【高中数学必修一】高中数学3-4-2函数模型及其应用(2)课件苏教版必修1
高中数学 3.4.2函数模型及其应用(2)课件 苏教版必修1
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数学应用：
例2．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发 现每间客房每天的价格与住房率有如下关系：
每间客房定价
20元
18元
16元
14元
住房率
65%
75%
85%
95%
营业额
1300
1350
1360
1330
要使每天收入最高，每间客房定价为
.
解析法：以20元为标准，设下降x个2元(x≤3)，则住房率增加10x%，记 营业额为y元，则有 y＝ 100(65%＋10% x)(20－2x)
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数学应用：
例3．今年5月，荔枝上市．由历年的市场行情得知，从5月10日起的60天内，
荔枝的市场售价与上市时间的关系大致可用如图所示的折线ABCD表示(市
场售价的单位为元／500g)．
S(元)
AB 10
D 7
5
C
O 10
t(天)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
40
60
请写出市场售价S(t)(元)与上市时间t(天)的函数关系式，并求出6月
月份 一 二 三
用水量(立方米) 4 5 2.5
水费(元) 18 26 10
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小结：
实际问题 确立数学模型 解出模型结果 解释实际问题
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作业：
P110第10题．
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20日当天的荔枝市场售价．
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数学应用：
2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版必修一学案：3-4-2 函数模型及其应用
2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版必修一学案：3-4-2函数模型及其应用函数模型及其应用学习目标 1.理解函数模型的概念和作用.2.能用函数模型解决简单的实际问题.3.了解建立拟合函数模型的思想和步骤，并了解检验和调整的必要性．知识点一函数模型思考自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，说说什么是函数模型？它怎么来的？有什么用？梳理设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．知识点二用函数模型解决实际问题(1)解答应用问题的基本思想(2)解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③求模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将数学结论还原为实际应用问题的结论．知识点三数据拟合思考1我们知道不同的身高需要坐不同高度的桌椅，但你知道任一确定的身高对应的桌椅的最佳高度吗？如何解决？梳理现实世界中的事物都是相互联系、相互影响的，反映事物变化的变量之间就存在着一定的关系．这些关系的发现，通常是通过试验或实验测定得到一批数据，再经过分析处理得到的．数据拟合就是研究变量之间这种关系，并给出近似的数学表达式的一种方法，根据拟合模型，我们还可以对某变量进行预测或控制．此类题的解题过程一般有如下五步：(1)作图：即根据已知数据，画出散点图；(2)选择函数模型：一般是根据散点图的特征，联想哪些函数具有类似图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试；(3)求出函数模型：求出(2)中找到的几个函数模型的解析式；(4)检验：将(3)中求出几个函数模型进行比较、验证，得出最合适的函数模型；(5)利用所求出的函数模型解决问题．思考2数据拟合时，得到的函数为什么要检验？类型一利用已知函数模型求解实际问题例1某列火车从西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h 的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开2 h内行驶的路程．反思与感悟在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，这时可借助待定系数法求出函数解析式．再根据解题需要研究函数性质．跟踪训练1如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．类型二自建确定性函数模型解决实际问题命题角度1非分段函数模型例2某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？反思与感悟自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．跟踪训练2 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q 1万元和Q 2万元，它们与投入的资金x 万元的关系是Q 1＝15x ，Q 2＝35x .现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？命题角度2 分段函数模型例3 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，用y 表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得) (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？反思与感悟自变量x按取值不同，依不同的对应关系对应应变量y是分段函数的典例特征，建立分段函数模型时应注意：(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．跟踪训练3学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40 min的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：min)之间的关系满足如图所示的图象．当x∈(0,12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A(10,80)，过点B(12,78)；当x∈[12,40]时，图象是线段BC，其中C(40,50)．