2021年高中数学.4向量的应用.4.1向量在几何中的应用课后导练新人教B版必修
高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用课堂导学案 新人教B版
2.4.1 向量在几何中的应用课堂导学三点剖析一、向量在平面几何中的应用因为向量有两个特征——长度和方向.所以成为数学中一个典型的数与形的有机结合.如全等、相似、长度、夹角、平行、垂直等问题.在解决这些问题时可考虑应用向量的线性运算和数量积问题.通过对问题的深入分析，认识向量的工具性作用，培养创新精神和解决实际问题的能力.【例1】 如下图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN=31BD ，求证：M 、N 、C 三点共线.思路分析：共线问题，一般情况下可化成向量共线，再利用向量共线的条件证明. 证明：设AB =e 1，AD =e 2，∵BD =AD -AB =e 2-e 1，MB =21AB ， ∴MB =21e 1.∴MC =MB +BC =21e 1+e 2. 又BN =31BD ，∴BN =31（e 2-e 1）. ∴MN =MB +BN =21e 1+31（e 2-e 1） =61e 1+31e 2. ∴MC =3MN .∴M、N 、C 三点共线.各个击破 类题演练 1如图，已知G 为△ABC 的重心，P 为平面上任一点，求证：PG =31（PA +PB +PC ）.证明：设三条中线分别为AD 、BE 、CF.所以有GD =31AD .由向量的中线公式有GD =21（GB +GC ）， AD =21（AB +AC ）， 所以GB +GC =31（AB +AC ）.① 同理，GA +GB =31（CA +CB ），② GA +GC =31(BA +BC )，③ ①+②+③得2（GA +GB +GC ）=31(AB +BA +AC +CA +CB +BC )=0. 所以GA +GB +GC =0.所以3PG =PG +PG +PG =（PA +AG ）+（PB +BG ）+（PC +CG ）=（PA +PB +PC ）+（AG +BG +CG ）=PA +PB +PC .所以PG =31（PA +PB +PC ）. 变式提升 1如图，O 为△ABC 的外心，E 为三角形内一点，满足OE =OA +OB +OC .求证：AE ⊥BC .思路分析：要证AE ⊥BC ，即证AE ·BC =0，选取基底{OB ，OC }，将AE ，BC 表示出来即可.证明：∵BC =OC -OB ，AE =OE -OA =（OA +OB +OC ）-OA =OB +OC ， ∴AE ·BC =（OC -OB ）·（OC +OB ）=|OC |2-|OB |2.∵O 为外心，∴|OC |=|OB |，即AE ·BC =0. ∴AE ⊥BC .二、向量在解析几何中的应用一般地，对于直线方程Ax+By+C=0而言，向量a =（B ，-A ）为该直线的方向向量，向量n =（A ，B ）与直线垂直，又称n =（A ，B ）为直线的法向量，有了方向向量和法向量，我们就可以用向量来研究平面内两条直线的位置关系，即两直线平行、垂直、夹角等问题.【例2】 求过点A （-1，2）且平行于向量a =（3，2）的直线方程.思路分析：利用向量法来解决几何问题时，要将线段看成向量并用端点坐标来表示. 解法一：直线与a =（3，2）平行，∴直线斜率k=32. ∴直线方程为y-2=32(x+1),即2x-3y+8=0. 解法二：过点A 且平行于向量的直线是唯一确定的，把这条直线记为l ，在l 上任取一点P （x,y ），则AP ∥a .如果点P 不与点A 重合，由向量平行，它们的坐标满足的条件223)1(-=--y x ,整理，得方程为2x-3y+8=0.解法三：设P(x,y)为所求直线上任意一点，由题意知AP ∥a ， 而AP =（x+1,y-2）,a =(3,2),∴(x+1)·2-(y-2)·3=0,化简得2x-3y+8=0，即为所求直线的方程.类题演练 2在△ABC 中，已知A （-1，2），B （3，1），C （2，-3），求AC 边上的高所在的直线方程. 思路分析：在过A 点的直线上任取一点P ，由已知直线l 的方向坐标得法向量n 的坐标，利用AC ·n =0求出直线方程.解：与AC 边平行的向量为AC =（3，-5），设P （x,y ）是所求直线上任一点，BP =（x-3,y-1）,所以AC 边上的高所在直线方程为AC ·（x-3,y-1）=0,即3x-5y-4=0.变式提升 2设A （-1，0），B （1，0），点C 在直线2x-3=0上，且2CA ·CB =AC ·AB +BA ·BC ，求cos 〈CA ,CB 〉.思路分析：本题利用向量的数量积运算与解析几何的联系.解：设C （x 0,y 0），∵点C 在直线2x-3=0上，∴2x 0-3=0，∴C（23，y 0）. 则AC =（25，y 0）,AB =(2,0),BC =(-21,-y 0). ∴AC ·AB =5，CA ·CB =45+y 02,BA ·BC =-1， 又∵2CA ·CB =AC ·AB +BA ·BC ， ∴2（45+y 02）=5+(-1). ∴y 02=43.解得y 0=±23. ∴cos〈CA ,CB 〉=772.。
新人教b版高中数学必修四2.4.1《向量在几何中的应用》课件 最新
AE BD 即AE BD
D O
C E
x
证明:直径所对的圆周角是直角.
C
A O
B
已知：如图所示，AB为圆O的直径，C为 圆O上异于A、B任意一点 求证：ACB 90
o
用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”： （1）选取适当的基底，建立平面几何与向量的联 系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几 何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的度量和 关系，如线段的长度、平行、垂直、夹角等问题； （3）还原为几何结论。
要证AB DC
例2.求证：平行四边形的对角线互相平分。
已知：四边形ABCD是平行四边形，AC, BD交于M , 求证：M 是AC, BD的中点。
小结： ①选取基底设未知数；
D b
A
C
a
M B
②列向量方程（即同一向量两个分解式） ③由向量分解的唯一性解方程组。——方程思想
步骤： ①选取基底设未知数； ②列向量方程（即同一向量两个分解式） ③由向量分解的唯一性解方程组。 ——方程思想
1.如图，已知矩形ABCD的长与宽 证明：AE DB
证明：建系如图：
y
分别为 2和1, E是CD边上的中点，
步骤： ①建立坐标系； ②写出用到的点的坐标 及向量坐标； ③进行坐标运算； ④还原为几何问题。
B
AE BD 0
2 则A(0,1) E ( , 0) D(0, 0) B( 2,1) A 2 2 AE ( , 1) BD ( 2,1) 2
学习目标：
1.运用向量有关知识，解决平面几何中线段的平行、垂直、相等 等问题。 2.体会平面向量知识解决平面几何问题的两种方法——几何法 和坐标法。 3.体验向量在解决平面几何问题中的工具作用。
人教版B版高中数学必修4向量在几何中的应用
EF EP PF b 1 a
DP EF a ( 1)b b (1 )a
2
2
(1 )a ( 1)b 0
( a b 0, a b ) DP EF即DP EF .
基向量法
求证： DP⊥EF.
D
C
证明：设 AB a, AD b,
A, P,C三点共线,
PF
则设AP AC a b
A
EB
AE AB a, PF EB 1 a, EP AD b
DP AP AD a b b a 1 b
4.(13 年安徽文）若非零向量 a, b 满足 a 3 b a 2b ,
1
则 a,b 夹角的余弦值为____3___.
在几何中的向量方法
向量的概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的 运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为 我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便.
