专题11 空间几何体的三视图、表面积及体积(押题专练) 2018年高考文数二轮复习精品资料 Word版 含解析
高三数学《空间几何体的三视图》专题复习题含答案
高三数学空间几何体的三视图专题复习题含答案1．已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如图所示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是．A ．43πB ．2πC ．83πD ．103π2．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．13πB ．12πC ．2πD ．π3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．54 B ．60 C ．66 D ．724．已知体积为3的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为A ．31B ．32C ．1D ．34 俯视图侧视图正视图俯视图侧视图正视图21222俯视图左视图正视图32545．已知四棱锥P ABCD-的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD-的四个侧面中的最大面积为A．3B．C．6D．86．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A．2B．4C．2+D．57．已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为A．5B．52CD．38．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为．A．28 3B．3C．28D．22+222433侧视图俯视图正视图俯视图侧（左）视图正（主）视图11215212俯视图侧（左）视图正（主）视图222244229．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是π，则它的表面积是A．πB ．4π3C．3πD．4π10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为A．4πB．3πC．4πD．4 3π11．已知某几何体的外接球的半径为3，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为．A．16B．16 3C．8 3D．812．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．15B．20C．25D．303 3侧视图2俯视图正视图13．如图所示，网格纸上小正方体的边长是1，粗实数及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为．A．8πB．25 2πC．12πD．41 4π14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．BCD．315．某几何体的三视图，则该几何体体积是A．4B．4 3C．8 3D．2正视图俯视图俯视图侧（左）视图正（主）视图侧视图俯视图正视图16．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的是 A．B． C． D．17．若四面体的三视图如右图所示，则该四面体的外接球表面积为 ．18．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．19．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．正（主）视图俯视图侧视图俯视图正视图3侧视图俯视图正视图复习题详解1．已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如图所示，若图中圆的半径为1，则该几何体的体积是．A ．43πB ．2πC ．83πD ．103π解：由三视图可得该几何体是半径为1的半球，和底面半径为1， 高为2的圆锥的组合体，所以3314141122333V π=⨯π⨯+⨯π⨯⨯=．故选A ．2．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．13πB ．12πC ．2πD ．π解：分析知该几何体为圆柱的一半，故体积为()2122V =⨯π⨯1⨯=π．故选D ． 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．54 B ．60 C ．66 D ．72俯视图侧视图正视图侧视图正视图俯视图左视图正视图32542543解：该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面积是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积()()25525411343535602222S +⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+++⨯=．故选B ． 4．已知体积为3的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为A ．31B ．32C ．1D ．34解：由正三棱柱的三视图还原几何体，如图所示．据侧视图知，底面正三角形的高为3，则其边长为2，11123234ABC A B C ABC V S h h -=⋅=⨯⨯=△，1h =．故选C ．5．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中的最大面积为A ．3B ．25C ．6D ．8 解：由几何体的三视图，画出其立体图形P ABCD -，如图所示．由题可知，顶点P 在底面上的投影是边CD 的中点，底面是边长为4AB =，2BC =的矩形．PCD △的高为22325-=，所以侧面PCD △的面积为C 1B 1A 1CBA222433侧视图俯视图正视图D CBAP243322142⨯=． 两个侧面PAD △，PBC △的面积相等为12332⨯⨯=．侧面PAB △的面积为1462⨯=．所以四个侧面中的最大面积为6．故选C ．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A ．2B ．4C ．2+D ．5 解：据三棱锥的三视图，还原几何体P ABC -，且PA ⊥平面ABC ，底面ABC △为等腰三角形，12222ABC S =⨯⨯=△，1122PAB PAC S S ==⨯=△△，122PBC S =⨯=△2222PAB PAC ABC PBC S S S S +++=+++=+△△△△．7．已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为A．5B．52C．33D．3俯视图侧（左）视图正（主）视图11215212俯视图侧（左）视图正（主）视图2111P CB A解：由三视图可得该几何体是一个直三棱柱，如图所示． 解法一:3个侧面的面积为2(125)S =++侧，由余弦定理可以求得底面的钝角为34π，所以一个底面三角形的面积为13112sin 242S π=⨯⨯=底，所以总面积为2S 底+S 侧=122(125)322252⨯+++=++．故选D ．解法二:侧面积同解法一．由左视图中的1得棱锥的底面三角形的高为1,所以一个底面三角形的面积为111122S =⨯⨯=底,所以总面积为2S 底+S 侧=32225++．故选D ． 8．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为． A ．283B ．2823C ．28D ．2263+ 解：由题意,还原的几何体ABC DEF -如图所示,上底面ABC △是直角边长为2的等腰直角三角形,下底面DEF △是直角边长为4的等腰直角三角形,高2CF =．则几何体ABC DEF -的体积为11112844422232323⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=．故选A ． 9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是π，则它的表面积是 A ．π22224422FEDCBAB ．4π3C ．3πD ．4π 解：由三视图知，原几何体为球体挖去14的部分而形成的几何体，设球的半径为r ，334=43V r =⨯ππ，1r =，2234+=44S r r =⨯πππ．故选D ．10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为A ．4πB ．3πC ．4πD ．43π 解：由三视图可得几何体为如图所示的四棱锥，其中PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为3的正方形，4PA =，所以5PB PD ==，所以13462PAD PAB S S ==⨯⨯=△△，115=3522PCD PBC S S =⨯⨯=△△，239ABCD S ==，所以11491233P ABCD ABCD V PA S -=⋅⋅=⨯⨯=，1562+2+9=362P ABCD S -=⨯⨯．设内切圆半径为R ，则球心到棱锥各面的距离均为R ，所以13P ABCD P ABCD S R V --⋅=，所以1R =，所以内切球的表面积244S R =π=π．故选C ．11，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为． A ．16俯视图正视图PDABCB ．163C ．83D ．8 解：为了便于理解，在正方体中还原此几何体，如图所示． 设正方体棱长为a ，则323a =，得2a =， 三棱锥的体积1182224222323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=．故选C ．12．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 解：该几何体的直观图如图所示，1134345520232V ⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯=．故选B ．13．如图所示，网格纸上小正方体的边长是1，粗实数及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为． A ．8π B ．252π C ．12π D ．414π 解：由三视图可知，该多面体是四棱锥S ABCD -，如图所示，四棱锥所在正方体的棱长为2，SC BC ==()222223cos 52SCB ⨯-∠==⨯，则4sin 5SCB ∠=，所以SBC △的外接圆的半径152sin 4SB r SCB =⋅=∠，所以四棱锥的外接球的半径4R ==，故外接球的表面积24144S R π=π=．故选D ． 14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．BC．3 D．3解：体积为1(12)2×32+⨯=．故选B ．15．某几何体的三视图，则该几何体体积是 A ．4B ．43C ．83D ．2正视图俯视图122PC BA俯视图侧（左）视图正（主）视图解：借助长方体，在长方体中构建几何体．据三视图分析可得，还原后的几何体如图所示，三棱锥P ABC -．该几何体的体积1142323V =⨯⨯⨯=．故选B ．16．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的是 A．B． C．D． 解：由三视图还原几何体四棱锥D ABC -，如图所示，由主视图知CD ABC ⊥平面，设AC 的中点为E ，则BE AC ⊥，BE =2AE CE ==，由左视图得4CD =，BE =Rt BCE △中，4BC ===，同理4AB =，在Rt BCD△中，BD == 在Rt ACD△中，AD ===综上，四面体的六条棱中，长度最长的是A ．DCBA正（主）视图俯视图1侧视图俯视图正视图17．若四面体的三视图如右图所示，则该四面体的外接球表面积为 ． 解：由三视图得四面体的直观图，如图所示为三棱锥A BCD -，且该四面体的外接球即为图中的长方体的外接球，得()222222219R =++=，则249S R =π=π表．18．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．解：由几何体的三视图，在长为22的长方体中，还原其立体图形，如图中所示的AEF BCD -．故13V S h S h =-柱锥底底=11122212323⨯-⨯⨯=． 19．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．DCBA 122侧视图俯视图正视图32侧视图俯视图正视图解：如图所示,还原该几何体为四棱锥B ACED -,其中CE ⊥底面ABC ,AD ⊥底面ABC ,且四边形ACED 为矩形,ABC △为等腰三角形,AC AB ⊥,2EC DA BC ===,AC AB ==则=ABC DAB ECB EDB ACED S S S S S S ++++△△△△四边形=21111222232222+⨯⨯⨯+=+故填3+．EDCBA。
专题12 空间几何体的三视图﹑表面积及体积(仿真押题)-2018年高考数学(理)命题猜想与仿真押
1．一个侧面积为4π的圆柱，其正视图、俯视图是如图所示的两个边长相等的正方形，则与这个圆柱具有相同的正视图、俯视图的三棱柱的相应的侧视图可以为()【答案】C2．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()【解析】由于C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.【答案】C3.一个正方体截去两个角后所得几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图所示，则其俯视图为()【解析】由题意得正方体截去的两个角如图所示，故其俯视图应选C.【答案】C4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()【解析】左视图是从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是左下角与右上角的连线，故选C.【答案】C5．如图，用斜二测画法得到四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是________．【答案】8 26.如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是()A．24 B．12C．8 D．4【解析】由三视图可知，该几何体由两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为4，三棱柱的底面三角形为直角三角形，两直角边分别为2，32，所以三棱柱的底面积为12×2×32＝32，所以三棱柱的体积为32×4＝6.即该几何体的体积为2×6＝12，故选B. 【答案】B7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是( )A.12B.32C ．1 D. 3【答案】B8．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.2π3＋16B.4π3＋16C.2π6＋16D.2π3＋12【解析】据三视图可知，该几何体是一个半球(下部)与一个四面体(上部)的组合体，其直观图如图所示，其中BA ，BC ，BP 两两垂直，且BA ＝BC ＝BP ＝1，∴(半)球的直径长为AC ＝2，∴该几何体的体积为V＝V半球＋V P-ABC＝12×43π⎝⎛⎭⎫AC23＋13×12×BA·BC·PB＝2π6＋16.【答案】C9.某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的表面积为()A．92＋24πB．82＋24πC．92＋14πD．82＋14π表面积为S＝5×4＋2×4×4＋2×4×5＋2π×5＋π×22＝92＋14π.【答案】C10.四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为()A．12π B．24π C．36π D．48π【解析】将三视图还原为直观图如图，可得四棱锥P-ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球，且该正方体的棱长为a .设外接球的球心为O ，则O 也是正方体的中心，设EF 的中点为G ，连接OG ，OA ，AG .根据题意，直线EF 被球面所截得的线段长为22，即正方体的面对角线长也是22，可得AG ＝2＝22a ，所以正方体的棱长a ＝2，在Rt △OGA 中，OG ＝12a ＝1，AO ＝3，即四棱锥P -ABCD 的外接球半径R ＝3，从而得外接球表面积为4πR 2＝12π，故选A.【答案】A11．用6根木棒围成一个棱锥，已知其中有两根的长度为 3 cm 和 2 cm ，其余四根的长度均为1 cm ，则这样的三棱锥的体积为________cm 3.【答案】21212．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，则原图形OABC 的面积为________．【解析】由题意知原图形OABC 是平行四边形，且OA ＝BC ＝6，设平行四边形OABC 的高为OE ，则OE ×12×22＝O ′C ′，∵O ′C ′＝2，∴OE ＝42，∴S ▱OABC ＝6×42＝24 2. 