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．(1)试求y＝f(x)的函数关系式；(2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．1．从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为________．2．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是________．(填序号)①y ＝ax ＋b; ②y ＝ax 2＋bx ＋c ； ③y ＝a e x ＋b;④y ＝a ln x ＋b .3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是________．4．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：①y ＝2x －1; ②y ＝x 2－1； ③y ＝2x －1;④y ＝1.5x 2－2.5x ＋2.5．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价的23优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．1．几类常见的函数模型：2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．答案精析问题导学 知识点一思考 函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来拟合，这个函数即为函数模型．函数模型通常用来解释已有数据和预测． 知识点三思考1 我们知道桌椅高度与身高有关系，但我们不知道具体的对应关系是什么．这需要调查获得大量的数据，再从数据中找出规律或近似的规律．思考2 因为限于我们的认识水平和一些未知因素的影响，现实可能与我们所估计的函数有误差或甚至不切合客观实际，此时就要检验，调整模型或改选其他函数模型． 题型探究例1 解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝115(h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t ，所以，火车运行总路程S 与匀速行驶时间t 之间的关系是S ＝13＋120t (0≤t ≤115).2 h 内火车行驶的路程S ＝13＋120×(2－1060)＝233(km)．跟踪训练1 2 6解析 以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A (2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式为y ＝ax 2(a ≠0)，则－2＝a ·22，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B (b ，－3)，将B 点的坐标代入y ＝－12x 2，得b ＝±6，因此水面宽2 6 米．例2 解 设可获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680 (0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是单调增函数， ∴当x ＝210时，R (x )max ＝－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴当年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．跟踪训练2 解 设对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资(3－x )万元，总利润为y 万元． 所以Q 1＝15x ，Q 2＝353－x .所以y ＝15x ＋353－x (0≤x ≤3)，令t ＝3－x (0≤t ≤3)，则x ＝3－t 2.所以y ＝15(3－t 2)＋35t＝－15(t －32)2＋2120.当t ＝32时，y max ＝2120＝1.05(万元)，即x ＝34＝0.75(万元)，所以3－x ＝2.25(万元)．由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元．例3 解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115＞0，解得x ＞2.3. 又因为x ∈N ，所以3≤x ≤6，且x ∈N. 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115，综上可知y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115，3≤x ≤6，x ∈N ，－3x 2＋68x －115，6＜x ≤20，x ∈N.(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，因为y ＝50x －115是单调增函数，所以当x ＝6时，y max ＝185.当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋8113， 所以当x ＝11时，y max ＝270.综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元．跟踪训练3 解 (1)当x ∈(0,12]时，设f (x )＝a (x －10)2＋80(a ≠0)．因为该部分图象过点B (12,78)，将B 点的坐标代入上式，得a ＝－12， 所以f (x )＝－12(x －10)2＋80. 当x ∈[12,40]时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．因为线段BC 过点B (12,78)，C (40,50)，将它们的坐标分别代入上式，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 12k ＋b ＝78，40k ＋b ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1，b ＝90，所以f (x )＝－x ＋90.故所求函数的关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12(x －10)2＋80，x ∈(0，12]，－x ＋90，x ∈(12，40].(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ≤12，－12(x －10)2＋80＞62或⎩⎪⎨⎪⎧12＜x ≤40，－x ＋90＞62， 解得4＜x ≤12或12＜x ＜28，即4＜x ＜28.故老师应在x ∈(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳． 当堂训练1．19 2.② 3.y ＝0.957 6x 1004.④ 5．解 设家庭中孩子数为x (x ≥1，x ∈N *)，旅游收费为y ，旅游原价为a .甲旅行社收费：y ＝a ＋a 2(x ＋1) ＝a 2(x ＋3)； 乙旅行社收费：y ＝2a 3(x ＋2)． ∵2a 3(x ＋2)－a 2(x ＋3)＝a 6(x －1)， ∴当x ＝1时，两家旅行社收费相等．当x ＞1时，甲旅行社更优惠．。