复习旧知:
（1）向量共线的条件:
a 与 b共线 a b R,b 0
a (x1, y1)b (x2, y2)a //b x1y2 x2 y1 0
（2）向量垂直的条件：
a b a b 0 a 0,b 0
a (x1, y1)b (x2, y2)a b x1x2 y1y2 0
练习2、证明直径所对的圆周角是直角
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
C
为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
量 AC CB ，即AC CB 0 。
新人教b版高中数学必修42.4.1《向量在几何中的应用向量在物理中的应用》课件 最新
(2)速度向量
一质点在运动中的每一个时刻都有一个速度向量，该 有向线段 速度向量可以用___________表示．
课堂互动讲练
考点突破 向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要表现在平面几何
命题的证明、相关计算和几何图形形状的判断
方面．
已知平行四边形 ABCD 中，E、F 是对角 1 线 AC 上的两点，且 AE＝FC＝ AC，试用向量 4 方法证明四边形 DEBF 也是平行四边形．
→ → 设AD与EB的夹角为 θ， → → AD· EB 则 cosθ＝ → → |AD|| EB| 26 13 10 ＝ ＝ . 50 2 10×5 13 10 故直线 AD 和 BE 所夹的锐角的余弦值为 . 50
【点评】 (1)利用向量法来解决解析几何问题， 首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则 进行运算． (2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③ 模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等． 变式训练 2 已知△ ABC的三个顶点 A(0，－ 4)， B(4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、 AB的中点． (1)求直线DE、EF、FD的方程； (2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．
2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物理中的应用
学习目标 课前自主学案
2.4.2
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标
1.会用向量法证明平面几何中的问题． 2．会用向量法解决解析几何中求直线方程、判 断直线位置关系的问题． 3．会用向量法解决某些简单的物理学中的问 题．
向量可以解决哪些常见的几何问题？
提示： (1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点
共线、三线共点等位置关系．
高中数学人教B版必修四学案： 向量在几何中的应用 向量在物理中的应用 Word版含答案
2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用学习目标：1.会用向量法计算或证明平面几何和解析几何中的相关问题．(重点)2.会用向量法解决某些简单的物理学中的问题．(难点)[自主预习·探新知]1．向量在几何中的应用(1)直线与向量平行的条件①直线的斜率与向量的关系：设直线l的倾斜角为α，斜率为k，A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，向量a＝(a1，a2)平行于l，可得k＝y－y1x－x1＝a2a1＝tan α.②平行条件：如果知道直线l的斜率k＝a2a1，则向量(a1，a2)一定与该直线平行．③法向量：如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线．这个向量称为这条直线的法向量．(2)特殊向量设直线l的一般方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与l平行．思考1：向量可以解决哪些常见的几何问题？[提示](1)解决直线平行、垂直、三点共线等位置关系问题．(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题．2．向量在物理中的应用(1)力向量力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算． (2)速度向量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示． 思考2：向量可以解决哪些物理问题？[提示] 解决物理中力、速度、加速度、位移等有关矢量的合成与分解问题，以及与力做功相关的问题．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若△ABC 是直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行．( )[解析] (1)错误．因为△ABC 为直角三角形，∠B 并不一定是直角，有可能是∠A 或∠C 为直角．(2)错误．向量AB →∥CD →时，直线AB ∥CD 或AB 与CD 重合． [答案] (1)× (2)×2．下列直线与a ＝(2,1)垂直的是( )【导学号：79402099】A ．2x ＋y ＋1＝0B ．x ＋2y ＋1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x －y ＋4＝0A [直线2x ＋y ＋1＝0与向量(2,1)垂直．]3．已知力F ＝(2,3)作用在一物体上，使物体从A (2,0)移动到B (－2,3)，则F 对物体所做的功为________焦耳．[解析] 由已知位移AB →＝(－4,3)，∴力F 做的功为W ＝F ·AB →＝2×(－4)＋3×3＝1. [答案] 1[合 作 探 究·攻 重 难]向量在平面几何中的应用如图2-4-1，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，DC 的中点，连接BE ，BF ，分别交AC 于R ，T 两点． 求证：AR ＝RT ＝TC .图2-4-1[思路探究] 由于R ，T 是对角线AC 上的两点，要证AR ＝RT ＝TC ，只要证AR, RT ，TC 都等于13AC 即可．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AR →＝r ，AT →＝t ，则AC →＝a ＋b . 由于AR →与AC →共线，所以可设r ＝n (a ＋b )． 因为EB →＝AB →－AE →＝a －12b ，ER →与EB →共线，所以可设ER →＝mEB →＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b . 因为AR →＝AE →＋ER →，所以r ＝12b ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ，所以n (a ＋b )＝12b ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ，即(n －m )a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋m －12b ＝0. 由于向量a ，b 不共线，要使上式成立，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝0，n ＋m －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝13.所以AR →＝13AC →. 同理TC →＝13AC →. 所以AR ＝RT ＝TC .1.如图2-4-2所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2→－AC 2→＝DB 2→－DC 2→，求证：AD ⊥BC .图2-4-2[证明] 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ， ∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由已知a 2－b 2＝c 2－d 2，∴c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，即e ·(c －d )＝0. ∵BC →＝BD →＋DC →＝d －c ，∴AD →·BC →＝e ·(d －c )＝0， ∴AD →⊥BC →，即AD ⊥BC .向量在解析几何中的应用过点A (－2,1)，求： (1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程．[思路探究] 在直线上任取一点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －1)，由AP →∥a 可以得(1)，由AP →⊥b 可以得(2)．[解] 设所求直线上任意一点P (x ，y )， ∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1)． (1)由题意知AP →∥a ，∴(x ＋2)×1－3(y －1)＝0，即x －3y ＋5＝0， ∴所求直线方程为x －3y ＋5＝0. (2)由题意，知AP →⊥b ，∴(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0，即x －2y ＋4＝0， ∴所求直线方程为x －2y ＋4＝0.2．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝2AP →，求点P 的轨迹方程．[解] 设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则RA →＝(1,0)－(x 0，y 0)＝(1－x 0，－y 0)， AP →＝(x ，y )－(1,0)＝(x －1，y )． 由RA →＝2AP →，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2(x －1)，－y 0＝2y ，又∵点R 在直线l ：y ＝2x －6上，∴y 0＝2x 0－6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －2，①6－2x 0＝2y ， ②由①得x 0＝3－2x ，代入②得6－2(3－2x )＝2y ，整理得y ＝2x ，即为点P 的轨迹方程．向量在物理中的应用[探究问题]1．向量的数量积与功有什么联系？[提示] 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．2．用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？[提示] 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i ，j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)． 求(1)F 1，F 2分别对该质点做的功； (2)F 1，F 2的合力F 对该质点做的功．[思路探究] 向量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问题转化为求向量的数量积的问题．[解] AB →＝(7－20)i ＋(0－15)j ＝－13i －15j . (1)F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB →＝(i ＋j )·(－13i －15j )＝－28 J. F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB → ＝(4i －5j )·(－13i －15j )＝23 J. (2)F ＝F 1＋F 2＝5i －4j ，所以F 做的功W ＝F ·s ＝F ·AB →＝(5i －4j )·(－13i －15j )＝－5 J.3．在静水中划船速度的大小是每分钟40 m ，水流速度的大小是每分钟20 m ，如果一小船从岸边O 处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？[解] 如图所示，设向量OA →的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量OB →的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，连接OC . 依题意OC ⊥OA ，BC ＝OA ＝20，OB ＝40， ∴∠BOC ＝30°.故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进．[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( )【导学号：79402100】A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2D [由于11－m＝－m 2，得m ＝－1或m ＝2.]2．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．形状无法确定C [∵(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，∴CA →2－CB →2＝0，CA →2＝CB →2，∴CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形．]3．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0A [设P (x ，y )是所求直线上任一点，则AP →⊥a ，又∵AP →＝(x －2，y －3)，∴2(x －2)＋(y －3)＝0，即2x ＋y －7＝0.]4．若AB →＝3e ，DC →＝5e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状为________． [解析] 由AB →＝3e ，DC →＝5e ，得AB →∥DC →， AB →≠DC →，又因为ABCD 为四边形， 所以AB ∥DC ，AB ≠DC . 又|AD →|＝|BC →|，得AD ＝BC ， 所以四边形ABCD 为等腰梯形． [答案] 等腰梯形5．一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1 000 km 到达B 地，然后向C 地飞行．设C 地恰好在A 地的南偏西60°方向上，并且A ，C 两地相距2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移．[解] 如图所示，设A 地在东西基线和南北基线的交点处，则A (0,0)，B (－1 000cos 30°，1 000sin 30°)＝(－5003，500)， C (－2 000cos 30°，－2 000sin 30°)＝(－1 0003，－1 000)， ∴BC →＝(－5003，－1 500)， ∴|BC →|＝(－5003)2＋(－1 500)2＝1 0003(km)．∴飞机从B 地到C 地的位移大小是1 000 3 km ，方向是南偏西30°.。
人教B版高中数学必修四《 2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用》_5
板书
平面几何中的向量方法
一、常见几何问题的向量化表示例1.
1.长度
2.线平行(点共线)
3.线垂直例2.
二、向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
难点
如何将平面几何等实际问题化归为向量问题.
教学
目标
1.归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的“三步曲”；
2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；
3.体会向量在处理平面几何问题中的优越性.
教学方法和工具
本节课教师主要采用问题引导、讲练结合的教学方法；
学生主要采用独立思考、自主探究、小组合作交流的学习方式；
工具：课堂学案和目标检测题目、计算机、投影仪、实物展台、几何画板软件等等
教学流程
教学情景设计
问题
设计意图
师生活动
1、我们之前研究了一段时间的向量，主要研究了向量的哪些内容呢？完成学案上的问题一.
为本节课的研究做好知识上的铺垫
学生回顾所学知识，
完成学案.
重点
掌握用向量方法解决实际问题的基本方法，即向量法解决几何问题的“三步曲”.
学情分析
学生已经掌握了向量的基本概念和四种运算，能够求解向量的模、表达两向量平行（或共线）、垂直或者两向量夹角等位置关系问题，为本节课系统地用向量研究几何问题奠定知识基础，但是如何建立起平面几何和向量间的联系，把平面几何问题转化为向量问题，学生实践得较少.
