江西师范大学附属中学2019届高三三模数学(文)试题

江西师大附中2019届高三年级三模数学（文）试卷命审题：高三备课组 2019.5一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．） 1.设集合2{|log (1)0}M x x =-<，集合{|2}N x x =≥-，则M N =（ ）A.{|22}x x -≤<B.{|2}x x ≥-C.{|2}x x <D.{|12}x x ≤<2.已知复数z 满足2i z i ⋅=+，则z 的共轭复数是（ ） A.12i --B.12i -+C.12i -D.1+2i3.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布扇形图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论一定正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生 A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数不超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前少D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多4.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =（ ） A.2B.7C.14D.285.已知双曲线2221y x b-=则该双曲线的离心率为（ ）B.2C.3D.46.执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是（ ） A.2B.4C.5D.67.若函数222,0()+,0x x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩为奇函数，则实数a 的值为（ ）A.2B.2-C.1D.1-8.已知0.22x = ，2lg 5y =，752()5z =，则下列结论正确的是（ ）A.x y z <<B.y z x <<C.z y x <<D.z x y <<9. “对任意正整数n ，不等式lg (1)lg (1)an a n a a <+>都成立”的一个必要不充分条件是（ ） A.0a >B.1a >C.2a >D.3a >10.如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）B.3πC.3π-11.已知函数33,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.[0,4)B.[0,2)C.(,4]-∞D.(,2]-∞12.数列{}n a 中的项按顺序可以排成右图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从左到右分别排23,a a ；第三行3项，……依此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足2019n S >的最小正整数n 的值为（ ） A.20B.21C.26D.27二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量||1a =，||2b =，|2|23a b +=，则a 在b 方向上的射影为__________.14.若,x y 满足约束条件24020320x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪--≥⎩，则z x y =-+的最小值为_______.15.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且2PF x ⊥轴，若直线1PF的斜率为3，则该椭圆的离心率为__________. 16.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为________.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan 1cos BC B=-.（Ⅰ）求证：ABC ∆为等腰三角形；（Ⅱ）若ABC ∆是钝角三角形，且面积为24a ，求2b ac的值.18．（本小题满分12分）如图，在多面体EFABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，EB ⊥平面ABCD ，//BE DF ，244CD BC AB ===，24BE DF ==. （Ⅰ）求证：AC EF ⊥； （Ⅱ）求三棱锥A -CDF 的体积．19．（本小题满分12分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元（假设这100名农民工的月工资均在[25,55]（百元）内）且月工资收入在[45,50)（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求,m n 的值;（Ⅱ）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++．20．（本小题满分12分）2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，A ,B 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，点P 在椭圆C 上且不与四个顶点重合. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线PA 与y 轴交于N ，直线PB 与x 轴交于M ，试探究||||AM BN ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数2(ln )()x e a x x x f x x--=．（1）当a e =时，试求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 在)1,0(内有极值，试求a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩(0r >，ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点)6P π，曲线2C 的极坐标方程为2(2cos 2)6ρθ+=．（1）求曲线1C 的极坐标方程； （2）若1(,)6A πρα-，2(,)3B πρα+是曲线2C 上两点，求2211||||OA OB +的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1||2|f x x x m m =-+-∈R ,． （1）当3m =时，解不等式()2f x ≤；（2）若存在0x 满足001(3|)|x f x +-<，求实数m 的取值范围．江西师大附中2019届高三年级三模数学（文）答案1.B2.D3.A4. C5. B6D7. B8. B9. A10C11B 12. B13. 1214. 6-15.316..317．（1）因为A B C π++=，所以tan()tan A B C +=-. …………1分 由sin tan()cos 1B A B B +=-，可得sin sin =tan cos 1cos B CC B C-=--， …………2分 所以sin (cos 1)sin cos C B B C --=，变形得sin sin cos cos sin C B C B C =+， 所以sin sin()C B C =+. ……………………………………………………4分 在ABC ∆中，sin()sin B C A +=，所以sin sin C A =，由正弦定理得a c =，从而ABC ∆为等腰三角形.