苏教版数学高一-数学苏教版必修一学案 函数模型及其应用(2)
第19课时函数模型及其应用(2)教学过程一、问题情境在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题.例如:如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则关于时间x的总产值y可以用公式y=N(1+p)x表示.二、数学建构问题1某公司拟投资1000万元,有两种获利的方案可供选择:一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息;另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元?(参考数据:1.094≈1.4116, 1.095≈1.5386, 1.096≈1.6771)题目中涉及两种投资方式回报的比较,生活中常常出现.两种投资方式一种涉及单利,一种涉及复利(即利滚利),可分别根据单利与复利的计算方法计算出本息和,再进行比较,判断优劣.具体解答如下:本金1000万元,年利率为10%,按单利计算,5年后收回的本息和是1000×(1+10%×5)=1500(万元);本金1000万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回的本息和是1000×(1+9%)5=1538.6(万元).因此,按年利率为9%的每年复利一次计算要比按年利率为10%的单利计算更有利,5年后多得利息38.6万元.三、数学运用【例1】(教材P98例2)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-T a=(T0-T a)·,其中T a表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡,放在24℃的房间中,如果咖啡降温到40℃需要20min,那么降温到35℃时,需要多长时间?(结果精确到0.1)(见学生用书课堂本P69) [处理建议]题目中给出了一个关系式,同时给出了若干个变量之间的关系,看似有点复杂,但用后面给出的具体数据对号入座后,并不难得到答案.[规范板书]解由题意知40-24=(88-24)·,即=,解得h=10.故T-24=(88-24)·.当T=35时,代入上式,得35-24=(88-24)·,即=,两边取对数,用计算器求得t≈25.4.因此,约需要25.4min,可降温到35℃.[题后反思]本题是利用已知的函数模型来解决物理问题,需由已知条件先确定函数关系式,然后再求解.本题的实质为已知自变量的值,求对应的函数值的数学问题.由于运算比较复杂,要求学生能够借助计算器进行计算.【例2】现有某种细胞100个,其中有占总数的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以超过1010?(参考数据:lg3≈0.477, lg2≈0.301)(见学生用书课堂本P70) [处理建议]现有细胞100个,可以先逐个研究1h、2h、3h、4h后的细胞总数,找到规律后寻找出相应的函数关系式.[规范板书]解1h后,细胞总数为×100+×100×2=×100;2h后,细胞总数为××100+××100×2=×100;3h后,细胞总数为××100+××100×2=×100;4h后,细胞总数为××100+××100×2=×100;可见,细胞总数y与时间x(h)之间的函数关系式为y=100×,x∈N*.由100×>1010,得>108,两边取以10为底的对数,得x lg>8,∴x>.∵=≈45.45,∴x>45.45.答:约经过46h,细胞总数将超过1010.[题后反思]本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数y与时间x(h)之间的函数关系式;解类似a x>b这类不等式,通常在不等式的两边同时取对数,然后利用对数函数的单调性求解.这种通过观察几个特殊值的特征,从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法”,在数学中会经常用到.【例3】(教材P99例3)在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元),利润是收入与成本之差.(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值?(见学生用书课堂本P70)[处理建议]题中提到两个函数,比较直接,带领学生读懂题意后就能写出要研究的函数MP(x);本题涉及两个函数,一个是一次函数,一个是二次函数,处理起来并不困难,关键是读懂题意.[规范板书]解由题意知,x∈[1, 100],且x∈N*.(1)P(x)=R(x)-C(x)=3000x-20x2-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000,MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-[-20x2+2500x-4000]=2480-40x.(2)P(x)=-20+74125,当x=62或x=63时,P(x)的最大值为74120(元).因为MP(x)=2480-40x是单调减函数,所以当x=1时,MP(x)的最大值为2440(元).因此,利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值.[题后反思]本题中边际利润函数MP(x)在x=1时取得最大值,这说明生产第二台与生产第一台的总利润差最大,即第二台报警系统利润最大.MP(x)=2480-40x是单调减函数,这说明随着产量的增加,每台利润与前一台利润相比在减少.通过上述几个例子,我们可以看出,解决实际问题通常按实际问题→建立数学模型→得到数学结果→解决实际问题的步骤进行,其中建立数学模型是关键.*【例4】某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店,借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店,并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).