(完整版)圆锥曲线、数列、三角函数、统计、不等式、命题-高中数学阶段测试(有答案)

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高二数学圆锥曲线综合测试题(选修1-1&2-1)含答案!

高二数学圆锥曲线综合测试题（选修1-1&2-1）（考试时间：120分钟，共150分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为36分，试卷Ⅱ分值为64分。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) A.|a |4 B.|a |2 C ．|a | D ．－a 22．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝ ( )A ．6 B.2 C ．2 D ．不确定3．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.1164．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为 ( ) A ．1 B ．5 C ．4 2 D ．3＋2 2 5．若双曲线x 2a2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为 ( )A.255B.32C.233D ．26．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是 ( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x ＞3) D.x 216－y 29＝1(x ＞4)7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5e5x (e 为双曲线离心率)，则有( )A ．b ＝2aB ．b ＝5aC ．a ＝2bD ．a ＝5b8．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )A.1716B.1516 C ．－1516 D ．－17169．已知点A 、B 是双曲线x 2－y 22＝1上的两点，O 为坐标原点，且满足OA ·OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于 ( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．2 210．(2009·全国卷Ⅱ)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．611．(2009·四川高考)已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则1PF ·2PF ＝ ( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．412．(2009·天津高考)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF ＝ ( )A.45B.23C.47D.12第Ⅰ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 14．(2009·福建高考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.15．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．16．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF ＝FB ，BA ·BC ＝48，则抛物线的方程为______________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．18．(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B 点，求线段AB的中点M的轨迹方程．19．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线L ：y ＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .20．[理](本小题满分12分)给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，记O 为坐标原点．(1)求OA ·OB 的值； (2)设AF ＝λFB ，当△OAB 的面积S ∈[2， 5 ]时，求λ的取值范围．20．[文](本小题满分12分)已知圆(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的离心率为22，若圆与椭圆相交于A 、B ，且线段AB 是圆的直径，求椭圆的方程．21．(本小题满分12分)已知A 、B 、D 三点不在一条直线上，且A (－2,0)，B (2,0)，|AD |＝2，AE ＝12(AB ＋AD )． (1)求E 点的轨迹方程；(2)过A 作直线交以A 、B 为焦点的椭圆于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆的方程．22．[理](本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB |＝8，动点P 满足AP ＝35PB ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM交曲线C 于另外一点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值．[文](本小题满分14分)设椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．高二数学圆锥曲线章节测试题（选修1-1&2-1）答案与解析：1、解析：由已知焦点到准线的距离为p ＝|a |2.答案：B2、解析：由题知b －a5－4＝1，∴b －a ＝1.∴|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.答案：B3、解析：依题意得e ＝2，抛物线方程为y 2＝12p x ，故18p ＝2，得p ＝116.答案：D4、解析：由(x －2)2＋(y －1)2＝13，得圆心(2,1)， ∵直线平分圆的周长，即直线过圆心． ∴a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2ab ≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即a ＝2－1，b ＝2－2时取等号，∴1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 答案：D5、解析：由a 2＋1＝4，∴a ＝3， ∴e ＝23＝233.答案：C6、解析：如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x＞3)．答案：C7、解析：由已知b a ＝55e ，∴b a ＝55×ca ，∴c ＝5b ，又a 2＋b 2＝c 2， ∴a 2＋b 2＝5b 2，∴a ＝2b . 答案：C8、解析：准线方程为y ＝116，由定义知116－y M ＝1⇒y M ＝－1516.答案：C9、解析：本题是关于圆锥曲线中的点到线的距离问题，由OA ·OB ＝0⇒OA ⊥OB ，由于双曲线为中心对称图形，为此可考查特殊情况，令点A 为直线y ＝x 与双曲线在第一象限的交点，因此点B 为直线y ＝－x 与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线AB 与x 轴垂直，点O 到AB 的距离就为点A 或点B 的横坐标的值，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1y ＝x ⇒x ＝ 2.答案：A10、解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±12x 即x ±2y ＝0，圆心(3,0)到直线的距离d ＝|3|(2)2＋1＝ 3. 答案：A11、解析：由渐近线方程y ＝x 得b ＝2，点P (3，y 0)代入x 22－y 2b 2＝1中得y 0＝±1.不妨设P (3，1)，∵F 1(2,0)，F 2(－2,0)， ∴1PF ·2PF ＝(2－3，－1)·(－2－3，－1) ＝3－4＋1＝0. 答案：C12、解析：如图过A 、B 作准线l ：x =-12的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由于F 到直线AB 的距离为定值．∴S △BCF S △ACF ＝|BC ||CA |. 又∵△B 1BC ∽△A 1AC . ∴|BC ||CA |＝|BB 1||AA 1|，由拋物线定义|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝2|AF |.由|BF |＝|BB 1|＝2知x B ＝32，y B ＝－3，∴AB ：y －0＝33－32(x －3)．把x ＝y 22代入上式，求得y A ＝2，x A ＝2，∴|AF |＝|AA 1|＝52.故S △BCF S △ACF ＝|BF ||AF |＝252＝45. 答案：A 13、解析：(x 0－a )2＋(y 0－b )2可看作点(x 0，y 0)与点(a ，b )的距离．而点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0上，所以(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为点(a ，b )到直线ax ＋by ＝0的距离|a ·a ＋b ·b |a 2＋b 2＝a 2＋b 2. 答案：a 2＋b 2 解析：由焦点弦|AB |＝2p sin 2α得|AB |＝2psin 245°， ∴2p ＝|AB |×12，∴p ＝2.答案：214、解析：所求椭圆的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0),2a ＝|PF 1|＋|PF 2|.欲使2a 最小，只需在直线l 上找一点P ，使|PF 1|＋|PF 2|最小，利用对称性可解．答案：x 25＋y 24＝115、解析：设抛物线的准线与x 轴的交点为D ，依题意，F 为线段AB 的中点，故|AF |＝|AC |＝2|FD |＝2p ， |AB |＝2|AF |＝2|AC |＝4p ， ∴∠ABC ＝30°，|BC |＝23p ，BA ·BC ＝4p ·23p ·cos30°＝48，解得p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x . 答案：y 2＝4x16、解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2.解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0. 17、解：法一：设点M 的坐标为(x ，y )， ∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P (2,4)， ∴P A ⊥PB ，k P A ·k PB ＝－1.而k P A ＝4－02－2x ，k PB ＝4－2y 2－0，(x ≠1)，∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)．整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程 x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二：设M 的坐标为(x ，y)，则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连结PM ， ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |=|AB |.而|PM|22(2)(4)x y -+- |AB 22(2)(2)x y +, ∴2222(2)(4)44x y x y -+-=+化简，得x +2y -5=0即为所求的轨迹方程．法三：设M 的坐标为(x ，y )，由l 1⊥l 2，BO ⊥OA ，知O 、A 、P 、B 四点共圆， ∴|MO |=|MP |，即点M 是线段OP 的垂直平分线上的点． ∵k OP =4020--=2，线段OP 的中点为(1,2)， ∴y -2=-12(x -1)，即x +2y -5=0即为所求．18、解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线．因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直，设AB ：y ＝kx ＋2. A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x . 所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1. 所以AQ ⊥BQ .19、解：(1)根据抛物线的方程可得焦点F (1,0)，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，将其与C 的方程联立，消去x 可得y 2－4my －4＝0.设A ，B 点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(y 1>0>y 2)，则y 1y 2＝－4.因为y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以x 1x 2＝116y 21y 22＝1，故OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3. (2)因为AF ＝λFB ，所以(1－x 1，－y 1)＝λ(x 2－1，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝λx 2－λ， ①－y 1＝λy 2， ②又y 21＝4x 1， ③y 22＝4x 2， ④由②③④消去y 1，y 2后，得到x 1＝λ2x 2，将其代入①，注意到λ>0，解得x 2＝1λ.从而可得y 2＝－2λ，y 1＝2λ，故△OAB 的面积S ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝λ＋1λ，因λ＋1λ≥2恒成立，所以只要解λ＋1λ≤5即可，解之得3－52≤λ≤3＋52. 20、解：∵e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝22，∴a 2＝2b 2. 因此，所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝2b 2，又∵AB 为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB 的中点，设A (2－m,1－n )，B (2＋m,1＋n )，则⎩⎪⎨⎪⎧ (2－m )2＋2(1－n )2＝2b 2，(2＋m )2＋2(1＋n )2＝2b 2，|AB |＝2 203⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋2m 2＋4＋4n 2＝4b 2，8m ＋8n ＝0，2m 2＋n 2＝2 203⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b 2＝6＋m 2＋2n 2，m 2＝n 2＝103，得2b 2＝16. 故所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝16.21、解：(1)设E (x ，y )，由AE ＝12(AB ＋AD )，可知E 为线段BD 的中点，又因为坐标原点O 为线段AB 的中点，所以OE 是△ABD 的中位线，所以|OE |＝12|AD |＝1，所以E 点在以O 为圆心，1为半径的圆上，又因为A ，B ，D 三点不在一条直线上，所以E 点不能在x 轴上，所以E 点的轨迹方程是x 2＋y 2＝1(y ≠0)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，中点为(x 0，y 0)，椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)(当直线斜率不存在时不成立)，由于直线MN 与圆x 2＋y 2＝1(y ≠0)相切，所以|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，所以直线MN 的方程为y ＝±33(x ＋2)，将直线y ＝±33(x ＋2)代入方程x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，整理可得：4(a 2－3)x 2＋4a 2x ＋16a 2－3a 4＝0，所以x 0＝x 1＋x 22＝－a 22(a 2－3). 又线段MN 的中点到y 轴的距离为45，即x 0＝－a 22(a 2－3)＝－45，解得a ＝2 2. 故所求的椭圆方程为x 28＋y 24＝1. 22、解：(1)设A (a,0)，B (0，b )，P (x ，y )，则AP ＝(x －a ，y )，PB ＝(－x ，b －y )，∵AP ＝35PB ，∴⎩⎨⎧ x －a ＝－35x ，y ＝35(b －y ).∴a ＝85x ，b ＝83y . 又|AB |＝a 2＋b 2＝8，∴x 225＋y 29＝1. ∴曲线C 的方程为x 225＋y 29＝1. (2)由(1)可知，M (4,0)为椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点，设直线PM 方程为x ＝my ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 225＋y 29＝1，x ＝my ＋4，消去x 得 (9m 2＋25)y 2＋72my －81＝0，∴|y P －y Q |＝(72m )2＋4×(9m 2＋25)×819m 2＋25。

