -=-或25(4)a a -=--， 解得3a =或1a =，当3a =时，P 点坐标为（1，1）； 当1a =时，P 点坐标为（-3，3）． 故答案为：（1，1）或（-3，3）． 【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，根据题意列出方程是解题的关键.12．在平行四边形ABCD 中，点A 的坐标是（﹣1，0），点B 的坐标是（2，3），点D 的坐标是（3，1），则点C 的坐标是___． 【答案】（6，4）． 【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，可得AB∥DC ，且AB =DC ，根据坐标间关系可得2-（-1）=x C -3，3-0=y C -1，解得x C =6，y C =4即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC ，且AB =DC ， ∴2-（-1）=x C -3，3-0=y C -1， ∴x C =6，y C =4， 点C （6，4） 故答案为（6，4）．【点睛】本题考查平行四边形的性质，点的坐标关系建构方程，掌握平行四边形的性质，点的坐标关系建构方程．13．函数y＝182xx+-的自变量的取值范围是______．【答案】x≠4【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零，据此可得结论．【详解】解：由题可得，8﹣2x为分母，8﹣2x≠0，解得x≠4，∴函数182xyx+=-的自变量的取值范围是x≠4，故答案为：x≠4．【点睛】本题考查的是自变量的取值范围，由于此题表达式为分式，根据分式有意义的条件，分母不为零，得到自变量的取值范围．14．若一个函数图象经过点A（1，3），B（3，1），则关于此函数的说法：①该函数可能是一次函数；②点P（2，2.5），Q（2，3.5）不可能同时在该函数图象上；15 / 27③函数值y 一定随自变量x 的增大而减小；④可能存在自变量x 的某个取值范围，在这个范围内函数值y 随自变量x 增大而增大． 所有正确结论的序号是 ___． 【答案】①②④ 【分析】根据函数的定义，一次函数的图象及函数的性质一一分析即可求解． 【详解】解：①因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线，故该函数可能是一次函数，故正确；②由函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量，所以点P （2，2.5），Q （2，3.5）不可能同时在该函数图象上，故正确；③因为函数关系不确定，所以函数值y 不一定一直随自变量x 的增大而减小，故错误； ④可能存在自变量x 的某个取值范围，在这个范围内函数值y 随自变量x 增大而增大，故正确； 故答案为①②④． 【点睛】本题主要考查函数的定义及一次函数的图象与性质，熟练掌握函数的定义及一次函数的图象与性质是解题的关键．15．在圆周长公式2C r π=中，常量是__________． 【答案】2π 【分析】根据常量的定义即可解答． 【详解】解：圆周长公式2C r π=中，常量是2π， 故答案为：2π． 【点睛】本题考查了常量的定义，正确理解定义是关键．16．如图，平面直角坐标系中O 是原点，等边△OAB 的顶点A 的坐标是（2，0），点P 以每秒1个单位长度的速度，沿O →A →B →O →A …的路线作循环运动，点P 的坐标是__________________．【答案】12⎛ ⎝⎭【分析】计算前面7秒结束时的各点坐标，得出规律，再按规律进行解答便可． 【详解】解：由题意得，第1秒结束时P 点运动到了线段OA 的中点C 的位置，所以P 1的坐标为P 1（1，0）；第2秒结束时P 点运动到了点A 的位置，所以P 2的坐标为P 2（2，0）；第3秒结束时P 点运动到了线段AB 的中点D 的位置，如下图所示，过D点作x轴的垂线交于x2处，∵△OAB是等边三角形，且OA=2，∴在Rt△AD x2中，∠DA x2=60°，AD=1，∴21 2Ax=，2Dx=故D点的坐标为32⎛⎝⎭，即P332⎛⎝⎭;第4秒结束时P点运动到了点B的位置，同理过B点向x轴作垂线恰好交于点C，在Rt△OBC中，∠BOC =60°，2OB=，1OC=,BC故B点的坐标为（1，即P4（1；第5秒结束时P点运动到了线段OB的中点E的位置，根据点D即可得出E点的坐标为12⎛⎝⎭，即 P512⎛⎝⎭；第6秒结束时运动到了点O的位置，所以P6的坐标为P6（0，0）；第7秒结束时P点的坐标为P7（1，0），与P1相同；……17 / 27由上可知，P 点的坐标按每6秒进行循环， ∵2021÷8＝336……5，∴第2021秒结束后，点P 的坐标与P 5相同为12⎛ ⎝⎭，故答案为：12⎛ ⎝⎭．【点睛】本题主要考查了点的坐标特征，等边三角形的性质，数字规律，关键是求出前面几个点坐标，得出规律．17．平面直角坐标系中，点()5,3A -，()0,3B ，()5,0C -，在y 轴左侧一点(),P a b （0b ≠且点P 不在直线AB 上）．若40APO ∠=︒，BAP ∠与COP ∠的角平分线所在直线交于D 点．则ADO ∠的度数为______°．【答案】110或70 【分析】分两种情况，①点P 在AO 下方，设AP 与CO 交于点N ，过点N 作//NM AD ，先证明NM 平分PNO ∠，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出1902NMO P ∠=+∠，即可求解；②点P 在AO 上方，设PO 与AB 交于点M，过点M 作//NM OD ，先证明NM 平分PNA ∠，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出1902NMA P ∠=+∠，即可求解． 【详解】19 / 27解：分两种情况， ①点P 在AO 下方时，设AP 与CO 交于点N ，过点N 作//NM AD ，PAD PNM ∴∠=∠， //AB NO ， BAN ONP ∴∠=∠，AD 平分BAN ∠，12PAD BAN ∴∠=∠，12PNM ONP ∴∠=∠，NM∴平分ONP ∠，OM 平分NOP ∠，111(180)70222MNO NOM ONP PON NPO ∴∠+∠=∠+∠=-∠=︒，110NMO ∴∠=︒， //NM AD ，110ADO NMO ∴∠=∠=︒；①点P 在AO 上方时，设AB 与PO 交于点N ，过点N 作//NM OD ，POD PNM ∴∠=∠，//AB CO ，PNA POC ∴∠=∠，DO 平分POC ∠，12POD POC ∴∠=∠，12PNM PNA ∴∠=∠，NM∴平分ANP ∠，直线CD 平分NAP ∠，111(180)70222MNA NAM PNA PAN NPA ∴∠+∠=∠+∠=-∠=︒，110NMA ∴∠=︒， //NM AD ，18070ADO NMO ∴∠=-∠=， 70ADO ∴∠=︒或110︒．故答案为：70或110．【点睛】本题主要考查了三角形双内角平分线模型，平行线的性质，解题的关键是找基本模型． 18．一个三角形的底边长是3，高x 可以任意伸缩，面积为y ，y 随x 的变化变化，则其中的常量为________，y 随x 变化的解析式为______________． 【答案】3 32y x = 【分析】先根据变量与常量的定义，得到3为常量，x 和y 为变量，再根据三角形面积公式得到21 / 27y =12×3×x =32x （x ＞0）， 【详解】解：数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量，因此常量为底边长3，由三角形的面积公式得y 随x 变化的解析式为32y x =． 故答案为：3；32y x =. 【点睛】本题考查主要函数关系式中的变量与常量和列函数关系式解决本题的关键是要理解函数关系中常量和变量． 三、解答题19．已知一个圆柱的底面半径是3cm ，当圆柱的高(cm)h 变化时，圆柱的体积()3cm V 也随之变化．（1）在这个变化过程变量h 、V 中，自变量是______，因变量是______； （2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积V 与高h 之间的关系式；（3）当圆柱的高h 由3cm 变化到6cm 时，圆柱的体积V 由______变化到______． 【答案】（1）h ，V ；（2）9V h π=；（3）327cm π，354cm π 【分析】（1）利用函数的概念进行回答；（2）利用圆柱的体积公式求解；（3）分别计算出h ＝3和6对应的函数值可得到V 的变化情况． 【详解】解：（1）在这个变化过程中，自变量是h ，因变量是V ；故答案为h ，V ；（2）V ＝π•32•h ＝9πh ；（3）当h ＝3cm 时，V ＝27πcm 3；当h ＝6cm 时，V ＝54πcm 3；所以当h 由3cm 变化到6cm 时，V 是由27πcm 3变化到54πcm 3．故答案为：27πcm3；54πcm3．【点睛】本题考查了函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．函数解析式是等式．解决此题的关键是圆柱的体积公式．20．一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留4小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的路程s千米与所用的时间t小时的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）在上述变化过程中，自变量是________；因变量是________；（2）小轿车的速度是________km/h，大客车的速度是________ km/h；（3）两车出发多少小时后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是多少？【答案】（1）t，s；（2）50，30；（3）15小时，450km【分析】（1）根据函数图像可得；（2）根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度；（3）设两车出发xh时，两车相遇，根据题意列出方程，解之可得x，再乘以大客车的速度可得到甲地的距离．【详解】解：（1）自变量是时间t；因变量是路程s；（2）由图象可得，小轿车的速度为：500÷10=50（km/h），大客车的速度为：500÷503=30（km/h），故答案为：50，30；（3）设两车出发x小时，两车相遇，30x+50（x-14）=500，解得，x=15，30x=30×15=450，即两车出发15h后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是450km，故答案为：15，450．【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，结合函数图像得到必要信息．21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，C（4，0），A（a，3），B（a＋4，3）（1）求ΔOAC的面积；（2）若aOABC是菱形．【答案】（1）6；（2）见解析【分析】（1）过点A（a，3）作AE⊥x轴于点E，根据A（a，3），C（4，0）求出AE和OC的长度，23 / 27然后根据三角形面积公式求解即可；（2）首先根据点A 和点B 的纵坐标相同得到//AB OC ，然后结合AB OC =得到四边形OABC 是平行四边形，然后根据勾股定理求出OA 的长度，得到OA =OB ，根据菱形的判定定理即可证明． 【详解】解：（1）如图所示，过点A （a ，3）作AE ⊥x 轴于点E ，则AE =3， 又∵C （4，0）， ∴OC =4，∴S △OAC =11=43622OC AE ⨯⨯⨯⨯=．（2）若a =)A ，)43B ，， ∵A B y y =， ∴//AB OC ， ∵44AB OC ==，， ∴AB OC =．∴四边形OABC 是平行四边形， 过点A 作AE ⊥x 轴，则90AEO ∠=︒，3AE OE ==，∴4OA =，∴OA AB=，∴四边形OABC是菱形．【点睛】此题考查了三角形面积的求法，菱形的判定，解题的关键是根据题意找到坐标和线段的关系．22．定义：平面直角坐标系中，点M（a，b）和点N（m，n）的距离为MN，例如：点（3，2）和（4，0（1）在平面直角坐标系中，点（2，5-）和点（2，1）的距离是，点（72，3）和点（12，1-）的距离是；（2）在平面直角坐标系中，已知点M（2-，4）和N（6，3-），将线段MN平移到M ′ N′，点M的对应点是M′，点N的对应点是N′，若M′的坐标是（8-，m），且MM′=10，求点N′的坐标；（3）在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上，点B在y轴上，点C的坐标是（12，5），若BC=13，且△ABC的面积是20，直接写出点A的坐标．【答案】（1）6，5；（2）当M′（-8，12）时，N′（0，5），当M′（-8，-4）时，N′（0，-11）；（3）（8，0）或（-8，0）或（16，0）或（32，0）【分析】（1）分别利用两点间距离公式求解即可．（2）构建方程求出m的值，可得结论．（3）设(0,)B t，构建方程求出t的值，可得结论．【详解】解：（1）点(2,5)-和点(2,1)的距离6，25 / 27点7(2，3)和点1(2，1)-的距离5=， 故答案为：6，5． （2）由题意，10MM '=，∴10=，12m =∴或4-，(8,12)M ∴'-或(8,4)--，当(8,12)M '-时，(0,5)N '， 当(8,4)M '--时，(0,11)N '-． （3）设(0,)B t ，(12,5)C ，13BC =，∴13，解得0t =或10，(0,0)B ∴或(0,10)，当(0,0)B 时，20ABC S ∆=，∴15202OA ⨯⨯=， 8OA ∴=，(8,0)A ∴或(8,0)-．当(0,10)B 时，20ABC BOC AOC AOB S S S S ∆∆∆∆=+-=或20ABC AOC AOB BOC S S S S ∆∆∆∆=--=，∴111101*********OA OA ⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=或111101012520222OA OA ⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，16OA ∴=或32，∴或(32,0)，A(16,0)综上所述，满足条件的点A的坐标为(8,0)或(8,0)-或(16,0)或(32,0)．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了两点间距离公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．27 / 27。