(例4)已知该种消费品的进价为每件40元;该店每月销售q(百件)与销售价p(元/价)之间的关系用右图中的一条折线(实线)表示;职工每人每月工资为600元,该店应交付的其他费用为每月13200元.(1)若当销售价p为52元/件时,该店正好收支平衡,求该店的职工人数;(2)若该店只安排40名职工,则该店最早可在几年后还清所有债务?此时每件消费品的价格定为多少元?[规范板书]解(1)设该店的月利润为S元,有职工m名,则S=q(p-40)×100-600m-13200.又由图可知q=所以,S=由已知,当p=52时,S=0,即(-2p+140)(p-40)×100-600m-13200=0,解得m=50.即此时该店有50名职工.(2)若该店只安排40名职工,则月利润S=当40≤p≤58时,求得p=55时,S取最大值7800元;当58<p≤81时,求得p=61时,S取最大值6900元.综上,当p=55时,S有最大值7800元.设该店最早可在n年后还清债务,依题意有12n×7800-268000-200000≥0.解得n≥5.所以,该店最早可在5年后还清债务,此时消费品的单价定为55元.[题后反思]①本题有效信息必须从图象上去读取,由于给出的图象是两段线段,故建立的函数关系式为分段函数,分段函数应特别注意函数关系与定义域间的对应;②对于分段函数的最值问题,应先在各自的定义域上求出各段的最值,然后加以比较,最后确定出最值.四、课堂练习1.复利就是把前一期的利息和本金加在一起做本金,再计算下一期的利息(就是人们常说的“利滚利”).设本金为p,每期利率为r,存期为x,则到期后本金与利息和为y=p(1+r)x,x∈N*.2.单利就是在计算每一期的利息时,本金还是第一期的本金.设本金为p,每期利率为r,存期为x,则到期后本金与利息和为y=p(1+rx),x∈N*.3.某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤的次数为14.(参考数据:lg2≈0.3010, lg3≈0.4771)(第4题)4.有一批材料可以建成200m的围墙,如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图),则围成的矩形的最大面积为2500m2.(围墙厚度不计)五、课堂小结建立函数模型就是将实际应用问题转化成数学问题,是数学化解决实际应用问题的关键,一般通过对函数性质的研究来解决数学问题,从而达到解决实际应用问题的目的.。
3.4.2函数模型及其应用课件(35张) 高中数学 必修1 苏教版
当 0≤t≤200 时，配方整理得 1 h(t)＝－ (t－50)2＋100， 200 所以，当 t＝50 时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值 100；
一、分段函数 分段函数模型解实际应用问题是常见题型，也是高 考常考题型．现实生活中有很多问题都是用分段函数表 示的，如出租车计费、个人所得税等．分段函数主要是 每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其写作 几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到 一起，要注意各段变量的范围．
二、数据拟合 建立函数模型，就必须考虑用什么函数来模拟，在 选择函数模型时，可以通过图表直观分析，联想具有此 性质的比较熟悉又比较简单的函数模型．在建立模拟函 数的过程中，我们只可能建立近似的函数模型，因此所 建立的函数模型只能近似地反映客观现实的量与量之间 的关系，而且有时需要通过检验选择最佳模型．
同．假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数 y＝ k· ax(k≠0)．若牛奶在 0 ℃的冰箱中保鲜时间约是 192 h， 而在 22 ℃的厨房中保鲜时间则约是 42 h. (1)写出保鲜时间 y(单位：h)关于储藏温度 x(单位： ℃)的函数解析式；
(2)如果把牛奶分别储藏在 10 ℃和 5 ℃的两台冰箱 中，哪一台冰箱储藏牛奶保鲜时间较长？为什么？
22
(参考数据：
7 ≈0.93) 32
分析：(1)利用已知数据代入，确定 k 和 a 的值；(2) 根据函数的单调性进行比较．
解：(1)保鲜时间与储藏温度间的关系符合指数型函 数 y＝k·ax(k≠0)． k＝192， k·a ＝192， 由题意可知 22 解得 22 7 a＝ k·a ＝42， ≈0.93， 32
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.2 函数模型及其应用》
智慧教育背景下的高中建模能力的构建考情分析在近三年的应用题的考查中，2021年考查了解三角形的应用题，2021年考查了直线与圆的位置关系的应用题，2021年以平面图形为载体考查了函数应用题，2021年以空间几何体为载体继续考查函数应用题考查的热点还是函数、导数与不等式模型以及解三角形的实际应用问题学情分析高中数学应用题是历年高考命题的主要题型之一，在高考试卷中占有较高的分值，通常是决定学生成绩的关键。
学生也一直畏惧应用题，畏惧应用题主要有以下三点：1不能理解题意，分不清题目中的量、未知量、常量、变量、新词汇、目标。
2：不熟悉代数建模、几何建模不能正确的选择设边、设角、建系等方法以及定义域的求法。
3：不能保证运算的稳定度，精确度本节课针对审题及建模帮助学生熟悉、理解解决应用题的根本知识和根本技能教学目标1: 文字关：即阅读理解题意，罗列题目的条件，分清题目中的量、未知量、常量、变量、新词汇，分析题目所求，思考可能采用的方法——审题2: 建模关：建立数学模型主要包括代数建模、几何建模代数建模主要利用函数、数列、不等式进行建模，其难度主要在阅读题意，建立等式或不等式关系上；几何建模主要是利用解析几何知识，建立直角坐标系，使实际问题几何化，解决实际问题教学重点1：理解审题的内涵即“审什么〞和“怎么审〞2：等量关系是关键3：定义域的求法即极限位置或代数方法教学难点1：找到影响待解决目标的主要干扰因素，确定解决方案即确定变量是主线2：代数模型或几何模型的选择教学工具多媒体及实物投影教学过程课前热身1如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A、B 及CD的中点, CB =10m ，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD 的区域上〔含边界〕，且与A、B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO,BO,O ，那么OQ＝10－，所以OA =OB=所求函数关系式为2如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区规划要求:新桥BC与河岸AB垂直; 经测量，点A位于点O正北方向60m处, 点C 位于点O正东方向170m处OC为河岸,1求新桥BC的长；2当OM多长时,圆形保护区的面积最大？教师提问:哪些量是变量？哪些量是常量？教师提问：如何建立目标和变量的等量关系？解法一：〔1〕如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由条件知，直线的斜率由因为，所以直线的斜率设点的坐标为，那么解得所以因此新桥的长是150米。