最新人教版高二第一学期：圆锥曲线测试及答案

第一学期高二年级圆锥曲线测试、选择题(本大题共 10小题，每小题5分，共50 分)2 爲 1 ( a >b>0)离心率为,则双曲线 b 2 1. 椭圆爲 a A.- 4 B . 2. 抛物线顶点在原点，焦点在 A. x 2 8y 2 X~2 a 2 y b 2 1的离心率为3•圆的方程是(x — cos A. 2、" 2 4.若过原点的直线与圆 A. y 25.椭圆x 9. 5 2 y 轴上，其上一点 2 3 P(m , 1)到焦点距离为5，则抛物线方程为 ( 2 x 2 8y C. 1 )2+(y — sin )2= ,当从0变化到2时，动圆所扫过的面积是 B . x 2 16y C. (1 , 2) x 2+ y 2 + 4x +3=0相切，若切点在第三象限,唾x3B . y .. 3x C. y 1的焦点为F i 和F 2,点P 在椭圆上, 如果线段 2 D. x 16yD (1邛2 则该直线的方程是 D 43 D. y T x PF i 中点在y 轴上, 那么|PF i | A. 7倍 B . 5倍 C. 4倍 D. 3倍以原点为圆心，且截直线 3x 4y 15 0所得弦长为 8的圆的方程是 ( A. 2 x 2 2 y 5 B . x 2 y 2 2 25 C. x y 4 D. 2 2x y 16 曲线 x 2cos (为参数)上的点到原点的最大距离为( y sin A. 1 B . 2 C. 2 D. .3( 6. 7.如果实数 (X 、 2 12是|PF 2|的 y 满足等式(x 2)2 A.- 23，贝V —最大值 x 仝 2 D. ..3 过双曲线 2Z=1 2 的右焦点F 作直线交双曲线于A B 两点，若 | AB =4 , 则这样的直线l 有( ) A. 1条 10.如图，过抛物线C. 3条 y 2 C,若 BC 2BF ，且 AF B . 2条 2px (p 0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点 3 ,则此抛物线的方程为D. 4条 A . B ,交其准线于点( )2y2C y2D. 3x 9x、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24 分）11•椭圆的焦点是F i （- 3, 0）F2 （3, 0）, P为椭圆上一点，且|F I F2|是|PF i|与|PF2|的等差中项，则椭圆的方程为____________________________________ .12.若直线mx ny 3 0与圆x2 y2 3没有公共点，则m,n满足的关系式为_____________________ .2 2以（m,n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆J L L 1的公共点有个.7 313.设点P是双曲线x2 1 上一点，焦点F (2, 0),点A (3, 2),使|PA+ 1| PF 有最2小值时，则点P的坐标是 ____________________________________ .214. AB是抛物线y=x的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度的最大值为.________三、解答题（本大题共6小题，共76分）215. P为椭圆251上一点，F1、F2为左右焦点，若F1PF2 60 （1）求厶F1PF2的面积;（2）求P点的坐标.（12分）16.已知抛物线y2 4x ,焦点为F,顶点为O,点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程.（12分）17.已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A（0,.. 2）为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y x对称.（1）求双曲线C的方程；（2）设直线y mx 1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线I经过M（—2, 0）及AB的中点，求直线I在y轴上的截距b的取值范围.（12分）18.如图，过抛物线y2 2px（p 0）上一定点P（X o，y。

(完整word)圆锥曲线基础测试题(适合农村普通高中)

（北师大版）高二数学《圆锥曲线》基础测试试题适合农村普通高中姓名班级一、选择题1.已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（）A ．2B ．3C ．5D ．72. 椭圆32x 2+16y 2=1的焦距等于（）。

A ．4 B 。

8 C 。

16 D 。

1233．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（）A ．116922=+y xB ．1162522=+y xC ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对 4．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（）A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线5．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（）A ．2B ．3C ．2D ．36．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（）A ．25B ．5C ．215 D ．10 7. 抛物线y 2=8x 的准线方程是（）。

（A ）x =－2 （B ）x =2 （C ）x =－4 （D ）y =－28．已知抛物线的焦点是F (0，4)，则此抛物线的标准方程是( )（A ）x 2＝16y （B ）x 2＝8y （C ）y 2＝16x （D ）y 2＝8x9.经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（）（A ）y 2＝4x （B ）x 2＝21y (C ) y 2＝4x 或x 2＝21y (D ) y 2＝4x 或x 2＝4y 10．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（）A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7,-±11．椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是23，则它的长半轴的长是（）（A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）21或1 13. 抛物线y =－8x 2的准线方程是（）。

高二数学圆锥曲线测试题(含答案)

高二数学圆锥曲线检测题(文科) 2015.1一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．椭圆22146x y +=的长轴长为（）A ．2 Ｂ．３Ｃ．3 Ｄ．622．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆交于点P ， ||2PF = （） A ．23 B ．3 C ．27D ．4 3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件621≥+PF PF ，则点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段5．设椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则m 的值是（） A ．３Ｂ．316或３Ｃ．316 Ｄ．316或２ 6．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （）A. 1或5B. 1或9C. 1D. 97．在同一坐标系中，方程12222=+by a x 与)0(02>>=+b a bx ay 的曲线大致是 ( )8、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）. C. 21-9．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（） A ．1053B ．11C ．22D ．1010．设椭圆)0(12222＞＞b a b y a x =+的离心率为e ＝21，右焦点为F(c ，0)，方程ax 2＋bx－c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P(x 1，x 2) ( ) A ．必在圆x 2＋y 2＝2上 B ．必在圆x 2＋y 2＝2外C ．必在圆x 2＋y 2＝2内 D ．以上三种情形都有可能6．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（）A．(7, B．(14, C．(7,± D．(7,-± 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（）A ．116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11．双曲线221412y x -=的焦点坐标为________________． 12．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题： ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .13．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为。

(完整)圆锥曲线、数列、三角函数、不等式-高中数学阶段测试2(有答案)

,12D. 0,12高中数学阶段测试测试范围：圆锥曲线、数列、三角函数、不等式考试时间：120分钟本套试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，满分150分.第I 卷（选择题，共60分）、选择题：（本题共12小题，每小题 5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）n16.若S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，且S n，则（）n 1 a 5D . 30A . 45 °B . 135 °C . 45。

或 135 °D .以上答案都不对4.抛物线 y4x 2 的准线方程是（)A. y 1B. y 1C.y 丄161 D. y165.若椭圆 2x a2yb 21 a b 0 的离心率为——，2 则a ()bA . 3B .2C. ■. 3 D . 23.在△ ABC 中，A=60 °，a )1 12 .A . Ina InbB.— —C . a abab2 2D . a b 2abp 是真命题D . q 是真命题4. 3，b 4 2，则 B=(1.已知a b ，则下列不等式中恒成立的是（2 .若p 是真命题，q 是假命题，则（）A . p q 是真命题B . p q 是假命题C .301(m R)2y_ x21有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )A.y3xB.y xC. y3x y 1 0&实数x, y满足x2y3 0，若4x2x y 6 0A.,0B.,4C.1 x3D. y3xy m恒成立, 则实数m的取值范围是（)7.已知双曲线my2 x2与椭圆29. 已知等差数列a n满足2a3 a8 2如0，且数列b n是等比数列，若b s ，则b qg（）A.32B.16C.8D.410. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（钱”是古代的一种重量单位） .这个问题中，甲所得为（)5 “ 4 “ 3 “5“A. -钱B. 钱C. -钱 D .一钱43232 211 . 直线y 、、3x与椭圆2 1（a b0）交于A B两点，以线段AB为直径的圆恰好a b经过椭圆的右焦点, 则椭圆C的离心率为（)A. 乜B. 3 1C. .3 1D. 4 2.32212 .2抛物线y2px（p 0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足AFB —，设线段AB的中点M在I上的投影为N，则|MN-1的最大值是（）3 |AB |A. 3 B .乜C.乜 D .乜2 3 4第U卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13•用含有逻辑联结词的命题表示命题’Xy 0的否定是 ___________________________ .2 215.椭圆mx ny 1与直线x y 1 0相交于A,B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为二，则m的值为_____________________ .2 n216•设命题甲：关于x的不等式x 2ax 4 0有解，命题乙：设函数f（x） log a（x a 2）在区间（1,）上恒为正值，那么甲是乙的 _______________________ 条件.三、解答题：（本大题共6小题，共70分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 .设S n是等差数列a n的前n项和，已知S3 6，a4 4 .14•在ABC 中，若a2 b2 c2.3ab，则C =(1)求a, b ； ( 2 )解不等式 x c ax b19.ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 2cosC(acosB+b cosA) G(I )求C ; (II )若c -J 7, ABC 的面积为 ------------,求VABC 的周长.220.某外商到一开放区投资 72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费 12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入 50万美元.(1) 若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？ (2) 若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以 48万美元出售该厂; ②纯利润总和最大时，以 16万元出售该厂，问哪种方案最合算？x 2 y 21 一21. 已知椭圆 2- 一2 1(a b 0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2a b2'(1) 试求椭圆M 的方程；(2) 若斜率为1的直线I 与椭圆M 交于C 、D 两点，点”1, 3)为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜2 2 率为k 1，直线PD 的斜率为k 2，试问：k 1 k 2是否为定值？请证明你的结论.(1)求数列a n 的通项公式; (2)若 b n3an1 3an ，求b n的前 n 项和218.已知不等式ax 3x 64的解集为 xx 1或x b322 .已知数列a n的前n项和为S n, a1,2S n n 1 a n 1 n 2 .2(1)求a2, a3, a n的通项公式；1 * 7(2)设b 2 n N ，数列b n的前n 项和为T n，证明：T n nNa n 1 10桂林中学2016—2017学年上学期期考模拟考高二年级数学科文科答案、选择（本大题共12小题，每题5分，满分60分）17. （本题满分10分）18. （本题满分12分）所以a,b的值分别是1,2……6分(2) 把a1,b 2代入(x c)(ax b) 0,得(x c)(x2) 0.当c2时, 不等式的解集为xx c或x 2 ;当c2时, 不等式的解集为xx 2 或x c ；当c2时，不等式的解集为{ xx2……12分13. x 0且y 0 14. 30 °16.必要不充分解：（1 ）设公差为d，则S3 3a1 a4 a13d3d 6,解得4,a1d1,••• an n . ........ 4 分1.(2)v b n 3n 13n3n b n 1b n 1 3 1b n是等比数列.b11b21b n1(11(1 10分（1）因为不等式ax23x 6 4的解集为XX 1 或x所以b是方程ax2 3x 0的两根，由根与系数关系得解得219. (本题满分12分)试题分析:⑴先利用正弦定理曲亍边角代换化简得得cosC = l 故Q 諾；(ID 根磅胡血C =C = j 得血=4再利用余弦走理得("+巧'=25・再根据心=丿7可得AABC 的周长为5 + J7.试题解析：⑴ 由已乡吸正弦®里得=2ssC ：(siii A.8&B + siiiBcoEA.} = TnC ：即 2cosCsin(A+B) = smC. 故2 sinCcosC = sinC *1 疽可得cosC = A 所決C =X J2 2 2 2b 2abcosC 7 .故 a b 13,从而 a b 25.所以 C 的周长为5 、、7 .……12分20. (本题满分12分)由题意知，每年的经费是以 12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为 f(n),则f(n)=50n - : 12n+_1)X 4] -2=-n 2+4On -2……3 分2(1)获纯利润就是要求f(n)>0,「. En 2+40n -2>0,解得2<n<18.由n € N 知从第三年开始获利.……6 分 (2)①年平均利润=02=40 £(n+竺)< 1当且仅当n=6时取等号.故此方案先获利 6X16+48=144 n n (万美元)，此时 n=6,②f(n)= -2(n -10)2+128.……8 分当n=10时，f(n)|max =128.故第②种方案共获利 128+16=144 (万美元).……10分故比较两种方案，获利都是144万美兀，但第①种方案只需6年，而第②种方案需 10年，故选择第①种方案.……12分21.(本题满分12分)22【答案】(1) a 2,c1b3 ，椭圆M 的方程为 X1.... 4分43(2)设直线l 的方程为：1 y x 2b , C(x 1, yJ,D(X 2,y 2)联立直线|的方程与椭圆方程得:1 , (1)y —x b222X J 1 (2)4 3(1) 代入(2) 得：3x 24(1 x b)212(Il )由已知，-absinC23,所以ab由已知及余弦定理得,a 2化简得：x2 bx b2 3 0 (3)0 时，即，b24(b23) 0 即b| 2时，直线I与椭圆有两交点,X i X2 b由韦达定理得：2x1x2b 3所以,313y i—-x i b—222X i1x11k i k2313y2—一X2 b—222X21x218分10分则k1k21 . 3—Xi b —2 2x111 . 3 —X2 b —2 2X2 1x1 x2 (b 2)(论x2) 3 2b(x i 1)(X2 1)b23 (b 2)( b) 3 2b(X i 1)(X2 1)所以k i k?为定值。