01复合函数--学生讲义
数学很难怎么办？两横一竖就是干！
【变式练习】 2-1.求函数������ =
1 −������ 2 +2������+1
的值域
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【变式练习】 2-2.求函数������ = ������ + ������ − 3 的值域
数学很难怎么办？两横一竖就是干！
复合函数求单调区间
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【经典例题】 3.函数y = 5 − 4������ − ������ 2 的单调递增区间
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【变式练习】 3-1.函数������ =
1 3x−������ 2
的单调递增区间
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复 合 函 数 模 型 求 解
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复合函数的概念 若������是������ 的一个函数������ = ������ ������ ，而������ 又是������ 的一个函数������ = ������ ������ ，则������也是������ 的一
个函数，即������ = ������ ������ ������ ，称复合函数，当������ = ������时，函数������的值记作������ ������ ������ ．
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复合函数常考题型
解析式
复合函
数
单调性 值域
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复合函数求解析式
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【经典例题】 1.已知函数������ 2������ + 1 = 3������ + 2，则������ ������ = ________.
函数基本初等函数
当$n=-1$时，幂函数为$y=x^{-1}$，表示反比例函数。
当$n=0.5$时，幂函数为$y=x^{0.5}$，表示一个半次函数。
应用场景
在数学领域，幂函数广泛应用于 代数、几何和微积分等领域。
在物理领域，幂函数可以描述一 些自然现象，如电磁波的传播、
热传导等。
在工程领域，幂函数可以用于建 模和预测一些实际问题的结果，
函数基本初等函数
目录
• 常数函数 • 指数函数 • 三角函数 • 对数函数 • 幂函数 • 反三角函数
01 常数函数
定义与性质
定义
常数函数是指函数表达式中不含 有自变量，因变量始终等于某个 常数的函数。
性质
常数函数具有水平渐近线，即当 自变量趋于无穷时，因变量始终 等于该常数。
举例
常数函数y=5
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数学
在数学中，三角函数用于证明定理、 解决方程和不等式等问题，以及与 其他数学领域进行交叉研究。
04 对数函数
定义与性质
定义
对数函数是数学中的一种函数，它以 幂运算为基础，表示为 y = logₐx (a > 0, a ≠ 1)，其中 x > 0。
性质
对数函数具有反函数性质、运算性质 、换底公式等基本性质，这些性质在 数学和实际应用中具有重要意义。
在物理学中，对数函数被用于描述声 学、光学和热力学等领域的现象。
05 幂函数
定义与性质
定义
幂函数是形如$y=x^n$（$n$为实数）的函数，其中$x$是自 变量，$n$是实数指数。
性质
幂函数具有非负性、递增性、递减性、奇偶性等性质，具体 性质取决于指数$n$的取值。
正切函数基础定理公式总结PPT
级数在近似计算中应用
01
近似计算
在实际计算中，可根据需要取泰 勒级数的前几项进行近似计算， 以简化计算过程。
误差估计
02
03
应用领域
通过比较近似值与精确值的差异 ，可对近似计算的误差进行估计 。
正切函数的泰勒级数展开式在三 角函数的计算、数值分析等领域 具有广泛应用。
05 正切函数在解三角形中应用
值域
正切函数的值域是全体实数，即$mathbf{R}$。
周期性及奇偶性
周期性
正切函数是周期函数，其最小正周期 为$pi$，即$tan(x + pi) = tan x$。
奇偶性
正切函数是奇函数，满足$tan(-x) = tan x$。
图像与性质
图像
正切函数的图像是无限多支的曲线，每支曲线都趋近于两条 渐近线$y = pm 1$，并且在每个周期内都有垂直渐近线。
定积分计算方法
定积分定义
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为 Δxi，任取一点ξi∈[xi-1,xi]，作和式Σf(ξi)Δxi，当n趋于无穷大且最大小区间长度 趋于零时，该和式的极限值称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫abf(x)dx 。
06 正切函数与其他三角函数关系
与正弦、余弦函数关系
1 2
正切函数定义
正切函数是正弦函数与余弦函数的比值，即 tanθ=sinθ/cosθ。
互补角关系
正切函数具有互补角关系，即tan(π/2θ)=1/tanθ。
3
周期性与奇偶性
正切函数具有周期性，周期为π，且为奇函数， 即tan(-θ)=-tanθ。
03 正切函数积分及定积分
高等数学-01第一章 第1节 函数
七、复合函数 初等函数
1.复合函数 设 y u, u 1 x2,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z , 若D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 15
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
5
定义域 D (, ), 值域 W Z
（3）数学在现代科学技术各个领域应用越来越 广泛和重要。
早在100多年前马克思就指出：“一门科学只有成 功地应用了数学时，才算真正达到了完善的地步．”
1
二、《高等数学》研究的对象：
主要研究变量与变量之间的关系。
具体内容：
（1）一元函数微积分； （2）多元函数微积分；
（3） 无穷级数；
（4） 向量代数与空间解析几何;
三、映射
1、映射的定义
定义1、 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个
法则f，使得对X中每个元素 x，按照法则 f ,
在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，则称 f为
从X到Y的映射,记作 f : X Y,
其中 y称为元素x（在映射f下）的像，并记作 f (x),即
y f (x),
x称为元素 y（在映射 f下）的一个原像； 集合X称为映射 f的定义域，记作 Df ,即Df X ;
a
38
4.三角函数
第一讲 一次函数的概念与图象-【寒假预习】八年级数学核心考点+重难点讲练与测试(沪教版)(原卷版)
第01讲 一次函数的概念与图象目录考点一：识别一次函数考点二：一次函数图象考点三：一次函数图象与系数关系考点四：一次函数图象上的点的坐标特征考点五：一次函数图象与几何变换【基础知识】一、一次函数的概念（1） 一般地，解析式形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数；（2） 一次函数y kx b =+的定义域是一切实数；（3） 当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 是常数，且0k ≠），这时y 是x 的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；（4） 一般地，我们把函数y c =（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定．二、一次函数的图像：一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一直线的表达式．画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．三、 一次函数的截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距，一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标(0)b ，．直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ．四、 一次函数图像的平移：一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移得到．当0b >时，向上平移个单位；当0b <时，向下平移b 个单位．（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”）【考点剖析】一．一次函数的定义（共3小题）1．（2022春•杨浦区校级期中）以下函数中，属于一次函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝c（c为常数）D．y＝kx+b（k、b为常数）2．（2022春•静安区校级期中）根据变量x、y的关系式，属于y是x的一次函数的是（）①y＝k（x﹣1）（k≠0）②y＝1﹣（k≠0）③x﹣y＝2（k≠0）④y＝kx+（k≠0）．A．①B．①②③C．①③D．全部都是．3．（2022春•闵行区校级月考）已知函数y＝（m﹣3）x+3是一次函数，则m＝．二．一次函数的图象（共6小题）4．（2022春•静安区校级期中）如图，若k•b＞0，且b+k＞0，则一次函数y＝kx+b的大致图象是（）A．B．C．D．5．（2021春•徐汇区期中）如图所示，一次函数y＝mx+m的图象中可能是（）A．B．C．D．6．（2021春•徐汇区校级月考）如图，已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象，当y＞﹣2时，x的取值范围为（）A．x＜1B．x＞1C．x＜0D．x＞07．（2022春•徐汇区校级期中）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当y＞3时，x的取值范围是（）A．x＜0B．x＞0C．x＜2D．x＞2．8．（2022春•闵行区校级期中）在直角坐标平面内，一次函数y＝ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y＞﹣2B．当x＜1时，y＞0C．当x＜0时，﹣2＜y＜0D．当x≥1时，y≤09．（2022春•嘉定区期中）如图是一次函数y＝kx+b的图象，当x时，函数图象在x轴的上方．三．一次函数图象与系数的关系（共7小题）10．（2022春•杨浦区校级期末）若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则直线y＝bx﹣k的图象只能是图中的（）A．B．C．D．11．（2022春•闵行区校级期中）如果一次函数y＝（m﹣3）x+m的图象过第一、二、四象限，那么m的取值范围是．12．（2022春•徐汇区校级期中）一次函数y＝（k+1）x﹣2的函数值y随自变量x的增大而减小，那么k 的取值范围是．13．（2022春•静安区校级期中）已知直线y＝（1﹣3m）x+（2m﹣1）经过第二、三、四象限，则m的取值范围为．14．（2022春•嘉定区期中）一次函数y＝（4﹣k）x+3，y随x的增大而减小，则k的取值范围是．