年高中数学苏教版必修一3.4.2《函数模型及其应用》ppt教学课件(1)
实际问题 建立数学模型 解出模型结果 解释实际问题
作业：
P100练习1，2，3．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
数学建构：
数学应用题的一般求解程序：
(1)审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系； (2)建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应 的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得到数学结论； (4)结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意 下结论．
小结：
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
高中数学 3.4.2函数模型及其应用配套课件 苏教版必修1
研一研•问题探究(tànjiū)、课堂更高 效
3.4.2
探究点二 指数型函数模型的应用
例 2 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设
物体的初始温度是 T0，经过一定时间 t 后的温度是 T，则 T－Tα
t
＝(T0－Tα)· 12
h
，其中
Tα
表示环境温度，h
称为半衰期．
3.4.2
探究点一 一次函数模型的应用 例 1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为
200 万元，生产每台计算机的可变成本为 3 000 元，每台计算 机的售价为 5 000 元．分别写出总成本 C(万元)、单位成本 P(万元)、销售收入 R(万元)以及利润 L(万元)关于总产量 x(台) 的函数关系式． 解 总成本 C(万元)关于总产量 x(台)的函数关系式为 C＝200＋ 0.3x，x∈N＋. 单位成本 P(万元)关于总产量 x(台)的函数关系式为 P＝20x0＋ 0.3，x∈N＋.
第六页，共25页。
研一研•问题(wèntí)探究、课堂更高效
3.4.2
销售收入 R(万元)关于总产量 x(台)的函数关系式为 R＝0.5x，x∈N＋.
利润 L(万元)关于总产量 x(台)的函数关系式为 L＝R－C＝0.2x－200， x∈N＋. 小结 信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一 时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以 画出相应的图形，建立坐标系等．
第十二页，共25页。
研一研•问题(wèntí)探究、课堂更高效
3.4.2
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长 率(精确到 0.000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期 的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； (2)如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到 13 亿？
【高中课件】高中数学 苏教版必修一 函数模型及其应用 习题课课件ppt.ppt
则 k＝__2_l_n__2__，经过 5 小时，1 个病毒能繁殖为__1__0_2_4__个．
解析 当 t＝0.5 时，y＝2，
本 课
∴2＝
e
1k 2
，∴k＝2ln
2，
时 栏
∴y＝e2tln 2，当 t＝5 时，
目 ∴y＝e10ln 2＝210＝1 024.
开
关
研一研·题型解法、解题更高效
题型一 分段函数模型的应用 例 1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．
7.9＝a·b70 47.25＝a·b160
，用计算器算得 a≈2，
b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.将已知数据代入
上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型
与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年
男性体重与身高的关系．
研一研·题型解法、解题更高效
关
研一研·题型解法、解题更高效
小结 (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，
可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其
本 合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
课
时 (2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不
栏 目
漏．
开
关
研一研·题型解法、解题更高效
目
开
关
研一研·题型解法、解题更高效
题型二 选择函数的拟合问题
例 2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
数学必修ⅰ苏教版 函数模型及其应用 课件(与“方案”有关文档共18张)
痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一
两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所 无法企及的，从每天所得回报看，在第1~4天，方案一最多，在5~8天，方案二最 多；
4 40 0 ，由函数图象，并利用计算器，可知在区间
时，
因此该模型也不符合要求；
所以当
时，
。
40 10 内有一个点
满足
3.2 1.6 ，由于它在区间 [10 ,1000]上递增，因此当
方案一可以用函数 y 40(x N进 )行描述；
方案二可以用函数 y 10x (x N *进) 行描述；
方案三可以用函数 y 0.4 2x1 (x N * ) 进行描述.
