安徽省六安市霍邱中学高一数学下学期期中试卷(含解析)
2022-2023学年安徽省六安市高一下学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省六安市高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．设复数z 满足，则（ ）()i 1i z =-z z ⋅=A ．B ．1C ．2D ．412【答案】C【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的概念即可求解.【详解】因为复数z 满足，则，()i 1i z =-1i z =+由共轭复数的概念可知，，1i z =-所以，112z z ⋅=+=故选：C.2．下列说法错误的是（ ）A ．若ABCD 为平行四边形，则B ．若，，则AB DC=a b ∥ b c ∥ a c∥ C ．互为相反向量的两个向量模相等D ．0NQ QP MN MP ++-= 【答案】B【分析】根据向量的相关概念和线性运算逐项分析判断.【详解】对于A ：若ABCD 为平行四边形，则，故A 正确；AB DC = 对于B ：若，则与任何向量均平行，0b = 0可得，，但不一定平行，故B 错误；a b ∥ b c ∥a c , 对于C ：相反向量：模长相等，方向相反的向量互为相反向量，所以互为相反向量的两个向量模相等，故C 正确；对于D ：因为，故D 正确；0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=故选：B.3．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）sin 22y x x =2sin y x =A ．先向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变6π12B ．先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变6πC ．先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变3πD ．先向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变3π12【答案】D【分析】先逆用两角和差的正弦公式化为一角一函的形式，然后根据平移伸缩变换法则作出判定.【详解】函数，所以将函数的图象向右平移个单位，sin 222sin 23y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭2sin y x =3π得到的图象，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭12的图象，2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭故选:D ．4．已知在平行四边形中，若，，则（ ）ABCD AC a = BD b = AB =A ．B ．C ．D ．()12b a -12a b+()12a b -()12a b +【答案】C【分析】由平面向量的线性运算法则求解．【详解】四边形是平行四边形，ABCD 则，，AC AB AD =+ BD AD AB =-两式相减除以2得，11()()22AB AC BD a b =-=-故选：C ．5．若在中，，则三角形的形状一定是（ ）ABC 2cos a B c ⋅=A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形【答案】B【分析】根据题意，由正弦定理的边角互化，即可得到结果.【详解】因为在中，，ABC 2cos a B c ⋅=由正弦定理可得，，()2sin cos sin sin A B C A B ==+所以，2sin cos sin cos cos sin A B A B A B =+即，所以，即.()sin 0A B -=0A B -=A B =所以为等腰三角形.ABC故选:B 6．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）()2,1a =-()21,1b t =-A ．当时，a b ⊥t =B ．当与方向相同时，a bt =C ．与角为钝角时，则t 的取值范围为a b(D ．当时，在上的投影向量为2t =a b 13,1010⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据平面向量数量积、平行、垂直及投影向量的坐标表示依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，当，有，解得A 错误；a b ⊥ 2210a b t ⋅=-+-= t =对选项B ，当时，，解得//a b 22210t -+-=t =当，，即，与方向相反，故B 错误.t =()2,1a =- 11,2b ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2a b =- a b 对选项C ，当与方向相反，t=a b当，解得，2210a b t ⋅=-+-<t <<所以与角为钝角，则C 错误；a b t <<t ≠对选项D ，有时，，2t =()1,3b =所以在上的投影向量为，a b13,1010a b b bb⋅⎛⎫⋅=== ⎪⎝⎭故D 正确.故选：D.7．己知函数上有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ）()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ωA ．B ．C ．D ．1014,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭1014,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦144,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦144,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】利用函数的零点个数，转化为方程的根的个数，利用三角函数的有界性，转化求解即可．【详解】因为()π2sin 3ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x 由，故可得，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦ππππ,3323x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦令，可得()0f x =πsin 3ω⎛⎫+=⎪⎝⎭x 则或或或，，ππ33ω+=x 2π37π38π3因为上有且仅有三个解，πsin 3ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，解得．∴7πππ8π3233ω≤+<144,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：D.8．已知是边长为的等边三角形，P 为所在平面内一点，则的ABC ()20a a >ABC ()PA PB PC⋅+值不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2a-232a -243a -22a-【答案】D【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量的线性运算的坐标表示及向量的数量积的坐标表示即可求解.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系.设，又，，，则(),P x y ()A (),0B a -(),0C a，，.()PA x y =-- (),PB a x y =--- (),PC a x y =-- 所以，即()(),,a x y a P PC x y B -+--+-=- ()2,2PB x y PC --+=所以，()()()2,2x PA PB P y x y C =--⋅--⋅+所以()PA PB PC ⋅+2222x y =+-即.()PA PB PC ⋅+ 2223222x y a ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭所以()PA PB PC ⋅+ 232a≥-故选：D.二、多选题9．已知复数满足，，x ，，，所对应的向量分别为，，其1z 11i i z +=2=+z x yi y ∈R 1z 2z 1OZ 2OZ中O 为坐标原点，则（ ）A ．的共辄复数为B ．当时，为纯虚数1z 1i-0x =2z C ．若，则D ．若，则12OZ OZ ∥0x y +=12OZ OZ ⊥ 1212z z z z +=-【答案】CD【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而根据共轭复数以及虚部的定义可判断A ，B,11iz =-根据复数的几何意义以及向量的垂直平行坐标满足的关系，即可判断C ，结合复数模长公式即可判断D.【详解】A 选项：由于，所以的共轭复数为，故选项A 错误，11i1i i z +==-1z 1i +,B 选项：当当时，，若，则为为实数，故选项B 错误；0x =2i z y =0y =2z C 选项：易知，，又，则，即，故选项C 正确;()11,1OZ =-()2,OZ x y =12//OZ OZ 11x y =-0x y +=D 选项：由于，则，12OZ OZ ⊥ 0x y -=，()()()()()2222222121i i 111121z z x y x y x x x +=-++=++-=++-=+，()()()()()2222222121i i 111121z z x y x y x x x -=---=-++=-++=+故，选项D 正确．1212z z z z +=-故选：CD.10．在中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列结论正确的是（ ）ABC A ．若，则是锐角三角形0AC AB ⋅>ABC B ．若，则是钝角三角形::2:3:4a b c =ABC C ．若，则sin sin A B >A B>D ．若，，，则此三角形有两解60C =︒10b =9c =【答案】BCD【分析】根据平面向量数量积的定义即可判断A ；根据余弦定理计算即可判断B ；根据正弦定理即可判断CD.【详解】A ：由，得，cos 0AB AC AB AC A ⋅=>cos 0A >又，所以角A 为锐角，但不一定为锐角三角形，故A 错误；0180A ︒<<ABC B ：设，由余弦定理，2,3,4a k b k c k ===得，2222222249161cos 02124a b c k k k C k ab k +-+-===-<又，所以角C 为钝角，则为钝角三角形，故B 正确；0180C ︒<<ABC C ：因为，，由正弦定理，0180A B ︒<+<sin sin A B >得(R 为外接圆半径)，所以，所以，故C 正确；22a b R R >ABC a b >A B >D ：由正弦定理，得，即，sin sin b cB C =910sin sin 60B ︒=得，此时三角形有两解，故D 正确.sin 1B =<故选：BCD.11．已知函数，（）的部分图象如图所示，将函数的图象()sin()f x A x ωϕ=+0,0,||πA ωϕ>><()f x 上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函23π6数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）()g x ()g xA ．的最小正周期为()g x 2π3B ．在区间上单调递增()g x ππ,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．的图象关于直线对称()g x 4π9x =D ．的图象关于点成中心对称()g x π,09⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】先根据图象确定出表达式，根据图象的变换写出表达式，然后根据三角函数的性()f x ()g x 质判断每个选项．【详解】解：根据函数的图象：，解得，根据图象的最低点可得：1π5πππ()212122T ω==--=2ω=，2A =当时，，由于，所以.则，5π12x =5π5π()2sin()1126f ϕ=+=-||πϕ<23ϕπ=2π()2sin(2)3f x x =+函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到；()f x 232π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭纵坐标不变，再将所得函数图像向右平移个单位长度，得到π6.()π2ππ2sin 32sin 3636g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于A ：函数的最小正周期为，故A 正确；2π3T =对于B ，由于，所以，根据正弦函数的单调性可知，函数在区间ππ,93x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ7π3,626x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦()g x 上单调递减，故B 错误；ππ,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦对于C ：令（），解得（），即为的对称轴，当，ππ3π62x k +=+k ∈Z ππ39k x =+k ∈Z ()g x 1k =，故C 选项正确；4π9x =对于D ：令（），解得（），即为的对称中心为（π3π6x k +=k ∈Z ππ318k x =-k ∈Z ()g x ππ,0318k ⎛⎫- ⎪⎝⎭），令，解得，故不是其对称中心，D 选项错误.k ∈Z πππ3189k x =-=12=∉Z k π,09⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：AC12．（多选）在中，分别是角的对边，为钝角，且，则下列结ABC ,,a b c ,,A B C C 2cos c b b A -=论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2()a b b c =+2A B=10cos 2A <<10sin 2B <<【答案】ABD【解析】利用余弦定理将代入中,化简整理即可判断选项A ；利用222cos 2b c a A bc +-=2cos c b b A -=正弦定理化边为角得,则,化简整理即可判断sin sin 2sin cos C B B A -=sin()sin 2sin cos A B B B A +-=选项B ；利用B 选项且可得的范围,进而判断选项C,D2A B =90C ︒>,A B 【详解】因为,2cos c b b A -=所以由余弦定理得,22222b c a c b b bc +--=⋅因此,222()c c b b c a -=+-整理得,2()a b b c =+故A 选项正确；因为,2cos c b b A -=所以由正弦定理得,sin sin 2sin cos C B B A -=即,sin()sin 2sin cos A B B B A +-=所以,sin cos sin cos 2sin cos sin A B B A B A B +-=所以,sin cos sin cos sin A B B A B -=所以,sin()sin A B B -=由于是钝角,C 所以,A B B -=即,2A B =故B 选项正确；由于,且,2A B =90C ︒>所以,090A B ︒<+<︒所以,,030B ︒︒<<060A ︒︒<<因此,,10sin 2B <<1cos 2A >故C 选项错误,D 选项正确故选:ABD【点睛】本题考查余弦定理的应用,考查利用正弦定理化边为角,考查三角形中角的范围的应用三、填空题13．设，是两个不共线的向量，且与共线，则实数______．1e 2e 12a e e λ=+ 1213b e e =-- λ=【答案】3【分析】由共线向量定理列方程组可求解.【详解】因为与共线，12a e e λ=+1213b e e =-- 所以存在实数，使得，即，μa b μ= 121213e e e e λμμ+=-- 又因为，是两个不共线的向量,所以有，1e 2e113μλμ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩解得，所以实数的值为3.33μλ=-⎧⎨=⎩λ故答案为：3.14．已知向量的夹角为，，，则=_______．,a b →→60||2a →=()()cos ,sin R b ααα=∈|2|a b →→+【答案】【分析】根据题意和平面向量的数量积的定义可得，求出的值，展开代入可得.a b ⋅2|2|a b + 【详解】由题意知，，||2,||1,||||cos 601a b a b a b ===⋅== ，222244||12a b a a b b ∴+=+⋅+=2a b ∴+=故答案为：15．已知，则__________π2sin 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πcos 23α⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】19-【分析】利用诱导公式及倍角公式变形计算即可.πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】21ππ2πcos 2cos 2πcos 223πsin 333αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-⎝⎛⎫--= ⎪ ⎪ ⎝- ⎭⎝⎝⎭⎪⎭⎪⎭.2212139⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭故答案为：.19-16．在中，内角，，的对边分别为，，，边的中点为，线段的中点为ABC A B C a b c BC D AD ，且，则____________.E 2AE BC a ⋅= tan tan B C =【答案】53-【分析】由向量的代数运算和数量积公式，可得，再利用同角三角函数的关系及正余2224b c a -=弦定理角化边，由计算即可.222222tan tan B a b c C a c b +-=+-【详解】边的中点为，线段的中点为，∴，又，BC D AD E ()1124AE AD AB AC==+BC AC AB =-∴，即，()()()()22222111444AE BC AB AC AC AB AC AB b c a ⋅=+⋅-=-=-= 2224b c a -=由同角三角函数的关系及正余弦定理，有：.2222222222222222sin tan sin cos 45cos 2sin tan sin cos 43cos 2B a b c B B C b a b c a a B ab C a c b C C B c a c b a a C ac +-+-+==⋅=⋅===-+-+--故答案为：53-四、解答题17．已知平面向量，，，且，.()3,4a =()9,b x =()4,c y =//a b a c ⊥ （1）求和：b c（2）若，，求向量与向量的夹角的大小.2m a b =- n a c =+m n 【答案】（1），；（2）.()9,12b =()4,3c =-34π【解析】（1）本题首先可根据、得出，然后通过计算即可得出结果；//a b a c ⊥ 3493440x y =⨯⎧⎨⨯+=⎩（2）本题首先可根据题意得出以及，然后求出、以及的值，最后根()3,4m=--()7,1n =m n ⋅ m n据向量的数量积公式即可得出结果.【详解】（1）因为，，，且，，()3,4a = ()9,b x = ()4,c y = //a b a c ⊥ 所以，解得，3493440x y =⨯⎧⎨⨯+=⎩123x y =⎧⎨=-⎩故，.()9,12b = ()4,3c =- （2）因为，，所以，()3,4a = ()9,12b = ()23,4m a b =-=--因为，，所以，()3,4a = ()4,3c =- ()7,1n a c =+=374125m n ⋅=-⨯-⨯=-5==设与的夹角为，m n θ则，cos m n m n θ⋅===⋅因为，所以，向量与向量的夹角为.0θπ≤≤34πθ=m n 34π【点睛】本题考查向量平行、向量垂直以及向量的数量积的相关性质，若、且()11,a x y = ()22,b x y = ，则，考查通过向量的数量积公式求向量的夹角，考查计算能力，是中档题.//a b 1221x y x y =18．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若．ABC2sin cos sin b A B a B =+(1)求角B 的大小．(2)若，求的面积．b =5ac +=ABC 【答案】(1)π3B =【分析】（1）由正弦定理和同角三角函数之间的基本关系，化简已知等式，求得，可求角B tan B 的大小；（2）由已知条件利用余弦定理求得，根据三角形面积公式求△ABC的面积.ac 【详解】（1）在中，由正弦定理 ，可得，ABC sin sin a b A B =sin sin b A a B =又由，得,2sin cossin b A B a B =+2si n si n si n cos si n si n B A A B A B =+因为，所以,则，所以，(0,)A π∈sin 0A ≠2sin sin B B B =+sin B B =可得 又因为，所以.tan B =(0,π)B ∈π3B =（2）因为，，b =5a c +=π3B =由余弦定理：，()22222cos 22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--有，解得，13252ac ac =--4ac =∴11sin 422ABC S ac B ==⨯=19．已知函数，若函数图像相邻两条对称轴间的距离是．()222cos f x x x ωω=+()f x π2(1)求及单调递减区间．ω()f x (2)若方程在上有解，求实数m 的取值范围．()f x m =ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】(1)；单调递减区间1ω=π2π[π,π](Z)63k k k ++∈(2)(1m ∈【分析】（1）利用三角恒等变换得到，然后利用题意得到周期，代入()2sin(216f x x πω=++πT =周期的计算公式可得，然后代入正弦函数即可求解；ω（2）结合（1）的结论，求出函数在上的值域即可求解.()f x ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】（1）因为函数，()2π22cos 2cos 212sin(2)16f x x x x x x ωωωωω=+=++=++又因为函数图像相邻两条对称轴间的距离是，所以函数的周期为，()f x π2()f x πT =所以，则，所以函数，2ππ2ω=1ω=π()2sin(216f x x =++令，解得，ππ3π2π22π,Z 262k x k k +≤+≤+∈π2πππ,Z 63k x k k +≤≤+∈所以函数单调递减区间为.()f x π2π[π,π](Z)63k k k ++∈（2）由（1）可知：函数，π()2sin(2)16f x x =++因为，所以，则，ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ππ2π2(,)633x +∈-π2sin(2)(2]6x +∈所以，所以要使方程在上有解，则.()(1f x ∈()f x m =ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭(1m ∈20．如图，在中，，点E 为AC 中点，点F 为BC 上的三等分点，且靠近点C ，ABC 25AD AB = 设，．CA a = CB b =(1)用，表示，．a b CD EF (2)若，且，求BC 的长．2AC =CD EF ⊥(3)若EF 与CD 交于点G ，求的值．CGGD 【答案】(1)1132b a - (2)3(3)57【分析】（1）结合图形，结合向量加，减，和数乘，即可用基底表示向量；(2)根据（1）的结果，利用，即可求解.0CD EF ⋅= (3)设，得到，根据三点共线，即可求解.CG CD λ= 6655F C E C G C λλ=+ ,,E G F 【详解】（1）因为，25AD AB = ()223232555555CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB a b =+=+=+-=+=+ ；11113232EF CF CE CB CA b a =-=-=- （2）因为，所以，CD EF ⊥231105532CD EF b a b a ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，由，可得，222301510b a -= 2a = 3b = 所以的长为．BC 3（3）因为，所以,整理得：，25AD AB = ()25CD CA CA CB -=- 5532A C B C D C =+设,CG CD λ= 所以,26655553C A G C CB CE CF λλλ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 又因为三点共线，所以，解得: .,,E G F 66155λλ+=512λ=所以.57CG GD =21．在中，a ，b ，c 分别是的内角A ，B ，C 所对的边，ABC ABC 且．sin sin sin sin b a c A C B C -=+-(1)求角A 的大小；(2)记的面积为S ，若，求的最小值．ABC 12BM MC =2AM S 【答案】(1)π3A =【分析】（1）根据题意，由正弦定理先将边角化统一，然后由余弦定理即可得到结果；（2）根据题意可得，，然后得到，再由三角形的面积公式可得，最后结1233AM AC AB =+ 2AM S 合基本不等式即可得到结果.【详解】（1）因为，即sin sin sin sin b a c A C B C -=+-sin sin sin sin B C a c A Cb --=+由正弦定理可得，，化简可得，b c a c a c b --=+222a b c bc =+-且由余弦定理可得，，所以，2222cos a b c bc A =+-1cos 2A =且，所以.()0,πA ∈π3A =（2）因为，则可得，12BM MC = 1233AM AC AB =+ 所以222212144cos 33999AM AC AB AC AC AB A AB ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 22142999b c bc =++且，1sin 2S bc A ==即，2AM S =≥= 当且仅当，即时，等号成立.1233b c =2b c =所以2min AM S ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 22．某公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，ABCD 2AB =1BC =AD CD =，草坪内需要规划4条人行道，，，以及两条排水沟，，其中AD CD ⊥DM DN EM EN AC BD ，，分别为边，，的中点．M NE BC AB AC （1）若，求排水沟的长；90ABC ∠=︒BD （2）当变化时，求4条人行道总长度的最大值．ABC ∠【答案】（1（百米）；（2）．3+【分析】（1）结合已知图形中角的关系，在和中，分别利用余弦定理表示可求；BCD △BAD BD （2）先设，，，然后由余弦定理可表示，再在中，由正ABC α∠=BAC β∠=ACB γ∠=AC ABC 弦定理：，可得，然后结合三角关系及余弦定理表示出四条道路的长度关sin sin AC BC αβ=sin sin AC αβ=系式，结合函数的单调性可求最大值．【详解】解：（1）因为，，，2ABC π∠=2AB =1BC =所以AC =CD =因为，2ABC ADC π∠∠==所以：，BAD BCD π∠+∠=可得：，cos cos BAD BCD ∠∠=-在中：，BCD △2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠在中：，BAD 222222cos 2cos BD AB AD AB AD BAD AB AD AB AD BCD =+-⋅⋅∠=++⋅⋅∠解得：，即排水沟BD =BD （2）设，，，ABC α∠=BAC β∠=ACB γ∠=由余弦定理得：．254cos AC α=-在中，由正弦定理：，得，ABC sin sin AC BC αβ=sin sin AC αβ=连接，在中，，，DE MDE 2MED π∠β=+cos cos()sin 2MED πββ∠=+=-由余弦定理：，222292cos 1sin sin cos 44AC DM ME DE ME DE MED AC βαα=+-⋅⋅∠=++⋅=+-同理：，23sin cos 2DN αα=+-设，，则，sin cos 4t πααα=--(0,)απ∈t ∈所以，32DN DM EN EM +++=该函数单调递增，所以最大值为，t =DN DM EN EM +++3(22所以4条走道总长度的最大值为百米．3(22+。
2015-2016学年安徽省六安市霍邱中学高一(下)期中数学试卷(解析版)