高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案

圆锥曲线测试题及详细答案一、选择题：1、双曲线221102x y -=的焦距为（）2.椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （）A ．23 B ．3 C ．27D ．4 3．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（） A. 抛物线B.双曲线C. 椭圆D.以上都不对4．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （）A. 1或5B. 1或9C. 1D. 95、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）.A.2 B. 12C. 2D. 16．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（）A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 7. 若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( )(A)2 (B)3(C)48．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（） 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x9、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（）A. 双曲线B.抛物线C. 椭圆D.以上都不对10．方程02=+ny mx 与)02>+n mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）B 11.以双曲线169的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( ) A . B.C .D.12．已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线 x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（）A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x二、填空题：13．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题： ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .14．若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 15、椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的16．若曲线15422=++-a y a x 的焦点为定点，则焦点坐标是 .; 三、解答题：17．已知双曲线与椭圆125922=+y x 共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程.（12分） 18．P 为椭圆192522=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F（1）求△21PF F 的面积；（2）求P 点的坐标．（14分） 19、求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为338的双曲线方程.（14分） 20 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(03)-，，(03)，的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？21.A 、B 是双曲线x 2－y22＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB 的中点(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？22、点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。

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(2)将k＝1代入方程①得x2－2x－3＝0，解出 x1＝－1,x2＝3，由y＝x＋1得y1＝0,y2＝4
即A、B的坐标分别为(－1,0)和(3，4)
由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y＝－(x－1)＋2，即 y＝3－x ，代入双曲线方程，整理，
得 x2＋6x－11＝0②
记C(x3,y3),D(x4,y4)，以及CD中点为M(x0,y0)，则x3、x4是方程②的两个的实数根，所以
A. B. C. D.
6．双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为（）
A． B． C． D．
7.若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为 ()
(A)2(B)3(C)4(D)4
8．如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（）
A B C D
9、无论为何值，方程所表示的曲线必不是（）
20在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为．（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？
21.A、B是双曲线x2－＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
（Ⅱ）设，其坐标满足
消去y并整理得，故．
，即．而，
于是．
所以时，，故．
当时，，．
，
而，
所以．
21A、B是双曲线x2－＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

圆锥曲线大题综合测试(含详细答案)

圆锥曲线1．设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF F A =（其中O 为坐标原点）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求⋅的最大值．2 ．已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1F ,而且过点12H ⎫⎪⎭.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设椭圆E 的上下顶点分别为12,A A ,P 是椭圆上异于12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.3、已知圆O:222=+y x 交x 轴于A,B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为22的椭圆,其左焦点为F,若P 是圆O 上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交直线x=-2于点Q. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切； (Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由. 4设)0(1),(),,(22222211>>=+b a bx x y y x B y x A 是椭圆上的两点，满足0),(),(2211=⋅ay b x a y b x ，椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，0为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.5 、直线l ：y = mx + 1，双曲线C ：3x 2 - y 2 = 1，问是否存在m 的值，使l 与C 相交于A , B 两点，且以AB 为直径的圆过原点6 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为F 1（-2，0），F 2（2，0），点P 在曲线C 上。

圆锥曲线、数列、三角函数、统计、不等式、命题-高中数学阶段测试(有答案)

高中数学阶段测试测试范围：圆锥曲线、数列、三角函数、统计、不等式、命题一、选择题（共12题，每题5分）1．“2>x ”是“0822>-+x x ”成立的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．命题“,sin 1x R x ∃∈>”的否定是（）A ．,sin 1x R x ∃∈≤B ．,sin 1x R x ∀∈>C ．,sin 1x R x ∃∈=D ．,sin 1x R x ∀∈≤3. 等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a =（）A.15B.30C.31D.644. 在平面直角坐标系xOy 中，若,x y 满足约束条件240100x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为（）A ．73B ．1C ．2D ．4 5. 如果方程22x y 14m m 3+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．3＜m ＜4 B ．7m 2> C ．73m 2<< D ．7m 42<< 6. 已知}{n a 是公比为2的等比数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，若7612a S =+）（，则=3a （）A ．1B ．2C ．3D ．47.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =±，且其右焦点为（5,0），则双曲线C 的方程为（）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 8. 已知椭圆221123x y C +=：，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（）A ．13 B ．32 C ．12D ．1 9. 若0ab >且直线20ax by +-=过点(1,2)P ，则12a b+的最小值为 A 、92 B 、9 C 、5 D 、4 10. 已知(1,1)A --，过抛物线2:4C y x =上任意一点M 作MN 垂直于准线于N 点，则||||MN MA +的最小值为（）A ．5BCD 11. 已知F 是抛物线24x y =的焦点，直线1y kx =+与该抛物线相交于,A B 两点，且在第一象限的交点为点A ，若3AF FB =，则k 的值是（）A B ．3 C ．13 D ．1212.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222AF F C =，则椭圆的离心率为（）A ．5B ．3 C. D 二、填空题（共4题，每题5分）13．双曲线22194y x -=的渐近线方程为． 14．抛物线24y x =上一点M 到焦点的距离为5，则点M 的横坐标为________, 15．已知命题:P 函数l o g (12a y x =-在定义域上单调递增；命题:Q 不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数x 恒成立．若P Q ∨是真命题，则实数a 的取值范围为_____________．16. 抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是三、解答题（总分10+12╳5=70分）17. 在ABC ∆中, 角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且2cos 2a B c b =-.（1）求A 的大小；（2）若2,4a b c =+=,求ABC ∆的面积.18、学校达标运动会后，为了解学生的体质情况，从中抽取了部分学生的成绩，得到一个容量为n 的样本，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出了如图的频率分布直方图，已知[50，60）与[90，100]两组的频数分别为24与6．（1）求n 及频率分布直方图中的x ，y 的值；（2）已知[90，100]组中有2名男生，4名女生，为掌握性别与学生体质的关系，从本组中选2名作进一步调查，求2名学生中至少有1名男生的频率．19. 已知直线:24l y x =-被抛物线C ：22(0)y px p =>截得的弦长AB = (Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)若抛物线C 的焦点为F ，求三角形ABF 的面积.20. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n n n a a S +=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．21、如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=，2AB =，PD =O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（Ⅰ）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若//PD 平面EAC ，求三棱锥P EAD -的体积.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为()1F 、)2F ，椭圆上的点P 满足01290PF F ∠=，且12PF F ∆的面积为12PF F S ∆=（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，过点()1,0Q 的动直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，直线AN 与直线4x =的交点为R ，证明：点R 总在直线BM 上．。

高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案

圆锥曲线测试题及详细答案一、选择题：1、双曲线221102x y -=的焦距为（）2.椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （）A ．23B ．3C ．27D ．43．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（）A. 抛物线B.双曲线C. 椭圆D.以上都不对4．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （）A. 1或5B. 1或9C. 1D. 95、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）.A.B. C. 2 D. 16．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（）A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 7. 若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( )(A)2 (B)3(C)48．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（） 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x9、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（）A. 双曲线B.抛物线C. 椭圆D.以上都不对10．方程02=+ny mx 与)02>+n mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）B 11.以双曲线169的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A . B.C .D.12．已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线 x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（）A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x二、填空题：13．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题： ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .14．若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 15、椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的16．若曲线15422=++-a y a x 的焦点为定点，则焦点坐标是 .; 三、解答题：17．已知双曲线与椭圆125922=+y x 共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程.（12分） 18．P 为椭圆192522=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F（1）求△21PF F 的面积；（2）求P 点的坐标．（14分） 19、求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为338的双曲线方程.（14分）20 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？ 21.A 、B 是双曲线x 2－y22＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB 的中点(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？22、点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。

(完整版)圆锥曲线大题综合测试(含详细答案)

