一元9次方程的整数解集判别95
2023-2024学年北京市6月初中模拟学业水平考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市6月初中模拟学业水平考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，比的相反数大的是()A.3B.C.2D.12.中国“二十四节气”已被正式列入联合国救科文组织人类非物质文化遗产代表作品录.下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2023年第一季度，中国新能源汽车销量为159万辆，同比增长，其中159万用科学记数法表示为()A. B. C. D.4.在某月的月历中圈出相邻的3个数，其和为这3个数的位置可能是()A. B. C. D.5.一元二次方程的根的情况为()A.无实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.不能判定6.如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交BA于点M，交BC于点N，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线BD交AC于点E，点F为BC的中点，连接EF，若，则的周长是()A.12B.C.D.7.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，那么下面列出的方程组中正确的是()A. B. C. D.8.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算时，如图．在中，，，延长CB使，连接AD，得，所以类比这种方法，计算的值为()A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.因式分解：_______.10.如图，数轴上点M，N表示两个连续整数，点A表示的数是，则点N表示的数是__________.11.甲口袋中装有两个相同的小球，它们上面分别写有数字1和2，乙口袋中装有三个相同的小球，它们上面分别写有数字3，4和5，从两个口袋中各随机摸一个小球，两个小球上的数字都是偶数的概率是__________.12.如图，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东，如果A、B两地同时开工，那么为__________时，才能使公路准确接通．13.已知点，都在反比例函数图象上，则__________.14.方程的解为__________15.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，如果，小圆直径径为6cm，那么大圆半径为______________16.如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为__________.三、解答题：本题共12小题，共96分。
人教版初中数学七年级下册第九章一元一次不等式(组)含参专题——有、无解问题课件(共12张PPT)
问题反转，运用自如
问题3：如果不等式组
x x
2m 0 ① 有解，怎样确定
m 3②
m
的取值范围？
解不等式①得x≤2m 解不等式②得x≥3-m
自主操作：在数轴上画出有解的情况.
图⑧
自主分析：3-m和2m的大小关 系是？“=”能取？为什么.
2m 3-m 图⑨
3-m ≤ 2m
∴m的取值范围是：m ≥ 1
x x
2m 0 m3
你能确定不等式组的解集吗？请结合数轴分析.
析：由例题知两个不等式的解集分别为x＜2m和x＞3-m， 那么这两个解集在数轴上会有几种情况？
3-m
2m
图①
2m
3-m
图③
3-m 2m 图②
思考1：图①②③对应解集情况？
问题2：如果这个不等式组
x 2m 0 x m 3
无解，你能确定m
教学重点、难点
重点：
含参一元一次不等式组的分类解法.
难点：
1.一元一次不等式中字母参数的讨论, 2.一元一次不等式中运用数轴分析参数的范围.
温故知新，问题设疑
例1：解下列关于x两个不等式 （1）x-2m<0 （2）x+m＞3
解：（1）得x＜2m （2） 得x＞3-m
问题引导，合作交流
问题1：如果将上述两个不等式联立成不等式组
x x
2m 0① m 3②
时，
不等式组无解，m的取值又会有改变吗？
解不等式①得x≤2m 解不等式②得x≥3-m
思考4：你能在数轴上画出无解的情况？
图⑥
2m 3-m 图⑦
同学们有没有画出图⑦这种情 况的？你认为不等式组无解， 会不会出现像图⑦3-m和2m两 个点重合的情况？
第五讲一元二次方程及不等式课件-2025届高三数学一轮复习
、2 − 16 ≥ 0
、2 − 16 < 0
、2 − 16 ≤ 0
）。
√
一元二次函数 = 2 2 + + 2的二次项系数2 > 0，开口向上；
若不等式2 2 + + 2 < 0的解集为∅，则一元二次函数 = 2 2 +
+ 2的图像全部在轴上或轴上方；
结合开口向上，此时，函数图像与轴有一个交点或没有交点；
c(a > 0)的根
∆> 0
∆= 0
∆< 0
有两个不相等的实 有两个相等的实数 无实数
数根x1 , x2 (x1 < x2 ) 根x1 = x2 = − b
根
2a
ax 2 + bx + c >
{| ≠ − }
< , 或 > } ______________
0(a > 0)的解集 {|
1
1
显然，函数 = + 在 ∈ (0, ]上单调递减；
2
1
1
1
故函数 = − − = −( + )在 ∈ (0, ]上单调递增；
2
1
1
1
5
1
可得：(− − ) = − − 1 = − ( ∈ (0, ])；
2
2
2
2
综上， ≥ (− −
1
)
=
5
− 。
2
反馈检测
2
1
2
+ ) ≤ − × 2 = 0。
反馈检测
1
2
高中数学人教B版 必修第一册 一元二次方程的解集及其根与系数的关系(1) 课件1
可可解解得得tt11 22或或tt11 22（（舍舍））..
从从而而
xx 11
22，，即即xx 11
22
22 3322
22，，
所所以以原原方方程程的的解解集集为为 3322 22 ..
巩固练习：求方程 2
x2
4 3 0 的解集 x2
.
解：设 1 t , 则t 0 ，且原方程可化为 2t2 4t 3 0 ，
13；2xx1232
10
3
，
易知可通过配方转化为 x 12 1 ；
3
法 法二 二： ：
33xx22 66xx 22 33 xx22 22xx 22 33 xx22 22xx 1111 22 33 xx 1122 11
故 故原 原方 方程 程转 转化 化为 为 33
xx
1122
分析：
因为 x2 2x 1 x2 2x 11 1 x 12 2
所以方程 x2 2x 1 0 可转化为 x 12 2
易知 x 1 2 ，故 x 1 2 ，
因此方程的解集为 1 2,1 2 .
同理，利用“配方”可以得到：
x2 4x 7 x2 4x 4 3 x 22 3，
我们也做上述类似的考虑，尝试将方程转化为 x k 2 t 的形式.
ax2
bx
c
a
x2
b a
x
c
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a
x
b 2a
2
b2 4a
c
a
x
b 2a
2
b2
4ac 4a
所以 ax2 bx c 0 也就转化为
2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)课件(人教版)
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第2章 二次函数与一元二次方程、不等式
次不等式.
2.一元二次不等式一定为整式不等式,例如,x2+
3
<0就不是一元二次不等式.
3.理解一元二次不等式的定义时,还需了解下列概念.
(1)如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式称为同解不等式;
(2)将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式称为不等式的同解
综上所述,当a<-1时,原不等式的解集为{x|a<x<-1};
当a=-1时,原不等式的解集为⌀;
当a>-1时,原不等式的解集为{x|-1<x<a}.
图③
规律方法
解含参数的一元二次不等式的步骤
变式训练3 若m∈R,解关于x的不等式(x+m)[x-(3m+1)]>0.
解 方程(x+m)[x-(3m+1)]=0 的根为 x1=-m,x2=3m+1.
1
1
当 m=- 时,不等式的解集为 | ≠ ;
4
4
1
当 m<- 时,不等式的解集为{x|x<3m+1,或 x>-m}.
4
角度3.不等式的恒成立问题
【例4】 (1)已知关于x的不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求实数k的取值范
围.
解 当k=0时,原不等式化为-2<0,显然符合题意.