2015-2016学年安徽省六安市霍邱中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要想安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为（）A．h＜4.5 B．h＞4.5 C．h≤4.5 D．h≥4.52．数列0，，，，…的一个通项公式为（）A．a n=（n∈N）B．a n=（n∈N）C．a n=（n∈N）D．a n=（n∈N）3．在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．64．已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．845．下列命题正确的是（）A．若x≥10，则x＞10 B．若x2≥25，则x≥5C．若x＞y，则x2≥y2 D．若x2≥y2，则|x|≥|y|6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=2B，则为（）A．2sinC B．2cosB C．2sinB D．2cosC7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．98．若0＜a＜b且a+b=1，则下列四个数中最大的是（）A．B．b C．2ab D．a2+b29．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．6410．对于任意实数x，不等式ax2+2ax﹣（a+2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．﹣1＜a≤0 D．﹣1＜a＜011．在△ABC中，若，则A=（）A．90° B．60° C．120°D．150°12．已知{a n}为等差数列，a n为定值．则下列各项一定为定值的是（）A．S n B．S n+1C．S2n+1D．S2n﹣1二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC= ．14．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N）．若b3=﹣2，b10=12，则a8= ．15．不等式（x﹣1）2（x+2）（x﹣3）≤0的解集是．16．在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，则= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知关于x的不等式mx2+2x+6m＞0，在下列条件下分别求m的值或取值范围：（1）不等式的解集为{x|2＜x＜3}；（2）不等式的解集为R．18．（1）已知正数x，y满足x+2y=1，求的最小值（2）已知x＞1，求：y=x+最小值，并求相应的x值．19．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．20．等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．21．如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．22．设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1．数列{b n}满足b1=2，b n+1﹣2b n=8a n．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）证明：数列{}为等差数列，并求{b n}的通项公式．（3）求{b n}的前n项和T n．2015-2016学年安徽省六安市霍邱中学高一（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要想安全通过隧道，应使车载货物高度h 满足关系为（ ）A ．h ＜4.5B ．h ＞4.5C ．h ≤4.5D ．h ≥4.5 【考点】不等关系与不等式．【分析】理解“限高”的含义是“≤”即可得出． 【解答】解：“限高4.5米”的意义为“h≤4.5”， 故选：C ．2．数列0，，，，…的一个通项公式为（ ）A ．a n = （n ∈N ）B ．a n =（n ∈N ）C ．a n =（n ∈N ） D ．a n =（n ∈N ）【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式．【解答】解：观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式a n =（n ∈Z ）．故选：D ．3．在等差数列{a n }中，若a 2=4，a 4=2，则a 6=（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．6 【考点】等差数列的性质．【分析】直接利用等差中项求解即可．【解答】解：在等差数列{a n }中，若a 2=4，a 4=2，则a 4=（a 2+a 6）==2，解得a 6=0． 故选：B ．4．已知等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 3+a 5+a 7=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知，a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，利用等比数列的通项公式可求q ，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B5．下列命题正确的是（）A．若x≥10，则x＞10 B．若x2≥25，则x≥5C．若x＞y，则x2≥y2 D．若x2≥y2，则|x|≥|y|【考点】不等关系与不等式；命题的真假判断与应用．【分析】A．举出反例x=10，可判断A的真假；B．根据不等式的关系进行判断当x≤﹣5时，结论不成立．C．举出反例，当x=1，y=﹣1时，根据不等式的关系进行判断．D．根据绝对值和平方的性质，进行判断即可．【解答】解：A．当x=10时，满足x≥10，但x＞10不成立，故A错误，B．由x2≥25得x≥5或x≤﹣5，则x≥5不一定成立，故B错误，C．当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2≥y2不成立，故C错误，D．若x2≥y2，则|x|2≥|y|2成立，则|x|≥|y|成立，故D正确故选：D6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=2B，则为（）A．2sinC B．2cosB C．2sinB D．2cosC【考点】正弦定理．【分析】通过C=2B，两边取正弦，利用正弦定理以及二倍角公式，即可求出结果．【解答】解：在△ABC中，∵C=2B，∴sinC=sin2B=2sinBcosB，即c=2bcosB，则=2cosB．故选：B．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等差数列的前n项和．【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选A．8．若0＜a＜b且a+b=1，则下列四个数中最大的是（）A．B．b C．2ab D．a2+b2【考点】基本不等式；不等关系与不等式．【分析】不妨令a=0.4，b=0.6，计算各个选项中的数值，从而得出结论．【解答】解：若0＜a＜b且a+b=1，不妨令a=0.4，b=0.6，则a2+b2=0.16+0.36=0.52，2ab=2×0.4×0.6=0.48，故b最大，故选B．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．64【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122=3（S6﹣15），解得S6=63故选：C10．对于任意实数x，不等式ax2+2ax﹣（a+2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．﹣1＜a≤0 D．﹣1＜a＜0【考点】一元二次不等式的解法．【分析】讨论a是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求．【解答】解：1°a＜0时，△=4a2+4a（a+2）=8a2+8a＜0，∴8a（a+1）＜0，∴﹣1＜a＜0 2°a=0时，﹣2＜0成立综上，实数a的取值范围是﹣1＜a≤0故选C．11．在△ABC中，若，则A=（）A．90° B．60° C．120°D．150°【考点】对数的运算性质．【分析】由对数的运算性质得到三角形三边的关系，结合余弦定理求解角A的值．【解答】解：由，得（a+c）（a﹣c）=b（b+c），即a2﹣c2=b2+bc，b2+c2﹣a2=﹣bc，根据余弦定理得：cosA=．又0°＜A＜180°，∴A=120°．故选：C．12．已知{a n}为等差数列，a n为定值．则下列各项一定为定值的是（）A．S n B．S n+1C．S2n+1D．S2n﹣1【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知得2a n=a1+a2n﹣1是定值，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n}为等差数列，a n为定值，∴2a n=a1+a2n﹣1是定值，∴是定值．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC= 1 ．【考点】正弦定理．【分析】先根据A+C=2B及A+B+C=180°求出B的值，再由正弦定理求得sinA的值，再由边的关系可确定A的值，从而可得到C的值确定最后答案．【解答】解：由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°，由正弦定理知，，即；由a＜b知，A＜B=60°，则A=30°，C=180°﹣A﹣B=90°，于是sinC=sin90°=1．故答案为：1．14．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N）．若b3=﹣2，b10=12，则a8= 3 ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】先利用等差数列的通项公式分别表示出b3和b10，联立方程求得b1和d的值，进而利用叠加法求得b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，最后利用等差数列的求和公式求得所求．【解答】解：依题意可知解得b1=﹣6，d=2∵b n=a n+1﹣a n，∴b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，∴a8=b1+b2+…+b7+3=+3=3故答案为：315．不等式（x﹣1）2（x+2）（x﹣3）≤0的解集是[﹣2，3] ．【考点】其他不等式的解法．【分析】（x﹣1）2（x+2）（x﹣3）≤0⇔（x+2）（x﹣3）≤0．故不等式（x+2）（x﹣3）≤0的解为原不等式的解．【解答】解：∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2（x+2）（x﹣3）≤0⇔（x+2）（x﹣3）≤0．∴﹣2≤x≤3．故答案为：[﹣2，3]．16．在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，则= ．【考点】正弦定理．【分析】利用三角形面积公式求得c值，利用余弦定理求出a值，可得的值．【解答】解：由题意可得==×c，c=4．再由余弦定理可得a2=1+16﹣8×=13，∴a=，∴==，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知关于x的不等式mx2+2x+6m＞0，在下列条件下分别求m的值或取值范围：（1）不等式的解集为{x|2＜x＜3}；（2）不等式的解集为R．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）根据不等式与它对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出m的值；（2）根据一元二次不等式恒成立的条件，列出不等式组，求出解集即可．【解答】解：（1）∵关于x的不等式mx2+2x+6m＞0，∴当不等式的解集为{x|2＜x＜3}时，方程mx2+2x+6m=0的两个实数根为2和3，由根与系数的关系，得2+3=﹣，解得m=﹣；（2）当不等式的解集为R时，，即，解得，即m＞．18．（1）已知正数x，y满足x+2y=1，求的最小值（2）已知x＞1，求：y=x+最小值，并求相应的x值．【考点】基本不等式．【分析】（1）由正数x，y满足x+2y=1，可得： =（x+2y）=3++，利用基本不等式的性质即可得出．（2）由x＞1，变形为y=x+=（x﹣1）++1，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵正数x，y满足x+2y=1，∴=（x+2y）=3++≥3+2=3+2，当且仅当x=y=﹣1时取等号．∴的最小值是3+2．（2）∵x＞1，∴y=x+=（x﹣1）++1≥2+1=5，当且仅当x=3时取等号．∴x=3时，y=x+取得最小值5．19．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．20．等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】（1）利用等比数列通项公式能求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式a n．（2）由等比数列通项公式求出等差数列{b n}的第4项和第16项，再由等差数列通项公式求出首项与公差，由此能求出数列{b n}的通项公式及前n项和S n．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16，∴2q3=16，解得q=2，∴．（2）∵a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，∴，，∴，解得b1=2，d=2，∴b n=2+（n﹣1）×2=2n．S n==n2+n．21．如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．【考点】解三角形的实际应用．【分析】设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，根据各自的速度表示出BC与AC，由∠ABC=120°，利用余弦定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．【解答】解：设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，则BC=10t，AC=14t，在△ABC中，∠ABC=120°，根据余弦定理知：（14t）2=（10t）2+122﹣2•12•10tcos 120°，∴t=2或t=﹣（舍去），故我艇追上走私船所需要的时间为2小时．22．设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1．数列{b n}满足b1=2，b n+1﹣2b n=8a n．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）证明：数列{}为等差数列，并求{b n}的通项公式．（3）求{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）运用当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，计算即可得到所求通项公式；（2）对b n+1﹣2b n=2n+2，两边同除以2n+1，由等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（3）运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2﹣1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1；上式对n=1也成立．则数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；（2）证明：b n+1﹣2b n=8a n=8•2n﹣1=2n+2，两边同除以2n+1，可得﹣=2，可得数列{}是首项为=1，公差为2的等差数列；即有=1+2（n﹣1）=2n﹣1，则{b n}的通项公式为b n=（2n﹣1）•2n；（3）{b n}的前n项和T n=1•2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n，可得2T n=1•22+3•23+5•24+…+（2n﹣1）•2n+1，两式相减可得，﹣T n=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1=2+2•﹣（2n﹣1）•2n+1，化简可得T n=6+（2n﹣3）•2n+1．。
安徽省高一下学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合或，则（ ） {32},{3A x x B x x =-<<=<-∣∣1}x >()R A B ⋂=ðA ． B ． ][(),32,-∞-⋃+∞()[),32,-∞-⋃+∞C ． D ．()[),31,-∞-⋃+∞[)2,+∞【答案】B【分析】由交集，补集定义可得答案.【详解】由，可得或， {32}A xx =-<<∣{3A x x =≤-R ∣ð2}x ≥所以或. (){3A B xx ⋂=<-R ∣ð2}x ≥故选：B. 2．（ ） ()3i12i i+--=A ． B ．C ．D ．i -5i 14i -1i +【答案】A【分析】运用复数运算法则化简即可. 【详解】由题可知. ()3i12i 3i 112i i i+--=-+-+=-故选：A.3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） 03x <<2log x a >a A ． B ．C ．D ．()1,8()0,1(]0,1()0,∞+【答案】C【分析】将所求问题转化为真子集求参数问题，结合对数不等式即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件， 03x <<2log x a >所以 ，()0,3()2log ,a +∞所以，解得， 22log 0log 1a ≤=01a <≤故即实数的取值范围是. a (]0,1故选：C.4．打糍粑流行于中国南方地区，如图为一种打糍粑用的石臼，其可看成从正方体的一面挖去一个半球后形成的几何体.若该正方体的棱长为，半球的半径为，石臼的体积为，则（ ）a R 334a a R=A ．B ．CD ．【答案】B【分析】根据正方体内切球及球的体积公式计算可得.【详解】由题可知正方体的体积为，挖去的半球的体积为，3a 323R π所以，即，33323π34a R a -=3312π43a R =所以a R =故选：B.5．已知某圆柱的轴截面的斜二测画法直观图如图所示，分别对应圆柱两底面的直径，,AO BC '，则该圆柱的表面积为（ ） 45AO CO AO C ∠'''===A ．B ．C ．D ．6π4π3π2π【答案】C【分析】根据直观图可得圆柱得底面半径及高，再根据圆柱的表面积公式即可得解. 【详解】作出圆柱的轴截面的原图形，如图，由题可知圆柱的底面半径为12OA =OC =所以该圆柱的表面积为.22ππ3π⨯+=故选：C.6．已知是半径为1的圆上的两个动点，，则的夹角的余弦值为,A B O ||||OA OB OA OB +=⋅ ,OA OB（ ）A B C ．D ．112-【答案】C【分析】将已知条件两边平方，结合数量积定义可解.【详解】由题可知，，设的夹角为.||||1OA OB == ,OA OBθ因为||||OA OB OA OB +=⋅ 所以，即，2222cos OA OB OB OA θ++⋅=2cos 2cos 20θθ--=解得的夹角的余弦值为cos 1θ=1,OA OB1故选：C7．已知函数为正整数，在区间上单调，且，()()sin (f x x ωϕω=+0π)ϕ<<π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭()3ππ2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭则（ ） ϕ=A ．B ．C ．D ．π6π4π32π3【答案】B【分析】由单调区间可知周期范围，进而可得，再由结合正弦函数的对称性可解.ω()3ππ2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】设的最小正周期为.由题可得，故，又为正整数，()f x T 2ππ3π2π42T ω⎛⎫=≥-= ⎪⎝⎭43ω≤ω所以.因为，所以的图象的一条对称轴为直线.所以1ω=()3ππ2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 3ππ5π224x +==，解得.又，所以. 5πππ,42k k ϕ+=+∈Z 3,4k k πϕπ=-∈Z 0πϕ<<π4ϕ=故选：B8．已知奇函数的定义域为，且对任意的且，都有与()f x R ()12,0,x x ∈+∞12x x ≠12x x -同号，若，则（ ）()()2112x f x x f x -()()()0.50.50.50.520.5e 22e ,,e 2e 2f f f a b c --===--A ． B ． C ． D ．a cb <<a bc <<b<c<a b a c <<【答案】D 【分析】令，由题意可知，当时，为增函数，且为偶函数，由于()(),0f x h x x x=≠0x >()h x ()h x ，，，结合函数的单调性即可得解.0.5)0.5e (h a =(e 2)b h =-0.5(2)c h =()h x 【详解】因为对任意的且，都有与同号， ()12,0,x x ∈+∞12x x ≠12x x -()()2112x f x x f x -即与即同号.12x x -()()211212x f x x f x x x -()()1212f x f x x x -令，所以，当时，为增函数. ()(),0f x h x x x=≠0x >()h x 由题可知为奇函数，则， ()f x ()()f x f x -=-因为，所以为偶函数， ()()()()f x f x h x h x x x---===--()h x 由于，，()()0.50.50.50.50.5()20.5e 0.5e 0.5ee0.5ef f a h ===()2e (2e)(e 2)2ef b h h -==-=--，()0.50.50.50.52(2)(2)2f ch h -==-=-因为，即， 0.50.50.50.5e 1,0.5e 0.8e 2,21=<==>=>->0.50.520.5e e 2>>-所以. b a c <<故选：D.二、多选题9．用一个平面去截棱长为1的正方体，则下列结论中正确的是（ ） 1111ABCD A B C D -A．若该平面过点，则截面的周长为61,,A C B B ．若该平面过点，则截得的两个几何体的外接球体积相等 1,,A C B C ．若该平面过点，则截得的两个几何体的表面积均为1,,A D B 3D ．若该平面过点，则其截正方体的外接球所得的截面面积不是定值 1,D B 1111ABCD A B C D -【答案】BC【分析】作出过点的截面直接计算可判断A ；分析两个几何体的外接球和正方体的外接球1,,A C B 的关系可判断B ；直接计算两个几何体的表面积可判断C ；由过的截面过正方体外接球的球心1,D B 可判断D.【详解】若该平面过点，则截面为正三角形，则截面的周长为1,,A C B 1ACB A A 错误；若该平面过点，则截得的两个几何体的外接球均为正方体的外接球， 1,,A C B 1111ABCD A B C D -故外接球体积相等，B 正确；当该平面过点时，截面为，则截得的两个几何体为相同的三棱柱，1,,A D B 11AB C D且三棱柱的表面积均为正确；2212121132⨯+⨯⨯+=若该平面过点，则其过正方体的外接球球心， 1,D B 1111ABCD A B C D -所以截面面积是定值，D 错误. 故选：BC.10．已知向量，则（ ）()()1,2,1,3a b =-=A ．()a ab +∥ B ．的夹角为,a b34πC ．与共线的单位向量ae = D ．在上的投影向量为a b 13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】求出的坐标，再利用共线向量的坐标表示判断A ；求出夹角判断B ；由单位向量的意a b +义判断C ；求出投影向量的坐标判断D 作答.【详解】依题意，，显然，即与不共线，A 错误；()2,1a b += ()112250⨯-⨯-=≠a a b +，又，则的夹角为，B 正确；c os ,a b a a b b =〈⋅=〉=[],0,πab 〈〉∈,a b 34π与共线的单位向量，C 错误；a e =±在上的投影向量为，D 正确. a b313cos ((,422b a bπ⋅==-- 故选：BD11．已知的内角的对边分别为，则使得的ABC A ,,AB C ,,a b c sin ,2Ba b==2c =条件可以为（ ） A ．B ．sin B C =4sin bA =C ． D ．2BC A +=CB CACA⋅=【答案】AD【分析】先利用正弦定理边化角可求得角A.利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得c ，然后可判断A ；由求b ，再利用余弦定理求c 可判断B ；利用内角和等于求出角A 可判断C ；根4sin b A =π据数量积定义可得角C ，进而可判断D. 【详解】，所以sin Bb =1=3sin A A=，可得tanA =因为，所以.由，利用正弦定理，可得， 0πA <<π6A =sin B C =b =由余弦定理，可得，解得，故A 正确； 2222cos a b c bc A =+-224)2c c =+-⨯2c =由，可得，又因为，所以是以为顶角的等腰三角形， 4sin b A =π4sin26b ==2a =ABC A C 所以，可得，由正弦定理，可得，解得，故B π6A B ==2π3C =sin sin a c A C =2π2πsin sin 63c=c =错误；由于，又因为，所以，这与矛盾，则这样的三角形不存在，故2B C A +=πA B C ++=π3A =π6A =错误；C由于，所以，所以，故D cos CB CA CB C CA ⋅==cos C =()0,πC ∈π6C =2a c ==正确. 故选：AD12．已知函数，则下列结论中正确的是（ ） ()2πsin2243xf x x x =-+A ．的一个周期为1 ()f x B ．的图象是轴对称图形()f x C ．若恒成立，则实数的取值范围为 ()f x m ≤m [)1,+∞D ．直线与的图象没有公共点 1y =-()f x 【答案】BCD【分析】A.利用周期函数的定义判断；B.利用函数对称性判断；C.由判断；D.由()1f x ≤()1f x >-判断.【详解】依题意，，故1不是的周期，A 错()()()()22ππsin1cos 2212(1)41321x x f x f x x x x ++==≠+-+++()f x 误；而，故是图象的一条对称轴，B 正确； ()22ππsin (1)cos 221(1)2(1)4(1)321x xf x f x x x x --===+---++1x =()f x 二次函数的，2243y x x =-+Δ0<故，且在处取得最小值1， 22430x x -+>2243y x x =-+1x =而在处取得最大值1，故，则正确； sin 2y x π=1x =()1f x ≤1,C m ≥因为，且当时，， πsin12y x =≥-1x =πsin 12y ==又当时，，所以， 1x ≠22431y x x =-+>()1f x >-所以直线与的图象没有公共点，D 正确. 1y =-()f x 故选：BCD三、填空题13．已知复数且其虚部大于0，则实数__________. ()21i z m m =+-m =【答案】/1.895【分析】根据模长公式及虚部大于0，列式求解即得.【详解】,或， =95m =1m =-且， 210m ->所以. 95m =故答案为:.9514．若平面上不共线的四点满足，且，则__________.,,,O A B C 34OA OC OB +=2BC = AB = 【答案】6【分析】由已知利用向量的线性运算得，即可得解.3AB BC =【详解】由已知得.()()330,3OA OB OC OB BA BC AB BC -+-=+=∴=又. ||2,||3||6BC AB BC =∴==故答案为：6. 15．已知函数，记关于的方程的所有实数根的乘积为，若()()ln ex af x a -=∈R x ()e f x =()g a ，则实数的取值范围是__________. ()2231g m m --<m 【答案】()1,3-【分析】求出方程的所有实数根，得到的解析式，然后利用其单调性解不等式即可.()e f x =()g a 【详解】由，得，所以或，故，()e f x =ln 1x a -=1e a x +=1e a -()2e ag a =则函数在上单调递增，又，()g a R ()01g =则，即为，()2231g m m --<()()2230g m m g --<所以，解得的取值范围是. 2230m m --<m ()1,3-故答案为：.()1,3-16．已知在等腰中，，点为边的中点，则在上的投影向量的ABC A 1cos ,38A BC =-=F AC FB FA 长度为__________.【答案】/1.25 54【分析】利用余弦定理求AC ，作出AC 边上的高BD ，由三角函数定义可得AD ，然后根据投影向量的几何意义可得.【详解】如图，由题可知.设，由余弦定理可得，解得. AB AC =AB AC x ==22223128x x x +-=-2x =作AC 边上的高BD ，因为，所以，1cos 8BAC ∠=-1cos 8BAD ∠=所以，11cos 284AD AB BAD =∠=⨯=由投影向量的几何意义可知，投影向量的长度为. 15144DF AF AD =+=+=故答案为：. 54四、解答题17．油纸伞是世界上最早的雨伞，是中国古人智慧的结晶.它以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面.伞面可近似看成圆锥形.若某种油纸伞的伞面下边沿所在圆的半径为，顶点到下边沿上任一点的长度为.90cm 100cm(1)若将该伞的伞面沿一条母线剪开，展开后所得扇形的圆心角为多少弧度？(2)若伞面的内外表面需要各刷1次桐油，每平方米需要刷桐油，则刷一个这样的油纸伞需要πkg 30多少千克桐油？（参考数据：） 2π9.9≈【答案】(1) 9π5(2) 0.594【分析】（1）求出扇形的弧长，再根据弧长公式即可得解； （2）求出圆锥的侧面积，进而可求出答案.【详解】（1）由题可知圆锥的底面周长为， ()2π90180πcm ⨯=所以展开后所得扇形的圆心角为； ()180π9πrad 1005=（2）由题可知圆锥的侧面积，()212π901009000πcm 2S =⨯⨯⨯=所以刷一个这样的油纸伞需要桐油. ()42π29000π100.06π0.069.90.594kg 30-⨯⨯⨯=≈⨯=18．已知在复平面内表示复数的点为.()()22234i z m m m m =--++-Z (1)若点在函数的图象上，求实数的值；Z 26y x =--m (2)若为坐标原点，点A 在轴的正半轴上，且向量与的夹角为钝角，求实数的取值范O x OZ OAm 围.【答案】(1)或 1m =-23m =(2) ()()1,11,2-⋃【分析】（1）将点Z 的坐标代入函数求解即可； 26y x =--（2）根据题意可知，点Z 在第二、三象限，据此列不等式求解即可.【详解】（1）由题可知，复数在复平面内对应的点的坐标为.z ()222,34m m m m --+-又该点位于函数的图象上，26y x =--所以，()2234226m m m m +-=----即， 2320m m +-=解得或. 1m =-23m =（2）由题可知，点在第二象限或第三象限， Z 所以且，220m m --<2340m m +-≠即且且，12m -<<4m ≠-1m ≠所以的取值范围为.m ()()1,11,2-⋃19．已知中角的对边分别为，且. ABC A ,,A B C ,,a b c π4πsin cos cos sin 33C B C B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求；A (2)若，求的周长的最小值.16bc =ABC A 【答案】(1)π3(2)12【分析】（1）由，利用诱导公式和两角和与差的三角函数求π4πsin cos cos sin 33C B C B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解；（2）由，利用余弦定理得到，利用基16bc =a =a b c b c ++=+本不等式求解.【详解】（1）∵， π4πsin cos cos sin 33C B C B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ππsin cos cos sin 033C B C B ⎛⎫⎛⎫∴+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. πsin 03B C ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭， 0πB C <+< . ππ4π333B C ∴<++<，即. ππ3B C ∴++=2π3B C +=. π3A ∴=（2），16bc = 由余弦定理，可得，∴22222222cos 16a b c bc A b c bc b c =+-=+-=+-a ∴==a b c b c ∴++=+≥，8=12=当且仅当时，等号成立.4b c ==故的周长的最小值为12.ABC A 20．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且的图()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭π2()f x象经过点.3π2⎛ ⎝(1)求的解析式；()f x(2)设函数，若在区间上的取值范围是，求实数()()22g x f x x x =()g x π,8m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,1的取值范围.m 【答案】(1) ()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) π3π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据题意可得函数的最小正周期，即可求出，再利用待定系数法求出即可； ωϕ（2）根据根据三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的性质结合整体思想即可得()g x 解.【详解】（1）由题可知的最小正周期，则， ()f x π2π2T =⨯=2ω=因为的图象经过点，()f x 3π2⎛ ⎝所以， 3π3πsin 222f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin ϕ=因为，所以， π2ϕ<π4ϕ=-所以； ()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）()()22g x f x x x =πsin 24x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭x x x =x x =， πsin 24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，可得， π,8x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ20,244x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦若在区间上的取值范围是， ()g x π,8m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,1则， ππ224m π≤+≤解得， π3π88m ≤≤所以实数的取值范围是. m π3π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦21．