圆锥曲线1．设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF F A =u u u r u u u r（其中O为坐标原点）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求⋅的最大值．2 ．已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1F ,而且过点12H ⎫⎪⎭.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设椭圆E 的上下顶点分别为12,A A ,P 是椭圆上异于12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.3、已知圆O:222=+y x 交x 轴于A,B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为22的椭圆,其左焦点为F,若P 是圆O上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交直线x=-2于点Q.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切； (Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.4设)0(1),(),,(22222211>>=+b a b x x y y x B y x A 是椭圆上的两点，满足0),(),(2211=⋅a y b x a y b x ，椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，0为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.5 、直线l ：y = mx + 1，双曲线C ：3x 2 - y 2 = 1，问是否存在m 的值，使l 与C 相交于A , B 两点，且以AB 为直径的圆过原点6 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为F 1（-2，0），F 2（2，0），点P 在曲线C 上。

高二数学圆锥曲线测试题及参考答案

高二数学圆锥曲线测试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．椭圆22146x y +=的长轴长为（）A ．2BC ．4D ．622. 设椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则m 的值是（） A ．３ B ．316或３ C ．316 D ．316或２ 3．抛物线24y x =的焦点坐标是（） A ．(1,0) B ．(0,1) C ．1(,0)16 D ．1(0,)164．双曲线221916x y -=右支上一点P 到右焦点的距离是4，则点P 到左焦点的距离为（） A.10 B.16 C.9 D.155. 顶点在原点，焦点在对称轴上的抛物线过圆096222=++-+y x y x 的圆心，则其方程为（） A ．23x y =或23x y -= B ．23x y = C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92=6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2 ）A ．2y x =±B ．x y 2±=C ．x y 22±= D ．12y x =± 7.曲线21x xy +=的图像关于（）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．坐标原点对称D ．直线x y =对称8．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（）A ．()0,0B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()2,2 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．9．双曲线22x y k -=的一个焦点为，则k 的值为_________.10．如果方程224kx y +=表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是．11．与椭圆2216x y +=共焦点且过点Q 的双曲线方程是．12．双曲线221169x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过点F 1的弦AB 的长为5，那么△ABF 2的周长是．13．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为________.14.若直线l 与抛物线216y x =交于点A ，B ，且弦AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为__________. 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．15．（本小题满分12分）已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15，求抛物线的方程。

高中数学多选题(不等式、圆锥曲线、立体几何)(题目及答案)

专题1 《不等式》多选题1. 若101a b c >><<，,则( C D )A 、 c c a b <B 、 c c ab ba <C 、 log log b a a c b c <D 、c c b a log log >2、已知则且,2,0,0=+≥≥b a b a （ ACD ）学科网A 、1≤abB 、 21≥ab C 、222≥+b a D 、422≤+b a3、已知：0>>y x ，则下列不等式恒成立的是（ BC ）A 、yx )31()31(> B 、y x 3131log log <C 、)1ln()1ln(22y y x x -+<-+D 、y xy xlg lg >4、如果a >b ，那么下列不等式中成立的是（ AB ）A 、3131b a > B 、a 3 >b 3 C 、3131-->b aD 、3232b a >5、设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中恒成立的是（A B C ）A 、c b c a b a -+-≤-B 、a a aa 1122+≥+C 、a a a a -+<+-+213D 、21≥-+-ba b a 6、当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，记m 的取值范围为集合M ，则M 的子集不可能是（ CD ）A 、)9,13(--B 、)5,9(--C 、)1,5(--D 、)3,1(-【解】 5m -≤7、如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围不可能是（ ABD ）A 、[2,2]-B 、 3,2]C 、(3,2]-D 、[3,2]-【解】由230,a -<或2030a a >⎧⎨-=⎩，或⎪⎩⎪⎨⎧>->≥--=∆,03,0,0)3(4222a a a a 得，(3,2]a ∈-8、下列命题是假命题的是（ ACD ）A 、a b >是22ac bc >的充要条件B 、1a >，1b >是1ab >的充分不必要条件C 、),2(+∞∈∀x ， x 2＞2xD 、0x ∃∈R ，≤xe ln 0 （e 为自然对数的底数）专题2 《圆锥曲线》多选题1.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y =x 2 +1相切，则( BD )A 、a b 5=B 、渐近线与x 轴夹角的正切值为2C 、该双曲线的离心率等于5D 、该双曲线的离心率等于6 【解】设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'0|2x x yx ==.由题意有002y x x =又2001y x =+ 解得: 2201,2,1()5b bx e a a=∴==+=.2、设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程不可能是( A C ).A 、x y 42-=B 、x y 82-=C 、24y x = D 、 28y x =【解】: 抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 坐标为(,0)4a ,则直线l 的方程为2()4a y x =-,它与y 轴的交点为A (0,)2a -,所以△OAF 的面积为1||||4242a a⋅=,解得8a =±.所以抛物线方程为28y x =±3、对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题，其中正确命题有（ AB ） A 、椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; B 、双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; C 、双曲线与椭圆共焦点; D 、椭圆与双曲线有两个顶点相同.4、已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．PQ 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆经过P 、Q 两点，则下列结论正确的是（ A C ）A 、椭圆EB 、椭圆方程为162422=+y x ；C 、椭圆方程为221123x y +=； D 、椭圆长轴长为32【解】（I ）过点(c ,0),(0,b )的直线方程为0bx cy bc，则原点O 到直线的距离bcd a==，由12d c ，得2222a b a c ，解得离心率32c a . (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b . (1)依题意，圆心M(-2,1)是线段PQ 的中点，易知，PQ 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x ，代入(1)得 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b设),(),,(2211y x Q y x P ，则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k由124x x ，得28(21)4,14k k k 解得12k. 从而21282x x b 22)10，解得23b.故椭圆E 的方程为221123x y .5、设O 为坐标原点，点AB若2OB OA =，则直线AB 的方程可以为（ BC ）A 、x y 2-=B 、x y -=C 、x y =D 、x y 2=【解】y x =或y x =-.提示：,A B 两点的坐标分别记为(,),(,)A A B B x y x y ，因为2OB OA =，所以,,O A B 三点共线且点,A B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y kx =，将y kx =代入22(14)4k x +=，所以，将y kx =代入中，得22(4)16k x +=，所以又由2OB OA =，得224B A x x =，即解得1k =±.故直线AB 的方程为y x =或y x =-. 6、已知椭圆2214x y +=，过点(1,0)M -作直线l 交椭圆于,A B 两点，O 是坐标原点．则（ ACD ） A 、AB 中点P 的轨迹方程为2240x x y ++=；B 、OAB ∆面积的最大值为3，C 、OAB ∆面积的最大值为23， D 、 OAB ∆面积的最大值时直线l 的方程为1-=x ．【解】（1）设1122(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则221122221(1)41(2)4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩（1）－（2），得12121212()()()()04x x x x y y y y -++-+=，041x y y x +⋅=+，即2240x x y ++= （2）令:1l x hy =-代入2244x y +=，得22(4)230h y hy +--=，216(3)h ∆=+，1222112244S OM y y h h =⋅⋅-=⋅=++，t =≥22211t S t t t ==++在)+∞上单调递减，t =0h =时，max S =，:1l x =- ． 7、设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且1F 是2QF 的中点．过点2F Q A 、、的圆恰好与直线033=--y x 相切。

2021-2022年高中数学阶段质量检测二圆锥曲线与方程苏教版

2021-2022年高中数学阶段质量检测二圆锥曲线与方程苏教版5．两个焦点为(±2,0)且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2的椭圆的标准方程为_____________________．6．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，AF ＝2，则BF ＝________.7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．8．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是________．9．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝2a 2的一个交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且PF 1＝3PF 2，则双曲线的离心率为________．10．已知双曲C 1＝x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐进线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________________________．11．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为_____________________．12．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则PF 1·PF 2的值是________．13．若椭圆mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 的中点的连线斜率为22，则nm的值为________． 14．(四川高考改编)从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知双曲线与椭圆x 236＋y 249＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为37，求双曲线的方程．16．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为32，且与直线x ＋y －1＝0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆的方程．17.(本小题满分14分)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．18．(本小题满分16分)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，求直线l 的方程．19．(本小题满分16分)(陕西高考)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．20．(本小题满分16分)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．答案阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程1．解析：令x 216－y 29＝0，解得y ＝±34x .答案：y ＝±34x2．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为|±3×1－0|1＋3＝32.答案：323．解析：由题意因为PQ 过双曲线的右焦点(5,0)，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，则有FP －PA ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.答案：444．解析：设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧，其半径等于1－x ，则PC ＝1－x ＋1，即x ＋22＋y 2＝2－x .∴y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x5．解析：∵两个焦点为(±2,0)， ∴椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫522a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322b 2＝1a 2－b 2＝4，，解得a 2＝10，b 2＝6.∴椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.答案：x 210＋y 26＝16．解析：设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有，焦点F (1,0)，AF ＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故BF ＝AF ＝2.答案：27．解析：在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则AF ＝6.由AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝AB2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝c a ＝57.答案：578．解析：设P (x ，y )为抛物线上任意一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|2x －x 2－4|5＝|x －12＋3|5，∴当x ＝1时，d 取最小值35，此时P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1) 9．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2a ，PF 1＝3PF 2得PF 1＝3a ，PF 2＝a ，设∠F 1OP ＝α，则∠POF 2＝180°－α，在△PF 1O 中，PF 21＝OF 21＋OP 2－2OF 1·OP ·cos α ①，在△OPF 2中，PF 22＝OF 22＋OP 2－2OF 2·OP ·cos(180°－α) ②，由cos(180°－α)＝－cos α与OP ＝2a ， ①＋②得c 2＝3a 2，∴e ＝ca＝3aa＝ 3.答案： 310．解析：∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的率心率为2.∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a .∴双曲线的渐近线方程为 3 x ±y ＝0.∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2.∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 答案：x 2＝16y11．解析：因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3. 所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案：x 218＋y 29＝112．解析：取P 在双曲线的右支上，则⎩⎨⎧PF 1＋PF 2＝2 m ，PF 1－PF 2＝2 a ，∴⎩⎨⎧PF 1＝m ＋a ，PF 2＝m －a .∴PF 1·PF 2＝(m ＋a )(m －a )＝m －a . 答案：m －a13．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点(x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x ，得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0∴x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n .∴y 0＝mm ＋n. 又y 0x 0＝22，∴m n ＝22，∴nm＝ 2. 答案： 214．解析：由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.答案：2215．解：在椭圆x 236＋y 249＝1中，焦点坐标为(0，±13)，离心率e ′＝137，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝13，137∶a 2＋b 2a ＝37，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝4.∴双曲线的方程为y 29－x 24＝1.16．解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵e ＝32，∴a 2＝4b 2，即a ＝2b . ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.把直线方程代入并化简，得5x 2－8x ＋4－4b 2＝0. 设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝85，x 1x 2＝15(4－4b 2)．∴y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝15(1－4b 2)．由于OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 解得b 2＝58，a 2＝52.∴椭圆方程为25x 2＋85y 2＝1.17．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c .所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设AB ＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义BF 1＋BF 2＝2a 可知，BF 1＝3a －t . 由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.18．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，当直线l 斜率不存在时，|AB |＝4，不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知k ≠0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由抛物线定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2， ∴x 1＋x 2＋2＝8，即2k 2＋4k2＋2＝8.解得k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)，即x －y －1＝0，x ＋y －1＝0.19．解：(1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意d ＝2|MN |. 由此得|4－x |＝2x －12＋y 2，化简得x 24＋y 23＝1，所以，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0，故k 2>32.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－24k3＋4k2，①x 1x 2＝243＋4k2.② 又因为A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③ 将③代入①，②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k2，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2＞32，解得k ＝－32或k ＝32，所以直线m 的斜率为－32或32.法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.② 又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 联立①，②，③，④解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)，所以直线m 的斜率为－32或32.20．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为x ＝my －2，代入椭圆方程得 (m 2＋5)y 2－4my －16＝0.(*)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程(*)的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5. 又＝(x 1－2，y 1)，＝(x 2－2，y 2)，所以 ·＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16m 2＋1m 2＋5－16m2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知·＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为9y 2－8y －16＝0. 故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8109，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16109.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16109.综上所述，△PB 2Q 的面积为16109.z g26866 68F2 棲 ;38029 948D 钍25080 61F8 懸,m[ 22124 566C 噬321231 52EF 勯。

