高中数学教学论文 三次函数的再探索-对称中心问题
高考数学考点 三阶函数的对称中心
结合三个函数的图像，我们能得到一个这样的结论：三次函数的对称点所在的直线是导函数的对称轴所在的直线，还是二阶导函数的零点所在的直线，如图中的C点所在的垂直于x轴的直线，在高中阶段我们不研究B点，在大学微积分中B点叫做拐点，即B点是函数凸凹性发生改变的点，关于凸凹性在函数性质中提到过，因此我们求三次函数的对称点只需要求三次函数的二阶导数的零点即可，即：
很显然二阶导数为y=3x²-8x+1，我们把导函数图像和三次函数图像作在一起：
从上面图中可以看出二次函数的正负决定三次函数的增减，又因为二次函数是对称的平滑函数，所以三次函数必定也是对称函数，我们在导数中研究的是导函数的零点就是三次函数的极值点，但是我们没有研究过导函数的对称轴与三次函数是什么关系，初步猜测，导函数对称轴所在的直线与三次函数的交点处就是三次函数的对称点，如图上的B点，我们研究了三次函数的导函数，不妨再看看三次函数的二阶导函数，下面将三次函数、导函数、二阶导函数放在同一个图中：
结合三个函数的图像，我们能得到一个这样的结论：三次函数的对称点所在的直线是导函数的对称轴所在的直线，还是二阶导函数的零点所在的直线，如图中的C点所在的垂直于x轴的直线，在高中阶段我们不研究B点，在大学微积分中B点叫做拐点，即B点是函数凸凹性发生改变的点，关于凸凹性在函数性质中提到过，因此我们求三次函数的对称点只需要求三次函数的二阶导数的零点即可，即：
上述结论如在考试中遇到，直接用就行。
看一个有意思的关于三次函数对称性的题目：。
三次函数的对称性中心问题
三次函数再探讨---对称中心问题武汉市长虹中学 郭永清三次函数存在对称中心吗？我们先从几个特殊的函数入手，三次函数cx ax x f +=3)(（0≠a )是奇函数，其图象关于)0,0(对称，三次函数d bx ax x f ++=3)((0≠a )的图象关于点),0(d 对称，那么对于一般的三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 有没有对称中心呢？答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是))3(,3(ab f a b --。
在证明之前，先回忆一个结论： 定理1：函数)(x f y =的图像关于点),(b a M 对称，则在b x a f x f 2)2()(=-+ 证明：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，则A 关于点),(b a M 的对称点)2,2(y b x a B --也在函数)(x f y =图像上，即)2(2x a f y b -=-, 又)(x f y =，所以b x a f x f 2)2()(=-+ 定理2：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b -- 证明1：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，只要能证明点))3(2,32-(y a b f x a b B --- 也在函数图像上。
cx bx ax d a bc a b d cx abc bx a x b a b ax bx x a b a b d x ab c x a b b x a b a x a b f ---+-=+--+++----=+--+--+--=--23232223322232332274323494234278)32()32()32()32( d cx bx ax x f y d ab c a b b a b a a b f +++==+-+-+-=-2323)()3()3()3()3(cx bx ax d a bc a b d cx bx ax d a b c a b b a b a y a b f ---+-=----+-+-+-=--23232323322742)3(2)3(2)3(2)3(2 所以)3(2)32()(ab f x a b f x f -=--+ 所以三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b --证明2：因为)0()(3≠+=a bx ax x f 的对称中心是(0,0),所以0030)()()(y x x b x x a x f +-+-=的对称中心为),(00y x ,即))(,(00x f xdcx bx ax x f +++=23)(d cx ab a x a b a a b x a b x a b x a ++--+++=323223)3()3(3])3()3(333[ d ab a xc a b a a b x a +---+=323)3(])3(3[)3( )3]()3(3[)3()3]()3(3[)3(2323a b c a b ad a b a a b x c a b a a b x a -++-+--+= 而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(ab f -= )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。