当k≠0时,令f(x)=kx2+2kx-(k+2),
数根x1=x2=
二次项系数转化为
正数,再套用此结论
ax2+bx+c>0(a>0)的
解集
一元二次方程的根为整数的充要条件
一元二次方程的根为整数的充要条件一元二次方程是数学中常见的一类二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的根是求方程的解集，即使方程成立的x的取值范围。
一元二次方程的根为整数是指方程的解集中的根是整数。
那么，一元二次方程的根为整数的充要条件是什么呢？要判断一元二次方程的根为整数，我们首先需要知道一元二次方程的求根公式。
根据韦达定理，一元二次方程的解为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)由此可知，当(b^2 - 4ac)为完全平方数时，方程的根为整数。
因此，充要条件可以表述为：一元二次方程的判别式(b^2 - 4ac)是完全平方数。
接下来，我们来证明这个充要条件。
假设一元二次方程的根为整数，即方程的解集中的根是整数。
根据韦达定理，我们有：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)由于根是整数，那么√(b^2 - 4ac)也必然是整数。
而完全平方数是指一个数的平方根也是整数的数。
因此，(b^2 - 4ac)必然是完全平方数。
然后，假设一元二次方程的判别式(b^2 - 4ac)是完全平方数。
我们需要证明方程的根为整数。
根据韦达定理，我们有：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)由于(b^2 - 4ac)是完全平方数，那么√(b^2 - 4ac)也是整数。
因此，方程的解为有理数。
又由于(b^2 - 4ac)是完全平方数，那么√(b^2 - 4ac)可以表示为一个整数的平方。
我们可以将√(b^2 - 4ac)表示为n^2，其中n为整数。
所以，方程的解可以简化为：x = (-b ± n) / (2a)由于n为整数，那么(-b ± n)也必然是整数。
而整数除以整数仍然是整数，因此方程的根为整数。
一元二次方程的根为整数的充要条件是方程的判别式(b^2 - 4ac)是完全平方数。
数学史话让你爱上数学：史上最贱的数学题
数学史话让你爱上数学：史上最贱的数学题看似侮辱智商，实则智商压制这是一篇最近很火的文章。
一个常见题目，貌似易解的题目出发，发现背后竟然蕴藏了深奥的大道理。
这其实是很多问题，尤其是数论题目的特点：很容易理解，但很难做。
在我碰到这道题之前，它已经被某人心怀恶意地发布在网络上，成为流行的朋友圈图片，肆意捉弄那些老实人（Scridhar，这个人是不是你？）。
我根本没意识到我偶然看到的这道题到底是个什么样的怪物。
它长这个样：你可能已经在朋友圈看到过很多这样的图了，它们一般都是标题党的垃圾：什么“95%的麻省理工毕业生无法解决的问题”，这个“问题”要么很空洞，要么偷换概念，要么就是不重要的脑筋急转弯。
但这个问题不是。
这张图片就是一个精明的，或者说阴险的圈套。
大概99.999995%的人根本没有任何机会解决它，甚至包括一大批顶级大学非数论方向的数学家。
它的确是可解的，但那真的真的不得了的难。
（顺便说一句。
发布的人实际上不是Scridhar，或者说不能怪他。
）你可能会这样想，如果所有的尝试都失败了，我们还可以直接用电脑计算大力出奇迹。
这年头，写个电脑程序解决这种形式简单的方程真是太容易了，只要它真的有答案，那电脑最终一定会找出来。
但很抱歉，大错特错。
用电脑暴力计算在这里毫无用处。
如果不把Quora的读者都当作椭圆曲线的入门者的话，我不知道怎么才能写出适合的答案。
我在这能做的只是一个简要的概览。
主要参考文献是最近Bremmer和MacLeod2014年在《数学和信息学年鉴（Annales Mathematicae etInformaticae）》上发表的一篇名为《一个不一般的立体代表性问题（An unusual cubic representationproblem）》的精彩论文。
让我们开始吧。
我们求解的是这个方程的整数解：(为了与论文的变量名相适应，我把苹果、香蕉和菠萝修改过来了)面对任何方程，你需要做的第一步是尝试并确定问题背景。
一元一次方程整数解问题
一元一次方程整数解问题一元一次方程是初中数学中的基础知识，它是解决实际问题的基础。
在解一元一次方程时，我们通常需要求出方程的解集，而当方程的系数和常数都是整数时，我们就需要考虑整数解的问题。
一、整数解的定义所谓整数解，就是指方程的解集中只包含整数。
例如，方程2x+1=5就有整数解x=2，因为x=2是方程的唯一解，且x是整数。
二、整数解的判定对于一元一次方程ax+b=c，其中a、b、c均为整数，我们可以通过以下方法来判定它是否有整数解：1. 如果a=0且b≠c，则方程无解；2. 如果a=0且b=c，则方程有无数个解，即x∈Z；3. 如果a≠0且a不能整除b-c，则方程无整数解；4. 如果a≠0且a能整除b-c，则方程有唯一的整数解，即x=(b-c)/a。
三、整数解的求解对于一元一次方程ax+b=c，其中a、b、c均为整数，如果方程有整数解，我们可以通过以下方法来求解：1. 如果a=0且b=c，则方程有无数个解，即x∈Z；2. 如果a≠0且a能整除b-c，则方程有唯一的整数解，即x=(b-c)/a；3. 如果a≠0且a不能整除b-c，则方程无整数解。
四、整数解的应用一元一次方程的整数解在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在商场促销活动中，我们常常会遇到“满减”优惠，即满一定金额后可以减去一定金额。
如果我们设购物金额为x元，优惠金额为y元，满减条件为x≥100且y=20，则可以列出一元一次方程x-20=100，解得x=120，即购物金额至少为120元才能享受优惠。
另外，一元一次方程的整数解还可以用于解决分配问题。
例如，某公司有100个任务需要分配给10个员工完成，每个员工完成的任务数不同，但总任务数必须为100。
如果我们设第i个员工完成的任务数为xi，则可以列出一元一次方程x1+x2+...+x10=100，其中xi为整数。
通过求解这个方程，我们可以得到每个员工应完成的任务数，从而实现任务的合理分配。
综上所述，一元一次方程的整数解问题是初中数学中的基础知识，它在实际问题中有着广泛的应用。
集合的概念课件-2025届高三数学一轮复习
然数，∴ B =
6
{1，2，3，6}.（集合B的代表元素是 ,注意与A区分）
6−x
例2-5 用描述法表示下列集合：
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
（1）{ ， ， ， ， }；
【解析】可表示为{x|x =
n
，n
n+2
∈ + 且n ≤ 5}．
（2）偶数集；
【解析】可表示为{x|x = 2n，n ∈ }．（奇数集可表示为{x|x = 2n + 1,n ∈ }）
列集合和运算：
①G = {x|x是非负整数}，⊕ 为整数的加法；
②G = {x|x是偶数}，⊕ 为整数的乘法；
③G = {x|x是二次三项式}，⊕ 为多项式的加法.
①
其中G关于运算⊕ 为“融洽集”的是____.（写出所有满足条件的序号）
【解析】①G = {x|x是非负整数}，⊕ 为整数的加法，满足对任意a,b ∈ G,都有
是( AD
)
A.0 ∈
2
B.
7
∈
C.−3 ∉ Z
D.π ∉ Q
【解析】0是自然数（0是最小的自然数），即有0 ∈ ，故A正确；
2
2
不是整数，即有
7
7
∉ Z，故B错误；
−3是负整数，即有−3 ∈ ，故C错误；
π 是无理数，即有π ∉ Q，故D正确.
例2-4 用列举法表示下列集合：
（1）A = {x ∈
且k + 1 ∉ A，那么k是A的一个“孤立元”.给定S = {1，2，3，4，5，6，7，8}，由S
的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合个数为( D
北师大版八年级下册数学《不等式的解集》一元一次不等式和一元一次不等式组说课研讨教学复习课件
3×4 + 2Ｘ ≤ 30
表示不等式的解集 你能用什么办法把不等式 x>5的解集和 不等式x-5≤-1的解集表示在数轴上?
x>5
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x≤4
将不等式的解集表示在数轴上时,要注意:
1)指示线的方向,“>”向右,“<”向左. 2)有“=”用实心点,没有“=”用空心圈.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
探究新知
知识点 2 在数轴上表示不等式的解集
思考：如何在数轴上表示出不等式x＞2的解集呢？ 先在数轴上标出表示2的点A; 则点A右边所有的点表示的数都大于2，而点A左边 所有的点表示的数都小于2;
因此可以像图那样表示不等式的解集x>2.
A -1 0 1 2 3 4 5 6
课堂检测
能力提升题
2、根据不等式的基本性质确定不等式2-x<1的解集,并把解集表
示在数轴上. 解:根据不等式的基本性质1,不等式的两边同时减去2得-x<-1; 根据不等式的基本性质3,不等式的两边同时除以-1得x>1. 这个不等式的解集在数轴上表示为:
课堂检测
拓广探索题
1、不等式2x-3≥-1的解集在数轴上表示为( A )
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
根据不等式的基本性质求不等式的解集，
并把解集表示在数轴上．
(1)x-2≥ -4
(2)2x ≤ 8
解：两边同时加２得：
解：两边同时除以２得：
x ≥ -2
x ≤4
-3 -2 -1 0 1 2
(3)-2x-2 > -10
部编数学九年级上册专题21.3一元二次方程根的判别式【八大题型】(人教版)(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题21.3 一元二次方程根的判别式【八大题型】【人教版】【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】 (1)【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】 (2)【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】 (4)【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】 (7)【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】 (8)【题型6 根的判别式与新定义的综合】 (10)【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】 (12)【题型8 根的判别式与三角形的综合】 (14)【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】【例1】（2022•滨州）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）A．无实数根B．有两个不等的实数根C．有两个相等的实数根D．不能判定【分析】求出判别式Δ＝b2﹣4ac，判断其的符号就即可得出结论．【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝25﹣48＝﹣23＜0，∴2x2﹣5x+6＝0无实数根，故选：A．【变式1-1】（2022•梧州）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．【变式1-2】（2022春•长沙期末）关于x的一元二次方程x2+9=0的根的情况，下列说法正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．不能确定【分析】求出方程根的判别式，判断其值的正负即可得到结果．【解答】解：方程x2﹣+9＝0，∵Δ＝（﹣2﹣4×1×9＝32﹣36＝﹣4＜0，∴方程没有实数根．故选：C．【变式1-3】（2022•保定一模）方程（x+3）（x﹣1）＝x﹣4的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先把方程化为一般式，再应用根的判别式进行计算即可得出答案．【解答】解：（x+3）（x﹣1）＝x﹣4，x2+x+1＝0，a＝1，b＝1，c＝1，Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，所以原方程无实数根．故选：D．【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】【例2】（2022春•钱塘区期末）已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ）A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根【分析】先计算Δ的值，利用k的值，可作判断．