结构力学BⅡ 04铰接点的处理及忽略轴向变形影响

K 27
=
6EI l2
=
K 72
Z5 = 1
x
4EI
4EI
l
K 55
=
8EI l2
K 15
=
6EI l2
=
K 51
l
例 求图示结构原始刚度矩阵的元素 K 44 , K 45 。21
②
2 A
①
I 1
l
y
M, θ
x
3
③
I 4
2 (4,5,0)
(7,8,0)
(4,5,6)
② 3 (7,8,9)
l
①
③
1 (1,2,3)
2 (1,0,2)
i①
②i
1 (0,0,0) 6
7
3 (1,0,3) y
②单元的单元刚度矩阵
0 0 0 1 02
⎡ 1/3 0 1
⎢ ⎢
0
∞
0
[k]② = i
⎢1 ⎢⎢−1 / 3
0 0
4 −1
⎢0 −∞ 0 ⎢
1⎣⎢ 1 2 0 3 2
⎡ K11/13 K-112 K13 ⎤ 1
⎢
⎥
[ ]K = ⎢⎢K-121
K12
K13 ⎤ ⎥
1
[ ]K
=
⎢ ⎢
K
21
K 22
K
23
⎥ ⎥
2
⎢⎣K31 K32 K33 ⎥⎦ 3
⎡1/ 3 − 1 0⎤
[K] = i ⎢⎢−1 8 2⎥⎥
⎣⎢0 2 4 ⎦⎥
例
10
求图示结构原始刚度矩阵的元素 K 44 , K 45 。
2
①
I 1
②
3 A
③
l
2 (4,5,0)
(7,8,0)
Kij 的速算步骤：
16
1、如果第 j 个位移和第 i 个位移分量间没有直 接的单元连接（即非相关结点位移），则 Kij＝0 ;
2、如果第 j 个位移和第 i 个位移分量间是相关
结点位移，则从结构中取出与Δj 相关联的单
元部分;
3、令所取出部分结构仅产生Δj=1的位移，汇相
应内力图；
4、利用形常数和隔离体平衡条件求与单位位移 相应的附加约束上的总反力，其值即为Kij
(4,5,6)
② 3 (7,8,9)
①
③
I
4
1 (1,2,3)
4 (10,11,12)
l
y
M, θ
x
K 44
=
k (1) 44
+
k (2) 44
K 45
=
k (1) 45
+
k
(2) 45
2 (4,5,0)
(7,8,0)
(4,5,6)
② 3 (7,8,9)
①
③
已知①、③单元整体坐标系 11 的单元刚度矩阵为
Δ3 3 (1,0,3) Δ1
6m ② i
1 (0,0,0) 6m
x
M, θ
y
3
l⎥
6EI
⎥ ⎥
4
l2 ⎥
0
⎥ ⎥
5
⎥
4EI ⎥ l ⎥⎦
6
K 44 , K 45
12
K 44
=
k (1) 44
+
k (2) 44
= 12EI l3
+
EA l
K 45
=
k (1) 45
+
k
(2) 45
=0+0
2 (4,5,0) (7,8,0)
(4,5,6)
② 3 (7,8,9)
①
③
1 (1,2,3)
0 －330
4 -300
5 0
6 0
7
0 +0 12+300 30 +0 0
-12 30
104 × 0 －30 30 +0
K = -300 0
0
-12
100 +100 0
-30
50
0
300+12 0 +0 0
-30
0 +0 12 +300 -30
－30 +0
0
30
50
0 －30? -30 100
－30 +0
l
x
K 66
=
4×
4EI l
K 6 ,15
=
K15 ,6
=
2EI l
例题 求结构相应编码的结构刚度矩阵元素K11，19
K27，K15，K55;(本题特征是不计轴向变形)
6EI
7(2,0,6)
8(2,0,7)
l2
4(1,0,3)
y
1(0,0,0)
5(1,0,4) 2(0,0,0)
6(1,0,5)
6EI l2
1 (1,2,3)
4 (10,11,12)
1
⎡ 12EI
⎢ ⎢
l3
⎢
⎢
⎢
⎢
[k ]③
=
[k ]①
=
⎢ ⎢
⎢对
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
2
3
0
− 6EI l2
EA 0 l
4EI
l
4
− 12EI l3
0
6EI l2 12EI l3
称
5
6
0 − EA
l 0
0 EA l
− 6EI l2
⎤ ⎥1 ⎥
0
⎥ ⎥
2
2EI
⎥ ⎥
5
3
2
6
1
3
A1
4
C1
C2 4 7
2
5
3
B
0
0
0
D
0
0
0
1 14 22 5 3 7 40 0 50 0 60 0
1320102 00 0 −03−03−0−1320−01200 0−300−30
4
000 31032000 300 00 0 0−3−010−2303000 0
k[k]k21
Байду номын сангаас
==3
−3−0030 3000 =−−1320−01200 0
K 44
=
2EA l
+
24 EI l3
K13 ,4
=
K 4 ,13
=
−
12 EI l3
K66，K6,15
18
2EI
7(10,11,12) 8(13,14,15)
l
2EI
l
4(1,2,3) 5(4,5,6) 6(7,8,9)
y
1(0,0,0) 2(0,0,0) 3(0,0,0)
4EI 2EI
l
l
2EI
3(0,0,0)
6EI l2 6EI l2
6EI l2
6EI l2
6EI l2
Z1 = 1
6EI l2
x
K 11
=
5×
12 EI l3
K27，K15，K55
20
Z7 = 1
7(2,0,6)
8(2,0,7)
4EI
4EI
l
l
4(1,0,3) 5(1,0,4) 6(1,0,5)
y
1(0,0,0) 2(0,0,0) 3(0,0,0)
+100
二．忽略轴向变形影响
5
由于不计轴向变形，各结点线位移不再全部独
立，因而只对其独立的结点线位移予以编号，凡 结点线位移分量相等者编号亦相同。
(1,0,2) (0,0,0)
各单元的定位向量为：
(1,0,3)
单元①
(0 0 0 1 0 2)T 单元②
(1 0 2 1 0 3 )T (0,0,0) 单元③
①
②
③
1 (0,0,0)
6 (0,0,0)
1
5 (0,0,0)
12i l2
14
k (1)
=
k (2)
=
k (3)
=
⎡12EI ⎢⎣ l3
⎤ ⎥⎦
K
=
⎡ 36EI ⎢⎣ l3
⎤ ⎥⎦
ΔΔ1 1= 1
结构刚度元素速算法
15
矩阵位移法的最终目的是要通过编制计算 程序，利用计算机进行数值计算，刚度方 程生成正确与否，直接影响结构分析的正 确性。利用基本概念快速计算出刚度矩阵 中的某些元素，将其与计算机计算结果进 行比较，以判别程序的可靠性；另外速算 法具有清晰的力学概念，有利于理解和应 用。
4 (10,11,12)
2 (4,5,0)
(7,8,0)
(4,5,6)
② 3 (7,8,9)
①y
③
M, θ
22
K 44
=
12EI l3
+
EA l
1 (1,2,3)
1
x 4 (10,11,12) K 45 = 0 + 0
EA
l
1
11
12EI
0
0
l3
用速算法求结构刚度矩阵
23
Δ
2
2
(1,0,2)
i①
(0 0 0 1 0 3 )T
结构刚度矩阵K 为3 阶方阵
例
6
图示结构，不考虑轴向变形，求结构刚度矩
阵 [K] 。
2 (1,0,2)
i①
3 (1,0,3)
6m ② i
1 (0,0,0) 6m
x
M, θ