三次函数对称中心的多解探究
〒题探微Iwww zhongshucon com中学数学教学参考（下旬）2021年第i 期三次函数对称中心的多解探究王昌如（江苏省宿迁市青华中学)摘要：通过实例分别从定义法、平移法、导数法以及公式法的角度探究三次函数对称中心的求解与基本 应用，总结规律，提高学生对知识点的灵活运用能力。
关键词：三次函数；对称中心；定义；平移；导数；公式 文章编号：1002-2171 (2021)4-0053-03在高中数学中，研究函数的基本性质时一般都要 研究函数图像的对称性，而这又离不开对称中心与对 称轴问题。
近几年的高考试题中经常出现以三次函 数为背景，考查三次函数的单调性、极值、最值的问 题，但从学生的反馈情况看，答题效果并不理想。
笔 者通过研究发现，要解决此类问题，首先要弄清三次函数的对称性，这是解此类问题的难点。
本文结合实 例，通过四种方法探究三次函数对称中心的求法。
1定义法若函数J =/U )的图像关于点（m ，n)成中心对 称，则对于函数3> = /(x )上任一点U d )关于点（W ，Ak2 )x2 + 8^z m x + 4k2 w 2 — 4 : 8k2 m可得+x2:1+U 2’X \X 2:〇,根据根与系数关系Akzm 2—A1+4/fe2:，可得弦长综上可知，四边形A B C D 面积的取值范围为1，2为 V l +是2 I 工1 一工2 I = \/1+々2 • V (xi +X 2 )2 -*4xi x 2 =「( Sk2m \z ~ 4^2m 2 —44\/4是2 —^2 + 1。
根据楠圆的对称性，不妨设直线A 的斜率々>〇, 此时W = c=w ，可得丨A C |=i^|^;结合条件6丄结论4:设是椭圆C :$ +客一l U ：^〉〇)的两个焦点，过F ,，F 2分别作直线，/2，且&丄心，若A 与椭圆C 交于A ，C 两点，Z 2与椭圆C 交于B ，D 两点（点A ，B 在:c 轴上或其上方），则四边形A B C D 面积的取值范围为[()2，262]。
三次函数的对称性中心问题
三次函数的对称性中心问题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#三次函数再探讨---对称中心问题武汉市长虹中学 郭永清三次函数存在对称中心吗我们先从几个特殊的函数入手，三次函数cx ax x f +=3)(（0≠a )是奇函数，其图象关于)0,0(对称，三次函数d bx ax x f ++=3)((0≠a )的图象关于点),0(d 对称，那么对于一般的三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 有没有对称中心呢答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是))3(,3(ab f a b --。
在证明之前，先回忆一个结论：定理1：函数)(x f y =的图像关于点),(b a M 对称，则在b x a f x f 2)2()(=-+ 证明：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，则A 关于点),(b a M 的对称点)2,2(y b x a B --也在函数)(x f y =图像上，即)2(2x a f y b -=-, 又)(x f y =，所以b x a f x f 2)2()(=-+定理2：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(a b f a b -- 证明1：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，只要能证明点))3(2,32-(y a b f x a b B --- 也在函数图像上。
所以)3(2)32()(ab f x a b f x f -=--+ 所以三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b -- 证明2：因为)0()(3≠+=a bx ax x f 的对称中心是(0,0),所以0030)()()(y x x b x x a x f +-+-=的对称中心为),(00y x ,即))(,(00x f x 而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(ab f -=)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。
三次函数性质的再探索凸凹性拐点及对称中心——教师用卷
三次函数性质的再探索——凸凹性，拐点及对称中心在前面我们学习了三次函数的相关性质了解了三次函数的图像特征，从中也得到了三次函数及类三次函数的分类讨论的标准和三次函数零点问题的处理方法，如下图所示在11周的测试中我们遇到了这样一道题目：16.对于三次函数，定义：是函数的导函数的导数，若方程有实数解，则称点，为的对称中心点”有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”请你将这一发现作为条件，则函数的对称中心为______ ．【答案】，我们发现函数的二阶导数对函数的图像也有很大的影响，这些影响主要体现在那些方面，我们下面一一道来。