【答案】24 213．如图所示，E ，F 分别是正方体的面ADD 1A 1，面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的正投影可能是________．(要求：把可能的图的序号都填上)【解析】由正投影的定义，四边形BFD 1E 在面AA 1D 1D 与面BB 1C 1C 上的正投影是图③；其在面ABB 1A 1与面DCC 1D 1上的正投影是图②；其在面ABCD 与面A 1B 1C 1D 1上的正投影也是②，故①④错误． 【答案】②③14．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．【答案】715．三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 【解析】如图，设点C 到平面P AB 的距离为h ，△P AB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E -ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14.【答案】1416．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．【解析】根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋12×22×π×4＝16＋8π.【答案】16＋8π17．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台的上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长．18．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积； (3)求出该几何体的体积．【解析】(1)正六棱锥．(3)V ＝13×6×34a 2×3a ＝32a 3.19.已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .【解析】由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如图所示．(1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为h 1＝42＋32＝5. 左、右侧面的底边上的高为h 2＝42＋42＝4 2. 故几何体的侧面面积为： S ＝2×(12×8×5＋12×6×42)＝40＋24 2.20.正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．(2)设正三棱锥P -ABC 的内切球球心为O ，连接OP ，OA ，OB ，OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r .∴V P -ABC ＝V O -P AB ＋V O -PBC ＋V O -P AC ＋V O -ABC ＝13S 侧·r ＋13S △ABC ·r ＝13S 表·r ＝(32＋23)r .又V P -ABC＝13×12×32×(26)2×1＝23， ∴(32＋23)r ＝23，得r ＝2332＋23＝23（32－23）18－12＝6－2.∴S 内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π. V 内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.。
2018届高考数学复习——立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积(解析版)
【知识归纳梳理】一、空间几何体的结构特征 1。
多面体的结构特征 （1)棱柱错误! （2）棱锥错误!（3)棱台 棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分。
2。
旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到.(2）圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边旋转得到。
(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。
（4）球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到。
[注意] (1)认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征时，易忽视定义，可借助于几何模型强化对空间几何体的结构特征的认识。
（2）台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截面与底面平行. 二、空间几何体的三视图与直观图 1.空间几何体的三视图（1）空间几何体的三视图包括正（主）视图、侧(左）视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线。
（2）三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等。
②画法规则：正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽； ③看不到的线画虚线。
［注意] 若相邻两物体的表面相交，则表面的交线是它们的分界线，在三视图中,要注意实、虚线的区别。
2.空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测_画法，基本步骤是：(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴、y 轴，两轴相交于点O ,画直观图时，把它们画成对应的x ′轴、y ′轴，两轴相交于点O ′,且使∠x ′O ′y ′＝ 45°（或135°) .（2)已知图形中平行于x 轴、y 轴的线段,在直观图中分别平行于x ′轴、y ′轴。
(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半。
(4)在已知图形中过O 点作z 轴垂直于xOy 平面,在直观图中对应的z ′轴也垂直于x ′O ′y ′平面，已知图形中平行于z 轴的线段，在直观图中仍平行于z ′轴且长度不变.[注意］ 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系： S 直观图＝错误!S 原图形,S 原图形＝2错误!S 直观图. 三、空间几何体的表面积和体积 1.空间几何体的表面积当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥，由此可得： S 圆柱侧＝2πrl 错误!S 圆台侧＝π（r ＋r ′）l 错误!S 圆锥侧＝πrl ［注意］ 组合体的表面积应注意重合部分的处理。
2018年高考数学二轮复习 专题11 空间几何体的三视图、表面积及体积押题专练 文
专题11 空间几何体的三视图、表面积及体积1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )【答案】D【解析】先观察俯视图，由俯视图可知选项B 和D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D 正确． 2．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3C ．22πD ．42π【解析】选B.旋转体是两个圆锥，其底面半径为直角三角形斜边的高2，高即斜边的长的一半2，故所得几何体的体积V ＝13π(2)2×2×2＝42π3.4．如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 上的一点，则三棱锥D 1B 1C 1E 的体积等于( )A.13 B.512C.36D.16【解析】选D.V D 1B 1C 1E ＝V E B 1C 1D 1＝13S △B 1C 1D 1·CC 1＝13×12×12×1＝16，故选D.5．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π6．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为37，则侧 (左)视图中线段的长度x 的值是( )3A.7 B ．27 C ．4D ．5【解析】选C.分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD ，故其体积V ＝13×32＋32×4×CP ＝37，所以CP ＝7，所以x ＝32＋72＝4.7．如图，正四棱锥P ABCD 的底面边长为6 cm ，侧棱长为5 cm ，则它的侧(左)视图的周长等于( )A ．17 cmB ．(119＋5)cmC ．16 cmD ．14 cm8．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．3109．如下图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为( )A ．6π B.23π＋ 3 C ．4π D ．2π＋ 3【答案】C【解析】此几何体为一个组合体，上为一个圆锥，下为一个半球拼接而成，表面积为S ＝4π2＋12×2×2π＝4π.10．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的棱的长是( )A ．2 5B ．2 6C ．27D ．4 2【解析】选C.由三视图可知该四面体的直观图如图所示，其中AC ＝2，PA ＝2，△ABC 中，边AC 上的高为23，所以BC ＝42＋32＝27，而P B ＝PA 2＋AB 2＝22＋42＝25，PC ＝PA 2＋AC 2＝22，因此在四面体的六条棱中，长度最长的棱是BC ，其长为27，选C.511．某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A ．17B ．22C ．14＋213D ．22＋21312．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A ．24πB ．6πC ．4πD ．2π【解析】选B.题中的几何体是三棱锥A BCD ，如图所示，其中底面△BCD 是等腰直角三角形，BC ＝CD ＝2，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AB ＝2，BD ＝2，AC ⊥CD .取AD 的中点M ，连接BM ，CM ，则有BM ＝CM ＝12AD＝1222＋22＝62.从而可知该几何体的外接球的半径是62.故该几何体的外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫622＝6π，应选B.13．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．【答案】7【解析】利用圆锥、圆柱的体积公式，列方程求解． 设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7.14．三棱锥P ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥 D ABE 的体积为V 1，P ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.【答案】1415．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．7【答案】16＋8π【解析】根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋12×22×π×4＝16＋8π.16．在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝AB ＝BC ＝2，且点O 为AC 中点．(1)证明：A 1O ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥C 1ABC 的体积．17．如图，四边形ABCD 为菱形，G 是AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积． (1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，。
高考数学(文科)-空间几何体的三视图、表面积与体积-专题练习 (含答案与解析)
高考数学（文科）专题练习空间几何体的三视图、表面积与体积一、选择题．B．．．2．如图，一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为A．．．．(2016·河南郑州一测如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（C．8 3及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱C．38D．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该B．54185+D．81某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于C．5 2如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是C．8π《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问：积及为米几何？”其意思为“在屋内墙角处堆放米尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有C．36斛如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯C．10 27均在球O的球面上，AB）的正三角形的三个顶点都在球的表面积为____________．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为高考数学（文科）专题练习空间几何体的三视图、表面积与体积答案一、选择题1~5．CDABB 6~10．CBBCC二、填空题11；12.40π；13.．14.13高考数学（文科）专题练习空间几何体的三视图、表面积与体积解析一、选择题1．解析：该几何体的侧视图即为其在面BCC1B1上的射影，又A点射影为点B，E点射影为线段CC1的中点，故选C．2．解析：由正视图和侧视图可知，这是一个横放的正三棱柱，一个侧面水平放置，则俯视图应为D．3．解析：四面体的直观图如图A-BCD，所以V=×(×1×2)×2=。
高考第二轮复习数学浙江文科专题升级训练11 空间几何体的三视图、表面积及体积专题升级训练卷(附答案).pdf