【解答】解：关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，Δ＝（k+3）2﹣4×1×（k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，A、当k＝﹣1时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；B、因为Δ≥0，所以不存在k的值，使得使得方程没有实数解．故此选项错误；C、解方程得：x1＝﹣1，x2＝﹣k﹣2，所以无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根﹣1，故此选项正确；D、当k≠﹣1时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；故选：C．【变式2-1】（2022•南召县模拟）已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（ ）A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根C．当p＜0时，方程没有实数根D．方程的根的情况与p的值无关【分析】先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为4p+9，再判断各选项的正确与否即可．【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）＝p可整理为x2+x﹣2﹣p＝0，∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2﹣p）＝1+8+4p＝4p+9．当p＝0时，Δ＝4p+9＝9＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选项A不符合题意；当p＞0时，Δ＝4p+9＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选项B符合题意；当p＜0时，Δ的正负无法确定，∴无法判断该方程实数根的情况，故选项C不符合题意；∵方程的根的情况和p的值有关，故选项D不符合题意．故选B．【变式2-2】（2022•环翠区一模）对于任意的实数k，关于x的方程14x2−(k+2)x+2k2+5k+5=0的根的情况为（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判定【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＝﹣（k+12）2−34＜0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×14（2k2+5k+5）＝﹣（k+12）2−34＜0，∴方程无实数根．故选：C．【变式2-3】（2022春•平潭县期末）对于任意实数k，关于x的方程x2﹣2（k+5）x+2k2+4k+50＝0的根的情况为（ ）A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判定【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＝﹣4（k﹣3）2﹣64＜0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵Δ＝4（k+5）2﹣4（2k2+4k+50）＝﹣4（k﹣3）2﹣64＜0，∴方程无实数根．故选：B．【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】【例3】（2022•桥西区校级模拟）探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：a﹣b﹣1＝0；丙：a+b﹣1＝0．其中符合条件的是（ ）A．甲，乙，丙都正确B．只有甲不正确C．甲，乙，丙都不正确D．只有乙正确【分析】根据根的判别式的定义得到Δ＝b2+4a，根据特例可根的判别式的意义可对甲的条件进行判断；若a＝b+1，则Δ＝（b+2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对乙的条件进行判断；若a＝﹣b+1，Δ＝（b﹣2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对丙的条件进行判断．【解答】解：Δ＝b2+4a，若a、b同号，a＝﹣1，b＝﹣1，此时Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数解，所以甲的条件不满足方程总有实数根；若a﹣b﹣1＝0，即a＝b+1，Δ＝b2+4（b+1）＝（b+2）2≥0，方程总有实数根，所以乙的条件满足方程总有实数根；若a+b﹣1＝0，即a＝﹣b+1，Δ＝b2+4（﹣b+1）＝（b﹣2）2≥0，方程总有实数根，所以丙的条件满足方程总有实数根；故选：B．【变式3-1】（2022•肥西县模拟）已知三个实数a，b，c满足a+b﹣c＝0，3a+b﹣c＞0，则关于x的方程ax2﹣cx+b＝0的根的情况是（ ）A．无实数根B．有且只有一个实数根C．两个实数根D．无数个实数根【分析】根据条件得到a+b＝c，a＞0，关于x的方程ax2﹣cx+b＝0是一元二次方程，根据判别式求根的情况即可．【解答】解：∵a+b﹣c＝0，3a+b﹣c＞0，∴a+b＝c，3a+b﹣（a+b）＞0，∴3a+b﹣a﹣b＞0，∴2a＞0，∴a＞0，∴关于x的方程ax2﹣cx+b＝0是一元二次方程，∵Δ＝（﹣c）2﹣4ab＝c2﹣4ab＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2≥0，∴方程有两个实数根，故选：C．【变式3-2】（2022春•德阳月考）函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（ ）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定【分析】利用一次函数的性质得k＜0，再计算判别式的值得到Δ＝b2﹣4k+4，然后判断△的符合，从而得到方程根的情况．【解答】解：由图象可得k＜0，∵Δ＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4，∵b2≥0，∴b2+4＞0，∵﹣4k＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：C．【变式3-3】（2022•＞0x−3＜1有3个整数解，则关于x的方程ax2+（2a﹣1）x+a＝0根的情况为（ ）A．无法判断B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根【分析】先解不等式组得到a＜x＜8，再利用不等式组有3个整数解得到4≤a＜8，对于一元二次方程ax2+（2a﹣1）x+a＝0，计算根的判别式的值得到Δ＝﹣4a+1，利用a的范围可判断Δ＜0，然后根据根的判别式的意义可判断方程根的情况．＞0①x−3＜1②，解①得x＞a，解②得x＜8，∵不等式组有解，∴a＜x＜8，∵不等式组有3个整数解，∴4≤a＜8，∵a≠0，∴方程ax2+（2a﹣1）x+a＝0为一元二次方程，∵Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2＝﹣4a+1，而4≤＜8，∴Δ＜0，∴方程没有实数根．故选：D．【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】【例4】（2022春•长丰县期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）A．m＜﹣1B．m＞0C．m＜1且m≠0D．m＞0且m≠1【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝22﹣4×（m﹣1）×2＞0，然后求出两不等式解集的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）（﹣1）＞0，解得m＞0且m≠1．故选：D．【变式4-1】（2022•西平县模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≤94B．k≥94C．k＞94D．k＜94【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2）≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2）≥0，解得k≤9 4．故选：A．【变式4-2】（2022•滑县模拟）若关于x的一元二次方程2kx2﹣+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A．k＞﹣9B．k＞﹣9且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0【分析】利用一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件和根的判别式的意义得到2k≠0k+1Δ=2−4×2k＞0，然后解不等式组即可．【解答】解：根据题意得2k≠0k+1Δ=2−4×2k＞0，解得k≥﹣1且k≠0，即k的取值范围为k≥﹣1且k≠0．故选：C．【变式4-3】（2022•定海区一模）直线y＝x﹣a不经过第二象限，且关于x的方程ax2﹣2x+1＝0有实数解，则a的取值范围是（ ）A．0≤a≤1B．o≤a＜1C．0＜a≤1D．0＜a＜1【分析】利用一次函数的性质得到a≥0，再判断Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0，从而得到a的取值范围．【解答】解：∵直线y＝x﹣a不经过第二象限，∴﹣a≤0，∴a≥0，当a＝0时，关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元一次方程，解为x=1 2，当a＞0时，关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∵Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0，∴a≤1．∴0≤a≤1，故选：A．【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】【例5】（2022•合肥模拟）若关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝2mx有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）A．﹣1B．0C．﹣1或0D．4或1【分析】先把方程化为一般式为x2﹣2（m+1）x＝0，根据根的判别式的意义得到Δ＝4（m+1）2﹣4×0＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：方程化为一般式为x2﹣2（m+1）x＝0，根据题意得Δ＝4（m+1）2﹣4×0＝0，解得m＝﹣1．故选：A．【变式5-1】（2022•高新区校级二模）已知一元二次方程ax2+1=0有两个相等的实数根，则a，b 的值可能是（ ）A．a＝﹣1，b＝﹣4B．a＝0，b＝0C．a＝1，b＝2D．a＝1，b＝4【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得Δ＝b﹣4a＝0，一元二次方程二次项系数不为0，可得a≠0，二次根式有意义可得b≥0，即可进行判断．【解答】解：根据题意，得Δ＝b﹣4a＝0，a≠0，b≥0，∵b＝﹣4＜0，故A选项不符合题意；∵a＝0，故B选项不符合题意；当a＝1时，b﹣4a＝0，解得b＝4，故C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D．【变式5-2】（2022•江夏区模拟）已知关于x的一元二次方程（3a﹣1）x2﹣ax+14=0有两个相等的实数根，则代数式a2﹣2a+1+1a的值（ ）A．.﹣3B．.3C．2D．﹣2【分析】先根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到3a﹣1≠0且Δ＝a2﹣4×（3a﹣1）×14=0，则a2﹣3a+1＝0，再将a2＝3a﹣1代入代数式得到a+1a，通分后得到a21a，再代入a2+1＝3a计算即可．【解答】解：根据题意得3a﹣1≠0且Δ＝a2﹣4×（3a﹣1）×14=0，即a2﹣3a+1＝0，∴a2＝3a﹣1，所以原式＝3a﹣1﹣2a+1+1a=a+1a=a21a=3aa=3．故选：B．