3、三个函数模型的增减性如何？
4、要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进 行分析，如何分析？
第6页，共18页。
的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加， 增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时奖金
在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子
，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔
2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？ 解：设第x天所得回报是y元
方案一可以用函数 方案二可以用函数 方案三可以用函数
y 40(x N )进行描述；
高中数学3.4.2函数模型及其应用(1)教案苏教版必修1
3.4.2 函数模型及其应用（1）教学目标：1．能根据实际问题的情境建立数学模型，利用计算工具，结合对函数性质的研究，给出问题的解答；2．通过实例，理解一次函数、二次函数等常见函数在解决一些简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；3．在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.教学重点：一次函数、二次函数以及指、对数函数等常见函数的应用．教学难点：从生活实例中抽象出数学模型.教学过程：一、问题情境某城市现有人口总数为100万，如果人口的年自然增长率为1.2﹪，问:（1）写出该城市人口数y(万人)与经历的年数x之间的函数关系式;（2）计算10年后该城市的人口数；（3）计算大约多少年后，该城市人口将达到120万?（4）如果20年后该城市人口数不超过120万，年人口自然增长率应该控制在多少？二、学生活动回答上述问题，并完成下列各题：1．等腰三角形顶角y(单位：度)与底角x的函数关系为．2．某种茶杯，每个0.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数，其定义域为．三、数学应用例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(万元)、单位成本P (万元)、销售收入R (元)以及利润L (万元)关于总产量x 台的函数关系式．例2 大气温度y (℃)随着离开地面的高度x (km)增大而降低，到上空11 km 为止，大约每上升1 km ，气温降低6℃，而在更高的上空气温却几乎没变(设地面温度为22℃)．求：（1） y 与x 的函数关系式；（2）x ＝3.5 km 以及x ＝12km 处的气温．变式：在例2的条件下，某人在爬一座山的过程中，分别测得山脚和山顶的温度为26℃和14.6℃，试求山的高度． 四、建构数学利用数学某型解决实际问题时，一般按照以下步骤进行：1．审题：理解问题的实际背景，概括出数学实质，尝试将抽象问题函数化；2．引进数学符号，建立数学模型，即根据所学知识建立函数关系式，并确定函数的定义域；3．用数学的方法对得到的数学模型予以解答，求出结果；4．将数学问题的解代入实际问题进行检验，舍去不合题意的解，并作答.五、巩固练习1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x 件时的成本函数是C (x )＝200＋10x ＋0.5x 2(元)，若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到 元．2．有m 部同样的机器一起工作，需要m 小时完成一项任务．设由x 部机器（x 为不大于m 的正整数）完成同一任务，求所需时间y (小时)与机器的部数x 的函数关系式．3．A ，B 两地相距150千米，某人以60千米/时的速度开车从A 到B ，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A ，则汽车离开A 地的距离x 与时间t 的函数关系式为 ．4．某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km ，慢车到达终点需16min ，快车比慢车晚发车3min ，且行驶10min 到达终点站.试分别写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式．两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？5．某产品总成本C (万元)与产量x (台)满足关系C ＝3000＋20x －0.1x 2，其中0＜x ＜240．若每台产品售价25万元，要使厂家不亏本，则最少应生产多少台？六、要点归纳与方法小结1．利于函数模型解决实际问题的基本方法和步骤；2．一次函数、二次函数等常见函数的应用．七、作业课本P100－练习1，2，3．。