专题升级训练11 空间几何体的三视图、表面积及体积 (时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是( )． A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )． 3．在一个几何体的三视图中，正(主)视图和俯视图如图所示，则相应的侧(左)视图可以为( )． 4．(2012·北京丰台区三月模拟，5)若正四棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积是( )． A．4B．4＋4 C．8D．4＋4 5．(2012·浙江宁波十校联考，12)已知某几何体的三视图如图所示，其中侧(左)视图是等腰直角三角形，正视图是直角三角形，俯视图ABCD是直角梯形，则此几何体的体积为( )． A．1 B．2 C．3 D．4 6．(2012·山东济南三月模拟，8)若一个螺栓的底面是正六边形，它的正(主)视图和俯视图如图所示，则它的体积是( )． A．27＋12πB．9＋12π C．27＋3πD．54＋3π 7．(2012·浙江宁波模拟，13)已知一个正三棱锥的正(主)视图为等腰直角三角形，其尺寸如图所示，则其侧(左)视图的周长为( )． A．5＋ B．5＋6 C．6＋6 D．3＋12 8．长方体的三条棱长分别为1，，，则此长方体外接球的体积与面积之比为( )． A． B．1 C．2 D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 9．(2012·浙江宁波十校联考，15)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在半径为3的同一个球面上．若两圆锥的高的比为1∶2，则两圆锥的体积之和为__________． 10．(2012·江苏南京二模，11)一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x＝6 cm时，该容器的容积为__________cm3. 11．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为__________． 12．(2012·浙江湖州中学模拟，16)底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E是侧棱AA1的中点，F是正方形ABCD的中心，则直线EF被球O所截得的线段长为__________． 三、解答题(本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 13．(本小题满分10分)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)． (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 14．(本小题满分10分)斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB，AC都成45°角． (1)求这个三棱柱的侧面积； (2)求这个三棱柱的体积． 15．(本小题满分12分)(2012·安徽安庆二模，18)如图，几何体ABC－EFD是由直三棱柱截得的，EF∥AB，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝2，CD＝2AE＝. (1)求三棱锥D－BCE的体积； (2)求证：CE⊥DB． 16．(本小题满分12分)(2012·河北邯郸一模，19)已知四棱锥E－ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝，O为AB的中点． (1)求证：EO⊥平面ABCD； (2)求点D到平面AEC的距离． 一、选择题 1．D 解析：图①的三种视图均相同；图②的正(主)视图与侧(左)视图相同；图③的三种视图均不相同；图④的正(主)视图与侧(左)视图相同． 2．A 解析：由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2，故选A. 3．D 解析：由题目所给的几何体的正(主)视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体，如图所示： 可知侧(左)视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D. 4．B 5．D 解析：由三视图可得该几何体是四棱锥，记为棱锥PABCD，且PD⊥底面ABCD. 从而此几何体的体积为××2×2＝4. 6．C 解析：该螺栓是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的， V总＝V正六棱柱＋V圆柱＝×32×6×2＋π×12×3＝27＋3π. 7．A 解析：由正(主)视图可知正三棱锥的底边长为6，高为3，从而可得侧棱长为.而侧(左)视图是一个三角形，三条边分别是底面正三角形的高、侧棱和侧面等腰三角形底边上的高，其长度依次为3，和2，故侧(左)视图的周长为5＋. 8．D 二、填空题 9．16π 解析：设两圆锥的高分别为h,2h，圆锥的底面圆半径为r，则r2＝2h2. 又球的半径R＝＝3，则h＝2. 故两圆锥的体积之和为V＝πr2(2h＋h)＝πr2h＝2πh3＝16π. 10．48 11． 解析：将直三棱柱沿侧棱A1A剪开，得平面图形如图所示，A′C1为定长，当A，M，C1共线时AM＋MC1最短，此时AM＝，MC1＝2. 又在原图形中AC1＝，易知∠AMC1＝120°， ∴＝××2×sin 120°＝. 12． 解析：O，E，F三点在平面ACC1A1内，且矩形ACC1A1的外接圆是球的一个大圆． 又EF∥A1C，设A到直线A1C的距离为d，则＝，得d＝，故圆心O到直线EF的距离为. 又球的半径为，故直线EF被球O所截得的线段长为2＝. 三、解答题 13．解：(1)这个几何体的直观图如图所示． (2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体． 由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4(cm2)． 所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)． 14．解：(1)由题可知AA1⊥BC，S侧＝SBCC1B1＋2SABB1A1＝(1＋)ab. (2)设O为A1在平面ABC内的射影，则由题可知O在∠BAC的平分线上，可得AO＝(b·cos 45°)÷cos 30°＝b，则斜三棱柱的高A1O＝b，所以三棱柱的体积V＝·＝. 15．(1)解：BC2＝AC2－AB2＝3BC＝. 几何体ABC－EFD是由直三棱柱截得，由图可知DC⊥平面ABC， ∴DC⊥AB. 又∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.∴AB⊥平面BDC. 又EF∥AB，∴EF⊥平面BCD. 故VD－BCE＝VE－BCD＝S△BCD·EF＝××××1＝. CF. 依题意?EF⊥BD.① 又在Rt△BCF和Rt△CDB中， ＝＝，＝＝＝ Rt△BCF∽Rt△CDB?∠BDC＝∠BCF∠BDC＋∠DCF＝∠BCF＋∠DCF＝90°CF⊥BD.② 由①②BD⊥平面CEF. 又CE平面CEF，∴BD⊥CE. 16．(1)证明：连接CO. ∵AE＝EB＝，AB＝2，∴△AEB为等腰直角三角形． ∵O为AB的中点，∴EO⊥AB，EO＝1. 又∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴△ACB是等边三角形，∴CO＝. 又EC＝2，∴EC2＝EO2＋CO2，∴EO⊥CO. 又CO平面ABCD，EO平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD. (2)解：设点D到平面AEC的距离为h. ∵AE＝，AC＝EC＝2，∴S△AEC＝. ∵S△ADC＝，E到平面ACB的距离EO＝1，VD－AEC＝VE－ADC， ∴S△AEC·h＝S△ADC·EO，∴h＝， ∴点D到平面AEC的距离为.。
新高考数学二轮(文理)专题训练11：空间几何体的三视图、表面积与体积(含答案解析)
高考专题训练 ( 十一 )空间几何体的三视图、表面积与体积A级——基础稳固组一、选择题1．(2014 ·汉调研武 )一个几何体的三视图如下图，则该几何体的直观图能够是()分析 A 、 B、 C 与俯视图不符．答案D2．将长方体截去一个四棱锥，获得的几何体如下图，则该几何体的侧(左) 视图()分析抓住其一条对角线被遮住应为虚线，可知正确答案在C，D 中，又联合直观图知， D 正确．答案D3． (2014 ·徽卷安 )一个多面体的三视图如下图，则该多面体的表面积为()A ．21＋ 3B．18＋ 3C． 21D．18分析由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角所成的图形，如下图，则S＝ S 正方体－ 2S三棱锥侧＋2S1×1×1＋ 2×32三棱锥底＝ 24－ 2×3×4×( 2) ＝ 21＋ 3.2答案 A4．已知 S，A ，B ，C 是球 O 表面上的点， SA ⊥平面 ABCD ，AB ⊥ BC，SA ＝ AB ＝ 1，BC ＝2，则球 O 的表面积等于 ()A ．4πB ． 3πC． 2π D ．π分析如下图，由 AB ⊥BC 知， AC 为过 A ，B ， C， D 四点小圆直径，因此AD ⊥DC.又 SA⊥平面 ABCD ，设 SB1 C1D 1－ ABCD 为 SA， AB ， BC 为棱长结构的长方体，得体对角线长为12＋ 12＋22＝ 2R，因此 R＝ 1，球 O 的表面积2S＝4πR＝ 4π故.选 A.答案A5． (2014 ·湖南卷 )一块石材表示的几何体的三视图如下图．将该石材切削、打磨，加工成球，则能获得的最大球的半径等于()A ．1B ． 2C． 3 D ． 4分析由三视图可得原石材为如下图的直三棱柱 A 1B1C1－ ABC ，且 AB ＝ 8， BC ＝6， BB 1＝ 12.若要获得半径最大的球，则此球与平面 A 1B 1BA ，BCC 1B 1，ACC 1A 1相切，故此时球的半径与△ ABC 内切圆的半径相等，故半径r＝6＋8－10＝2.应选 B.2答案 B6．点 A ，B ，C，D 均在同一球面上，此中△ABC 是正三角形， AD ⊥平面 ABC ，AD ＝ 2AB ＝ 6，则该球的体积为 ()A ．32 3π B． 48π C．64 3π D． 16 3π分析如下图， O1为三角形ABC 的外心，过O 做 OE⊥AD ，∴OO1⊥面 ABC ，∴AO 1＝3AB ＝ 3.∵ OD＝OA ，3∴ E 为 DA 的中点．∵ AD ⊥面 ABC ，∴ AD ∥ OO1，∴ EO＝ AO 1＝ 3.∴DO＝DE 2＋ OE2＝ 2 3.∴R＝DO ＝ 2 3.∴V ＝43π (2 3) 3＝ 32 3π.答案A二、填空题7．某四棱锥的三视图如下图，该四棱锥的体积是________．分析由三视图可知，四棱锥的高为2，底面为直角梯形ABCD. 此中 DC ＝ 2， AB ＝3， BC＝3，因此四棱锥的体积为12＋ 3×3533×2×2＝3.答案5338．如图，在三棱柱 A 1 B1C1－ ABC 中， D ，E， F 分别是 AB ，AC ， AA 1的中点，设三棱锥 F－ ADE 的体积为 V 1，三棱柱 A 1 1 1－ ABC 的体积为 V 2，则 V 1V2＝ ________.B C分析设三棱柱 A 1B 1C1－ABC 的高为 h，底面三角形ABC 的面积为111 S，则 V1＝×S·342h＝1Sh＝1 V2，即 V1V2＝124.2424答案1249．在四周体 ABCD中， AB ＝ CD＝ 6， AC ＝ BD ＝ 4， AD ＝ BC ＝5，则四周体 ABCD的外接球的表面积为 ________．分析结构一个长方体，使得它的三条面对角线分别为4、 5、 6，设长方体的三条边222772分别为 x，y，z，则 x＋ y＋z＝2 ，而长方体的外接球就是四周体的外接球，因此 S＝ 4πR ＝ 772 π.答案77 2π三、解答题10．以下三个图中，左侧是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图．右侧两个是其正 (主 )视图和侧 (左 )视图．(1) 请在正 (主 )视图的下方，依据画三视图的要求画出该多面体的俯视图( 不要求表达作图过程 )．(2)求该多面体的体积 (尺寸如图 )．解 (1)作出俯视图如下图．(2)依题意，该多面体是由一个正方体 (ABCD － A 1B1C1D1)截去一个三棱锥 (E － A 1B 1D 1) 获得的，因此截去的三棱锥体积1112VE － A 1B1D 1＝3·S△A 1B1D1·A 1 E＝3×2×2×2×1＝3，正方体体积V 正方体 AC 1＝ 23＝ 8，222因此所求多面体的体积V＝8－＝.11.(2014 ·徽卷安 )如图，四棱柱 ABCD － A 1B1C1D 1中， A 1A ⊥底面 ABCD. 四边形 ABCD 为梯形， AD ∥ BC，且 AD ＝ 2BC. 过 A 1， C， D 三点的平面记为α， BB 1与α的交点为 Q.(1)证明： Q 为 BB 1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分红上下两部分的体积之比．解 (1)证明：因为 BQ ∥ AA 1，BC∥ AD ， BC∩BQ ＝ B， AD∩AA 1＝ A ，因此平面 QBC ∥平面 A 1 AD.进而平面 A 1CD 与这两个平面的交线互相平行，即QC∥ A1D.故△ QBC 与△ A1AD 的对应边互相平行，于是△QBC ∽△ A 1AD.BQ BQ BC1因此BB1＝AA 1＝AD＝2，即 Q 为 BB1的中点．(2) 如图，连结 QA ， QD.设 AA 1＝ h ，梯形 ABCD 的高为 d ，四棱柱被平面α所分红上下两部分的体积分别为V 上 和 V 下， BC ＝ a ，则 AD ＝ 2a.VQ －A 1AD ＝ 1 11ahd ，··2a ·h ·d ＝3 2 31 a ＋ 2a 1 1V Q －ABCD ＝ 3· 2 ·d ·2h ＝ 4ahd ，因此 V 下＝ VQ － A 1AD ＋ V Q －ABCD ＝7ahd ，12 3又 V 四棱柱 A 1B 1C 1D 1－ ABCD ＝ ahd ，23 7 11 V 上 11 因此 V 上 ＝ V 四棱柱 A 1B 1C 1D 1－ ABCD － V 下 ＝ ahd －12 ahd ＝ 12ahd.故 ＝ 7 .2V 下 B 级 —— 能力提升组1．(2014 ·京卷北 )在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(2,0,0) ，B(2,2,0) ，C(0,2,0) ，D(1,1 ，2)．若 S 1， S 2，S 3 分别是三棱锥 D － ABC 在 xOy ， yOz ， zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则 ( )A ．S 1＝S 2＝ S 3B ．S 2＝ S 1 且 S 2≠S 3＝S 且S ≠SD ．S 3 ＝S 且S ≠SC ．S 3 1 3 2 23 1分析 作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影，计算三角形的面积． 如下图， △ ABC1为三棱锥在座标平面xOy 上的正投影， 因此 S 1＝ 2×2×2＝ 2.三棱锥在座标平面 yOz 上的正投影与△ DEF(E ， F 分别为 OA ，BC 的中点 )全等，因此 1S 2＝ ×2× 2＝ 2.三棱锥在座标平面2 1 xOz 上的正投影与△ DGH(G ，H 分别为 AB ， OC 的中点 )全等，因此 S 3＝ ×2× 2＝ 2.因此2＝S 且S ≠SS 2313.应选 D.答案 D2．(2014 山·东卷 )三棱锥 P －ABC 中，D ，E 分别为 PB ，PC 的中点， 记三棱锥 D －ABEV 1的体积为 V 1， P －ABC 的体积为 V 2，则 V 2 ＝ ________.分析 1 1 V P －ABE ，因此 因为 V P －ABE ＝V C －ABE ，因此 V P －ABE ＝ V P －ABC ，又因 V D － ABE ＝2 21 V 1 1V D－ABE ＝ V P －ABC ，∴＝ .4V 24答案143. (理 )(2014 课·标全国卷Ⅱ )如图，四棱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA ⊥平面 ABCD ，E 为 PD 的中点(1) 证明： PB ∥平面 AEC ；(2) 设二面角 D － AE － C 为 60°，AP ＝1， AD ＝ 3，求三棱锥 E － ACD 的体积．解 (1)连结 BD 交 AC 于点 O ，连结 EO.因为 ABCD 为矩形，因此 O 为 BD 的中点．又 E 为 PD 的中点，因此 EO ∥ PB.EO? 平面 AEC ， PB?平面 AEC ，因此 PB ∥平面 AEC.(2) 因为 PA ⊥平面 ABCD ， ABCD 为矩形，因此AB ，AD ， AP两两垂直．→→如图，以 A 为坐标原点， AB 的方向为 x 轴的正方向， |PA|为单位长，成立空间直角坐标系 A － xyz.3 1→3 1则 D(0，3， 0)，E 0， 2 ， 2，AE ＝ 0， 2 ， 2 .设 B(m,0,0)(m>0) ，则 C(m ，→3， 0)，3， 0)，AC ＝ (m ， 设 n 1＝ (x ， y ， z)为平面 ACE 的法向量，→ ＝ 0，mx ＋ 3y ＝ 0，n 1·AC则即31→＝0， 2 y ＋ 2z ＝0，n 1·AE 可取 n 1＝3，－1， 3 .m又 n 2＝ (1,0,0) 为平面 DAE 的法向量，由题设 |cos 〈 n ，n 〉|＝ 1，即3＝ 1，1223＋4m 22解得 m ＝ 3.因为 E 为 PD 的中点，因此三棱锥E － ACD 的高为 1 .三棱锥 E －ACD 的体221 13 1 ＝ 3积 V ＝ ×× 3×× 8.3 2 2 23． (文 )如图，在 Rt △ ABC 中， AB ＝ BC ＝ 4，点 E 在线段 AB 上．过点 E 作 EF ∥ BC 交AC 于点 F ，将△ AEF 沿 EF 折起到△ PEF 的地点 (点 A 与 P 重合 )，使得∠ PEB ＝ 30°.新高考数学二轮(文理)专题训练11：空间几何体的三视图、表面积与体积(含答案分析)(1)求证： EF⊥ PB；(2)试问：当点 E 在哪处时，四棱锥 P－ EFCB 的侧面 PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P－ EFCB 的体积．解 (1)证明：∵ AB ＝ BC ，∴ BC ⊥ AB ，又∵ EF∥ BC ，∴ EF⊥ AB ，即 EF⊥ BE ， EF⊥ PE.又 BE∩PE＝ E，∴ EF⊥平面 PBE，∴ EF⊥ PB.(2) 设 BE ＝x， PE＝ y，则 x＋ y＝4.111x＋ y 2＝ 1.∴ S△PEB＝BE·PE·sin∠ PEB＝xy ≤2442当且仅当x＝ y＝2 时， S△PEB的面积最大．此时， BE＝PE＝ 2.由 (1) 知 EF⊥平面 PBE，∴平面 PBE⊥平面 EFCB ，在平面 PBE 中，作 PO⊥ BE 于 O，则 PO⊥平面 EFCB.即 PO 为四棱锥 P－ EFCB 的高．1又 PO＝ PE·sin30 °＝ 2×＝ 1.2S＝112(2 ＋ 4) ×2＝6. ∴ V＝3×6×1＝ 2.梯形 EFCB P－BCFE。
(通用版)18年高考数学二轮复习专题三立体几何第一讲小题考法——空间几何体的三视图、表面积与体积及位
[答案]
(1)B
(2)B
(3)B
[方法技巧]
1．求解几何体的表面积与体积的技巧 (1)求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转化原 则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上． (2)求不规则几何体的体积：常用分割或补形的方法，将 不规则几何体转化为规则几何体求解． (3)求表面积：其关键思想是空间问题平面化． 2．根据几何体的三视图求其表面积或体积的步骤 (1)根据给出的三视图还原该几何体的直观图． (2)由三视图中的大小标识确定该几何体的各个度量． (3)套用相应的面积公式或体积公式计算求解．
∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.
答案：36π
4．(2018届高三· 浙江名校联考)某简单几 何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积为________，其外接球的表面 积为________．
解析：由三视图得该几何体是一个底面为对角线为4的正方 1 形，高为3的直四棱柱，则其体积为4×4× ×3＝24.又直四 2 棱柱的外接球的半径R＝
2
法二：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的 圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等 价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V＝ π×32×7＝63π. 1 (3)该几何体是一个直三棱柱截去 所得，如图所示，其 4 3 1 体积为 × ×3×4×2＝9. 4 2
A．3 2
B． 2 3
C．2 2 D．2 解析：在正方体中还原该四棱锥如图所示，
从图中易得最长的棱为 AC1＝ AC2＋CC2 1＝ 22＋22＋22＝2 3.
答案：B
3．(2017· 福州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，实 线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三 角形的个数是 ( )
空间几何体的三视图、表面积及体积高考真题与解析
空间几何体的三视图、表面积及体积A级基础一、选择题1．(2019·华师附中检测)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽(cōnɡ)，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺．问它的体积是多少？”(注：1丈＝10尺，取π＝3)()A．704立方尺B．2 112立方尺C．2 115立方尺D．2 118立方尺2．(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．43．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A ．8＋3πB ．8＋4πC ．8＋5πD ．8＋6π4．中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为( )A ．18 6B ．18 3C ．18 2D.27225．我国古代数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”(“幂”是截面积，“势”是几何体的高)，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )A ．12－πB ．8－πC ．12－π2D ．12－2π6．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4C.π2D.π4二、填空题7．(2019·江苏卷)如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥EBCD 的体积是________．8．(2018·浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)为________．9．(2017·北京卷改编)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________．10．(2019·惠州调研)已知一张矩形白纸ABCD，AB＝10，AD＝102，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将△ABE，△CDF沿BE，DF折起，使A，C重合于点P，则三棱锥PDEF的外接球的表面积为________．B级能力提升11．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC 体积的最大值为()A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．54 312．我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面．可以证明S圆＝S环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________．13．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥PABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则R＝________，内切球的体积V＝________．14．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB ＝BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．A 级 基础一、选择题1．解析：设圆柱体底面半径为r ，高为h ，周长为C . 因为C ＝2πr ，所以r ＝C2π，因此V ＝πr 2h ＝π·C 24π2·h ＝C 2h 4π＝482×1112＝2 112(立方尺)．答案：B2．解析：由三视图得到空间几何体，如图所示，则PA ⊥平面ABCD ，平面ABCD 为直角梯形，PA ＝AB ＝AD ＝2，BC ＝1，所以PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，PA ⊥BC .又BC ⊥AB ，AB ∩PA ＝A ，所以BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥PB .在△PCD 中，PD ＝22，PC ＝3，CD ＝5，所以△PCD 为锐角三角形．所以侧面中的直角三角形为△PAB ，△PAD ，△PBC ，共3个．答案：C3．解析：由题图可知，几何体为半圆柱挖去半球体，几何体的表面积为2×π2×4＋π＋2×4－π＋4π2＝8＋6π.答案：D4．解析：在俯视图Rt △ABC 中，作AH ⊥BC 交于点H . 由三视图的意义，则BH ＝6， HC ＝3，根据射影定理，AH 2＝BH ·HC ，所以AH ＝3 2.易知该“堑堵”的侧视图是矩形，长为6，宽为AH ＝32，故侧视图的面积S ＝6×32＝18 2.答案：C5．解析：依题意，不规则几何体的体积等同于一长方体去掉半圆柱(底面半径为1，高为2)后的体积．所以V ＝3×2×2－12π×12×2＝12－π.答案：A6．解析：设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1， 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知， r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形． 所以r ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.所以圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4.故选B. 答案：B 二、填空题7．解析：设长方体中BC ＝a ，CD ＝b ，CC 1＝c ，则abc ＝120，所以V E-BCD ＝13×12ab ×12c ＝112abc ＝10.答案：108．解析：由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V ＝12×(1＋2)×2×2＝6.答案：69．解析：根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P-ABCD )如图所示，将该四棱锥放入棱长为2的正方体中．由图可知该四棱锥的最长棱为PD，PD＝22＋22＋22＝2 3.答案：2 310．解析：三棱锥P-DEF中，PD2＋PF2＝CD2＋CF2＝DF2，所以∠DPF＝90°，且DF2＝102＋(52)2＝150.又∠DEF＝90°，所以DF的中点为三棱锥P-DEF的外接球的球心，则2R＝DF，故球的表面积S＝4πR2＝150π.答案：150πB级能力提升11．解析：由等边△ABC的面积为93可得34AB2＝93，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝33AB＝2 3.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝R2－r2＝16－12＝2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6＝18 3.故选B. 答案：B12．解析：因为S圆＝S环总成立，则半椭球体的体积为πb2a－1 3πb2a＝23πb2a.所以椭球体的体积V＝43πb2a.因为椭球体半短轴长为1，半长轴长为3即b＝1，a＝3.故椭球体的体积V＝43πb2a＝4π.答案：4π13．解析：在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且底面为矩形，将该“阳马”补成长方体，则(2R)2＝AB2＋AD2＋AP2＝16＋16＋9＝41.因此R＝41 2.依题意Rt△PAB≌Rt△PAD，则内切球O在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆，且该内切圆与△PAB的内切圆全等．故内切球的半径r＝12(3＋4－5)＝1，则V＝43πr3＝43π.答案：41243π14．解析：如图，连接OA，OB.由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，所以OA⊥平面SCB.设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，所以三棱锥S-ABC的体积V＝13×⎝⎛⎭⎪⎫12SC·OB·OA＝r33，即r33＝9，所以r＝3，所以S球表＝4πr2＝36π.答案：36π。
2018届高考数学二轮表面积与体积专题卷(全国通用)
1．在体积为43的三棱锥S －ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，SA ＝SC ，且平面SAC ⊥平面ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是( )A.82π3B.9π2C.27π2D ．12π2．如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是( )A ．(8＋25)πB ．(9＋25)πC ．(10＋25)πD ．(8＋23)π3．(2016·山西四校联考)如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A ．5＋ 3B ．5＋2 3C ．4＋2 2D ．4＋2 34．(2016·唐山模拟)若正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A ．64π B ．32π C ．16πD ．8π5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π6.如图，已知正三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是( )A.74π B ．2π C.94π D ．3π7．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A．72 cm3B．98 cm3C．108 cm3D．138 cm38．如图，在棱长为1的正四面体S－ABC中，O是四面体的中心，平面PQR∥平面ABC，设SP＝x(0≤x≤1)，三棱锥O－PQR的体积为V＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象大致为( )二、填空题9．如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE 的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.10．(2016·九江模拟)已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上，且AB＝3，BC ＝3，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，则棱锥E－ABCD的体积为________．11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则三棱锥A－B1D1D的体积为________ cm3.12．已知球O的直径PQ＝4，A，B，C是球O球面上的三点，△ABC是等边三角形，且∠APQ＝∠BPQ ＝∠CPQ ＝30°，则三棱锥P －ABC 的体积为________． 答案精析1．B [如图，设球心为O ，半径为R ，取AC 中点为M ，连接SM ，依据图形的对称性，点O 必在SM 上，由题设可知13×12×2×2×SM ＝43，解得SM ＝2，连接OC ，则在Rt △OMC 中，R2＝(2－R )2＋2，解得R ＝32，则V ＝4π3×(32)3＝9π2，故应选B.]2．A [从三视图所提供的图形信息和数据信息可知该几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体．圆柱的底面面积为π，侧面积为2π×1×2＝4π，圆锥的底面积为4π，由于其母线长为5，因此其侧面面积为12×2π×2×5＝25π，故该几何体的表面积S ＝25π＋4π＋4π－π＋π＝(25＋8)π，故选A.]3.A [该几何体的直观图如图．表面积S ＝1×1＋12×1×1×2＋2×12×(1＋2)×1＋12×6×2＝5＋3，所以选A.]4．A [如图，作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，PM ＝6，连接AM ，AO ，则OP ＝OA ＝R (R 为外接球半径)，在Rt △OAM 中，OM ＝6－R ，OA ＝R ，又AB ＝6，且△ABC 为等边三角形，故AM ＝2362－32＝23，则R 2－(6－R )2＝(23)2，解得R ＝4，则球的表面积S ＝4πR2＝64π.]5．A [由三视图可知，该组合体下半部分是一个半圆柱，上半部分是一个长方体，故体积V ＝2×2×4＋12×π×22×4＝16＋8π.]6．C [所作的截面与OE 垂直时，截面圆的面积最小，设正三角形ABC 的高为3a ， 则4a 2＋1＝4，即a ＝32， 此时OE 2＝12＋34＝74.截面圆半径r 2＝22－74＝94，故截面面积为9π4.]7．B [该几何体的体积V ＝V 长方体－V 三棱柱＝6×6×3－13×12×3×4×5＝98 (cm 3)．]8．A [设O 点到底面PQR 的距离为h ，即三棱锥O －PQR 的高为h ，设底面PQR 的面积为S ，∴三棱锥O －PQR 的体积为V ＝f (x )＝13Sh ，点P 从S 到A 的过程中，底面积S 一直在增大，高h 先减小再增大，当底面经过点O 时，高为0，∴体积先增大，后减小，再增大，故选A.] 9．1∶24解析 设三棱锥F －ADE 的高为h ，则V 1V 2＝13h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD ·AE ·sin∠DAE (2h )12(2AD )(2AE )sin ∠DAE＝124.10．2 3解析 如图所示，BE 过球心O ，∴DE ＝42－[32＋(3)2]＝2， ∴V E －ABCD ＝13×3×3×2＝2 3.11．3解析 1111113A B D D B AD D AD D V V S --∆==×B 1A 1＝13×12×AD ×D 1D ×B 1A 1＝13×12×3×2×3＝3. 12.934解析 如图，设球心为M ，△ABC 截面所截小圆的圆心为O .∵△ABC 是等边三角形，∠APQ ＝∠BPQ ＝∠CPQ ＝30°， ∴P 在平面ABC 上的投影是△ABC 的中心O . 设AB 的中点为H ，∵PQ 是直径，∴∠PCQ ＝90°， ∴PC ＝4cos 30°＝23，∴PO ＝23cos 30°＝3，OC ＝23sin 30°＝ 3. ∵O 是△ABC 的中心，∴OC ＝23CH ，∴△ABC 的高CH ＝332，AC ＝332sin 60°＝3，∴V 三棱锥P －ABC ＝13PO ·S △ABC ＝13×3×12×332×3＝934.。
2018大二轮高考总复习文数文档：自检10 空间几何体的
