梅州中学2015届高中毕业班第三次模拟考试(文数)

梅州中学2015届高中毕业班第三次模拟考试数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（S 是锥体的底面积，h 是锥体的高） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求.）1. 设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U C M =( ) A ．{}1,2,4 B ．{}1,3,5 C ．{}2,4,6 D ．U2. 2．复数2ii-（i 为虚数单位）等于（ ） A. 12i -- B. 12i -+C. 12i -D. 12i +3．若a ∈R ，则“3a = ”是“29a = ”的（ ）条件A ．充分且不必要B ．必要且不充分C ．充分且必要D ．既不充分又不必要 4．下列函数是偶函数的是（ ）A ．y sinx =B ．3y x = C ．xy e = D ．y =5．已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则x 的值为（ ） A ．4 B ．4- C ．9 D ．9- 6.在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和9S 等于 （ ） A ．9 B 18 C 27 D 367. 双曲线191622=-y x 的渐近线方程为（ ） A ． x y 34±= B ．x y 45±= C ．x y 43±= D ．x y 35±=8.已知,m n 是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题中正确的有（ ） A. m n m n αα若，，则‖‖‖； B. αγβγαβ⊥⊥若，，则‖；C. m m αβαβ若，，则‖‖‖；D. m n m n αα⊥⊥若，，则‖． 9. 已知函数x x x f 3)(3-=，若过点A （0,16）的直线方程为16y ax =+，与 曲线)(x f y =相切，则实数a 的值是（ ）A ．3-B ．3C ．6D ．910．已知抛物线C 的方程为212x y =，过点A ()1,0-和点()3,t B 的 直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是 （ ） A ．()()+∞-∞-,11,B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, C ．()()+∞-∞-,,22D ．()()+∞-∞-,,2222二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分） （一）必做题（第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答） 11．sin()44πα+=则sin 2α= ． 12.已知23600x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最大值为_____．13．阅读右图程序框图． 若输入5n =，则输出k 的值为_____． （二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的， 只计第14题的分。

）14．（坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的 弦长为 ．15．如图,已知△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，AD 切⊙O 于A ，若o30ABC ∠=,2=AC ,则AD 的长为 .A三、解答题(本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16.（本小题满分12分） 已知函数()2cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，R x ∈． ()1求()f π的值； ()2若2635f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()2f α的值．17. （本小题满分12分）为调查学生每周平均体育运动时间的情况，某校收集到高三（1）班20位学生的样本数据（单位:小时），将他们的每周平均体育运动时间分为6组：[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求出该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值； （2）若在该班每周平均体育运动时间低于4小时的学生中任意抽取2人，求抽取到运动时间 低于2小时的学生的概率。