高考复习数学阶段性测试题七(圆锥曲线)含答案

阶段性测试题七(圆锥曲线)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．(文)圆锥曲线y 29＋x 2a ＋8＝1的离心率e ＝12，则a 的值为 ( )A ．4B ．－54C ．4或－54D ．以上均不正确[答案] C[解析] ∵e ＝12，∴曲线为椭圆．(1)焦点在y 轴上时，9>a ＋8>0，∴－8<a <1，此时1－a 3＝12，∴a ＝－54；(2)焦点在x 轴上时，a ＋8>9，∴a >1.此时a －1a ＋8＝12，∴a ＝4，故选C.(理)(·广东佛山)如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不正确的是 ( )A ．a 1＋c 1>a 2＋c 2B ．a 1－c 1＝a 2－c 2C ．a 1c 2<a 2c 1D ．a 1c 2>a 2c 1 [答案] D[解析] 由题意知a 1＝2a 2，c 1>2c 2， ∴a 1c 2<a 2c 1，故D 错．2．(文)曲线x 210－m ＋y 26－m ＝1 (m <6)与曲线x 25－n ＋y 29－n＝1 (5<n <9)的 ( )A ．焦距相等B ．离心率相等C ．焦点相同D ．准线相同 [答案] A[解析] ∵m <6，∴10－m >6－m >0，∴曲线x 210－m ＋y 26－m＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，其焦距为2(10－m )－(6－m )＝4.∵5<n <9，∴5－n <0,9－n >0.∴曲线x 25－n ＋y 29－n ＝1，即y 29－n －x 2n －5＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线，其焦距为2(9－n )＋(n －5)＝4.故选A.(理)(·山东日照)已知抛物线y 2＝4x的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)交于A 、B 两点，点F为抛物线的焦点，若△F AB 为直角三角形，则双曲线的离心率是 ( )A. 3B. 6 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 由题意易知，抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点为F (1,0)，直线x ＝－1与双曲线的交点坐标为(－1，±1－a 2a )，若△F AB 为直角三角形，则只能是∠AFB 为直角，△F AB为等腰直角三角形，所以1－a 2a ＝2⇒a ＝55，从而可得c ＝305，所以双曲线的离心率e ＝ca＝6，选B.3．(文)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为 ( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4 [答案] D[解析] ∵椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，∴p2＝2.∴p ＝4. (理)(08·天津)设椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 ( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝1 [答案] B[解析] 依题意得抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是(2,0)，椭圆的右焦点坐标是(2,0)，由题意得m 2－n 2＝22且e ＝2m ＝12，m ＝4，n 2＝12，则椭圆的方程是x 216＋y 212＝1，选B.4．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，与直线y ＝b 相切的⊙F 2交椭圆于点E ，且E 是直线EF 1与⊙F 2的切点，则椭圆的离心率为 ( )A.53B.63C.32D.3－1 [答案] A[解析] 由条件知EF 2＋EF 1＝2a ，EF 2＝b ， ∴EF 1＝2a －b .又EF 2⊥EF 1，∴4c 2＝(2a －b )2＋b 2.将c 2＝a 2－b 2代入得b ＝23a .e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝59. ∴e ＝53.5．设θ是三角形的一个内角，且sin θ＋cos θ＝15，则方程x 2sin θ＋y 2cos θ＝1所表示的曲线为( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线 [答案] C[解析] 由条件知sin θ·cos θ＝－1225，且θ∈(0，π)，从而sin θ>0，cos θ<0，故选C.6．(文)一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一点，点A 在圆周上．把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD 与OA 交于P 点，当A 点运动时，点P 的轨迹是 ( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 [答案] A[解析] 由条件知折痕CD 垂直平分AQ ，故|PQ |＋|PO |＝|P A |＋|PO |＝|OA |>|OQ |， ∴点P 的轨迹是以O ，Q 为焦点的椭圆．(理)在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 的侧面BC 1内有一点P 到直线BC 的距离是到直线C 1D 1距离的2倍，则P 点的轨迹是 ( )A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 [答案] B[解析] ∵直线C 1D 1⊥平面BC 1，∴无论点P 在侧面BC 1内的位置如何，点P 到直线C 1D 1的距离都是PC 1，则问题可等价转化为在平面BC 1内动点P 到定点C 1距离与到直线BC 的距离之比为12，故P 点的轨迹为椭圆的一部分．7．(文)抛物线y 2＝4x 经过点P (3，m )，则点P 到抛物线焦点的距离等于 ( ) A.94 B ．4 C.134D ．3 [答案] B[解析] y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，则点P 到它的距离为3＋1＝4，故选B. [点评] 利用抛物线定义，将点P 到焦点距离转化为到准线距离简便易求．(理)设P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左支上的一点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，则以|PF 2|为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是 ( )A ．内切B ．外切C ．内切或外切D ．不相切 [答案] A[解析] 取PF 2的中点M ，则2|OM |＝|F 1P |，且O 、M 为两圆圆心，OM 为圆心距．由双曲线定义可知|PF 2|－|PF 1|＝2a ，即2|MF 2|－2|OM |＝2a ，∴|OM |＝|MF 2|－a ，即圆心距等于两圆半径之差，则两圆内切．8．(文)从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝3的切线F 1P 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于 ( )A. 3B. 5C.5－ 3D.5＋ 3 [答案] C[解析] 由题可知，圆与双曲线相切，a ＝ 3.因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，M 为PF 1的中点，所以|PF 1|＝2|F 1M |，又O 为F 1F 2的中点，所以|PF 2|＝2|MO |，则2|F 1M |－2|MO |＝2a ，即|F 1M |－|MO |＝a ，又|F 1M |＝|F 1T |＋|TM |，则|F 1T |＋|TM |－|MO |＝a ， ∴|F 1T |－a ＝|MO |－|TM |.由条件可知|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝c 2－a 2＝b 2＝5，所以有|MO |－|MT |＝5－ 3.(理)如图所示，从双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的大小关系为 ( )A ．|MO |－|MT |>b －aB ．|MO |－|MT |＝b －aC ．|MO |－|MT |<b －aD ．不确定 [答案] B[解析] 连接PF ′，OT .∵|FP |－|F ′P |＝2a ， ∴2|FM |－2|OM |＝2a ，即|FM |－|OM |＝a . 又∵|OT |＝a ，|OF |＝c ，∴|FT |＝b ，∴|FM |＝|MT |＋b ，∴|MT |＋b －|OM |＝a ，即|MO |－|MT |＝b －a ，故选B.9．(文)若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是 ( )A ．0<m <5B ．1≤m <5C ．m ≥1D ．0<m ≤5 [答案] B[解析] ∵椭圆焦点在x 轴上，∴m <5，又直线过定点A (0,1)，当A 在椭圆上或其内部时，总有公共点，∴m ≥1.(理)过双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB |＝|BC |，则双曲线M 的离心率是 ( )A.52B.103C. 5D.10 [答案] D[解析] A (－1,0)，渐近线为y ＝±bx ， l 的方程为y ＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝±bx ，得 B ⎝⎛⎭⎫－1b ＋1，b b ＋1，C ⎝⎛⎭⎫1b －1，b b －1. 又|AB |＝|BC |，∴b ＝3.则离心率e ＝32＋11＝10，选D.10．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线L 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为 ( )A ．y 2＝32x B ．y 2＝3xC ．y 2＝92x D ．y 2＝9x[答案] B[解析] 过A 、B 分别作准线的垂线，垂足为A 1、B 1，记准线与x 轴交点为F 1，则BF ＝BB 1，∵|CB |＝2|BF |，∴|CB |＝2|BB 1|. ∴∠B 1CB ＝30°.∴|A 1A |＝12|AC |.∵|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝6.∴F 为AC 的中点．∴|FF 1|＝12|AA 1|＝32.∴抛物线方程为y 2＝3x .11．(文)设双曲线的左、右焦点为F 1、F 2，左、右顶点为M 、N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点的位置是 ( )A ．在线段MN 的内部B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部C ．点N 或点MD ．以上三种情况都有可能 [答案] C[解析] 若P 在右支上，并设内切圆与PF 1，PF 2的切点分别为A ，B 则|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝(|P A |＋|AF 1|)－(|PB |＋|BF 2|)＝|AF 1|－|BF 2|. ∴N 为切点，同理P 在左支上时，M 为切点．(理)已知双曲线x 2a 21－y 2b 2＝1与椭圆x 2a 22＋y 2b2＝1的离心率互为倒数，其中a 1>0，a 2>b >0，那么以a 1、a 2、b 为边长的三角形是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 [答案] B[解析] 12＝e 21e 22＝c 21a 21·c 22a 22＝a 21＋b 2a 21·a 22－b 2a 22，则a 21a 22＝a 21a 22＋(a 22－a 21)b 2－b 4，所以a 22－a 21＝b 2，则以a 1、a 2、b 为边长的三角形是以a 2为斜边的直角三角形，故选B.12．设直线l ：2x ＋y ＋2＝0关于原点对称的直线为l ′，若l ′与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△P AB 的面积为12的点P 的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 直线l 关于原点对称的直线l ′的方程为2x ＋y －2＝0，结合图形易知直线l ′与椭圆的两个交点A 、B 分别是椭圆的长轴和短轴的两个端点，可得|AB |＝5，∵△P AB 的面积为12，∴椭圆上的点P 到直线AB 的距离为55，则确定点P 的个数即为求与直线AB 平行且与AB 距离为55的直线与椭圆交点的个数，设直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，利用两平行线间的距离公式可知c ＝－1或c ＝－3.即直线方程为2x ＋y －1＝0,2x ＋y －3＝0，结合图形知直线2x ＋y －1＝0和椭圆相交，而直线2x ＋y －3＝0与椭圆相离，故满足条件的点共有2个．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(文)已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为mx －y ＝0，若m 为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值，则使得双曲线的离心率大于3的概率是________．[答案] 79[解析] 由题意，双曲线方程可设为m 2x 2－y 2＝1，从而e ＝m 2＋1>3，∵m >0，∴m >22，故所求概率是79.