高考数学一轮复习课时分层训练41空间图形的基本关系与公理理北师大版
高考数学(理)复习训练：《空间图形的基本关系及公理》(北师大版)
【A级】基础训练1．(2014·台州模拟)以下四个命题中：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：①中显然是正确的；②中若A、B、C三点共线则A、B、C、D、E五点不一定共面．③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面故不正确．④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．答案：B2．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．答案：A3．(2014·信阳模拟)平面α、β的公共点多于两个，则①α、β垂直；②α、β至少有三个公共点；③α、β至少有一条公共直线；④α、β至多有一条公共直线；以上四个判断中不成立的个数为n，则n等于()A．0 B．1C．2 D．3解析：由条件知当平面α、β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α、β相交；若公共点不共线，则α、β重合．故①不一定成立；②成立；③成立；④不成立．答案：C4．(2013·高考全国新课标卷)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：结合给出的已知条件，画出符合条件的图形，然后判断得出．根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.答案：D5．如图所示，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF 和GH在原正方体中相互异面的有________对．解析：将展开图恢复成正方体后，得到AB和CD、EF和GH、AB和GH三对异面直线．答案：36．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．解析：取BC的中点D，连接AD，B1D.因为ABC－A1B1C1是正三棱柱，所以易得B1D是B1A在平面BCC1B1内的射影，又易得B1D⊥BM，所以根据三垂线定理得B1A⊥BM.所以异面直线B1A和BM所成的角是90°.答案：90°7．(2014·宜城模拟)已知：空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝13BC，CH＝13DC.求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)三直线FH、EG、AC共点．证明：(1)连接EF、GH.由E、F分别为AB、AD的中点，∴EF綊12BD，又CG＝13BC，CH＝13DC，∴HG綊13BD，∴EF∥HG且EF≠HG.∴EF、HG可确定平面α，即E、F、G、H四点共面．(2)由(1)知：EFHG为平面图形，且EF∥HG，EF≠HG. ∴四边形EFHG为梯形，设直线FH∩直线EG＝O，∵点O∈直线FH，直线FH面ACD，∴点O∈平面ACD.同理点O∈平面ABC.又∵面ACD∩面ABC＝AC，∴点O∈直线AC(公理3)．∴直线FH、EG、AC交于点O，即三直线共点．8．在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝3且AD⊥BC，对角线BD＝13 2，AC＝32，求AC和BD所成的角．解：如图，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连接EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位线定理知EF∥AC，且EF＝34，GE∥BD，且GE＝134.GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角．同理，GH＝12，HF＝32，GH∥AD，HF∥BC，又AD⊥BC，∴∠GHF＝90°，∴GF2＝GH2＋HF2＝1，在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2，∴∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角为90°.【B级】能力提升1．(2012·高考重庆卷)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是()A．(0，2) B．(0，3)C．(1，2) D．(1，3)解析：根据题意构造四面体ABCD，AB＝a，CD＝2，AC＝AD＝BC＝BD＝1，取CD中点E，连结BE，AE，则AE＝BE＝22.又∵a＜22＋22＝2，∴0＜a＜ 2.故选A.答案：A2．正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是AA1，CC1的中点，P是CC1上的动点(包括端点)，过点E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是() A．线段C1F B．线段CFC．线段CF和一点C1D．线段C1F和一点C解析：如图，DE∥平面BB1C1C，∴平面DEP与平面BB1C1C的交线PM∥ED，连结EM，易证MP＝ED，∴MP綊ED，则M到达B1时仍可构成四边形，即P到F.而P在C1F之间，不满足要求．P到点C1仍可构成四边形．答案：C3．(2014·天津和平模拟)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为()A.15B．31010C.1010D．35解析：连结A1B.由题意知A1D1綊BC，所以四边形A1D1CB为平行四边形，故D1C ∥A1B.所以∠A1BE为异面直线D1C与BE所成的角．不妨设AA1＝2AB＝2，则A1E＝1，BE＝2，A1B＝5，在△A1BE中，cos∠A1BE＝A1B2＋EB2－A1E22A1B·EB＝5＋2－12×5×2＝31010，故选B.答案：B4．如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD＝2AB＝2，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于________．解析：如图所示，H为DA的中点，则FH⊥EF.在Rt△EFH中，HE＝1，HF＝12，∴∠EHF＝60°，即EF与CD所成的角为30°.答案：30°5．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示．则AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．答案：①③6．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，是a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a平面α，b平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；aα，bβ，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确． 答案：①7．(创新题)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面A 1C 1上有一点P ，如图所示，其中P 点不在对角线B 1D 1上．(1)过P 点在空间中作一直线l ，使l ∥BD ，应该如何作图？并说明理由； (2)过P 点在平面A 1C 1内作一直线m ，使m 与BD 成α角，其中α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，这样的直线有几条，应该如何作图？解：(1)连结B 1D 1，在平面A 1C 1内过P 作直线l ， 使l ∥B 1D 1，则l 即为所求作的直线． ∵B 1D 1∥BD ，l ∥B 1D 1，∴l ∥BD . (2)在平面A 1C 1内作直线m ， 使直线m 与B 1D 1相交成α角，∵BD ∥B 1D 1，∴直线m 与直线BD 也成α角， 即直线m 为所求作的直线． 由图知m 与BD 是异面直线， 且m 与BD 所成的角α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.当α＝π2时，这样的直线m 有且只有一条，当α≠π2时，这样的直线m 有两条．。
北师大版高三数学(理)一轮复习《空间图形的基本关系与公理》课件
考纲要求
知识梳理
双击自测
核核心心考考点点
学科素养
-22-
考点1
考点2
考点3 知识方法 易错易混
考点3异面直线所成的角
例3如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-
A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 ()
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直线 DA.∴CE,D1F,DA三线共点.
考点1
第八章
8.3 空间图形的基本关系与公理
考纲要求
知识梳理
双击自测
核核心心考考点点
考点2
考点3 知识方法 易错易混
学科素养
-14-
思考:如何利用平面的基本性质证明点共线和线共点? 解题心得:1.点线共面问题的证明方法: (1)纳入平面法:先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内; (2)辅助平面法:先证有关点、线确定平面α,再证其余点、线确定 平面β,最后证明平面α,β重合. 2.证明三线共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点, 再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时,第三条直线 应为前两条直线所在平面的交线,可以利用公理3证明.
8.3 空间图形的基本关系与公理
第八章
8.3 空间图形的基本关系与公理
考考纲纲要要求求
知识梳理
双击自测
核心考点
学科素养
-2-
考纲要求:1.理解空间直线、平面位置关系的定义并了解可以作为 推理依据的公理和定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证 明一些空间位置关系的简单命题.
第八章
8.3 空间图形的基本关系与公理
高考数学大一轮复习-第七章 立体几何 第3课时 空间图形的基本关系及公理课件 理 北师大版
A．3条 C．5条
B．4条 D．6条
解析：依据异面直线的判定定理找与AA1异面的棱．∵AA1在 面A1ABB1内，B1在面A1ABB1内，C1不在面A1ABB1内，∴C1B1是与 AA1异面的棱．同理，BC，CD，C1D1都是与AA1异面的棱，故正 确答案为B.
答案：B
4．(2016·厦门联考)给出以下四种说法：(设α、β表示平面，l 表示直线，A、B、C表示点)
考点二 空间中两条直线的位置关系 [例2] 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是 A1B1、B1C1的中点．问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由； (3)求A1C1与B1C所成角的大小．
审题视点 (1)可证得MN∥AC，故AM、CN共面；(2)利用反 证法；(3)利用A1C1∥AC.
解 (1)不是异面直线，理由： 连接MN、AC. ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点， ∴MN∥A1C1.