15．（2022春•黄浦区校级期中）已知一次函数y＝（2k﹣1）x+k的函数值y随x的值增大而增大，那么k 的取值范围是．16．（2022春•杨浦区校级期中）已知一次函数y＝kx+k﹣1（其中k为常数且k≠0）的图象不经过第二象限，则k的取值范围是．四．一次函数图象上点的坐标特征（共8小题）17．（2022春•徐汇区期末）一次函数y＝3（x﹣1）在y轴上的截距是（）A．﹣1B．1C．﹣3D．318．（2022春•嘉定区校级期中）下列各点在直线y＝﹣2x+1上的是（）A．（1，0）B．（2，0）C．（0，1）D．（0，）19．（2021秋•金山区期末）已知正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣2），则y的值随着x的值增大而（填“增大”、“减小”、或“不变”）．20．（2022春•杨浦区校级期中）一次函数y＝3x+b的图象过坐标点（﹣2，4），则该函数的截距为．21．（2022春•普陀区校级期中）一次函数y＝﹣4x﹣2的图象与x轴的交点坐标是．22．（2022春•浦东新区校级期中）已知一次函数y＝x﹣1的图象上有点A（2，a）和点P，且PO＝P A，则点P的坐标为．23．（2022春•普陀区校级期中）已知一次函数y＝2x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、点B，在直线x＝4上有一点C，连接AC、BC，三角形ABC是等腰三角形，则点C的坐标为．24．（2022春•静安区校级期中）直线y＝kx+b经过A（﹣20，5）、B（10，20）两点，求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积是．五．一次函数图象与几何变换（共8小题）25．（2022春•闵行区校级期末）将直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移6个单位后，所得直线的解析式是．26．（2022春•奉贤区校级期末）如果将函数y＝2x﹣2的图象平移，且经过（0，3），那么所得图象的函数解析式是．27．（2022春•静安区期中）将直线y＝﹣2x﹣4向上平移5个单位，所得直线的表达式是．28．（2022春•黄浦区校级期中）将直线y＝3x+2沿y轴向下平移个单位，那么平移后直线就经过点（0，﹣1）．29．（2022春•杨浦区校级期中）将直线y＝﹣3x向上平移1个单位，则平移后的新直线一定不经过第象限．30．（2022春•浦东新区校级期中）将直线y＝﹣x﹣1向上平移4个单位所得的直线表达式为．31．（2022春•静安区校级期中）已知：如图所示，直线y＝﹣x+4的与x轴、y轴分别交于点B和点A，将这条直线平移后与x轴、y轴分别交于点C和点D，且BA＝CB．（1）求点C的坐标；（2）求CD所在直线的函数解析式．32．（2022春•长宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•徐汇区校级期中）以下函数中，属于一次函数的是（）A．y＝x2+2B．y＝kx+b（k、b是常数）C．y＝D．y＝2．（2022春•徐汇区期末）一次函数y＝3（x﹣1）在y轴上的截距是（）A．﹣1B．1C．﹣3D．33．（2022春•静安区校级期中）如图，若k•b＞0，且b+k＞0，则一次函数y＝kx+b的大致图象是（）A．B．C．D．4．（2022春•嘉定区校级期中）下列各点在直线y＝﹣2x+1上的是（）A．（1，0）B．（2，0）C．（0，1）D．（0，）5．（2022春•徐汇区校级期中）函数y＝x﹣3的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2022春•嘉定区校级期中）已知一次函数y＝kx+b，k＜0，b＞0，那么下列判断中，正确的是（）A．图象不经过第一象限B．图象不经过第二象限C．图象不经过第三象限D．图象不经过第四象限7．（2022春•普陀区校级期中）一次函数y＝kx+k（k＜0）的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共20小题）8．若y＝kx+4﹣x是一次函数，则k的取值范围是．9．（2021秋•金山区期末）已知正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣2），则y的值随着x的值增大而（填“增大”、“减小”、或“不变”）．10．（2022春•青浦区校级期末）一次函数y＝kx+2x+k2，若函数值y随自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是．11．（2022春•上海期中）一次函数y＝2（x﹣1）+3的图象在y轴上的截距是．12．（2022春•嘉定区期中）若直线y＝﹣x﹣1的图象过点A（4，m），则m＝．13．（2022春•黄浦区校级期中）若直线y＝mx﹣2经过点（4，2），则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为．14．（2022春•奉贤区校级月考）已知经过点（1，﹣2）的直线y＝kx+b是由y＝3x+1向下平移后得到的，那么这条直线的解析式是．15．（2022春•徐汇区校级期中）已知一次函数y＝（2m+1）x﹣1，且y的值随着x的值增大而减小，则m 的取值范围是．16．（2022春•静安区期中）把函数y＝2x的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的函数图象解析式为．17．（2022春•浦东新区校级期中）已知一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与两坐标轴围成的三角形面积为4，则k＝．18．（2022春•徐汇区校级期中）直线y＝kx+2经过点A（2，4），且交x轴于点B，在x轴上有一点C，若△ABC的面积为12，则C点坐标为．19．（2022春•徐汇区校级期中）一次函数y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段AB绕A 点逆时针旋转90°，使B点落在M点处，则M的坐标为．20．（2022春•浦东新区校级期中）点（a，b）在直线y＝﹣2x+3上，则4a+2b﹣1＝．21．（2022春•杨浦区校级期中）若函数y＝4x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为6，那么b＝．22．（2022春•普陀区校级期中）一次函数y＝﹣3x﹣6的图象与x轴的交点坐标是．23．（2022春•闵行区校级期中）如果关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+m的图象不经过第三象限，那么m 的取值范围．24．（2022春•虹口区期中）点A（1，3）（填“在”或“不在”）直线y＝﹣x+2上．25．（2022春•闵行区校级月考）如果点A（﹣1，a），B（1，b）在直线y＝﹣2x+m上，那么a b （填“＞”、“＜”或“＝”）．26．（2022春•奉贤区校级期末）当x＝2时，不论k取任何实数，函数y＝k（x﹣2）+3的值为3，所以直线y＝k（x﹣2）+3一定经过定点（2，3）；同样，直线y＝（k﹣2）x+4k一定经过的定点为．27．（2015春•闸北区期中）已知：如图所示，直线y＝﹣x+交x轴于点A，交y轴于点B，若点P 从点A出发，沿射线AB做匀速运动，点Q从点B出发，沿射线BO做匀速直线运动，两点同时出发，运动速度也相同，当△BPQ为直角三角形时，则点Q的坐标为．三．解答题（共7小题）28．（2022春•奉贤区校级月考）如图，一次函数y＝x+3的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B．（1）若点P（﹣2，m）为第三象限内一个动点，请问△OPB的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由．（2）在（1）的条件下，试用含m的代数式表示四边形APOB的面积；若△APB的面积是6，求m的值．29．（2021春•嘉定区校级期中）如图，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．（1）求A、B两点的坐标；（2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当t为何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标．30．（2021春•浦东新区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2021春•嘉定区校级期中）若直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点P是该直线上的一点，PC⊥x轴，C为垂足．（1）求△AOB的面积．（2）如果四边形PCOB的面积等△AOB的面积的一半，求出此时点P的坐标．32．（2021春•徐汇区校级月考）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k≠0）向上平移2个单位后与直线y＝x重合，且直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）写出点B的坐标，求直线AB的表达式；（2）求△AOB的面积．33．（2021春•松江区月考）已知一次函数y＝（2﹣k）x﹣k2+4．（1）k为何值时，y随x的增大而减小？（2）k为何值时，它的图象经过原点？34．（2021春•徐汇区期中）已知把直线y＝kx+b（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位后，得到直线y＝﹣2x+5．（1）求直线y＝kx+b（k≠0）的解析式；（2）求直线y＝kx+b（k≠0）与坐标轴围成的三角形的周长．。
01-三角函数1——三角函数的基本概念(1)
教师李聪学生姓名填写时间年级学科数学上课时间阶段基础（）提高（）强化（）课时计划第（）次课共（）次课教学目标教学难点教学过程题型一：任意角与弧度制【例1】下列各对角中终边相同的角是（）。
A2π和2()2Zk kππ-+∈B3π-和223C79π-和119πD203π和1229π【例2】若角α、β的终边相同，则αβ-的终边在.典例分析三角函数的基本概念（1）A.x 轴的非负半轴上B.y 轴的非负半轴上C.x 轴的非正半轴上D.y 轴的非正半轴上【例3】 时钟经过一小时，时针转过了（ ）。
A 6rad πB 6rad π-C12rad πD 12rad π-【例4】 两个圆心角相同的扇形的面积之比为1:2，则两个扇形周长的比为（ ）A 1:2B 1:4C 1:2D 1:8【例5】 下列命题中正确的命题是（ ）A 若两扇形面积的比是1:4，则两扇形弧长的比是1:2B 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值C 若扇形的面积一定，则弧长存在最小D 任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系【例6】 一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）A. 21(2sin1cos1)2R -⋅ B21sin1cos12R ⋅ C212RD 2(1sin1cos1)R -⋅【例7】 下列说法正确的有几个（ ）（1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角； （3）小于90的角是锐角；（4）090的角是锐角。
A 1个B 2个C 3个D 4个【例8】 下面四个命题中正确的是（ ）A.第一象限的角必是锐角B.锐角必是第一象限的角C.终边相同的角必相等D.第二象限的角必大于第一象限的角【例9】 已知角α的终边经过点(33)P -，，则与α终边相同的角的集合是.A.2π2π3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ， B.5π2π6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，C.5ππ6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，D.2π2π3x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，【例10】 若α是第四象限角，则180α-是（ ）A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角【例11】 若α与β的终边互为反向延长线，则有（ ）A 180αβ=+B 180αβ=-C αβ=-D (21)180,k k Z αβ=++⋅∈【例12】 与1840终边相同的最小正角为________，与1840-终边相同的最小正角是________。
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数第1讲函数及其表示课件
B．(－1，1]
C．(－，－1)
D．(－4，0)∪(0，1]
答案 A
解析 要使函数 f(x)有意义，应有
－x2－3x＋4≥0，
x＋1>0，
解得－1<x<0 或 0<x≤1，故选 A.