1、曲线的凹凸性从图1（a），（b）直观上可以观察到：如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间。
2、曲线的凹凸性的定义定义1 设)(x f 在区间I 上连续，如果对于I 上任意的两点21,x x ，恒有()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在I 上的图形是凹的； 如果恒有 ()()222121x f x f x x f +>⎪⎭⎫⎝⎛+，那么称)(x f 在I 上的图形是凸的。
从图1还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而增大，即)(x f '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而减少，即)(x f '单调减少.而函数)(x f '的单调性又可用它的导数，即)(x f 的二阶导数)(x f ''的符号来判定，故曲线)(x f y =的凹凸性与)(x f ''的符号有关。
(完整word版)三次函数性质的再探索凸凹性拐点及对称中心——教师用卷
三次函数性质的再探索 —-凸凹性，拐点及对称中心在前面我们学习了三次函数的相关性质了解了三次函数的图像特征，从中也得到了三次函数及类三次函数的分类讨论的标准和三次函数零点问题的处理方法，如下图所示在11周的测试中 我们遇到了这样一道题目:16。
对于三次函数，定义：是函数的导函数的导数，若方程有实数解，则称点的对称中心点"有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点"，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”请你将这一发现作为条件，则函数的对称中心为______ ．【答案】我们发现函数的二阶导数对函数的图像也有很大的影响,这些影响主要体现在那些方面,我们下面一一道来。
1、曲线的凹凸性从图1(a ），（b ）直观上可以观察到：如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方,则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方,则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间。
2、曲线的凹凸性的定义定义1 设)(x f 在区间I 上连续，如果对于I 上任意的两点21,x x ，恒有oxy AB （a ）BA oxy（b ）图1()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在I 上的图形是凹的;如果恒有 ()()222121x f x f x x f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+，那么称)(x f 在I 上的图形是凸的。
从图1还可以看到如下事实:对于凹的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而增大，即)(x f '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而减少，即)(x f '单调减少。
而函数)(x f '的单调性又可用它的导数,即)(x f 的二阶导数)(x f ''的符号来判定，故曲线)(x f y =的凹凸性与)(x f ''的符号有关。
三次函数的对称中心求法
三次函数的对称中心求法三次函数的对称中心求法，这个话题听起来有点复杂，但其实就像一杯刚煮好的茶，慢慢品味就能感受到其中的韵味。
想想，三次函数就像那曲折的山路，有上有下，曲曲折折，正是这种复杂性让它更有趣。
在数学的世界里，三次函数可以用公式来表示，通常是这样的：y = ax^3 + bx^2 + cx + d。
这里面的a、b、c、d就像是做菜的调料，少了哪个都不行。
好啦，咱们今天的重点是对称中心，这可不是随便找个地方坐下来喝茶就行的。
对称中心，其实就是在这个函数的图像上，某个点的左右两侧的部分是镜像对称的。
就好比你跟朋友站在一个镜子前，左右两边都是一样的！在三次函数里，想要找到这个对称中心，得先弄明白它的性质。
要是这个函数的最高次项的系数是正的，图像就像个小山丘一样；反之，如果是负的，就像个大水槽，左右两边的形状是完全对称的。
我们来聊聊怎么求这个对称中心。
找出这个三次函数的导数，记得，导数就像你打开窗户，能看到更清晰的风景。
把导数设为零，找到它的极值点，这些点就像你爬山时遇到的休息站。
然后，把这些极值代入原函数中，得到的结果就是这些点的y坐标。
真正的对称中心其实就是这些极值点的平均值，就像一碗汤里的盐，调好味道才是关键！不过，实际操作的时候，可能会遇到一些小问题。
极值点可能会有多个，这时候可得好好分析一下了。
比如，如果图像有两个极值点，就要仔细想想这两个点之间的关系，找到它们的中点，这样才能把对称中心找到。