又∵A1A綊C1C，∴A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得
到MN∥AC， ∴A、M、N、C在同一平面内， 故AM和CN不是异面直线．
(2)是异面直线．证明如下： ∵ABCD－A1B1C1D1是正方体， ∴B、C、C1、D1不共面． 假设D1B与CC1不是异面直线， 则存在平面α，使D1B 平面α，CC1 平面α， ∴D1、B、C、C1∈α， ∴与ABCD－A1B1C1D1是正方体矛盾． ∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．
答案 无数
失分警示 本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少 学生不会构造平面，因此失分较多．这说明学生还是缺少空间想 象能力，缺少对空间直线位置关系的理解．
备考建议 1.学会观察、画图是成功的第一步． 2．理解公理、定理内容并且要了解其作用和意义． 3．要学会如何将已知条件转化为定理条件，并使用定理进 行判断．
高考数学一轮复习 课时分层训练41 空间图形的基本关系与公理 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题
课时分层训练(四十一) 空间图形的基本关系与公理A组基础达标一、选择题1．下列命题中，真命题的个数为( )①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.A．1 B．2C．3 D．4B[根据公理2可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据公理3可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.]2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD 不相交，则甲是乙成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．]3．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )【导学号：79140226】A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交D[由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．] 4．(2018·某某实战模拟)已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝3，AD＝1，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )A ．64 B ．63 C ．26D ．36A [连接AC ，AB 1(图略)，由长方体性质可知AB 1∥DC 1，所以∠AB 1C 就是异面直线B 1C 和C 1D 所成的角．由题知AC ＝1＋(3)2＝2，AB 1＝(3)2＋(3)2＝6，CB 1＝1＋(3)2＝2，所以由余弦定理得cos∠AB 1C ＝AB 21＋CB 21－AC 22AB 1·CB 1＝64，故选A.]5．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B ．22C.33D ．13A [设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1.∵平面α∥平面CB 1D 1，∴m 1∥m . 又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥m 1，∴B 1D 1∥m . ∵平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1， 且平面CB 1D 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1， 同理可证CD 1∥n .因此直线m ，n 所成的角与直线B 1D 1，CD 1所成的角相等，即∠CD 1B 1为m ，n 所成的角． 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，△CB 1D 1是正三角形， 故直线B 1D 1与CD 1所成角为60°，其正弦值为32.] 二、填空题6．(2018·某某调考)已知正六棱锥S ABCDEF 的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为________．π4[设正六边形ABCDEF 的中心为O ，连接SO ，CO ，BO ，则由正六边形的性质知OC ∥DE ，SO ⊥平面ABCDEF ，所以∠SCO 为异面直线SC 与DE 所成角．又易知△BOC 为等边三角形，所以SO ＝BC ＝CO ＝1，所以∠SCO ＝π4.]7．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．1或4 [如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面．]8．(2017·某某模拟)在图727中，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).【导学号：79140227】(1) (2) (3) (4)图727(2)(4) [图(1)中，直线GH ∥MN ；图(2)中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图(3)中，连接MG (图略)，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图(4)中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，因此GH 与MN 异面，所以在图(2)(4)中，GH 与MN 异面．]三、解答题9.如图728所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．问：图728(1)AM 和是否是异面直线？说明理由；(2)D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由．[解] (1)AM ，不是异面直线．理由：连接MN ，A 1C 1，AC .因为M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1. 又因为A 1A ═∥C 1C ，所以A 1ACC 1为平行四边形， 所以A 1C 1∥AC ，所以MN ∥AC ， 所以A ，M ，N ，C 在同一平面内， 故AM 和不是异面直线．(2)直线D 1B 和CC 1是异面直线．理由：因为ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，所以B ，C ，C 1，D 1不共面．假设D 1B 与CC 1不是异面直线，则存在平面α，使D 1B 平面α，CC 1平面α， 所以D 1，B ，C ，C 1∈α，这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾，所以假设不成立， 即D 1B 和CC 1是异面直线．]10．如图729所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：图729(1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． [解] (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角)．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.B 组 能力提升11．(2018·某某质检(一))已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°A [取AC 中点为O ，连接OM ，ON ，则易证OM 綊12BC ，ON 綊12PA ，所以∠ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角．由MN ＝BC ＝4，PA ＝43，得OM ＝12BC ＝2，ON ＝12AP ＝23，则cos∠ONM ＝ON 2＋MN 2－OM 22×ON ×MN ＝32，所以∠ONM ＝30°，即异面直线PA 与MN 所成角的大小是30°，故选A.]12.如图7210，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________.【导学号：79140228】图721036[取DE 的中点H ，连接HF ，GH .由题设，HF ═∥12AD ， 所以∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角)． 在△GHF 中，可求HF ＝2，GF ＝GH ＝6，∴cos∠GFH ＝(2)2＋(6)2－(6)22×2×6＝36.]13．如图7211，在四棱锥O ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．图7211(1)求四棱锥O ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值． [解] (1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4， ∴四棱锥O ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE .又M 为OA 中点，∴ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，∴△DEM 为直角三角形， ∴tan∠EMD ＝DE EM＝23＝63. ∴异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63.。
高考数学一轮复习 必考部分 第七篇 立体几何 第2节 空
公理 2
如果一条直线上的两点 在一个平面内,那么这条 直线在此平面内
公理 3
如果两个不重合的平面 有一个公共点,那么它们 有且只有一条过该点的 公共直线
公理 4
平行于同一条直线的两
条直线 平行
空间中,如果两个角的两 定理 边分别对应平行,那么这
两个角 相等或互补
Al
bl A
平 行
图形语言
关
符号语言
系
交点个数
a∥b 0
相 交
Байду номын сангаас
图形语言
关
系 符号语言
交点个数
a∩b=A 1
其 他
图形语言
关
系 符号语言
交点个数
a,b 是异面直线 0
直线与平面
a∥α 0
a∩α =A 1
aα 无数个
平面与平面
α ∥β 0
α ∩β =l 无数个
3.异面直线所成的角 (1)定义 设a、b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把 a′与b′所成的 锐角(或直角) 叫作异面直线a与b所成的角.
5.下列命题中不正确的是
.(填序号)
①没有公共点的两条直线是异面直线;
②分别和两条异面直线都相交的两直线异面;
③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能 平行; ④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面.
解析:没有公共点的两直线平行或异面,故①错;如果与两异面直线中 一条交于一点,则两直线相交,故命题②错;命题③,设两条异面直线 为a,b,c∥a,若c∥b,则a∥b,这与a,b异面矛盾,故c,b不可能平行,③ 正确;命题④正确,若c与两异面直线a,b都相交,a,c可确定一个平 面,b,c也可确定一个平面,这样a,b,c共确定两个平面.
高考数学一轮复习第7章立体几何第2讲空间图形的基本关系与公理训练理北师大版
1．已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：选B.在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．2．(2016·赣州四校联考)若平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()A．AB∥CDB．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析：选D.因为平面α∥平面β，要使直线AC∥直线BD，则直线AC与BD是共面直线，即A，B，C，D四点必须共面．3．(2014·高考广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析：选D.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.4.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过()A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M解析：选D.因为ABγ，M∈AB，所以M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．5．(2016·昆明质检)已知A、B、C、D是空间四个点，甲：A、B、C、D四点不共面，乙：直线AB 和直线CD不相交，则甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为A、B、C、D四点不共面，则直线AB和直线CD不相交，反之，直线AB和直线CD 不相交，A、B、C、D四点不一定不共面．故甲是乙成立的充分不必要条件．6．(2016·郑州模拟)如图所示，ABCDA1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：选A.连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，所以A1，C1，A，C四点共面，所以A1C平面ACC1A1.因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．所以A，M，O三点共线．7.(2016·郑州模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是____________． 解析：如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE 与MN 垂直，故②③④正确． 答案：②③④ 8.如图所示，在三棱锥A BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形，当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 是正方形． 解析：易知EH ∥BD ∥FG ，且EH ＝12BD ＝FG ，同理EF ∥AC ∥HG ，且EF ＝12AC ＝HG ，显然四边形EFGH 为平行四边形．要使平行四边形EFGH 为菱形需满足EF ＝EH ，即AC ＝BD ；要使四边形EFGH 为正方形需满足EF ＝EH 且EF ⊥EH ，即AC ＝BD 且AC ⊥BD . 答案：AC ＝BD AC ＝BD 且AC ⊥BD9．在图中，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析：图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，因此GH 与MN 异面．所以在图②④中GH 与MN 异面． 答案：②④ 10.如图所示，正方体的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，则AO 与A ′C ′所成角的度数为________． 解析：连接AC .因为A ′C ′∥AC ，所以AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC (或其补角)． 因为OC ⊥OB ，AB ⊥平面BB ′C ′C ， 所以OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ， 所以OC ⊥平面ABO . 又OA平面ABO ，所以OC ⊥OA .在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12， 所以∠OAC ＝30°.即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°. 答案：30° 11.如图，已知不共面的三条直线a 、b 、c 相交于点P ，A ∈a ，B ∈a ，C ∈b ，D ∈c ，求证：AD 与BC 是异面直线．证明：假设AD 与BC 共面，所确定的平面为α，那么点P 、A 、B 、C 、D 都在平面α内， 所以直线a 、b 、c 都在平面α内，与已知条件a 、b 、c 不共面矛盾，假设不成立， 所以AD 和BC 是异面直线． 12．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， (1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小． 解：(1)如图，连接B 1C ，AB 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角． 因为AB 1＝AC ＝B 1C ， 所以∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)连接BD ，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1. 因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点， 所以EF ∥BD ， 所以EF ⊥AC . 所以EF ⊥A 1C 1.即A 1C 1与EF 所成的角为90°.1．如图，四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为( )A ．