x＋1≠1，
3 ． (2021·陕 西 省 高 三 教 学 质 量 检 测 ( 四 )) 已 知 函 数 f(x) ＝
□06 唯一确定
A→B
一个元素 x，在集合 B 中都有 合 B 中都有□04 唯一确定的
的元素 y 与之对应
数 f(x)与之对应
名称 记法
称对应 f：A→B 为从集 称 f：A→B 为从集合 A 到集
合 A 到集合 B 的一个 合 B 的一个函数
映射
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
2．函数的定义域、值域
x－1 B．y＝ x－1与 y＝ x－1 C．y＝4lg x 与 y＝2lg x2 D．y＝(3 x)3 与 y＝x 答案 D
解析 A 中，y＝x－1 与 y＝ （x－1）2＝|x－1|的解析式不同，两函数
不相等；B 中，y＝
x－1的定义域为[1，＋∞)，y＝
x－1 x－1的定义域为(1，
＋∞)，定义域不同，两函数不相等；C 中，y＝4lg x 与 y＝2lg x2＝4lg |x|的
A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13x C．f：x→y＝23x D．f：x→y＝ x 答案 C 解析 依据函数的概念，集合 A 中任一元素在集合 B 中都有唯一确定 的元素与之对应，故选项 C 不符合．
－x2－3x＋4 2．函数 f(x)＝ lg （x＋1） 的定义域为( )
A．(－1，0)∪(0，1]
第一讲导数、导函数的概念及导数的运算全面版
导数与导函数的观点【基础知识点】1．函数从到的均匀变化率为① ____________，若△x x2x1，△ y f ( x2 ) f ( x1 ) ，则均匀变化率可表示为．2．一般的，定义在区间（ a ，b）上的函数 f ( x) ，x o( a， b) ，当x 无穷趋近于0 时，y f (x o x) f (x o )A ，则称f ( x)在x x o处可导，并x x无穷趋近于一个固定的常数称 A 为f ( x)在x x o处的导数，记作 f ' ( x o ) 或f ' ( x ) |x xo3．几何意义： f ( x) 在x x0处的导数就是 f ( x) 在x x0处的切线斜率。
4．导函数的观点： f ( x)的对于区间（a , b）上随意点处都可导，则 f ( x) 在各点的导数也随 x 的变化而变化，因此也是自变量x的函数，该函数被称为 f ( x) 的导函数，记作f ' ( x ) 。
【典例分析】【典例 1】函数f ( x)知足f ' (1)2，则当 x 无穷趋近于 0 时，（ 1）f (1x) f (1)2x（ 2）f (12x) f (1)x变式 :设f(x)在x=x0处可导，（3）f ( x04x)f ( x)无穷趋近于1，则f(x0 ) =___________ x（4）f ( x04x)f ( x)无穷趋近于1，则f(x0 ) =__________ x（ 5）当△ x 无穷趋近于0，f ( x02x) f (x02 x)所对应的常数与 f ( x0 ) 的x关系。
总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。
【基础知识点】1．基本初等函数的求导公式：⑴(kx b)k (k,b为常数 ) ⑵(C ) 0 (C 为常数 )⑶ ( x)1⑷( x 2 ) 2 x⑸( x 3) 3x2⑹ (1)1xx 2⑺(x )1由⑶ ~⑹你能发现什么规律 ?2 x⑻ ( x ) x1（ 为常数）⑼ (a x )a x ln a (a0，a 1)⑽(log a x)1log a e1 ( a 0，且 a 1)xxlna⑾(e x )e x⑿(lnx ) 1x⒀(sinx ) cosx⒁(cosx)－ sinx2．曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线 y ＝ f （x ）在点 P （ x 0， f （ x 0））处的切线方程是 y － f （ x 0）＝ f ' ( x o ) （ x － x 0）；3． 求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依照已知点在切线上求解． 4．函数的差、积、商的求导法例：（ 1） （ 2）（ 3）f ( x)g ( x) ' f '( x)g '( x)cf ( x) ' cf (x)'f (x)g ( x) ' f '(x) g(x)f ( x)g '(x)f ( x) '（ 4）f '( x)g (x) f (x) g '( x)( g (x) 0)g( x)g( x)2【典例分析】【典例 1】求以下函数的导数（ 1）y3x 5（ 2）y1（ 3）y log 4 x（ 4）x 4y sin(x)2（ 5）y cos(3（ 6）yx x x x)2题型一：点在曲线上【典例 2】已知曲线y1x3上一点 P(2,8),则过 P 点的切线方程为.33分析：过点 P 的切线的斜率为k f ' 2 4 ，那么切线方程为y84x 2 ，即312 x 3y 160 ．变式：（南通市2013 届高三第一次调研测试数学试卷）曲线 f ( x)f(1)x12在e f (0) x xe2点 (1, f (1)) 处的切线方程为 ________.题型二：点不在曲线上【典例 3】过点(1,0) 作抛物线y x2x1的切线，则此中一条切线为解析：设切点为 x0 , y0，切线的斜率为 f ' x02x0 1 ，则切线方程为：y y0 f 'x0x x0，由于点 ( 1,0) 在切线上，故y0 f ' x0 1x0，解得x00，或 x02，切点为 0,1或2,3，故切线方程为 x y20或3x y30变式： 1．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点1,0. 与函数 f x e x( e 是自然对数的底数)图像相切的直线方程是__________.2．（ 2011 年高考（江苏卷））在平面直角坐标系xOy 中,已知点P是函数 f ( x)e x (x0)的图象上的动点 , 该图象在P 处的切线l交y轴于点, 过点P作l的垂线交y轴于点,设M N线段 MN的中点的纵坐标为t ,则 t 的最大值是__题型三：已知切线斜率求切线方程【典例 4】求垂直于直线 2 x6y 1 0且与曲线y x33x2 5 相切的直线方程。
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第1讲函数的概念及其表示课件
运算求解 综合性 逻辑推理 数学运算
运算求解 创新性 逻辑推理
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
2021新高 函数奇偶性 利用奇偶性求 运算求解 基础性 数学运算
考Ⅰ，13 与周期性 解参数的值
2021新高 函数奇偶性 函数奇偶性的 运算求解 基础性 数学运算
(2)如果两个函数的定义域相同，并且___对__应__关__系___完全一致，则这
两个函数为相等函数．
3．函数的表示法 表示函数的常用方法有___解__析__法___、图象法和列表法．
知识点二 分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因对函数称为分段函数．分段函数表示的是一个 函数． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于 各段函数的值域的__并__集____.
第一讲 函数的概念及其表示
知识梳理 · 双基自测
知识梳理 知识点一 函数的概念及其表示 1．函数的概念
函数
两个集合A，B
设A，B是两个__非__空__数__集____
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中 对应关系f：A→B 的__任__意____一个数x，在集合B中都有__唯__一__确__定___
x (5)函数 y＝ x－1定义域为 x>1.( × )
题组二 走进教材 2．(必修1P67T1改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}， 值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( B )
[解析] A中函数的定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中 函数的值域不是[0,2]．
的定义域为x2<x<3，且x≠52 .
