高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案)

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）

一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：

（1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=

n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2

1

解：（1）由已知得2

)1(4+=n n a S ，2≥

n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：12

12224----+=n n n n n a a a a a ，所

以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由

1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n

（2）)1

21

121(21)12)(12(111+--=+-==

+n n n n a a b n n n ，所以

2

1)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=

n n n B n 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列

{}n a 的前n 项的和,1412

2333

n n n S a +=

-⨯+，1,2,3,n =

（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n

n n

T S =，1,2,3,

n =，证明：

1

3

2n

i i T =<∑.

解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+2

3, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23

所以a 1=2

再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +2

3

, n=2,3，4,…

将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13

×(2n+1－2n

),n=2,3, …

整理得: a n +2n

=4(a n －1+2n －1

),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n

}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n

=4×4

n －1

=

4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n

, n=1,2,3, …,

(Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1

－2)

= 23

×(2n+1－1)(2n

－1)

T n = 2n

S n = 32×2n

(2n+1－1)(2n

－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1) 所以, 1

n

i i T =∑

=

3

2

1

(

n

i =∑12i

－1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 1121

n +-) < 3

2

二．先放缩再求和

1．放缩后成等比数列，再求和

例2．等比数列

{}n a 中，1

1

2

a

=-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列． 设n

n n a a b -=12

，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：1

3n T <．

解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比981

2

a q a =

=-． ∴n n

a )2

1

(-=． n

n n n

n n b 2

31

)2(41)2

1(141⋅≤--=

--=

． （利用等比数列前n 项和的模拟公式n

n S Aq A =-猜想）

∴n n b b b B ++=2131)211(312

11)

21

1(213123123123122<-=--⋅

=⋅++⋅+⋅≤n n ． 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈

（I ）求数列

{}n a 的通项公式；

（II ）若数列{}n b 滿足12111

*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列；

（Ⅲ）证明：

*122311...()232n n a a a n n

n N a a a +-<+++<∈. （I ）解：

*121(),n n a a n N +=+∈

112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列

12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈

（II ）证法一：

1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+

12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=

122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-

即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++=