90°B ．75°C ．60°D ．45°解析：选A.延长DA 至E ，使AE ＝DA ，连接PE ，BE ，因为∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，所以DE ＝BC ，DE ∥BC .所以四边形CBED 为平行四边形． 所以CD ∥BE .所以∠PBE (或其补角)就是异面直线CD 与PB 所成的角． 在△PAE 中，AE ＝PA ，∠PAE ＝120°， 由余弦定理得PE ＝PA 2＋AE 2－2·PA ·AE cos ∠PAE ＝AE 2＋AE 2－2·AE ·AE ·⎝⎛⎭⎫－12 ＝3AE .在△ABE 中，AE ＝AB ，∠BAE ＝90°，所以BE ＝2AE .因为△PAB 是等边三角形，所以PB ＝AB ＝AE . 因为PB 2＋BE 2＝AE 2＋2AE 2＝3AE 2＝PE 2，所以∠PBE ＝90°.故选A.2．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．解析：如图所示，与AB 异面的直线有B 1C 1，CC 1，A 1D 1，DD 1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对)． 答案：24 3.如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC 的中点． (1)求证：AE 与PB 是异面直线；(2)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值． 解：(1)证明：假设AE 与PB 共面，设平面为α. 因为A ∈α，B ∈α，E ∈α， 所以平面α即为平面ABE ， 所以P ∈平面ABE ， 这与P ∉平面ABE 矛盾， 所以AE 与PB 是异面直线． (2)取BC 的中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF (或其补角)就是异面直线AE 和PB 所成的角． 因为∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ， 所以AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2， cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22·AE ·EF＝2＋2－32×2×2＝14，所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14. 4.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点． (1)求证：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ， 所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ， 故GH 綊BC .所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面． 理由如下：由BE 綊12FA ，G 是FA 的中点知，BE 綊GF ， 所以EF 綊BG . 由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面． 又点D 在直线FH 上， 所以C ，D ，F ，E 四点共面．。
2023届高考数学一轮复习作业空间图形的基本关系与公理北师大版
空间图形的基本关系与公理一、选择题1．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥cC [若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c 相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C．]2．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是( )A．① B．①④ C．②③ D．③④B [①显然正确；②错误，三条平行直线可能确定1个或3个平面；③若三个点共线，则两个平面相交，故③错误；④显然正确．故选B．]3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )A B C DD [A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．]4．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BCC [由题意知，D∈l，lβ，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD．]5．(2021·兰州模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的余弦值为( )A．B．C．D．B [不妨设正方体的棱长为1，取A1D1的中点G，连接AG，易知GA∥C1E，则∠FAG(或其补角)为异面直线AF与C1E所成的角．连接FG(图略)，在△AFG中，AG＝＝，AF＝＝，FG＝1，于是cos∠FAG＝＝，故选B．]6．在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BB1，则AB1与BC1所成角的大小为( )A．30° B．60° C．75° D．90°D [将正三棱柱ABCA1B1C1补为四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接C1D，BD(图略)，则C1D∥B1A，∠BC1D为所求角或其补角．设BB1＝，则BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD ＝2，又因为BC1＝C1D＝，所以∠BC1D＝90°．]二、填空题7．已知AE是长方体ABCDEFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE 异面且垂直的棱共有________条．4 [如图，作出长方体ABCDEFGH．在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD．共4条．]8．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为________．30° [如图，设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD 的中位线．由此可得GF∥AB，且GF＝AB＝1，GE∥CD，且GE＝CD＝2，∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角．又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF．因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，sin∠GEF＝＝，可得∠GEF＝30°，∴EF与CD所成角的度数为30°．]9．在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)① ② ③ ④②④ [图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN 异面．]三、解答题10．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC AD，BE FA，G，H分别为FA，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？[解] (1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH AD．又BC AD，∴GHBC．∴四边形BCHG为平行四边形．(2)∵BE AF，G为FA的中点，∴BE FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG．由(1)知BG CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．11．如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．[解] (1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°．1．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为( )A． B．－ C． D．－A [如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，FO，OG，GE，GF，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∴∠FEG或其补角为异面直线AC与BD所成的角．设AB＝2a，则EG＝EF＝a，FG＝＝a，∴△EFG是等边三角形，∴∠FEG＝60°，∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A．]2．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线B [如图所示， 作EO⊥CD于O，连接ON，过M作MF⊥OD于F．连接BF，∵平面CDE⊥平面ABCD，EO⊥CD，EO平面CDE，∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，∴△MFB与△EON均为直角三角形．设正方形边长为2，易知EO＝，ON＝1，EN＝2，MF＝，BF＝，∴BM＝．∴BM≠EN．连接BD，BE，∵点N是正方形ABCD的中点，∴点N在BD上，且BN＝DN．又∵M为ED的中点，∴BM，EN为△DBE的中线，∴BM，EN必相交．故选B．]3．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n．(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD．试证明：EG＝FH．[解] (1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD．又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD．所以EH∥FG．所以E，F，G，H四点共面．(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．因为＝＝，所以EH＝BD．同理可得FG＝BD，由EH＝FG，得m＝n．故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．(3)证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，所以EF∥AC，又EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH．。
2020版高考数学一轮复习课时规范练39空间图形的基本关系与公理理北师大版
课时规范练空间图形的基本关系与公理基础巩固组.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的().充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既非充分又非必要条件.(河北衡水二调)已知是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题中正确的是().若∥α⫋α,则∥.若∥α∥α,则∥.若⊥⫋α,则⊥α.若⊥α∥,则⊥α.(河南六市一模)在空间中是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是().若∥α∥α,则∥.若⫋α⫋β,α⊥β,则⊥.若∥α∥,则∥α.若α∥β⫋α,则∥β.(广东深圳二模)已知、为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是() .若⊥⊥,且⫋α,则⊥α.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β.若⊥α⊥,则∥α.若∥⊥α,则⊥α.如图所示是长方体是的中点,直线交平面于点,则下列结论正确的是()三点共线不共面不共面共面.(广东佛山模拟)在三棱柱中分别为棱的中点,则在空间中与直线都相交的直线().不存在.有且只有两条.有且只有三条.有无数条.(云南保山统考二)四棱锥中⊥平面,底面是边长为的正方形为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为(). . . ..(河北衡水一模)如图,在三棱柱中⊥底面是的中点,∠°,过点、作截面交于点,若点恰好是的中点,则直线与所成角的余弦值为.综合提升组.平面α过正方体的顶点,α∥平面,α∩平面,α∩平面,则所成角的正弦值为(). . . ..(重庆模拟)如图,四边形和均为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线与所成的角为..α,β是两个平面是两条直线,有下列四个命题:①如果⊥⊥α∥β,那么α⊥β.②如果⊥α∥α,那么⊥.③如果α∥β⫋α,那么∥β.④如果∥,α∥β,那么与α所成的角和与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)创新应用组.(山西太原三模)如图是正四面体的平面展开图分别是的中点,在这个正四面体中:①与平行;②与为异面直线;③与成°角;④与垂直.以上四个命题中,正确命题的个数是().(陕西黄陵中学月模拟)我国古代《九章算术》里,记载了一个例子:“今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺,问积几何?”该问题中的羡除是如图所示的五面体,其三个侧面皆为等腰梯形,两个底面为直角三角形,其中尺尺尺间的距离为尺间的距离为尺,则异面直线与所成角的正弦值为(). . . .参考答案课时规范练空间图形的基本关系与公理。
全国统考2022高考数学一轮复习课时规范练40空间图形的基本关系与公理理含解析北师大版
课时规范练40 空间图形的基本关系与公理基础巩固组1.(2020浙江丽水模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B 与直线EF的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.垂直2.(2020广东汕头模拟)a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是()A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c3.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面4.(2020海南三亚模拟)在空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF,GH相交于点P,那么()A.点P必在直线AC上B.点P必在直线BD上C.点P必在平面DBC内D.点P必在平面ABC外5.(2020山东临沂模拟)如图所示,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.456.(2020江西宜春模拟)已知AE是长方体ABCD-EFGH的一条棱,则在这个长方体的十二条棱中,与AE异面且垂直的棱共有条.7.(2020江苏启东中学模拟)如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是AB 和AA 1的中点. 求证:(1)E ,C ,D 1,F 四点共面; (2)CE ,D 1F ,DA 三线共点.综合提升组8.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为1,点M 在线段BC 上(点M 异于B ,C 两点),点N 为线段CC 1的中点,若平面AMN 截正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1所得的截面为五边形,则线段BM 的取值范围是( ) A.(0,12] B.(12,1) C .[13,1)D .[12,13]9.(2020湖北孝感模拟)已知在四面体ABCD 中,E ,F 分别是AC ,BD 的中点.若AB=2,CD=4,EF ⊥AB ,则EF 与CD 所成角的度数为 .10.(2020湖北武汉模拟)如图所示,在四面体ABCD 中作截面PQR ,若PQ 与CB 的延长线交于点M ,RQ 与DB 的延长线交于点N ,RP 与DC 的延长线交于点K.给出以下结论: ①直线MN ⫋平面PQR ;②点K 在直线MN 上;③M ,N ,K ,A 四点共面. 其中正确结论的序号为 .11.如图所示,平面BCC 1B 1⊥平面ABC ,∠ABC=120°,四边形BCC 1B 1为正方形,且AB=BC=2,则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为 .(第10题图)(第11题图)12.(2020江苏盐城模拟)已知空间四边形ABCD (如图所示),E ,F 分别是AB ,AD 的中点,G ,H 分别是BC ,CD 上的点,且CG=13BC ,CH=13DC. 求证:(1)E ,F ,G ,H 四点共面; (2)三直线FH ,EG ,AC 共点.创新应用组13.如图,在正四面体ABCD 中,E 是棱AD 上靠近点D 的一个三等分点,则异面直线AB 和CE 所成角的余弦值为 .参考答案课时规范练40 空间图形的基本关系与公理1.A 由BCAD ,ADA 1D 1知,BCA 1D 1,从而四边形A 1BCD 1是平行四边形,所以A 1B ∥CD 1,又EF ⫋平面A 1BCD 1,EF ∩D 1C=F ,则A 1B 与EF 相交.2.C 对于A,B,D,a 与c 可能相交、平行或异面,因此A,B,D 不正确,根据异面直线所成角的定义知C 正确.3.A 连接A 1C 1,AC ,图略,则A 1C 1∥AC ,所以A 1,C 1,A ,C 四点共面.