【变式5-3】（2022春•余杭区月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，且满足4a﹣2b+c＝0，则（ ）A．b＝a B．c＝2a C．a（x+2）2＝0D．﹣a（x﹣2）2＝0【分析】由一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足4a﹣2b+c＝0可得出x＝﹣2是方程ax2+bx+c＝0的解，进而可得出a（x+2）2＝0（a≠0），此题得解．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足4a﹣2b+c＝0，∴x＝﹣2是方程ax2+bx+c＝0的解，又∵有两个相等的实数根，∴a（x+2）2＝0（a≠0）．故选：C．【题型6 根的判别式与新定义的综合】【例6】（2022•烟台一模）定义新运算a⋆b，对于任意实数a，b满足a⋆b﹣（a+b）（a﹣b）﹣2．例如3⋆2＝（3+2）（3﹣2）﹣2＝5﹣2＝1，若x⋆（2x﹣1）＝﹣3是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）A．有一个实根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】先根据新运算得到[x+（2x﹣1）][x﹣（2x﹣1）]﹣2＝﹣3，再把方程化为一般式得到3x2﹣4x＝0，接着计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵x⋆（2x﹣1）＝﹣3，∴[x+（2x﹣1）][x﹣（2x﹣1）]﹣2＝﹣3，整理得3x2﹣4x＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×0＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．【变式6-1】（2022•青县二模）定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若关于x的方程a※x＝0有实数根，则a的取值范围为（ ）A．﹣1≤a≤0B．﹣1≤a＜0C．a≥0或a≤﹣1D．a＞0或a≤﹣1【分析】根据新定义运算法则列出关于x的方程，根据根的判别式进行判断即可．【解答】解：由题意可知：a※x＝ax2﹣2ax﹣1＝0，当a＝0时，原来方程变形为﹣1＝0，方程无解；当a≠0时，∵关于x的方程a※x＝0有实数根，∴Δ＝4a2+4a＝4a（a+1）≥0，解得a≤﹣1或a＞0．故选：D．【变式6-2】（2022•宁远县模拟）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22，若关于x的方程（x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≤54且k≠0B．k≤54C．k＜54且k≠0D．k≥54【分析】先根据新定义得到k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，整理得kx2+（5﹣2k）x+k＝0，因为方程有两个实数解，所以k≠0且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，解得k≤54且k≠0．故选：A．【变式6-3】（2022•郑州模拟）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（ ）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】利用新运算把方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理得到x2﹣3kx+k2﹣2＝0，再计算判别式的值得到Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵x*k＝x2+k2﹣2xk﹣2，∴关于x的方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理为x2﹣3kx+k2﹣2＝0，∵Δ＝（﹣3k）2﹣4（k2﹣2）＝5k2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】【例7】（2021秋•瓦房店市期末）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m﹣1＝0，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝4（m﹣1）2+4＞0，即可证得结论．【解答】证明：Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×2×（m﹣1）＝4m2﹣8m+8＝4（m﹣1）2+4，∵4（m﹣1）2≥0，∴4（m﹣1）2+4＞0，∴Δ＞0，∴这个方程总有两个不相等的实数根．【变式7-1】（2021秋•惠来县月考）已知一元二次方程x2+px+q+1＝0的一个根为2．（1）求q关于p的关系式；（2）求证：方程x2+px+q＝0有两个不等的实数根．【分析】（1）把x＝2代入方程x2+px+q+1＝0可得到p、q的关系式；（2）先计算根的判别式得到Δ＝p2﹣4q，再消去q得到Δ＝p2+8p+20，然后利用配方法证明Δ＞0，从而得到结论．【解答】（1）解：把x＝2代入原式得4+2p+q+1＝0，所以q＝﹣2p﹣5；（2）证明：∵Δ＝p2﹣4q＝p2﹣4（﹣2p﹣5）＝p2+8p+20＝p2+8p+16+4＝（p+4）2+4，而（p+4）2≥0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．【变式7-2】（2021秋•方城县期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）＝p2，其中p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）试写出三个p的值，使一元二次方程有整数解，并简要说明理由．【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值得到Δ＝4p2+9，则可判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式得到x由于一元二次方程有整数解，3或5或7等，然后分别计算出对应的p的值即可．【解答】（1）证明：原方程整理为：x2﹣5x+4﹣p2＝0，∵Δ＝（﹣5）2﹣4（4﹣p2）＝4p2+9＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：x∵一元二次方程有整数解，3或5或7等，=3时，p＝0；=5时，p＝2；=7时，p=【变式7-3】（2022•东城区校级模拟）已知关于x的方程mx2+nx﹣2＝0（m≠0）．（1）求证：当n＝m﹣2时，方程总有两个实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．【分析】（1）根据根的判别式符号进行判断；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】（1）证明：Δ＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）由题意可知，m≠0Δ＝n2﹣4m×（﹣2）＝n2+8m＝0，即：n2＝﹣8m．以下答案不唯一，如：当n＝4，m＝﹣2时，方程为x2﹣2x+1＝0．解得x1＝x2＝1．【题型8 根的判别式与三角形的综合】【例8】（2022•莲池区二模）若等腰三角形三边的长分别是a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个根，则满足上述条件的m的值有（ ）A．1个B．2个C．3个D．3个以上【分析】分a＝b及a≠b两种情况考虑，当a＝b时，由方程有两个相等的实数根，可得出Δ＝0，解之即可得出m的值；当a≠b时，可得出x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，代入x＝3即可求出m的值，综上，即可得出结论．【解答】解：当a＝b时，关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×m＝0，∴m＝4；当a≠b时，x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，∴32﹣4×3+m＝0，∴m＝3．综上，m的值为4或3，即满足上述条件的m的值有2个．故选：B．【变式8-1】（2022春•温州期中）等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是 ．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．【解答】解：根据题意得Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，解得a1＝﹣10（负值舍去），a2＝2，在等腰△ABC中，①4为底时，则b＝a＝2，∵2+2＝4，∴不能组成三角形；②4为腰时，b＝4，∵2+4＞4，∴能组成三角形，∴△ABC的周长＝4+4+2＝10．综上可知，△ABC的周长是10．故答案为：10．【变式8-2】（2022春•宁波期中）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．（1）判断方程的根的情况；（2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长．【分析】（1）先计算根的判别式的值得到△＝4＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况；（2）先利用求根公式解方程得到x1＝m+1，x2＝m﹣1，根据等腰三角形的性质讨论：当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3；当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，然后分别计算对应的三角形的周长．【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）x=2m±22=m±1，∴x1＝m+1，x2＝m﹣1，当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3，△ABC的周长为5+5+3＝13；当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，△ABC的周长为5+5+7＝17；综上所述，△ABC的周长为13或17．【变式8-3】（2021秋•揭西县期末）等腰三角形的三边长分别为a、b、c，若a＝6，b与c是方程x2﹣（3m+1）x+2m2+2m＝0的两根，求此三角形的周长．【分析】分a为腰及a为底两种情况考虑：①若a＝6是三角形的腰，将x＝6代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程，解之即可得出b，c的值，结合三角形的周长计算公式，即可求出此三角形的周长；②若a＝6是三角形的底边，利用根的判别式Δ＝0，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出m的值，将m的值代入原方程，解之即可得出b，c的值，利用三角形的三边关系可得出此情况不符合题意，需舍去．综上即可得出此三角形的周长．【解答】解：①若a＝6是三角形的腰，则b与c中至少有一边长为6．将x＝6代入原方程得：62﹣（3m+1）×6+2m2+2m＝0，解得：m1＝3，m2＝5．当m＝3时，原方程可化为x2﹣10x+24＝0，解得：x1＝4，x2＝6，∴此时三角形三边长分别为4，6，6，∴三角形的周长为4+6+6＝16；当m＝5时，原方程可化为x2﹣16x+60＝0，解得：x1＝6，x2＝10，此时三角形三边长分别为6，6，10，∴三角形的周长为6+6+10＝22．②若a＝6是三角形的底边，则b、c为腰且b＝c，即方程有两个相等的实数根，∴Δ＝[﹣（3m+1）]2﹣4×1×（2m2+2m）＝0，解得：m1＝m2＝1，∴原方程可化为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，∵2+2＝4＜6，∴不能构成三角形，舍去．综上所述，此三角形的周长为16或22．。
一元99次方程的整数解集判别997
一元99次方程的整数解集判别997
张祖华
平阴县职业教育中心济南平阴 250400
摘要：本文对一类一元99次方程的整数解作出判断。
关键词：自然数一元99次方程整数解
定理：设a,b,c为整数，方程x99+bx8+cx+a=0的99个解全为整数,设i为其中任意一个，则
i|a.