自检10：空间几何体的三视图、表面积和体积A组高考真题集中训练空间几何体的三视图1．(2014·全国卷Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱解析：由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B．答案：B2．(2013·全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()解析：作出空间直角坐标系，在坐标系中标出各点的位置，然后进行投影，分析其正视图形状．易知选A．答案：A空间几何体的表面积与体积1．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π解析：方法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B ．方法二 (估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．故选B ． 答案：B2．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．π2＋1B ．π2＋3C ．3π2＋1D ．3π2＋3解析：由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，∴该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.故选A ．答案：A3．(2017·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．60B ．30C ．20D ．10解析：由三视图画出如图所示的三棱锥P －ACD ，过点P 作PB ⊥平面ACD 于点B ，连接BA ，BD ，BC ，根据三视图可知底面ABCD 是矩形，AD ＝5，CD ＝3，PB ＝4，所以V 三棱锥P －ACD＝13×12×3×5×4＝10.故选D ．答案：D4．(2016·全国甲卷)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h .由图得r ＝2，c ＝2πr ＝4π，h ＝4，由勾股定理得：l ＝22＋(23)2＝4，S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.答案：C5．(2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π解析：由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A ．答案：A6．(2016·全国丙卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．18＋365B ．54＋18 5C ．90D ．81解析：由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋1 8 5.故选B ．答案：B7．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析：如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O －ABC ＝V C －AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O －ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O －ABC 最大，为13×12R 2×R＝36，∴R ＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π.故选C ． 答案：C8．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12·⎝⎛⎭⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．故选B ． 答案：B9．(2014·全国卷Ⅱ)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )A ．3B ．32C ．1D ．32解析：由题意可知AD ⊥BC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面DB 1C 1，又AD ＝2sin 60°＝3，所以VA －B 1DC 1＝13AD ·S △B 1DC 1＝13×3×12×2×3＝1，故选C ．答案：C10．(2017·山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.答案：2＋π2B 组 高考对接限时训练(十)(时间：35分钟 满分70分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．1．(2017·大连调研)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中点P 是棱CD 上一点，则三棱锥P －A 1B 1A 的侧视图是( )解析：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，从左侧看三棱锥P －A 1B 1A ，B 1，A 1，A 的射影分别是C 1，D 1，D ；AB 1的射影为C 1D ，且为实线，P A 1的射影为PD 1，且为虚线．故选D ．答案：D2．(2017·汕头一模)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d解析：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选A．答案：A3．(2017·晋中一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A．16B．20C．52D．60解析：由题意，几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如图，体积为12×3×4×2＋13×12×3×4×4＝20；故选B．答案：B4．(2016·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A ．16B ．13C ．12D ．1解析：通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥P －ABC ，通过侧视图得高h ＝1，底面积S ＝12×1×1＝12，所以体积V ＝13Sh ＝13×12×1＝16.答案：A5．(2017·兰州一模)某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．(9＋5)πB ．(9＋25)πC ．(10＋5)πD ．(10＋25)π解析：由三视图得到几何体为圆柱挖去一个圆锥，圆柱的底面直径为2，高为4，圆锥的底面直径为2，高为2，所以几何体的表面积为π×12＋π×2×4＋12×π×2×22＋12＝(9＋5)π；故选A ．答案：A6．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A ．1B ． 2C ．3D ．2解析：根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V －ABCD ，其中VB ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 是边长为1的正方形，VB ＝1.所以四棱锥中最长棱为VD .连接BD ，易知BD ＝2，在Rt △VBD 中，VD ＝VB 2＋BD 2＝ 3.答案：C7．(2017·永州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为( )A ．1B ．52C ．6D ．2 3解析：由题意得，该几何体的直观图为三棱锥A －BCD ，如图，其最大面的表面是边长为22的等边三角形，故其面积为34×(22)2＝2 3.答案：D8．(2017·河南六市二模)一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是( )A ．πB ．3πC ．4πD ．6π解析：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为 3.∴此四面体的外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫322＝3π.故选B ． 答案：B9．(2017·临沂一模)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝3，E 、F 分别为AB 边、CD 边上一点，且AE ＝DF ＝1，现将矩形ABCD 沿EF 折起，使得平面ADFE ⊥平面BCFE ，连接AB 、CD ，则所得三棱柱ABE －DCF 的侧面积比原矩形ABCD 的面积大约多(取5≈2.236)( )A ．68%B ．70%C ．72%D ．75%解析：将矩形ABCD 沿EF 折起，使得平面ADFE ⊥平面BCFE ，可得三棱柱ABE －DCF (如图)，侧面积增加的部分为ABCD ，∵EB ⊥BC ，△ABE 是直角三角形，∴AB ⊥BC .同理可证ABCD 是矩形．∵在矩形ABCD 中，AE ＝DF ＝1.AB ＝3，AD ＝5， ∴BE ＝2，∴可得三棱柱中AB ＝5，故得侧面积增加的部分为S ＝5×5＝5. 侧面积比原矩形ABCD 的面积大约多出535＝53＝2.2363＝75%，故选D ．答案：D10．(2017·晋中一模)四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且P A ＝PB ＝PC ＝PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )A ．6B ．5C ．92D ．94解析：由题意，四棱锥P －ABCD 是正四棱锥，球的球心O 在四棱锥的高PH 上；过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图所示，其中PE ，PF 是斜高，G 为球面与侧面的切点，设PH ＝h ，由几何体可知，Rt △PGO ∽Rt △PHF ，∴OG FH ＝PO PF ，即13＝h －1h 2＋32，解得h ＝94.故选D ．答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．11．(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.解析：由三视图还原几何体如图所示，下面长方体的长、宽都是4，高为2；上面正方体的棱长为2.所以该几何体的表面积为(4×4＋2×4＋2×4)×2＋2×2×4＝80(cm 2)；体积为4×4×2＋23＝40(cm 3)．答案：80 4012.(2017·焦作二模)《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”(古制1丈＝10尺，1斛＝1.62立方尺，圆周率π＝3)，则该圆柱形容器能放米________斛．解析：设圆柱的底面半径为r ，则2πr ＝54，r ＝9，故米堆的体积为π×92×18＝4374立方尺，∵1斛米的体积约为1.62立方尺，∴4374÷1.62≈2700斛，故答案为2700.答案：270013．(2017·九江十校二模)某四棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为________．解析：由已知可得四棱锥是以正视图为底面的，其外接球相当于一个长，宽，高分别为：2,1,1的长方体的外接球，其外接球半径R ＝12＋22＋122＝62，故它的外接球的表面积S ＝4πR 2＝6π.答案：6π14．(2017·广元二诊)如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，将△ADE 、△EBF 、△FCD 分别沿DE 、EF 、FD 折起，使得A 、B 、C 三点重合于点A ′，若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为________．解析：由题意可知△A ′EF 是等腰直角三角形，且A ′D ⊥平面A ′EF .三棱锥的底面A ′EF 扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：12＋12＋22＝ 6.∴球的半径为62. 答案：62。
[推荐学习]新课标2018届高考数学二轮复习专题能力训练11空间几何体的三视图表面积与体积理
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专题能力训练11 空间几何体的三视图、表面积与体积(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.若一棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是正六棱锥D.圆锥的顶点与其底面圆周上的任意一点的连线都是母线2.(2017浙江台州实验中学模拟)某几何体的三视图如图所示,则它的体积为()A.8-B.8-C.8-2π D3.一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的侧视图可能为()4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90πB.63πC.42πD.36π5.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A B C D6.一只小球放入一长方体容器内,且与共点的三个面相接触.若小球上一点P到这三个面的距离分别为4,5,5,则这只小球的半径是()A.3或8B.8或11C.5或8D.3或117.一正三棱锥的高和底面边长都等于6,则其外接球的表面积为()A.64πB.32πC.16πD.8π8.某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()A.4B.2C D.8二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.(2017浙江舟山模拟)已知正三角形ABC的边长为a,则△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为.10.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是cm3,则正视图中x的值是cm,该几何体的表面积是cm2.11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为,表面积为.12.所谓正三棱锥,指的是底面为正三角形,顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥,在正三棱锥S-ABC中,M是SC的中点,且AM⊥SB,底面边长AB=2,则正三棱锥S-ABC的体积为,其外接球的表面积为.13.下面是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是.14.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,AC=,AA1=3,M为线段BB1上的一动点,则当AM+MC1最小时,△AMC1的面积为.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上.过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得∠PEB=30°.(1)求证:EF⊥PB;(2)试问:当点E在何处时,四棱锥P-EFCB的侧面PEB的面积最大?并求此时四棱锥P-EFCB 的体积.16.(本小题满分15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.参考答案专题能力训练11空间几何体的三视图、表面积与体积1.D解析 A.如图(1)所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥,故A错误;B.如图(2)(3)所示,若△ABC不是直角三角形,或是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥,故B错误;C.若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由过中心和定点的截面知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长,故C错误;D.根据圆锥母线的定义知本选项正确.故选D.2.A解析由题意可知,该几何体为正方体内挖去一个圆锥,正方体的棱长为2,圆锥的底面半径为1,高为2,则正方体的体积为V1=23=8,圆锥的体积为V2=·π·12·2=.故该几何体的体积为V=8-.3.D解析由题图可知,该几何体为如图所示的三棱锥,其中平面ACD⊥平面BCD.4.B解析由题意,可知该几何体由两部分组成,这两部分分别是高为6的圆柱截去一半后的图形和高为4的圆柱,且这两个圆柱的底面圆半径都为3,故其体积为V=×π×32×6+π×32×4=63π.故选B.5.B解析由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥去掉一半圆锥的组合体,其体积V=×2×2×2-π×1=.6.D解析设小球球心为O,半径为r,点P所在的与底面平行的截面圆心为O1,O1O=d,则d=r-4,O1,O到与底面垂直的棱的距离为r,故点P到棱的距离为r+,且有化简得r2-14r+33=0,解得r=3或r=11.故选D.7.A解析作PM⊥平面ABC于点M,则球心O在PM上,PM=6,连接AM,AO,则OP=OA=R.