如果图像上只有一个极值点，那对称中心就很简单，直接就是这个点了。
就像你不费吹灰之力就能找到自己最爱的餐厅，简单明了！再来谈谈，这个对称中心有什么用呢？嘿，别小看它，找到对称中心，能帮助我们更好地理解函数的性质，特别是在做题的时候。
比如，某些题目要求你计算函数在某个区间内的面积，找到了对称中心，能让计算变得轻松多了。
好比你做一个拼图，找到了中心点，整个拼图的拼接就会变得容易。
在实际学习中，光靠公式和方法是远远不够的。
三次函数的对称中心
三次函数的对称中心
三次函数的对称中心公式：y=ax³+bx²+cx+d。
最高次数项为3的函数，形如y=ax³+bx²+cx+d（a≠0，b，c，d为常数）的函数叫做三次函数(cubicfunction)。
三次函数的图象是一条曲线——回归式抛物线（不同于普通抛物线）。
三次函数求解方法
三次函数可以尝试用待定系数法进行因式分解，比如ax³+bx²+cx+d＝a(x+e)(x²+fx+g)，拆开计算出e，f，g的值，x²+fx+g能分解则继续分解，不能分解则因式分解完毕。
对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x+px+q=0的特殊型。
令x=z-p/3z，代入并化简，得：z-p/27z+q=0，再令z=w，代入得：w+p/27w+q=0。
这实际上是关于w的二次方程，解出w，再顺次解出z，x。
三次函数形态特点
1、三次函数y=f(x）在（-∞，+∞）上的极值点的个数。
2、三次函数y=f（x）的图像与x轴交点个数。
3、单调性问题。
4、三次函数f（x）图像的切线条数。
5、融合三次函数和不等式，创设情境求参数的范围。
高中数学教学中函数的对称性教学研究
高中数学教学中函数的对称性教学研究【摘要】本文针对高中数学教学中函数的对称性展开研究，通过引言部分介绍研究背景和目的，揭示了函数对称性在数学教学中的重要性。
接着探讨了对称中心的概念及其应用，以及轴对称和中心对称性质的教学方法。
通过应用案例展示了旋转对称和平移对称的实际应用。
最后结合对称性在解题中的实际应用，提出了高中数学教学中函数对称性的教学策略，探讨了对称性教学在培养学生数学思维能力和创造力上的作用，以及与数学素养的关系。
通过本研究，能够有效提升学生对函数对称性的理解和运用能力，促进他们在数学领域的发展和创新思维。
【关键词】函数的对称性、高中数学教学、对称中心、轴对称、中心对称、旋转对称、平移对称、教学方法、应用案例、解题、教学策略、数学思维能力、创造力、数学素养。
1. 引言1.1 研究背景高中数学教学中函数的对称性是一个重要而复杂的教学内容，涉及到对称性的概念、性质和应用。
对称性作为数学中的一个重要概念，不仅在几何学中有很好的应用，而且在函数的图像和性质中也有着重要作用。
通过研究对称性，可以帮助学生更好地理解和掌握函数的性质，提高数学思维能力和解题能力。
随着教育领域的不断发展和变革，高中数学教学也在不断调整和完善。
函数的对称性作为高中数学教学的一个重要内容，需要针对不同层次的学生进行有针对性的教学和训练。
对函数的对称性进行深入研究，探讨其在高中数学教学中的教学方法和策略，对于提高教学效果和学生学习兴趣具有重要意义。
本研究旨在探讨高中数学教学中函数的对称性，通过分析对称性在数学教学中的重要性和应用，探讨对称中心的概念及其应用、轴对称和中心对称性质及教学方法、旋转对称和平移对称的应用案例等方面，为教师提供一些教学参考和指导。
希望通过本研究可以进一步完善高中数学教学中对称性的教学内容和方法，提高学生的数学素养和创造力。
1.2 研究目的研究目的旨在探究高中数学教学中函数的对称性教学方法，旨在帮助学生深入理解函数的对称性，掌握对称性在数学问题中的应用技巧。
三次函数的对称中心问题
三次函数的对称中心问题广州市第四中学高二3班 梁隽铭指导教师 刘运科对于三次函数()320y ax bx cx d a =+++≠，作出图象，经观察，发现其图象有四种形状：可以发现，其图象具有中心对称性.如何考虑求出()320y ax bx cx d a =+++≠的图象的对称中心坐标呢？下面是我的探究过程.先考虑较简单的两个特殊情况：一、求()30y ax cx a =+≠的图象对称中心坐标.此特殊情况较简单.因()30y ax cx a =+≠是奇函数，故其对称中心坐标为()00O ，.二、求()30y ax cx d ad =++≠的图象对称中心坐标.此特殊情况也较简单.将3y ax cx =+的图象通过适当平移就可得到()30y ax cx d ad =++≠的图象.当0d >时，将3y ax cx =+的图象向上平移d 个单位长度，就可得到()30y ax cx d ad =++≠的图象；当0d <时，将3y ax cx =+的图象向下平移d 个单位长度，就可得到()30y ax cx d ad =++≠的图象.因3y ax cx =+是奇函数，对称中心坐标为()00O ，，故()30y ax cx d ad =++≠的图象对称中心为()0P d ，.上面两个特殊情况，主要是利用了奇函数的性质、平移的性质.有了上面两种情况的铺垫，似乎求()320y ax bx cx d ab =+++≠的图象的对称中心坐标较容易了，其实不然.