大学物理常用高数基础知识
06
无穷级数
总结词
无穷级数是微积分学中一个重要的概念，它表示一个无穷序 列的和。无穷级数具有收敛和发散两种性质，收敛的级数具 有和，而发散的级数不具有和。
详细描述
无穷级数是微积分学中一个非常重要的概念，它表示一个无穷 序列的和。无穷级数由一系列无穷多个项组成，每一项都有一 个系数，表示该项在级数中的权重。无穷级数具有收敛和发散 两种性质。如果一个无穷级数的和存在，则称该级数收敛，否 则称该级数发散。收敛的级数具有和，而发散的级数不具有和。
大学物理常用高数基础知识
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 积分 • 多元函数微积分 • 常微分方程 • 无穷级数
01
函数与极限
函数的定义与性质
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它描述了 两个变量之间的关系。每个输入值都 对应一个唯一的输出值，这个输出值 称为函数的值。
函数的性质
函数具有一些基本的性质，如奇偶性、 单调性、周期性等。这些性质决定了 函数的行为和特征。
函数的极限
极限的定义
极限是描述当一个数趋近于某个值时，函数值的变化趋势的概念。如果当x趋近于某点时，函数f(x)的值趋近于一 个确定的常数，则称此常数为函数f(x)在该点的极限。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。这些性质在研究函数的特性以及解决 与函数相关的问题时非常有用。
详细描述
常微分方程是微分学中用于描述一个或多个 变量随时间变化的数学模型。它的一般形式 为 y' = f(x, y)，其中 y' 表示 y 对 x 的导数， f(x, y) 是 x 和 y 的函数。常微分方程可以分 为线性微分方程和非线性微分方程两大类。
第01讲 一元函数的导数及其应用(讲)-2023年高考数学一轮复习(解析版)
第1讲 一元函数的导数及其应用（一）本讲为重要知识点，也是高中的难点。
题型主要围绕导数的几何意义结合函数的思想考察。
基本会考察一题关于函数本身的基础题和一道导数大题，第一问对于几何意义的考察属于基础知识，必须掌握，第二问的题型相对较多，需要对于导数的应用和函数的思想相结合去理解其中的变形目的。
考点一 导数的概念及运算1．导数的概念一般地，函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()lim limx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f′(x 0)或y′0|x x =即f′(x 0)＝0000()()limlimx x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆. 称函数f′(x)＝000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆为f(x)的导函数．2．导数的几何意义函数f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f(x)上点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝e xf′(x)＝x e f(x)＝ln x f′(x)＝1xf(x)＝x α(α∈Q *) f′(x)＝αx α－1f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝a x (a>0，a≠1) f′(x)＝a xln_a f(x)＝log a x(a>0，a≠1)f′(x)＝1ln x x4.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)2()'()()()'()'()[()]f x f x g x g x g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(g(x)≠0)． 5.常用结论1.f′(x 0)代表函数f(x)在x ＝x 0处的导数值；(f(x 0))′是函数值f(x 0)的导数，且(f(x 0))′＝0.2.1()f x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦′＝－2'()[()]f x f x . 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.考点二 利用导数研究函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系 函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a ，b)内是单调递增函数； (2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a ，b)内是单调递减函数； (3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a ，b)内是常数函数．讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.2.常用结论汇总——规律多一点(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a ，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a ，b)上的任何子区间内都不恒为零．考点三 利用导数解决函数的极值最值1．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f(x)在点x ＝a 的函数值f(a)比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a 叫做函数y ＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3常用结论1.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.考点四利用导数研究生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路是什么？答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．4.对于优化问题，建立模型之后需要对模型进行最大值最小值的求解，从而转化为导数求极值最值问题.高频考点一 导数的概念及其意义例1、函数()y f x =的图象如图所示，f x 是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．()()()()235325f f f f ''<-<B ．()()()()232553f f f f ''<<-C ．()()()()532325f f f f ''-<<D ．()()()()232553f f f f ''<<-【答案】A【详解】由图知：(5)(3)(3)(5)53f f f f -''<<-，即2(3)(5)(3)2(5)f f f f ''<-<.故选：A 1、若函数()ln bf x a x x=-在点（1，f （1））处的切线的斜率为1，则22a b +的最小值为（ ）A ．12 B ．22C 3D ．34【答案】A【详解】由已知2()a b f x x x '=+，所以(1)1f a b '=+=， 222()122b a a b +≥=+，当且仅当12a b ==时等号成立．故选：A ． 高频考点二 导数的运算例1、已知()ln 3(e)f x x f x '=-，求(e)f =（ ） A ．3-B ．13e-C ．1e -D ．14【答案】D【详解】由()ln 3(e)f x x f x '=-得1()3(e)f x f x ''=-，将e x =代入1()3(e)f x f x''=-得11(e)3(e)(e)=e 4ef f f '''=-⇒，故3()ln 4e f x x x =-，因此331(e)ln e e=1=4e 44f =-⨯-， 故选：D 【变式训练】1、函数()()ln 1f x x x =-的图像在点()2,0处的切线方程为（ ） A ．24y x =- B ．21y x =+ C ．23y x =- D ．21y x =-【答案】A【详解】对函数()()ln 1f x x x =-求导，得()()ln 11xf x x x '=-+-， 所以()22ln121f '=+=，即函数()()ln 1f x x x =-的图像在点()2,0处的切线斜率为2，所以函数()()ln 1f x x x =-的图像在点()2,0处的切线方程为()22y x =-，即24y x =-. 故选：A 高频考点三 导数在研究函数中的应用例1、已知函数1()e 2xf x =，直线y kx =与函数()f x 的图象有两个交点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1e 2⎛ ⎝B ．(e,)+∞C ．(e,)+∞D ．1e,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【详解】当过原点的直线y kx =与函数()f x 的图象相切时，设切点为1,e 2m P m ⎛⎫⎪⎝⎭，由()1e 2xf x '=，可得过点P 的切线方程为()11e e 22m m y x m -=-，代入点()0,0可得11e e 22m mm -=-，解得1m =，此时切线的斜率为1e 2，由函数()f x 的图象可知，若直线y kx =与函数()f x 的图象有两个交点，直线的斜率k 的取值范围为1e,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故答案选：D 【变式训练】1、已知函数()2e 2ln xf x k x kx x=-+，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值集合是（ ）A ．2e ,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【详解】函数()f x 定义域为()0,∞+，()()()2243e 2e 2e 2x x x kx x x x kf x k x x x+--'=-+=， 由题意可得，2x =是方程()0f x '=唯一变号的根，令()2e x h x kx =+，则()h x 在()0,∞+上没有变号零点，令()0h x =得2e xk x-=，令()()2e 0xg x x x =>，则()()3e 2x x g x x-'=， 当2x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当02x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 故当2x =时，()g x 取得最小值()2e 24g =，故2e 4k -即2e 4k -．。
高考数学复习第2章函数导数及其应用第1讲函数与映射的概念
解析：x＝1∈A,x→|x－1|＝0 B,即对集合 A 中元素 1, 在集合 B 中没有元素与之对应.故选 C.
答案：C
(2)(多选)下列四个图象中,是函数图象的是(
解析：由已知得 7＋6x－x2≥0,即x2－6x－7≤0, 解得－1≤x≤7,故函数的定义域为[－1,7]. 答案：[－1,7]
(3)若函数 f(x)＝x＋1 1，则函数 y＝f(f(x))的定义域为 ______________________.