18.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ∆为等腰三角形，90APD ∠=，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，且1,2,AB AD E ==、F 分别为PC 和BD 的中点．（1）证明：//EF 平面PAD ； （2）证明：平面PDC ⊥平面PAD ； （3）求四棱锥P ABCD -的体积．19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足621+=+n n S a ，且16a =． （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设)2)(13(2+-=n nnn S a b ，证明：121n b b b +++<20. （本小题满分14分）如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点, 点P(1,2), A(x 1, y 1), B(x 2,y 2)均在抛物线上. (Ⅰ)写出该抛物线的方程及其准线方程.(Ⅱ)当PA 与PB 的斜率存在且倾角互补时,求21y y +的值及直线AB 的斜率.21．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ．参考答案一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.）11. 34- 12. 9 13. 2 14. 15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.解：（1）由已知得()2cos()2cos266f ππππ=-=-=-=……………4分 （2）因为22()2cos()2cos()2sin 3362f ππππαααα+=+-=+=-， 又26()35f πα+=，故62sin 5α-=，即3sin 5α=-． …. ………………………6分又(,0)2πα∈-，故4cos 5α===．.……………..……8分所以3424sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯-⨯=-， 2247cos 22cos 12()1525α=-=⨯-=．.……………………….………….…10分 所以(2)2cos(2)2cos 2cos2sin 2sin666f πππαααα=-=+724122()25252=⨯+⨯-⨯=. ……………….……12分 17（本小题满分12分）17（1）解：根据频率分布直方图，各组的频率分别为：0.05，0.2，0.3，0.25，0.15，0.05 ……………………2分 各组的中点分别为：1，3，5，7，9，11 ……………………4分该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值为45.41105.0915.0725.053.032.0105.0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ………………6分 （2）依题意可知，平均运动时间低于4小时的学生中，在[0,2)的人数有12005.0=⨯，记为1，在[2,4)的人数有4202.0=⨯，记为2，3，4，5 …………………8分 从这5人中随机抽取2人的可能情况有10种，分别为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）；……10分其中，抽取到运动时间低于2小时的学生的可能情况有4种，分别为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5）； ………………………………11分 故所求概率52104==p ……………………………………………………12分18. （本小题满分14分） （1）证明：如图，连结AC ．∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点． ∴F 也是AC 的中点．………… 1分又E 是PC 的中点，//EF AP…………2分∵EF ⊄由,PAD PA ⊂面,//PAD EF ∴面PAD ． …………4分 （2）证明：∵面PAD ⊥面,ABCD CD AD ⊥，面CD PAD ∴⊥面．又AP ⊂面,PAD AP CD ∴⊥…………6分又,AP PD PD CD ⊥和是相交直线，AP ∴⊥面PCD…………8分又AP ⊂面,PAD ∴面PDC ⊥面PAD …………10分 （3）解：取AD 中点为O ．连结PO∵面PAD ⊥面ABCD 及PAD ∆为等腰直角三角形，PO ∴⊥面ABCD ， 即PO 为四棱锥P ABCD -的高． …………12分2,1AD PO =∴=．又1AB =．∴四棱锥P ABCD -的体积1233V PO AB AD =⋅⋅= …………14分19.解：（1）当1=n 时，186262112=+=+=a S a ，182=∴a …………………2分 （2）由621+=+n n S a ①，得)2(621≥+=-n S a n n ②①－②：得1122-+-=-n n n n S S a a ……………………4分即13(2)n n a a n +=≥， ……………………6分又16a =，182=a ，所以213a a = ……………………7分∴数列{}n a 是以6为首项，公比为3的等比数列，∴16323n n n a -=⋅=⋅ …………8分 （3）由（2）得：1132++⋅=n n a ， ……………………9分故3332111-=-=++n n n a S ， ………………11分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-----=--⋅=+-=++++1311312)13)(13()13()13(2)13)(13(34)2)(13(21111n n n n n n n n n n n n n S a b ……………………………………………………………12分12122311111112()313131313131n n n b b b +∴+++=-+-++------- 1112()1231n +=⋅-<-. ………………………………………14分.20. （本小题满分14分）(Ⅰ)由已知条件,可设抛物线的方程为.22px y =∵点P(1,2)在抛物线上,∴,1222⋅=p 得p =2. 故所求抛物线的方程是,42x y = …………4分准线方程是x=--1. ……………………5分(Ⅱ) 设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB , ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴.PB PA k k -= …………8分 由A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)在抛物线上,得,4121x y = ①,4222x y = ②∴,14121412222211--=--y y y y∴ ),2(221+-=+y y∴.421-=+y y …………10分 由①--②得直线AB 的斜率 21122112441().4AB y y k x x x x y y -===-=-≠-+……14分21. 解：()'2321f x x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280fx x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增. …………4分（2）当0k <时，()'2321f x x kx =-+，其开口向上，对称轴3kx =，且过()01，（i）当(241240k k k ∆=-=≤，即0k ≤<时，()'0f x ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == ,当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（ii ）当(241230k ∆=-=+->，即k <时，令()'23210f x x kx =-+=解得：12x x ==,注意到210k x x <<<,(注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断)()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=--> 所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==。