在Rt△OAM中,OM=6-R,OA=R,又AB=6,且△ABC为等边三角形,故AM==2,则R2-(6-R)2=(2)2,解得R=4,所以球的表面积S=4πR2=64π.8.D解析由题中所给的三视图可知,该几何体如图所示,其底面为正方形,正方形的边长为2,HD=3,BF=1,将两个这样的几何体放在一起,可以构成一个高为4的长方体,所以该几何体的体积为×2×2×4=8.9. 解析作出正三角形ABC的实际图形和直观图如图①②,由图②可知,A'B'=AB=a,O'C'=OC=a,在图②中作C'D'⊥A'B'于点D',则C'D'=O'C'=a,所以S△A'B'C'=A'B'·C'D'=×a×a=a2.10.2解析由三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的四棱锥,其直观图如右图所示,由棱锥的体积公式得×(1+2)×x=,解得x=2,侧面ADS,CDS,ABS为直角三角形,侧面BCS是以BC为底的等腰三角形,所以该几何体的表面积为S=[(1+2)×+2×2+×2+1×+2×]=.11.4032+16解析由题中三视图可知该几何体是放倒的三棱柱去掉两个三棱锥后的组合体,底面是边长为4,8的矩形,两个侧面都是等腰梯形,上、下底边长为8,4;两侧面是全等的等腰三角形,底边长为4,三角形的高为.等腰梯形的高为.几何体的体积为×4×3×4+2××2×4×3=40,几何体的表面积为4×8+2××4×+2××(4+8)×=32+16.12. 12π解析如图,由正三棱锥性质可知,SB⊥AC,又SB⊥AM,故SB⊥平面SAC.∴∠BSA=∠BSC=∠CSA=90°.由AB=2,可知SA=SB=SC=2.∴V S-ABC=V B-SAC=·S△SAC·SB=·22·2=,可以把三棱锥补成一个棱长为2的正方体,故其外接球的直径为2r=2,表面积为S=4πr2=12π.13.3解析由三视图作出几何体的直观图(如图所示),计算可知AF最长,且AF==3.14. 解析将直三棱柱沿侧棱A1A剪开,得平面图形如图所示,A'C1为定长,当A,M,C1共线时AM+MC1最短,此时AM=,MC1=2.又在原图形中AC1=,易知∠AMC1=120°,故×2×sin 120°=.15.(1)证明∵EF∥BC,且BC⊥AB,∴EF⊥AB,即EF⊥BE,BF⊥PE.又BE∩PE=E,∴EF⊥平面PBE.又PB⊂平面PBE,∴EF⊥PB.(2)解设BE=x,PE=y,则x+y=4.∴S△PEB=BE·PE·sin∠PEB=xy≤=1,当且仅当x=y=2时,S△PEB的面积最大.此时,BE=PE=2.由(1)知EF⊥平面PBE,∴平面PBE⊥平面EFCB.在平面PBE中,作PO⊥BE于O,则PO⊥平面EFCB.即PO为四棱锥P-EFCB的高.又PO=PE·sin 30°=2×=1,S EFCB=×(2+4)×2=6,∴V P-BCFE=×6×1=2.16.(1)证明由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=x,PE=x.故四棱锥P-ABCD的体积V P-ABCD=AB·AD·PE=x3.由题设得x3=,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=2,PB=PC=2.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为PA·PD+PA·AB+PD·DC+BC2sin 60°=6+2.。
(浙江专版)2018年高考数学二轮专题复习 知能专练(十三)空间几何体的三视图_表面积及体积
知能专练（十三） 空间几何体的三视图、表面积及体积一、选择题1．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )解析：选C 注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C 中，其宽度为32，与题中所给的侧视图的宽度1不相等，因此选C. 2．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r ＝2Sa ＋b ＋c ＝2×12×6×86＋8＋10＝2，故选B.3．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π解析：选C 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为 22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83.5.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16解析：选B 由三视图可知该多面体是一个组合体，如图所示，其下面是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为＋2×2＝12，故选B.6．如图，三棱锥V ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为( )A.32 B.33 C.34D.36解析：选B 由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC ，作VO ⊥AC 于O ，连接OB (图略)，设底面边长为2a ，高VO ＝h ，则△VAC 的面积为12×2a ×h ＝ah ＝23.又三棱锥的侧视图为Rt △VOB ，在正三角形ABC 中，高OB ＝3a ，所以侧视图的面积为12OB ·VO ＝12×3a ×h ＝32ah ＝32×23＝33.7．《九章算术》的商功章中有一道题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底圆周长约为( )A ．1丈3尺B ．5丈4尺C ．9丈2尺D ．48丈6尺解析：选B 设圆柱底面圆的半径为r ，若以尺为单位，则2 000×1.62＝3r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋3＋13，解得r ＝9(尺)，∴底面圆周长约为2×3×9＝54(尺)，换算单位后为5丈4尺，故选B.8．(2017·丽水模拟)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3D ．4 3解析：选 B 分析题意可知，该几何体是由如图所示的三棱柱ABC A 1B 1C 1截去四棱锥A BEDC 得到的，故其体积V ＝34×22×3－13×1＋22×2×3＝23，故选B.9．(2017·贵阳质检)三棱锥P ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 依题意，设题中球的球心为O ，半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR33＝500π3，解得R ＝5，由πr 2＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为R 2－r 2＝3，因此三棱锥P ABC 的高的最大值为5＋3＝8，故选C.10．(2017·洛阳模拟)已知三棱锥P ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P ABC 的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.16π3B.40π3C.64π3D.80π3解析：选D 依题意，记三棱锥P ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的距离为h ，则由V P ABC ＝13S △ABC h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×42×h ＝163得h ＝433.又PC 为球O 的直径，因此球心O 到平面ABC 的距离等于12h ＝233.又正△ABC 的外接圆半径为r ＝AB 2sin 60°＝433，因此R 2＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝203，所以三棱锥P ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝80π3，故选D. 二、填空题11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________．解析：由三视图得该几何体为如图所示的三棱锥，其中底面ABC 为直角三角形，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥底面ABC ，PA ＝2，所以AC ＝PB ＝5，PC ＝3，PC 2＝PB 2＋BC 2，∴∠PBC ＝90°，则该三棱锥的表面积为12×1×2＋12×1×2＋12×2×5＋12×2×5＝2＋25，体积为13×12×1×2×2＝23.答案：2＋2 5 2312．(2017·诸暨质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的一条棱的长度为________，体积为________．解析：根据三视图，可以看出该几何体是一个底面为正三角形，一条侧棱垂直底面的三棱锥，如图所示，其中底面△BCD 是正三角形，各边长为2，侧棱AD ⊥底面BCD ，且AD ＝2，底面△BCD 的中垂线长DE ＝3，∴AC ＝AB ＝22，V 三棱锥A BCD ＝13×S △BCD ×AD ＝13×12×2×3×2＝233，即该几何体最长的棱长为22，体积为233.答案：2 223313．一个直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则截去的几何体为________(从备选项中选择一个填上：三棱锥、四棱锥、三棱柱、四棱柱)，截去的几何体的体积为________．解析：作出直观图可得截去的几何体为底面为直角边长分别为1和2的直角三角形，高为4的三棱锥，其体积V ＝13×1×22×4＝43.答案：三棱锥 4314．(2018届高三·浙江名校联考)某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，其外接球的表面积为________．解析：由三视图得该几何体是一个底面为对角线为4的正方形，高为3的直四棱柱，则其体积为4×4×12×3＝24.又直四棱柱的外接球的半径R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52，所以四棱柱的外接球的表面积为4πR 2＝25π.答案：24 25π15．(2017·洛阳模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知该几何体为一个球体的34，故该几何体的表面积等于球的表面积的34，加上以球的半径为半径的圆的面积，即S ＝34×4πR 2＋πR 2＝16π.答案：16π16．(2016·四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝2，BD＝23，设O 为BD 的中点，连接OA ，OC ，则OA ⊥BD ，OC ⊥BD ，结合正视图可知AO ⊥平面BCD .又OC ＝CD 2－OD 2＝1，∴V 三棱锥A BCD ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×1×1＝33. 答案：3317．如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图、侧视图与俯视图．已知CF ＝2AD ，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图是直角梯形，有关数据如图所示，则该几何体的体积为________．解析：取CF 中点P ，过P 作PQ ∥CB 交BE 于Q ，连接PD ，QD ，则AD∥CP ，且AD ＝CP .所以四边形ACPD 为平行四边形，所以AC ∥PD .所以平面PDQ ∥平面ABC .该几何体可分割成三棱柱PDQ CAB 和四棱锥D PQEF ， 所以V ＝V PDQ CAB ＋V D PQEF ＝12×22sin 60°×2＋13×＋2×3＝3 3.答案：3 3 [选做题]1．(2017·石家庄质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．16B ．20C ．52D ．60解析：选B 由三视图知，该几何体由一个底面为直角三角形(直角边分别为3,4)，高为6的三棱柱截去两个等体积的四棱锥所得，且四棱锥的底面是矩形(边长分别为2,4)，高为3，如图所示，所以该几何体的体积V ＝12×3×4×6－2×13×2×4×3＝20，故选B.2．四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高为( )A ．6B ．5 C.92 D.94解析：选D 过点P 作PH ⊥平面ABCD 于点H .由题知，四棱锥P ABCD是正四棱锥，内切球的球心O 应在四棱锥的高PH 上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE ，PF 是斜高，M 为球面与侧面的一个切点．设PH ＝h ，易知Rt △PMO ∽Rt △PHF ，所以OM FH＝PO PF ，即13＝h －1h 2＋32，解得h ＝94，故选D. 3．(2017·兰州模拟)已知球O 的半径为13，其球面上有三点A ，B ，C ，若AB ＝123，AC ＝BC ＝12，则四面体OABC 的体积为________．解析：如图，过点A ，B 分别作BC ，AC 的平行线，两线相交于点D ，连接CD ，∵AC ＝BC ＝12，AB ＝123，在△ABC 中，cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝－12，∴∠ACB ＝120°，∴在菱形ACBD 中，DA ＝DB ＝DC ＝12， ∴点D 是△ABC 的外接圆圆心， 连接DO ，在△ODA 中，OA 2＝DA 2＋DO 2， 即DO 2＝OA 2－DA 2＝132－122＝25，∴DO ＝5， 又DO ⊥平面ABC ，∴V O ABC ＝13×12×12×12×32×5＝60 3.答案：60 3。
2018学高考文科数学练酷专题二轮复习 课时跟踪检测十
课时跟踪检测（十） 空间几何体的三视图、表面积与体积[A 级——“12＋4”保分小题提速练]1．(2017·福州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥P ABCD ，易知四棱锥P ABCD 的四个侧面都是直角三角形，即此几何体各面中直角三角形的个数是4.2．(2017·沈阳模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是( )A ．36＋610B ．36＋310C ．54D ．27解析：选A 由三视图知，该几何体的直观图如图所示，故表面积为S ＝2×12×(2＋4)×3＋2×3＋4×3＋3×2×10＝36＋610.3.(2017·广州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )解析：选D 由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为13×4×2＝83，满足条件，所以俯视图可以为一个直角三角形．故选D.4．(2018届高三·惠州摸底)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选C 四棱锥的直观图如图所示，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝1，底面四边形ABCD 为正方形且边长为1，故最长棱PA ＝12＋12＋12＝ 3.5．(2017·陕西模拟)如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A ．4＋6πB ．8＋6πC ．4＋12πD ．8＋12π解析：选B 该几何体为四棱锥与半个圆柱的上下组合体，其中半个圆柱的底面圆直径为4，母线长为3，四棱锥的底面是长为4，宽为3的矩形，高为2，所以组合体的体积为V ＝12×π×22×3＋13×4×3×2＝8＋6π. 6．(2018届高三·皖南八校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30解析：选C 由三视图知，该几何体是一个长方体的一半再截去一个三棱锥后得到的，该几何体的体积V ＝12×4×3×5－13×12×4×3×(5－2)＝24.7．(2017·宝鸡模拟)已知A ，B ，C 三点都在以O 为球心的球面上，OA ，OB ，OC 两两垂直，三棱锥O ABC 的体积为43，则球O 的表面积为( )A.16π3 B ．16π C.32π3D ．32π解析：选B 设球O 的半径为R ，以球心O 为顶点的三棱锥三条侧棱两两垂直且都等于球的半径R ，另外一个侧面是边长为2R 的等边三角形．因此根据三棱锥的体积公式得13×12R 2·R ＝43，∴R ＝2，∴球的表面积S ＝4π×22＝16π.8．(2017·湖北五校联考)如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A.272π B ．27π C ．273πD.2732π 解析：选B 由三视图可知，该几何体是由一个正方体切割成的一个四棱锥，则该几何体的外接球的半径为12 32＋32＋32＝332，从而得其表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＝27π.9．