《平面几何中的向量方法》的教学设计
课题
1学时
ห้องสมุดไป่ตู้教材
知识模块
平面向量
课型
新授
教学内容分析
向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可以转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.本节的主要内容是利用向量方法解决简单的平面几何问题，主要包括几何问题转化为向量问题、向量运算、把运算结果“翻译”成几何关系三大步骤，体会向量在解决平面几何问题的强大作用.
高中数学2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用课后导练新人教B版必修4(2021学年)
高中数学２.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用课后导练新人教B 版必修4编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（高中数学 2.4 向量的应用２.4.1 向量在几何中的应用课后导练新人教B版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2。
4。
1 向量在几何中的应用课后导练基础达标1。
过点P′(１，2)且平行于向量a＝（3,4）的直线方程为( ）A。
3ｘ＋４y—１1=０ B.3x+4y+11=0C。
4x—3y＋2=0 D。
4x—3y—2=0解析：设P(x，y)是直线上一点,则PP'=(x—1,y-2），∵PP'∥a,∴４（ｘ—1)—3(ｙ—2）＝0,整理得4ｘ－３y＋2=０。
答案：C2.过点A(2,3)且垂直于向量a＝（２，１)的直线方程为( ）Ａ。
2x+y-7=0 B。
2x+y+7=0Ｃ.x—2y+4=0 D。
ｘ—2y—４＝０解析:设P(x,ｙ）是直线上一点，则AP=(x-2，y—3）,∵AP⊥ａ,∴AP·a＝0．∴2（x—2)+(y—３)=0。
整理得2x+ｙ-７=０.答案：A３。
已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P且PA+PB+PC＝AB，则点Ｐ与△ABC的位置关系是( ）A.Ｐ在△AＢC内部B。
P在△ABC外部Ｃ.P在ＡB边上或其延长线上D 。
Ｐ在ＡC 边上解析: ∵PA +PB +PC =AB ， ∴PA ＋PC =AB +BP =AP ， 即PC =２AP 。
∴A、Ｃ、P 三点共线,即P 在边AC 上。
高中数学2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用优化训练新人教B版必修4(2021学年)
高中数学2．4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用优化训练新人教B 版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学 2.4 向量的应用2.4．1 向量在几何中的应用优化训练新人教B版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.4.1 向量在几何中的应用５分钟训练（预习类训练，可用于课前）１。
在边长为1的等边△AＢC 中，若BC =ａ,CA =b ，AB =c ，则a ·b +b ·ｃ+c ·a 等于（ ） A 。
23 Ｂ。
23- C.3 Ｄ。
0解析：依题意,得a ·b +b ·ｃ＋c ·a ＝3｜a |2·cos１２0°＝-23。
答案:B2。
四边形ABCD 中,若AB =31CD ，则四边形ABCD 是( ） A 。
平行四边形 B.梯形 C.菱形 D.矩形 解析：由AB =31CD ⇒A Ｂ∥CD 且ＡＢ≠CＤ，故四边形为梯形,选Ｂ。
答案:B３．平面上不共线的三点A 、B 、C 使得AB +BC 所在的直线和AB —BC 所在的直线恰好互相垂直，则△ABC 必为_＿_＿_＿__＿＿___＿___三角形.解析：如图所示,作A ＢCD ，易知AB ＋BC =AC ,AB -BC ＝AB —AD ＝BD 。
依题意知ＢD 与A Ｃ互相垂直，故ＡBCD 为菱形,从而△ABC 为等腰三角形，∠B 为顶角。
答案：等腰4．通过点Ａ(３,2)且与直线l ：４x-3y+9=０平行的直线方程为__＿____＿_____＿__。
人教新课标版数学高一B版必修4学案 向量在几何中的应用
2．4.1 向量在几何中的应用1.经历用向量方法解决某些简单的几何问题及其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算、分析和解决实际问题的能力．1．向量可以解决哪些常见的几何问题？答 (1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等几何问题． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题． 2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？答 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．1．向量在平面几何中的应用(1)证明线段平行问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，常常利用向量的夹角公式 cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量模的公式|a |＝x 2＋y 2. 2．向量在解析几何中的应用设直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，A (x 1，y 1)∈l ，P (x ，y )∈l ，向量a ＝(a 1，a 2)平行于l ，由直线斜率和正切函数的定义，可得 k ＝y －y 1x －x 1＝a 2a 1＝tan α. 如果知道直线的斜率k ＝a 2a 1，则向量(a 1，a 2)一定与该直线平行．这时向量(a 1，a 2)称为这条直线的方向向量．如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线．这个向量称为这条直线的法向量．即直线y ＝kx ＋b 的方向向量为(1，k )，法向量为(k ，－1)；直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量为(B ，－A )，法向量为(A ，B )．要点一 平面几何中的垂直问题例1 如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE . 证明 方法一 设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0，又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →＝⎝⎛⎭⎫b ＋a 2·⎝⎛⎭⎫－a ＋b 2＝－12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .方法二 如图建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2)．因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .规律方法 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．跟踪演练1 如图，点O 是△ABC 的外心，E 为三角形内一点，满足OE →＝OA →＋OB →＋OC →，求证：AE →⊥BC →.证明 ∵O 为外心，∴|OC →|＝|OB →|. ∵BC →＝OC →－OB →，AE →＝OE →－OA →＝(OA →＋OB →＋OC →)－OA →＝OB →＋OC →，∴AE →·BC →＝(OB →＋OC →)·(OC →－OB →)＝|OC →|2－|OB →|2＝0，即AE →·BC →＝0. 故AE →⊥BC →.要点二 平面几何中的长度问题例2 如图所示，四边形ABCD 是正方形，BE ∥AC ，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于F .求证：AF ＝AE .证明 如图，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A (－1,1)，B (0,1)．若设E (x ，y )，则BE →＝(x ，y －1)，AC →＝(1，－1)． 又∵AC →∥BE →，∴x ·(－1)－1×(y －1)＝0， ∴x ＋y －1＝0.又∵|CE →|＝|AC →|，∴x 2＋y 2－2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32，y ＝1－32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－32，y ＝1＋32(舍)．即E ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32，1－32.又设F (x ′，1)，由CF →＝(x ′，1)和CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，1－32共线得：1－32x ′－1＋32＝0，得x ′＝－2－3，∴F (－2－3，1)，∴AF →＝(－1－3，0)， AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32，－1＋32， ∴|AE →|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－322＝1＋3＝|AF →|， ∴AF ＝AE .规律方法 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a |2＝a 2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.跟踪演练2 如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解 设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2，∴5－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝12，又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b＝6，∴|AC→|＝6，即AC＝6.1．若M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 答案 B解析 由(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0， 可知CB →·(AB →＋AC →)＝0，设BC 的中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →，故CB →·AD →＝0，所以CB →⊥AD →.又D 为BC 的中点，故△ABC 为等腰三角形．2．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值是( ) A ．－8 B ．－1 C ．1 D ．8 答案 D解析 取BC 的中点D ，连接AD 、OD ，则有OD ⊥BC ，AD →＝12(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →，AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC → ＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →) ＝12(AC →2－AB →2)＝12×(52－32)＝8，选D. 3．正方形OABC 的边长为1，点D 、E 分别为AB ，BC 的中点，试求cos ∠DOE 的值． 解以OA ，OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知： OD →＝⎝⎛⎭⎫1，12，OE →＝⎝⎛⎭⎫12，1， 故cos ∠DOE ＝OD →·OE→|OD →|·|OE →|＝1×12＋12×152×52＝45.即cos ∠DOE 的值为45.4．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 的中点，E 为△ACD 的重心，F 为△ABC 的外心，证明：EF ⊥CD . 证明建立如图所示的平面直角坐标系． 设A (0，b )，B (－a,0)，C (a,0)， 则D (－a 2，b 2)，CD →＝(－32a ，b 2)．易知△ABC 的外心F 在y 轴上，可设为(0，y )． 由|AF →|＝|CF →|，得(y －b )2＝(－a )2＋y 2， 所以y ＝b 2－a 22b ，即F (0，b 2－a 22b )．由重心坐标公式，得E (a 6，b2)，所以EF →＝(－a 6，－a 22b)．所以CD →·EF →＝(－32a )×(－a 6)＋b 2×(－a 22b )＝0，所以CD →⊥EF →，即EF ⊥CD .1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用． (1)y ＝kx ＋b 的方向向量为v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1)．(2)Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量为v ＝(B ，－A )，法向量为n ＝(A ，B )．一、基础达标1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( ) A ．2 5 B.52 5 C ．3 5 D.72 5答案 B解析 ∵BC 中点为D ⎝⎛⎭⎫32，6，AD →＝⎝⎛⎭⎫－52，5， ∴|AD →|＝525.2．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点 答案 D解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴(OA →－OC →)·OB →＝0. ∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为三条高的交点．