因()320y ax bx cx d ab =+++≠是非奇非偶函数，无法从奇偶性方面找到突破口.下面先来考虑当0ab ≠时，最简单的一个具体实例：三、求32y x x =+的图象对称中心坐标.首先，利用GC ，探究32y x x =+的图象对称中心坐标. 步骤：①．画出()321f x x x =+的图象，并适当调整x y 、的取值范围，如图1；②．观察图象，函数有两个极值点，对称中心应该是两个极值点的中点.按MENU 键，选择菜单的FCN 键，再选择Extremum ，OK ，可以得到一个极值点()00，；移动光标到另外一个极值点附近，重复刚才的操作，得到另外一个极值点233f ⎛-2⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，如图2、3； ③．求出两个极值点的中点12327⎛⎫- ⎪⎝⎭，，画出()3221123327f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象如图4，可求2()f x 的两个极值点，发现是关于原点成中心对称的，如图5、6；④．故可知，2()f x 是奇函数，对称中心为()00O ，；故()321f x x x =+的对称中心为12327P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.图1图2图3图4图5图6那么，如果不使用图形计算器，该如何考虑呢？受到第二种特殊情况的启发，考虑到32y x x =+的图象可能是由某个奇函数()30y ax cx a =+≠通过适当平移得到，故有如下的解法：【解】设将()30y ax cx a =+≠的图象通过适当平移可以得到32y x x =+的图象，则可设()()332y x x a x m c x m n =+=-+-+，显然，1a =，故()()()()332322333y x x x m c x m n x mx m c x n m cm =+=-+-+=-+++--，比较系数，可知：2331300m m c n m cm -=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩解得1123327m c n =-=-=，，. 故332111233327y x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将313y x x =-的图象向左平移13个单位长度，再向上平移227个单位长度，即可得到32y x x =+的图象. 因313y x x =-的图象对称中心坐标为()00O ，， 故32y x x =+的图象对称中心坐标为12327P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.将此法推广到一般情况，就可以解决求()320y ax bx cx d ab =+++≠的对称中心坐标问题：四、求()320y ax bx cx d ab =+++≠的对称中心坐标.【解】设()()332y ax bx cx d a x m k x m n =+++=-+-+，()()()()3322333a x m k x m n ax amx am k x n m km -+-+=-+++--，比较系数，有2333am b am k c n m km d -=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩解得23332332793b b b b bcm k c n d a a a a a=-=-=-+-+，，， 故()320y ax bx cx d ab =+++≠的对称中心坐标为333232793b b b bcd a a a a ⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭，. 五、综上，()320y ax bx cx d a =+++≠的对称中心坐标为333232793b b b bc d a a a a ⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭，.在上面的解题过程中，我们先考虑特殊情况，再考虑一般情况.对于0b =的情况，利用了奇函数性质、平移性质来求解；对于0b ≠的情况，利用待定系数法求解.下面我们利用导函数的相关知识来解决此问题.六、利用导数知识，求()32()0y f x ax bx cx d a ==+++≠的对称中心坐标.【解】()232f x ax bx c =++/，其判别式246b ac ∆=-，导函数图象对称轴方程为3b x a=-. ⑴．当0∆>时，导函数有两个零点12x x 、，()y f x =有一个极大值、一个极小值，两个极值点的中点即为对称中心，故对称中心横坐标为1223x x bx a+==-，纵坐标为333232793b b b bc f d a a a a ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭. ⑵．当0∆≤时，若0a >，则()0f x /≥恒成立，()y f x =在R 上单调递增，当3bx a=-时，()f x /取到最小值，函数增长率最小，对应()y f x =图象上的对称中心点；若0a <，则()0f x /≤恒成立，()y f x =在R 上单调递减，当3bx a=-时，()f x /取到最大值，函数增长率最大，对应()y f x =图象上的对称中心点.故对称中心横坐标为3bx a=-，纵坐标为333232793b b b bc f d a a a a ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭. 七、一点心得图形计算器可以将抽象问题直观化，给我们提供思考的方向，加深我们对问题的理解；但机器毕竟是机器，不可能替代人的思维.我们要合理使用好图形计算器，要用好它，而不是依赖它，被机器所奴役.Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高中数学教学论文-三次函数的再探索-对称中心问题
三次函数的再探索-对称中心问题三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题，而为二次函数，利用来研究三次函数的单调性、极值等三次函数的性质已成为常用工具，而三次函数的对称中心（处），虽然不是高考的重点，但还是应该引起我们的重视。
一．三次函数必定存在对称中心吗？结论：三次函数肯定存在对称中心。
证明：假设三次函数的对称中心为（M，N）。
即证曲线上的任意一点，关于的对称点必在曲线上。
因为对比由（1）有代入(3)有即说明三次函数的对称中心不仅存在，而且是曲线上的某一个点，即对称中心为【例1】求的对称中心解：令为的对称中心为曲线上任意一点，则也在曲线上，即整理得对比有解得所以，的对称中心为二．三次函数对称中心的几何位置问题一回答了三次函数图象对称中心的存在性，其实三次函数对称中心在图象上还有它的独特位置。
（4）结论是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称。
证明：的图象关于对称，则由图象关于直线对称，说明对称中心的横坐标恰为的对称轴。
图① 图②对照上述证明和①，②两图，不难发现A，B两处分别为的极大值，极小值处，而从A到B的曲线是单调递减的，但注意到对称中心C处两侧附近的曲线形式（凹凸性）发生变化，即C为的拐点，而C的横坐标是恰为的对称轴。
令，则，，这样由④得，所以对称中心也是A，B的中点。
综上所述：三次函数的对称中心是必定存在的，就是图象中的拐点处，横坐标就是的对称轴。
如果三次函数极值存在的话，对称中心还是两极值处的中点位置。
换句话说，对称中心的横坐标就是极值处的横坐标，即。
【例2】求的极值和对称中心解：令有易求极大值处A，极小值处B而的对称轴，所以对称中心易发现对称中心为A，B的中点三．过三次函数对称中心的切线条数结论：过三次函数对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有两条。
由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，为便于研究，将三次曲线的对称中心移至坐标原点，这样便可将三次函数的解析式简化为。
【高三学习指导】高中数学三次函数如何看对称中心
【高三学习指导】高中数学三次函数如何看对称中心对于高中的数学来说，函数是高考三次函数对称中心怎么求y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d中心为(m,n)f(m+x)=-f(m-x)=>a(m+x)^3+b(m+x)^2+c(m+x)+d=-[a(m-x)^3+b(m-x)^2+c(m-x)+d]=>(3ma+b)x^2+am^3+bm^2+cm+d=0=>3ma+b=0,f(m)=0=>m=-b/(3a),f(m)=0点击查看：高考数学答题套路数学题秒杀技巧看来不是所有3次函数都有中心,要满足以上两个条件才行三次函数的图像一定中心对称吗三次函数的图像一定是中心对称图形，其对称中心是(-a1/n/a0,f(-a1/n/a0));最高次数项为3的函数，形如y=ax3+bx2+cx+d(a≠0,b,c,d为常数)的函数叫做三次函数(cubics function)。
三次函数的图象是一条曲线??回归式抛物线(不同于普通抛物线)。
三次函数性态的五个要点：⒈三次函数y=f(x)在(-∞，+∞)上的极值点的个数⒉三次函数y=f(x)的图象与x 轴交点个数⒊单调性问题⒋三次函数f(x)图象的切线条数⒌融合三次函数和不等式，创设情境求参数的范围盛金公式法求函数的零点可用盛金公式、范盛金判别法或传统解法(卡尔丹公式法)。
三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
我国数学家、高中教师范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
1.盛金公式一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，(a,b,c,d∈R，且a≠0)重根判别式总判别式Δ=B2-4AC。
当A=B=0时;当Δ=B2-4AC>0时;其中，当Δ=B2-4AC=0时;当Δ=B2-4AC<0时;其中， (A>0，-1<t<1)。