(2018届高三·广州五校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.＋22π2＋1B.13π6C.＋2π2＋1D.＋22π2＋1解析：选C 由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其表面积为22π＋1＋2π×2＋32π＝＋2π2＋1.10．(2017·昆明模拟)某几何体的三视图如图所示，若这个几何体的顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是( )A ．2πB ．4πC ．5πD ．20π解析：选C 由三视图知，该几何体为三棱锥，且其中边长为1的侧棱与底面垂直，底面为底边长为2的等腰直角三角形，所以可以将该三棱锥补形为长、宽、高分别为2，2，1的长方体，所以该几何体的外接球O 的半径R ＝22＋22＋122＝52，所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝5π.11．(2017·合肥模拟)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A ．72＋6πB ．72＋4πC ．48＋6πD ．48＋4π解析：选A 由三视图知，该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π.12．(2017·福州模拟)已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为32R ，AB ＝AC ＝BC ＝23，则球O 的表面积为( ) A.163π B ．16π C.643π D ．64π解析：选D 设△ABC 外接圆的圆心为O 1，半径为r ，因为AB ＝AC ＝BC ＝23，所以△ABC 为正三角形，其外接圆的半径r ＝232sin 60°＝2，所以OO 1⊥平面ABC ，所以OA 2＝OO 21＋r 2，所以R2＝⎝⎛⎭⎪⎫32R 2＋22，解得R 2＝16，所以球O 的表面积为4πR 2＝64π. 13．(2017·青岛模拟)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r 1，r 2，母线长分别是l 1，l 2.则由S 1S 2＝94可得r 1r 2＝32.又两个圆柱的侧面积相等，即2πr 1l 1＝2πr 2l 2，则l 1l 2＝r 2r 1＝23，所以V 1V 2＝S 1l 1S 2l 2＝94×23＝32. 答案：3214.(2018届高三·大连调研)高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的________．解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为 12×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的12.答案：1215．(2017·合肥模拟)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为1的等边三角形，则此几何体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体为一个四棱锥，将其还原在长方体中，为四棱锥P ABCD ，如图所示，故其体积V P ABCD ＝13×＋2×32＝34. 答案：3416．(2017·长春模拟)已知四棱锥P ABCD 的底面为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC 于点E ，EC ＝1，AB ＝6，BC ＝3，PE ＝2，则四棱锥P ABCD 的外接球半径为________．解析：如图，由已知，设△PBC 的外接圆圆心为O 1，半径为r ，在△PBC 中，由正弦定理可得PC sin ∠PBC ＝2r ，即522＝2r ，解得r ＝102，设F 为BC 边的中点，进而求出O 1F ＝12，设四棱锥P ABCD 的外接球球心为O ，外接球半径为R ，则R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BD 22＋O 1F 2＝4，所以四棱锥P ABCD 的外接球半径为2.答案：2[B级——中档小题强化练]1．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．12＋4 2B ．18＋8 2C ．28D ．20＋8 2解析：选D 由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图所示．则该几何体的表面积为S ＝2×12×2×2＋2×4×2＋22×4＝20＋8 2.2．(2017·石家庄模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．16B ．20C ．52D ．60解析：选B 由三视图知，该几何体由一个底面直角边分别为3,4的直角三角形、高为6的三棱柱被截去两个等体积的四棱锥所得，且四棱锥的底面是边长分别为2,4的矩形、高是3，所以该几何体的体积V ＝12×3×4×6－2×13×2×4×3＝20.3．(2017·南宁模拟)设点A ，B ，C 为球O 的球面上三点，O 为球心．球O 的表面积为100π，且△ABC 是边长为43的正三角形，则三棱锥O ABC 的体积为( )A ．12B ．12 3C ．24 3D ．36 3解析：选B ∵球O 的表面积为100π＝4πr 2，∴球O 的半径为5.如图，取△ABC 的中心H ，连接OH ，连接并延长AH 交BC 于点M ，则AM ＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫4322＝6，AH ＝23AM ＝4，∴OH ＝OA 2－AH 2＝52－42＝3，∴三棱锥O ABC 的体积为V ＝13×34×(43)2×3＝12 3.4．(2018届高三·湖南东部六校联考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是( )A ．4 3B ．8 3C ．47D ．8解析：选C 设该三棱锥为P ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，PA ＝4，则由三视图可知△ABC 是边长为4的等边三角形，故PB ＝PC ＝42，所以S △ABC ＝12×4×23＝43，S △PAB ＝S △PAC ＝12×4×4＝8，S △PBC ＝12×4×22－22＝47，故所有面中最大的面积为47.5．(2017·长春一检)已知三棱锥S ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ＝2，Q 是三棱锥S ABC 外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为________．解析：将三棱锥S ABC 放入棱长为2的正方体中，则到平面ABC 的距离最大的点应在过球心且和平面ABC 垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，所以2R ＝23(R 为外接球的半径)，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为23×2R ＝23×23＝433.答案：4336．(2017·赤峰统测)已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的各个顶点都在球面上，AB ＝3，AD ＝2，A 1A ＝2，过棱AD 作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为________．解析：由题意可知当截面圆的直径是AD 时，过AD 的截面圆的面积最小，即截面圆的半径r ＝1，又球的半径R ＝9＋4＋42＝172，故球心到截面的距离d ＝174－1＝132. 答案：132。
主题10 空间几何体的三视图、体积、表面积与传统文化-
2018届二轮透析高考数学23题对对碰【二轮精品】第一篇主题10 空间几何体的三视图、体积、表面积与传统文化【主题考法】本主题的题型为选择填空题，主要考查简单几何体的三视图、由三视图求原几何体的表面积、体积、文科求体积占多数，理科则求面积居多，考查与简单几何体有关的传统文化，考查空间想象能力、运算求解能力，难度为中档或以下试题，分值为5分.【主题回扣】1．概念理解(1)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系．(2)三视图①三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．②三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样．2．柱、锥、台、球体的表面积和体积【易错提醒】1．在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主． 2．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数13. 3.忽视三视图的实、虚线，导致几何体的形状结构理解错误. 【主题考向】考向一 空间几何体的三视图【解决法宝】在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果.在处理三视图问题时，要根据“长对正，宽相等、高平齐”的原则由三视图确定对应几何体中的量，或由几何体确定三视图中的量. 例1【河南省濮阳市2018届二模】已知三棱柱的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图（1）所示，，，分别是三边的中点）后得到的几何体如图（2），则该几何体沿图（2）所示方向的侧视图为（ ）A. B. C. D.【分析】先由三视图确定主视图和侧视图完全相同时，再根据几何体确定俯视图.【解析】 因为平面DEHG ⊥平面DEF ，所以几何体的左视图为直角梯形，且直角腰在左视图的左侧，故选A ． 考向二 几何体的表面积【解决法宝】利用三视图求解几何体的表面积，关键是确定几何体的形状和相关数据，计算出各个面的面积，再求和即为表面积，掌握应用三视图的“长对正、高平齐、宽相等”.例2【河南省八市学评2018届第一次测评】某无盖容器的三视图如下所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰梯形，腰长为3，俯视图是半径为1和2的两个同心圆，则它的表面积是（ ）A. B. C. D.【分析】由三视图知，该三视图对应的几何体为倒置的圆台，由题知，该圆台的两底面的半径与母线长，即可求出其表面积.考向三 几何体的体积【解决法宝】1.求简单几何体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式进行计算. 2.求几何体的体积的常用方法有割补法和等积变换法.（1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、椎体等，分别求出柱体、椎体等的体积，从而得出几何体的体积.（2）等体积转化法:利用三棱锥的每一个面可做底面.①求体积时，可选择容易计算的方式来求解；②利用“等积性”可求“点到面的距离”.3.利用三视图为载体求解几何体的体积，关键是是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解.例3【甘肃省敦煌市一高2017届一调】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）A ．8B ．12C ．18D ．24【分析】由三视图知，该几何体是一个三棱锥与三棱柱的组合体，可以确定其相关数据，即可计算其体积． 【解析】由题意得，根据给定的三视图可知，该几何体为如图所示的几何体，是一个三棱锥与三棱柱的组合体，其中三棱锥的体积为111432432V =⨯⨯⨯⨯=，三棱柱的体积为212248V V ==⨯=，所以该几何体V ，故选B．的体积为12考向四简单几何体与传统文化【解决法宝】认真阅读题目，将传统文化给出的题目转化为数学语言给出问题，得到题中给出的几何体和有关的数据，转化为几何问题，再利用有关知识解决相关问题.例4.【湖北省黄冈等八市2018届3月联考】《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.一块“堑堵”形石材表示的三视图如图所示.将该石材切削、打磨，加工成若干个相同的球，并尽量使每个球的体积最大，则所剩余料体积为（）A. 288-B. 288-C. 288-D. 288-【分析】由三视图知，该直三棱柱的底面直角三角形，直角边为与，要使每个球的体积最大，则球与三个侧面相切，求得三角形内切圆半径，即球的半径，根据棱柱的高，可求得一个棱柱可以加工球的体积，计算出棱柱的体积和球的体积，即可求出剩余的体积.【主题集训】1. 【湖南永州市2017届高三第一次模拟，7】右图是一个几何体的三视图，其中俯视图中的曲线为四分之一圆，则该几何体的表面积为（）A ．3B ．32π+ C ．4 D ．42π-【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为一棱长为1的正方体截取41个圆柱，其中圆柱底面半径为1，高为1，则所求表面积为4112412)14111(211=⨯⨯⨯+⨯⨯-⨯-⨯⨯ππ. 2.【四川省成都市石室中学2018届二模】一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2 ，则此四棱锥最长的侧棱长为( )A.B.C.D.【答案】C 【解析】底面积为,体积为,故最长棱长为,故选.3.【广东省珠海一中等六校2018届第三次联考】某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是( )A. 2B.C.D. 3【答案】D【解析】根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示，则，故选D．4.【广东省江门市2018届一模】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥后所得的部分，其中直三棱柱的底面是直角边为2的等腰直角三角形，高为2；三棱锥的底面与棱柱的底面相同，高为1．故几何体的体积为．选B．5.【中原名校2017届高三上学期第三次质量考评，10】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．)91π+ B ．)928π+ C.)92π+．)918π+【答案】D6.【湖北七市（州）教研协作体2018年3月联考】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】由题可知其立体图形C-DEFG ,,CFGCFECDGSSS，故选C.7.【福建省泉州市2018届3月质量检查】玉琮是古代祭祀的礼器，如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想，该玉琮的三视图及尺寸数据（单位：cm）如图所示.根据三视图可得该玉琮的体积（单位：）为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知该几何体的体积为，故选D.8.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，9】某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．6+．6+．3 D．8 3【答案】D.9.【广东省珠海一中等六校2018届第三次联考】四面体中，三组对棱的长分别相等，依次为，则的取值范围是( ) A. B.C.D.【答案】C【解析】以四面的棱为一长方体的面对角线，构造一个长方体，设长方体的棱长分别为，则，所以，即，，，∴，故选C ．10.【河北邯郸2017届9月联考，5】如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.263π+B.83π+C.243π+D.43π+ 【答案】C .【解析】因为该几何体是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的，所以其体积为=⨯⨯+⨯⨯=22121312πV 243π+，故应选C .11.【湖北省武汉市2018届二月调研】某四棱锥的三视图如图所示，其中正视图是斜边为等腰直角三角形，侧视图和俯视图均为两个边长为1的正方形，则该四棱锥的高为（ ）A. B. 1 C. D.【答案】A12. 【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，11】已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4π B．8π C．12π D．16π【答案】A13. 【2018年湖南省高三十四校联考】若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中直角三角形的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】该几何体原图如下图所示的.由图可知,三棱锥的个面都是直角三角形,故选.14. 【湖南省、江西省十四校2018届第一次联考】已知一个棱长为的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】D15 .【四川省南充市2018届第二次适应性考试】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为( )A. B. C. D.【答案】B16.【甘肃省2018届第一次诊断性考】某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为，则的值为（）A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】有三视图可知，该几何体为高为，底面半径为的圆柱，上下个挖去一个半径为的球而得的几何体.剩余几何体的体积为，解得：.故选B.17. 【广东省茂名市五大联盟学校2018届3月联考】已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图得该几何体的直观图如图中四棱锥P-ABCD所示，其中矩形ABCD的边长，AB=2，高PO=1，AO=OB=1，则,，，则四棱锥的侧面积：故选B.18.【广东省珠海一中等六校2018届第三次联考】已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为__________．【答案】【解析】由三四图可得，该几何体为如图所示的三棱锥，∵正方体的棱长为2，∴,∴，∴该几何体的表面积为．19.【广西陆川县中学2018届高三开学考试】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于______【答案】4【解析】由三视图知,这个几何体的结构特征是一个四棱锥,底面ABCD是直角梯形,AD//BC,AD=2, BC=4,AB=2,,侧棱SA底面ABCD,且SA=2,则体积为,20.【2017届北京市朝阳区第一学期期末统考】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是。
