人教版九年级数学上册 教案 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质1

22．1.2 二次函数y ＝ax 2的图象和性质
1．会用描点法画出y ＝ax 2
的图象，理解抛物线的概念．
2．掌握形如y ＝ax 2
的二次函数图象和性质，并会应用．
一、情境导入
自由落体公式h ＝12
gt 2
(g 为常量)，h 与
t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象是什么形状呢？ 二、合作探究 探究点一：二次函数y ＝ax 2
的图象 【类型一】图象的识别 已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2
的图象有可能是( ) 解析：本题进行分类讨论：(1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2
的图象开口向上，函数y ＝ax 图象经过一、三象限，故排除选项B ；(2)
当a ＜0时，函数y ＝ax 2
的图象开口向下，函数y ＝ax 图象经过二、四象限，故排除选项D ；又因为在同一直角坐标系中，函数y
＝ax 与y ＝ax 2
的图象必有除原点(0，0)以外的交点，故选择C.
方法总结：分a ＞0与a ＜0两种情况加
以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除
法”．
【类型二】实际问题中图象的识别
已知h 关于t 的函数关系式为h ＝12gt 2
(g 为正常数，t 为时间)，则函数图象为( )
解析：根据h 关于t 的函数关系式为h ＝12gt 2，其中g 为正常数，t 为时间，因此
函数h ＝12
gt 2
图象是受一定实际范围限制
的，图象应该在第一象限，是抛物线的一部
分，故选A.
方法总结：在识别二次函数图象时，应该注意考虑函数的实际意义．
探究点二：二次函数y ＝ax 2
的性质 【类型一】利用图象判断二次函数的增
减性
作出函数y ＝－x 2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：
(1)在y 轴左侧图象上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使x 2<x 1<0，试比较y 1与y 2
的大小； (2)在y 轴右侧图象上任取两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，使x 3＞x 4＞0，试比较y 3与
y 4的大小； (3)由(1)、(2)你能得出什么结论？
解析：根据画出的函数图象来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法．
解：(1)图象如图所示，由图象可知y 1
＞y 2，(2)由图象可知y 3<y 4；(3)在y 轴左侧，
y 随x 的增大而增大，在y 轴右侧，y 随x 的增大而减小．
方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误．
【类型二】二次函数的图象与性质的综合题
已知函数y ＝(m ＋3)xm 2
＋3m －2
是关于x 的二次函数．
(1)求m 的值；
(2)当m 为何值时，该函数图象的开口向下？
(3)当m 为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性．
解析：(1)由二次函数的定义可得
⎩
⎪⎨⎪⎧m 2
＋3m －2＝2，m ＋3≠0，故可求m 的值． (2)图象的开口向下，则m ＋3＜0；
(3)函数有最小值，则m ＋3＞0；
(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．
解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2
＋3m －2＝2，
m ＋3≠0，解
得⎩
⎪⎨⎪
⎧m 1＝－4，m 2＝1，m ≠－3.∴当m ＝－4或m ＝1
时，原函数为二次函数．
(2)∵图象开口向下，∴m ＋3＜0，∴m ＜－3，∴m ＝－4.∴当m ＝－4时，该函数图象的开口向下．
(3)∵函数有最小值，∴m ＋3＞0，m ＞－3，∴m ＝1，∴当m ＝1时，原函数有最小值．
(4)当m ＝－4时，此函数为y ＝－x 2
，开口向下，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．
当m ＝1时，此函数为y ＝4x 2
，开口向上，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．
方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a ＞0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a ＜0时，开口向
下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑
二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．
探究点三：确定二次函数y ＝ax 2
的表达式
【类型一】利用图象确定y ＝ax 2
的解析式
一个二次函数y ＝ax 2
(a ≠0)的图
象经过点A (2，－2)关于坐标轴的对称点B ，求其关系式．
解析：坐标轴包含x 轴和y 轴，故点A (2，－2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点．点A (2，－2)关于x 轴的对称点B 1(2，2)，点A (2，－2)关于y 轴的对称点B 2(－2，－2)．
解：∵点B 与点A (2，－2)关于坐标轴
对称，∴B 1(2，2)，B 2(－2，－2)．当y ＝ax
2
的图象经过点B 1(2，2)时，2＝a ×22
，∴a ＝12，∴y ＝12x 2；当y ＝ax 2的图象经过点B 1(－2，－2)时，－2＝a ×(－2)2
，∴a ＝－12
，∴
y ＝－1
2x 2.∴二次函数的关系式为y ＝12
x 2或y ＝－12
x 2.
方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案．
【类型二】二次函数y ＝ax 2
的图象与几何图形的综合应用
已知二次函数y ＝ax 2
(a ≠0)与直
线y ＝2x －3相交于点A (1，b )，求：
(1)a ，b 的值；
(2)函数y ＝ax 2
的图象的顶点M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点B 的坐标．
解析：直线与函数y ＝ax 2
的图象交点坐标可利用方程求解．
解：(1)∵点A (1，b )是直线与函数y ＝ax 2图象的交点，∴点A 的坐标满足二次函
数和直线的关系式，∴⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝a ×12
，
b ＝2×1－3，∴
⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1. (2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2
，顶点
M (即坐标原点)的坐标为(0，0)，由－x 2
＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与抛物线的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)．
【类型三】二次函数y ＝ax 2
的实际应用
如图所示，有一抛物线形状的桥
洞．桥洞离水面最大距离OM 为3m ，跨度AB ＝6m.
(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；
(2)一艘小船上平放着一些长3m ，宽2m 且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？
解析：可令O 为坐标原点，平行于AB 的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关
系式为y ＝ax 2
.由题意可得B 点的坐标为(3，－3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题．
解：(1)以O 点为坐标原点，平行于线段AB 的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为y ＝ax 2.由题意可得B 点坐标为(3，－3)，∴－3＝a ×32
，解得a ＝－13，∴抛物线的函数关
系式为y ＝－13
x 2
.
(2)当x ＝1时，y ＝－13×12＝－1
3.∵OM
＝3，∴木板最高可堆放3－13＝8
3
(米)．
方法总结：解决实际问题时，要善于把
实际问题转化为数学问题，即建立数学模型
解决实际问题的思想．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.。