2015年高中数学苏教版必修1教案3.4.2函数模型及其应用(2)
函数模型及其应用（2）教课目的：1.能依据图形、表格等实质问题的情境成立数学模型，并求解；进一步认识函数模型在解决简单的实质问题中的应用，认识函数模型在社会生活中的宽泛应用；2.在解决实质问题的过程中，培育学生数学地剖析问题、探究问题、解决问题的能力，培育学生的应意图识，提升学习数学的兴趣.教课要点：在解决以图、表等形式作为问题背景的实质问题中，读懂图表并求解教课难点：对图、表的理解..教课方法：讲解法，试试法.教课过程：一、情境创建已知矩形的长为4，宽为 3，假如长增添x，宽减少0.5 x，所得新矩形的面积为S．（1）将S表示成x的函数；（2）求面积S的最大值，并求此时x的值．二、学生活动思虑并达成上述问题．三、例题分析例 1 有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是⊙O 的直径，C DABCD AB上底的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长CDx 间的函数关系式，并求出它的定义域．A E O B 例 2 一家旅社有 100 间同样的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经剪发现每间客房每日的价钱与住宅率有以下关系：每间客房订价20181614住宅率65%75%85%95%要使每日收入最高，每间客房订价为多少元？S(元)例 3今年5月，荔枝上市．由历年的市场行情得悉，10A B从 5 月 10 日起的 60 天内，荔枝的市场售价与上市时间的关系大概可用以下图的折线ABCD表示(市场售价的单位为元／ 500g) ．请写出市场售价S( t )(元)与上市时间t (天)的函数关系式，并求出 6 月 20 日当日的荔枝市场售价．D75Ct(天) O 104060练习： 1．直角梯形OABC中， AB∥ OC，AB＝1， OC＝ BC＝2，直线l ： x＝ t 截此梯形所得位于l 左方图形的面积为，则函数＝(t) 的大概图象为 ( )S S fy A B S S S S3333211t 1Ot x t t tl C12 1 2 1 212A B C D2．一个圆柱形容器的底部直径是d cm，高是 h cm，此刻以 v cm3/s的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x(cm)与注入溶液的时间t (s)之间的函数关系式，并写出函数的定义域．3．向高为的水瓶中灌水，注满为止．假如灌水量V 与水深h的函数关系的图象如图所H示，那么水瓶的形状可能是( )V4．某企业将进货单价为10A 元一个的商品按B 13 元一个销售，C每日可卖200 个．D若这类商H h品每涨价 1 元，销售量则减少26 个．（1）售价为 15 元时，销售收益为多少？（2）若销售价一定为整数，要使收益最大，应怎样订价？5．依据市场检查，某商品在近来40 天内的价钱 f ( t )与时间 t 知足：1t 11 (0 ≤ t 20, t N )g( t )与时间 t 知足： g( t )＝143f ( t )＝2，销售量3tt41 (20 ≤ t ≤ 40, t N )3(0 ≤t≤40，t N) ，求这类商品日销售金额的最大值．四、小结利用图、表建模；分段建模．五、作业课本 P110－10．。
苏教版高中数学必修1课件 3.4.2函数模型及其应用课件2
指数函数、对数函数模型
某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定 的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y(毫克) 与时间 t(小时)之间近似满足如图 3－4－4 所示的曲线．
S ＝ 5.06x － 0.15x2 ＋ 2(15 － x) ＝ － 0.15x2 ＋ 3.06x ＋ 30(x≥0)，
所以当 x＝10 时，Smax＝45.6(万元)． 【答案】 45.6(万元)
4．现有某种细胞 100 个，其中有占总数12的细胞每小时 分裂一次，即由 1 个细胞分裂成 2 个细胞，按这种规律发展 下去，经过多少小时，细胞总数可以超过 1010 个？(参考数据： lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)
【解】 设每天从报社买进 x(250≤x≤400)(x∈N)份报 纸，每月获得总利润 y 元，则
y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋625， x∈[250,400]．
函数 y 在[250,400]上单调递增， ∴当 x＝400 时，ymax＝825 元． 即摊主每天从报社买进 400 份时，每月获得的利润最大， 最大利润为 825 元.