3．已知点A (－2,0)，B (0,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2－y 2＝1 C ．y 2＝2x D ．y 2＝－2x 答案 D解析 P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(－x ，－y )， 则P A →·PB →＝(－2－x )(－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝－2x .4．已知平面向量a ，b ，c ，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ，b ，c 两两夹角相等，则|a ＋b ＋c |等于( ) A. 3 B ．6或2 C ．6 D ．6或3 答案 D5．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －4＝0 答案 A解析 设P (x ，y )为直线上一点，则AP →⊥a ，即(x －2)×2＋(y －3)×1＝0，即2x ＋y －7＝0. 6．过点(1,2)且与直线3x －y ＋1＝0垂直的直线的方程是____________． 答案 x ＋3y －7＝0解析 设P (x ，y )是所求直线上任一点，直线3x －y ＋1＝0的方向向量为(1,3)，由(x －1，y －2)·(1,3)＝0得x ＋3y －7＝0. 7.如图，已知点O 是平行四边形ABCD 的中点，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12. 求证：点E ，O ，F 在同一直线上． 证明 设AB →＝m ，AD →＝n ，由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点，∴FO →＝F A →＋AO →＝13BA →＋12AC →＝－13m ＋12(m ＋n )＝16m ＋12n ，OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD →＝12(m ＋n )－13m＝16m ＋12n . ∴FO →＝OE →.又O 为FO →和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上． 二、能力提升8．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰(非等边)三角形 D ．等边三角形 答案 D解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得角A 的平分线垂直于BC .∴AB ＝AC .而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →〉∈，∴∠BAC ＝60°.故△ABC 为等边三角形，选D.9．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4，2)，则四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10 答案 C解析 因为在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，AC →·BD →＝0，所以四边形ABCD 的对角线互相垂直，又|AC →|＝12＋22＝5，|BD →|＝(－4)2＋22＝25，该四边形的面积：12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5.10．已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6.若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，则m 的取值范围为________． 答案解析 由AP →＋AQ →＝0知A 是PQ 的中点，设P (x ，y )，则Q (2m －x ，－y )，由题意得－2≤x ≤0,2m－x ＝6，解得2≤m ≤3.11．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上任一点(不与A ，B 重合)，求证：∠APB ＝90°.(用向量方法证明) 证明 连接OP ， 设向量OA →＝a ，OP →＝b ，则OB →＝－a 且P A →＝OA →－OP →＝a －b ，PB →＝OB →－OP →＝－a －b ， ∴P A →·PB →＝b 2－a 2＝|b |2－|a |2＝0， ∴P A →⊥PB →， 即∠APB ＝90°.12．三角形ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，延长BE 交AC 于F ，连接DF .求证：∠ADB ＝∠FDC . 证明如图所示，建立直角坐标系，设A (2,0)，C (0,2)，则D (0,1)， 于是AD →＝(－2,1)， AC →＝(－2,2)，设F (x ，y )，由BF →⊥AD →，得BF →·AD →＝0，即(x ，y )·(－2,1)＝0，∴－2x ＋y ＝0.①又F 点在AC 上，则FC →∥AC →，而FC →＝(－x,2－y )，因此2×(－x )－(－2)×(2－y )＝0，即x ＋y ＝2.②由①、②式解得x ＝23，y ＝43， ∴F ⎝⎛⎭⎫23，43，DF →＝⎝⎛⎭⎫23，13，DC →＝(0,1)，DF →·DC →＝13， 又DF →·DC →＝|DF →||DC →|cos θ＝53cos θ， ∴cos θ＝55，即cos ∠FDC ＝55， 又cos ∠ADB ＝|BD →||AD →|＝15＝55， ∴cos ∠ADB ＝cos ∠FDC ，故∠ADB ＝∠FDC .三、探究与创新13．如图所示，正三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的一个三等分点，且分别靠近点A 、点B ，且AE 、CD 交于点P .求证：BP ⊥DC .证明 设P D →＝λC D →，并设△ABC 的边长为a ，则有P A →＝P D →＋D A →＝λC D →＋13B A →＝λ(23B A →－B C →)＋13B A → ＝13(2λ＋1)B A →－λBC →，又E A →＝B A →－13B C →.∵P A →∥E A →，∴13(2λ＋1)B A →－λBC →＝kBA →－13kBC →. 于是有：⎩⎨⎧ 13(2λ＋1)＝k ，λ＝13k .解得λ＝17. ∴P D →＝17C D →. ∴B P →＝B C →＋C P →＝BC →＋67CD →＝BC →＋67(BD →－BC →) ＝17B C →＋47B A →.C D →＝23B A →－BC →. 从而B P →·CD →＝(17B C →＋47B A →)·(23B A →－B C →) ＝821a 2－17a 2－1021a 2cos 60°＝0.∴BP →⊥CD →. ∴BP ⊥DC .。
高中数学2.4向量的应用2.4.2向量在物理中的应用课后导练新人教B版必修4(2021学年)
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
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2.4。
２ 向量在物理中的应用课后导练基础达标1。
设AM 是△ABC 的边BC 上的中线,若AB ＝a ,BC =b ，则AM 等于( ）A 。
a —21b Ｂ。
21b —a C.21a ＋b D 。
a +21b 解析:如图,∵BC =b ，Ｍ是BC 的中点, ∴BM =21b ,∴BM AB AM +==ａ+21ｂ。
∴应选Ｄ。
答案：D2.如右图,已知ＡＢC ＤEF 是一正六边形，O 是它的中心,其中OA =ａ,OB =b ,OC =c ，则EF 等于( ）A.a +bB.b -ａ C 。
c -b D 。
ｂ—c 解析：由图知EF =CB ，又CB ＝b —c , ∴EF =ｂ—ｃ。
∴应选Ｄ。
答案：D3．向量a 、b 共线的有( )①a ＝2ｅ,b ＝—2e ②a =e 1-e ２,b =—2e 1+2e ２ ③a ＝4e 1-52e 2,b =e １－101e ２ ④ａ=ｅ１＋e２,b =2e 1—2e 2A ．①②③B 。
②③④C 。
①③④ Ｄ。
①②③④ 解析：①ａ=—b ，∴ａ、b 共线。
∴①正确。
②ｂ=-2a ,∴ａ、b 共线.∴②正确． ③a =4（ｅ1-101e 2）＝4b , ∴a 、b 共线.∴③正确. ④a、ｂ向量显然不共线。
人教新课标版数学高一B版必修4学案 向量在几何中的应用
2.4.1向量在几何中的应用明目标、知重点 1.经历用向量方法解决某些简单的几何问题及其它一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.1.向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb ⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝x2＋y2.2.直线的方向向量和法向量(1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1).(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B).向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.探究点一直线的方向向量与两直线的夹角思考1直线y＝kx＋b的方向向量是如何定义的？如何求？答如果向量v与直线l共线，则称向量v为直线l的方向向量.对于任意一条直线l ：y ＝kx ＋b ，在它上面任取两点A (x 0，y 0)，B (x ，y )，则向量AB →＝(x －x 0，y －y 0)与直线l 共线，即AB →为直线l 的方向向量.由于(x －x 0，y －y 0)＝1x －x 0(1，y －y 0x －x 0)＝1x －x 0(1，k )，所以向量(x －x 0，y －y 0)与向量(1，k )共线，从而向量(1，k )是直线y ＝kx ＋b 的一个方向向量.思考2 直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量如何求？答 当B ≠0时，k ＝－AB ，所以向量(B ，－A )与(1，k )共线，所以向量(B ，－A )是直线Ax ＋By ＋C ＝0的一个方向向量；当B ＝0时，A ≠0，直线x ＝－CA 的一个方向向量为(0，－A )，即(B ，－A ).综上所述，直线Ax ＋By ＋C ＝0的一个方向向量为 v ＝(B ，－A ).例1 已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D 、E 、F 分别为边BC 、CA 、AB 的中点.(1)求直线DE 、EF 、FD 的方程； (2)求AB 边上的高线CH 所在直线方程.解 (1)由已知得点D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)，设M (x ，y )是直线DE 上任意一点， 则DM →∥DE →.DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2). ∴(－2)×(x ＋1)－(－2)(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程. 同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为 x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0.(2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点， 则CN →⊥AB →. ∴CN →·AB →＝0.又CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4). ∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程.反思与感悟 (1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算.(2)直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量为v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B ).这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系、求两条直线的夹角时非常有用.跟踪训练1 在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的平分线的方程. 解 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝⎝⎛⎭⎫35，45＋⎝⎛⎭⎫－45，35＝⎝⎛⎭⎫－15，75. ∵∠A 的平分线过点A .∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0.整理得：7x ＋y －29＝0.探究点二 直线的法向量与两直线的位置关系 思考1 如何定义直线Ax ＋By ＋C ＝0的法向量？答 如果向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量.因此若直线的方向向量为v ，则n ·v ＝0.从而对于直线Ax ＋By ＋C ＝0而言，其方向向量为v ＝(B ，－A )，则由于n ·v ＝0，于是可取n ＝(A ，B )，这时因为(B ，－A )·(A ，B )＝AB －AB ＝0.直线的法向量也有无数个. 思考2 如何利用直线法向量判断两直线的位置关系？答 对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的法向量分别为n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2).