素 了 2.知解,会道映求指射一数的些函概简数念单y.＝函a数x 与的对定数义函域数和y值＝域；决反在连函求2续0数函三11年的数年、概的都2念定考01及义 查2年求域 求、法简,但2单,新也01函课涉3年数标及
logax互为反函数(a＞0, a≠1)
的反函数
设 A,B 是两个非空集合,如果按照某种对应关系 f,对于集
第二章 函数、导数及其应用
第1讲 函数与映射的概念
课标要求
考情风向标
1.通过丰富实例,进一步体会函数是描 述变量之间的依赖关系的重要数学模
对函数概念的理解是学好函 数的关键,函数的概念比较抽
型,在此基础上学习用集合与对应的语 言来刻画函数,体会对应关系在刻画函 数概念中的作用；了解构成函数的要
象,不易理解,应做适量练习, 通过练习弥补理解的缺陷,纠 正理解上的错误.本讲重点解
答案：D
(4)已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x) 1
3
1
x
1
函数的概念说课稿(精选)
函数的概念说课稿（精选）篇一：《函数概念》说课稿尊敬的各位评委、老师们：大家好！今天我说课的内容是《函数的概念》，选自人教版高中数学必修一第一章第二节。
下面介绍我对本节课的设计和构思，请您多提宝贵意见。
我的说课有以下六个部分：一、背景分析1、学习任务分析2、学情分析学生在初中已经学习了函数的概念，初步具备了学习函数概念的基本能力，但函数的概念从初中的变量学说到高中阶段的对应说很抽象，不易理解。
另外，通过对集合的学习，学生基本适应了有效的课堂模式，初步具备了小组合作、自主探究的学习能力。
基于以上的分析，我认为本节课的教学重点为：函数的概念以及构成函数的三要素；教学难点为：函数概念的形成及理解。
二、教学目标设计根据《课程标准》对本节课的学习要求，结合本班学生的情况，故而确立本节课的教学目标。
1、知识与技能（方面）通过丰富的实例，让学生①了解函数是非空数集到非空数集的一个对应；②了解构成函数的三要素；③理解函数概念的本质；⑤会求一些简单函数的定义域。
2、过程与方法（方面）在教学过程中，结合生活中的实例，通过师生互动、生生互动培养学生分析推理、归纳总结和表达问题的能力，在函数概念的构建过程中体会类比、归纳、猜想等数学思想方法。
3、情感、态度与价值观（方面）让学生充分体验函数概念的形成过程，参与函数定义域的求解过程以及函数的求值过程，使学生感受到数学的抽象美与简洁美。
三、课堂结构设计为充分调动学生的学习积极性，变被动学习为主动愉快的探究，我使用有效教学的课堂模式，课前学生通过结构化预习，完成问题生成单，课中采用师生互动、小组讨论、学生展写、展讲例题，教师点评的方式完成问题解决单，课后完成问题拓展单，课堂结构包含：复习旧知，引出课题（约2分钟）创设情境，形成概念（约5分钟）剖析概念（约12分钟）例题分析，巩固知识，小组讨论，展写例题（约8分钟）小组展讲，教师点评（约10分钟）总结反思，知识升华（约2分钟）（最后）布置作业，拓展练习。
第01讲 函数及其性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)(学生版)备战2025年高考数学一轮复习学案
第01讲函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（12类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2020年新Ⅱ卷，第7题,5分复合函数的单调性对数函数单调性2020年新Ⅱ卷，第8题,5分函数奇偶性的应用函数的单调性解不等式2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-6分【备考策略】1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值3.能够利用函数的单调性解决有关问题4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容.1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2定义当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．(3)函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值2.单调性的常见运算（1）单调性的运算①增函数（↗）+增函数（↗）=增函数↗ ②减函数（↘）+减函数（↘）=减函数↘③)(x f 为↗，则)(x f -为↘，)(1x f 为↘ ④增函数（↗）-减函数（↘）=增函数↗⑤减函数（↘）-增函数（↗）=减函数↘ ⑥增函数（↗）+减函数（↘）=未知（导数）（2）复合函数的单调性()()()()()()结论：同增异减复合函数，，外函数内函数复合函数，，外函数内函数复合函数，，外函数内函数复合函数，，外函数内函数叫做外函数，叫做内函数，则设函数⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧↓⇒↑↓↓⇒↓↑↑⇒↓↓↑⇒↑↑===u h x f x g u x g h x f ,,3.奇偶性①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）②奇偶性的定义：奇函数：())(x f x f -=-，图象关于原点对称偶函数：()()x f x f =-，图象关于y 轴对称③奇偶性的运算4.周期性（差为常数有周期）①若()()x f a x f =+，则()x f 的周期为：a T =②若()()b x f a x f +=+，则()x f 的周期为：ba T -=③若()()x f a x f -=+，则()x f 的周期为：a T 2=（周期扩倍问题）④若()()x f a x f 1±=+，则()x f 的周期为：a T 2=（周期扩倍问题）5.对称性（和为常数有对称轴）轴对称①若()()x f a x f -=+，则()x f 的对称轴为2a x =②若()()b x f a x f +-=+，则()x f 的对称轴为2b a x +=点对称①若()()x f a x f --=+，则()x f 的对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,2a ②若()()cb x f a x f =+-++，则()x f 的对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛+2,2c b a6.周期性对称性综合问题①若()()x a f x a f -=+，()()x b f x b f -=+，其中b a ≠，则()x f 的周期为：b a T -=2②若()()x a f x a f --=+，()()x b f x b f --=+，其中b a ≠，则()x f 的周期为：ba T -=2③若()()x a f x a f -=+，()()xb f x b f --=+，其中b a ≠，则()x f 的周期为：ba T -=47.奇偶性对称性综合问题①已知()x f 为偶函数，()a x f +为奇函数，则()x f 的周期为：a T 4=②已知()x f 为奇函数，()a x f +为偶函数，则()x f 的周期为：aT 4=1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x=-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x=D ．()f x 2．（2024·山西晋中·三模）下列函数中既是奇函数，又在()0,¥+上单调递减的是（ ）A ．()2xf x =B ．()3f x x=C ．()1f x x x=-D ．()()ln ,0,ln ,0x x f x x x >⎧=⎨--<⎩1．（2024·全国·一模）下列函数中在区间(0,)+¥上单调递减的是（ ）A ．cos y x=B ．2xy =C ．2y x -=D ．21y x =-2．（2024·吉林·模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,¥+上单调递增的是（ ）A ．()23f x x-=B ．()tan =f x x C ．()31f x x x=-D ．()ln f x x=1．（2023·全国·高考真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2-¥-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+¥2．（2024·全国·高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++³⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-¥B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+¥1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数()()e x x tf x -=在()2,3上单调递减，则t 的取值范围是（ ）A ．[)6,+¥B ．(],6-¥C ．(],4¥-D ．[)4,+¥2．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2log ,1216,1a x x f x x a x a x ³⎧=⎨-+-+-<⎩（0a >且1a ≠）在定义域内是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．()2,3B ．()2,+¥C ．[]2,3D ．()1,41．（2024·江西·模拟预测）已知奇函数()f x 在R 上单调递增，且()21f =，则不等式()10f x +<的解集为（ ）A ．()1,1-B ．()2,2-C ．()2,-+¥D ．(),2-¥-2．（2020·山东·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-¥单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -³的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+¥U B ．3,1][,[01]--U C ．[1,0][1,)-È+¥D ．[1,0][1,3]-È3．（2024·四川南充·二模）设函数()sin e e 3x xf x x x -=+--+，则满足()(32)6f x f x +-<的x 的取值范围是（ ）A ．(),1-¥B ．()1,+¥C ．()3,+¥D ．(),3-¥1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数()f x x x =，则关于x 的不等式()()21f x f x >-的解集为（ ）A ．1,3⎛⎫+¥ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-¥ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数()33x xf x -=-，则不等式()()210f x f x -->的解集为 （ ）A ．()1,1,3¥¥⎛⎫-È+ ⎪⎝⎭B ．1,3¥⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．113⎛⎫⎪⎝⎭，D ．()1+¥，3．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2233x xf x --=-，则满足()()830f x f x +->的x 的取值范围是（ ）A ．(),4-¥B ．(),2-¥C ．()2,+¥D ．()2,2-1．（2024·全国·高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <2．（2023·全国·高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,a f b f c f ===，则（ ）A ．b c a>>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．c a b>>3．（2024·宁夏银川·二模）定义域为R 的函数()f x 满足(2)f x +为偶函数，且当122x x <<时，2121[()()]()0f x f x x x -->恒成立，若(1)a f =，(ln10)b f =，54(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ． a b c <<B ． c b a <<C ． b a c <<D ．c a b<<1．（2024·辽宁丹东·二模）已知函数()3f x x x =-，a f ⎛= ⎝，2(log 3)b f =，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．bc a <<2．（2024·北京·模拟预测）函数()211f x x =+，记()0.5511,3,log 22a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．c b a<<3．（2024·宁夏石嘴山·三模）若定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,¥+上单调递增，则()21ln ,2,33e f f f -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小关系为（ ）A ．()2ln 31e23f f f -⎛⎫⎛⎫>-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()2ln e 3213f f f -⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()21ln 2e33f f f -⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()23132e ln f f f -⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1．（2023·全国·高考真题）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．（2023·全国·高考真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （ ）．A ．1-B ．0C ．12D ．13．（2023·全国·高考真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a．1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()(()3ln f x x x x x =-+ÎR 为奇函数，则=a （ ）A ．1-B ．0C ．1D 2．（2024·山东·模拟预测）已知函数()sin 11e x m f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，则m 的值是（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（2024·上海奉贤·三模）若函数22e 1,01,0x a x x x y x bx c x ⎧×-+->=⎨++-<⎩为奇函数，则a b c ++= ．1．（2021·全国·高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x Î时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．522．（2024·河南郑州·模拟预测）已知()11y f x =++为奇函数，则()()()()()()()2101234f f f f f f f -+-+++++=（ ）A ．14-B ．14C ．7-D ．73．