证明：由待定系数法即得。
参考文献：
[1]张祖华等.解无约束优化的一种新的xx，数学进展，已录用。
[2]张祖华.一元高次方程根的若干xx(W2017060347599), 数学进展，已录用。
[3]张祖华.第四类超越方程解的可计数性(W2017052145671), 数学进展，已录用。
[4]张祖华.第五类高次不定方程的无穷解(W2017041439231), 数学进展，已录用。
一秒钟之内找到九元一次方程的所有解的方法
一秒钟之内找到九元一次方程的所有解的方
法
九元一次方程是一个一元一次方程，其形式为 ax + b = 0。
解方程的目标是找
到使方程成立的x的值。
以下是一秒钟之内找到九元一次方程的所有解的方法：
1. 对于九元一次方程 ax + b = 0，我们可以通过观察系数a和b的值来判断方程是否有解：
- 如果a等于零且b不等于零，则方程没有解。
- 如果a等于零且b等于零，则方程有无数解。
- 如果a不等于零，则方程有且仅有一个解，解为 x = -b/a。
2. 另一种解九元一次方程的方法是使用反运算。
九元一次方程可以通过移项和
化简的方式转化为 x = -b/a 的形式，该形式可以直接得到方程的解。
以上是一秒钟之内找到九元一次方程的所有解的方法。
请注意，在实际问题中，解方程可能需要更多的计算步骤和时间，这取决于方程的复杂性和计算能力。
以上方法适用于一元一次方程的简单情况。
一元九次方程
一元九次方程
一元九次方程是高等数学中最重要的方程之一，它可以用来描述和研究复杂的实际问题中出现的现象。
它也是大学考试的重要科目，普通高等数学的基础知识。
一元九次方程可以表达为：
$$ax^9 + bx^8 + cx^7 + dx^6 + ex^5 + fx^4 + gx^3 + hx^2 + ix + j=0$$
其中，$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$是常量，$x$是未知数。
一元九次方程的解法有两种：一是直接解法，二是分解解法。
一、直接解法
直接解法是指根据一元九次方程的基本性质，利用基本的代数技能，解出其未知数的取值，从而给出方程的解。
这种解法虽然简单，但它的最大缺点是适用范围较小。
二、分解解法
与直接解法相比，分解解法的应用范围要广，它主要是利用代数分解和因式分解，将一元九次方程对应的式子写成多个项的乘积的形式，而每一项都可以用一元一次方程来表示。
分解解法在实际应用中是最常用的解法，但它也有一定的缺点，就是把一元九次方程分解成几个一元一次方程，解出每一个一元一次方程的未知数，这要求解题者有许多的计算工作要做，其效率较低。
总之，一元九次方程是数学中极其重要的方程之一，它既可以用来描述和研究实际问题，也可以用来考查学生的数学水平。
可以使用
直接解法和分解解法来解决一元九次方程，若想要获得准确的结果，掌握方程的基本性质，分析问题，利用有效的解题方法，才能解出一元九次方程。
山东省青岛第十九中学2024-2025学年高一上学期10月阶段性检测数学试题
A
=
x ax2 + x +1 = 0
中只有一个元素”的充分不必要条件
C．“ x Î A ”是“ x Î A I B ”的必要不充分条件条件
D．“ x ¹ 1 ”是“ x2 - 3x + 2 ¹ 0 ”的充分不必要条件
11．已知 a,b 为正实数，且 ab + 2a + b = 16 ，则（ ）
A． ab 的最大值为 8
A．（0 ，1 ）
B．（0 ，2 ）
C． {0，1}
D．{0，1 2，}
2．已知集合 A = {x 2x - a < 0}(a Î R ) ，且1Î A ， 2 Ï A ，则（ ）
A． a £ 4
B． a > 2
C． 2 < a < 4 3．给出下列命题中正确命题的是（ ）
D． 2 < a £ 4
A．若
-
x
+ 2
x
+
2
=
4
，
当且仅当 6 - x = x + 2 ，即 x = 2 时取等号，
所以 (6 - x)( x + 2) 的最大值为 4 ，
故选：A. 6．A 【分析】结合基本不等式，利用充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】当
a
>
1
时，有
a
+
1 a
>
2
a
×
1 a
=
2 成立，
反之，当
a
=
1 3
1
×
b
1 +
2
=
2
ab +
1 2a + bΒιβλιοθήκη +2=
2022-2023学年吉林省长春市高三年级上册学期第一次调研测试数学试题【含答案】
2023届高三年级第一次调研测试数学试卷一、单选题1. 若集合，，则（ ）{}|24M x x =-<≤{}|46N x x =≤≤A. B. M N ⊆{}4M N = C. D.M N ⊇{}26|M N x x =-<< 2. 设是定义在上的周期为3的函数，当时，()f x R [0,2)x ∈，则（ ）()23,012,12x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<<⎩5()2f -=A. ﹣1 B. 1C. D. 12143. 若，则（ ）3cos()45πα-=sin 2α=A. B. C. D. 2425725-2425-7254. 玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（）A. B. C. D.21600cm23200cm23350cm24800cm 5. 用有机溶剂萃取水溶液中的溶质是化学中进行物质分离与提纯的一种重要方法.根据能斯特分配定律，一次萃取后，溶质在有机溶剂和水中的物质的量浓度(单位：)之比为mol/L 常数，并称为该溶质在水和有机溶剂中的分配常数.现用一定体积的有机溶剂进行K K 次萃取，每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原物质的量的倍，溶质在水溶液n 1010K +中原始的物质的量浓度为，该溶质在水和有机溶剂中的分配常数为，则至少1.0mol/L 20经过几次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于？（）(假设萃取51.010mol/L -⨯过程中水溶液的体积不变.参考数据：，.)ln 3 1.099≈ln10 2.303≈A 次B. 次C. 次D. 次91011126. 若，且，则下列结论正确的是（ π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（）A.B.π2αβ+=π22βα+=C.D.π22αβ-=π2αβ-=7. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（()f x R ()2f x +()21f x +）A.B.C.D.()40f =()10f -=()30f =()50f =8. 已知函数，设，()()3log 99x f x x =+-910a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）9101e b f -⎛⎫=- ⎪⎝⎭11e ln 10c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B. C. D. a b c <<c b a <<b a c<<c<a<b二、多选题9. 下列命题是真命题的有（）A1lg 2lg 3lg 534-+=B. 命题“”的否定为“”0,21x x ∀>>0,21x x ∃≤≤C. “”是“”成立的充分不必要条件αβ=sin sin αβ=D. 若幂函数经过点，则()()f x x R αα=∈1,28⎛⎫ ⎪⎝⎭3α=-10. （多选）已知a ＜b ＜0，则下列不等式正确的是（ ）A. a 2＞abB. ln （1﹣a ）＞ln （1﹣b ）C. D. a +cos b ＞b +cos a2a b+11. 已知，，，，则（ ）4παπ≤≤32ππβ≤≤4sin 25α=cos()αβ+=A.B.cos α=sin cos αα-=C.D.34πβα-=cos cos αβ=12. 已知函数，若关于的方程恰有三个不同实数()266,1ln 1,1x x x f x x x ⎧---≤=⎨+>⎩x ()f x m =解，则关于的方程的正整数解取值可能123x x x <<n ()()121222356516n x x x x x -+=++-是（ ）A. B. C. D. 1234三、填空题13. 已知 ， 则=__________tan 2θ=sin 2cos 3sin θθθ-14. 已知，则___________.()1123,82f x x f m ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭m =15. 若直线是曲线的切线，切点为，也是曲线的:l y kx b =+e x y =()11,M x y 2(1)y x =+切线，切点为，则__________．()22,N x y 122x x -=16. 若函数在上存在唯一的零点，函数()2sin f x x x a=--(),ππ-1x 在上存在唯一的零点，且，则实数的取值()2cos g x x x ax a=+-+(),ππ-2x 12x x <a 范围为_____________．四、解答题17. 已知函数.()2sin cos(4f x x x π=-（1）化函数为的形式；()sin()f x A x b ωϕ=++（2）设，且，求.(02πα∈，3(285f απ+=tan()4πα+18. 已知公差d 不为0的等差数列的前n 项和为，，.{}n a n S 36a =5913S S =（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若数列，，求数列的前n 项和.2na nb =nn n c a b =+{}n c n T 19. 已知函数在处取得极值，其中、、为常()22ln f x ax x bx c=--1x =3c -a b c 数．（1）试确定、的值；a b （2）若存在，不等式有解，求的取值范围．0x >()22f x c ≥a 20. 甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为．比赛采用“三局两胜”制，先胜二局者获胜．商定每局比赛2313（决胜局第三局除外）胜者得3分，败者得1分；决胜局胜者得2分，败者得0分．已知各局比赛相互独立．（1）求比赛结束，甲得6分的概率；（2）设比赛结束，乙得分，求随机变量的概率分布列与数学期望．X X 21. 已知椭圆，且C 的左、右焦点与短轴的两个2222C :1(0)x y a b a b +=>>端点构成的四边形的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线与x 轴交于点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，过点P 与x 轴:10l x my --=垂直的直线与椭圆C 的另一个交点为N ，求面积的最大值．MNQ △22. 已知()()1ln a f x a x x x=-++（1）若，讨论函数的单调性；a<0()f x （2）有两个不同的零点，，若()()ln ag x f x x x =+-1x ()2120x x x <<恒成立，求的范围．12202x x g λλ+⎛⎫'> ⎪+⎝⎭λ2023届高三年级第一次调研测试数学试卷一、单选题1. 若集合，，则（ ）{}|24M x x =-<≤{}|46N x x =≤≤A. B. M N ⊆{}4M N = C. D.M N ⊇{}26|M N x x =-<< 【答案】B 【解析】【分析】利用集合的交并运算求、，注意是否存在包含关系，即可M N ⋂M N ⋃,M N 得答案.【详解】因为，，{}|24M x x =-<≤{}|46N x x =≤≤所以，，相互没有包含关系{}4M N = {}|26M N x x =-<≤ ,M N 故选：B 2. 设是定义在上的周期为3的函数，当时，()f x R [0,2)x ∈，则（ ）()23,012,12x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<<⎩5()2f -=A. ﹣1 B. 1C. D. 1214【答案】D 【解析】【分析】根据题意，化简得到，代入即可求解.551()(3)(222f f f -=-+=【详解】因为是定义在上的周期为3的函数，当时，()f x R [0,2)x ∈，()23,012,12x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<<⎩则.2551111((3)(3(222224f f f -=-+==⨯-=故选：D.3. 若，则（ ）3cos()45πα-=sin 2α=A. B. C. D. 2425725-2425-725【答案】B 【解析】【分析】结合已知条件，利用sin α+cos α与2sin αcosα的关系即可求值.