当n 1∥n 2时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合.即A 1B 2－A 2B 1＝0⇔l 1∥l 2或l 1与l 2重合； 当n 1⊥n 2时，l 1⊥l 2.即A 1A 2＋B 1B 2＝0⇔l 1⊥l 2. 探究点三 平面向量在几何中的应用用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线共点以及角度等问题时有独到之处，且解法思路清晰、简捷直观.其基本方法是： (1)要证明线段AB ＝CD ，可转化为证明|AB →|＝|CD →|.(2)要证明AB ∥CD ，只需证明存在一个不为零实数λ，使得AB →＝λCD →，且A 、B 、C 、D 不共线即可.(3)要证明A 、B 、C 三点共线，只需证明AB →∥AC →或AB →∥BC →.(4)要证明AB ⊥CD ，只需证明AB →·CD →＝0，或若AB →＝(x 1，y 1)，CD →＝(x 2，y 2)，则用坐标证明x 1x 2＋y 1y 2＝0即可. (5)常用|a |＝a ·a 和cos θ＝a ·b|a ||b |处理有关长度与角度的问题. 思考1 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？答 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.思考2 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型. 如右图，AC →＝AB →＋AD →，DB →＝AB →－AD →，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？答 平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍. 思考3 请用向量法给出上述结论的证明. 证明 在平行四边形ABCD 中， AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，∴AC →2＝(AB →＋AD →)2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →； BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AB →·AD →. ∴AC →2＋BD →2＝2AB →2＋2AD →2. 即|AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2).例2 平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？ 解 选{AB →，AD →}为基底. 设AR →＝mAC →，AT →＝nAC →.则BR →＝AR →－AB →＝mAC →－AB →＝m (AB →＋AD →)－AB → ＝(m －1)AB →＋mAD →， BE →＝AE →－AB →＝－AB →＋12AD →.∵BR →与BE →共线，∴(m －1)×12－(－1)×m ＝0，∴m ＝13.同理解得n ＝23.∴AR ＝RT ＝TC .反思与感悟 解答过程易出现无从下手的情况，导致此种情况的原因是不能灵活选定基底，无法集中条件建立几何元素与向量之间的联系.跟踪训练2 如图，已知PQ 过△OAB 的重心G ，设OA →＝a ，OB →＝b .若OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.证明 选{a ，b }为基底.延长OG 交AB 于M 点， ∵G 为△OAB 的重心， ∴M 为AB 的中点， ∴PG →＝OG →－OP →＝23OM →－OP →＝23×12(OA →＋OB →)－m a ＝13(a ＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b .同理QG →＝13a ＋⎝⎛⎭⎫13－n b . ∵PG →与QG →共线，∴⎝⎛⎭⎫13－m ×⎝⎛⎭⎫13－n －13×13＝0. 化简得m ＋n ＝3mn ，∴1m ＋1n＝3.1.已知A (1,2)，B (－2,1)，以AB 为直径的圆的方程是______________. 答案 x 2＋y 2＋x －3y ＝0解析 设P (x ，y )为圆上任一点，则 AP →＝(x －1，y －2)，BP →＝(x ＋2，y －1)， 由AP →·BP →＝(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y －1)＝0， 化简得x 2＋y 2＋x －3y ＝0.2.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________. 答案 2解析 ∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →).又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.则m ＋n ＝2.3.正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cos∠DOE的值.解 以OA ，OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：OD →＝⎝⎛⎭⎫1，12，OE →＝⎝⎛⎭⎫12，1， 故cos ∠DOE ＝OD →·OE→|OD →|·|OE →|＝1×12＋12×152×52＝45.即cos ∠DOE 的值为45.4.已知直线l 1：3x ＋y －2＝0与直线l 2：mx －y ＋1＝0的夹角为45°，求实数m 的值. 解 设直线l 1，l 2的法向量为n 1，n 2， 则n 1＝(3,1)，n 2＝(m ，－1). 由题意：cos 45°＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝|3m －1|10·1＋m 2＝22. 整理得：2m 2－3m －2＝0， 解得：m ＝2或m ＝－12.1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明.2.在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量.所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线.同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量.一条直线的法向量也有无数多个.熟知以下结论，在解题时可以直接应用.①y ＝kx ＋b 的方向向量v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1).②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B ).一、基础过关1.在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( ) A.2 5 B.525 C.3 5 D.725 答案 B解析 ∵BC 中点为D ⎝⎛⎭⎫32，6，AD →＝⎝⎛⎭⎫－52，5， ∴|AD →|＝525.2.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点 答案 D解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴(OA →－OC →)·OB →＝0. ∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为三条高的交点.3.已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是( ) A.30° B.45° C.135° D.150° 答案 B解析 设l 1、l 2的方向向量为v 1、v 2，则 v 1＝(4，－3)，v 2＝(1，－7)，∴|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝255×52＝22. ∴l 1与l 2的夹角为45°.4.若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形答案 B解析 ∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形.5.过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为( ) A.2x ＋y －7＝0 B.2x ＋y ＋7＝0 C.x －2y ＋4＝0 D.x －2y －4＝0 答案 A解析 设P (x ，y )为直线上一点，则AP →⊥a ，即(x －2)×2＋(y －3)×1＝0，即2x ＋y －7＝0. 6.过点(1,2)且与直线3x －y ＋1＝0垂直的直线的方程是____________. 答案 x ＋3y －7＝0解析 设P (x ，y )是所求直线上任一点， 直线3x －y ＋1＝0的方向向量为(1,3)， 由(x －1，y －2)·(1,3)＝0得x ＋3y －7＝0.7.如图所示，若ABCD 为平行四边形，EF ∥AB ，AE 与BF 相交于点N ，DE 与CF 相交于点M .求证：MN ∥AD . 证明 ∵EF ∥AB ， ∴△NEF ∽△NAB ，设AB →＝μEF →(μ≠1)，则AN EN＝μ，AE →＝(μ－1)EN →，同理，由EF →∥CD →，可得DE →＝(μ－1)EM →，∴AD →＝ED →－EA →＝AE →－DE →＝(μ－1)MN →，∵μ≠1，令λ＝μ－1，∴AD →＝λMN →，∴AD ∥MN .二、能力提升8.已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是( ) A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰(非等边)三角形D.等边三角形答案 D解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得角A 的平分线垂直于BC .∴AB ＝AC .而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12， 又〈AB →，AC →〉∈，∴∠BAC ＝60°.故△ABC 为正三角形，选D.9.在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B.2 5 C.5 D.10答案 C解析 因为AC →·BD →＝0，∴AC ⊥BD .∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝12×5×25＝5. 10.已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6.若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，则m 的取值范围为________.答案解析 由AP →＋AQ →＝0知A 是PQ 的中点，设P (x ，y )，则Q (2m －x ，－y )，由题意－2≤x ≤0,2m －x ＝6，解得2≤m ≤3.11.点O 是平行四边形ABCD 的中点，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12. 求证：点E ，O ，F 在同一直线上.证明 设AB →＝m ，AD →＝n ，由CE ED ＝AF FB ＝12， 知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点，∴FO →＝F A →＋AO →＝13BA →＋12AC →＝－13m ＋12(m ＋n )＝16m ＋12n ， OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD →＝12(m ＋n )－13m ＝16m ＋12n . ∴FO →＝OE →.又O 为FO →和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上.12.三角形ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，延长BE 交AC 于F ，连接DF .求证：∠ADB ＝∠FDC .证明 如图所示，建立直角坐标系，设A (2,0)，C (0,2)，则D (0,1)，于是AD →＝(－2,1)，AC →＝(－2,2)，设F (x ，y )，由BF →⊥AD →，得BF →·AD →＝0，即(x ，y )·(－2,1)＝0，∴－2x ＋y ＝0.①又F 点在AC 上，则FC →∥AC →，而FC →＝(－x,2－y )，因此2×(－x )－(－2)×(2－y )＝0，即x ＋y ＝2.②由①、②式解得x ＝23，y ＝43， ∴F ⎝⎛⎭⎫23，43，DF →＝⎝⎛⎭⎫23，13，DC →＝(0,1)，DF →·DC →＝13，又DF →·DC →＝|DF →||DC →|cos θ＝53cos θ，∴cos θ＝55，即cos ∠FDC ＝55，又cos ∠ADB ＝|BD →||AD →|＝15＝55，∴cos ∠ADB ＝cos ∠FDC ，故∠ADB ＝∠FDC .三、探究与拓展13.如图所示，正三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的一个三等分点，且分别靠近点A 、点B ，且AE 、CD 交于点P .求证：BP ⊥DC . 证明 设P D →＝λC D →，并设△ABC 的边长为a ，则有P A →＝P D →＋D A →＝λC D →＋13B A →＝λ(23B A →－B C →)＋13B A →＝13(2λ＋1)B A →－λB C →，又E A →＝B A →－13B C →.∵P A →∥E A →，∴13(2λ＋1)B A →－λBC →＝kBA →－13kBC →.于是有：⎩⎨⎧ 13(2λ＋1)＝k ，λ＝13k .解得，λ＝17.∴P D →＝17C D →.∴B P →＝B C →＋C P →＝17B C →＋47B A →，C D →＝23B A →－B C →.从而B P →·C D →＝(17B C →＋47B A →)·(23B A →－B C →)＝8 21a2－17a2－1021a2cos 60°＝0.∴BP→⊥CD→.∴BP⊥DC.。