………………………………6分（2）由题意得2211sin sin 224a S ac B a B ===，得1sin 2B =.………………8分因为ABC ∆是钝角三角形且a c =，因此B 为钝角，56B π=，cos B =…………………………………………………………10分所以2222222cos 2(2b a c ac B a a =+-==+，则2222b b ac a== …………………………………………………………12分18．（1）因为EB ⊥平面ABCD ，所以EB AC ⊥， …………………1分 因为AB BC ⊥，AB CD ∥，所以90ABC BCD ∠=∠=， 又因为244CD BC AB ===， 所以12AB BC BC CD ==，因此有ABC BCD ∆∆，则CAB DBC ∠=∠，因为90ABD DBC ∠+∠=，所以90ABD CAB ∠+∠=，所以AC BD ⊥. ………………………………………………………………4分 又有EB BD B =∩，所以AC ⊥平面DBEF ，………………………………5分又因为EF ⊂平面DBEF ，所以AC EF ⊥.………………………………6分 （2）1833A CDF F ADC ADC V V S DF --∆==⨯⨯= ………………………………12分19．（1）因为月工资收入在[45,50)（百元）内的人数为15人，所以月工资收入在[45,50)（百元）内的频率为0.15，…………………………1分由频率分布直方图得(0.02240.01)50.151m n +++⨯+=，化简得20.07m n +=………………………………………………………3分 由中位数为39百元可得0.025252(3935)0.5m n ⨯+⨯+⨯-=， 化简得540.2m n +=………………………………………………………5分 解得0.02m =，0.025n =. …………………………………………6分 （2）根据题意得到列联表：9分计算得22100(19193131) 5.7610.82850505050K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，………………………11分所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关. ………………………………………………………12分20．（1）依题意得c a =222a b c =+，……………………1分 又点2在椭圆上，222112a b+=，………………………………2分 解得22a =，21b =. …………………………………………………4分故椭圆的标准方程为2214x y +=. ……………………………………5分 （2）||||AM BN ⋅是定值.…………………………………………6分 由于点P 不与四个顶点重合，所以直线PA 、PB 的斜率存在且不为0， 设00(,)P x y ，(2,0)A ，(0,1)B ， 则直线PA 的方程为00(2)2y y x x =--，N 点坐标为002(0,)2y x --，…………7分 直线PB 的方程为0011y y x x -=+，M 点坐标为00(,0)1x y --.…………………8分 因此00002|||||2||1|12x y AM BN y x ⋅=++-- 22200000000000000(22)44448(2)(1)21x y x y x y x y x y x y x y +-+++--==----+…………………………10分 又因为点P 在椭圆上，所以220044x y +=，则000000004488||||422x y x y AM BN x y x y --+⋅==--+，所以||||AM BN ⋅是定值. ……………………………………………………12分21．（1）当a e =时，2(ln )()x e e x x x f x x--=，2()(1)()x e ex x f x x --'= ……………………………………………………2分对任意的(0,)x ∈+∞，0xe ex -≥恒成立，………………………………3分 所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()f x 的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1).………………5分 （2）若()f x 在(0,1)内有极值，则()f x '在(0,1)内有零点，由2()(1)()0x e ax x f x x --'==，得0xe ax -=，x e a x =，……………………6分 设()x e g x x =，(0,1)x ∈，则(1)()0x e x g x x-'=<恒成立， 所以()g x 单调递减，所以()g x 在(0,1)上的值域为(,)e +∞. ………………8分当a e >时，()0f x '=有解，设()xh x e ax =-，当(0,1)x ∈时，()0xh x e a '=-<，因此()h x 在(0,1)上单调递减，又因为(0)10h =>，(1)0h e a =-<， 所以()h x 在(0,1)上有唯一解0x ，当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，当0(,1)x x ∈时，()0f x '>，因此当a e >时，()f x 在(0,1)内有唯一极值，…………………………10分 当a e ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，不存在极值，综上所述，(,)a e ∈+∞.……………………………………………………12分22．（1）将1C 的参数方程化为普通方程222(2)x y r -+=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得1C 的极坐标方程为224cos 40r ρρθ-+-=，…………………………3分将点)6P π代入1C 中，得到2121240r -+-=，则24r =因此1C 的极坐标方程为4cos ρθ=. ……………………………………5分 （2）将点1(,)6A πρα-，2(,)3B πρα+代入曲线2C 中， 得到21[2cos(2)]63πρα+-=，222[2cos(2)]63πρα++=化简得22[2cos(2)]63πρα--=.……………………7分所以2222122cos(2)2cos(2)1111233||||63OA OB ππααρρ+-+--+=+==.……10分 23．（1）当3m =时， ()2f x ≤， 当1x <时，令1322x x -+-≤，解得213x ≤<； 当312x ≤≤时，令1322x x -+-≤，解得312x ≤≤； 当32x ≥时，令1232x x -+-≤，解得322x ≤≤…………………………4分 所以()2f x ≤的解集为2{|2}3x x ≤≤. ……………………………………5分 （2）若存在0x 满足00|1|3()x f x -<-等价于|22||2|3x x m -+-<有解，…………………………………………6分 因为|22||2||222||2|x x m x x m m -+-≥--+=-， ……………………8分 所以令|2|3m -<即可，解得15m -<<.所以实数m 的取值范围是(1,5)-.………………………………………10分。