所以A 1C ⫋平面ACC 1A 1.因为M ∈A 1C ,所以M ∈平面ACC 1A 1.又M ∈平面AB 1D 1,所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上. 同理A ,O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上,所以A ,M ,O 三点共线.4.A如图,因为EF⫋平面ABC,而GH⫋平面ADC,且EF和GH相交于点P,所以点P在两平面的交线上,因为AC是两平面的交线,所以点P必在直线AC上.5.D连接BC1,易证BC1∥AD1,则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,由AB=1,AA1=2,则A1C1=√2,A1B=BC1=√5,在△A1BC1中,由余弦定理得cos∠A1BC1=2×√5×√5=45.6.4作出长方体ABCD-EFGH.在这个长方体的十二条棱中,与AE异面且垂直的棱有GH,GF,BC,CD.共4条.7.证明(1)如图,连接EF,CD1,A1B.∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C,∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四点共面.(2)∵EF∥CD1,EF<CD1,∴CE与D1F必相交,设交点为P,则由P∈直线CE,CE⫋平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直线DA,∴CE,D1F,DA三线共点.8.B∵正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,所以正方体的棱长为1,当点M 为线段BC 的中点时,MN ∥AD 1,A ,M ,N ,D 1共面, 截面为四边形AMND 1,如图,即BM=12不合题意,排除选项A,C,D;当BM>12时,截面为五边形,如图,符合题意,即线段BM 的取值范围为(12,1).故选B .9.30° 如图,设G 为AD 的中点,连接GF ,GE ,则GF ,GE 分别为△ABD ,△ACD 的中位线.由此可得GF ∥AB ,且GF=12AB=1,GE ∥CD ,且GE=12CD=2,∴∠FEG 或其补角即为EF 与CD 所成的角.∵EF ⊥AB ,GF ∥AB ,∴EF ⊥GF.因此,在Rt △EFG 中,sin ∠GEF=GFGE =12,可得∠GEF=30°,∴EF 与CD 所成角的度数为30°.10.①②③ 由题意知,M ∈PQ ,N ∈RQ ,K ∈RP ,从而点M ,N ,K ∈平面PQR.所以直线MN ⫋平面PQR ,故①正确.同理可得点M ,N ,K ∈平面BCD.从而点M ,N ,K 在平面PQR 与平面BCD 的交线上,即点K 在直线MN 上,故②正确.因为A ∉直线MN ,从而点M ,N ,K ,A 四点共面,故③正确. 11.√64由题目中的位置关系,可将原图补为如图所示的直四棱柱,∵BC 1∥AD ,∴异面直线BC 1与AC 所成角即为直线AD 与AC 所成角∠DAC ,由余弦定理可得AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BC·cos ∠ABC=4+4-8cos120°=12,∴AC=2√3,又AD=CD=√4+4=2√2,∴cos ∠DAC=AD 2+AC 2-CD 22AD ·AC=2×2√2×2√3=√64. 12.证明(1)连接EF ,GH ,因为E ,F 分别是AB ,AD 的中点,所以EF ∥BD.又因为CG=13BC ,CH=13DC ,所以GH ∥BD ,所以EF ∥GH ,所以E ,F ,G ,H 四点共面.(2)易知直线FH 与直线AC 共面,不平行,所以设FH ∩AC=M ,所以M ∈平面EFHG ,M ∈平面ABC.又因为平面EFHG ∩平面ABC=EG ,所以M ∈EG ,所以FH ,EG ,AC 共点. 13.√714如图,取棱BD 上靠近点D 的一个三等分点F ,又因为E 是棱AD 上靠近点D 的一个三等分点,所以EF ∥AB ,所以∠CEF 是异面直线AB和CE 所成的角,不妨设正四面体ABCD 的棱长为3,则DE=13AD=1,EF=13AB=1,DF=13BD=1,在△CDE 中,由余弦定理得CE 2=DE 2+CD 2-2DE·CD·cos ∠CDE=12+32-2×1×3×12=7,所以CE=√7,同理,在△CDF 中,由余弦定理得CF=√7,在△CEF 中,由余弦定理, 得cos ∠CEF=EF 2+CE 2-CF 22EF ·CE=2√7)2√7)22×1×√7=√714.。
最新高考数学一轮复习课时规范练空间图形的基本关系与公理理北师大版
课时规范练39 空间图形的基本关系与公理基础巩固组1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件2.(2018河北衡水二调,3)已知l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题中正确的是()A.若l∥α,m⫋α,则l∥mB.若l∥α,m∥α,则l∥mC.若l⊥m,m⫋α,则l⊥αD.若l⊥α,l∥m,则m⊥α3.(2018河南六市一模,6)在空间中,a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是()A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⫋α,b⫋β,α⊥β,则a⊥bC.若a∥α,a∥b,则b∥αD.若α∥β,a⫋α,则a∥β4.(2018广东深圳二模,5)已知m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是()A.若l⊥m,l⊥n,且m,n⫋α,则l⊥αB.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥βC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥n,n⊥α,则m⊥α5.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面6.(2018广东佛山模拟,4)在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与直线A1B1,EF,BC都相交的直线()A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条7.(2018云南保山统考二,10)四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=,E 为PC的中点,则异面直线BE与PD所成角的余弦值为 ()A. B. C. D.8.(2018河北衡水一模,14)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,D是AB的中点,∠ACB=90°,AC=BC=CC1,过点D、C作截面交BB1于点E,若点E恰好是BB1的中点,则直线AC1与DE所成角的余弦值为.综合提升组9.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n 所成角的正弦值为()A. B. C. D.10.(2018重庆模拟,14)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线AP与BD所成的角为.11.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⫋α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)创新应用组12.(2018山西太原三模,10)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别是DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中①DE与MN平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.413.(2018陕西黄陵中学6月模拟,7)我国古代《九章算术》里,记载了一个例子“今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺,问积几何?”该问题中的羡除是如图所示的五面体ABCDEF,其三个侧面皆为等腰梯形,两个底面为直角三角形,其中AB=6尺,CD=10尺,EF=8尺,AB,CD间的距离为3尺,CD,EF间的距离为7尺,则异面直线DF与AB所成角的正弦值为()A. B. C. D.参考答案课时规范练39 空间图形的基本关系与公理1.A“两条直线为异面直线”⇒“两条直线无公共点”.“两直线无公共点”⇒“两直线异面或平行”.故选A.2.D由题意,A中,若l∥α,m⫋α,则l∥m或l与m异面,所以不正确;B中,若l∥α,m∥α,则l∥m或l与m相交或异面,所以不正确;C中,若l⊥m,m⫋α,则l⊥α或l与平面α斜交或平行,所以不正确;D 中,若l⊥α,l∥m,则m⊥α是正确的,故选D.3.D若a∥α,b∥α,则a,b位置关系不定;若a⫋α,b⫋β,α⊥β,则a,b位置关系不定;若a∥α,a∥b,则b∥α或b⫋α;若α∥β,a⫋α,则a∥β,选D.4.D对于选项A,若l⊥m,l⊥n,且m,n⫋α,则l不一定垂直平面α,因为m有可能和n平行,所以该选项错误;对于选项B,若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α,β可能相交或平行,所以该选项错误;对于选项C,若m⊥α,m⊥n,则n有可能在平面α内,所以该选项错误;对于选项D,由于两平行线中有一条垂直平面α,则另一条也垂直平面α,所以该选项正确.故答案为D.5.A连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,所以A1,C1,A,C四点共面.所以A1C⫋平面ACC1A1.因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.6.D在EF上任意取一点M,直线A1B1与M确定一个平面,这个平面与BC有且仅有1个交点N,当M的位置不同时确定不同的平面,从而与BC有不同的交点N,而直线MN与A1B1,EF,BC分别有交点P,M,N,如图,故有无数条直线与直线A1B1,EF,BC都相交.7.C取CD的中点F,连接BF,EF,∵E是PC的中点,∴EF∥PD,则∠BEF是BE与PD的夹角,EF=PD=.∵PC=,∴cos∠BPC==,∴BE2=32+2-2×3××=.又BF=,∴cos∠BEF===.8. 连接AB1,且AB1∥DE,所以直线AC1与DE所成角为∠C1AB1,由CC1⊥底面ABC,所以为直三棱柱,设AC=BC=CC1=1,∠ACB=90°,所以B1C1=1,AC1=,AB1=,且B1C1⊥AC1,cos∠C1AB1==.填.9.A(方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,∴m,n所成的角的正弦值为.(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值为.10. 如图,将原图补成正方体ABCD-QGHP,连接GP,则GP∥BD,所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角,在△AGP中,AG=GP=AP,所以∠APG=.11.②③④对于①,若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为n∥α,所以过直线n作平面γ与平面α相交于直线c,则n∥c.因为m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确命题的编号有②③④.12.C将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B、C)-DEF,如图对于①,M、N分别为EF、AE的中点,则MN∥AF,而DE与AF异面,故DE与MN不平行,故①错误;对于②,BD与MN为异面直线,正确(假设BD与MN共面,则A、D、E、F四点共面,与ADEF为正四面体矛盾,故假设不成立,故BD与MN异面);对于③,依题意,GH∥AD,MN∥AF,∠DAF=60°,故GH与MN成60°角,故③正确;对于④,连接GF,A点在平面DEF的射影A1在GF上,∴DE⊥平面AGF,DE⊥AF,而AF∥MN,∴DE与MN垂直,故④正确.综上所述,正确命题的序号是②③④,故答案为②③④.13.B如图根据题意AB∥CD,所以∠FDC为异面直线DF与AB所成角,又因为CD=10尺,EF=8尺且侧面为等腰梯形,过点F作FG⊥DC,则DG=9尺,CD,EF间的距离为7尺,故FG=7尺,由勾股定理得DF==尺,所以sin∠FDC==,故选B.。
高考数学一轮复习第7章立体几何初步第2节空间图形的基本关系与公理课时分层训练文北师大版
课时分层训练(三十七) 空间图形的基本关系与公理A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2015·湖北高考)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则( ) A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件A[若l1，l2异面，则l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，则l1，l2是平行直线或异面直线，故p⇒q，qD⇒/p，故p是q的充分不必要条件．]2．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面．其中正确的序号是( )A．①B．①④C．②③D．③④A[显然命题①正确．由三棱柱的三条平行棱不共面知，②错．命题③中，两个平面重合或相交，③错．三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④不正确．]3．(2017·郑州联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，aα，aβ，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面D[依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．]4．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( ) A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定D[如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若取C 1D 为l 4，则l 1与l 4相交；若取BA 为l 4，则l 1与l 4异面；取C 1D 1为l 4，则l 1与l 4相交且垂直． 因此l 1与l 4的位置关系不能确定．]5．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( ) A.45 B ．35 C.23D ．57B [连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 为异面直线AE 与D 1F 所成的角． 设正方体棱长为a ， 则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a22·52a ·52a＝35.]二、填空题6. 如图727所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：图727①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)③④ [由题图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线． 因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.]7. (2017·佛山模拟)如图728所示，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．图72860° [取A 1C 1 的中点E ，连接B 1E ，ED ，AE ，在Rt △AB 1E 中，∠AB 1E 即为所求， 设AB ＝1，则A 1A ＝2，AB 1＝3，B 1E ＝32，AE ＝32，故∠AB 1E ＝60°.] 8．如图729，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.【导学号：66482330】图7294 [取CD 的中点为G (图略)，由题意知平面EFG 与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF 与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF 在平面内，所以直线EF 与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.]三、解答题9. 如图7210所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．问：图7210(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由．[解] (1)AM ，CN 不是异面直线．理由：连接MN ，A 1C 1，AC .因为M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1. 2分 又因为A 1A 綊C 1C ，所以A 1ACC 1为平行四边形， 所以A 1C 1∥AC ，所以MN ∥AC ， 所以A ，M ，N ，C 在同一平面内， 故AM 和CN 不是异面直线. 