如图，在四边形中，OABC ()()212,,01,3OA CB BM BA CP xCB x BA BC BO BA BC BO ===≤≤⋅+=+⋅(1)证明；:OA OC ⊥(2)设，求的最大值，并求取得最大值时的值为多少.OM CA OP λμ=+ λμ⋅λμ⋅x 【答案】(1)证明见解析 (2)，0 89【分析】（1）由题中条件，结合向量的线性运算及数量积运算可得，即可得证；0OC OA ⋅= （2）依题意，可知，，又2133AM OC OA =- 2233OM OA OC =+ 2x CP OA = ，由平面向量基本定理可得的方程组，进而得出()2x OM CA OP OA OC μλμλμλ⎛⎫=+=++- ⎪⎝⎭ ,λμ的解析式，利用二次函数的性质求最值即可.λμ⋅【详解】（1）， ()2BA BC BO BA BC BO ⋅+=+⋅ 20BA BC BC BO BO BA BO ∴⋅-⋅+-⋅= 即， ()()0BC BA BO BO BA BO ⋅--⋅-= 得，， 0BC OA BO OA ⋅-⋅= ()0BC BO OA -⋅= 得，.0OC OA ⋅= OA OC ∴⊥（2）依题意， 12,23CB OA AM AB == ， ()()2222122133333333AM OB OA OC CB OA OC OA OA OC OA ∴=-=+-=+-=- 由题可知. 21223333OM OA AM OA OC OA OA OC =+=+-=+，. ()2,01OA CB CP xCB x ==≤≤ 2x CP OA ∴= ， ()()()2x OM CA OP OA OC OC CP OA OC μλμλμλμλ⎛⎫∴=+=-++=++- ⎪⎝⎭ 又不共线，即 ,OA OC 2,232,3x μλμλ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩()8,322.3x μλμ⎧=⎪+⎪⎨⎪=-⎪⎩， 2211339λμμμμ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 8401,93x μ≤≤∴≤≤ 当时，取得最大值，且最大值为，此时. ∴43μ=λμ⋅890x =22．已知函数是偶函数.()()2log 4x f x a x =+-(1)求实数的值；a (2)求方程的实根的个数；()1f x x -=(3)若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围.()()2f xg x =()()12xh x n n =--n【答案】(1)1a =(2)1 (3) {{2}2nn >⋃--∣【分析】（1）利用偶函数的定义求解； （2），结合函数在上的单调性与值域求解； ()21log 14x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭21log 14x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R （3）令，可得．令，，所以()()h x g x =()11222x x x n n --=+2x t =()0,t ∈+∞()2210n t nt ---=，令函数，结合二次函数的性质求解.()()221s t n t nt =---【详解】（1）因为函数是偶函数，()()2log 4x f x a x =+-所以，即， ()()=f x f x -()()22log 4log 4x x a x a x -+-=++也即， ()()222log 4log 41log 4x x x a x a x +-=⋅+-+，()()22log 4log 41x x a a +=⋅+，. 441x x a a +=⋅+()()1410x a --=因为对定义域内的任意上式恒成立，所以.x 1a =（2）由（1）可知的解析式为. ()f x ()()221log 41log 22x x x f x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭所以. ()2211log 2log 124x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为函数在上单调递减， 21log 14x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R 又，所以函数在上的值域为. 104x >21log 14x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R ()0,∞+所以方程的实根的个数为1.()1f x x -=（3）由题可知. ()122x xg x =+由，可得. ()()h x g x =()11222x x xn n --=+令，则.2x t =()0,t ∈+∞所以可化为. ()11222x x x n n --=+()2210n t nt ---=令函数.()()221s t n t nt =---当，即时，，舍去. 20n -=2n =1210,2t t --==-当，即时，的图象开口向上，20n ->2n >()s t 因为，所以一定存在唯一的正根，符合题意. ()010s =-<()s t 当，即时，的图象开口向下，20n -<2n <()s t 因为，()010s =-<令，解得.()2Δ420n n =+-=2n =-±又，所以对称轴，所以（舍去）或. 0t >()022n t n =>-2n >0n <所以2n =--综上，实数的取值范围是. n {{2}2n n >⋃--∣。
安徽省六安市霍邱县第二高级中学高一数学下学期期中试题
霍邱二中2015级高一年级期中数学试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卷规定的地方填写自己的姓名、座位号。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0. 5毫米黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．效．。
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于 （ ）Ａ．99 Ｂ．100Ｃ．96Ｄ．1012.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为 （ ）A ．21B ．23C.1D.33.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为 （ ） A ．99 B ．49 C ．102 D ． 1014.已知0x >，函数4y x x=+的最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．65.在等比数列中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为 （ ）A. 3B. 4C. 5D. 66. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A ．(5＋5)πB ．(20＋25)πC ．(10＋10)πD ．(5＋25)π7.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 （ ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -88三棱锥P －ABC ，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝1，PB ＝6，PC ＝3，则该三棱锥外接球的表面积是( )A ．16πB ．64π C.32π3D.252π39.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是 （ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解10.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 （ ）2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-411.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83 12已知钝角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x <5 B.5<x <13C ．1<x <5或13<x <5D ．1<x < 5第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在ABC ∆中，045,3B c b ===，那么A ＝_____________; 14.不等式21131x x ->+的解集是 ． 15.已知数列｛a n ｝的前n 项和2n S n n =+，那么它的通项公式为a n =_________16如图所示，扇形所含的中心角为90°，弦AB 将扇形分成两个部分，这两部分各以AO 为轴旋转一周，所得的旋转体体积V 1和V 2之比为__________．三、解答题 (本大题共6个小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 （10分）已知等比数列{}n a 中，45,106431=+=+a a a a ，求其第4项及前5项和.18、（12分）△ABC 中，c b a ,,是A ，B ，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且cos cos 2B bC a c=-+ （1）求∠B 的大小；（2）若a =4，35=S ，求b 的值。
高一数学下学期期中试题_00015
霍邱中学2021-2021学年度第二学期高一年级期中考试数 学 试 卷〔满分是150分 考试时间是是120分钟〕一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，满分是60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1．某交通隧道入口竖立着“限高〞的警示牌，是指示司机要想平安通过隧道，应使车载货物高度h 满足关系为〔 〕A .h 5.4≤ B. h< C. D.5.4≥h 2．数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝n －1n ＋1 (n ∈N *) B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *) C ．a n ＝2n 2n ＋1 (n ∈N *) D. a n ＝2n －12n －1 (n ∈N *)3 . 在等差数列{}n a 中，假设244,2a a ==，那么6a =〔 〕 A. -1 B. 0 C4. 等比数列{}n a 满足11353,21a a a a =++=，那么357a a a ++=〔 〕 A. 21 B. 42 C. 63 D. 845. 以下命题正确的选项是A 、假设x ≥10,那么x ＞10B 、假设225x ,那么x 5 C 、假设x ＞y ，那么22xy D 、假设22x y ，那么xy6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设C ＝2B ，那么cb为( )A ．2sin CB ．2cos BC ．2sin BD ．2cos C7. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设14611,6a a a =-+=-，那么当n S 获得最小值时，n 等于〔 〕A.6B. 7 C8. 假如01,a b a b 且则下列四个数中最大的是 ( )A 、12B 、2abC 、bD 、22a b9. 设等比数列{}n a 的前项和为n S ，假设243,15,S S ==那么6S =〔 〕 A. 64 B. 63 C. 32 D. 3110. 对于任意实数x 的不等式ax 2+2ax-(a+2)＜0恒成立，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A -1＜a ≤0 B -1≤a ＜0 C -1≤a ≤0 D -1＜a ＜0 11．在△ABC 中，假设lg(a ＋c )＋lg(a －c )＝lg b －lg1b ＋c，那么A ＝( ) A ．90° B ．60° C ．120° D ．150°12.n n a a 已知为等差数列，为定值。
2021-2022学年安徽省六安市高一下学期期中数学试题【含答案】
2021-2022学年安徽省六安市高一下学期期中数学试题一、单选题1．对于实数，“”是“”的,,a b c a b >22ac bc >A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．2．已知m ，n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是,αβ（ ）A ．若，则B ．若，则//,//,//m n αβαβ//m n //,//,m m n αβαβ⋂=//m nC ．若，则D ．若，则//,//αβn n //αβ//,m n n α⊂//m αB【分析】A ：结合两直线的位置关系可判断或异面； B ：结合线面平行的性//m n ,m n 质可判断； C ：结合线面的位置关系可判断或相交； D ：结合线面的//m n //αβ,αβ位置关系可判断或.//m αm α⊂【详解】A ：若，则或异面，故A 错误；//,//,//m n αβαβ//m n ,m n B ：因为，所以在平面内存在不同于n 的直线l ，使得，则，从而//m αα//l m l β//，故，故B 正确；//l n //m n C ：若，则或相交，故C 错误；//,//αβn n //αβ,αβD ：若，则或，故D 错误.//,m n n α⊂//m αm α⊂故选：B3．在△ABC 中，若其面积为S ，且=，则角A 的大小为（ ）AB ACA ．30°B ．60°C ．120°D ．150°A【分析】由数量积的定义，结合条件即可求解.【详解】因为，而，所以1sin 2S AB AC A =⋅⋅cos AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅，所以.1cos sin 2AB AC A AB AC A⋅⋅=⨯⋅⋅tan A =30A ︒=故选：A4．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）A B C ．D ．2+1C【分析】先计算出等腰梯形的面积为，再利用计算得到答案.1S 1S =【详解】等腰梯形的面积()11111cos 45211sin 4522S =+⨯︒⨯+⨯⨯︒=+则原平面图形的面积12S ==故选：C.5．如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，E 是BC 的中点，111 ABC A B C -111A B C 则下列叙述正确的是（ ）A ．直线与直线是异面直线B ．直线与直线AE 是共面直线1CC 1B E 1CC C ．直线AE 与直线是异面直线D ．直线AE 与直线是共面直线11B C 1BB C【分析】根据异面直线的判定定理求解即可.【详解】由于与均在平面内，不是异面直线，故A 错误；1CC 1B E 11BCC B 平面，平面，点不在直线上，所以和是异面1CC ⋂ABC C =AE ⊂ABC C AE 1CC AE 直线，故B 错误；平面， 平面，点不在直线上，则与是AE ⋂11BCC B E =11B C ⊂11BCC B E 11B C AE 11B C 异面直线，故C 正确；平面， 平面，点不在直线上，则与是AE ⋂11BCC B E =1B B ⊂11BCC B E 1B B AE 1B B 异面直线，故D 不正确.故选：C方法点睛：判断两条直线是否为异面直线，第一两条直线平行或相交，则两条直线共面，第二若一条直线与一个平交于一点，那么这条直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线，这是判断两条直线是异面直线的方法，要根据题目所提供的线线、线面关系准确的做出判断.6．直三棱柱的6个顶点在球的球面上.若，.，111ABC A B C -O 3AB =4AC =AB AC ⊥，则球的表面积为（ ）112AA =O A ．B ．C ．D ．1694π169π288π676πB【分析】由于直三棱柱的底面为直角三角形，我们可以把直三棱柱111ABC A B C -ABC 补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直111ABC A B C -径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积.【详解】解：将直三棱柱补形为长方体，则球是长方体1111ABEC A B E C -O 的外接球.所以体对角线的长为球的直径.因此球的外接圆直径1111ABEC A B E C -1BC O O为，故球的表面积.213R ==O 24169R ππ=故选：B.本题主要考查球的内接体与球的关系、球的半径和球的表面积的求解，考查运算求解能力，属于基础题型.7．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中，给出下列结论：ABCDEFGH ||1OA →=图1 图2①与的夹角为；②；③；④在OA→OH→3πODOF OE→→→+=|||OA OC DH→→→-=OA→（其中为与同向的单位向量）．其中正确结论为OD→ee→OD→（）A．①B．②C．③D．④C【分析】根据图形的特征进行判断即可.【详解】由图:正八边形，ABCDEFGH因为与的夹角为，故①错误；OA→OH→4π因为，故②错误；OD OF→→→+=因为,故③正确；|||||OA OC CA DH→→→→-==因为在上的投影向量与向量反向，故④错误；OA→OD→OD→故选：C本题主要考查向量的加减法及向量的投影向量等，属于简单题.8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D是边BC上一点，ABC120A=︒，且，和的面积分别为，，对于给定的正数m，AB AD⊥AD m=ACD△ABD△1S2S当取得最小值时，等于（）b c+12SSABCD．34A【分析】由，即ABCABD ACDS S S =+ 2bm cm =+21b c +不等式，结合“乘1法”即可求出取到最小值时，化简得解.b c +b 【详解】由题可知，由三角形面积公式可得：ABC ABD ACDS SS =+ ，即111sin120sin 30222bc cm bm =+ 2bm cm =+21b c +==，b c +()b c +21c b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭23b bc c ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭()33⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭当今当即时能取到最小值，此时=2=c b b c b b c +12S S 1sin 30212=2c bm cmb故选：A .二、多选题9．下列命题中正确的是（ ）A ．若，，，则x y R ∈22x yi i +=+2x y ==B ．若复数，满足，则1z 2z 22120z z +=120z z ==C ．若复数为纯虚数，则z 22z z =D ．若复数满足，则的最大值为z 12z -=z i+2AD【分析】A 由复数相等条件即可判断正误；B 、C 应用特殊值法，代入验证即可；D 根据的几何含义：以为圆心2为半径的圆，求为该圆上的点到12z -=(1,0)maxz i +最大距离，判断正误.(0,1)A -【详解】A ：由复数相等知：，有，正确；22x yi i +=+2x y ==B ：若，有，错误；121,z z i==22120z z +=C ：若时，，错误；z i =2211z z =≠=-D：令，则为圆O ：，而表示圆O 上的点到z x yi =+12z -=22(1)4x y -+=maxz i +的最大距离，所以，正确.(0,1)A -max 2||2z i OA +=+=故选：AD.10．下列有关平面向量的命题中，不正确的是（ ）A ．若，则a b= a b =B ．已知，，则a b ∥b c ∥ a c ∥C ．若非零向量，，，满足，则a b ca b a c ⋅=⋅ b c= D ．若，则且a b =a b= a b∥ABC【分析】A 选项，当且方向相同，才有，故A 错误，D 正确；B 选项a b=,a b a b =可以举出反例，C 选项利用向量的数量积推导出，故C 错误.cos ,cos ,b a b c a c= 【详解】A 选项，，但向量方向可能不同，故A 错误；a b= 若，则满足，，但可能不平行，故B 错误；0b =a b ∥b c ∥ ,a c 若，即，因为，，均为非零向量，所以a b a c ⋅=⋅ cos ,cos ,a b a b a c a c⋅=⋅ a b c ，故不一定成立，C 错误；cos ,cos ,b a b c a c= b c = 若，则且，D 正确.a b = a b=a b∥故选：ABC11．下列说法正确的是（ ）A ．在中，是的充要条件ABC sin sin A B <BC AC <B ．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象sin 2y x =6πsin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．存在实数，使得等式成立x 3sin cos 2x x -=D ．在中，若，则是钝角三角形ABC 222sin sin sin A B C +<ABC ABD【分析】根据正弦定理，余弦定理，可判断A 、D 的正误；根据图象平移原则，可判断B 的正误；根据辅助角公式及正弦型函数的性质，可判断C 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：由正弦定理可得，sin sin BC ACA B =因为，所以，sin sin A B <BC AC <同理，若，则有，BC AC <sin sin A B <所以是的充要条件，故A 正确；sin sin A B <BC AC <对于B ：将函数的图象向右平移个单位长度，sin 2y x =6π可得，故B 正确；sin 2sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于C ：，3sin cos 42x x x π⎛⎫--≤<⎪⎝⎭所以不存在x ，满足，故C 错误；3sin cos 2x x -=对于D ：在中,因为，由正弦定理可得，ABC 222sin sin sin A B C +<222a b c +<所以，所以，为钝角，故D 正确.222cos 02a b c C ab +-=<,2C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：ABD.12．如图，直三棱柱中，，，，侧面111ABC A B C -12AA =1AB BC ==90ABC ︒∠=中心为O ，点E 是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ）11AA C C 1BBA ．直三棱柱侧面积是B ．直三棱柱体积是4+13C ．三棱锥的体积为定值D ．的最小值为1E AA O-1AE EC +ACD【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积和体积即可判断A 与B ；由棱锥底面积与高为定值判断C ；设BE ＝x ，列出AE +EC 1关于x 的函数式，结合其几何意义求出最小值判断D ．【详解】在直三棱柱中，，，111ABC A B C -12AA =1AB BC ==90ABC ︒∠=底面和是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+ABC 111A B CA 正确；24=+直三棱柱的体积为，故B 不正确；1111212ABC V S AA ∆==⨯⨯⨯=由BB 1∥平面AA 1C 1C ，且点E 是侧棱上的一个动点， 三棱锥的高为定1BB ∴1E AA O-，2，故C 正确；114AA O S ∆=∴1E AA O V -=1316设BE ＝x，则B 1E ＝2﹣x ，在和中，∴＝[]0,2∈Rt ABC ∆11Rt EB C ∆1AE EC +即平面内动点（x ，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值，由对称可知，当为的中点时，D 正确．E 1BB=故选：ACD ．本题考查命题的真假判断与应用，考查直三棱柱的侧面积和体积的求法，函数思想求最值问题，空间想象能力和思维能力，属于中档题．三、填空题13．已知向量，，则与夹角的余弦值是______．()2,1a =()1,1b =a ab +【分析】求出向量的坐标，利用平面向量夹角的坐标表示可求得结果.a b + 【详解】由已知可得，所以，.()3,2a b +=()cos,a a b a a b a a b⋅+<+>===⋅+ 故答案为14．在中，已知，则________________．ABC 3,2,AB AC BC ===AB BC ⋅=152-【分析】先利用余弦定理求出，再根据向量的数量积定义即可求出．cos B【详解】解：222cos 2AB BC AC B AB BC +-=⨯⨯ ．∴||||cos()||||cos 3215AB BC AB BC B AB BC B π⋅=⋅-=-⋅=-=-故．152-15．如图，在中，已知，ABC 2AB =，，，，线段AM ，BN 相交于点P ，则6AC =60BAC ∠=︒2BC BM =3AC AN =的余弦值为___________.MPN∠【分析】依次算出、、，然后可得答案.BN AM ⋅ ||AM BN【详解】由已知，，，，得，2AB =2AN =60BAC ∠=︒2BN =又由得1()2AM AB AC =+ ||AM == 因为，13BN AC AB=- 所以2211111()()||||||||cos 60232623BN AM AC AB AB AC AC AB AB AC ⋅=-⋅+=--︒=所以cos cos ,||||BN AM MPN BN AMBN AM ⋅∠=〈〉==16．如图，长方体中，分别为1111ABCD A B C D -112AD DD AB ===，，,,E F G 中点，点P 在平面内，若直线平面，则线段长度11,,AB BC C D ABCD 1//D P EFG 1D P 的最小值是___________.【分析】首先找出过点且与平面平行的平面，然后在所作的平面内找线段1D EFG 长度的最小值即可.1D P 【详解】连接，11,,D A D C AC因为分别为中点，,,E F G 11,,AB BC C D 所以，又因为面，面，所以面，//AC EF EF ⊄1ACD AC ⊂1ACD //EF 1ACD 同理面，//EG 1ACD 又因为，所以面面，EG EF E = //EFG 1ACD 因为直线平面，所以点在直线上，且当时，线段的长1//D P EFG P AC 1D P AC⊥1D P 度最小，在中，，1ACD △1AD=2AC =1CD =所以，1cos D AC ∠=1sin D AC∠=所以，1122ACD S =⨯=在中，设边上的高为，1ACD △AC h 则，即线段1122ACD S h =⨯⨯= h =1D P 故答案为四、解答题17．已知复数是方程的解.12,z z 210z z -+=(1)求的值；1211z z +(2)若复平面内表示的点在第四象限，且为纯虚数，其中，求的值.1z ()1i z a ⋅+a R ∈a (1)1(2)【分析】（1）由求根公式求得；12zz==12111z z+=（2）由（1）得到，求得，根据为纯112z=()1iz a⋅+=()1iz a⋅+虚数，得到，即可求解.a=【详解】(1)解：由题意，复数是方程的解，12,z z210z z-+=由求根公式，可得.12z z==12111z z+==(2)解：由（1）且表示的点在第四象限，所以.1z112z=又由，()1iz a⋅+=因为为纯虚数，则，解得()1iz a⋅+0a=a=18．在中，，为边上一点，且．ABC1AB=D BCπ3ADB∠=(1)若为边上的中线，求边的最大值；AD BC AC(2)若为的平分线，且为锐角三角形，求边的取值范围．AD BAC∠ABCAC(2)(22，AC∈【分析】（1）在与中分别用余弦定理，再应用基本不等式即可求解ABD△ACD△的最大值；AC（2）设，由已知确定范围，在与中分别用正弦定BAD CADθ∠=∠=θABD△ACD△理，得到与的关系求解即可.AC tanθ【详解】(1)设，，又为边上的中线，所以，DA m=DB n=AD BC DC n=在中，由余弦定理得，，又，ABD△222π2cos3DA DB DA DB AB+-⋅⋅=1AB=所以，①221m n mn+-=在中，由余弦定理得，，ACD△2222π2cos3DA DC DA DC AC+-⋅⋅=即，②222m n mn AC++=由①＋②得，222+12()AC m n=+又由①得（当且仅当时取等号），2222112m n m n mn ++=++≤=1=m n 所以，222m n +≤所以，即2+1AC ≤4AC 综上，当且仅当时，边1m n ==AC (2)因为为的平分线，AD BAC ∠所以可设，则，，BAD CAD θ∠=∠=2π3B θ=-π3C θ=-因为为锐角三角形，所以，ABC 2032022ππθπθ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩所以.ππ64θ<<在中，由正弦定理得，③ABD △π2πsin sin()33AB ADθ=-在中，由正弦定理得，④ACD △2ππsin sin()33AC AD θ=-④÷③得，2πsin()3πsin()3AC AB θθ-==-1AB =所以，又，AC tan t θ=ππ64θ<<所以，所以在上为增函数，t ∈AC1=-所以．(22AC ∈，19．如图，在正方体中，对角线与平面交于点，、1111ABCD A B C D -1A C 1BDC O AC 交于点， 为的中点，为的中点．求证：BD M E AB F 1AA(1)三点共线；1C O M 、、(2)、、、四点共面；E C 1D F (3)、、三线共点．CE 1D F DA (1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）可证、、三点在平面与平面内，从而可证三点共线.1C O M 11ACC A 1BDC （2）可证，从而可得四点共面.1//EF CD （3）设与交于一点P ，可得P 在上，从而可得三线共点.CE 1D F DA 【详解】(1)∵平面，∴，平面；1A C 1BDC O =1O A C ∈O ∈1BDC 又∵平面，∴平面；1AC ⊂11ACC A O ∈11ACC A ∵、交于点M ，∴，；AC BD M AC ∈M BD ∈又平面，平面，AC ⊂11ACC A BD ⊂1BDC ∴平面，平面；M ∈11ACC A M ∈1BDC 又平面，平面；1C ∈11ACC A 1C ∈1BDC ∴、、三点在平面与平面的交线上，1C O M 11ACC A 1BDC ∴、、三点共线；1C O M (2)连接，EF∵E 为的中点，F 为的中点，∴，AB 1AA 1//EF BA 又∵，，∴四边形是平行四边形，11//BC A D 11BC A D =11BCD A ∴；∴，∴E 、F 、C 、D1四点共面；11//BA CD 1//EF CD (3)∵平面平面，ABCD 11ADD A AD=设与交于一点P ，则：，平面，CE 1D F P CE ∈CE ⊂ABCD ∴平面，同理，平面，P ∈ABCD P ∈11ADD A ∴平面平面，P ∈ABCD 11ADD A AD=∴直线、、三线交于一点P ，即三线共点.CE 1D F DA20．已知函数．