（2024·河南·三模）（多选）定义在R 上的函数()f x 满足(1)()()()f xy f x f y f y x +=++，则（ ）A ．(0)0f =B ．(1)0f =C ．(1)f x +为奇函数D ．()f x 单调递增1．（2024·广东茂名·模拟预测）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()3322f x y f x y f x f y ⎛⎫⎛⎫+--=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()00f ≠，则（ ）A ．302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．函数()f x 是奇函数C ．()02f =-D ．()f x 的一个周期为32．（2024·湖南邵阳·模拟预测）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，且对任意的()12,1,2x x Î，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()20230f =C ．()f x 的图象关于()1,0对称D ．()()πe f f >1．（2021·全国·高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =2．（2024·江西·模拟预测）（多选）已知函数()f x 对任意的x ，y ÎR ，都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且()00f ≠，()21f =-，则（ ）A ．()01f =B ．()f x 是奇函数C ．()f x 的周期为4D ．()100215100n n f n ==å，*n ÎN 3．（2024·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知可导函数()f x 及其导函数()f x ¢的定义域均为R ，若()f x 是奇函数，()()210f f =-≠，且对任意,x y ÎR ，恒有()()()()()f x y f x f y f x f y ¢¢+=+，则一定有（ ）A ．()112f ¢=-B ．()90f =C ．2421()1k f k ==åD ．2421()1k f k =¢=-å1．（2024·重庆·三模）已知()f x 是定义域为R 的奇函数且满足()()20f x f x +-=，则()20f =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1±2．（2024·河南·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，若()()()()()11f x y f x f y f x f y -=+++，且()()02f f ≠，则1021()n f n ==å.3．（2024·广东深圳·模拟预测）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x ¢的定义域均为R ，若()f x 是奇函数，(2)(1)0f f =-≠，且对任意,R x y Î，()()()()()f x y f x f y f x f y ¢¢+=+，则（ ）A ．1(1)2¢=-f B ．(9)1f =C ．()f x ¢是周期为3的函数D ．201()1k f k =¢=-å1．（2022·全国·高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==å（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数()()2e sin πe 1x x f x x =++在[](),0x a a a Î->存在最大值与最小值分别为M 和m ，则函数()()()11g x M m x M m x =++++，函数()g x图像的对称中心是（ ）A ．()1,1--B ．21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭1．（2024·宁夏银川·三模）已知函数()1221xx f x -=+，则下列说法不正确的是（ ）A ．函数()f x 单调递增B ．函数()f x 值域为()0,2C ．函数()f x 的图象关于()0,1对称D ．函数()f x 的图象关于()1,1对称2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知()f x 的定义域为R ，函数()f x 满足()()()12202346,48x f x f x g x x ++-==-，()(),f x g x 图象的交点分别是()()()()11223344,,,,,,,,x y x y x y x y LL ，(),n n x y ，则12n y y y +++LL 可能值为（ ）A ．2B ．14C ．18D ．252．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x ¢的定义域均为R ，记()()g x f x ¢=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=3．（2024·河南·一模）（多选）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其导函数分别为()f x ¢，()g x ¢，()()161f x g x ¢-=--，()()116f x g x -¢-+=，且()()4g x g x +-=，则（ ）A ．()g x ¢的图象关于点()0,1中心对称B ．()()g x g x ¢¢+=4C ．()()62f f ¢=¢D ．()()1312f f +=1．（2024·陕西榆林·一模）定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足(0)0f <，(3)(1)f x f x -=+，(2)()2g x g x -+=，1((2)12g x f x +=+，则下列说法中错误的是（ ）A ．6x =是函数()f x 图象的一条对称轴B ．2是()g x 的一个周期C ．函数()f x 图象的一个对称中心为()3,0D ．若*n ÎN 且2023n <，()(1)(2023)0f n f n f ++++=L ，则n 的最小值为22．（2024·河南新乡·三模）（多选）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()262f x f x +=-，且()()()112f x f x f -++=-，若5()12f =，则（ ）A ．()20241f =B ．()f x 的图象关于直线3x =-对称C ．()f x 是周期函数D ．202511(1)()20252kk kf k =--=å3．（2024·河北邢台·二模）（多选）已知函数()y f x =，()y g x =的定义域均为R ，且()()13f x g x +-=，()()35g x f x --=，若()()11g x g x +=-，且()12g =，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()2,4是()g x 的对称中心C ．2是()f x 的周期D ．()202418096k g k ==å1．（2024·重庆·模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的函数，若函数()1f x +为偶函数，函数()2f x +为奇函数，则20231()k f k ==å（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-12．（2024·四川南充·三模）已知函数()()f x g x 、的定义域均为R ，函数(21)1f x -+的图象关于原点对称，函数(1)g x +的图象关于y 轴对称，(2)(1)1,(4)0f x g x f +++=--=，则(2030)(2017)f g -=（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ．41．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的函数，且(21)f x -为偶函数，(2)f x -为奇函数，当[0,1]x Î时，1()12xf x =-，则(11)f =（）A ．1-B ．12-C ．12D ．12．（2024·江苏南通·三模）已知函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +为偶函数，()21f x +-为奇函数．若()10f =，则261()k f k ==å（ ）A ．23B ．24C ．25D ．263．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且()22f x +-为奇函数，()31f x +为偶函数，()10f =，则20241()k f k ==å.1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知()11y f x =++为奇函数，则()()()()()10123f f f f f -++++=（ ）A ．6B ．5C ．6-D ．5-2．（2024·黑龙江·三模）已知函数()()e e sin 2x xf x x -=+-在[]22-,上的最大值和最小值分别为M ，N ，则M N +=（ ）A ．4-B ．0C ．2D ．41．（2024·河北·二模）已知函数()1y f x =-为奇函数，则函数()1y f x =+的图象（ ）A ．关于点()1,1对称B ．关于点()1,1-对称C ．关于点()1,1-对称D ．关于点()1,1--对称2．（2024·江西南昌·三模）（多选）已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，若|()2|y f x =-的图象关于直线1x =对称，则下列说法正确的是（ ）A ．|()|y f x =的图象也关于直线1x =对称B ．()y f x =的图象关于(1,2)中心对称C ．2a b c d +++=D ．30a b +=1．（2024·山东·模拟预测）（多选）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()2f x f x x -=+，()02f =，且()11y f x =+-为奇函数，则（ ）A ．()13f -=-B ．函数()y f x x =+的一个周期为4C ．()20242022f =-D ．()191150i f i ==-å2．（2024·江西·模拟预测）（多选）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()21f xy xf y yf x x y =+++-，()f x 的导函数为()f x ¢，则（ ）A ．()12f -=-B ．()f x 是单调函数C ．()()20180i f i f i =éù-+=-ëûåD ．()f x ¢为偶函数3．（2024·广东广州·模拟预测）（多选）已知函数()f x ，()g x 及导函数()f x ¢，()g x ¢的定义域均为R .若()1g x +是奇函数，且()()1f x g x ¢¢=+，()()142g x f x ---=，则（ ）A ．()02f =B ．()f x 是偶函数C ．()202410n g n ==åD ．()202414048n f n ==-å1．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，若,x y "ÎR ，有()()2()(),(1)0f x y f x y f x f y f ++-==，(0)0f ≠，则（ ）A ．(0)1f =B ．12f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()f x 为偶函数D ．4为函数()f x 的一个周期2．（2024·河南郑州·二模）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()22f x y f x y f x f y +-=-éùéùëûëû，()()11,21f f x =+为偶函数，则（ ）A ．()00f =B ．()f x 为偶函数C ．()()22f x f x +=--D ．()202410k f k ==å3．（2024·山东临沂·二模）（多选）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()132024f x f x f +++=，()()2f x f x -=+，且1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为4B ．()20f =C ．函数()1f x -是奇函数D ．20241120242k k f k =⎛⎫×-=- ⎪⎝⎭å一、单选题1．（2024·江苏南通·模拟预测）若函数()(1)1e xmf x x =+-是偶函数，则m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．（2024·陕西·模拟预测）已知函数()2e e log x xf x m -=-+，若()(),1f a M f a M =-=-，则m 的值为（ ）A ．12BC ．2D ．43．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，对任意x ÎR 都有()()11f x f x +=-，当()32f -=-时，则()2023f 等于（ ）A ．2B ．2-C ．0D ．4-4．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，a "，R b Î，均满足()()()f a b f a f b ab +=+-．若()13f -=，则()3f =（ ）A ．0B ．9-C ．12-D ．15-5．（2024·四川·三模）定义在R 上的函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线1x =对称，且函数()211y g x =-+为奇函数，则函数()y f x =图象的对称中心是（ ）A ．()1,1--B ．()1,1-C ．()3,1D ．()3,1-6．（2024·山西·三模）设函数22()log ||f x x x -=-，则不等式(2)(22)f x f x -³+的解集为（ ）A ．[4,0]-B ．[4,0)-C ．[4,1)(1,0]--È-D ．[4,1)(1,0)--È-7．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=-，且当(2,0)x Î-时，2()log (3)f x x =+，则(2021)(2024)f f -=（ ）A ．1B ．1-C ．21log 3-D ．21log 3--8．（2024·陕西铜川·三模）若函数()312,1,log ,1aa x a x y x x ⎧-+<=⎨³⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,5⎛ù ú⎝ûC ．11,53é⎫⎪êë⎭D ．1,15é⎫⎪êë⎭二、多选题9．（2024·江苏泰州·模拟预测）定义在R 上的函数()f x 满足()()()()1f xy f x f y f y x +=++，则（ ）A ．()00f =B ．()10f =C ．()1f x +为奇函数D ．()f x 单调递增10．（2024·广西来宾·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足2()()()()f x y f x y f x f y +-=+，且(0)0f ≠，则（ ）A ．(0)1f =B ．()y f x =为奇函数C ．()y f x =不存在零点D ．(2)()f x f x =一、单选题1．