5分 (2)直线D 1B 和CC 1是异面直线. 6分理由：因为ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，所以B ，C ，C 1，D 1不共面．假设D 1B 与CC 1不是异面直线， 则存在平面α，使D 1B 平面α，CC 1平面α， 所以D 1，B ，C ，C 1∈α，10分这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾，所以假设不成立， 即D 1B 和CC 1是异面直线. 12分10．如图7211所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC＝23，PA ＝2.求：图7211(1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． [解] (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. 5分 (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角). 8分在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·南昌二模)设α为平面，a ，b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( ) A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b B ．若a ⊥α，a ∥b ，则b ⊥α C ．若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α D ．若a ∥α，a ⊥b ，则b ⊥αB [若a ∥α，b ∥α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；易知B 正确； 若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α或b α，故C 错误；若a ∥α，a ⊥b ，则b ∥α或b α或b 与α相交，故D 错误．]2. 如图7212，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________．图721236[取DE 的中点H ，连接HF ，GH .由题设，HF 綊12AD ，∴∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角)． 在△GHF 中，可求HF ＝2，∴cos ∠GFH ＝22＋62－622×2×6＝36.] 3．(2016·广州模拟)已知三棱锥A BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角.【导学号：66482331】[解] 如图，取AC 的中点P .连接PM ，PN ，又点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为AB 与CD 所成的角(或其补角). 6分 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，①若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或其补角)． 又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°， 即AB 和MN 所成的角为60°. 9分②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形， 所以∠PMN ＝30°，即AB 和MN 所成的角为30°. 综上，直线AB 和MN 所成的角为60°或30°. 12分。
【配套K12】高三数学一轮复习 空间图形的基本关系与公理随堂检测 理 北师大版
2011《金版新学案》高三数学一轮复习空间图形的基本关系与公理随堂检测理北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知α、β是两个不同的平面，直线aα，直线bβ，命题p∶a与b没有公共点，命题q∶α∥β，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当a，b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点，但α与β相交．当α∥β时，a与b一定无公共点，∴q⇒p，但p q【答案】 B2.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC【解析】由题意知，D∈l，lβ，∴D∈β.又D∈AB，∴D∈平面ABC，即D在平面ABC与平面β的交线上．又C∈平面ABC，C∈β，∴点C在平面β与平面ABC的交线上．从而有平面ABC∩平面β＝CD.【答案】 C3．正方体AC1中，E、F分别是线段C1D、BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A．相交 B．异面C．平行 D．垂直【解析】直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交，选A.【答案】 A4．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是( ) A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC【解析】注意审题是选不正确的选项，分别判断易知D选项中当四点构成空间四面体时，只能推出AD⊥BC，二者不一定相等，如图易证得直线BC⊥平面ADE，从而AD⊥BC.【答案】 D5. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是( )A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面【解析】连接A1B，∵E是AB1中点，∴E∈A1B，∴EF是△A1BC1的中位线，∴EF∥A1C1，故D不成立．【答案】 D6．以下四个命题中，正确命题的个数是( )①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2 D．3【解析】①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．【答案】 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．三条直线可以确定三个平面，这三条直线的公共点个数是________．【解析】因三条直线可以确定三个平面，所以这三条直线有两种情况：一是两两相交，有1个交点；二是互相平行，没有交点．【答案】0或18．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________(把符合要求的命题序号都填上)．【解析】对于①可举反例，如AB∥CD，A、B、C、D没有三点共线，但ABCD共面，对于②由异面直线定义知正确，故填②.【答案】②9.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．【解析】AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，所以①②错误．③④正确．【答案】③④三、解答题(共46分)10．(15分)如图，立体图形A-BCD的四个面分别为△ABC、△ACD、△ADB和△BCD，E、F、G分别是线段AB、AC、AD上的点，且满足AE∶AB=AF∶AC=AG∶AD.求证：△EFG∽△BCD.【证明】在△ABD中，∵AE∶AB=AG∶AD，∴EG∥BD.同理，GF∥DC，EF∥BC.又∠GEF与∠DBC方向相同，∴∠GEF=∠DBC.同理，∠EGF=∠BDC.∴△EFG∽△BCD.11．(15分)如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AA 1，C 1D 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出直线l ；(2)设l ∩A 1B 1=P ，求线段PB 1的长． 【解析】(1)延长DM 交D 1A 1的延长线于点E ， 连接NE 交A 1B 1于点P ， 直线NE 即为所求的直线l.(2)∵点M 为AA 1的中点，且AD∥ED 1， ∴AD＝A 1E ＝A 1D 1＝a ， 又∵A 1P∥D 1N ，且D 1N ＝12a ，∴A 1P ＝12D 1N ＝14a ，∴PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝a －14a ＝34a.12．(16分)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为A 1A 的中点， 求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．【证明】 (1)分别连接EF 、A 1B 、D 1C. ∵E、F 分别是AB 和AA 1的中点， ∴EF12A 1B.又A 1D 1B 1C 1BC ，∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形． ∴A 1B∥CD 1，从而EF∥CD 1.∴EF 与CD 1确定一个平面．∴E、F 、D 1、C 四点共面． (2)∵EF12CD 1， ∴直线D 1F 和CE 必相交，设D 1F∩CE＝P. ∵P∈D 1F 且D 1F平面AA 1D 1D ，∴P∈平面AA 1D 1D.又P∈EC 且CE 平面ABCD ，∴P∈平面ABCD ，即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点，而平面ABCD∩平面AA 1D 1D ＝AD ， ∴P∈AD.∴CE、D 1F 、DA 三线共点．。
高考数学总复习课时作业42空间图形的基本关系与公理理北师大版
A级1．(2011 ·浙江卷 ) 若直线l不平行于平面α，且l?α，则()A．α内的全部直线与l 异面B．α内不存在与l 平行的直线C．α内存在独一的直线与l 平行D．α内的直线与l 都订交2．若异面直线a， b 分别在平面α，β 内，且α ∩β＝l，则直线l()A．与直线a，b 都订交B．起码与a，b 中的一条订交C．至多与a，b 中的一条订交D．与a，b中的一条订交，另一条平行3．正方体－1111 中，，分别是线段 1 ，的中点，则直线1与直线EF ABCD ABC D E F CD BC A B的地点关系是 ()A．订交B．异面C．平行D．垂直4．以下命题正确的个数为()①经过三点确立一个平面②梯形能够确立一个平面③两两订交的三条直线最多能够确立三个平面④假如两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A．0B． 1C．2D． 35．以下命题中不正确的选项是()A．若aα ，bα ，l∩a＝A，l∩b＝B，则lαB．若a∥c，b∥c，则a∥bC．a? α，bα，a∥b，则a∥αD．若向来线上有两点在已知平面外，则直线上全部点在平面外6．已知空间四边形ABCD中， M，N分别为AB，CD的中点，则以下判断：①MN≥21( AC＋111＋ ) ．)；② ＞(＋ )；③ ＝(＋ )；④ ＜(BDMN2AC BD MN 2AC BD MN 2AC BD此中正确的选项是 ________．7．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出以下四个命题，此中正确命题的序号是____________．①P∈a， P∈α? a α③a∥ b， a α， P∈ b， P∈α? b α④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b8．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，抗命题为真命题的是________． ( 把切合要求的命题序号都填上)9.如图，正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， M， N分别为棱 C1D1， C1C的中点，有以下四个结论：①直线 AM与 CC1是订交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与 MB1是异面直线；④直线 AM与 DD1是异面直线．此中正确的结论为 ________( 注：把你以为正确的结论的序号都填上) ．10.如图是一正方体 ABCD－A1B1C1D1，(1)求 A1C1与 B1C所成角的大小；(2)若 E， F 分别为 AB， AD的中点，求 A1C1与 EF所成角的大小．11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是CD的中点，连结AE并延伸与BC的延伸线交于点F，连结BE并延伸交AD的延伸线于点G，连结FG.求证：直线FG 平面 ABCD，且直线 FG∥直线 A1B1.B级1．如下图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面 AB1D1于点 M，则以下结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面2．(2012 ·纲领全国卷 ) 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线 AE与 D1F 所成角的余弦值为________．3．如下图，三棱锥P－ABC中， PA⊥平面 ABC，∠ BAC＝60°， PA＝AB＝ AC＝2， E 是PC的中点．(1) ①求证AE与PB是异面直线；②求异面直线AE和 PB所成角的余弦值；(2)求三棱锥 A－ EBC的体积．详解答案课时作业 ( 四十二 )A级1．B由题意知，直线l与平面α订交，则直线l与平面α内的直线只有订交和异面两种地点关系，因此只有选项 B 是正确的．2． B若a∥ l，b∥ l，则a∥ b，故a，b中至罕有一条与l 订交，应选B.3． A直线A1B与直线外一点 E 确立的平面为A1BCD1， EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线订交．4． C经过不共线的三点能够确立一个平面，∴①不正确；两条平行线能够确立一个平面，∴②正确；两两订交的三条直线能够确立一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有求情三个点能否共线，∴④不正确．5． D∵ l∩ a＝A，l∩ b＝B，∴ A∈ l，A∈a，B∈ l，B∈ b.又∵ aα，bα，∴A∈α，B∈α，∴lα，应选项A正确；由公义 4 及线面平行的判断定理可知选项B、 C 均正确．若直线上有两点在已知平面外，则该直线平行此平面或与此平面订交，应选项D不正确．6．分析：如图，取BC的中点 O，连结 MO， NO，11则 OM＝2AC， ON＝2BD，在△ MON中， MN＜ OM＋ ON1＝( AC＋BD) ，∴④正确．2答案：④7．分析：当a ∩α＝P时，∈，∈，但a?α，∴①错；a∩β＝P时，②错；P a P α如图∵ a∥b，P∈b，∴ P?a，∴由直线 a 与点 P 确立独一平面α，又a∥b，由a与b确立唯一平面γ，但γ 经过直线a与点P，∴γ 与α 重合，∴bα，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．答案：③④8．分析：关于①可举反例，如AB∥ CD， A， B，C， D 没有三点共线，但A， B，C， D 共面．关于②由异面直线定义知正确，故填②.答案：②9．分析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与 BN也是异面直线，故①②错误．答案：③④10．分析：(1) 如图，连结AC， AB1，由 ABCD－ A1B1C1D1是正方体，知 AA1C1C为平行四边形，因此AC∥ A1C1，进而 B1C与 AC所成的角就是A1C1与 B1C所成的角．由 AB1＝ AC＝ B1C可知∠ B1CA＝60°，即 A1C1与 B1C所成角的大小为60°.(2)如(1) 中图，连结BD，∵AC∥A1C1，∴ AC与 EF所成的角就是A1C1与 EF所成的角．∵EF是△ ABD的中位线，∴ EF∥ BD.又∵ AC⊥ BD，∴ EF⊥ AC，即所求角的大小为90°.11．证明：已知E是CD的中点，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，有 A∈平面 ABCD， E∈平面 ABCD，因此 AE平面ABCD.又由于 AE∩ BC＝ F，因此 F∈ AE.进而 F∈平面 ABCD.同理 G∈平面 ABCD，因此 FG平面ABCD.1由于 EC綊2AB，故在Rt△FBA中， CF＝ BC，同理 DG＝ AD.又在正方形ABCD中， BC綊 AD，因此 CF綊 DG.因此四边形CFGD是平行四边形．因此FG∥ CD.又 CD∥ AB， AB∥ A1B1，因此直线 FG∥直线 A1B1.B 级1． A连结A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1， A， C四点共面，∴ A1C 平面 ACC1A1，∵M∈A1C，∴ M∈平面 ACC1A1，又 M∈平面 AB1D1，∴M在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上，同理 O在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上．∴ A，M， O三点共线．2.分析：连结 DF，则 AE∥ DF，∴∠ D1FD即为异面直线AE与 D1F 所成的角．设正方体棱长为a，55则 D1D＝ a， DF＝2 a， D1F＝2 a，5a 2＋5a 2－ a2322∴ cos∠D1FD＝5＝ .552·2a·2a3答案：53．分析：(1) ①证明：假定AE与 PB共面，设平面为α ，∵ A∈α， B∈α， E∈α，∴平面α 即为平面ABE，∴P∈平面ABE，这与 P?平面 ABE矛盾，因此 AE与 PB是异面直线．②取 BC的中点 F，连结 EF， AF，则 EF∥ PB，因此∠ AEF 或其补角就是异面直线AE 和 PB 所成角．∵∠ BAC ＝60°， PA ＝ AB ＝ AC ＝ 2， PA ⊥平面 ABC ，∴ AF ＝ 3， AE ＝2， EF ＝2＋2－ 31 ， 2； cos ∠AEF ＝＝2×2×24因此异面直线和1所成角的余弦值为 .AEPB41(2) 由于 E 是 PC 中点，因此 E 到平面 ABC 的距离 为 2PA ＝ 1，V － ＝V － ＝ 1 1 33 3×2×2×2×2×1＝ 3.AEBCE ABC。