()21sin cos 222f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）若对任意，都有成立，求的取值范围；,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦()f x a ≥a （2）若先将的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向()y f x =左平移个单位得到函数的图象，求函数在区间内的所6π()y g x =()13y g x =-[],3ππ-有零点之和．(1) .(2) 1a ≤-6π【分析】(1)先由倍角公式以及两角和的正弦公式进行化简，再求出函数的最小值即可求出a 的范围；(2)根据函数图像的对称性即可求出结果.【详解】（1）.()1cos2sin 226fx x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭若对任意，都有成立，则只需即可,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x a ≥()min f x a ≥∵，∴，32x ππ-≤≤552666x πππ-≤-≤∴当，即时， 有最小值，故.262x ππ-=-6x π=-()f x 1-1a ≤-（2）依题意可得，由得，()sin g x x =()103g x -=1sin 3x =由图可知，在上有4个零点： ，1sin 3x =[],3ππ-1234,,,x x x x 根据对称性有，34125,2222x x x x ππ++==从而所有零点和为.12346x x x x π+++=本题主要考查三角函数的值域以及函数图像的对称性，熟记两角和与差的正弦公式等以及图像的变换即可，属于常考题型.21．如图四棱锥P -ABCD 的底面为平行四边形，E 是PB 的中点，过A ，D ，E 的平面α与平面PBC 的交线为l ．(1)证明：平面PAD ；∥l (2)求平面α截四棱锥P -ABCD 所得的上、下两部分几何体的体积之比．(1)证明见解析(2)3:5【分析】（1）由，得到平面，根据平面与平面的交线为，AD BC ∥AD ∥PBC αPBC l 结合线面平行的性质定理，即可证得平面；∥l PAD （2）设l 与PC 交于点F ，则F 为PC 的中点，连接DF ，DE ，DB ，EC ，设四棱锥P -ABCD 的体积为V ，得到，，进而求得平面截四棱锥4E ABD E BDC VV V --==8D EFC V V -=αP -ABCD 所得的下面部分的几何体的体积，求得上、下两部分几何体的体积之比．【详解】(1)证明：因为，且平面，平面，所以AD BC ∥AD ⊄PBC BC ⊂PBC 平面，AD ∥PBC 又平面与平面的交线为，且平面，则，αPBC l AD ⊂αAD //l 又平面，平面，故平面.l ⊄PAD AD ⊂PAD ∥l PAD (2)解：设l 与PC 交于点F ，则F 为PC 的中点，连接DF ，DE ，DB ，EC ，设四棱锥P -ABCD 的体积为V ，则．4E ABD E BDC V V V --==又由，则，2D BEC E BDC D EFCV V V ---==8D EFC V V -=所以平面截四棱锥P -ABCD 所得的下面部分的几何体的体积为，α54488V V V V ++=所以上面部分几何体的体积为，38V故平面截四棱锥P -ABCD 所得的上、下两部分几何体的体积之比为．α3:522．“精准扶贫，修路先行”，为解决城市A 和山区B 的物流运输问题，方便B 地的农产品运输到城市A 交易，计划在铁路AD 间的某一点C 处修建一条笔直的公路到达B地．示意图如图所示，千米，．已知农产品的AB =BD =45BDA ∠=︒铁路运费为每千米1百元，公路运费为每千米2百元，农产品从B 到A 的总运费为百元．为了求总运费的最小值，现提供两种方案建立函数关系，方案1：设y y 千米；方案2：设．AC x =BCD θ∠=（1）试将分别表示为关于、的函数关系式和；y x θ()y f x =()y g θ=（2）请只选择一种方案，求出总运费的最小值以及此时的长度．y AC（1）；；（2）()120)f x x x =+<<6030cos ()90(0135)sin g θθθθ-=+︒<<︒选择见解析；90AC =-90+【分析】（1）分别利用余弦定理及正弦定理求解即可；（2）利用判别式法求出方案一的最值，再利用正弦函数的有界性求解方案二的最值，比较即可求解.【详解】（1）在△ABD 中，由余弦定理得，2222cos 45AD AD =+-⨯⨯︒得，或(舍去)26090080AD AD --⨯=120AD =60-方案①：在△ABD sin A =，(0,)2A π∈cos A =在△ABC 中，设，由余弦定理，AC x =22222cos 1809000BC x x A x x =+-⨯⋅=-+∴()2120)f x AC BC x x =+=+<<方案②：在△BCD 中，由正弦定理，sin 45BC ︒30sin BC θ=又，得，sin 45sin(135)BC CD θ=︒︒-30(sin cos )sin CD θθθ+=30cos 12090sin AC CD θθ=-=-∴6030cos ()290(0135)sin g AC BC θθθθ-=+=+︒<<︒（2）若选择方案①，令y x =+22()4(1809000)y x x x -=-+整理得，2232(360)490000x y x y +-+⨯-=由得，，得舍)0∆≥218090600y y -+⨯≥90y ≥+90y ≤-∴min 90y =+360903yx -==-即90AC =-90+若选择方案②，令，则，2cos sin y θθ-=sin cos 2y θθ+=()2θϕ+=，得，又，∴sin()1θϕ+=≤23y ≥0y >y ≥令，得，，时，2cos sin θθ-sin(30)1θ+︒=0135θ︒<<︒60θ=︒miny此时min ()90g θ=+90AC =-总运费的最小值为90+。
高一数学下学期期中试题1
霍邱二中 2015 年春学期高一期中考试数学试卷一 （每 5 分，共 50 分）1． a,b,c∈R, 且 a>b, ()A.ac>bcB. 112>b 2D.a 3>b 3ab2. 已知数列 ！未找到引用源。
, ！未找到引用源。
,2 ！未找到引用源。
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, ⋯ , 2 ！未找到引用源。
在 个数列中的 数 ()3. 在△ ABC 中， a=3,b=5,sinA=1, sinB=()3A.1B.5 C.55934. 不等式 ( x ＋ 3) 2＜ 1 的解集是 ()A ． { x | x ＞－ 2}B ． { x | x ＜－ 4}C ． { x | －4＜ x ＜－ 2}D ． { x | －4≤ x ≤－ 2}5.等差数列{ a n }中，a1a 510，a 4 7， 数列{ a n }的公差 （）(A)1(B)2(C)3 (D)46. 公比 2 的等比数列 {a n} 的各 都是正数，且a 3a11=1 6，a5=（）（A ） 1（ B ）2（C ） 4（ D ）87. 已知 x ， y 正 数，且x ＋4y ＝ 1，xy 的最大 ()1 111A. 32B.16C. 8D. 48. 在等差数列 { a n } 中，已知 a 4 +a 8 =16， 数列前 11 和 S 11 =（）(A)58(B)88(C)143 (D)1769. △ ABC 的内角 A,B,C 所 的 分a,b,c. 若 b+c=2a,3sinA =5sinB , 角 C= ()A. 2πB.3 π C. πD.5 π343610. 数列 { a n } 足 a n+1＋ ( － 1) na n ＝ 2n － 1， { a n } 的前 60和 （ ）（A ）3 690 （ B ）3 660（C ） 1 845（ D ）1 830二填空（每 5 分，共 25 分）11.在△ ABC中，已知 a＝ 2， b＝4， C＝60°， c＝ ________.12.数列 {a n} 的前 n 和 S n, 已知 S n=1-2+3-4+ ⋯ +(-1) n-1· n, S17= .13.当 x∈R，不等式x2－ kx＋10 恒成立，k的取范是.14.若a ＞ 1，＋1的最小是.a a－11 5.若数列 { a n } 的前 n 和S n 2a n1， { a n} 的通公式是 a n. 33三解答（ 16、 17、 18 每 12 分， 19、 20、21 每 13 分，共 75 分，解答写出必需的文字明、明程或演算步）16.{a n} 是公比正数的等比数列,a 1=2,a 3=a2 +4.(1)求 {a n} 的通公式 .(2){b n} 是首 1, 公差 2 的等差数列 , 求 {a n+b n} 的前 n 和 S n.17. 在ABC 中,内角 A, B,C 所对的分别是 a,b, c .已知 a 2, c2,cos A2. 4求 sin C 和 b 的值。
安徽六安市数学高一下期中复习题(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12424]圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ）A ．1B ．221-C ．22D ．22．(0分)[ID ：12413]已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．48πB ．24πC ．16πD ．323π3．(0分)[ID ：12412]一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形 4．(0分)[ID ：12411]已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥ 5．(0分)[ID ：12407]下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面6．(0分)[ID ：12374]如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π7．(0分)[ID ：12358]如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是( )A ．30B ．60C ．90D ．1208．(0分)[ID ：12354]已知圆M:x 2+y 2−2ay =0(a >0)截直线x +y =0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N:(x −1)2+(y −1)2=1的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离9．(0分)[ID ：12350]四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．812πB ．814πC ．65πD ．652π 10．(0分)[ID ：12396]若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b11．(0分)[ID ：12395]正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）A ．25B ．25C ．25D ．2512．(0分)[ID ：12418]如图，正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立 13．(0分)[ID ：12410]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A ．26 B ．36 C ．23 D ．2214．(0分)[ID ：12368]α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ）A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n βB ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α15．(0分)[ID ：12361]如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题16．(0分)[ID ：12488]经过两条直线2310x y ++=和340x y -+=的交点，并且平行于直线3470x y +-=的直线方程是________.17．(0分)[ID ：12458]已知圆22(1)16x y ++=，点(1,0),(1,0)E F -，过(1,0)E -的直线1l 与过(1,0)F 的直线2l 垂直且圆相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积的取值范围是_________.18．(0分)[ID ：12516]已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的求面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．19．(0分)[ID ：12484]已知圆O ：224x y +=, 则圆O 在点(1,3)A 处的切线的方程是___________.20．(0分)[ID ：12466]如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，若E 为棱PC 上一点，满足BE AC ⊥，则PE EC=__________．21．(0分)[ID ：12446]底面边长为2的正三棱柱111ABC A B C -被不平行于底面的平面MNP 所截，其中3AM =，4BN =，5PC =，则多面体ABC MNP -体积为________22．(0分)[ID ：12443]已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______．23．(0分)[ID ：12441]如上图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1AB CC 、的中点，1MB P ∆的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题：A ．平面1MB P 1ND ⊥； B ．平面1MB P ⊥平面11ND A ；C ．∆1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值；D ．∆1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是__________.24．(0分)[ID ：12495]正四棱锥S -ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______．25．(0分)[ID ：12431]已知棱长等于23的正方体1111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________.三、解答题26．(0分)[ID ：12608]如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ,,E F 是线段AB 上的两点,且DE AB ⊥,CF AB ⊥,12AB =,5AD =,42BC =,4DE =.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使两点,A B 重合于点G ,得到多面体CDEFG （1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ;（2）求多面体CDEFG 的体积27．(0分)[ID ：12558]在直角坐标系中，射线OA: x －y=0（x≥0），OB: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA 、OB 于A 、B 两点.（1）当AB 中点为P 时，求直线AB 的方程；（2）当AB 中点在直线12y x =上时，求直线AB 的方程. 28．(0分)[ID ：12546]已知圆22:20M x y x a +-+=（1）若8a =-，过点(4,5)P 作圆M 的切线，求该切线的方程；（2）当圆22:(1)(23)4N x y ++-=与圆M 相外切时，从点(2,8)Q -射出一道光线，经过y 轴反射，照到圆M 上的一点R ，求光线从点Q 经反射后走到点R 所走过路线的最小值.29．(0分)[ID ：12618]如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程；(2) DC 边所在直线的方程．30．(0分)[ID ：12555]如图，在直三棱柱111ABC A B C -中（侧棱垂直于底面的三棱柱），D ，E ，F 分别是线段1CC ，1AC ，AB 的中点，P 为侧棱1CC 上的点，1CP =，90ACB ∠=︒，14AA AC ==，2BC =.（1）求证；//PF 平面BDE ；（2）求直线PF 与直线BE 所成的角.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．D3．C4．C5．C6．C7．C8．B9．B10．B11．A12．C13．A14．D15．B二、填空题16．【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题17．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与18．【解析】正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得如图所示PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径且设正方体棱长为a则由得所以因为球心到平面ABC的距离为考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的19．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O在点处的切线的方程的斜率∴圆O在点A处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的20．【解析】【分析】过作交于连接根据可得平面通过解三角形求得的值也即求得的值【详解】过作交于连接根据可得平面故由于所以由于所以在直角三角形中所以而故根据前面证得可得【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定21．【解析】【分析】将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分相加求和即可【详解】如图将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分其中四棱锥的高为为梯形则故多面体体积为故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法根据22．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题23．【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断对于A当动点P与点重合时以等腰三角形与不垂直所以不能得出平面A为假命题；对于B易证所以平面所以平面⊥平面故B为真命题；对于C在底面上的射影图形的面积为定值24．【解析】如图过S作SO1⊥平面ABCD由已知=1在Rt△SO1C中∵SC＝∴∴O1S＝O1A＝O1B ＝O1C＝O1D故O1是过SABCD点的球的球心∴球的半径为r＝1∴球的体积为点睛：与球有关的组合25．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解.【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=，圆心到直线的距离d ==所以圆上的点到直线的距离的最小值为1.故选B.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.2．D解析：D【解析】【分析】根据球的性质可知球心O 与ABC ∆外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果.【详解】设O '为ABC ∆的外心，如下图所示：由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E设球的半径为R ，OO x '=ABC ∆为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中，由勾股定理得：22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()222363x x R +-=+= 解得：3x =，3R =∴球的体积为：343233V R ππ==本题正确选项：D【点睛】本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径. 3．C解析：C【解析】【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案.【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.4．C解析：C【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.5．C解析：C【解析】【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.6．C解析：C【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心， 半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π. 7．C解析：C【解析】【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，利用线面垂直的判定定理，证得1AD ⊥平面1A DC ，由此能求出结果．【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥， 由线面垂直的判定定理得1AD ⊥平面1A DC ，所以11AD AC ⊥, 所以异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是90．故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．8．B【解析】化简圆M:x 2+(y −a)2=a 2⇒M(0,a),r 1=a ⇒M 到直线x +y =0的距离d =a √2⇒(a √2)2+2=a 2⇒a =2⇒M(0,2),r 1=2， 又N(1,1),r 2=1⇒|MN|=√2⇒|r 1−r 2|<|MN|< |r 1+r 2|⇒两圆相交. 选B9．B解析：B【解析】【分析】 根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得.【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD -完全满足题意，故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球， 故外接球半径222722294R ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==， 故该球的表面积为28144S R ππ==. 故选：B .【点睛】 本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球. 10．B解析：B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用x y c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.11．A解析：A【解析】【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可.【详解】作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点,所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B ,所以//EF 平面11BCC B ，由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF ,结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC ,因为正方体的棱长AB ＝4, 所以1122,25,42EF BE C F BC ====所以所求截面的周长为2+5故选:A【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.12．C解析：C【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案．【详解】正四面体ABCD中，,E F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，在A中，不存在点G，使PG EF⊥成立，故A错误；在B中，不存在点G，使FG EP⊥成立，故B错误；在C中，不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确；在D中，存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．13．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1=2333=，∴116 13OO=-=∴高SD=2OO1=263，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=34，∴132623436S ABCV-=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．14．D解析：D【解析】【分析】A中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．B中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．C中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．D中，在直线n上取一点Q，过点Q作直线m 的平行线m′，所以m′与n是两条相交直线，m′⊂β，n⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案．【详解】由题意，对于A中，若m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A错误．对于B中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B错误．对于C中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C错误．对于D中，在直线n上取一点Q，过点Q作直线m 的平行线m′，所以m′与n是两条相交直线，m′⊂β，n⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D正确．故选D．【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．15．B解析：B【解析】试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质二、填空题16．【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题 解析：1934011x y ++= 【解析】【分析】 先求出两相交直线的交点，设出平行于直线3470x y +-=的直线方程，根据交点在直线上，求出直线方程.【详解】联立直线的方程23103470x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，得到两直线的交点坐标135(,)1111-， 平行于直线3470x y +-=的直线方程设为340x y c ++=， 则1353()4()+01111c ⋅-+⋅= 所以直线的方程为：1934011x y ++= 故答案为：1934011x y ++= 【点睛】 本题考查了直线的交点，以及与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.17．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与解析：⎡⎤⎣⎦【解析】【分析】由题可知8AC =,而过(1,0)F 的弦BD 过圆心时最长,与EF 垂直时最短,据此则可以确定四边形ABCD 的面积的取值范围.【详解】由题知,直线1l 过圆心(1,0)E -,故8AC =,设圆心(1,0)E -到直线2l 的距离为d ,则02d EF ≤≤=,所以BD ⎡⎤=⎣⎦,所以四边形ABCD 的面积12S AB CD ⎡⎤=⋅⋅∈⎣⎦;故答案为:⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查直线与圆相交时的弦长､面积问题,解题关键是明确:过圆内一点的作弦,弦过圆心时最长,与最长的弦垂直时弦最短.18．【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得如图所示PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径且设正方体棱长为a 则由得所以因为球心到平面ABC 的距离为考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径，且PF ABC ⊥平面,设正方体棱长为a ，则2312,2,a a AB AC BC =====122ABC S ∆=⨯=由P ABC B PAC V V --=，得111••222332ABC h S ∆=⨯⨯⨯⨯，所以h =ABC 考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力19．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O 在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O 在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O 在点处的切线的方程的斜率∴圆O 在点A 处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的30y +-=【解析】【分析】先求出k OA ，从而圆O 在点(处的切线的方程的斜率k = ，由此能出圆O在点A 处的切线的方程．【详解】kOA =O 在点(处的切线的方程的斜率k =，∴圆O 在点A (处的切线的方程1y x =-） ，30y +-=．30y +-=.【点睛】本题考查圆的切线方程的求法，属中档题. 20．【解析】【分析】过作交于连接根据可得平面通过解三角形求得的值也即求得的值【详解】过作交于连接根据可得平面故由于所以由于所以在直角三角形中所以而故根据前面证得可得【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定 解析：13【解析】【分析】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，通过解三角形求得:AF FC 的值，也即求得PE EC 的值. 【详解】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，故AC EF ⊥，由于PA AC ⊥，所以//EF PA .由于AD CD =，所以π4DAC BAC ∠=∠=.在直角三角形ABF 中，π1,4AB BAF =∠=，所以22AF AB ==，而AC =:1:3AF FC =.根据前面证得//EF PA ，可得::1:3PE EC AF FC ==.【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定，考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题.21．【解析】【分析】将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分相加求和即可【详解】如图将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分其中四棱锥的高为为梯形则故多面体体积为故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法根据 解析：43 【解析】 【分析】 将多面体ABC MNP -分为四棱锥N ACPM -与三棱锥N ABC -两部分相加求和即可. 【详解】如图, 将多面体ABC MNP -分为四棱锥N ACPM -与三棱锥N ABC -两部分. 其中四棱锥N ACPM -的高为2sin 603⨯︒=.ACPM 为梯形.则()3521833323N ACPM V -+⨯=⨯⨯=.123434323N ABC V -⨯=⨯⨯=. 故多面体ABC MNP -体积为83434333+=故答案为：3【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法,根据多面体的特征分为两个棱锥计算即可.属于中档题.22．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B 则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题解析：()1,4,1--【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果.【详解】设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z +++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--．【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 23．【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断对于A 当动点P 与点重合时以等腰三角形与不垂直所以不能得出平面A 为假命题；对于B 易证所以平面所以平面⊥平面故B 为真命题；对于C 在底面上的射影图形的面积为定值 解析：BC【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断，对于A ，当动点P 与点1D 重合时，MNP ∆以等腰三角形，PM 与1ND 不垂直，所以不能得出平面11MB P ND ⊥，A 为假命题；对于B ，易证11111ND MB MB A D ⊥⊥，，所以1MB ⊥平面11ND A ，所以平面1MB P ⊥平面11ND A ，故B 为真命题；对于C ，∆ 1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值，因为1MB P ∆在底面ABCD 的射影是三角形，底边是MB ，点P 在底面的射影在CD 上，到MB 的距离不变，若正方体棱长为a 时，则射影面积为214a 为定值，所以C 为真命题；对于D ，当P 点与点1C 重合时，则点1B 与点P 的投影重合，此时∆ 1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是线段，不是三角形，故D 是假命题。