【详解】)33cos cos sin cos sin 455πααααα⎛⎫-=⇒+=⇒+=⎪⎝⎭.1871sin2sin22525αα⇒+=⇒=-故选：B.4. 玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（）A. B. C. D.21600cm23200cm23350cm24800cm 【答案】D 【解析】【分析】根据弧长公式由条件求出扇形的圆心角和半径，再由面积公式求出扇面面积.【详解】如图，设，，AOB α∠=cm OB r =由题图及弧长公式可得解得()80,40160,r r αα=⎧⎨+=⎩2,40.r α=⎧⎨=⎩设扇形COD 、扇形AOB 的面积分别为，，则该玉雕壁画的扇面面积1S 2S ．1211160(4040)804022S S S =-=⨯⨯+-⨯⨯=()24800cm 故选：D.5. 用有机溶剂萃取水溶液中的溶质是化学中进行物质分离与提纯的一种重要方法.根据能斯特分配定律，一次萃取后，溶质在有机溶剂和水中的物质的量浓度(单位：)之比为mol/L 常数，并称为该溶质在水和有机溶剂中的分配常数.现用一定体积的有机溶剂进行K K 次萃取，每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原物质的量的倍，溶质在水溶液n 1010K +中原始的物质的量浓度为，该溶质在水和有机溶剂中的分配常数为，则至少1.0mol/L 20经过几次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于？（）(假设萃取51.010mol/L -⨯过程中水溶液的体积不变.参考数据：，.)ln 3 1.099≈ln10 2.303≈A. 次 B. 次C. 次D. 次9101112【答案】C 【解析】【分析】审题确定常数，分配常数，根据每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原20K =物质的量的倍，建立函数模型与不等关系，利用参考数据求解即可.1010K +【详解】由题意知，，则，20K =101103K =+设经过n 次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于，51.010mol/L -⨯则，解得，51()103n -<513log 10n ->由换底公式得.5513ln105ln105 2.303log 1010.481ln 3 1.099ln 3--⨯===≈则至少经过11次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于.51.010mol/L -⨯故选：C.【点睛】解决实际应用问题的一般步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.6. 若，且，则下列结论正确的是（ π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（）A.B.π2αβ+=π22βα+=C.D.π22αβ-=π2αβ-=【答案】C 【解析】【分析】由及二倍角的余弦公式可得，根据两角π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos (1sin )sin cos αβαβ+=差的正弦公式可得，由诱导公式及的范围，结合正弦函数的单()cos sin ααβ=-αβ，调性即可求解.【详解】解：∵，∴.π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，cos 0α≠由，可得，1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（22cos (1sin )2sin cos cos αβααβ+=即.cos (1sin )sin cos αβαβ+=∴，∴.()cos sin cos cos sin sin ααβαβαβ=-=-()πsin sin 2αβα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∵，∴，且.π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，ππ22αβ-<-<ππ022α<-<由于函数在上单调递增，∴，即.sin y x =ππ22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，π2αβα-=-π22αβ-=故选:C.7. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（()f x R ()2f x +()21f x +）A.B.C.D.()40f =()10f -=()30f =()50f =【答案】A 【解析】【分析】推导出函数的图象关于直线对称，也关于点对称，进一步可推()f x 1x =()2,0导出函数为周期函数，确定该函数的周期，逐项判断可得出合适的选项.()f x 【详解】因为函数为偶函数，则，()21f x +()()1212f x f x -=+令，则，即，则，2t x =()()11f t f t -=+()()11f x f x -=+()()2f x f x =-因为函数为奇函数，则，()2f x +()()22f x f x -=-+所以，函数的图象关于直线对称，也关于点对称，()f x 1x =()2,0则，可得，()()22f f =-()20f =所以，，故函数为周期函数，且周期为，()()()24f x f x f x =-+=+()f x 4对于A 选项，，A 对；()()()4020f f f ===对于BCD 选项，，，但的值无法确定，BCD()()()131f f f -==-()()51f f =()1f 均错.故选：A.8. 已知函数，设，()()3log 99xf x x =+-910a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）9101e b f -⎛⎫=- ⎪⎝⎭11e ln 10c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B. C. D. a b c <<c b a <<b a c<<c<a<b【答案】D 【解析】【分析】令，可得为偶函数，且在上()()()31=log 331x x F x f x -=+++()F x ()0,∞+单调递增，由题可得，，，构造函数110a F ⎛⎫= ⎪⎝⎭910e b F -⎛⎫= ⎪⎝⎭11ln 10c F ⎛⎫= ⎪⎝⎭及，利用导函数判断的大小可得答案.()e 1x g x x =--()()=ln 10t x x x x -+>,,a b c 【详解】∵，()()3log 99x f x x=+-∴()()()()()13331log 991log 911log 331x x x x f x x x +-+=+-+=+-+=++令，()()()31=log 331,Rx x F x f x x -=+++∈，为偶函数，()()()3log 331x x F x F x -∴-=++=()F x 令，设，33x xy -=+120x x >>则，()121212121212333333331x x x x x x x x x x y y +--+-=⎛-+--⎫-= ⎪⎝⎭因为，，，所以，120x x ->120x x +>1231x x +>()121212103333x x x x x x ++⎛⎫ ⎝-->⎪⎭所以，所以在是增函数，又为增函数，12y y >33x xy -=+()0,∞+3log y x =所以在上为增函数，()()3log 331x x F x -=++()0,∞+所以，，911101010a f F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9991010101e e e b f F F ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11e 11ln =ln 1010c f F ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得，()e 1x g x x =--()e 1x g x '=-当时；当时，0x >()0g x '>0x <()0g x '<所以，当且仅当时取等号，()()00g x g ≥=0x =所以，()e 10x x x >+≠故，91091e11010->-+=∴，b a >令，，()()=ln 10t x x x x -+>()()11=10xt x x x x -'-=>当时；当时，1x >()0t x '<01x <<()0t x '>所以，当且仅当时取等号，()()10t x t ≤=1x =，()ln 11x x x ∴<-≠，11111ln1101010∴<-=.a c ∴>综上.b ac >>故选：D【点睛】本题考查了比较大小的问题，比较大小的方法有：（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.二、多选题9. 下列命题是真命题的有（）A.1lg 2lg 3lg 534-+=B. 命题“”的否定为“”0,21x x ∀>>0,21x x ∃≤≤C. “”是“”成立的充分不必要条件αβ=sin sin αβ=D. 若幂函数经过点，则()()f x x R αα=∈1,28⎛⎫⎪⎝⎭3α=-【答案】AC 【解析】【分析】A 选项利用对数的四则运算即可求出；B 项根据全称命题的否定直接判断；C 项根据充分不必要条件的概念进行判断；根据幂函数求参数.【详解】对A ： ，故33111lg 2lg 3lg 5lg 2lg lg 5lg 25lg10003444⎛⎫-+=-+=÷⨯== ⎪⎝⎭A 正确；对B ：命题“”的否定为“”，故B 错误；0,21x x ∀>>0,21xx ∃>≤对C ：，但是，例如：αβ=⇒sin sin αβ=sin sin αβ=⇒αβ=，但，所以“”是“”成立的充分不必要条51sinsin662ππ==566ππ≠αβ=sin sin αβ=件，故C 正确；对D ：因为幂函数经过点，所以，即，所以()()f x x R αα=∈1,28⎛⎫⎪⎝⎭128α⎛⎫= ⎪⎝⎭322α-=，故D 错误.133α=-≠-故选：AC.10. （多选）已知a ＜b ＜0，则下列不等式正确的是（ ）A. a 2＞abB. ln （1﹣a ）＞ln （1﹣b ）C. D. a +cos b＞b +cos a2a b+【答案】ABC 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A ，利用对数函数的单调性判断B ，利用基本不等式判断C ，利用构造函数判断D.【详解】A:∵a ＜b ＜0，∴a 2＞ab ，∴A 正确，B:∵a ＜b ＜0，1﹣a ＞1﹣b ，∴ln （1﹣a ）＞ln （1﹣b ），∴B 正确，C:∵a ＜b ＜0，∴，∴，∴C正确，2a b --2a b-+＞D:设f （x ）＝x ﹣cos x ，则＝1+sin x ≥0，∴f （x ）在R 上为增函数，()f x '∵a ＜b ＜0，∴a ﹣cos a ＜b ﹣cos b ，a +cos b ＜b +cos a ，∴D 错误．故选：ABC ．11. 已知，，，，则（ ）4παπ≤≤32ππβ≤≤4sin 25α=cos()αβ+=A.B.cos α=sin cos αα-=C.D.34πβα-=cos cos αβ=【答案】BC 【解析】【分析】先根据，判断角的范围，再根据求；4sin 25α=αcos 2αcos α根据平方关系，判断的值；利用公式求值，sin cos αα-cos()cos[()2]βααβα-=+-并根据角的范围判断角的值；利用公式和，联合求βα-()cos βα+()cos βα-.cos cos αβ【详解】①因为，所以，4παπ≤≤222παπ≤≤又，故有，，4sin 205α=>22παπ≤≤42ππα≤≤解出，故A 错误；2231cos 22cos 1cos cos 55αααα=-=-⇒=⇒=②，()21sin cos 1sin 25ααα-=-=由①知：，所以，42ππα≤≤sin cos αα>所以，故B 正确；sin cos αα-=③由①知：，而，所以，42ππα≤≤32ππβ≤≤524παβπ≤+≤又，所以，cos()0αβ+=<5342ππαβ≤+≤解得sin()αβ+=所以34cos()cos[()2]55βααβα⎛⎛⎫-=+-=-+⨯= ⎪ ⎝⎭⎝又因为，，5342ππαβ≤+≤22ππα-≤-≤-所以，有，故C 正确；4πβαπ≤-≤34πβα-=④由cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=⇒-=由③知，，cos()cos cos sin sin βααβαβ-=+=两式联立得：D 错误．