高考数学一轮复习 空间图形的基本关系与公理课时作业36 文 北师大版
高考数学一轮复习空间图形的基本关系与公理课时作业36文北师大版一、选择题1．已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC 上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点( ) A．成钝角三角形B．成锐角三角形C．成直角三角形D．在一条直线上解析：D、E、F为已知平面与平面A′B′C′的公共点，由公理2知，D、E、F共线．答案：D2．已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a，b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点，但α与β相交．当α∥β时，a与b一定无公共点，∴q⇒p，但p⇒/ q.答案：B3．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( )A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面解析：对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾；对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条；对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条.答案：B4．[2011·四川卷]l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面. 所以选B.答案：B5．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定惟一平面α.又a∥b，由a与b确定惟一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．答案：D6．平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，且C∉l，C∈β，又AB∩l＝R，如图所示，过A、B、C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR解析：由已知条件可知，C∈γ，AB∩l＝R，AB⊂γ，所以R∈γ.又因为C，R∈β，故CR＝β∩γ.答案：C二、填空题7．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是①矩形，如ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，另一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A－CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A－A1DC，所以填①③④⑤.答案：①③④⑤8．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．答案：①9．(2010年金华一模)在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH 与MN 异面； 图③中，连接MG ，GM ∥HN ； 因此GH 与MN 共面；图④中，G 、M 、N 共面，但H ∉面GMN ， ∴GH 与MN 异面．所以图②、④中GH 与MN 异面． 答案：②④ 三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为A 1A 的中点， 求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．证明：(1)分别连接EF 、A 1B 、D 1C . ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点， ∴EF 綊12A 1B .又A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形． ∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1. ∴EF 与CD 1确定一个平面． ∴E 、F 、D 1、C 四点共面．(2)∵EF 綊12CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交，设D 1F ∩CE ＝P .∵P ∈D 1F 且D 1F ⊂平面AA 1D 1D ， ∴P ∈平面AA 1D 1D .又P ∈EC 且CE ⊂平面ABCD ， ∴P ∈平面ABCD ，即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点， 而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝AD ， ∴P ∈AD .∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．11．已知E 和F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AA 1和棱CC 1上的点，且AE ＝C 1F ，求证：四边形EBFD1是平行四边形．证明：如图所示，在DD1上取一点G，使D1G＝A1E，则易知A1E綊D1G，∴四边形A1EGD1为平行四边形，∴EG綊A1D1.又∵A1D1綊B1C1，B1C1綊BC，∴EG綊BC，∴四边形GEBC是平行四边形，∴EB綊GC.又∵D1G綊FC，∴四边形D1GCF是平行四边形，∴GC綊D1F，∴EB綊D1F，∴四边形EBFD1是平行四边形.12．在正方体AC1中，E是CD的中点，连结AE并延长与BC的延长线交于点F，连结BE 并延长交AD的延长线于点G，连结FG.求证：直线FG⊂平面ABCD且直线FG∥直线A1B1.证明：由已知得E是CD的中点，在正方体中，有A∈平面ABCD ，E∈平面ABCD，所以AE⊂平面ABCD.又AE∩BC＝F，所以F∈AE，从而F∈平面ABCD.同理，G∈平面ABCD，所以FG⊂平面ABCD.因为EC 綊12AB ，故在Rt △FBA 中，CF ＝BC ，同理，DG ＝AD .又在正方形ABCD 中，BC 綊AD ， 所以CF 綊DG .所以四边形CFGD 是平行四边形． 所以FG ∥CD .又CD ∥AB ，AB ∥A 1B 1， 所以直线FG ∥直线A 1B 1.。
高考数学一轮复习 第7章 立体几何初步 第3节 空间图形的基本关系与公理学案 文 北师大版-北师大版
第三节空间图形的基本关系与公理[考纲传真] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．(对应学生用书第98页)[基础知识填充]1．空间图形的公理(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(5)等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面图形语言平行关系符号语言a∥b a∥αα∥β图形语言相交关系符号语言a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l图形语言独有关系符号语言a，b是异面直线aα(1)定义：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a ，b 的平行线l 1，l 2(a ∥l 1，b ∥l 2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a ，b 所成的角．(2)范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.[知识拓展]异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( ) (4)若直线a 不平行于平面α，且a α，则α内的所有直线与a 异面．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)如图731所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为( )图731A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°C [连接B 1D 1，D 1C ，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 为所求的角，又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴∠D 1B 1C ＝60°.]3．在下列命题中，不是公理的是( ) A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此 平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线A[A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基本性质公理．] 4．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由题意知aα，bβ，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．]5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．b与α相交或bα或b∥α(对应学生用书第99页)空间图形的公理及应用(1)以下命题中，正确命题的个数是( )①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2 D．3(2)如图732，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：图732①E，C，D1，F四点共面；②CE，D1F，DA三线共点．B[(1)①中若有三点共线，则四点共面，不合题意，故①正确；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．] (2)①如图，连接EF，CD1，A1B．∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．②∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD．同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．[规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明点共线问题的常用方法：(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．[变式训练1] (1)(2018·上饶模拟)如图733所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ 与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.给出以下命题：图733①直线MN 平面PQR ； ②点K 在直线MN 上； ③M ，N ，K ，A 四点共面． 其中正确结论的序号为________．【导学号：00090240】①②③ [由题意知，M ∈PQ ，N ∈RQ ，K ∈RP ， 从而点M ，N ，K ∈平面PQR . 所以直线MN 平面PQR ，故①正确． 同理可得点M ，N ，K ∈平面BCD ．从而点M ，N ，K 在平面PQR 与平面BCD 的交线上，即点K 在直线MN 上，故②正确． 因为A ∉直线MN ，从而点M ，N ，K ，A 四点共面，故③正确．](2)如图734所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．①证明：四边形BCHG 是平行四边形； ②C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？图734[解] (1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，得GH 綊12AD ．又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面，理由如下： 由BE 綊12AF ，G 为FA 的中点知BE 綊GF ，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．空间直线的位置关系(1)(2018·金华模拟)已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面α，b平面β，α∩β＝c，给出下列命题：①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥C．其中真命题有________．(填序号) 【导学号：00090241】(2)(2017·郑州模拟)在图735中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．①②③④图735(1)①③(2)②④[(1)对于①，若c与a，b都不相交，则c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正确．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．][规律方法] 1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．[变式训练2] (2018·烟台模拟)a ，b ，c 表示不同的直线，M 表示平面，给出四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b 或a ，b 相交或a ，b 异面；②若bM ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥B ．其中正确的为( ) A ．①④ B ．②③ C ．③④D ．①②A [对于①，当a ∥M ，b ∥M 时，则a 与b 平行、相交或异面，①为真命题．②中，b M ，a ∥b ，则a ∥M 或a M ，②为假命题．命题③中，a 与b 相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．]异面直线所成的角(1)如图736，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )图736A ．15B ．25 C ．35D ．45(2)(2018·泸州模拟)如图737所示，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成角的余弦值等于________．图737(1)D (2)155[(1)连接BC 1，易证BC 1∥AD 1， 则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2， 则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5， 在△A 1BC 1中，由余弦定理得 cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.(2)取BC 的中点G .连接GC 1，则GC 1∥FD 1，再取GC 的中点H ，连接HE 、OH ，∵E 是CC 1的中点，∴GC 1∥EH . ∴∠OEH 为异面直线所成的角． 在△OEH 中，OE ＝3，HE ＝52，OH ＝52. 由余弦定理，可得cos ∠OEH ＝OE 2＋EH 2－OH 22OE ·EH＝32·3·52＝155.] [规律方法] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． 2．求异面直线所成角的三个步骤：(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角． (2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．[变式训练3] 如图738，已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________． 【导学号：00090242】图7382[取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD．因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.]。
2021届北师大版高考理科数一轮复习第八章 第2讲 空间图形的基本关系与公理