人教版数学高一B版必修4学案向量在几何中的应用向量在物理中的应用
2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物理中的应用题．1．向量在平面几何中的应用(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等，求线段的长，转化为求向量的长度； (2)证明线段、直线平行，转化为证明向量共线；(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量的数量积为零； (4)平面几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于与长方形、正方形、直角三角形等平面几何图形有关的问题，通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，通过代数(坐标)运算解决平面几何问题．【自主测试1－1】在四边形ABCD 中，若AB →＝13CD →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形解析：由AB →＝13CD →⇒AB ∥CD ，且AB ≠CD ，故四边形ABCD 为梯形，故选B ．答案：B【自主测试1－2】在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是__________．解析：∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC＝8，∴4×4×cos ∠BAC＝8，∴∠BAC＝60°.又|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等边三角形． 答案：等边三角形2．向量在解析几何中的应用(1)设直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，A (x 1，y 1)∈l ，P (x ，y )∈l ，向量a ＝(m ，n )平行于l ，则k ＝y －y 1x －x 1＝n m ＝tan α；反之，若直线l 的斜率k ＝nm ，则向量(m ，n )一定与该直线平行．(2)向量(1，k )与直线l ：y ＝kx ＋b 平行．(3)与a ＝(m ，n )平行且过点P (x 0，y 0)的直线方程为n (x －x 0)－m (y －y 0)＝0.(4)过点P (x 0，y 0)，且与向量a ＝(m ，n )垂直的直线方程为m (x －x 0)＋n (y －y 0)＝0. 【自主测试2－1】已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2 答案：D【自主测试2－2】过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是__________． 答案：5x －3y －21＝0 3．向量在物理中的应用(1)力是具有大小、方向和作用点的向量，它与自由向量有所不同．大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．但是，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力．(2)速度是具有大小和方向的向量，因而可用三角形法则和平行四边形法则求两个速度的合速度．【自主测试3】已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，则F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．52N 答案：B1．用向量的方法证明直线平行、直线垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法剖析：(1)要证两线段AB ＝CD ，可转化为证明|AB →|＝|CD →|或AB →2＝CD →2；(2)要证两线段AB ∥CD ，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立；(3)要证两线段AB ⊥CD ，可转化为证明AB →·CD →＝0；(4)要证A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →，或若O 为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使OC →＝λOA →＋μOB →.2．对直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量的理解剖析：(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)为直线上不重合的两点，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)及与其共线的向量λP 1P 2→均为直线的方向向量．显然当x 1≠x 2时，向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，y 2－y 1x 2－x 1与P1P 2→共线，因此向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－A B ＝1B(B ，－A )为直线l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B ，－A )为直线l 的方向向量．(2)结合法向量的定义可知，向量(A ，B )与(B ，－A )垂直，从而向量(A ，B )为直线l 的法向量．3．教材中的“探索与研究”利用向量与向量平行、垂直的条件，再次研究两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行和垂直的条件，以及如何求出两条直线夹角θ的余弦．结论：l 1∥l 2(或重合)⇔A 1B 2－A 2B 1＝0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.剖析：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0的方向向量为n 1＝(－B 1，A 1)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方向向量为n 2＝(－B 2，A 2)．若l 1∥l 2，则n 1∥n 2，从而有－B 1A 2＝－A 1B 2，即A 1B 2－A 2B 1＝0. 若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝0，从而有B 1B 2＋A 1A 2＝0.所以直线l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0， 直线l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 由于n 1·n 2＝A 1A 2＋B 1B 2，|n 1|＝A 21＋B 21，|n 2|＝A 22＋B 22，所以cos 〈n 1，n 2〉＝A 1A 2＋B 1B 2A 21＋B 21A 22＋B 22.所以直线l 1与l 2夹角θ的余弦值为cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.题型一 向量在平面几何中的应用【例题1】已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P . 求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB ．分析：建系→确定点A ，B ，C ，E ，F ，P 的坐标→证BE →·CF →＝0及|AP →|＝|AB →|→还原为几何问题证明：建立如图所示平面直角坐标系，设AB ＝2，则有A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝(－1,2)，CF →＝(－2，－1)． ∵BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .(2)设点P 的坐标为(x ，y )， 则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2，同理，由BP →∥BE →得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85.∴点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85.则|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝2＝|AB →|，即AP ＝AB ．反思由于向量集数形于一身，用它来研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量法是研究几何问题的一个有效的工具，解题时一定注意用数形结合的思想．〖互动探究〗正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，求cos ∠DOE .解：建立平面直角坐标系如图，则向量OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，∴OD →·OE →＝12×1＋1×12＝1.又|OD →|＝|OE →|＝52，∴cos ∠DOE ＝OD →·OE →|OD →||OE →|＝152×52＝45.题型二 向量在解析几何中的应用【例题2】过点A (－2,1)，求：(1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程．分析：在直线上任取一点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －1)．根据AP →∥a 和AP →⊥b 解题即可．解：设所求直线上任意一点P 的坐标为(x ，y )．∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1)．(1)由题意，知AP →∥a ，则(x ＋2)×1－3(y －1)＝0， 即x －3y ＋5＝0.故所求直线方程为x －3y ＋5＝0.(2)由题意，知AP →⊥b ，则(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0， 即x －2y ＋4＝0，故所求直线方程为x －2y ＋4＝0.反思已知直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，则向量(A ，B )与直线l 垂直，即向量(A ，B )为直线l 的法向量；向量(－B ，A )与l 平行，故过点P (x 0，y 0)与直线l 平行的直线方程为A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0.【例题3】已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D ，E ，F 分别为边BC ，CA ，AB 的中点．(1)求直线DE ，EF ，FD 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在的直线方程．分析：(1)利用向量共线的坐标表示求解；(2)利用向量垂直的坐标表示求解． 解：(1)由已知，得点D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)．设M (x ，y )是直线DE 上任意一点，则DM ∥DE . 又DM ＝(x ＋1，y －1)，DE ＝(－2，－2)，所以(－2)×(x ＋1)－(－2)(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0. (2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上的任意一点，则CN ⊥AB . 所以CN ·AB ＝0.又CN ＝(x ＋6，y －2)，AB ＝(4,4)， 所以4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程．反思(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等，则对应坐标相等．题型三 向量在物理中的应用【例题4】一条河的两岸互相平行，河的宽度为d ＝500 m ，一艘船从A 处出发航行到河正对岸的B 处，船的航行速度为|ν1|＝10 km/h ，水流速度为|ν2|＝4 km/h.(1)试求ν1与ν2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min)； (2)要使船到达对岸所用时间最少，ν1与ν2的夹角应为多少？ 分析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直．原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与水流速度的合速度．解：(1)依题意，要使船垂直到达对岸，就要使ν1与ν2的合速度的方向正好垂直于对岸，所以|ν|＝ν21－ν22＝100－16≈9.2(km/h)，ν1与ν的夹角α满足sin α＝0.4，α≈24°，故ν1与ν2的夹角θ＝114°；船垂直到达对岸所用的时间t ＝d |ν|＝0.59.2≈0.054 3(h)≈3.3 min.(2)设ν1与ν2的夹角为θ(如下图)．ν1与ν2在竖直方向上的分速度的和为|ν1|·sin θ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d ＝0.5 km ，从而所用的时间t ＝0.510sin θ.显然，当θ＝90°时，t 最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为t ＝0.510＝0.05(h)．反思注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向．结合具体问题，在理解向量知识和应用两方面下功夫．将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象．