2022-2023学年安徽省六安市高一年级下学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省六安市高一年级下学期期中考试数学试题一、单选题1．的值为（ ）()sin 120tan225-A ．B C ．D ．1212-【答案】A【分析】利用诱导公式求三角函数值即可.【详解】因为sin(120)sin120sin(9030)cos30-=-=-+=-= ，tan 225tan(18045)tan 451=+==所以.sin(120)tan 225-= 故选：A.2．已知向量，，若，则（ ）(2,1)a →=(),2b x =-//a b →→2a b =- A ．B ．C ．D ．()3,1-()2,1()2,1--()10,5【答案】D【分析】根据向量平行的坐标表示，结合向量坐标运算求解即可.【详解】解：因为向量，，(2,1)a →=(),2b x =-//a b→→所以，解得，40x +=4x =-所以，()4,2b =--所以()()()22,18,410,5a b -=---=故选：D3．已知单位向量、满足，则（ ）a →b →a b →→⊥()2a a b ⋅-=A ．B ．C ．D ．01212【答案】D 【分析】由题知，进而结合运算律求解即可.1,0a b a b ==⋅=【详解】解：因为单位向量、满足，a →b →a b →→⊥所以，1,0a b a b ==⋅= 所以.()2222a a b a a b ⋅-=-⋅=故选：D4．已知角终边经过点，则的值为（ ）θ(1,2)-πsin 2sin(π)2cos(π)sin(2π)θθθθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-+-A ．B ．C ．D ．5-553-53【答案】B【分析】确定，化简得到原式为，计算得到答案.tan 2θ=-2tan 1tan 1θθ-+【详解】角终边经过点，故，θ(1,2)-tan 2θ=-，πsin 2sin(π)cos 2sin 2tan 1525cos(π)sin(2π)cos sin tan 11θθθθθθθθθθ⎛⎫+++ ⎪---⎝⎭====-+---+-故选：B5．如图，在中，，为CD 的中点，设，，则（ ）ABC 2BD AD =E AB a=AC b = AE = A ．B ．C ．D ．1132a b + 1142a b +1152a b +1162a b +【答案】D【分析】根据向量的线性运算结合条件即可得答案.【详解】由已知得.()1111111122222326AE AC AD AC AD AC AB b a=+=+=+⨯=+故选：D.6．若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（ ）a →b →(2,0)a →=1b =2a b+ A B ．C ．4D 【答案】D【分析】确定，利用数量积的运算律计算，得到答案.2a →=2221a b += 【详解】，则，，(2,0)a →=2a →=2221244164211212a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=故.2a 故选：D.7．函数（﹥，且）在一个周期内的图象如图所示，下列结论()()sin f x A x ωϕ=+A 00ω>π<ϕ正确的是（ ）A ．B ．在上单调递减()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．D ．把的图象向左平移个单位可以得到5π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2sin 2y x =2π3的图象()f x 【答案】C【分析】由正弦函数图象性质求得，再依次讨论各选项即可.()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【详解】解：由题知，5πππ2,212122T A ⎛⎫==--=⎪⎝⎭所以，解得，2ππT ω==2ω=所以，()()2sin 2x x f ϕ=+再将点代入得，即π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭π22sin 6ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭πsin 16ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭所以，ππ2π,Z62k k ϕ-+=+∈因为，所以，π<ϕ2π3ϕ=所以，故A 选项错误；()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，由于正弦函数在区间上不单调，故在ππ,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦2π4ππ2,333x ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦4ππ,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()f x 上不单调，B 选项错误；ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C选项正确；5π5π2ππ2sin 2sin 6333f ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把的图象向左平移个单位可以得到的图象，故D 选项错误.2sin 2y x =2π34π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：C8．已知与均为单位向量，若恒成立，则的取值范围为1e 2e 1e + R t ∈12,e e 〈〉 （ ）A ．B ．C ．D ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】平方整理得到，由求解即可.22112cos ,40t t e e +≥+ 21204cos ,1e e∆=-≤ 【详解】，即，1e + 22121212122223212cos ,4e te e t e e e e e t t t +⋅=+++=+≥ 即恒成立，故，22112cos ,40t t e e +≥+21204cos ,1e e ∆=-≤解得，又，12s 121co ,2e e -≤≤ []12,0,πe e ∈ 所以.12π2π,,33e e ⎡⎤〈〉∈⎢⎥⎣⎦ 故选：A二、多选题9．已知平面向量、、，下列四个命题不正确的是（ ）a →b →c →A ．若∥且∥，则∥B ．a →b →b →c →a →c →a b a b-≤+C ．若，则D ．a b b c →→→→⋅=⋅a →=c →()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 【答案】ACD【分析】举反例得到AC 错误，，D 错误，B 正确，得到答案.()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅【详解】对选项A ：当，任意和均满足条件，错误；0b = a c对选项B ：，正确；a b a b-≤+ 对选项C ：当，任意和均满足条件，错误；0b = a c对选项D ：，错误；()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅ 故选：ACD.10．函数，则以下结论中正确的是（ ）()π2sin 2f x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．在上单调递减B ．直线为图象的一条对称轴()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭π6x =()f xC ．的最小正周期为D ．在上的值域是()f x 2π()f x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(【答案】AC【分析】化简得到，再根据三角函数的单调性，对称轴和周期值域依次判断每个选项()2cos f x x=得到答案.【详解】，()π2sin 22cos xf x x ⎛⎫=⎪+⎭= ⎝对选项A ：在上单调递减，正确；()f x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对选项B ：不是图像的对称轴，错误；π6x =()f x 对选项C ：的最小正周期为，正确；()f x 2πT =对选项D ：，则，，错误.π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()cos 0,1x ∈()()2cos 0,2x f x ∈=故选：AC11．下列命题中正确的是（ ）A ．若向量，，则、可作为平面向量的一组基底()1,2a =()3,1b =a →b →B ．若四边形为平行四边形，且，则顶点的坐标为ABCD ()()()5,1,1,7,1,2A B C --D (7,6)-C ．若是等边三角形，则ABC π,3AB BC =D ．已知向量满足，，且，则在上的投影向量的坐标为,a b →→()1,1a = 4b = π,4a b = b →a →(2,2)【答案】ABD【分析】，不共线，A 正确，得到，B 正确，，C 错误，根据a b AB DC = ()7,6D -32,πAB BC 〈〉= 投影向量公式计算得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：，，，不共线，可以作为平面向量的一组基底，正确；(1,2)a →=()3,1b =a b 对选项B ：四边形为平行四边形，则，ABCD AB DC =设，则，解得，，即，正确；(),D x y ()()6,81,2x y -=--7x =y =-6()7,6D -对选项C ：若是等边三角形，则，错误；ABC 32π,AB BC =对选项D ：在上的投影向量为，正确；b →a →()cos 422,2,b a a b aa ==⋅= 故选：ABD12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，O ABC ，，的面积分别为，则，是内的BOC AOC AOB ,,A B C S S S 0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=O ABC 一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）BAC ABC ACB ABCA ．若，则2340OA OB OC ++=4:::3:2A B CS S S =B ．若，，且，则2OA OB == 23AOB π∠=2340OA OB OC ++= ABC S =△C ．若，则为的垂心OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅O ABC D ．若为的内心，且，则O ABC 512130OA OB OC ++= π2ACB ∠=【答案】BCD【分析】根据题意得到，A 错误，计算B 正确，::2:3:4A B C S S S =AOB S = 确定得到C 正确，根据面积公式得到，得到D 正确，得到答案.CA OB ⊥5:::12:13B AB C AC =【详解】对选项A ：，则，错误；2340OA OB OC ++=::2:3:4A B C S S S =对选项B ：，122sin1202AOB S =⨯⨯⨯︒=△2340OA OB OC ++=故，::2:3:4A B C S S S =94ABC A S S =⨯=△对选项C ：，即，故，OA OB OB OC ⋅=⋅ ()0OA OC OB CA OB -⋅=⋅=CA OB ⊥ 同理可得，，故为的垂心，正确；CB OA ⊥ AB OC ⊥O ABC 对选项D ：，故，设内接圆半径为，512130OA OB OC ++=5:12:::13A B C S S S =r ，，，即，12A S r BC =⋅12B S r AC =⋅12C S r AB=⋅5:::12:13B AB C AC =即，，正确.222AB AC BC =+π2ACB ∠=故选：BCD三、填空题13．已知，则___________．π3cos 65α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4πsin 3α⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】/350.6【分析】根据，结合诱导公式求解即可.π4π3π632αα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】解：因为，π4π3π632αα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3cos 65α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以4π3πππππ3sin sin sin cos 3262665αααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=---=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦故答案为：3514．已知向量，，．若，则实数___________．(2,1)a →=(1,0)b = c a kb =+ a c →→⊥k =【答案】/52-2.5-【分析】根据向量的坐标运算与垂直关系的坐标表示求解即可.【详解】解：因为，，(2,1)a →=(1,0)b = c a kb=+ 所以，()()()2,1,02,1c a kb k k =+=+=+因为，a c →→⊥所以，解得，()221250a c k k →→⋅=++=+=52k =-故答案为：52-15．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足，，则P 的轨迹一定经过的2cos cos OA OB CA CB OP CA A CB B λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭R λ∈ABC ___________．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）【答案】外心【分析】为中点，连接，计算，，得D AB CD 2OA OB OP DP +-= 0cos cos CA CB BA CA A CB B ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭到，得到答案.DP BA ⊥【详解】如图所示：为中点，连接，D AB CD ，0cos cos cos cos CA CB CA BACB BABA BA BA CA A CB B CA A CB B⎛⎫⋅⋅ ⎪+⋅=+=-= ⎪⎝⎭，故，2OA OB OP OP OD DP+-=-= 0cos cos CA CB DP BA BA CA A CB B λ⎛⎫ ⎪⋅=+⋅= ⎪⎝⎭即，故的轨迹一定经过的外心.DP BA ⊥ P ABC 故答案为：外心16．已知向量与的模均为，且，点在以为圆心的劣弧上运动，若OA OB 25π,6OA OB 〈〉=C O AB ，，则的取值范围是___________．OC xOA yOB =+,R x y ∈x 【答案】[]2,1-【分析】由题建立直角坐标，设，，进而根据向量关()5π2cos ,2sin ,0,6C θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2,0,A B 系得，再结合三角恒等变换求解即可.cos 2sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩【详解】解：根据题意，作出如图的图形，设，()()2,0,A B 则点在以为圆心的劣弧上运动，其轨迹方程为，OAB ()2242,02x y x y +=≤≤≤≤所以，设，()5π2cos ,2sin ,0,6C θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，()()2,0,OA OB ==所以，()2,yOC xOA yOB x +==所以，解得22cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩cos 2sin x y θθθ⎧+⎪⎨=⎪⎩所以，，πcos cos 2cos 3x θθθθ-θθ⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭因为，，5π0,6θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ7π,336θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以，即ππcos πcos cos 33θ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭π11cos 32θ⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭所以，即π22cos 13θ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭[]2,1x ∈-所以，的取值范围是x []2,1-故答案为：[]2,1-四、解答题17．已知平面向量，．(1,2)a →=-()1,4b =-(1)若与垂直，求实数的值；4a b +k a b →→-k(2)若为与的夹角，求的值．θ4a b +a b →→+tan θ【答案】(1)1911-(2)34-【分析】（1）确定，，计算得到答案.()43,4a b +=-()1,24k a b k k →→-=--+()4b a a b k →→⎛⎫-+⋅= ⎪⎝⎭ （2）确定，，根据向量的夹角公式计算，得到答案.()43,4a b +=-()0,2a b →→+=-4cos 5θ=-【详解】（1），，则，，(1,2)a →=-()1,4b =- ()43,4a b +=-()1,24k a b k k →→-=--+，()()()0431,2433816,4a k a b k k k b k →→+⋅=-⋅⎛⎫---+=+++= ⎪⎝⎭ 解得.1911k =-（2），，则，()43,4a b +=- ()0,2a b →→+=-()84cos 52544a a b b a b ba θ→→→→⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭+⋅+-===-⨯+ ，故，故.[]0,πθ∈3sin 5θ==sin 3tan cos 4θθθ==-18．已知，为锐角，，．αβsin α=()3cos π5β-=-(1)求的值；sin2α(2)求的值．()cos αβ-【答案】(2)15+【分析】（1）确定，再利用二倍角公式计算得到答案.1cos 3α==（2）确定，，再利用和差公式计算得到答案.3cos 5β=4sin 5β=【详解】（1）为锐角，，αsin α=1cos 3α==1sin22sin cos 23ααα==（2），则，为锐角，则.()3cos πcos 5ββ-=-=-3cos 5β=β4sin 5β==.()3141cos cos cos sin sin 5355αβαβαβ-=+=⨯+=+19．已知，，设函数.),1a x = ),2b x =- ()()f x a b a =+⋅ (1)求的单调递增区间；()f x (2)若，求值域.π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 【答案】(1)3πππ,+π,Z 88k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦(2)(-【分析】（1）化简得到，解不等式得到答案.()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ2π2+2π,Z 242k x k k -≤+≤∈（2），则，故，得到值域.π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π2,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 24x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦【详解】（1）()()222cos 12sin cos 2sin 2cos 2f x a b a a a b x x x x x =+⋅=+⋅=++-=+.π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭取，解得.πππ2π2+2π,Z 242k x k k -≤+≤∈3πππ+π,Z 88k x k k -≤≤∈故函数的单调递增区间为.3πππ,+π,Z 88k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦（2），则，故，.π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π2,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 24x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦()(f x ∈-20．已知向量，．(2,0)a →=b →=(1)设，求的最小值；R k ∈2a kb - (2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.+ ta b a tb +【答案】(1)(2)(21)(1,2--⋃--【分析】由平面向量的坐标计算即可.【详解】（1）由题意得：，22(2,0)(4,)a kb k k -=-=-所以2a kb -===所以当时，取得最小值为1k =2a kb -（2）由于，，向量与向(2,0)(2ta b t t +=+=+ (2,0)(2)a tb t t +=+=+ + ta b 量的夹角为钝角，a tb + 所以，且向量与向量不能共线，即()()0ta b a tb +⋅+< + ta b a tb + 1t ≠±即2(21)(2)2820t t t t ++=++<所以22t -<<-故实数t 的取值范围为：(21)(1,2--⋃--+21．已知点是外接圆的圆心，点是边的中点.O ABC M BC (1)若，，求的值；4AM =6BC =AB AC ⋅(2)若，的值.7AB =AC =AO AM ⋅ 【答案】(1)7(2)18【分析】（1）确定，，平方再相减得到答案.()12AM AB AC =+ BC AC AB =-（2）计算，，确定，代入计算得到答案.492AO AB =⋅ 232AO AC =⋅ ()12AO AM AO AB AO AC =⋅⋅⋅+ 【详解】（1）点是边的中点，则，M BC ()12AM AB AC =+ 故；2224264AM AB AC AB AC =++⋅= ，故，BC AC AB =-()2222236BC AC AB AB AC AB AC =-=+-⋅=故，即.428AB AC ⋅= 7AB AC ⋅= （2）点，分别为，的中点，连接，，则，，D E AB AC OD OE OD AB ⊥OE AC ⊥，211492cos 22AB AO AB AO AB BAO AO AB AB AO ⋅⋅=∠=⋅=⋅=同理得到，212322AO AC AC =⋅= .()()11149231822222AO AM AO AB AC AO AB AO AC ⎛⎫⋅⋅+=+==+= ⎪⎝⎭⋅⋅ 22．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向O ()sin cos f x a x b x =+(),OM a b = ()f x 量，同时称函数为向量的伴随函数.()f x OM (1)设函数，试求的伴随向量的坐标；5π3π()sin cos 62g x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x (2)记向量的伴随函数为，当且时，求的值；ON = ()f x 8()5f x =ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin x (3)设向量，的伴随函数为，的伴随函数为，记函数()2,2OP λλ=- R λ∈()u x ()1,1OQ = ()v x ，求在上的最大值.()()()2h x u x vx =+()h x []0,π【答案】(1)121OM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭(3)()2max12,12,1,h x λλλλλ-≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩【分析】（1）化简的解析式，从而求得伴随向量；()g x OM（2）先求得，由求得，进而求得，从而求得；()f x ()85f x =πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin x （3）先求得，然后根据三角函数的值域与二次函数最值分类讨论求解即可.()h x 【详解】（1）解：()5π3πsin cos 62g x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭，11cos sin 1sin cos 22x x x x x ⎛=++=+⎝所以.121OM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭（2）解：依题意，()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭由得，()85f x =π8π42sin ,sin 3535x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，ππππ,,0,3632x x ⎛⎫⎛⎫∈-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以ππ1ππsin sin sin 33233x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3）解：由题知，π()2sin 2cos sin 4u x x x x λλ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，ππππ()sin cos 4424v x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以()()()22ππsin 2cos 44h x u x v x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2sin sin 244x x ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，，[]0,πx ∈ππ3π,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以，，πsin 4x ⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦令，πsin 4t x ⎡⎤⎛⎫=-∈⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦所以，问题转化为函数的最值问题.222,y t t t ⎡⎤=-++∈⎢⎥⎣⎦因为函数的对称轴为，222,y t t t ⎡⎤=-++∈⎢⎥⎣⎦t =所以，当时，的最大值在处取t =≤1λ≤-222,y t t t ⎡⎤=-++∈⎢⎥⎣⎦t =得，为；12λ-当，即时，的最大值在处取得，为；1t=≥λ≥222,y t t t ⎡⎤=-++∈⎢⎥⎣⎦1t=当，即的最大值在处取得，1<<1λ-<<222,y t t t ⎡⎤=-++∈⎢⎥⎣⎦t =为；22λ+综上，在上的最大值为.()h x []0,π()2max 12,12,1,h x λλλλλ-≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩【点睛】方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法.。
安徽省六安市高一下学期期中数学试卷