第2讲 空间图形的基本关系与公理一、知识梳理1．空间图形的基本位置关系(1)空间点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外． (2)空间点与平面的位置关系有两种：点在平面内和点在平面外． (3)空间两条直线的位置关系有三种共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线：在同一平面内，但没有公共点的 两条直线；相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点.异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线． (4)空间直线与平面的位置关系有三种①直线在平面内，直线和平面有无数个公共点． ②直线和平面相交：直线和平面只有一个公共点． ③直线和平面平行：直线和平面没有公共点． (5)空间平面与平面的位置关系有两种 ①平行平面：两个平面没有公共点． ②相交平面：两个平面不重合，但有公共点． 2．空间图形的公理公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． 公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)．推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面； 推论2：两条相交直线确定一个平面； 推论3：两条平行直线确定一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．3．等角定理与异面直线所成的角(1)等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． (2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2．4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线与平面的位置关系位置关系 图形表示符号表示 公共点 直线a 在平面α内aα有无数个公共点 直线在平面外直线a 与平面α平行a ∥α没有公共点直线a 与平面α斜交a ∩α＝A有且只有一个公共点直线a 与平面α垂直a ⊥α(2)空间中两个平面的位置关系位置关系 图形表示符号表示公共点 两平面平行α∥β没有公共点两平面相交 斜交α∩β＝l有一条公共直线垂直α⊥β且 α∩β＝a1．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 2．异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．二、教材衍化1．下列命题中正确的是()A．过三点确定一个平面B．四边形是平面图形C．三条直线两两相交则确定一个平面D．两个相交平面把空间分成四个区域解析：选D.对于A，过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，故A错误；对于B，四边形也可能是空间四边形，不一定是平面图形，故B错误；对于C，三条直线两两相交，可以确定一个平面或三个平面，故C错误；对于D，平面是无限延展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故D正确．2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为________．解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.答案：60°3．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．解析：(1)因为四边形EFGH为菱形，所以EF＝EH，故AC＝BD.(2)因为四边形EFGH为正方形，所以EF ＝EH 且EF ⊥EH ， 因为EF 綊12AC ，EH 綊12BD ，所以AC ＝BD 且AC ⊥BD .答案：(1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a ，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a .( )(2)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( ) (3)两个平面ABC 与DBC 相交于线段BC .( ) (4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．( ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)判断直线与平面的位置关系时，忽视“直线在平面内”； (2)对等角定理的应用条件认识不清； (3)对异面直线的概念理解有误．1．已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⊆/α，a ⊆/β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是( )A ．相交或平行B ．相交或异面C ．平行或异面D ．相交、平行或异面解析：选D.依题意，直线b 和c 的位置关系可能是相交、平行或异面．故选D. 2．若∠AOB ＝∠A 1O 1B 1，且OA ∥O 1A 1，OA 与O 1A 1的方向相同，则下列结论中正确的是( )A ．OB ∥O 1B 1且方向相同 B ．OB ∥O 1B 1C ．OB 与O 1B 1不平行D ．OB 与O 1B 1不一定平行解析：选D.两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选D.平面的基本性质及其应用(师生共研)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)直线AC1在平面CC1B1B内；(2)设正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；(3)由点A，O，C可以确定一个平面；(4)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；(5)设直线l是平面ABCD内的直线，直线m是平面DD1C1C内的直线，若l与m相交，则交点一定在直线CD上．【解】(1)错误．若AC1平面CC1B1B，又BC平面CC1B1B，则A∈平面CC1B1B，且B∈平面CC1B1B，所以AB平面CC1B1B，与AB⊆/平面CC1B1B矛盾，故(1)中说法错误．(2)正确．因为O，O1是两平面的两个公共点，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.(3)错误．因为A，O，C三点共线，所以不能确定一个平面．(4)正确．因为A，C1，B1不共线，所以A，C1，B1三点可以确定平面α，又四边形AB1C1D 为平行四边形，AC1，B1D相交于O2点，而O2∈α，B1∈α，所以B1O2α，又D∈B1O2，所以D∈α.(5)正确．若l与m相交，则交点是两平面的公共点，而直线CD为两平面的交线，所以交点一定在直线CD上．(1)三个公理是立体几何的基础．公理1是利用点或直线确定平面的依据；公理2是确定直线在平面内的依据；公理3是确定两个平面有一条交线的依据，同时也是证明多点共线、多线共点的依据．(2)证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，证明点在两个平面的交线上，或者选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在该直线上．1．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么()A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外解析：选A.如图，因为EF平面ABC，而GH平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．2．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()解析：选D.A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．空间两直线位置关系的判定(师生共研)(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线(2)如图中，G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④【解析】 (1)取CD 的中点O ，连接ON ，EO ，因为△ECD 为正三角形，所以EO ⊥CD ，又平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD ∩平面ABCD ＝CD ，所以EO ⊥平面ABCD .设正方形ABCD 的边长为2，则EO ＝3，ON ＝1，所以EN 2＝EO 2＋ON 2＝4，得EN ＝2.过M 作CD 的垂线，垂足为P ，连接BP ，则MP ＝32，CP ＝32，所以BM 2＝MP 2＋BP 2＝(32)2＋(32)2＋22＝7，得BM ＝7，所以BM ≠EN .连接BD ，BE ，因为四边形ABCD 为正方形，所以N 为BD 的中点，即EN ，MB 均在平面BDE 内，所以直线BM ，EN 是相交直线，选B.(2)由题意，可知题图①中，GH ∥MN ，因此直线GH 与MN 共面；题图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；题图③中，连接MG ，则GM ∥HN ，因此直线GH 与MN 共面；题图④中，连接GN ，G ，M ，N 三点共面，但H ∉平面GMN ，所以直线GH 与MN 异面．故选C.【答案】 (1)B (2)C(1)异面直线的判定方法(2)构造法判断空间两直线的位置关系对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断，可避免因考虑不全面而导致错误，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性．1．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交解析：选D.由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．答案：③④异面直线所成的角(典例迁移)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．【解析】如图，将原图补成正方体ABCD -QGHP ，连接AG ，GP ，则GP ∥BD ，所以∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ，所以∠APG ＝π3.【答案】 π3【迁移探究】 (变条件)在本例条件下，若E ，F ，M 分别是AB ，BC ，PQ 的中点，异面直线EM 与AF 所成的角为θ，求cos θ的值．解：设N 为BF 的中点，连接EN ，MN ，则∠MEN 是异面直线EM 与AF 所成的角或其补角．不妨设正方形ABCD 和ADPQ 的边长为4，则EN ＝5，EM ＝26，MN ＝33. 在△MEN 中，由余弦定理得 cos ∠MEN ＝EM 2＋EN 2－MN 22EM ·EN＝24＋5－332×26×5＝－130＝－3030.即cos θ＝3030.用平移法求异面直线所成角的步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． (2)二证：证明作出的角(或其补角)是异面直线所成的角．(3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．1．(2020·太原模拟)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，D 是CC 1的中点，则CA 1与BD 所成角的大小是( )A.π3 B ．5π12C.π2 D ．7π12解析：选C.如图，取A 1C 1的中点E ，连接BE ，DE ，则DE ∥A 1C ，所以∠BDE 或其补角即为CA 1与BD 所成的角，设为θ.由几何体ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱且AB ＝BB 1，可设其棱长为2.在△BDE 中，BD ＝5，BE ＝7，DE ＝2，由余弦定理可得cos θ＝BD 2＋DE 2－BE 22BD ·DE＝0，所以θ＝π2.故选C.2．如图，E ，F 分别是三棱锥P -ABC 的棱AP ，BC 的中点，PC ＝10，AB ＝6，EF ＝7，则异面直线AB 与PC 所成的角为________．解析：取AC 的中点M ，连接EM ，MF .因为E ，F 分别是AP ，BC 的中点，所以MF ∥AB ，MF ＝12AB ＝3，ME ∥PC ，ME ＝12PC ＝5，所以MF 与ME 所成的角即为AB 与PC 所成的角(或其补角)．在三角形MEF 中，cos ∠EMF ＝52＋32－722×5×3＝－1530＝－12，所以∠EMF ＝120°，所以异面直线AB与PC所成的角为60°.答案：60°构造平面研究直线相交问题(一题多解)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解析】法一：设α∩β＝a，若直线l∥a，且l⊆/α，l⊆/β，则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l.又因为l⊥β.所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C 错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误．故选B.法二：借助于长方体模型解决本题：对于A，如图①，α与β可相交；对于B，如图②，不论β在何位置，都有α⊥β；对于C，如图③，l可与β平行或lβ内；对于D，如图④，l⊥β或lβ或l∥β.故选B.【答案】 B(一题多解)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．【解析】法一：如图，在EF上任意取一点M，直线A 1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ(图略)，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．【答案】无数(1)平面几何和立体几何在点、线、面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点、线、面的位置关系在平面和空间中的差异．(2)本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查难度一般都不会太大．(3)注意本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．[基础题组练]1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有()A．4个B．3个C．2个D．1个解析：选A.首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．2．已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：选B.在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．3．如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：选A.连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．所以A，M，O三点共线．4.(2020·广东东莞模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E解析：选C.因为CC 1与B 1E 都在平面CC 1B 1B 内，且CC 1与B 1E 是相交直线，所以选项A 错误．假设AC ⊥平面ABB 1A 1，则AC ⊥AB ，即∠CAB ＝90°，从而可得∠C 1A 1B 1＝90°，这与题设“底面三角形A 1B 1C 1是正三角形”矛盾，故假设错误，即选项B 错误．因为点B 1∉AE ，直线B 1C 1交平面AEB 1于点B 1，所以AE ，B 1C 1为异面直线；由题意可知△ABC 是正三角形，又E 是BC 的中点，所以AE ⊥BC ，结合BC ∥B 1C 1可得AE ⊥B 1C 1，故选项C 正确．因为直线AC 交平面AB 1E 于点A ，又AC ∥A 1C 1，所以直线A 1C 1与平面AB 1E 相交，故选项D 错误．综上，选C.5．在各棱长均相等的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知M 是棱BB 1的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线A 1M 与BN 所成角的正切值为( )A. 3 B ．1 C.63D ．22解析：选C.法一：如图，取AA 1的中点P ，连接PN ，PB ，则由直三棱柱的性质可知A 1M ∥PB ，则∠PBN 为异面直线A 1M 与BN 所成的角(或其补角)．设三棱柱的棱长为2，则PN ＝2，PB ＝5，BN ＝3，所以PN 2＋BN 2＝PB 2，所以∠PNB ＝90°，在Rt △PBN 中，tan ∠PBN ＝PN BN ＝23＝63，故选C.法二：以N 为坐标原点，NB ，NC 所在的直线分别为x 轴，y 轴，过点N 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝2，则N (0，0，0)，A 1(0，－1，2)，B (3，0，0)，M (3，0，1)，所以NB →＝(3，0，0)，A 1M →＝(3，1，－1)，设直线A 1M 与BN 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈NB →，A 1M →〉|＝|NB →·A 1M →||NB →|·|A 1M →|＝33×5＝155，则sin θ＝105，tan θ＝63. 6．如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则下列说法正确的是________．①EF 与GH 平行； ②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．