cos cos αβ=故选：BC【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值，确定，且，进一步确定4sin 25α=22παπ≤≤cos()0αβ+=<，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.5342ππαβ≤+≤12. 已知函数，若关于的方程恰有三个不同实数()266,1ln 1,1x x x f x x x ⎧---≤=⎨+>⎩x ()f x m =解，则关于的方程的正整数解取值可能123x x x <<n ()()121222356516n x x x x x -+=++-是（ ）A. B. C. D. 1234【答案】ABC 【解析】【分析】在同一平面直角坐标系中作出的函数图象，根据图象有个交(),y f x y m==3点确定出的关系，所以可将方程转化为，然后构造函数123,,x x x ()3315(ln 21)n x x -+=-并分析的单调性确定出其值域，由此可求解出的取值范围，()()()ln 21g x x x =+-()g x n 则的值可确定.n 【详解】在同一平面直角坐标系中作出的函数图象如下图所示：(),y f x y m==当时，，当时，，1x ≤()2333y x =-++≤1x >ln 11y x =+>所以由图象可知：时关于的方程恰有三个不同实数解，()1,3m ∈x ()f x m=又，()221223236,ln 625x x x x x ++=⨯-=+-=--所以，()()()121223323ln 2)5651(16n x x x x x x x -+=+++-=-又因为，所以，所以，()1,3m ∈()3ln 11,3x +∈()231,e x ∈设，所以，()()()()()2ln 211,eg x x x x =+-∈()1ln 3g x x x '=-+显然在上单调递增，所以，()g x '()21,e ()()120g x g ''>=>所以在上单调递增，所以，即，()g x ()21,e ()()()()21,e g x g g ∈()()20,4e 4g x ∈-所以，()1250,4e 4n -∈-所以可取n 1,2,3故选：ABC.三、填空题13. 已知 ， 则=__________tan 2θ=sin 2cos 3sin θθθ-【答案】##-0.52-【解析】【分析】分子分母同除以，弦化切，即可.cos θ【详解】把式子的分子分母同除以，sin 2cos 3sin θθθ-cos θsin sin tan cos 2cos 3sin 2cos 3sin 23tan cos cos θθθθθθθθθθθ==---已知 ，所以tan 2θ=.sin tan 212cos 3sin 23tan 2322θθθθθ===----⨯故答案为: .12-14. 已知，则___________.()1123,82f x x f m ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭m =【答案】##140.25【解析】【分析】利用换元法，令，求出函数解析式，再由可求出的值.112x t -=()8f m =m 【详解】，()1123,82f x x f m ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭ 设，解得，∴112x t -=22x t =+，()47f t t ∴=+，()478f m m ∴=+=解得.14m =故答案为：.415. 若直线是曲线的切线，切点为，也是曲线的:l y kx b =+e xy =()11,M x y 2(1)y x =+切线，切点为，则__________．()22,N x y 122x x -=【答案】1【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得各个切线的斜率，求得直线方程，利用对应相等即可得解.【详解】由直线是曲线的切线，切点为，:l y kx b =+e x y =()11,M x y 则直线的方程是，即l ()111e e x x y x x -=-()111e e 1.x x y x x =+-由直线是曲线的切线，:l y kx b =+2(1)y x =+切点为，直线的方程为，()22,N x y l ()()()2222121y x x x x -+=+⋅-即．()222211y x x x =+-+所以，所以，()()112212e 21,e 11x x x x x ⎧=+⎪⎨-=-+⎪⎩()()22122111,x x x +-=-+因为，()12e 210x x =+>所以．()1212211,21x x x x -=--=故答案为：116. 若函数在上存在唯一的零点，函数()2sin f x x x a=--(),ππ-1x 在上存在唯一的零点，且，则实数的取值()2cos g x x x ax a=+-+(),ππ-2x 12x x <a 范围为_____________．【答案】(]2,1ππ--【解析】【分析】根据可求得单调递增，得到，可解()0f x ¢>()f x ()()()10f f x f ππ-<=<得；由可知单调性，结合可确定，22a ππ-<<()()g x f x '=()g x 12x x <()()00g g ππ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩由此解得；取交集即可得到的范围.1a π≤-a 【详解】恒成立，单调递增，()2cos 0f x x '=-> ()f x \又在上存在唯一的零点，，()f x (),ππ-1x ()()()10f f x f ππ∴-<=<即，解得：；202a a ππ--<<-22a ππ-<<，又，()()2sin g x x x a f x '=--= ()10f x =当时，；当时，；∴()1,x x π∈-()0g x '<()1,x x π∈()0g x '>在上单调递减，在上单调递增，()g x ∴()1,x π-()1,πx 又，，，，即，()20g x =12x x <()0g π∴-≤()0g π>221010a a a a ππππ⎧-++≤⎨--+>⎩解得：；1a π≤-综上所述：实数的取值范围为.a (]2,1ππ--故答案为：.(]2,1ππ--【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数零点求解参数范围的问题，解题关键是能够结合零点求得单调性，从而确定在区间端点处的符号，由此构造不等()(),f x g x ()(),f x g x 式组求得参数范围.四、解答题17. 已知函数.()2sin cos(4f x x x π=-（1）化函数为的形式；()sin()f x A x b ωϕ=++（2）设，且，求.(02πα∈，3(285f απ+=tan()4πα+【答案】（1）；（2）.()sin(24f x x π=-7【解析】【分析】（1）先利用两角差的余弦公式，化简整理得到()2cos sin )f x x x x =+二倍角公式和辅助角法求解. （2）由根据（1）的结果，取得，再利用两角和的正切公式求解.3(285f απ+=sin ,cosαα【详解】（1）()2sin (cos cossin sin )44fx x x x ππ=+2cos sin )x x x =+11cos 22(sin 222x x -=+-，2cos 21)x x =-+，2cos 2)x x =-，sin(2)4x π=-∴()sin(2).4f x x π=-（2），3()sin[2()]sin 282845f απαππα+=+-==由可知，，，(02πα∈，4cos 5α=3tan 4α=∴.3tan tan144tan()7341tan tan 144παπαπα+++===--【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18. 已知公差d 不为0的等差数列的前n 项和为，，.{}n a n S 36a =5913S S =（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若数列，，求数列的前n 项和.2na nb =nn n c a b =+{}n c n T 【答案】（1）；2n a n =（2）.124433n n n +++-【解析】【分析】（1）由，应用等差数列前n 项和、等差中项公式得，结合已知求953S S =510a =基本量，进而写出的通项公式；{}n a （2）由（1）得，应用分组求和，结合等差等比前n 项和公式求.24n n c n =+n T 【小问1详解】由题设，则，即，953S S =19159()5()322a a a a ++=⨯533530a a ==所以，而，易得，则，510a =36a =2d =12a =故.1(1)2n a a n d n =+-=【小问2详解】由（1）知：，则，224n nn b ==24n n c n =+所以.1122(1)4(14)442(12...)(44...4)221433n n nn n n T n n n ++-=+++++++=⨯+=++--19. 已知函数在处取得极值，其中、、为常()22ln f x ax x bx c=--1x =3c -a b c 数．（1）试确定、的值；a b （2）若存在，不等式有解，求的取值范围．0x >()22f x c ≥a 【答案】（1），；6a =-3b =-（2）.312c -≤≤【解析】【分析】（1）分析可得，即可求得、的值，再利用导数分析函数()()1013f f c ⎧'=⎪⎨=-⎪⎩a b 的单调性，结合极值的定义验证即可；()f x （2）利用导数求出函数的最大值，根据题意可得出，即可解得实数()f x ()2max2c f x ≤的取值范围.c 【小问1详解】解：函数的定义域为，且，()f x ()0,∞+()2ln 2f x ax x ax bx '=+-由题意可得，解得，()()12013f a b f b c c ⎧=-=⎪⎨=--=-'⎪⎩63a b =-⎧⎨=-⎩此时，，则，()226ln 3f x x x x c=-+-()12ln f x x x'=-当时，，此时函数单调递增，01x <<()0f x ¢>()f x 当时，，此时函数单调递减，1x >()0f x '<()f x 此时，函数在处取得极大值，合乎题意，()f x 1x =综上所述，，.6a =-3b =-【小问2详解】解：由（1）可知，函数在处取得极大值，亦为最大值，即()f x 1x =，()()max 13f x f c==-因为存在，不等式有解，则，即，0x >()22f x c ≥()2max 23c f x c ≤=-2230c c +-≤解得.312c -≤≤20. 甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为．比赛采用“三局两胜”制，先胜二局者获胜．商定每局比赛2313（决胜局第三局除外）胜者得3分，败者得1分；决胜局胜者得2分，败者得0分．已知各局比赛相互独立．（1）求比赛结束，甲得6分的概率；（2）设比赛结束，乙得分，求随机变量的概率分布列与数学期望．X X 【答案】（1）2027（2）分布列见解析，9827【解析】【分析】（1）“比赛结束，甲得6分”等价于“乙以败给甲或乙以败给甲”，由此即0:21:2可求出其概率；（2）由题意知：打2局，乙输；打3局，乙输，打2或3局，乙赢，2X =4X =6X =分别求出其概率，则可写出分布列，计算出数学期望.【小问1详解】记事件：“比赛结束，甲得6分”，A 则事件即为乙以败给甲或乙以败给甲，A 0:21:2所以．21221224820()+C +=333392727P A ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭【小问2详解】由题意得，可取，X 2,4,6 则，224(2)39P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，121228(4)C 33327P X ==⨯⨯⨯=，21212117(6)C 333327P X ⎛⎫==⨯⨯⨯+=⎪⎝⎭即的分布列为X X 246()P X 49827727的数学期望为．X 48798()2469272727E X =⨯+⨯+⨯=21. 已知椭圆，且C 的左、右焦点与短轴的两个2222C :1(0)x y a b a b +=>>端点构成的四边形的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线与x 轴交于点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，过点P 与x 轴:10l x my --=垂直的直线与椭圆C 的另一个交点为N ，求面积的最大值．