(理)直线l ：y ＝k (x －2)与曲线x 2－y 2＝1(x >0)相交于两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为________．[答案] π4<α<3π4且α≠π2[解析] 直线l 过定点A (2，0)与双曲线x 2－y 2＝1的右支相交于两点，当l 与渐近线平行时，有且仅有一个交点，此时倾角分别为π4和3π4，由于直线l 的斜率存在， ∴倾斜角不能为π2，故倾斜角α的取值范围是π4<α<3π4且α≠π2. 14．(文)已知点A (1,0)，B (2,0)．若动点M 满足AB →·BM →＋2|AM →|＝0，则点M 的轨迹方程为________．[答案] x 22＋y 2＝1[解析] (1)设M (x ，y )，则AB →＝(1,0)，BM →＝(x －2，y )，AM →＝(x －1，y )，由AB →·BM →＋2|AM →|＝0得，(x －2)＋2·(x －1)2＋y 2＝0.整理得x 22＋y 2＝1.(理)已知点F 是双曲线x 24－y212＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．[答案] 9[分析] 根据双曲线定义，建立点A 、P 与两焦点之间的关系，利用两点之间线段最短求解.[解析] 如图所示，根据双曲线定义知，|PF |－|PF ′|＝4，即|PF |－4＝|PF ′|.又|P A |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5，将|PF |－4＝|PF ′|代入得，|P A |＋|PF |－4≥5，即|P A |＋|PF |≥9，当且仅当A 、P 、F ′三点共线，即P 为图中的点P 0时等号成立，故|PF |＋|P A |的最小值为9.15．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为______．[答案] －12[解析] 令P 1(x 1，y 1)、B 2(x 1，y 2)，则k 1k 2＝y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝⎝⎛⎭⎫1－x 212－⎝⎛⎭⎫1－x 222x 21－x 22＝－12. 16．(08·江西)过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF ||FB |＝________.[答案] 13[解析] 抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F (0，p2)，过F 倾斜角为30°的直线方程为y ＝33x ＋p2代入x 2＝2py 中，消去x 得3y 2－5py ＋3p 24＝0 *设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1、y 2是方程*的两实根．∵A 在原点左侧，∴y 1＝p 6，y 2＝3p2，焦半径|AF |＝y 1＋p 2＝2p 3，|BF |＝y 2＋p2＝2p ，∴|AF ||BF |＝13. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(文)已知动圆过定点P (1,0)，且与直线x ＝－1相切． (1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程； (2)设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，若OA ⊥OB ，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．[解析] (1)设圆心M (x ，y )．由题意知点M 到点P 的距离等于点M 到直线x ＝－1的距离，故点M 的轨迹C 是以P (1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线． ∴轨迹C 的方程是y 2＝4x .(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)．代入C 的方程并整理得 k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4－2kb k 2，x 1x 2＝b 2k2.故y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝4bk.由OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2k 2＋4bk＝0，解得b ＝－4k 或b ＝0(舍去)．此时，直线AB 的方程为：y ＝kx －4k ，即y ＝k (x －4)．此时直线AB 过定点(4,0)．当直线AB 的斜率不存在时，由OA ⊥OB 可知A 、B 两点的坐标分别是(4，－4)、(4,4)．此时直线AB 也过定点(4,0)．综上所述，直线AB 恒过定点(4,0)．(理)已知顶点在原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线与直线l 切于点P (2，y 0)． (1)若直线l 的斜率为1，求抛物线方程；(2)若直线OP 与抛物线围成阴影部分的面积为2，求抛物线的方程．[解析] (1)设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，则y ＝x 22p ，y ′＝2x 2p ＝xp，令y ′|x ＝2＝1得，p ＝2， ∴所求抛物线方程为x 2＝4y .(2)∵P (2，y 0)在抛物线x 2＝2py 上，∴P ⎝⎛⎭⎫2，2p ， ∴直线OP 的方程为：y ＝1px .故直线OP 与抛物线围成的图形面积为⎠⎛02⎝⎛⎭⎫1p x －x 22p d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12p x 2－16p x 320＝2p －43p . 由条件得2p －43p ＝2，∴p ＝13.因此，所求的抛物线方程是x 2＝23y .18．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P (1，32)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 是椭圆C 的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．[解析] (1)∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32， ∴⎩⎨⎧a 2－b 2a ＝121a 2＋94b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－4b 2＝01a 2＋94b2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝3， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵a 2＝4，b 2＝3， ∴c ＝a 2－b 2＝1.∴椭圆C 的左焦点坐标为(－1,0)．以椭圆C 的长轴为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，圆心坐标是(0,0)，半径为2.以PF 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －342＝2516，圆心坐标是⎝⎛⎭⎫0，34，半径为54. ∵两圆心之间的距离为(0－0)2＋⎝⎛⎭⎫34－02＝34＝2－54，故以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．19．(本小题满分12分)已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为4，离心率为32. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知点A (0,1)和直线l ：y ＝x ＋m ，线段AB 是椭圆E 的一条弦并且直线l 垂直平分弦AB ，求实数m 的值．[解析] (1)由e ＝c a ＝32，2a ＝4得，c ＝3，∵a 2－b 2＝c 2，∴b ＝1，故椭圆E 的标准方程为x24＋y 2＝1.(2)由条件可得直线AB 的方程为y ＝－x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1x 24＋y 2＝1得，5x 2－8x ＝0，故x B ＝85，y B ＝－x B ＋1＝－35.设弦AB 的中点为M ，则x M ＝45，y M ＝15，由点M 在直线l 上得，15＝45＋m ，∴m ＝－35.20．(本小题满分12分)(文)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，过双曲线的右焦点F 作直线l ，使l 垂直l 1于P 点，且与双曲线交于点A .当l 1与l 2的夹角为60°，且双曲线的焦距为4时，求该双曲线方程．[解析] ∵l 1与l 2的夹角为60°， ∴b a ＝tan30°或b a＝tan60°，∴a ＝3b 或b ＝3a ，又c ＝2，∴⎩⎨⎧ a ＝3b ＝1或⎩⎨⎧a ＝1b ＝3，∴双曲线方程为x 2－y 23＝1或x 23－y 2＝1.(理)平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两定点A (1,0)，B (0，－1)，动点P (x ，y )满足：OP →＝mOA →＋(m －1)OB →(m ∈R )．(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于相异两点M 、N ，若以MN 为直径的圆经过原点，且双曲线C 的离心率等于3，求双曲线C 的方程．[解析] (1)由已知(x ，y )＝m (1,0)＋(m －1)(0，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝1－m . ∴x ＋y ＝1，即点P 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x 2a 2－y 2b2＝1消去y 得(b 2－a 2)x 2＋2a 2x －a 2－a 2b 2＝0.∵点P 轨迹与双曲线C 交于相异两点M 、N ，∴b 2－a 2≠0，且Δ＝4a 2－4(b 2－a 2)(－a 2－a 2b 2)>0，即(b 2－a 2)(1－b 2)＋1>0(*) 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 2b 2－a 2，x 1x 2＝－a 2＋a 2b 2b 2－a2.∵以MN 为直径的圆经过原点，∴OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝0，∴1＋2a 2b 2－a 2－2(a 2＋a 2b 2)b 2－a 2＝0即b 2－a 2－2a 2b 2＝0.①∵e ＝ 3.∴e 2＝a 2＋b 2a2＝3.∴b 2＝2a 2.②∵a >0，b >0，∴由①②解得a ＝12，b ＝22.经检验a ＝12，b ＝22符合(*)式，∴双曲线C 的方程为4x 2－2y 2＝1.21．(本小题满分12分)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(－3,2)，离心率为33，⊙O 的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M 的方程为(x －8)2＋(y －6)2＝4，过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线P A 、PB ，切点为A 、B .(1)求椭圆的方程；(2)若直线P A 与⊙M 的另一交点为Q ，当弦PQ 最大时，求直线P A 的方程；(3)求OA →·OB →的最大值与最小值．[解析] (1)由题意得：⎩⎨⎧9a 2＋4b 2＝1c a ＝33a 2＝b 2＋c2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15b 2＝10，所以椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.(2)由条件可知当直线P A 过圆M 的圆心(8,6)时，弦PQ 最大，因为直线P A 的斜率一定存在，设直线P A 的方程为：y －6＝k (x －8)，又因为P A 与圆O 相切，所以圆心(0,0)到直线P A 的距离为10，即|8k －6|1＋k 2＝10，可得k ＝13或k ＝139. 所以直线P A 的方程为：x －3y ＋10＝0或13x －9y －50＝0.(3)设∠AOP ＝α，∴∠AOP ＝∠BOP ，∴∠AOB ＝2α，则cos ∠AOB ＝2cos 2α－1＝2⎝⎛⎭⎫OA OP 2－1＝20OP 2－1， ∵|OP |max ＝10＋2＝12，|OP |min ＝10－2＝8，∵OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝200OP2－10，∴(OA →·OB →)max ＝－558，(OA →·OB →)min ＝－15518.22．(本小题满分14分)已知椭圆方程为x 29＋y 24＝1，在椭圆上是否存在点P (x ，y )到定点A (a,0)(其中0<a <3)的距离的最小值为1，若存在，求出a 的值及点P 的坐标；若不存在，请给予证明．[解析] 设存在P (x ，y )满足题设条件，∵x 29＋y 24＝1，∴y 2＝4⎝⎛⎭⎫1－x 29. ∴|AP |2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋4⎝⎛⎭⎫1－x 29＝59⎝⎛⎭⎫x －95a 2＋4－45a 2. ∵－3≤x ≤3，∴当0<95a ≤3，即0<a ≤53时，|AP |2的最小值为4－45a 2.第11页共11页依题意，4－45a 2＝1，∴a ＝±152， ∵±152∉⎝⎛⎦⎤0，53，∴95a >3，即53<a <3. 故x ＝3时，|AP |2取最小值(3－a )2.依题意(3－a )2＝1，∴a ＝2.此时P 点的坐标是(3,0)．故当a ＝2时，存在这样的点P 满足条件，点P 坐标为(3,0)．。