(2)令 y1＝y2，即15x＋29＝12x，则 x＝9623. 当 x＝9623时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当 x<9623时，y1>y2，即便民卡便宜； 当 x>9623时，y1<y2 ，即如意卡便宜．
年高中数学苏教版必修一3.4.2《函数模型及其应用》ppt教学课件(3)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 练习总次数
数学探究：
y＝k·ax＋b 打完18洞的杆数
160 140 120 100 80
y= 80×124x0＋80 (x＞0)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 练习总次数
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/15
最新中小学教学课件
19
谢谢欣赏！
2019/8/15
最新中小学教学课件
20
数学建构：
1．数据的拟合．
数据拟合就是研究变量之间这种关系，并给出近似的数学表达式的 一种方法．根据拟合模型，我们还可以对某变量进行预测或控制．解决 数据拟合问题应首先作出散点图，然后通过观察散点趋势选用相应的模 型进行拟合．为使散点图更为清晰，可将数据适当简化．
2．函数模型的选择． (1)直线型函数——一次函数 (2)对称型函数——二次函数 (3)单调型函数——指数型函数
高中数学 必修１
情境问题：
某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余
下的路程．下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则
下列四个图形中较符合该学生的走法的是
(D )
d d0
d d0
d d0
d d0
t
A
t0
t
B
t0
t
C
t0
t D t0
在解决实际问题中，灵活选择数学模型是解决问题的关键．
数学应用：
2．一家人(父亲、母亲、孩子)去某地旅游，有两空旅行社同时发出邀 请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，只要父亲一人买全票，其 他家庭成员均享受半价；乙旅行社承诺，家庭旅行算团体旅行，按全 价的三分之二计算．已知这两家的原价是一样的，若家庭中的孩子数 是不同的，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量 的收费表达式，并比较选择哪家更优惠？
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情境创设：
已知矩形的长为4、宽为3，如果长增加x，宽减少0.5x，所得新矩形 的面积为S． (1)将S表示成x的函数； (2)求面积S的最大值，并求此时x的值．
涉及几何图形的问题也是数学建模问题中常见题型．
数学应用：
例1．有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状， 它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长 y和腰长x间的函数关系式，并求出它的定义域．
小结：
实际问题 确立数学模型 解出模型结果 解释实际问题
作业：
P110第10题．
数学应用：
例3．今年5月，荔枝上市．由历年的市场行情得知，从5月10日起的60天内，
荔枝的市场售价与上市时间的关系大致可用如图所示的折线ABCD表示(市
场售价的单位为元／500g)．
S(元)
AB 10
D 7
5
C
O 10
t(天)
40
60
请写出市场售价S(t)(元)与上市时间t(天)的函数关系式，并求出6月 20日当天的荔枝市场售价．
.
解析法：以20元为标准，设下降x个2元(x≤3)，则住房率增加10x%，记 营业额为y元，则有 y＝ 100(65%＋10% x)(20－2x)
＝－20x2＋70x＋1300
数学应用：
4.某公司将进货单价为10元一个的商品按13元一个销售，每天可卖200个． 若这种商品每涨价1元，销售量则减少26个． (1)售价为15元时，销售利润为多少？ (2)若销售价必须为整数，要使利润最大，应如何定价？
数学应用：
6．根据市场调查，某商品在最近40天内的价格f(t)与时间t满足：
f(t)＝
1 t 1 1 (0≤t≤40，tN)， 2
－t＋41 (0≤t≤40，tN)，
销售量g(t)与时间t满足：g(t)＝
1 3
t
43 3
(0≤t≤40，tN)，求这种商品日销售金额的最大值．
数学应用：
7．一批材料可以建成200m长的围墙，现用这些材料在一边靠墙的地方 围成一块矩形场地，中间隔成3个相等的的矩形，则围成的矩形的最大 面积为 m2．
3．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系 的图象如图所示，那么水瓶的形状可能是（ ）
V
H
h
数学应用：
例2．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发 现每间客房每天的价格与住房率有如下关系：
1300
1350
1360
1330
要使每天收入最高，每间客房定价为
数学应用：
8．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控手段以达到节约用 水的目的．某市收水费方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．该市规定： (1)若每户每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每月的定 额损耗费a元；(2)若每户每月用水量超过立方米时，除了付基本费和损耗费外， 超过部分每立方米付n元的超额费；(3)每户每月的损耗费不超过5元． (I)求每户月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系； (II)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示，试分析 一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m，n，a的值．
数学应用：
5．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租 出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车就增加1辆．租出的车每 辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． (1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金为多少元时，公司的月收益最大?最大月收益是多少元?
C
D
AE
O
B
数学应用：
1．直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l：x＝t截此 梯形所得位于l左方图形的面积为S，则函数S＝f(t)的大致图象为 ( )
y
AB
S 3
1 12 A
S 3 2
t 12 B
S 3
1 t
12 C
O S
t l
x C
ห้องสมุดไป่ตู้
3
1
t
t
12 D
数学应用：
2．一个圆柱形容器的底部直径是dcm，高是hcm，现在以vcm3/s的速度 向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x(cm)与注入溶液的时间 t(s)之间的函数关系式，并写出函数的定义域．