安徽省六安市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共14题；共28分)1. （2分）(2016·普兰店模拟) △ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足，则角C的范围是（）A .B .C .D .2. （2分）已知等比数列的前三项依次为t、t-2、t-3.则（）A .B .C .D .3. （2分）若是等差数列，公差， a2,a3,a5成等比数列，则公比为（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分） (2015高二上·广州期末) 正实数a，b满足ab=ba ，且0＜a＜1，则a，b的大小关系是（）A . a＞bB . a=bC . a＜bD . 不能确定5. （2分）下列函数中，最小值为4的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2015高二上·东莞期末) 在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A . 第13项B . 第14项C . 第15项D . 第16项7. （2分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠ADC=120°，∠BCD=45°，∠ABC=60°，BC= ，则线段AC长度的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高三上·赣州期末) 中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一个走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为（）A . 48里B . 24里C . 12里D . 6里9. （2分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积（）A .B .C .D .10. （2分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（cm2）（）A . 2π+6B . 2π+6C . 6+(2+2)πD . 6+(+2)π11. （2分）棱长为2的正四面体（各面均为正三角形）俯视图如图所示，则它正视图的面积为（）A . 2B .C .D .12. （2分） (2016高二上·赣州开学考) 数列{an}的通项公式an=ncos ，其前n项和为Sn ，则S2015=（）A . 1008B . 2015C . ﹣1008D . ﹣50413. （2分）若正实数a，b满足a+b=1，则（）A . 有最大值4B . ab有最小值C . +有最大值D . a2+b2有最小值14. （2分） (2016高一下·揭阳期中) 已知在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a=4，b+c=5．A=60°，则△ABC的面积为（）A .B . 3C .D .二、填空题 (共4题；共4分)15. （1分）(2016·海南模拟) 已知数列{an}中，a1=2，an﹣an﹣1﹣2n=0（n≥2，n∈N）．设bn=+…+ ，若对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式t2﹣2mt+ ＞bn恒成立，则实数t的取值范围是________．16. （1分）集合A={t|t∈Z，关于x的不等式x2≤2﹣|x﹣t|至少有一个负数解 }，则集合A中的元素之和等于________．17. （1分） (2019高三上·深圳期末) 等差数列的前n项和为，，，对一切恒成立，则的取值范围为________.18. （1分） (2019高二上·会宁期中) 已知数列的前n项和 = -2n+1,则通项公式 =________.三、解答题 (共5题；共35分)19. （5分）解关于x的不等式ax2+2x﹣1＞0（a为常数）．20. （10分） (2019高一下·巴音郭楞月考) 在中，角，，的对边分别是，，，，．（1）若，求．（2）若在线段上，且，，求的长．21. （5分）某几何体的三视图所示．（Ⅰ）求此几何体的表面积；（Ⅱ）求此几何体的体积．22. （5分）(2017·六安模拟) 已知数列{an}满足a1=1，an+1=1﹣，其中n∈N* ．（Ⅰ）设bn= ，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式an；（Ⅱ）设Cn= ，数列{CnCn+2}的前n项和为Tn ，是否存在正整数m，使得Tn＜对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．23. （10分） (2016高二上·叶县期中) 在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+ ）an+ ．（1）设bn= ，求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn．参考答案一、选择题 (共14题；共28分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、填空题 (共4题；共4分)15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题；共35分) 19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、23-2、第11 页共11 页。
安徽省六安中学高一数学下学期期中试题新人教A版
高一期中考试数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1 ( ) A 、22sin 15cos 15︒︒+ B 、2sin15cos15︒︒C 、22cos 15sin 15︒︒- D 、22sin 151︒-2、已知向量(1,2),(5,)a b k =-=，若//a b ，则实数k 的值为 ( )A 、5B 、5-C 、10D 、10-3、数列 ,1,0,1,0,1的一个通项公式是 （ ）A 、()2111+--=n n a B 、()2111+-+=n n a C 、()211--=n na D 、()211nna ---=4、在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是（ ）A 、钝角三角形.B 、直角三角形.C 、锐角三角形.D 、不能确定.5、设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为 ( ) A 、-3 B 、-1 C 、1 D 、36、已知平面内三点A （-1，0），B （x ，6），P （3，4），且−→−AP =λ−→−PB ，x 和λ的值分别为A 、-7，2B 、5，2C 、-7，52 D 、5，527、已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若→→+b n a m 与 →→-b a 2共线，则nm等于( ) A 、21-B 、21C 、2-D 、28、函数21()cos 2f x x =-的周期为 （ ）Ａ、4π Ｂ、2πＣ、2π Ｄ、π 9、在ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于（ ）A 、1:2:3B 、3:2:1C 、D 、2 10、在ABC ∆中，有命题①=-；②=++；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆ 为等腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形. 上述命题正确的是 （ ）BACA 、①② B、①④ C、②③ D、②③④ 二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．) 11、已知()*1133,21N n a a a a n n n ∈+==+，则=4a . 12、为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩,A B （如图），要测算,A B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得50BC m =，105,45ABC BCA ∠=∠=，就可以计算 出,A B两点的距离为 .13．在△ABC 中，||＝3，|AC |＝2，与AC 的夹角为60°，则|-AC |＝________ 14、设a 与b 为非零向量，给出下列结论：①若a 与b 平行，则a 与b 向量的方向相同或相反；②若,, AB a CD b ==a 与b 共线，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；③若a 与b 共线，则a b a b +=+；④若a 与b 反向，则a a b b=-其中正确的结论是 .（填序号）答题卡二、填空题：11、________ 12、________ 13、________ 14、________三、解答题：(本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15、已知：→a 、→b 、→c 是同一平面内的三个向量，其中→a =（1，2） （8分） （1）若|→c |=25，且→c ‖→a，求→c 的坐标（2）若|→b |=25，且→a +2→b 与2→a -→b 垂直，求→a 与→b 的夹角的大小。
2022-2023学年安徽省六安市高一下学期第二次段考(期中)数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省六安市高一下学期第二次段考（期中）数学试题一、单选题1．已知复数()1i z m m m =-+为纯虚数，则实数m 的值为（）A ．1-B ．1C ．1或1-D ．1-或0【答案】B【分析】根据纯虚数的定义求解.【详解】因为z 是纯虚数，所以()100 m m m ⎧-=⎨≠⎩，解得1m =．故选：B ．2．设集合{}20A x x =-≥，{}2280B x x x =--<，全集U =R ，则U B A ⋃=ð（）A ．()4,+∞B ．(),4-∞C ．[)4,+∞D ．(],4-∞-【答案】B【分析】解不等式可求得集合,A B ，由补集和并集定义可求得结果.【详解】由20x -≥得：2x ≥，则[)2,A =+∞，(),2U A ∴=-∞ð；由2280x x --<得：24-<<x ，则()2,4B =-，(),4U B A ∴=-∞ ð.故选：B.3．已知tan 2α=，则6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值为（）A ．4-B ．134C ．134-D ．134±【答案】B【分析】根据题意，利用同角三角函数之间的关系即可求得结果.【详解】由tan 2α=，6sin cos 3sin 2cos αααα+-分子分母同时除以cos α，可得：6sin cos 6tan 1621133sin 2cos 3tan 23224αααααα++⨯+===--⨯-.故选：B.4．下列说法错误的是（）A ．球体是旋转体B ．圆柱的母线平行于轴C ．斜棱柱的侧面中没有矩形D ．用平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台【答案】C【分析】利用球体的定义判断A ；利用圆柱的结构特征判断B ；举例说明判断C ；利用正棱台的定义判断D .【详解】因球体是半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体，即球体是旋转体，A 正确；由圆柱的结构特征知，圆柱的母线平行于圆柱的轴，垂直于其底面，B 正确；如图，斜平行六面体1111ABCD A B C D -中，若AD ⊥平面11ABB A ，则侧面四边形11ADD A 是矩形，C 错误；由正棱台的定义知：用平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台，D 正确.故选：C5．方程lg 3x x +=的解所在的一个区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】C【分析】令()lg 3f x x x =+-，由零点存在定理判断区间【详解】令()lg 3f x x x =+-，则()f x 单调递增，由()22lg 23lg 210f =+-=-<，()33lg 33lg 30f =+-=>，∴方程lg 3x x +=的解所在一个区间是()2,3．故选：C ．6．若0x <，则1x x+（）A ．有最小值2-B ．有最大值2-C ．有最小值2D ．有最大值2【答案】B【分析】运用基本不等式求解即可.【详解】因为0x <，则0x ->，所以11()()2()()2x x x x-+≥-⋅=--，当且仅当1x x -=-即：=1x -时取等号.所以12x x+≤-，当且仅当=1x -时取等号.故选：B.7．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知3cos cos A aC c=，且222a c b -=，则b =（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】根据正弦定理及余弦定理可求解.【详解】3cos cos A aC c=，即为3c cos A ＝a cos C ，即有3c 2222b c a bc+-⋅=a 2222a b c ab +-⋅，即有a 2﹣c 212=b 2，又a 2﹣c 2＝2b ，则2b 12=b 2，解得b ＝4．故选：A ．8．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移(m)y 和时间(s)t 的函数关系为sin()(0,π)y t ωϕωϕ=+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（）A ．1s3B ．2s3C ．1sD ．4s3【答案】C【分析】先根据周期求出2π3ω=，再解不等式2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得到t 的范围即得解.【详解】因为122t t +=，235t t +=，31t t T -=，所以3T =，又2πT ω=，所以2π3ω=，则2πsin 3y t ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由0.5y >可得2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以π2π5π2π2π,Z 636k t k k ϕ+<+<+∈，所以135333,Z 42π42πk t k k ϕϕ+-<<-+∈，故531333142π42πk k ϕϕ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为1s ．故选：C.二、多选题9．设1e 、2e 是平面内两个不共线的向量，则以下a ，b可作为该平面内一组基底的是（）A ．12a e e =+ ，1b e =B ．122a e e =+ ，121142b e e =+C ．12a e e =-+ ，12b e e =-r u r ur D ．122a e e =-r u r ur ，124b e e =-+ 【答案】ABD【分析】根据平面基底向量的概念逐项分析判断.【详解】因为1e 、2e是平面内两个不共线的向量，则有：对于A ：设a b λ=，即121e e e λ+= ，显然不成立，即a 不能用b 表示，故a ，b不共线，所以A 符合；对于B ：设a b λ= ，即1212121124242e e e e e e λλλ⎛⎫== ⎪⎝⎭+++u r ur ur ur u r ur ，则2412λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，无解，即a 不能用b 表示，所以a ，b不共线，故B 符合；对于C ：a b =- ，故a ，b共线，所以C 不符合；对于D ：设a b λ=，即()121212244e e e e e e λλλ--+-+==u r ur u r ur u r ur ，则142λλ-=⎧⎨=-⎩，无解，即a 不能用b 表示，故a ，b不共线，所以D 符合．故选：ABD ．10．已知复数13i z =-在复平面内对应的点为P ，则下列结论正确的是（）A ．点P 的坐标为()1,3-B ．13iz =+C ．2z =D ．z 的虚部为3i【答案】AB【分析】利用复数的几何意义及共轭复数的定义，结合复数的模公式及复数的概念即可求解.【详解】复数13i z =-在复平面内对应的点为()1,3P -，故A 正确；因为13i z =-，所以13i z =+，故B 正确；()221310z =+-=，故C 错误；13i z =-的虚部为3-，故D 错误．故选：AB ．11．将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后，所得图象关于原点对称，则ϕ的值可以是（）A ．π12B ．π3C ．2π3D ．7π12【答案】AD【分析】根据三角函数图象的平移变换求出变换后的解析式，再根据所得图象关于原点对称，即可求出答案.【详解】将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位长度后得到πsin 226y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，该图象关于原点对称，所以π2π,6k k ϕ-=∈Z ，即ππ,212k k ϕ=+∈Z ，所以ϕ的值可以是π12，7π12．故选：AD ．12．在 ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列条件能判断 ABC 是钝角三角形的有（）A ．cos cos a A bB =B ．2AB BC a⋅= C ．sin sin sin a b Cc b A B-=++D ．cos cos b C c B b+=【答案】BC【分析】对于A ，由cos cos a A b B =，利用正弦定理和二倍角正弦公式判断；对于B ，由cos 2AB BC ac B a ⋅=-=判断；对于C ，利用正弦定理和余弦定理判断；对于D ，由cos cos b C c B b +=，利用正弦定理和两角和的正弦公式判断.【详解】对于A ，由cos cos a A b B =及正弦定理，可得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π+=，所以A B =或2A B π+=，所以 ABC 是等腰三角形或直角三角形，故A 不能判断；对于B ，由cos 2AB BC ac B a ⋅=-=，得cos 0B <，则B 为钝角，故B 能判断；对于C ，由正弦定理a b c c b a b -=++，得222b c a bc +-=-，则1cos 2A =-，23A π=，故C 能判断；对于D ，由cos cos b C cB b +=及正弦定理化边为角．可知sin cos sin cos sin BC C B B +=，即sin sin A B =，因为A ，B 为 ABC 的内角，所以A ＝B ，所以 ABC 是等腰三角形，故D 不能判断．故选：BC ．三、填空题13．已知某扇形的半径为1，圆心角为π6，则该扇形的面积为.【答案】π12【分析】直接根据扇形的面积公式可求出结果.【详解】该扇形的面积为2211ππ122612S r α==⨯⨯=.故答案为：π1214．已知0:p x ∃∈R ，200430x ax -+<，请写出一个使p 为假命题的实数a 的值，=a ．【答案】0（答案不唯一）【分析】利用命题的否定来找到一个满足条件即可.【详解】由题意，:p x ⌝∀∈R ，2430x ax -+≥为真命题，当0a =时，224330x ax x -+=+≥恒成立，满足题意，故答案为：0（答案不唯一）.15．已知幂函数()()()22231aa f x a a xa --=+-∈R 的图象在(0,)+∞上单调递减，则a 的取值为.【答案】1【分析】利用幂函数定义得211a a +-=，解得1a =或2a =-，再分别代入检验函数的单调性，即可得解.【详解】由幂函数定义得211a a +-=，解得1a =或2a =-，当1a =时，4()f x x -=，利用幂函数性质知：()f x 在(0,)+∞上单调递减；当2a =-时，5()f x x =，利用幂函数性质知：()f x 在(0,)+∞上单调递增，不符题意舍去.综上，a 的取值为1.故答案为：1.16．如图，在ABC 中，3BC BA BC =⋅=，点P 为边BC 上的一动点，则PA PC ⋅ 的最小值为.【答案】1-【分析】设BP BC λ= ，[]0,1λ∈，用BC 、BA 表示PA 、PC，再计算PA PC ⋅ 的最小值．【详解】由题意，设BP BC λ=，[]0,1λ∈，所以PA PB BA BP BA BC BA λ=+=-+=-+ ，()1PC BC λ=-.又3BC =，3BA BC ⋅=，所以()()()()2111PA PC BC BA BC BC BA BCλλλλλ⋅=-+⋅-=--+-⋅ ()()229319123λλλλλ=-+-=-+22913λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当23λ=时，PA PC ⋅ 取得最小值1-.故答案为：1-.四、解答题17．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 3α=.(1)求tan α的值；(2)求πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)22；(2)1266-.【分析】（1）根据已知可求出22sin 3α=，进而即可得出答案；（2）根据两角和的余弦公式，即可得出结果.【详解】（1）因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α>，所以22122sin 1cos 133αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以22sin 3tan 221cos 3ααα===.（2）由（1）得，1cos 3α=，22sin 3α=，则πππcos cos cos sin sin 333ααα⎛⎫+=⋅-⋅ ⎪⎝⎭112233232=⨯-⨯1266-=.18．已知()1,2a = ，(1,1)b =-．(1)若2a b + 与ka b -垂直，求k 的值；(2)若θ为2a b +与a b -的夹角，求θ的值．【答案】(1)0k =；(2)π4θ=.【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合垂直的坐标表示求解作答.（2）利用向量夹角的坐标表示计算作答.【详解】（1）因为()1,2a = ，(1,1)b =- ，则()23,3a b += ，()1,21ka b k k -=-+ ，依题意，(2)()3(1)3(21)90a b ka b k k k +⋅-=-++==，解得0k =，所以0k =.（2）由（1）知，()23,3a b += ，(0,3)a b -= ，则22|2|3332a b +=+=，||3a b -= ，因此303392cos 23232a b a b θ⨯+⨯===⨯+- ，而[]0,θπ∈，所以π4θ=.19．已知二次函数2()2(1)4f x x a x =--+.(1)若()f x 为偶函数，求()f x 在[3,1]-上的值域；(2)当[1,2]x ∈时，()f x ax >恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[4,13](2)(,2)-∞【分析】（1）函数2()2(1)4f x x a x =--+为二次函数，其对称轴为x ＝a −1．由f （x ）为偶函数，可得a ＝1，再利用二次函数的单调性判断函数f （x ）在[−1，3]上的值域；（2）f （x ）＞ax 恒成立可转化为2(32)40x a x --+>恒成立，可以先将参数单独提出来，再利用均值不等式判断24+x x的范围即可．【详解】（1）根据题意，函数2()2(1)4f x x a x =--+为二次函数，其对称轴为1x a =-.若()f x 为偶函数，则10a -=，解得1a =，则2()4f x x =+，又由31x - ，则有4()13f x ，即函数()f x 的值域为[4,13].（2）由题意知[1,2]x ∈时，()f x ax >恒成立，即2(32)40x a x --+>.所以2432x a x+-<恒成立，因为[1,2]x ∈，所以244424x x x x x x+=+⋅= ，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立.所以324a -<，解得2a <，所以a 的取值范围是(,2)-∞.20．已知函数()π3cos 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求函数()f x 在[]π,π-上的单调减区间；(3)求函数()f x 在区间ππ,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值.【答案】(1)()f x 的单调递增区间为()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间为()π5ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；(2)7π3π,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)()min 62f x =-，()max 3f x =.【分析】（1）根据解析式及诱导公式，先将ω化为正，再将π24x -放在cos y x =的单调区间内，即可求得()f x 的单调区间；（2）由（1）得()f x 的单调递减区间，令1k =-，0k =求得递减区间，再由[]π,πx ∈-即可得出结果；（3）先由ππ,42x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出π24x -的范围，再求出πcos 24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，进而得到()f x 的范围，即可得最值.【详解】（1）由题知()ππ3cos 23cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令πππ2π242x k k -≤≤-，Z k ∈，得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，令π2π22ππ4k x k ≤-≤+，Z k ∈，得π5πππ88k x k +≤≤+，Z k ∈，故()f x 的单调递增区间为()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间为()π5ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）由（1）可得()f x 的单调递减区间为()π5ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，令1k =-，()f x 在7π3π,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，令0k =，()f x 在π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，因为[]π,πx ∈-，所以()f x 在[]π,π-上的单调减区间是7π3π,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）由题知()ππ3cos 23cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当ππ,42x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3ππ3π2444x -≤-≤，根据cos y x =图象性质可知：π2cos 2,142x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以π63cos 2,342x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故当π3π244x -=或3π4-即π2x =或π4-时，()min 62f x =-，当π204x -=即π8x =时，()max 3f x =.21．对于定义在D 上的函数()f x ，如果存在实数0x ，使得()00f x x =，那么称0x 是函数()f x 的一个不动点.已知函数11221()log 4(1)224x x a f x a a --⎡⎤=⋅--++⎢⎥⎣⎦.(1)若0a =，求()f x 的不动点；(2)若函数()f x 恰有两个不动点1x ，2x ，且120x x <<，求正数a 的取值范围.【答案】(1)1-(2)1323a <<【分析】（1）由题设121()log (2)4x f x -=+，令()f x x =结合对数的性质求解即可.（2）由题设可得2112()202224x x a a a +⋅-⋅++=，令21x t =>问题化为211()02224a a a t t +-++=，即方程在(1,)+∞上有两个根，根据对应二次函数性质列不等式组求参数范围.【详解】（1）由题设121()log (2)4x f x -=+，定义域为R ，若()f x x =，即1221log (2)log 24x x-+=，所以11224x x -+=，可得=1x -，故1-是()f x 的不动点.（2）令112221()log [4(1)2]log 224x x x a f x a a x --=⋅--++==，且,()0x ∈+∞，所以11214(1)2224x x x a a a --⋅--++=，整理得2112()202224x x a a a +⋅-⋅++=，令21x t =>，则211()02224a a a t t +-++=，即方程在(1,)+∞上有两个不相等的根，且0a >，若211()()2224a a a g t t t +=-++开口向上且对称轴1122t a=+，2211122(1)Δ04211(1)02224a a a a a a a g ⎧+>⎪⎪+⎪=-->⎨⎪+⎪=-++>⎪⎩，则01333312a a a ⎧<<⎪⎪⎪-<<⎨⎪⎪>⎪⎩，故1323a <<.22．如图，某小区有一块空地ABC ，其中AB =50，AC =50，∠BAC =90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘AEF △，E ，F 在边BC 上（E ，F 不与B ，C 重合，且E 在B ，F 之间），且π4EAF ∠=.(1)若102BE =，求EF 的值；(2)为节省投入资金，小池塘AEF △的面积需要尽可能的小.设EAB θ∠=，试确定θ的值，使得AEF △的面积取得最小值，并求出AEF △面积的最小值.【答案】(1)8524(2)()125021-【分析】（1）在EAB 中，利用余弦定理、正弦定理求得17sin 17θ=，在ACF △中，利用正弦定理结合三角恒等变换可求CF ，即可得结果；（2）利用正弦定理用θ表示,AE AF ，再结合条件得到1250π2sin 214AEF S θ=⎛⎫++ ⎪⎝⎭△，最后根据三角函数的性质求最值即可.【详解】（1）由题意可得22502BC AB AC =+=，设π0,4EAB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则ππ,42FAC AFC θθ∠=-∠=+，在EAB 中，由余弦定理2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅⋅∠，则()22225010225010217002AE =+-⨯⨯⨯=，即1017AE =，由正弦定理sin sin BE AE EAB ABE=∠∠，可得2102sin 172sin 171017BE ABE EAB AE ⨯⋅∠∠===，即17πsin ,0,174θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，可得2417cos 1sin 17θθ=-=，在ACF △中，πππ2417217334sin sin sin cos cos sin 44421721734FAC θθθ⎛⎫∠=-=-=⨯-⨯= ⎪⎝⎭，π417sin sin cos 217AFC θθ⎛⎫∠=+== ⎪⎝⎭，由正弦定理sin sin CF ACFAC AFC=∠∠，可得33450sin 75234sin 441717AC FAC CF AFC ⨯⋅∠===∠，故75285250210244MN BC BE CF =--=--=.故EF 的值8524.（2）设π0,4EAB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则3ππ,42AEB AFC θθ∠=-∠=+，由正弦定理sin sin AB AEAEB ABE =∠∠，可得250sin 25223π3πsin sin sin 44AB ABE AE AEBθθ⨯⋅∠===∠⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在ACF △中，由正弦定理sin sin AF ACACF AFC =∠∠，可得250sin 2522πsin cos sin 2AC ACF AF AFCθθ⨯⋅∠===∠⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故AEF △的面积112522522sin 3π22cos 2sin 4AEF S AE AF EAF θθ=⋅⋅∠=⨯⨯⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭2625262512501250πsin cos cos sin 2cos 21222sin 212cos sin cos 422θθθθθθθθθ====+++⎛⎫⎛⎫+++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ3π2,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴2πsin 2124θ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，∴()12501250125021π212sin 214AEF S θ=≥=-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭△，当且仅当πsin 214θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即π8θ=时，等号成立，故AEF △面积的最小值()125021-.。