解析：连接EH ，FG (图略)，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 四点共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以EFGH 是梯形，EF 与GH必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．答案：④7．一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF ⊥GC ；②BD 与GC 成异面直线且夹角为60°； ③BD ∥MN ；④BG 与平面ABCD 所成的角为45°. 其中正确的是________(填序号)．解析：将平面展开图还原成正方体(如图所示)． 对于①，由图形知AF 与GC 异面垂直，故①正确；对于②，BD 与GC 显然成异面直线．如图，连接EB ，ED ，则BE ∥GC ，所以∠EBD 即为异面直线BD 与GC 所成的角(或其补角)．在等边△BDE 中，∠EBD ＝60°，所以异面直线BD 与GC 所成的角为60°，故②正确；对于③，BD与MN为异面垂直，故③错误；对于④，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故④错误．综上可得①②正确．答案：①②8．(2020·河南安阳调研四)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E∈平面AA1B1B，点F是线段AA1的中点，若D1E⊥CF，则当△EBC的面积取得最小值时，S△EBCS四边形ABCD＝________．解析：如图所示，连接B1D1，取AB的中点G，连接D1G，B1G.由题意得CF⊥平面B1D1G，所以当点E在直线B1G上时，D1E⊥CF，设BC＝a，则S△EBC＝12EB·BC＝12EB·a，当△EBC的面积取最小值时，线段EB的长度为点B到直线B1G的距离，所以线段EB长度的最小值为a5，所以S△EBCS四边形ABCD＝12×a5×aa2＝510.答案：5109．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明：(1)如图，连接EF，CD1，A1B.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF ∥BA 1.又A 1B ∥D 1C ，所以EF ∥CD 1， 所以E ，C ，D 1，F 四点共面．(2)因为EF ∥CD 1，EF <CD 1， 所以CE 与D 1F 必相交， 设交点为P ，如图所示． 则由P ∈CE ，CE 平面ABCD ，得P ∈平面ABCD . 同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ，所以P ∈直线DA ，所以CE ，D 1F ，DA 三线共点．10.如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P -ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． 解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.[综合题组练]1．(2020·广东深圳二模)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，P 为棱CC 1上的动点，Q 为棱AA 1的中点，设直线m 为平面BDP 与平面B 1D 1P 的交线，则( )A ．m ∥D 1QB ．m ∥平面B 1D 1QC ．m ⊥B 1QD ．m ⊥平面ABB 1A 1解析：选B.因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为棱CC 1上的动点，Q 为棱AA 1的中点， 直线m 为平面BDP 与平面B 1D 1P 的交线，且BD ∥B 1D 1，所以m ∥BD ∥B 1D 1， 因为m ⊆/平面B 1D 1Q ，B 1D 1平面B 1D 1Q ，所以m ∥平面B 1D 1Q .故选B.2．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是DD 1和AB 的中点，平面B 1EF 交棱AD 于点P ，则PE ＝( )A.156 B ．233 C.32D ．136解析：选D.过点C 1作C 1G ∥B 1F ，交直线CD 于点G ，过点E 作HQ ∥C 1G ，交CD 延长线，C 1D 1于点H ，Q ，连接B 1Q ，HF 交AD 于点P ，HQ ∥B 1F ，所以Q ，H ，F ，B 1四点共面，易求得HD ＝D 1Q ＝14，由△PDH ∽△P AF 可得AP PD ＝AF HD ＝2，则PD ＝13，在Rt △PED 中，PE ＝19＋14＝136，故选D. 3.如图，在直二面角A -BD -C 中，△ABD ，△CBD 均是以BD 为斜边的等腰直角三角形，取AD 的中点E ，将△ABE 沿BE 翻折到△A 1BE ，在△ABE 的翻折过程中，下列不可能成立的是( )A ．BC 与平面A 1BE 内某直线平行B ．CD ∥平面A 1BEC ．BC 与平面A 1BE 内某直线垂直D ．BC ⊥A 1B解析：选D.连接CE ，当平面A 1BE 与平面BCE 重合时，BC 平面A 1BE ，所以平面A 1BE 内必存在与BC 平行和垂直的直线，故A ，C 可能成立；在平面BCD 内过B 作CD 的平行线BF ，使得BF ＝CD ， 连接EF ，则当平面A 1BE 与平面BEF 重合时，BF平面A 1BE ，故平面A 1BE 内存在与BF 平行的直线，即平面A 1BE 内存在与CD 平行的直线， 所以CD ∥平面A 1BE ，故B 可能成立．若BC ⊥A 1B ，又A 1B ⊥A 1E ，则A 1B 为直线A 1E 和BC 的公垂线，所以A 1B ＜CE ， 设A 1B ＝1，则经计算可得CE ＝32， 与A 1B ＜CE 矛盾，故D 不可能成立．故选D.4．如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动，点N 在正方体的底面ABCD 内运动，则MN 的中点P 的轨迹的面积是________．解析：连接DN ，则△MDN 为直角三角形，在Rt △MDN 中，MN ＝2，P 为MN 的中点，连接DP ，则DP ＝1，所以点P 在以D 为球心，半径R ＝1的球面上，又因为点P 只能落在正方体上或其内部，所以点P 的轨迹的面积等于该球面面积的18，故所求面积S ＝18×4πR 2＝π2. 答案：π25.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，A 1在底面ABC 内的射影O 为底面三角形ABC 的中心，如图所示．(1)连接BC 1，求异面直线AA 1与BC 1所成角的大小； (2)连接A 1C ，A 1B ，求三棱锥C 1BCA 1的体积． 解：(1)因为AA 1∥CC 1，所以异面直线AA 1与BC 1所成的角为∠BC 1C 或其补角． 连接AO ，并延长与BC 交于点D ，则D 是BC 边上的中点． 因为点O 是正三角形ABC 的中心， 且A 1O ⊥平面ABC ， 所以BC ⊥AD ，BC ⊥A 1O ， 因为AD ∩A 1O ＝O ， 所以BC ⊥平面ADA 1.所以BC ⊥AA 1，又因为AA 1∥CC 1， 所以CC 1⊥BC ，BC ＝CC 1＝B 1C 1＝BB 1＝2， 即四边形BCC 1B 1为正方形，所以异面直线AA 1与BC 1所成角的大小为π4.(2)因为三棱柱的所有棱长都为2， 所以可求得AD ＝3，AO ＝23AD ＝233，A 1O ＝AA 21－AO 2＝263.所以V ABC -A 1B 1C 1＝S △ABC ·A 1O ＝22，V A 1BCC 1B 1＝V ABC A 1B 1C 1－V A 1ABC ＝423， 所以V C 1BCA 1＝V A 1BCC 1＝12V A 1BCC 1B 1＝223. 6.(2020·衡阳模拟)如图，四棱锥M -ABCD 中，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，AB ＝2DC ，△MCD 与△MAD 都是等边三角形，且点M 在底而ABCD 上的射影为O .(1)证明：O 为AC 的中点；(2)求异面直线MD 与BC 所成角的大小．解：(1)证明：连接AC ，取AC 的中点N ，连接MN ，DN ，因为△MCD 与△MAD 都是等边三角形，且公共边为MD ，所以MC ＝MA ＝MD ＝DA ＝DC ，又因为N 是AC 的中点，所以MN ⊥AC ，在Rt △ADC 中，DN ＝NC ＝12AC ， 所以△MND ≌△MNC ，得MN ⊥DN .又因为DN ∩AC ＝N ，所以MN ⊥平面ABCD ，故点M 在底面上的射影为N ， 又已知点M 在底面ABCD 上的射影为O ，所以N 与O 重合，即O 为AC 的中点．(2)设MC ＝MA ＝MD ＝DA ＝DC ＝a ，AB ＝2DC ＝2a ，因为∠CDA ＝∠DAB ＝90°，所以AC ＝BC ＝2a ，则AC 2＋BC 2＝AB 2，即∠ACB ＝90°. 又因为DA ＝DC ，O 是AC 的中点，所以∠DOC ＝∠ACB ＝90°，所以DO∥BC，故异面直线MD与BC所成角为∠MDO.在Rt△MDO中，DO＝MO＝22a，所以∠MDO＝45°，即异面直线MD与BC所成角为45°.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时分层训练(四十一) 空间图形的基本关系与公理A组基础达标一、选择题1．下列命题中，真命题的个数为( )①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.A．1 B．2C．3 D．4B[根据公理2可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据公理3可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.]2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD 不相交，则甲是乙成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．]3．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )【导学号：79140226】A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交D[由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．] 4．(2018·兰州实战模拟)已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝3，AD＝1，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )A．64B．63C．26D．36A [连接AC ，AB 1(图略)，由长方体性质可知AB 1∥DC 1，所以∠AB 1C 就是异面直线B 1C 和C 1D 所成的角．由题知AC ＝1＋(3)2＝2，AB 1＝(3)2＋(3)2＝6，CB 1＝1＋(3)2＝2，所以由余弦定理得cos∠AB 1C ＝AB 21＋CB 21－AC 22AB 1·CB 1＝64，故选A.]5．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B ．22C.33D ．13A [设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1.∵平面α∥平面CB 1D 1，∴m 1∥m . 又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥m 1，∴B 1D 1∥m . ∵平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1， 且平面CB 1D 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1， 同理可证CD 1∥n .因此直线m ，n 所成的角与直线B 1D 1，CD 1所成的角相等，即∠CD 1B 1为m ，n 所成的角． 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，△CB 1D 1是正三角形， 故直线B 1D 1与CD 1所成角为60°，其正弦值为32.] 二、填空题6．(2018·湖北调考)已知正六棱锥S ABCDEF 的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为________．π4[设正六边形ABCDEF 的中心为O ，连接SO ，CO ，BO ，则由正六边形的性质知OC ∥DE ，SO ⊥平面ABCDEF ，所以∠SCO 为异面直线SC 与DE 所成角．又易知△BOC 为等边三角形，所以SO ＝BC ＝CO ＝1，所以∠SCO ＝π4.]7．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．1或4 [如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面．]8．(2017·郑州模拟)在图727中，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).【导学号：79140227】(1) (2) (3) (4)图727(2)(4) [图(1)中，直线GH ∥MN ；图(2)中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图(3)中，连接MG (图略)，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图(4)中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，因此GH 与MN 异面，所以在图(2)(4)中，GH 与MN 异面．]三、解答题9.如图728所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．问：图728(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由．[解] (1)AM ，CN 不是异面直线．理由：连接MN ，A 1C 1，AC .因为M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1. 又因为A 1A ═∥C 1C ，所以A 1ACC 1为平行四边形， 所以A 1C 1∥AC ，所以MN ∥AC ， 所以A ，M ，N ，C 在同一平面内， 故AM 和CN 不是异面直线． (2)直线D 1B 和CC 1是异面直线．理由：因为ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，所以B ，C ，C 1，D 1不共面．假设D 1B 与CC 1不是异面直线，则存在平面α，使D 1B 平面α，CC 1平面α， 所以D 1，B ，C ，C 1∈α，这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾，所以假设不成立， 即D 1B 和CC 1是异面直线．]10．如图729所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：图729(1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． [解] (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角)．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.B 组 能力提升11．(2018·陕西质检(一))已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°A [取AC 中点为O ，连接OM ，ON ，则易证OM 綊12BC ，ON 綊12PA ，所以∠ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角．由MN ＝BC ＝4，PA ＝43，得OM ＝12BC ＝2，ON ＝12AP ＝23，则cos∠ONM ＝ON 2＋MN 2－OM 22×ON ×MN ＝32，所以∠ONM ＝30°，即异面直线PA 与MN 所成角的大小是30°，故选A.]12.如图7210，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________.【导学号：79140228】图721036[取DE 的中点H ，连接HF ，GH .由题设，HF ═∥12AD ， 所以∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角)． 在△GHF 中，可求HF ＝2，GF ＝GH ＝6，∴cos∠GFH ＝(2)2＋(6)2－(6)22×2×6＝36.]13．如图7211，在四棱锥O ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．图7211(1)求四棱锥O ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值． [解] (1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4， ∴四棱锥O ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE .又M 为OA 中点，∴ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，∴△DEM 为直角三角形， ∴tan∠EMD ＝DEEM＝23＝63. ∴异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63.。