题型四 易错辨析【例题5】在直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC →＝13OA →＋23OB →.(1)求证：A ，B ，C 三点共线；(2)已知A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝OA →·OC →－⎝⎛⎭⎪⎫2m 2＋23|AB→|的最小值为12，求实数m 的值．错解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，从而|AB →|＝|sin x |.故f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值，即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，解得m ＝±12.错因分析：错解中忽略了题目中x 的取值范围，造成正弦值的范围扩大．正解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )，∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，故|AB →|＝sin x ，从而f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin x ∈[0,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值，即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，化简得m 2＝14，解得m ＝±12.1．若向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量，则直线x ＋2y ＋3＝0的一个法向量为( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(2,1)D ．(2，－1)解析：可以确定已知直线l 的斜率k ＝－12，所以直线的方向向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12.由a ·n ＝0，可知应选A ．答案：A2．已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 答案：C3．过点A (2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程是( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －4＝0 答案：A 4．在重600 N 的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．3003N,3003NB ．150 N,150 NC ．3003N,300 ND ．300 N,3003N解析：如图，作矩形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，所以|OA |＝|OC |cos 30°＝3003N ， |AC |＝|OC |sin 30°＝300 N ，|OB |＝|AC |＝300 N. 答案：C5．通过点A (3,2)且与直线l ：4x －3y ＋9＝0平行的直线方程为__________． 答案：4x －3y －6＝06．已知两个粒子a ，b 从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a ＝(4,3)，v b ＝(3,4)，则v a 在v b 上的正射影为__________．解析：由题知v a 与v b 的夹角θ的余弦值为cos θ＝12＋125×5＝2425.所以v a 在v b 上的正射影为|v a |cos θ＝5×2425＝245.答案：2457．平面上不共线的三点A ，B ，C 使得AB ＋BC 所在的直线和AB －BC 所在的直线恰好互相垂直，则△ABC 必为__________三角形．解析：如图所示，作ABCD ，易知AB ＋BC ＝AC ，AB －BC ＝AB －AD ＝DB .依题意，知BD 与AC 互相垂直，故ABCD 为菱形，从而△ABC 为等腰三角形，且∠ABC 为顶角．答案：等腰8．如图所示，已知ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，求证：AC⊥BD．证明：证法一：∵AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，∴AC·BD＝(AB＋AD)·(AD－AB)＝|AD|2－|AB|2＝0.∴AC⊥BD.∴AC⊥BD．证法二：以BC所在的直线为x轴，点B为原点建立平面直角坐标系．设B(0,0)，A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|，得a2＋b2＝c2.∵AC＝BC－BA＝(c－a，－b)，BD＝BA＋BC＝(a＋c，b)，∴AC·BD＝c2－a2－b2＝0.∴AC⊥BD，∴AC⊥BD．。
人教B版高中数学必修四高一作业设计：2.4.1向量在几何中的应用.docx
§2．4 向量的应用2．4．1 向量在几何中的应用 课时目标 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．1．向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a ∥b (b ≠0)⇔____________⇔__________．(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔__________⇔__________．(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝_______________＝___________．(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a |＝________________．2．直线的方向向量和法向量(1)直线y ＝kx ＋b 的方向向量为(1，k )，法向量为(k ，－1)．(2)直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量为________，法向量为________．一、选择题1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( )A ．2 5B ．52 5C ．3 5D ．725 2．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点3．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC →＝λCE →，其中λ等于( )A ．2B ．12C ．－3D ．－136．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰(非等边)三角形D ．等边三角形二、填空题7．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________________________________________________________________________．8．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5．则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________．9．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状一定是______．10．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|＝2，则OC →＝__________________．三、解答题11．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求角A 的平分线的方程．12．P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：P A ＝EF 且P A ⊥EF ．能力提升13．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB→＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心)14．求证：△ABC 的三条高线交于一点．1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用．①y ＝kx ＋b 的方向向量v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1)．②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．§2.4 向量的应用2．4.1 向量在几何中的应用答案知识梳理1．(1)a ＝λb x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0(3)a·b |a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22(4)x 2＋y 2 2．(2)(B ，－A ) (A ，B )作业设计1．B [BC 中点为D ⎝⎛⎭⎫32，6，AD →＝⎝⎛⎭⎫－52，5，∴|AD →|＝525.] 2．D [∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴(OA →－OC →)·OB →＝0.∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 为三条高的交点．]3．B [设l 1、l 2的方向向量为v 1，v 2，则v 1＝(4，－3)，v 2＝(1，－7)，∴|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝255×52＝22. ∴l 1与l 2的夹角为45°.]4．B [∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|，|OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|，∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°.∴△ABC 是直角三角形．]5．C[如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33， ∴|BC ||CE |＝3，∴BC →＝－3CE →.] 6．D [由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得角A 的平分线垂直于BC .∴AB ＝AC . 而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12， 又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°.故△ABC 为正三角形，选D.]7．2解析 ∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∴MO →＝AO →－AM →＝(m 2－1)AM →＋n 2AN →. 又∵MN →＝AN →－AM →，MN →∥MO →，∴存在实数λ，使得MO →＝λMN →，即⎩⎨⎧ m 2－1＝－λ，n 2＝λ，化简得m ＋n ＝2.8．－25解析 △ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45， ∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝⎛⎭⎫－45＝－16， CA →·AB →＝5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝－9. ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.9．等腰三角形解析 ∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等腰三角形． 10.⎝⎛⎭⎫－105，3105 解析已知A (0,1)，B (－3,4)，设E (0,5)，D (－3,9)，∴四边形OBDE 为菱形．∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD .设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310，∴OC →＝2310OD →. ∴(x 1，y 1)＝2310×(－3,9)＝⎝⎛⎭⎫－105，3105， 即OC →＝⎝⎛⎭⎫－105，3105. 11．解 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)，A 的平分线的一个方向向量为：AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝⎝⎛⎭⎫35，45＋⎝⎛⎭⎫－45，35 ＝⎝⎛⎭⎫－15，75. ∵角A 的平分线过点A .∴所求直线方程为7x ＋y －29＝0.12．证明 以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，|DP →|＝λ， 则A (0,1)， P ⎝⎛⎭⎫2λ2，2λ2，E ⎝⎛⎭⎫1，22λ，F ⎝⎛⎭⎫22λ，0， 于是P A →＝⎝⎛⎭⎫－22λ，1－22λ， EF →＝⎝⎛⎭⎫22λ－1，－22λ. ∴|P A →|＝⎝⎛⎭⎫22λ－12＋⎝⎛⎭⎫－22λ2＝λ2－2λ＋1， 同理|EF →|＝λ2－2λ＋1，∴|P A →|＝|EF →|，∴P A ＝EF .∴P A →·EF →＝⎝⎛⎭⎫－22λ⎝⎛⎭⎫2λ2－1＋⎝⎛⎭⎫1－22λ⎝⎛⎭⎫－22λ ＝0，∴P A →⊥EF →.∴P A ⊥EF .13．C [如图，设D 为BC 边的中点，∵NA →＋NB →＋NC →＝0，∴NB →＋NC →＝－NA →.依向量加法的平行四边形法则，知|N A →|＝2|ND →|，故点N 为△ABC 的重心．∵P A →·PB →＝PB →·PC →，∴(P A →－PC →)·PB →＝CA →·PB →＝0.同理AB →·PC →＝0，BC →·P A →＝0，∴点P 为△ABC 的垂心．由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，知点O 为△ABC 的外心．]14．证明 如图所示，已知AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高．设BE ，CF 交于H 点，令AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ，则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ，BC →＝c －b .∵BH →⊥AC →，CH →⊥AB →，∴(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0，即(h －b )·c ＝(h －c )·b整理得h·(c －b )＝0，∴AH →·BC →＝0∴AH ⊥BC ，∴AH →与AD →共线．AD 、BE 、CF 相交于一点H .。