2022-2023学年安徽省高一下学期期中联考数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省高一下学期期中联考数学试题一、单选题1．若复数满足（是虚数单位），则（ ）z ()2i iz ⋅-=i z =A ．B ．C ．D ．12i 55+12i 55-12i 55-+12i 55--【答案】C【分析】根据复数的除法运算，化简即可得出答案.【详解】由已知可得，.()()()i 2i i 2i 112i 2i 2i 2i 555z +-====-+--+故选：C.2．正的边长为1，则（ ）ABC AB BC ⋅=A ．B ．CD ．1212-【答案】B【分析】根据，但要注意向量夹角的定义．cos a b a b θ⋅=【详解】．111cos1202AB BC ⋅=⨯⨯︒=-故选：B ．3．一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距海里，随后货轮按北偏西MS 15︒S a的方向，以每小时海里的速度航行30分钟后到达处．又测得灯塔在货轮的东北30︒20N 方向，则（ ）=a A ．20B ．40C ．D ．40-40+【答案】A【分析】由题意得出，，，再由两角和的正弦公式求出，根据正弦定理MN SNM∠MSN ∠sin105︒即可求出的值．a 【详解】由题可知，，，200.510MN =⨯=4560105SNM ∠=︒+︒=︒，180105(3015)30MSN ∠=︒-︒-︒+︒=︒由两角和的正弦公式得：sin105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60︒=︒+︒=︒︒+︒︒=在中，由正弦定理得：MNS，sin sin MN SM MSN SNM =∠∠sin105a=解得，20a =故选：A ．4．如图，在正六边形中，（ ）ABCDEF DE AF CB BE +--=A ．B ．C ．D ．ADBECF 【答案】A【分析】根据向量的线性运算法则和运算律求解.【详解】由已知，BE BA AF FE =++ 所以.DE AF CB BE DE AF C BA AF B FE +--=+---- 所以，B D E A FE E AF CB BE D CB +--=--- 又，,DE BA CB FE ==- 所以0DE AF CB BE +--=故选：A.5．已知圆锥的顶点为，过母线的截面面积是若的夹角是，且母线的A ,AB AC ,AB AC 60︒AC 长是高的2倍，则该圆锥的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．()6π【答案】B【分析】由已知可推得圆锥的母线作出圆锥的轴截面，即可得出底面圆的半径l =h =.r =【详解】设圆锥的母线长是，过母线的截面即为，l ,AB AC ABC由已知可得21sin 602ABC S l =︒= l =所以高h =作出圆锥的轴截面如下图为等腰三角形，底面圆的圆心为，半径，AMN O r ON =如图有AN l ==AO h ==ON ==r =所以该圆锥的体积是.2211ππ33h V r ⨯===故选：B.6．已知向量是非零向量，是单位向量，的夹角为，且，则（ ）a b ,a b 120︒()a ab ⊥+ a b -=A B ．C ．D ．341412【答案】A【分析】由已知结合数量积的运算律以及定义，即可得出.然后根据数量积的运算律，展开12a =，即可得出答案.2a b- 【详解】因为，所以，()a a b ⊥+ ()a ab ⋅+= 即，即.20a a b +⋅= 221cos12020a a b a a +⋅︒=-=因为，所以，0a ≠12a = 所以，2222a b a a b b -=-⋅+ 11172114224⎛⎫=-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭所以，a - 故选：A.7．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，1v 1||10km/h v =水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向2v 2||4km/h v =1v 2v (0)θθπ<<A 上位于北岸的码头处，则等于（ ）B cos θA ．B ．C ．D ．25-35-45-【答案】B 【解析】由题意知由向量数量积的定义可得选项.()2120,v v v +⋅= 【详解】由题意知有即所以，()2120,v v v +⋅=2212||c ||os 0,v v v θ+= 2104cos 40,θ⨯+=2cos 5θ=-故选：B ．【点睛】本题考查向量的实际应用，关键在于理解向量的数量积的意义和熟练掌握向量数量积的定义，属于基础题.8．设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且111ABC A B C -40π，则此直三棱柱的表面积是（ ）1,120AB AC AA BAC ∠===A ．B ．C ．D ．16+8+8+16+【答案】D 【分析】设，由题意计算得外接圆的半径，从而计算出外接球的12AB AC AA m ===ABC 2r m =半径，根据球的表面积公式求得的值，从而得三棱柱各棱长，再利用三棱柱的表面积公式计算即m 可.【详解】设，因为，所以.12AB AC AA m ===120BAC ∠= 30ACB ∠= 于是（是外接圆的半径），.22sin30mr =r ABC 2r m =又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，ABC 1AA.=所以球的表面积为，解得)24π40π⋅=m =因此1AB AC AA BC ====于是直三棱柱的表面积是122162⨯+⨯⨯=+ 故选：D.二、多选题9．设是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ）z z A ．若，则B ．若，则z z =Rz ∈0z z +>0z >C ．若，则D ．若，则1R z z +∈1z =2z =4z z ⋅=【答案】ABD【分析】设，根据共轭复数的定义，复数相等，复数模的定义，复数除法运算逐i(,R)z a b a b =+∈项判断即可．【详解】设，则，i(,R)z a b a b =+∈i z a b =-对A ，，故A 正确；i i 0R a b a b b z +=-⇒=⇒∈对B ，，故B 正确；i i 000a b a b a z ++->⇒>⇒>对C ，或，222211i i R i a b z a b a b z a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++-∈ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭2200b b b a b ⇒-=⇒=+221a b +=故C 不正确；对D ，，故D 正确；222||4z z a b z ⋅=+==故选：ABD ．10．在三棱锥中，分别是的重心.则下列命题中正确的有（ ）A BCD -,G E ,BCD ACD A ．直线共面B ．直线相交,BG AE ,AG BE C ．D ．12A GBC A DBCV V --=3AB GE=【答案】ABD【分析】根据题意，由条件结合三角形重心的性质，对选项逐一判断即可得到结果.【详解】由于分别是的重心，所以分别延长交,G E ,BCD ACD ,BG AE CD 于中点.因此正确.F A 因为，所以，因此.:2:1,:2:1BG GF AE EF ==::2:1BG GF AE EF ==GE AB 直线相交，B 正确.,AG BE 因为是的重心，所以，因此，C 不正确.G BCD △13GBC DBC S S = 13A GBC A DBCV V --=因为，所以.因此，D 正确.GE AB ::3:1AB GE BF GF ==3AB GE =故选：ABD.11．在中，角的对边分别是，，，且的值可以是ABC ,,A B C ,,a b c 3a =7b =sin B =cos C （ ）A ．B ．C ．D ．171114-17-1114【答案】CD 【分析】由已知可得.分别求出当，以及时，的值，根据余弦定理，1cos 2B =±1cos 2B =1cos 2B =-c 即可得出答案.【详解】因为.sin B =1cos 2B =±当时，由余弦定理可知，1cos 2B =2222cos b a c ac B =+-，整理可得，，22217362c c =+-⨯23400c c --=解得，或（舍去），8c =5c =-所以，由余弦定理可得；2222227381cos 22737b a c C ab +-+-===-⨯⨯当时，由余弦定理可知，1cos 2B =-2222cos b a c ac B =+-，整理可得，，22217362c c ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭23400c c +-=解得，或（舍去），5c =8c =-所以，由余弦定理可得.22222273511cos 227314b a c C ab +-+-===⨯⨯综上所述，，或.1cos 7C =-11cos 14C =故选：CD.12．如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式P ABC ,,A B C ,,a b c 成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= △△△正确的有（ ）A ．若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是ABC P ABC P BC,CA,AB ，则有123,,h h h 1230h PA h PB h PC ⋅+⋅+⋅=B ．若为内一点，且，则是的内心P ABC 0PA PB PC ++= P ABC C ．若为内一点，且，则P ABC 1255AP AB AC =+::2:1:2PBC PAC PABS S S = D ．若的垂心在内，是的三条高，则ABC P ABC ,,AD BE CF ABC 0PD PE PF PA PB PC AD BE CF ⋅+⋅+⋅= 【答案】ACD【分析】若是等边三角形，设其高为，用和表示出，代入奔驰ABC h 123,,h h h h ,,PBC PACPABS SS△△△定理，化简即可判断A ；由及奔驰定理，根据平面向量基本定理即可得出0PA PB PC ++=，即可判断B ；由得出，结合奔驰定理，PBC PACPAB S S S == 1255AP AB AC =+220PA PB PC ++= 根据平面向量基本定理得出，即可判断C ；点是的垂心，得出::PBC PAC PABS S S P ABC ， ，，代入奔驰定理即可判断D ．PBC ABCPDS S AD =PCA ABC PE S S BE = PAB ABC PF S S CF = 【详解】因为为内任意一点，所以两两不共线；P ABC ,,PA PB PC对A ：是等边三角形，设其高为，ABC h 则，，，1PBC ABC h S S h =⋅ 2PCA ABC hS S h =⋅ 3PAB ABC h S S h =⋅ 代入奔驰定理得，，3120ABC ABC ABC h h h S PA S PB S PC h h h ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 即，故A 正确；1230h PA h PB h PC ⋅+⋅+⋅=对B ：由且，根据平面向量基本定理得0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= 0PA PB PC ++= ，则是的重心，故B 不正确；PBC PAC PABS S S == P ABC 对C ：，即，()()12125555AP AB AC PB PA PC PA=+=-+-220PA PB PC ++= 又，0PBCPAC PAB S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= 由平面向量基本定理得，故C 正确；::2:1:2PBC PAC PAB S S S = 对D ：由点是的垂心，则，P ABC PBC ABC S PDS AD = 所以，同理可得，，，PBC ABCPDS S AD = PCA ABC PE S S BE = PAB ABC PF S S CF = 代入，0PBCPAC PAB S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= 得，0ABC ABC ABC PDPE PF S PA S PB S PC AD BE CF ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 即，故D 正确；0PD PE PF PA PB PC AD BE CF ⋅+⋅+⋅= 故选：ACD ．三、填空题13．已知向量.若，则实数的值是__________.()()3,6,1,a b x ==-//a bx 【答案】2-【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式求解即可得答案.【详解】因为，且，//a b()()3,6,1,a b x ==- 所以，得，()3610x -⨯-=2x =-故答案为：2-14．在中，，则角的大小是__________.ABC ()()cos24,cos66,2cos69,2cos21AB AC ==A 【答案】45【分析】根据向量的模长公式求，再由数量积坐标运算公式求，结合向量夹角公,AB ACAB AC ⋅ 式求角的大小.A 【详解】因为()()cos24,cos66,2cos69,2cos21AB AC ==又，cos 66sin 24,cos 21sin 69==所以，||1,||2AB AC ====2cos24cos692sin24sin692cos45AB AC ⋅=+=所以，又，cos cos ,AB AC A AB AC AB AC ⋅====⋅()0,πA ∈所以.45A ︒=故答案为：.4515．设点是外接圆的圆心，，则的值是__________.O ABC 1,2AC AOBC =⋅=-sin sin C B 【分析】作出辅助线，得到⊥，变形得到，从而列出方程，求出OD BC ()2212AO BC ACAB⋅=-.【详解】设点是边的中点，连接，则⊥，D BC OD OD BC 则()AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD BC⋅=+⋅=⋅⋅=⋅+ ，()()()221122AB AC AC AB AC AB +⋅-==-即因此()2112,2AB AB -=-= sin sin C AB B AC ==16．依次连接棱长为2的正方体六个面的中心，得到的多面体的体积是1111ABCD A B C D -__________.【答案】43【分析】作出图形，根据图形可知得到的多面体是正八面体，然后利用锥体的体积计算公式即可求解.【详解】依次连接棱长为2的正方体六个面的中心，得到的多面体是正八面体，1111ABCD A B C D -如图，该正八面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，所以该正八面体的体积是.2142133⨯⨯⨯=故答案为：.43四、解答题17．如图，在中，，点是线段上一点.ABC 13AN AC= P BN(1)若点是线段的中点，试用和表示向量；P BN AB AC AP (2)若，求实数的值.311AP AB mAC=+m【答案】(1)1126AP AB AC=+ (2).833【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解；（2）根据向量线性运算利用表示，结合平面向量基本定理列方程求的值.,AB AC APm 【详解】（1）因为点是线段的中点，且，P BN 13AN AC=所以.()1122AP AB BP AB BN AB AN AB=+=+=+- 所以；11112226AP AB AN AB AC=+=+ （2）设，则BP BN λ= ，()()1AP AB BP AB BN AB AN AB AB ANλλλλ=+=+=+-=-+又，13AN AC= 所以，()13AP AB ACλλ=-+ 因为，311AP AB mAC=+ 所以，31,113m λλ-==所以.88,1133m λ==18．已知复数，其中是虚数单位，.((2123i,sin cos iz m m z μθθ=-+=++i ,,R m μθ∈(1)若为纯虚数，求的值；1z m (2)若，求的取值范围.12z z =μ【答案】(1)m =(2)7,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据纯虚数的特征，即可列式求解；（2）根据复数相等，转化为实部和虚部对应相等，将写为关于的二次函数，μsin θ列式求解.【详解】（1）因为为纯虚数，1z 所以，解得2300m m ⎧-=⎪⎨≠⎪⎩m=（2）由，得12z z =23sin cos m m μθθ⎧-=+⎪⎨=⎪⎩因此.222173cos sin sin sin 2sin 24μθθθθθ⎛⎫=--=-+=-+⎪⎝⎭因为，所以当时，；1sin 1θ-≤≤1sin 2θ=min 74μ=当时，，.故的取值范围是.sin 1θ=-max4μ=μ7,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．如图，在长方体中，，截面.1111ABCD A B C D -11111A C B D O ⋂=1B D ⋂11A BC P =(1)确定点的位置；P (2)若，，，求线段的长.3AB =4BC =16CC =DP 【答案】(1)点为线段与的交点P 1B D1BO (2)DP 【分析】（1）根据已知可得出点是平面与平面的公共点，又平面平面P 11BB D D 11A BC 11BB D D ⋂，即可根据基本事实3得出，即可得出点的位置；111A BC BO =1P BO ∈P （2）连接，连接，交于点.易证四边形为平行四边形，进而结合已知可知点BD 1BD 1DB M 11D DBB 是的重心，推得.然后根据长方体的棱长求出体对角线P 11BB D △123DP DB =1DB =答案.【详解】（1）因为，平面，1P B D ∈1B D ⊂11BB D D 所以平面.P ∈11BB D D 又平面，所以点是平面与平面的公共点.P ∈11A BC P 11BB D D 11A BC 又因为平面平面，11BB D D ⋂111A BC BO =根据基本事实3，可得.1P BO ∈又因为，所以，1P B D ∈11B D BO P = 即点为线段与的交点.P 1B D1BO （2）连接，连接，交于点.由（1）知点为与交点.BD 1BD 1DB M P 1BO 1BD 因为，，所以四边形为平行四边形，11DD BB ∥11DD BB =11D DBB 所以，是中点.M 1BD 又是的中点，1O 11B D 所以点是两条边上中线的交点，P 11BB D △111,B D BD 所以点是的重心，P 11BB D △所以，所以.1112133B P B M B D==123DP DB =又因为，，，3AB =4BC =16CC =所以1DB ===故123DP DB ==20．在中，角的对边分别是，且向量和向量互ABC ,,A B C ,,ab c ,2b m a c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,2a c n b +⎛⎫= ⎪⎝⎭相垂直.(1)求角的大小；C(2)若的周长是，，求外接圆的半径.ABC 3+3CA BC ⋅=-ABC 【答案】(1)π6C =(2)1【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，化简整理可得.然后根据余弦定理，即222a b c +-=可得出答案；（2）由已知可推得根据正弦定理可得，.代入，=ab c R =3a b R +=222a b c +-=整理即可得出，求解即可得出答案.22(3)6R R --=【详解】（1）因为互相垂直，,m n所以，()()22a c b m n a c b +⋅=-⋅+⋅=整理可得.222a b c +-=由余弦定理得，.222cos 2a b c C ab +-===因为，所以.0πC <<π6C =（2）因为， ()cos π3CA BC ab C ⋅=-==-所以=ab由正弦定理知，，所以，则.2sin cR C =2sin c R C R ==3a b R +=又由（1）知，，222a b c +-=所以，222a b R +-=所以有，22()2a b ab R +--=即，解得.22(3)6R R --=1R =故外接圆的半径是1.ABC 21．三条侧棱两两垂直的三棱锥往往称为直三棱锥，在直三棱锥中，两两垂直.A BCD -AB AC AD ､､(1)设直三棱锥外接球的半径为，证明：；A BCD -R R =(2)若直三棱锥外接球的表面积为，求的最大值.A BCD -64πABC ACD ADBS S S ++ 【答案】(1)证明见解析(2)32【分析】（1）将图形补成长方体，则长方体的体对角线为外接球的直径，进而计算求解；（2）根据直三棱锥外接球的表面积为可得，也即，A BCD -64π4R =2222(2)64AB AC AD R ++==利用均值不等式即可求解.【详解】（1）由两两互相垂直，将之补成长方体如图所示，,,AB AC AD由长方体的性质可得：长方体的体对角线为外接球的直径，则.()22222AB AC AD R ++=即，()()()22222222222228222R AB AC AD AB AC AC AD AD AB BC CD DB =++=+++++=++故R =（2）由得，.因此.2644R ππ=4R =2222(2)64AB AC AD R ++==于是111222ABC ACD ADB S S S AB AC AC AD AD AB ++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ .222222222324442AB AC AC AD AD AB AB AC AD +++++≤++==当且仅当时取等号，AB AC AD ===故的最大值为32.ABC ACD ADBS S S ++22．如图，某学校有一块平面四边形空地，已知，，且ABCD 8AD CD +=120ADC ∠=︒ADC S =(1)求，两点间的距离；A C (2)设的角的对边分别是，且满足，现要在内做一个最ABC ,,A B C ,,a b c sin sin sin sin a b A Cc A B +-=-ABC 大的圆形花圃，求这个最大圆形花圃的面积.【答案】(1)7(2)49π12【分析】（1）由面积公式可得出.进而根据余弦定理，即可得出答案；15AD CD ⋅=（2）根据已知结合正弦定理边化角，可求得.设内切圆的半径是，根据等面积法可推π3B =ABC r得.根据正弦定理可得，，代入根据三角恒等变换化简)7r a c =+-a A =c C =可得，根据的范围得出的最大值，即可得出答案.π14sin 6a A c ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭A a c +【详解】（1）在中，因为，ACD 1sin1202ADC S AD CD ︒=⋅= 所以.15AD CD ⋅=由余弦定理可得2222cos120AC AD CD AD CD =+-⋅⋅︒2()AD CD AD CD=+-⋅，641549=-=所以，.7AC =故，两点间的距离是7.A C （2）由正弦定理得，，整理可得，sin sin sin sin a b A C a ccA B a b +--==--222a c b ac +-=由余弦定理得，.2221cos 222a c b ac B ac ac +-===又，所以.()0,πB ∈π3B =因为在内部的圆中，内切圆的面积最大，ABC ABC 设内切圆的半径是，ABC r 由（1）可知，则.2249a c ac +-=2()493a c ac +=+又，()11sin 22ABC S ac B a b c r ==++⋅ 因此.)2()49777ac a c r a c a c a c +-===+-++++在中，，，ABC 7b AC ==π3B =由正弦定理得，sin sin sin a c b A C B ====所以，，a A =c C =于是)()sin sin sin sin 120a c A C A A +=++︒-⎤⎦1sin sin 2A A A ⎫=+⎪⎪⎭.31πsin 14sin cos 14sin 226A A A A A ⎫⎛⎫⎛⎫==⋅=+⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭又，所以.2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭当时，取得最大值14，从而内切圆的半径ππ62A +=a c +r 故最大圆形花圃的面积是.249ππ12=。
2022-2023学年安徽省六安市高一年级下册学期期中考试数学试题【含答案】
一、单选题1．已知i 12iz=-，i 为虚数单位，则z =（）A ．2i -+B ．2i-C ．2i+D ．2i--【答案】C 【分析】由i 12iz=-可得()i 12i z =-，利用复数的乘法可化简得出复数z .【详解】因为i 12iz=-，则()i i 122i z =-=+.故选：C.2．已知向量()()1,1,2,a b x =-= ，若//a b，则a b -=r r （）A ．32B ．3C ．22D ．2【答案】A【分析】根据向量共线的规则求出x ，再根据向量的坐标运算规则求解.【详解】//,12,2a b x x ∴-=⨯=-，()()223,3,3332a b a b -=--=-+= ；故选：A.3．如图，A B C ''' 是ABC 的直观图，其中1B O C O ''''==，32A O ''=，那么ABC 是一个（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定【答案】A【分析】将直观图还原为投影图，分析几何图形的形状.【详解】将直观图还原，则1BO CO ==，23AO =，所以ABC 是正三角形.故选：A.4．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若4a =，43b =，π6A =，则角B 的大小为（）A ．π3B ．π3或2π3C ．2π3D ．π6【答案】B【分析】由正弦定理及三角形内角和性质求角B 的大小.【详解】由sin sin a b A B =，则sin 3sin 2b A B a ==，而(0,π)B ∈，故B =π3或2π3，显然，所得角B 均满足0πA B <+<.故选：B5．111ABC A B C -是体积为1的棱柱，则三棱锥1C AA B -的体积是（）A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】D【分析】根据等体积法结合同底等高的棱锥和棱柱体积的关系进行求解【详解】不妨设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，则1111A B C ABC ABC V S h -=⋅=V ，故11111111333C AA B A ABC ABC A B C ABC V V S h V ---==⋅==V .故选：D6．设m ，n 是不同的直线，,a β是不同的平面，则下列命题正确的是（）A ．,//m n n α⊥，则m α⊥B ．//,m ββα⊥，则m α⊥C ．,ααβ⊥⊥m ，则//m βD ．,m m αβ⊥⊥，则//αβ【答案】D【分析】举例说明判断ABC ；利用线面垂直的性质判断D 作答.【详解】对于A ，在长方体1111ABCD A B C D -中，平面ABCD 为平面α，1111,A B B C 分别为直线,m n ，显然满足,//m n n α⊥，而//m α，此时m α⊥不成立，A 错误；对于B ，在长方体1111ABCD A B C D -中，平面ABCD ，平面11CDD C 分别为平面,αβ，11A B 为直线m ，显然满足//,m ββα⊥，而//m α，此时m α⊥不成立，B 错误；对于C ，在长方体1111ABCD A B C D -中，平面ABCD ，平面11CDD C 分别为平面,αβ，1CC 为直线m ，显然满足,ααβ⊥⊥m ，而m β⊂，此时//m β不成立，C 错误；对于D ，因为,m m αβ⊥⊥，由线面垂直的性质知，//αβ，D 正确.故选：D7．三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面BCD ，DC BD ⊥，22AD BD DC ===，则该三棱锥的外接球表面积为（）A ．3π2B ．9π2C ．9πD ．36π【答案】C【分析】由题可知，可将三棱锥补成长方体，求长方体的外接球的表面积即可.【详解】由AD ⊥平面BCD ，DC BD ⊥，知三棱锥A-BCD 可补形为以AD ，DC ，BD 为三条棱的长方体，如图所示，三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，设外接球的半径为R ，则()222221449R AD DC BD =++=++=，所以该三棱锥的外接球表面积为24π9πS R ==.故选：C ．8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，1AA AB =，D ，E ，F 分别是棱1AA ，1BB ，BC 的中点，则异面直线DF 与1C E 所成角的余弦值是（）A ．53B ．55C ．510D ．155【答案】C【分析】在棱1CC 上取一点H ，使得14CC CH =，取1CC 的中点G ，连接BG ，HF ，DH ，即可得到1//HF C E ，则DFH ∠或其补角是异面直线DF 与1C E 所成的角，求出HF ，DH ，DF ，再利用余弦定理计算可得.【详解】解：如图，在棱1CC 上取一点H ，使得14CC CH =，取1CC 的中点G ，连接BG ，HF ，DH ，由于,G E 分别是棱11,CC BB 的中点，所以11,//BE C G BE C G =，故四边形1BGC E 为平行四边形，进而1//C E BG ,又因为,F H 是,BC CM 的中点，所以//HF BG ，所以1//HF C E ，则DFH ∠或其补角是异面直线DF 与1C E 所成的角.设4AB =，则2,1,2CF CH AD ===，从而225HF CF CH =+=，()2217DH AC AD CH =+-=2223AF AB BF =-=，224DF AF AD =+=故0165175cos 1245DFH ∠+-==⨯⨯,故异面直线DF 与1C E 所成角的余弦值是510.故选：C二、多选题9．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，三者关系不可能是（）A ．123p p p =<B ．231p p p =<C ．132p p p =<D ．123p p p ==【答案】ABC【分析】根据抽样的概念，每个个体被抽中的概率是均等的，即可求解.【详解】在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为n N，所以123p p p ==.故选：ABC.10．设平面向量(2,0),(1,1)a b ==，则（）A ．a b= B ．,a b可以成为一组基底C ．a 与2a b -的夹角为锐角D ．a 在b 上的投影向量为b【答案】BD【分析】求出||a ，||b即可判断A ；由共线向量的条件判断,a b 是否共线，即可判断B ；求得()20a a b ⋅-=，则()2a a b ⊥- ，即可判断C ；由投影向量的概念求解即可判断D ．【详解】对于A 选项，22||202a =+= ，22||112b =+=，||||a b ≠ ，故A 错误；对于B 选项，由于21010⨯-⨯≠，所以,a b 不共线，,a b可以成为一组基底，故B 正确；对于C 选项，(2,0),2(0,2)a a b =-=- ，所以()()220020a a b ⋅-=⨯+⨯-= ，则()2a a b ⊥- ，所以a与2a b -的夹角为直角，故C 错误；对于D 选项，向量a 在b方向上的投影向量为||||222a b b b b b b ⋅⋅=⋅= ，故D 正确．