(word完整版)高中数学圆锥曲线试题(含),文档

理数圆锥曲线1. (2021 大纲全国 ,9,5 分 )双曲线 C 的离心率为2,焦点为 F1、F2,点 A 在 C 上 .假设 |F1 A|=2|F 2A|,那么 cos∠ AF 2F1=()A. B. C. D.[答案[ 剖析 ] 1.由题意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a,又由可得=2, 因此 c=2a,即 |F1 F2 |=4a,∴cos∠ AF 2F1=== .应选 A.2. (2021 大纲全国 ,6,5 分)椭圆 C:+=1(a>b>0) 的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过 F2的直线 l 交 C 于 A 、B 两点 .假设△ AF 1B 的周长为4,那么 C 的方程为 ()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1[答案[ 剖析 ] 2.由题意及椭圆的定义知4a=4,那么 a=,又==,∴ c=1,∴ b2=2, ∴ C 的方程为+=1,选 A.3. (2021 重庆 ,8,5 分 )设 F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0) 的左、右焦点 ,双曲线上存在一点 P 使得 |PF1212|+|PF |=3b,|PF | ·|PF |= ab,那么该双曲线的离心率为 ()A. B. C.[答案[ 剖析 ] 3.设 |PF1 |=m,|PF2|=n,依题意不如设m>n>0,于是∴m·n=··? m=3n.∴a=n,b= n? c= n,∴ e= ,选 B.4. (2021 广东 ,4,5 分 )假设实数 k 满足 0<k<9, 那么曲线-=1 与曲线-=1 的()A. 焦距相等B. 实半轴长相等C.虚半轴长相等D. 离心率相等[答案[ 剖析 ] 4.∵ 0<k<9, ∴9-k>0,25-k>0.∴-=1 与-=1 均表示双曲线,又 25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,∴它们的焦距相等,应选 A.5. (2021 福建 ,9,5 分 )设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6) 2 =2 和椭圆+y2=1 上的点 ,那么 P,Q 两点间的最大距离是 ()B.+C.7+[答案[ 剖析 ] 5.设 Q(cosθ ,sin圆心θ为), M,由得M(0,6),那么|MQ|====≤5 ,故 |PQ|max=5+=6.6.(2021 山东 ,10,5 分 ) a>b>0,椭圆 C1的方程为+=1, 双曲线 C2的方程为-=1,C1与 C2的离心率之积为,那么 C2的渐近线方程为()A.x ±y=0B.x±y=0C.x ±2y=0D.2x ±y=0[答案[ 剖析 ] 6.设椭圆 C1和双曲线 C2的离心率分别为e1和 e2,那么 e1=,e2=.由于e1·e2=,因此=,即= ,∴=.故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即 x±y=0.7.(2021 天津 ,5,5 分 )双曲线-=1(a>0,b>0) 的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10, 双曲线的一个焦点在直线l 上,那么双曲线的方程为 ()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[答案[ 剖析 ] 7.由题意得=2 且 c=5.故由 c2=a2+b 2,得 25=a2+4a2,那么 a2=5,b2=20,从而双曲线方程为-=1.8.(2021 山东青岛高三第一次模拟考试 , 10)如图，从点发出的光辉，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，那么等于〔〕A．B．C．D．[答案]8.B[ 剖析 ] 8.由题意可得抛物线的轴为轴，，因此所在的直线方程为，在抛物线方程中，令可得，即从而可得，，由于经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，因此直线的方程为，应选 B．9.(2021 安徽合肥高三第二次质量检测，4) 以下双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是〔〕A. B.C. D.[答案]9. D[ 剖析 ] 9.由于抛物线的焦点坐标为，准线方程为，因此双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴且为满足条件.应选D.10. (2021 江西 ,15,5 分 )过点 M(1,1) 作斜率为 -的直线与椭圆C:+=1(a>b>0) 订交于A,B 两点 ,假设 M 是线段 AB 的中点 ,那么椭圆 C 的离心率等于________.[答案 ] 10.[ 剖析 ] 10. 设 A(x 1,y1),B(x 2 ,y2),那么+=1① ,+=1② .①、②两式相减并整理得=-·.把条件代入上式得,- =-×,∴= ,故椭圆的离心率e==.11. (2021 湖南 ,15,5 分 )如图 ,正方形 ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a,b(a<b), 原点 O 为AD 的中点 ,抛物线 y2 =2px(p>0) 经过 C,F 两点 ,那么=________.[ 答案 ] 11.1+[ 剖析 ] 11.|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故C,F,又抛物线y2=2px(p>0) 经过 C、 F 两点 ,从而有即∴b2=a2+2ab,∴-2 · -1=0,又 >1,∴=1+.12.(2021 安徽 ,14,5 分 )设 F1 ,F2分别是椭圆E:x 2+=1(0<b<1) 的左、右焦点 ,过点 F1的直线交椭圆 E 于 A,B 两点 .假设 |AF 1|=3|F1B|,AF 2⊥x 轴 ,那么椭圆 E 的方程为 ____________.[ 答案 ] 12.x 2+y2=1[ 剖析 ] 12. 不如设点A 在第一象限 ,∵ AF 2⊥ x 轴 ,∴A(c,b 2)(其中 c2=1-b 2,0<b<1,c>0).又∵ |AF11得 B 2+=1 得+=1,又|=3|F B|,∴由=3,代入 xc2=1-b 2,∴ b2= .故椭圆 E 的方程为x2+y2=1.13.(2021 浙江 ,16,4 分 )设直线 x-3y+m=0(m≠ 0)与双曲线-=1(a>0,b>0) 的两条渐近线分别交于点 A,B. 假设点 P(m,0)满足 |PA|=|PB|,那么该双曲线的离心率是 ________.[答案 ] 13.[剖析]13.由得A,由得 B,那么线段 AB 的中点为M.由题意得 PM ⊥ AB, ∴ k PM=-3, 得 a2=4b 2=4c2-4a2,故 e2= ,∴ e=.14. (2021 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，12) 抛物线+12y=0 的准线方程是___________.[ 答案 ] 14. y=3[ 剖析 ] 14.抛物线的标准方程为：，由此可以判断焦点在y 轴上，且张口向下，且 p=6 ，因此其准线方程为y=3.15. (2021 大纲全国 ,21,12 分 )抛物线C:y 2=2px(p>0) 的焦点为F,直线 y=4 与 y 轴的交点为P,与 C 的交点为 Q,且 |QF|= |PQ|.(Ⅰ)求 C 的方程 ;(Ⅱ )过 F 的直线 l 与 C 订交于M 、B 、 N 四点在同一圆上 ,求A、B 两点 ,假设l 的方程 .AB的垂直均分线l'与C 订交于M 、N两点 ,且 A、[ 答案 ] 15. 查察剖析[ 剖析 ] 15.( Ⅰ )设 Q(x 0,4),代入 y2=2px 得 x0=.因此 |PQ|=,|QF|= +x 0 =+.由题设得+=×,解得 p=-2( 舍去 ) 或 p=2.因此 C 的方程为y2=4x.(5 分 )(Ⅱ )依题意知l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为x=my+1(m≠ 0).代入 y2=4x 得 y2-4my-4=0.设 A(x 1,y1),B(x 2,y2),那么 y1+y 2=4m,y 1y2=-4.故 AB 的中点为 D(2m 2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又 l'的斜率为 -m,因此 l'的方程为x=-y+2m 2+3.将上式代入y2=4x, 并整理得y2+y-4(2m 2+3)=0.设 M(x 3,y3),N(x 4,y4), 那么 y3+y 4=-,y3y4=-4(2m 2+3).故 MN 的中点为E,|MN|=|y3-y4 |=.(10 分 )由于MN垂直均分AB, 故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|, 从而|AB| 2+|DE| 2=|MN| 2,即 4(m 2+1) 2++=.化简得 m2-1=0, 解得 m=1 或 m=-1.所求直线l 的方程为x-y-1=0 或 x+y-1=0.(12 分 )16. (2021 四川 ,20,13 分 )椭圆 C:+=1(a>b>0) 的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(Ⅰ )求椭圆 C 的标准方程 ;(Ⅱ )设 F 为椭圆 C 的左焦点 ,T 为直线 x=-3 上任意一点 ,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q.(i)证明 :OT 均分线段 PQ(其中 O 为坐标原点 );(ii)当最小时,求点T的坐标.[ 答案 ] 16. 查察剖析[ 剖析 ] 16.( Ⅰ )由可得解得 a2=6,b2=2,因此椭圆 C 的标准方程是+=1.(Ⅱ )(i) 由( Ⅰ)可得 ,F 的坐标是 (-2,0), 设 T 点的坐标为 (-3,m).那么直线 TF 的斜率 k TF==-m.当 m≠0时 ,直线 PQ 的斜率 k PQ=,直线 PQ 的方程是x=my-2.当 m=0 时 ,直线 PQ 的方程是x=-2, 也吻合 x=my-2 的形式 .设 P(x1 ,y1),Q(x 2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立 ,得消去 x,得 (m2+3)y 2-4my-2=0,其鉴识式=16m2+8(m2+3)>0.因此 y1+y 2=,y1y2=,x 1+x =m(y1+y )-4=.22因此 PQ 的中点 M 的坐标为.因此直线 OM 的斜率 k OM =-,又直线 OT 的斜率 k OT =-,因此点 M 在直线 OT 上 ,因此 OT 均分线段PQ.(ii)由(i) 可得 ,|TF|= , |PQ|====.因此==≥=.当且仅当m2+1=,即 m=±1 时,等号成立 ,此时获取最小值.