人教B版高中数学必修四《2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用》_1
一、教材分析：本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法与几何中的代数方法完全一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.二、教学目标与核心素养：．通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面．明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数通过学习体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概．让学生深刻体会向量的基底法和坐标法在处理平面几何问题中发展学1．数学抽象：平面几何图形中的有关性质,如长度、夹角、相似等可以由向量的线性运算及数量积表示． 2．逻辑推理：向量法解决平面几何问题的演绎与推理（“三步曲”）．3．数学运算：向量的线性运算和数量积表示．4．直观想象：建立几何图形与向量的联系． 5．数学建模：通过向量的相关知识将几何问题转化为向量解决，增强数学的应用意识．三、教学重难点：1.教学重点：用向量方法解决几何问题的基本方法，向量法解决几何问题的“三步曲”；2.教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.四、教学方法：问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程：（一）引入新课由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用．（二）讲授新课1.牛刀小试若正方形OABC 的边长为1，点D 、E 分别 为AB 、BC 的中点，则 cos DOE ∠=_____.2.方法总结（1）用向量的基底法解决平面几何问题的基本思路：（2）用向量的坐标法解决平面几何问题的基本思路：3.变式训练如图，在正方形ABCD 中，E F 、分别是AB BC 、的中点.求证:AF DE ⊥(利用向量证明).4.问题探究例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，,AC AB AD =+ ,BD AB AD =-你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？说明：为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系，教学中利用多媒体,作出上述图形并动画演示． 提出问题：①你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？ ②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用向量方法证明吗？试一试可用哪些方法？ ③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？教学活动：①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系．利用类比的思想方法，猜想平行四边形有没有相似关系．指导学生猜想出结论．②教师引导学生探究证明方法，并点拨学生对各种方法分析比较，让学生体会研究几何问题可以采取不同的方法，这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法．本节课重点讲解用向量的基底法和坐标法。
人教B版高中数学必修四《2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用》_2
2.4.1向量在平面几何中的应用教学设计一、教学分析1．向量是既有大小又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，因此向量是数形结合的桥梁。
本节课主要让学生感受向量在解决平面几何问题中的应用。
2．本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性。
平面几何中的向量方法是用向量和向量运算以及关系把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果。
这种方法的流程图可以简单地表述为：这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”，也是本节的重点。
3．研究平面几何可以采取不同的方法，这些方法主要包括：（1）综合方法——不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论；（2）解析方法——建立平面直角坐标系，以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；（3）向量方法——以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；有些平面几何问题，利用向量方法求解比较容易。
使用向量方法的要点在于用向量表示线段或点，根据点与线之间的关系，建立向量等式，再根据向量的线性相关与无关的性质，得出向量的系数应满足的方程组，求出方程组的解，从而解决问题。
使用向量方法时，要注意向量起点的选取，选取得当可使计算过程大大简化。
二、教学目标1．通过四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。
理解并掌握用向量方法解决平面几何问题的步骤．熟练掌握平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示。
2．通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义．教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段。
3.通过对三角形四个心的向量表示形式的探究让学生深刻感受向量作为工具在三角形中的应用。
人教版高中必修4(B版)2.4.1向量在几何中的应用教学设计
人教版高中必修4(B版)2.4.1向量在几何中的应用教学设计一、教学目标1.了解向量的几何意义和性质。
2.掌握向量的表示方法和运算法则。
3.学会利用向量的几何性质解决几何问题。
4.能够灵活运用向量在解决几何问题中的应用，体验向量的实用性。
二、教学重难点1.向量的几何解释和运算法则。
2.向量的应用题的解答方法。
三、教学内容和方法3.1 教学内容1.向量的概念和性质。
2.向量的加、减、数乘和点乘法则。
3.向量基本定理和应用。
4.向量在几何中的应用，例如向量连线、平移、共线、垂直等。
3.2 教学方法1.注重培养学生的实践动手能力，加强实验、探究和运用能力的训练。
2.引导学生进行数学思想和数学方法的运用，突出数学思想和数学方法的重要性。
3.培养学生形成低层次知识到高层次知识的转化能力，增强学生的思维能力和创新能力。
四、教学流程4.1 以向量的概念和性质为例1.引入向量的概念和性质，帮助学生了解向量的基本属性和几何性质，并通过例题进行解答，加深学生对向量概念的理解。
2.介绍向量的表示法和运算规律，利用实例演示向量的加减和数乘法则，让学生体验向量的性质。
4.2 以向量基本定理和应用为例1.通过向量基本定理的讲解，帮助学生掌握向量之间的关系，讲述向量基本定理的证明步骤，并通过例题进行解答，能够加深学生对向量基本定理的理解。
2.着重介绍向量在几何中的应用，例如向量连线、平移、共线、垂直等，并举例说明。
4.3 设计实践1.让学生分组，进行实践操作，亲身体验向量的加减、数乘、点乘等性质，让学生了解向量的实用性。
2.引导学生在实践操作中，灵活运用向量基本定理和应用，结合实例解决问题，培养学生的应用实践能力和创新能力。
五、教学反思1.在教学中，需要充分发挥学生的自主探究能力，让学生在实践和操作中进行探究，进一步加深对向量的理解和运用。
2.教学中需要注意引导学生进行思维方式的转变，从低层次的知识到高层次的应用中进行思考，提升学生的创新能力。
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2021年高中数学2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用课后导练新人
教B版必修
基础达标
1.过点P′（1，2）且平行于向量a=（3，4）的直线方程为（）
A.3x+4y-11=0
B.3x+4y+11=0
C.4x-3y+2=0
D.4x-3y-2=0
解析:设P（x,y)是直线上一点，则=(x-1,y-2),
∵∥a，∴4(x-1)-3(y-2)=0，
整理得4x-3y+2=0.
答案:C
2.过点A（2，3）且垂直于向量a=（2，1）的直线方程为（）
A.2x+y-7=0
B.2x+y+7=0
C.x-2y+4=0
D.x-2y-4=0
解析:设P（x,y)是直线上一点，则=（x-2,y-3)，∵⊥a,
∴·a=0.
∴2(x-2)+(y-3)=0.
整理得2x+y-7=0.
答案:A
3.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P且++=，则点P与△ABC的位置关系是（）
A.P在△ABC内部
B.P在△AB C外部
C.P在AB边上或其延长线上
D.P在AC边上
解析：
∵++=,
∴+=+=,
即=2.
∴A、C、P三点共线，即P在边AC上.
答案：D
4.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C）,则等于（）
A.λ(+）,λ∈(0,1)
B.λ(+）,λ∈(0,)
C.λ(-）,λ∈(0,1)
D.λ(-）,λ∈(0,)
解析：由向量运算法则=+及点P在对角线AC上，所以与同向，且||＜||.
故=λ（+），λ∈(0,1).
答案：A
5.已知A（1，2）、B（3，4）、C（5，0）,则sin∠BAC等于…（）
A. B. C. D.
解析:∵=(2,2),=(4,-2), 10
10208)
2(242=⨯-⨯+⨯=, ∴sin∠BAC=.
答案:A
6.ABCD 三个顶点坐标分别为A （-2，1）、B （-1，3）、C （3，4）,则顶点D 的坐标为（ ）
A.（2，1）
B.（2，2）
C.（1，2）
D.（2，3）
解析:设D （x,y ）,∵ABCD 为平行四边形，
∴=，即（1，2）=（3-x,4-y ）,
∴
∴D(2,2).
答案:B
7.在四边形ABCD 中，=，且·=0，则四边形ABCD 是（ ）
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
解析:由=可得四边形ABCD 为平行四边形，
又因为·=0，即⊥，所以∠B=90°.
所以四边形ABCD 为矩形.
答案:C
8.三角形ABC 三个顶点坐标为（4，1），（-1，6），（4，11），则△ABC 是（ ）
A.等腰三角形
B.既非等腰又非直角三角形
C.直角非等腰三角形
D.等腰直角三角形
解析:∵A（4，1），B （-1，6），C （4，11），
并且||=（-5，5），=（5，5），
∴·=-25+25=0，||=||.∴△ABC 为等腰直角三角形.
答案:D
综合运用
9.已知平面上三点A 、B 、C 满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·=_____.
解析：∵||2+||2=||2，
∴△ABC 为直角三角形.其中∠B=90°，
∴·+·+·=0+||||cos （π-∠C）+||||·cos（π-∠A）=-25.
答案：-25
10.设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（+-2）·（-）=0，则△ABC 的形状是_____. 解析：∵（+-2）·（-）=0，
∴（+）·（-）=0,
即||2-||2=0,||=||.
故△ABC 为等腰三角形.
答案：等腰三角形
11.如下图所示,已知ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两对角线，求证:AC⊥BD.
证法一：∵=+，=-，
∴·=（+）·（-）=||2-||2=0.
∴⊥.
证法二：以BC所在直线为x轴，B为原点建立坐标系.
设B（0，0），A（a,b),C(c,0),
则由||=||，得a2+b2=c2.
∵=-=（c-a,-b),
=+=(a+c,b),
∴·=c2-a2-b2=0.
∴⊥，即AC⊥BD.
拓展探究
12.如图，已知点L、M、N分别在△ABC的边BC、CA、AB上，且=l,=m,=n, 又++=0,求证:l=m=n.
证明：=+,=+,=+.
由已知=l,=m,=n,
∴++=(+)+(+)+(+)
=(++)+(l+m+n).
∵++=0,++=0,
∴l+m+n=0.
∴-l+m+n=0.
∴-l(-)+m+n=0.
∴(n-l)+(m-l)=0.
当n≠l时，=,∴A、B、C三点共线，与已知矛盾.
∴n=l,于是（m-l)=0.由≠0,知m=l,故l=m=n.。