（2024·江西·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x f x f x +=-=-，当01x <£时，()()2log 1f x x =+.若()()1f a f a +>，则实数a 的取值范围是（ ）A ．534,422k k ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，Zk ÎB ．()14,4k k -+，Zk ÎC ．114,422k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，Zk ÎD ．314,422k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，Zk Î2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()13,4443log (4)1,4ax x f x x x ⎧-£⎪⎪-=⎨⎪->⎪⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B．(C．(D ．()1,3二、多选题3．（2024·河北·模拟预测）已知定义在R 上的连续函数()f x 满足,x y "ÎR ，()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()10f =，当[)0,1x Î时，()0f x >恒成立，则下列说法正确的是（ ）A ．()01f =B ．()f x 是偶函数C．13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()f x 的图象关于2x =对称4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R，对()()()(),,21x y f x y f x y f x f y "Î+--=-R ，且()()11,f f x =¢为()f x 的导函数，则（ ）A ．()f x 为偶函数B ．()20240f =C ．()()()1220250f f f +++¢¢¢=L D ．()()2211f x f x -=éùéùëûëû+5．（2024·河南信阳·模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足：①()00,0x f x $Î≠R ；②()()()()22,,2x y f x xy y x y f x f y éù"Î++=++ëûR ，则（ ）A ．()00f =B ．()f x 为奇函数C ．()f x 在()1,+¥上单调递增D ．()f x 在0x =处取得极小值6．（2024·湖北荆州·三模）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()++-=f x y f x y f x f y ，()11f =，则（ ）A ．()02f =B ．()f x 关于(3,0)中心对称C ．()f x 是周期函数D ．()f x 的解析式可能为()π2cos3f x x =7．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，()g x ¢为()g x 的导函数，且()()4f x g x ¢+=，()()44f x g x ¢--=，若()g x 为偶函数，则（ ）A ．()43f =B ．()20g ¢=C ．()()138f f +=D ．()()13f f =-8．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()22f x y f x y f x f y +-=-，()11f =，()20f =，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 为偶函数B ．()31f =-C ．()()15f f -=-D ．()202610k f x ==å9．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数()f x 及其导函数()f x ¢，且()()g x f x ¢=，若()()()()R,6,44x f x f x g x g x "Î=-+=-，则（ ）A ．()()28f f -=B ．()()132g g -+=C ．20251()0i g i ==åD ．()()042f f +=三、填空题10．（2024·山东·模拟预测）已知函数()2112ππee sin 124x x f x x --⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，则不等式()()2122f x f x ++-³的解集为 .1．（2024·上海·高考真题）已知()3f x x a =+，x ÎR ，且()f x 是奇函数，则=a ．2．（2024·上海·高考真题）已知()0,1,0x f x x >=£⎪⎩则()3f = ．3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x x y +=4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间(0,)+¥上单调递增的是（ ）A ．()ln f x x =-B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=5．（2023·全国·高考真题）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点6．（2022·全国·高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==å（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-7．（2022·浙江·高考真题）已知函数()22,1,11,1,x x f x x x x ⎧-+£⎪=⎨+->⎪⎩则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若当[,]x a b Î时，1()3f x ££，则b a -的最大值是．8．（2022·全国·高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b = ．9．（2021·全国·高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x Î时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．5210．（2021·全国·高考真题）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++。
初中函数的概念ppt课件
二次函数的定义
形如y=ax^2+bx+c（a， b，c是常数，a≠0）的函 数称为二次函数。
二次函数的图像
二次函数y=ax^2+bx+c 的图像是一个抛物线。
二次函数的性质
当a>0时，抛物线开口向 上，有最小值；当a<0时 ，抛物线开口向下，有最 大值。
03 函数的应用
函数在生活中的实际应用
人口增长模型
提供工具。
04 函数的扩展知识
复合函数的概念
定义
如果y是u的函数，而u是x的函数，那么y关于x的函数叫做由基本函 数f(u)和g(x)构成的复合函数。
表示方法
y = f(u)，u = g(x)
分解
把一个复合函数分解成若干个基本初等函数，并分别指出各基本初等 函数在复合函数中的作用。
函数的奇偶性
THANKS 感谢观看
微积分
函数是微积分的基础，可以用来研 究物体的运动、变化和趋势等。
统计学
函数可以用来描述数据的分布特征 ，为统计分析提供工具。
函数在物理问题中的应用
力学
函数可以用来描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
热力学
函数可以用来描述温度、压力等 物理量的变化情况，为热力学研
究提供工具。
电学
函数可以用来描述电流、电压等 物理量的变化情况，为电学研究
函数的定义通常包括定义域和值域，定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变 量的取值范围。
函数的表示方法
函数的表示方法有三种：表格法、图 象法和解析式法。
图象法是用图形来表示函数关系，它 直观形象，可以反映函数的单调性、 增减性等性质。
表格法是最简单的一种表示方法，它 将自变量和因变量的对应关系列成表 格，适用于简单的函数关系。
高等数学基础知识
THANKS
感谢观看
式；常数变易法则是将方程中的常数项视为未知数，通过求解得到常数的值。
二阶线性微分方程的解法
总结词
二阶线性微分方程是含有两个导数的微分方程，其解 法包括特征值法、常系数线性微分方程的解法等。
详细描述
二阶线性微分方程是微分方程中较为复杂的一种类型 ，其解法主要包括特征值法和常系数线性微分方程的 解法等。特征值法是通过将方程转化为关于特征值和 特征向量的形式，然后求解特征值和特征向量；常系 数线性微分方程的解法则是在已知系数的情况下，通 过求解线性方程组得到微分方程的解。
02
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的重要体现。
导数的几何意义
在二维空间中，导数可以解释为函数图像在该点的切 线的斜率。
导数的物理意义
在物理中，导数可以用来描述物理量随时间的变化率， 如速度、加速度等。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、三角函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 等基本初等函数，需要熟记其
极限的运算与法则
总结词
掌握极限的四则运算和各种运算法则，如连续性、可导性、积分等。
详细描述
极限的四则运算包括加减法、乘除法等，各种运算法则如连续性（即函数在某点的极限值等于该点的函数值）、 可导性（即函数在某点的导数存在且等于该点的极限值）和积分（即对函数的积分结果仍存在极限）等。这些运 算法则和运算方法在高等数学中具有广泛的应用。
专题01 函数定义域问题
【解析】
【分析】
根据题目中实际情境，时间t为定义域 ，炮弹距地面的高度h为值域 ，h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为 .
【详解】定义域为 ，值域为 ，
对于数集 中的任一个数t，
在数集 中都有唯一确定的数 与之对应.
【点睛】本题考查函数的定义域、值域以及函数的定义，需要对函数概念及三要素的灵活掌握，属于基础题.
方法一直接法
万能模板
内容
使用场景
函数 的解析式已知的情况下
解题模板
第一步找出使函数 所含每个部分有意义的条件，主要考虑以下几种情形：
（1）分式中分母不为0；
（2）偶次方根中被开方数非负；
（3） 的底数不为零；
（4）对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0；
（5）正切函数 的定义域为 .
第二步列出不等式（组）；
【答案】D
【解析】
【分析】
求使函数有意义的x的取值范围即可.
【详解】要使函数有意义，只需 ，解得 ，
即函数定义域为 或 .
故选：D.
22. 设函数 的定义域为 ，函数 的值域为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式 得 ，由指数函数的性质得 ，再根据集合交集运算求解即可.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出两个函数的定义域，接着求出两个集合的交集即可.
【详解】函数 的定义域为 ，即 ，
函数 的定义域为 ，则 ，
所以 ，
故选：C.
例2】3. 函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
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第一讲：函数公式基础
一、认识函数和公式
1.定义
公式：以"="为开头，通过运算符按照一定的顺序组合进行数据运算处理的等式
函数：按照特定的算法预定义的特殊公式
2.公式的组成要素
“=”开头
比如公式：=sum （A,A2,A3,A4）函数名称
左括号
半角逗号分隔的参数
右括号
3.参数的组成
常量如公式=100*2这里的100和2都是常量 办公软件的使用可以极大地提高工作效率，对财务工作人员而言，涉及到的办公软件，第一，是财务软件，如用友，金蝶等；第二，就是Microsoft 的office 系列，我们用得比较多的主要是word 和excel 这两部分，财务工作对文字处理方面要求并不高，所以对word 只需要有基本的了解即可；财务工作涉及大量的数据处理，而excel 的强大数据处理功能，可以让我们在面对眼花缭乱的数据时，游刃有余地去处理，准确而高效。
财务软件随着我们工作的深入会慢慢涉及，学起来也很简单。
这里，我们主要学习excel 。
大家可能对一般的简单计算公式有一定的了解。
在数据量不大时，直接用加减乘除，可能和使用函数的效率差不多。
但是当面对大量的源数据时，如果我们再手动去设置一个公式可能会浪费大量的时间，而且容易出错。
Excel 函数，帮我们解决了这个难题，它是编程人员设定的按照特定算法预定义的特殊公式，编程人员在设计函数时，考虑了客户的各种计算需求，设计出了大量函数用于查找，统计，计算等方面的应用。
现在，我们主要学习与我们财务工作密切相关的一些函数。
我们的学习主要采用自学的方式，我会定期制作课件（以每周为一期，约为10期的课程），并结合课件出一些习题让大家巩固学到的知识。
以等号开始一个函数，然后是函数名称，括号，右括号，这是所有函数公式的基本。
括号里面有多个函数或者引用的，应用半角逗号分隔
单元格引用
如公式=A1*2这里的A1是单元格引用，代表A1单元格的值，2是常量其他函数如公式=sum(if(A1>0,B1,C1)，C1)4.运算符
TRUE
5.公式中的数据这里sum 函数里面还包含了if 函数，里面的if 函数即为sum 函数的
一个参数
5.1数据类型
文本"excelpx"数值123日期2009-1-1
逻辑值true,false 举例FALSE TRUE
错误值#N/A
5.2数据排序规则
…,-2,-1,0,1,2,…a-z,false,true 6举例
排序时：数值小于文本，文本小于逻辑值，错误值不参与排序
5.4逻辑值于数值互换原公式
简化a 在四则运算中，true=1,false=0=if(a1=0,"",b1/a1)
=if(a1,b1/a,"")b 在逻辑判断中，0=false,所有非0的数值=true =if(and(a1>60,a1<90),1,0)
=if((a1>60)*(a1<90),1,0)c 在比较运算中，数值<文本<false<true =if(a1="男",60,55)
=(a1="男")*5+55
这3条规则在公式的编写和优化中发挥重要的作用
二、单元格的引用若想将数值转换为文本需要在数值钱加',如'123，即是将数字转
换为文本格式。
2.
F4
三、工作表的引用
=Sheet2!A1引用当前工作簿的其他工作表
=[book2.xls]sheet1!A1引用其他工作簿
='C:\桌面\[光大承兑.xls]Sheet3'!$D$4引用其他工作簿，当该引用工作簿未打开时工作簿名称包含特殊字符时的跨表引用
四、常用的函数
1.sum函数还有sumproduct 针对数字计算中有文本数值的例如 SUMPRODUCT(D5:F5*1)还可以用=SUM(C4*1,D4*1,E4*1,F4*1)
rge,small函数
3.max,min函数
市场最低价‟=MIN(D155:D162)市场最高价…=MAX(D155:D162) 4.average,rank,count,counta8
8
average是求平均值
D152:D156区域平均值…=AVERAGE(D155:D162)
rank是排序
D155在D155：D162中排第几‟=RANK(D155,D155:D162) count是计数
D154：D163中有几个是数字‟=COUNT(D154:D163)
counta对非空单元格的计数
D154：D163中有几个单元格是非空单元格…=COUNTA(D154:D163)。