因此当最小时 ,T 点的坐标是 (-3,1) 或 (-3,-1).17. (2021 广东 ,20,14 分 )椭圆C:+=1(a>b>0) 的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆 C 的标准方程 ;(2) 假设动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一点 ,且点 P 到椭圆 C 的两条切线互相垂直,求点 P 的轨迹方程 . [ 答案 ] 17. 查察剖析[ 剖析 ] 17.(1) 由题意知c=,e= =,∴a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆 C 的标准方程为+=1.(2)设两切线为 l1,l 2,①当 l1⊥ x 轴或 l1∥ x 轴时 ,l2∥ x 轴或 l 2⊥ x 轴 ,可知 P( ±3, ±2).②当 l1与 x 轴不垂直且不平行时,x0≠±设3, l1的斜率为 k,且 k≠ 0,那么 l2的斜率为 -,l1的方程为y-y 0=k(x-x 0),与+=1 联立,整理得 (9k2+4)x 2+18(y 0-kx 0)kx+9(y 0-kx 0)2-36=0,∵直线 l1与椭圆相切 ,∴=0,即 9(y0-kx 0)2k2-(9k 2+4) ·[(y 0-kx 0)2-4]=0,∴( -9)k 2 -2x0 y0 k+-4=0,∴k 是方程 ( -9)x2-2x 0 0的一个根 , y x+ -4=0同理 ,-是方程(-9)x 2-2x0y0x+-4=0 的另一个根 ,∴k·=,整理得+=13,其中 x0≠± 3,∴点 P 的轨迹方程为x2+y 2=13(x ≠± 3).检验 P(±3, ±2)满足上式 .综上 ,点 P 的轨迹方程为x2+y 2=13.18. (2021 江西 ,20,13 分 )如图 ,双曲线C:-y2 =1(a>0)的右焦点为F,点 A,B 分别在 C 的两条渐近线上 ,AF ⊥ x 轴 ,AB ⊥ OB,BF ∥ OA(O 为坐标原点 ).(1)求双曲线 C 的方程 ;(2) 过 C 上一点 P(x0,y0)(y 0≠ 0)的直线 l:-y0y=1 与直线 AF 订交于点M, 与直线 x=订交于点 N.证明 :当点 P 在 C 上搬动时 ,恒为定值,并求此定值.[ 答案 ] 18. 查察剖析[ 剖析 ] 18.(1) 设 F(c,0), 由于 b=1,因此 c=,直线 OB 的方程为y=- x,直线 BF 的方程为y= (x-c), 解得 B.又直线 OA 的方程为y= x,那么 A,k AB == .又由于 AB ⊥ OB, 因此·=-1, 解得 a2=3,故双曲线 C 的方程为-y2=1.(2) 由 (1)知 a=,那么直线 l 的方程为-y0y=1(y 0≠ 0),即 y=.由于直线 AF 的方程为x=2,因此直线l 与 AF 的交点为 M;直线 l 与直线 x=的交点为N,那么===·.由于 P(x0,y0)是 C 上一点 ,那么-=1,代入上式得= ·=·=,所求定值为==.19. (2021 陕西 ,2021,13 分)如图 ,曲线 C 由上半椭圆 C1:+=1(a>b>0,y ≥和0)局部抛物线2+1(y≤ 0)连接而成 ,C与 C 的公共点为 A,B, 其中 C的离心率为.C :y=-x2121(Ⅰ )求 a,b 的值 ;(Ⅱ )过点 B 的直线 l 与 C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B), 假设 AP ⊥ AQ, 求直线 l 的方程 . [ 答案 ] 19. 查察剖析[ 剖析 ] 19.( Ⅰ )在 C1,C2的方程中 ,令 y=0, 可得 b=1,且 A(-1,0),B(1,0) 是上半椭圆C1的左 ,右极点 .设 C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.∴a=2,b=1.(Ⅱ )解法一 :由 ( Ⅰ)知 ,上半椭圆 C1的方程为+x 2 =1(y ≥ 0).易知 ,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x- 1)(k ≠0),代入 C1的方程 ,整理得 (k2+4)x 2-2k 2x+k 2-4=0.(*)设点 P 的坐标为 (x P,y P),∵直线 l 过点 B,∴ x=1 是方程 (*) 的一个根 .由求根公式 ,得 x P=,从而 y P=,∴点 P 的坐标为.同理 ,由得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).∴=(k,-4),=-k(1,k+2).∵AP ⊥AQ, ∴· =0,即[k-4(k+2)]=0,∵k≠0,∴k-4(k+2)=0, 解得 k=-.经检验 ,k=-吻合题意,故直线 l 的方程为y=-(x-1).解法二 :假设设直线l 的方程为 x=my+1(m≠0), 对照解法一给分.20.(2021 江苏 ,17,14 分 )如图 ,在平面直角坐标系xOy 中 ,F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点 ,极点 B 的坐标为 (0,b), 连接 BF 2并延长交椭圆于点A, 过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点C,连接 F1C.(1) 假设点 C 的坐标为,且 BF2=,求椭圆的方程;(2) 假设 F1C⊥ AB, 求椭圆离心率 e 的值 .[ 答案 ] 20. 查察剖析[ 剖析 ] 20. 设椭圆的焦距为2c,那么 F1(-c,0),F 2(c,0).(1) 由于 B(0,b), 因此 BF 2==a.又 BF2 =,故 a=.由于点 C在椭圆上,因此+=1,解得 b2=1.故所求椭圆的方程为+y 2=1.(2) 由于 B(0,b),F 2(c,0) 在直线 AB 上 ,因此直线 AB 的方程为+=1.解方程组得因此点 A 的坐标为.又 AC 垂直于 x 轴 ,由椭圆的对称性,可得点 C 的坐标为.由于直线F1C 的斜率为=,直线 AB 的斜率为 -,且 F1C⊥AB, 因此·=-1. 又 b2=a2 -c2,整理得 a2=5c2 .故 e2= .因此 e=.21.(2021 辽宁 ,20,12 分 )圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴 ,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时 ,切点为 P(如图 ),双曲线 C1:-=1 过点 P 且离心率为.(Ⅰ )求 C1的方程 ;(Ⅱ )椭圆 C2过点 P 且与 C1有相同的焦点 ,直线 l 过 C2的右焦点且与C2交于 A,B 两点 ,假设以线段 AB 为直径的圆过点P,求 l 的方程 .[ 答案 ] 21. 查察剖析[ 剖析 ] 21.( Ⅰ )设切点坐标为 (x ,y )(x >0,y0>0), 那么切线斜率为 -,切线方程为 y-y=-(x-x ),00000即 x0x+y 0y=4, 此时 ,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=.由+=4≥2x知当且仅当 x0=y 0=时 x0y0有最大值 ,即 S 有最小值 ,因此点 P 的坐标为0 y0(,).由题意知解得 a2=1,b2=2,故 C1的方程为x2-=1.(Ⅱ )由 (Ⅰ )知 C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设 C2的方程为+=1,其中 b1>0.由 P(,)在 C2上,得+=1,解得=3, 因此 C2的方程为+=1.显然 ,l 不是直线y=0. 设 l 的方程为x=my+,点 A(x 1,y1),B(x 2,y2),由得(m 2+2)y 2+2my-3=0, 又 y1,y2是方程的根 ,因此由 x1=my 1+,x2=my2 +,得因=(-x1,-y1 ),=(-x2,-y2 ).由题意知·=0,因此 x1x2-(x1+x 2)+y 1y2-(y1+y 2)+4=0. ⑤将① ,② ,③ ,④代入⑤式整理得2m2-2m+4-11=0,解得 m=-1 或 m=-+1. 因此直线l 的方程为x-y-=0 或 x+y-=0.22.(2021 太原高三月考，20,12 分 )曲线 C:x 2+=1.(Ⅰ )由曲线 C 上任一点 E 向 x 轴作垂线 ,垂足为 F,动点 P 满足 : =3 ,求 P 点的轨迹方程 ,并谈论其轨迹的种类;(Ⅱ )若是直线l 的斜率为,且过点 M(0,-2), 直线 l 与曲线 C 交于 A 、B 两点 ,又· =- ,求曲线C的方程.[ 答案 ] 22.( Ⅰ )设 E(x 0,y0),P(x,y),那么 F(x0,0),∵ =3 ,∴(x-x 0 ,y)=3(x-x 0,y-y 0),∴代入曲线 C 中得 x2+ =1 为所求的 P 点的轨迹方程 .(2 分)①当λ=时 ,P 点轨迹表示 :以 (0,0)为圆心 ,半径 r=1 的圆 ;(3 分)②当 0<λ<时 ,P 点轨迹表示 :中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆 ;(4 分 )③当λ>时 ,P 点轨迹表示 :中心在坐标原点,焦点在 y 轴上的椭圆 ;(5 分 )④当λ<0时 ,P 点轨迹表示 :中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的双曲线.(6 分)(Ⅱ )由题设知直线l 的方程为y= x-2, 代入曲线 C 中得2( λ +2)x-4x+4-λ =0,(7分 )令 A(x 1,y1),B(x 2,y2),∵以上方程有两解,∴=32-4( λ+2)(4-λ)>0,且λ+2≠0,(8分 )∴λ>2或λ<0且λ≠-2,x1+x 2=,x1·x2 =.又· =x 1·x2+(y 1+2)(y 2+2)=3x 1·x2==- .(10 分 )解得λ=-14,(11 分 )∴曲线 C 的方程是x2- =1.(12 分 )22.23.(2021 山西大学附中高三十月月考，21，12 分〕设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离为坐标原点.〔I 〕求椭圆的方程；〔II 〕过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点，证明：点到直线的距离为定值，并求弦长度的最小值.[答案 ] 23.〔I〕由题意得，∴，∴.由题意得椭圆的右焦点到直线即的距离为，∴，∴∴椭圆 C 的方程为〔II 〕设，直线AB的方程为那么，，C 的方程联立得直线 AB 的方程与椭圆消去得整理得的两个不相等的实数根，那么是关于的方程∴，∴，整理得，∴，∴O 到直线 AB 的距离即 O 到直线 AB 的距离定值. 8分∴，当且仅当OA=OB 时取“=〞号 .∴，又，∴,即弦 AB 的长度的最小值是23.24.(2021 广东省“六校教研协作体〞高三11月联考,20，14分〕椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.〔１〕求椭圆的方程；〔２〕动直线与椭圆订交于、两点，①假设线段中点的横坐标为，求斜率的值；②点，求证：为定值.[ 答案 ] 24. 〔 1〕由题意得 2 分解得，因此椭圆 C 的方程为. 4分〔2〕① ，直方程与 C 的方程立得消去，整理得，⋯⋯6分是关于的方程两个不相等的数根，恒成立，，⋯⋯7 分又中点的横坐，因此，解得. ⋯⋯⋯⋯9分②，由①知，，因此，⋯⋯⋯⋯ 11 分⋯⋯⋯⋯12分. ⋯14分24.。