故选：BD.11．如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器以BC 为轴顺时针旋转，则（）A ．有水的部分始终是棱柱B ．水面所在四边形EFGH 为矩形且面积不变C ．棱11AD 始终与水面平行D ．当点H 在棱CD 上且点G 在棱1CC 上（均不含端点）时，BE BF ⋅不是定值【答案】AC【分析】利用棱柱的几何特征判断A ；根据水面矩形变化情况判断B ；利用线面平行的判定判断C ；利用盛水的体积判断D 作答.【详解】对于A ，有水部分的几何体，有两个面都垂直于BC ，这两个面始终平行，而//AD BC ，并且BC 始终与水面平行，即有//FG BC ，若点H 在棱1DD 上，由面面平行的性质知，//EH FG ，若点H 在棱CD 上，//EH BC ，因此该几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱，A 正确；对于B ，因为水面EFGH 为矩形，边FG 的长不变，EF 随旋转角的变化而变化，矩形EFGH 的面积不是定值，B 错误；对于C ，因为11A D 始终与BC 平行，而BC 始终与水面平行，并且11A D 不在水面所在平面内，即棱11A D 始终与水面平行，C 正确；对于D ，当点H 在棱CD 上且点G 在棱1CC 上（均不含端点）时，有水部分的棱柱的底面为三角形，而水的体积不变，高BC 不变，则底面面积12BE BF ⋅不变，即BE BF ⋅为定值，D 错误.故选：AC12．在长方体1111ABCD A B C D -中，若直线1AC 与平面11BCC B 所成角为45°，与平面11CDD C 所成角为30°，则（）．A ．12AB AA =B ．直线1A D 与1CD 所成角的余弦值为66C ．直线1BD 与平面1111D C B A 所成角为30°D ．直线1BD 与平面1A BD 所成角的正弦值为22【答案】BC【分析】由题意145AC B ∠=︒，130AC D ∠=︒，设12AC =，则12AB BC ==，11,1AD CC ==，即可判断A ；由11A B CD ∥可知1BA D ∠或其补角为直线1A D 与1CD 所成角，利用余弦定理求解可判断B ；由题可知直线1BD 与平面1111D C B A 所成角为11BD B Ð，又12BD =，11BB =，求出11BD B Ð可判断C ；设点1D 到平面1A BD 的距离为h ，由1111D A BD B A DD V V --=利用等体积法求出h ，再利用线面角的定义求解可判断D ．【详解】对于A ：如图，设12AC =，连接1BC ，∵AB ⊥平面11BCC B ，∴直线1AC 与平面11BCC B 所成角为145AC B ∠=︒，则12AB BC ==，连接1C D ，∵AD ⊥平面11CDD C ，∴直线1AC 与平面11CDD C 所成角为130AC D ∠=︒，则1AD =，在1Rt BCC 中，22111CC BC BC =-=，∴1122AB CC AA ==，故A 错误；对于B ：易知11A B CD ∥，∴1BA D ∠或其补角为直线1A D 与1CD 所成角，易知12A D =，13A B =，3BD =，∴12336cos 6223BA D +-∠==⨯，故B 正确；对于C ：连接11B D ，由1BB ⊥平面1111D C B A ，可知直线1BD 与平面1111D C B A 所成角为11BD B Ð，又12BD =，11BB =，∴1130BD B ∠=︒，故C 正确；对于D ：易知1111D A BD B A DD V V --=，设点1D 到平面1A BD 的距离为h ，则11211222A BD S h ⋅=⨯⨯⨯=△，取1A D 的中点E ，连接BE ，由勾股定理可得22102BE BD DE =-=，∴111522A BD S E A D B =⨯=△，∴105h =，设直线1BD 与平面1A BD 所成角为θ，则110sin 10h BD θ==，故D 错误．故选：BC.三、填空题13．化简：AB EA CB CD +-+=______.【答案】ED【分析】由向量的线性运算求解即可.【详解】()AB EA CB CD EA AB CB CD EB DB EB BD ED +-+=+--=-=+= .故答案为：ED.14．目前，全国多数省份已经开始了新高考改革.改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.某校高一年级选择“物理、化学、生物”，“物理、化学、地理”和“历史、政治、地理”组合的学生人数分别是900，540，360.现采用分层抽样的方法从上述学生中选出100位学生进行调查，则从选择“物理、化学、生物”组合的学生中应抽取的人数是______.【答案】50【分析】先求出抽取比例，再根据分层抽样计算选择“物理、化学、生物”组合的学生人数即可.【详解】因为100190054036018=++，所以选择“物理、化学、生物”组合的学生人数为19005018⨯=.故答案为：5015．在ABC 中，()5πsin 2sin cos ,,36C B B C A b =+==，则=a ___________.【答案】21【分析】先利用正弦定理化角为边求出边c ，再利用余弦定理即可得解.【详解】因为()sin 2sin cos C B B C =+，所以2cos c b A =-，所以32332c b b =⨯==，由余弦定理222cos 39921a b c bc A =+-=++=.故答案为：21.16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是11B CD 内不包括边界的动点，若BD AP ⊥，则线段AP 长度的最小值为___________.【答案】233/233【分析】根据BD ⊥平面1AAOC 确定AP ⊂平面OAC ，进而P 在OC 上，故当AP OC ⊥时，AP 最小，计算线段长度利用等面积法计算得到答案.【详解】11A C 与11B D 相交于O ，连接AO ，AC ，BD ，1AA BD ⊥，AC BD ⊥，1AA AC A = ，故BD ⊥平面1AAOC ，BD AP ⊥，故AP ⊂平面OAC ，P 是11B CD 内不包括边界的动点，故P 在OC 上，当AP OC ⊥时，AP 最小AOC 中，2AC =，2226122AO CO ⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭，根据等面积法：1233AC AP OC ⨯==.故答案为：233四、解答题17．正四棱锥S ﹣ABCD 的底面边长为4，高为1，求：(1)求棱锥的侧棱长和斜高；(2)求棱锥的表面积.【答案】(1)侧棱长为3，斜高为5(2)1685+【分析】（1）设SO 为正四棱锥S ﹣ABCD 的高，则SO ＝1，作OM ⊥BC ，则M 为BC 中点，连接OM ，OB ，则SO ⊥OB ，SO ⊥OM ，由此能求出棱锥的侧棱长和斜高.（2）棱锥的表面积4SBC ABCD S S S =+ 四边形，由此能求出结果.【详解】（1）设SO 为正四棱锥S ﹣ABCD 的高，则SO ＝1，作OM ⊥BC 于M ，则M 为BC 中点，连接OM ，OB ，则SO ⊥OB ，SO ⊥OM ，BC ＝4，BM ＝2，则OM ＝2，OB ＝22，在Rt △SOB 中，22183SB SO OB =+=+=，在Rt △SOM 中，5SM =，∴棱锥的侧棱长为3，斜高为5.（2）棱锥的表面积：4SBCABCD S S S =+ 四边形1444(45)16852=⨯+⨯⨯⨯=+.18．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若111,7,cos 7a b c A +===-，求：(1)a 的值；(2)sin C 和ABC 的面积．【答案】(1)8a =(2)43sin 7C =，三角形面积为63【分析】（1）应用余弦定理列方程求值即可；（2）由同角三角函数平方关系求sin A ，应用正弦定理求sin C ，三角形面积公式求ABC 的面积.【详解】（1）由余弦定理得：()222222(11)785111cos 221177777b c a a a a A bc a a +--+--====-⨯-⨯-，解得8a =．（2）由()1cos ,0,π7A A =-∈，则243sin 1cos 7A A =-=，由正弦定理得437sin 37sin 82c A C a ⨯===，又11,8a b a +==，则3b =，1sin 632ABC S ab C ∴== ．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111B C CC ⊥，平面11AC CA ⊥平面11BCC B .(1)求证：111B C AC ⊥；(2)点E 是线段BC 中点，在线段11A B 上是否存在点F ，使得//EF 平面11AC CA ，并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析【分析】（1）利用线面垂直和面面垂直的性质定理即可求解；（2）利用三角形的中位线定理及平行四边形的判定定理和性质定理，结合线面平行的判定定理即可求解.【详解】（1）因为111B C C C ⊥，平面11AC CA ⊥平面11BCC B ，平面11A C CA ⋂平面111BCC B C C =，11B C ⊂平面11BCC B ，所以11B C ⊥平面11ACC A .又因为1AC ⊂平面11A C CA ，所以111B C A C ⊥.（2）存在，且点F 是线段11A B 的中点，理由如下：取11A C 的中点G ，连接FG ，GC .如图所示在111A B C △中，因为F ，G 分别是11A B ，11AC 的中点，所以11FG B C ∥，且1112FG B C =.在平行四边形11BCC B 中，因为E 是BC 的中点，所以11EC B C ∥，且1112EC B C =，所以EC FG ∥，且EC FG=所以平行四边形FECG 是平行四边形，所以EF GC ∥.又因为EF ⊄平面11A C CA ，GC ⊂平面11A C CA ，所以//EF 平面11A C CA .故存在，且点F 是线段11A B 的中点，使得//EF 平面11AC CA .20．在斜三棱柱ABC A B C '''-中，ABC 是边长为2的正三角形，侧棱23AA '=，顶点A '在平面ABC的射影为BC 边的中点O .(1)求证：平面BCC B ''⊥平面AOA '；(2)求点C 到平面A AB '的距离.【答案】(1)证明见解析(2)61313【分析】（1）先证明线面垂直，再根据面面垂直判定定理证明面面垂直即可；（2）应用等体积方法求解点到平面距离.【详解】（1）AB AC = 且O 为BC 的中点，AO BC ∴⊥，又A O '⊥平面,ABC BC ⊂平面,ABC A O BC ∴⊥'，,,AO A O O AO A O ⋂=⊂'' 平面AOA '.故BC ⊥平面AOA '，又BC ⊂平面BCC B ''，∴平面BCC B ''⊥平面AOA '.（2）设点A 到平面B BC '的距离为,h ABC 是边长为2的正三角形，1322322ABC S =⨯⨯⨯=△，22232323,,32AA AO AA AO A O OA '''==⨯==+∴'= ，22223,2,3,1,,10,AA AB A O OB A B A O OB A B ''=====∴'+'=' 222124103cos ,242232AA AB A B A AB AA AB ∠''+-+-∴==='⨯⨯⨯'2213sin cos 1,sin ,4A AB A AB A AB ∠∠∠∴∴'+==''13922sin A AB AA A S A B AB ∠'''=⨯⨯=⨯∴ 根据等体积公式可得1133C A AB A AB A ABC ABC V S h V S OA --'''=⨯==⨯' ，解得61313=h -21．已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边，且3sin cos a C c A a b +=+.(1)求角C ；(2)若2,c ABC = 的面积为3，求ABC 的周长.【答案】(1)π3C =(2)6【分析】（1）根据3sin cos a C c A a b +=+，利用正弦定理结合两角和与差的正弦函数得到3sin cos 1C C -=，再利用辅助角公式求解.（2）由ABC 的面积为3，结合π3C =，得到4ab =，再利用余弦定理求解.【详解】（1）解：因为3sin cos a C c A a b +=+，所以由正弦定理得3sin sin sin cos sin sin A C C A A B +=+.因为πB A C =--，所以()()sin sin πsin sin cos cos sin B A C A C A C A C =--=+=+，所以3sin sin sin cos sin A C A C A =+.因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以3sin cos 1C C =+，即3sin cos 1C C -=.所以π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即π1sin .62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭又()0,πC ∈，所以π3C =.（2）因为ABC 的面积为3，所以1sin 32ab C =.由π3C =，所以4ab =.由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，又2c =，所以228a b +=.解得2a b ==.故ABC 的周长为6a b c ++=.22．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 分别为棱11B C 和11C D 中点.(1)请在图中作出过A 、P 、Q 三点的正方体1111ABCD A B C D -的截面（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求交线所围成的多边形周长；(2)求（1）中的截面与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)作图见解析，2213+(2)31717【分析】（1）作出截面求周长即可.（2）用几何法找到二面角的平面角，在三角形中求解即可.【详解】（1）如图，多边形AMPQN 即为所作截面.因为P 、Q 分别为棱11B C 和11C D 中点，11//C Q B G ，所以11111C Q C P B G B P==，即11C Q B G =，又11B M MB =，1190PB M GB M ∠=︒=∠，所以11PB M GB M ≅ ，则PM MG =，在1Rt AA G △中，111111112,3AA AG A B B G A B C Q ==+=+=，所以221113AG AA AG =+=，同理：NQ NH =，13AH =，又在1Rt C PQ 中，12122PQ C Q C P =+=，所以截面周长为2213AN NQ QP PM AM AH QP AG ++++=++=+.（2）由正方体的性质可知只需求截面与平面1111D C B A 所成的锐二面角.连接11A C 交PQ 于E ，连接AE ，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥面1111D C B A ，PQ ⊂面1111D C B A ，所以1AA PQ ⊥，又易知11//PQ B D ，1111AC B D ⊥，所以11AC PQ ⊥，又1111111,,AA A C A AA A C ⋂=⊂面1A AE ，所以PQ ⊥平面1A AE ，因为1,A E AE ⊂平面1A AE ，所以1,A E AE PQ PQ ⊥⊥，又截面与平面1111D C B A 的交线为PQ ，所以1A EA ∠即为所求二面角的平面角，易得111333222442A E A C ==⨯=，12AA =，所以在1Rt AA E △中，2112342AE A E AA =+=，所以11317cos 17A E A EA AE ∠==，即所求二面角的余弦值为31717.。
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2015-2016学年安徽省六安市霍邱中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要想安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为（）A．h＜4.5 B．h＞4.5 C．h≤4.5 D．h≥4.52．数列0，，，，…的一个通项公式为（）A．a n=（n∈N*）B．a n=（n∈N*）C．a n=（n∈N*）D．a n=（n∈N*）3．在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．64．已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．845．下列命题正确的是（）A．若x≥10，则x＞10 B．若x2≥25，则x≥5C．若x＞y，则x2≥y2 D．若x2≥y2，则|x|≥|y|6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=2B，则为（）A．2sinC B．2cosB C．2sinB D．2cosC7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．98．若0＜a＜b且a+b=1，则下列四个数中最大的是（）A．B．b C．2ab D．a2+b29．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．6410．对于任意实数x，不等式ax2+2ax﹣（a+2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．﹣1＜a≤0 D．﹣1＜a＜011．在△ABC中，若，则A=（）A．90° B．60° C．120°D．150°12．已知{a n}为等差数列，a n为定值．则下列各项一定为定值的是（）A．S n B．S n+1C．S2n+1D．S2n﹣1二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC= ．14．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N*）．若b3=﹣2，b10=12，则a8= ．15．不等式（x﹣1）2（x+2）（x﹣3）≤0的解集是．16．在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，则= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知关于x的不等式mx2+2x+6m＞0，在下列条件下分别求m的值或取值范围：（1）不等式的解集为{x|2＜x＜3}；（2）不等式的解集为R．18．（1）已知正数x，y满足x+2y=1，求的最小值（2）已知x＞1，求：y=x+最小值，并求相应的x值．19．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．20．等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．21．如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．22．设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1．数列{b n}满足b1=2，b n+1﹣2b n=8a n．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）证明：数列{}为等差数列，并求{b n}的通项公式．（3）求{b n}的前n项和T n．2015-2016学年安徽省六安市霍邱中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要想安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为（）A．h＜4.5 B．h＞4.5 C．h≤4.5 D．h≥4.5【考点】不等关系与不等式．【分析】理解“限高”的含义是“≤”即可得出．【解答】解：“限高4.5米”的意义为“h≤4.5”，故选：C．2．数列0，，，，…的一个通项公式为（）A．a n=（n∈N*）B．a n=（n∈N*）C．a n=（n∈N*）D．a n=（n∈N*）【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式．【解答】解：观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式a n=（n∈Z*）．故选：D．3．在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．6【考点】等差数列的性质．【分析】直接利用等差中项求解即可．【解答】解：在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，解得a6=0．故选：B．4．已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B5．下列命题正确的是（）A．若x≥10，则x＞10 B．若x2≥25，则x≥5C．若x＞y，则x2≥y2 D．若x2≥y2，则|x|≥|y|【考点】不等关系与不等式；命题的真假判断与应用．【分析】A．举出反例x=10，可判断A的真假；B．根据不等式的关系进行判断当x≤﹣5时，结论不成立．C．举出反例，当x=1，y=﹣1时，根据不等式的关系进行判断．D．根据绝对值和平方的性质，进行判断即可．【解答】解：A．当x=10时，满足x≥10，但x＞10不成立，故A错误，B．由x2≥25得x≥5或x≤﹣5，则x≥5不一定成立，故B错误，C．当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2≥y2不成立，故C错误，D．若x2≥y2，则|x|2≥|y|2成立，则|x|≥|y|成立，故D正确故选：D6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=2B，则为（）A．2sinC B．2cosB C．2sinB D．2cosC【考点】正弦定理．【分析】通过C=2B，两边取正弦，利用正弦定理以及二倍角公式，即可求出结果．【解答】解：在△ABC中，∵C=2B，∴sinC=sin2B=2sinBcosB，即c=2bcosB，则=2cosB．故选：B．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等差数列的前n项和．【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选A．8．若0＜a＜b且a+b=1，则下列四个数中最大的是（）A．B．b C．2ab D．a2+b2【考点】基本不等式；不等关系与不等式．【分析】不妨令a=0.4，b=0.6，计算各个选项中的数值，从而得出结论．【解答】解：若0＜a＜b且a+b=1，不妨令a=0.4，b=0.6，则a2+b2=0.16+0.36=0.52，2ab=2×0.4×0.6=0.48，故b最大，故选B．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．64【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122=3（S6﹣15），解得S6=63故选：C10．对于任意实数x，不等式ax2+2ax﹣（a+2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．﹣1＜a≤0 D．﹣1＜a＜0【考点】一元二次不等式的解法．【分析】讨论a是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求．【解答】解：1°a＜0时，△=4a2+4a（a+2）=8a2+8a＜0，∴8a（a+1）＜0，∴﹣1＜a＜0 2°a=0时，﹣2＜0成立综上，实数a的取值范围是﹣1＜a≤0故选C．11．在△ABC中，若，则A=（）A．90° B．60° C．120°D．150°【考点】对数的运算性质．【分析】由对数的运算性质得到三角形三边的关系，结合余弦定理求解角A的值．【解答】解：由，得（a+c）（a﹣c）=b（b+c），即a2﹣c2=b2+bc，b2+c2﹣a2=﹣bc，根据余弦定理得：cosA=．又0°＜A＜180°，∴A=120°．故选：C．12．已知{a n}为等差数列，a n为定值．则下列各项一定为定值的是（）A．S n B．S n+1C．S2n+1D．S2n﹣1【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知得2a n=a1+a2n﹣1是定值，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n}为等差数列，a n为定值，∴2a n=a1+a2n﹣1是定值，∴是定值．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC= 1 ．【考点】正弦定理．【分析】先根据A+C=2B及A+B+C=180°求出B的值，再由正弦定理求得sinA的值，再由边的关系可确定A的值，从而可得到C的值确定最后答案．【解答】解：由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°，由正弦定理知，，即；由a＜b知，A＜B=60°，则A=30°，C=180°﹣A﹣B=90°，于是sinC=sin90°=1．故答案为：1．14．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N*）．若b3=﹣2，b10=12，则a8= 3 ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】先利用等差数列的通项公式分别表示出b3和b10，联立方程求得b1和d的值，进而利用叠加法求得b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，最后利用等差数列的求和公式求得所求．【解答】解：依题意可知解得b1=﹣6，d=2∵b n=a n+1﹣a n，∴b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，∴a8=b1+b2+…+b7+3=+3=3故答案为：315．不等式（x﹣1）2（x+2）（x﹣3）≤0的解集是．【考点】其他不等式的解法．【分析】（x﹣1）2（x+2）（x﹣3）≤0⇔（x+2）（x﹣3）≤0．故不等式（x+2）（x﹣3）≤0的解为原不等式的解．【解答】解：∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2（x+2）（x﹣3）≤0⇔（x+2）（x﹣3）≤0．∴﹣2≤x≤3．故答案为：．16．在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，则= ．【考点】正弦定理．【分析】利用三角形面积公式求得c值，利用余弦定理求出a值，可得的值．【解答】解：由题意可得==×c，c=4．再由余弦定理可得a2=1+16﹣8×=13，∴a=，∴==，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知关于x的不等式mx2+2x+6m＞0，在下列条件下分别求m的值或取值范围：（1）不等式的解集为{x|2＜x＜3}；（2）不等式的解集为R．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）根据不等式与它对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出m的值；（2）根据一元二次不等式恒成立的条件，列出不等式组，求出解集即可．【解答】解：（1）∵关于x的不等式mx2+2x+6m＞0，∴当不等式的解集为{x|2＜x＜3}时，方程mx2+2x+6m=0的两个实数根为2和3，由根与系数的关系，得2+3=﹣，解得m=﹣；（2）当不等式的解集为R时，，即，解得，即m＞．18．（1）已知正数x，y满足x+2y=1，求的最小值（2）已知x＞1，求：y=x+最小值，并求相应的x值．【考点】基本不等式．【分析】（1）由正数x，y满足x+2y=1，可得： =（x+2y）=3++，利用基本不等式的性质即可得出．（2）由x＞1，变形为y=x+=（x﹣1）++1，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵正数x，y满足x+2y=1，∴=（x+2y）=3++≥3+2=3+2，当且仅当x=y=﹣1时取等号．∴的最小值是3+2．（2）∵x＞1，∴y=x+=（x﹣1）++1≥2+1=5，当且仅当x=3时取等号．∴x=3时，y=x+取得最小值5．19．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．20．等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】（1）利用等比数列通项公式能求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式a n．（2）由等比数列通项公式求出等差数列{b n}的第4项和第16项，再由等差数列通项公式求出首项与公差，由此能求出数列{b n}的通项公式及前n项和S n．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16，∴2q3=16，解得q=2，∴．（2）∵a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，∴，，∴，解得b1=2，d=2，∴b n=2+（n﹣1）×2=2n．S n==n2+n．21．如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．【考点】解三角形的实际应用．【分析】设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，根据各自的速度表示出BC与AC，由∠ABC=120°，利用余弦定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．【解答】解：设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，则BC=10t，AC=14t，在△ABC中，∠ABC=120°，根据余弦定理知：（14t）2=（10t）2+122﹣2•12•10tcos 120°，∴t=2或t=﹣（舍去），故我艇追上走私船所需要的时间为2小时．22．设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1．数列{b n}满足b1=2，b n+1﹣2b n=8a n．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）证明：数列{}为等差数列，并求{b n}的通项公式．（3）求{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）运用当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，计算即可得到所求通项公式；（2）对b n+1﹣2b n=2n+2，两边同除以2n+1，由等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（3）运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2﹣1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1；上式对n=1也成立．则数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；（2）证明：b n+1﹣2b n=8a n=8•2n﹣1=2n+2，两边同除以2n+1，可得﹣=2，可得数列{}是首项为=1，公差为2的等差数列；即有=1+2（n﹣1）=2n﹣1，则{b n}的通项公式为b n=（2n﹣1）•2n；（3）{b n}的前n项和T n=1•2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n，可得2T n=1•22+3•23+5•24+…+（2n﹣1）•2n+1，两式相减可得，﹣T n=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1=2+2•﹣（2n﹣1）•2n+1，化简可得T n=6+（2n﹣3）•2n+1．。