三次函数如何看对称中心
编号：________________ 三次函数如何看对称中心
三次函数如何看对称中心
三次函数如何看对称中心
三次函数的拐点就是三次函数的对称中心
拐点求法：
设三次函数 y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d a不为0
则y'=3ax^2+2bx+c
y''=6ax+2b
由a不为0
显然
当 x=-b/3a 附近 y''有正有负也就是 x=-b/3a 是三次曲线凹弧和凸弧的分界点
从而点(-b/3a,f(-b/3a))是三次函数的拐点也是三次函数的对称中心
三次函数一定是中心对称吗
三次函数的图像一定是中心对称图形，其对称中心是（-a1/n/a0,f(-a1/n/a0));
最高次数项为3的函数，形如y=ax³+bx²+cx+d（a≠0,b,c,d为常数）的函数叫做
三次函数(cubics function)。
三次函数的图象是一条曲线——回归式抛物线（不同于普通抛物线）。
三次函数性态的五个要点：
⒈三次函数y=f(x）在（-∞，+∞）上的极值点的个数
⒉三次函数y=f（x）的图象与x 轴交点个数
⒊单调性问题
⒋三次函数f（x）图象的切线条数
⒌融合三次函数和不等式，创设情境求参数的范围。
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三次函数的再探索-对称中心问题
三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一
些重大考试中频繁出现有关它的单独命题，而为二次函数，利用
来研究三次函数的单调性、极值等三次函数的性质已成为常用工具，而三次函数的对
称中心（处），虽然不是高考的重点，但还是应该引起我们的重视。
一．三次函数必定存在对称中心吗？
结论：三次函数肯定存在对称中心。
证明：假设三次函数的对称中心为（M，N）。
即证曲线上的任意一点，关于
的对称点必在曲线上。
因为
对
比
由（1）有代入
(3)有
即
说明三次函数的对称中心不仅存在，而且是曲线上的某一个点，即
对称中心为
【例1】求的对称中心
解：令为的对称中心
为曲线上任意一点，则也在
曲线上，即
整理得
对比
有
解得
所以，的对称中心为
二．三次函数对称中心的几何位置
问题一回答了三次函数图象对称中心的存在性，其实三次函数对称中心在图象上还有它的独特位置。
（4）
结论是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称。
证明：的图象关于对称，则
由
图象关于直线对称，说明对称中心的横坐标恰为的对称轴。
图①图②
对照上述证明和①，②两图，不难发现A，B两处分别为的极大值，极小值处，而从A到B的曲线是单调递减的，但注意到对称中心C处两侧附近的曲线形式（凹凸性）发生变化，即C为的拐点，而C的横坐标是
恰为的对称轴。
令，则，，这样由④得，所以对称中心也是A，B的中点。
综上所述：三次函数的对称中心是必定存在的，就是图象中的拐点处，横坐标就是的对称轴。
如果三次函数极值存在的话，对称中心还是两极值处的中点位置。
换句话说，对称中心的横坐标就是极值处的横坐标，即。
【例2】求的极值和对称中心
解：
令有
易求极大值处A，极小值处B
而的对称轴，
所以对称中心
易发现对称中心为A，B的中点
三．过三次函数对称中心的切线条数
结论：过三次函数对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有两条。
由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，为便于研究，将三次曲线的对称中心移至坐标原点，这样便可将三次函数的解析式简化为。
证明：若是三次曲线上的任一点，设过M的切线与曲线
相切于，
则切线方程为，因为点M在此切线上，
故，又，
所以，
整理得：，
解得，或。
由此可见，不仅切线与三次曲线的公共点可以多于一个，而且过三次曲线上点的切线也不一定唯一。
【例3】已知曲线，求曲线在点处的切线方程
解：，，
曲线在点处的切线斜率为
代入直线方程的斜截式，得切线方程为
即
变式：已知曲线，则曲线过点的切线方程___________。
错解：依上题做法，直接填上答案
错因分析：因为求过曲线上某点的切线方程，不一定这点就是切点，这与圆的切线是有不同的。
本题点在曲线上，所以求过点（2，4）的切线，点（2，4）可以是切点也可以不是。
正确解法：设过点的切线对应的切点为，斜率为，切线方程为
即
点的坐标代入，得，
，
又
解得或
所以过（2，4）的切线方程为或
点评：“在点”处的切线方程和“过点”的切线方程是不同的。
四．三次函数对称中心在高考题中的表现
【例4】（2004高考，浙江，理（11）题）设是函数的导函数，
的图象如图所示，则的图象最有可能是（）
解：根据图象特征，不防设是三次函数，则的图象给出了如下信息：
①
②导函数方程两根是0，2（对称中心的横坐标是1）
③在上；在或上
由①可排除B、D，由③确定选C
纵观上述，三次函数的对称中心问题还是比较容易掌握的，而处或的对称轴就是对称中心的横坐标，且经过对称中心的切线有且有一条。