MNQ △【答案】（1）221164x y +=（2）154【解析】【分析】（1）利用、与，代入椭圆方程即222a b c =+ce a =142bc ⨯=22,a b 可.（2）联立直线l 与椭圆C 的方程得到，再利用切割法得到122154y y m =-+，化简得到，进而利用基本不等式求得MNQ PQNPMNS SS=-△△△12215||4MNQ m S my y m ==+面积的最大值.MNQ △【小问1详解】设椭圆C 的焦距为，则，2c c e a ==2222234c a b a a -==所以，即，22314b a -=2a b=又C 的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，所以，142bc ⨯=bc =综上解得，2216,4a b ==所以椭圆C 的方程为．221164x y +=【小问2详解】易得，设，则，联立直线l 与椭圆C 的方程(1,0)M ()()1122,,,P x y Q x y ()11,N x y -，得，2211164x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2242150m y my ++-=则．121222215,44m y y y y m m +=-=-++又，12111112,2122PQN PMNS y x x S y x =⨯⨯-=⨯⨯-△△易知与同号，21x x -11x -所以()()()1211121111MNQ PQNPMNS SSy x x x y x x x =-=⨯---=⨯---△△△，1212121y x y my my y =⨯-=⨯=215||1515444||||m m m m ==≤=++当且仅当，即时等号成立，4||||m m =2m =±所以面积的最大值为．MNQ △15422. 已知()()1ln a f x a x x x=-++（1）若，讨论函数的单调性；a<0()f x （2）有两个不同的零点，，若()()ln ag x f x x x =+-1x ()2120x x x <<恒成立，求的范围．12202x x g λλ+⎛⎫'> ⎪+⎝⎭λ【答案】（1）单调性见解析 （2）(][),22,λ∈-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）求导可得，再根据与的关系分类讨论即可；()()()21x a x f x x +-'=a -0,1（2）由题，，设根据零点关系可得，再代入()ln g x a x x=+()120,1x t x =∈21ln x x a t -=化简可得恒成立，设，1222x x g λλ+⎛⎫' ⎪+⎝⎭()()21ln 02t t t λλ+-+<+()()()21ln 2t h t t t λλ+-=++再求导分析单调性与最值即可【小问1详解】定义域为()f x ()0,∞+()()()()()222211111x a x a x a x a f x a x x x x +--+-'=-+-==ⅰ）即时，01a <-<10a -<<，或()01f x a x '<⇒-<<()00f x x a'>⇒<<-1x >ⅱ）即时，，恒成立1a -=1a =-()0,x ∈+∞()0f x '≥ⅲ）即，1a ->1a <-，或()01f x x a'<⇒<<-()001f x x '>⇒<<x a>-综上：时，，单调递减；、，单调递增10a -<<(),1x a ∈-()f x ()0,a -()1,+∞()f x 时，，单调递增1a =-()0,x ∈+∞()f x 时，，单调递减；、，单调递增1a <-()1,x a ∈-()f x ()0,1(),a -+∞()f x 【小问2详解】，由题，()ln g x a x x =+1122ln 0ln 0a x x a x x +=⎧⎨+=⎩120x x <<则，设()1221ln ln a x x x x -=-()120,1x t x =∈∴212112ln ln ln x x x xa x x t--==-()1ag x x'=+∴122112122221122ln 2x x x x g a x x t x x λλλλλλ+-++⎛⎫'=+=⋅+ ⎪+++⎝⎭恒成立()()()21102ln t t t λλ+-=+>+，()0,1t ∈∴ln 0t <∴恒成立()()21ln 02t t t λλ+-+<+设，()()()21ln 2t h t tt λλ+-=++∴恒成立()0h t <()()()()()()()()22222224122241222t t t t h t t t t t t t λλλλλλλ⎛⎫-- ⎪++-+⎝⎭'=-==+++ⅰ）时，，24λ≥24t λ-<∴，()0h t '>∴在上单调递增()h t ()0,1∴恒成立，()()10h t h <=∴合题(][),22,λ∈-∞-+∞ ⅱ），，24λ<20,4t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴，()0h t '>∴在上单调递增()h t 20,4λ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，，2,14t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h t '<∴在上单调递减()h t 2,14λ⎛⎫⎪⎝⎭∴，，不满足恒成立2,14t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()10h t h >=()0h t <综上：(][),22,λ∈-∞-+∞ 【点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题，同时也考查了双零点与恒成立问题的综合，需要根据题意消去参数，令，再化简所求式关于的解析式，a ()120,1x t x =∈t 再构造函数分析最值.属于难题。
第17章一元二次方程(单元复习课件)(1个概念1个解法2个关系1个应用+易错集训+素养提升)-202
（1）有两个相等实根； m-1≠0且Δ=0
（2）有两个不等实根； m-1≠0且Δ＞0
（3）有实根； （4）无实数根；
△≥0或者m-1=0 △＜0且m-1≠0
（5）只有一个实数根； m-1=0
（6）有两个实数根。 △≥0且m-1≠0
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根与系数的关系
解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如
下：设公司每天的销售价为x元.
单件利润 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
4
32
128
涨价销售
x-20
32-2(x-24)
150
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x; （2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
【例3】 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的
实数根，则m的取值范围是（ A ）
A. m 4 B. m<2
3
C. m ≥0
D. m<0
解析 根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式 Δ >0, 即42-4×1×（-3m)=16+12m>0,解m得 4 ,故选A.
根与系数的关系
x1
x2
b a
c x1 x2 a
一元二次方 几何问题、数字问题
程 的 应 用 营销问题、平均变化率问题
1个概念
考点01一元二次方程的基本概念
1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化 为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的 方程叫做一元二次方程．
沈阳市南昌中学2020-2021八年级上11月期中试题
（2）
19．已知 的立方根是3， 的算术平方根3， 是 的小数部分，求 的值．
20．如图，已知直线 和 分别交 轴于点 ， ，两直线交于点 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 的面积．
21．某工厂去年的利润（总收入-总支出）为200万元．今年总收入比去年增加了20％，总支出比去年减少了10％，今年的利润为780万元．今年的总收入、总支出各是多少万元？（列二元一次方程组解应用题）
沈阳市和平区南昌初级中学2020-2021八年级上11月期中试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个数中，是无理数的是（ ）
A．3.14157……B． C．-2D．1
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
11．3．
【分析】
根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出.
【详解】
∵ ，
∴9算术平方根为3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键.
12．＜
【分析】
根据一次函数的增减性直接判断即可．
【详解】
一次函数 ， ，
y随x的增大而减小，
点 是一次函数 图象上的两点，
得b=3
∴y=-x+3．
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】
本题考查一次函数的性质及用待定系数法确定解析式．解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质判断k值．
14．92
【分析】
根据加权平均数的定义即可求解．
【详解】
依题意得本学期数学学期综合成绩是90× +90× +95× =92
广东省深圳实验学校高中部2022-2023学年高一上学期第一阶段检测数学试题(含答案解析)
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故D正确.
故选：ABD.
11.下面结论正确的是（）
A.若 ，则 的最大值是
B.函数 的最小值是2
C.函数 （ ）的值域是
D. ， 且 ，则 的最小值是3
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式求最值判断ABD，结合二次函数的性质判断C．
【答案】
【解析】
【分析】由定义域得一元二次不等式的解，从而由二次不等式的性质可得参数值．
【详解】由题意 的解是 ，
所以 ，解得 ， ，所以 ．
故答案为： ．
15.若关于x的二次方程 的两个根分别为 ，且满足 ，则m的值为______
【答案】
【解析】
【分析】先求出方程有两根时 的范围，再由根与系数关系将 用 表示，建立关于 的方程，求解即可.
综上，满足条件的 的取值范围是
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.若a，b， ，则下列命题正确的是（）
A.若 且 ，则 B.若 ，则
C.若 且 ，则 D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由不等式的性质逐一判断即可.
当命题 是假命题且 是真命题时，由（2）、（4），得实数 的取值范围是 ；
综上，实数 的取值范围是 或 ．
19.（1）已知 、 、 、 是实数，求证：
（2）已知 ， ， ，且 ，求证：
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】对不等式进行化简，利用完全平方公式、基本不等式证明即可；
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一元9次方程的整数解集判别95
张祖华
平阴县职业教育中心济南平阴 250400
摘要：本文对一类一元9次方程的整数解作出判断。
关键词：自然数一元9次方程整数解
定理：设a,b,c为整数，方程x9+bx6+cx+a=0的9个解全为整数,设i为其中任意一个，则
i|a.
证明：由待定系数法即得。
参考文献：
[1]张祖华等.解无约束优化的一种新的xx，数学进展，已录用。
[2]张祖华.一元高次方程根的若干xx(W2017060347599), 数学进展，已录用。
[3]张祖华.第四类超越方程解的可计数性(W2017052145671), 数学进展，已录用。
[4]张祖华.第五类高次不定方程的无穷解(W2017041439231), 数学进展，已录用。