专题12 空间几何体的三视图﹑表面积及体积(命题猜想)-2018年高考数学(文)命题猜想与仿真押
【命题热点突破一】三视图与直观图1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．由三视图还原几何体的步骤一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体．例1、【2017课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A.90πB.63πC.42πD.36π【答案】B【变式探究】【2016高考新课标2文数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416πS =⋅⋅=，圆锥的侧面积为2π248πS =⋅⋅=，圆柱的底面面积为23π24πS =⋅=，故该几何体的表面积为12328πS S S S =++=，故选C.【方法技巧】空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．【变式探究】(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )答案 (1)D (2)D【命题热点突破二】 几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．例2、【2017课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为【答案】14π.【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以224π14π.R S R====【变式探究】【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【答案】A【方法技巧】(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和．(2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差．求解时注意不要多算也不要少算．【变式探究】在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是________．答案1 24【命题热点突破三】多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．例3、【2017课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．3π4C．π2D．π4【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2 AC AB==，结合勾股定理，底面半径r ==由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是223ππ1π4V r h ==⨯⨯=，故选B.【变式探究】【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A【方法技巧】三棱锥P －ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形： (1)P 可作为长方体上底面的一个顶点，A 、B 、C 可作为下底面的三个顶点；(2)P－ABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线．【变式探究】在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为22，32，62，则三棱锥A－BCD的外接球体积为________.答案6π【高考真题解读】1.【2017课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A.90πB.63πC.42πD.36π【答案】B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B.2.【2017课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】B3.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10 【答案】D【解析】该几何体是三棱锥，如图：图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是115341032V =⨯⨯⨯⨯=，故选D. 4.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【答案】36π5.【2017课标II ，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为【答案】14π.【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以224π14π.R S R ====6.【2017江苏，6】 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲ .【答案】3 2【解析】设球半径为r，则213223423V r rV rππ⨯==．故答案为32．7.【2017山东，文13】由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.【答案】π22 +1、【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【答案】A2.【2016高考新课标2文数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416πS =⋅⋅=，圆锥的侧面积为2π248πS =⋅⋅=，圆柱的底面面积为23π24πS =⋅=，故该几何体的表面积为12328πS S S S =++=，故选C.3.【2016年高考北京文数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16 B.13 C.12D.1 【答案】A4.【2016高考新课标3文数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18+（B ）54+（C ）90 （D ）81 【答案】B5.【2016高考山东文数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A ）1233+π （B ）13+ （C ）13+ （D ）1+【答案】C【解析】由三视图可知,的半球,体积为311423V =⨯π⨯=,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积2111133V =⨯⨯=,故选C. 6.【2016高考浙江文数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 则（ ） A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n 【答案】C 【解析】由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．7.【2016年高考四川文数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .正视图3318.【2016高考浙江文数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3.【答案】72 321．(2015·广东，8)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A ．大于5B ．等于5C ．至多等于4D ．至多等于3解析 当n ＝3时显然成立，故排除A ，B ；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n ＝4时成立，故选C.答案 C2．(2015·浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3C.323 cm 3 D.403cm 3解析 该几何体是棱长为2 cm 的正方体与一底面边长为2 cm 的正方形，高为2 cm 的正四棱锥组成的组合体，V ＝2×2×2＋13×2×2×2＝323(cm 3)．故选C.答案 C3．(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.答案 B4．(2015·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 83π5．(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4答案 D6.(2015·安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2解析 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B.答案 B7．(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析 如图，要使三棱锥O －ABC 即C －OAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥C －OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O －ABC 最大＝V C －OAB 最大＝13×12S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π，选C.答案 C8．(2015·山东，7)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3 B.4π3 C.5π3D ．2π 解析 如图，由题意，得BC ＝2，AD ＝AB ＝1.绕AD 所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．所求体积V ＝π×12×2－13π×12×1＝53π.答案 C9．(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋πB.23＋πC.13＋2πD.23＋2π答案 A10．(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15答案 D11．(2015·湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB.169πC.4（2－1）3π D.12（2－1）3π解析 易知原工件为一圆锥，V 1＝13πr 2h ＝23π，设内接长方体长、宽、高为a 、b 、c ，欲令体积最大，答案 A。
2018大二轮高考总复习文数文档自检10 空间几何体的三视图、表面积和体积 Word版含解析
自检：空间几何体的三视图、表面积和体积组高考真题集中训练空间几何体的三视图．(·全国卷Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )．三棱柱．三棱锥．四棱柱．四棱锥解析：由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选．答案：．(·全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系－中的坐标分别是()，()，()，()，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到的正视图可以为( )解析：作出空间直角坐标系，在坐标系中标出各点的位置，然后进行投影，分析其正视图形状．易知选．答案：空间几何体的表面积与体积．(·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )．π．π．π．π解析：方法一(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积＝π××＋π×××＝π.故选．方法二(估值法)由题意知，圆柱<几何体<圆柱．又圆柱＝π××＝π，∴π<几何体<π.观察选项可知只有π符合．故选．答案：．(·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积(单位：)是( )．＋．＋．＋．＋解析：由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为，高为的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形，高为的三棱锥的组合体，∴该几何体的体积＝×π××＋××××＝＋.故选．答案：．(·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )。
2018年4月19日 空间几何体的三视图、表面积和体积-每日一题2018年高考数学(理)三轮复习
空间几何体的三视图、表面积和体积高考频度：★★★★★难易程度：★★★☆☆如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为A．46 B．48C．50 D．52【参考答案】B【解题必备】1．已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．学！2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏. 3．求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.1．《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱;阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵中,,若,当阳马体积最大时,则堑堵的体积为A ．83B．C ．D ．2．某多面体的三视图如图所示,则该多面体各面的面积中最大的是A ．B ．C ．D．3．已知点在球的表面上且，三棱锥的体积为，则球的表面积为A．B．C．D．1．【答案】C2．【答案】C【解析】由三视图可知,该几何体是四棱锥,如图所示,底面是边长为1的正方形,一侧面垂直于底面,高是1,所以该多面体各面的面积中最大的是.3．【答案】C【解析】在ABC △中，因为，所以133sin 24ABC S bcA ∆==，222cos 7a b c bc A =+-=，则ABC △的外接圆的半径212sin 3a r A ==，三棱锥的高为3263ABC V h S ∆==，则该三棱锥的外接球的半径为225R h r =+=，其表面积为24π20πS R ==；故选C ．。
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1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )
【答案】D
【解析】先观察俯视图，由俯视图可知选项B 和D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D 正确． 2．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.
22π
3
B.42π
3
C ．22π
D ．42π
【解析】选B.旋转体是两个圆锥，其底面半径为直角三角形斜边的高2，高即斜边的长的一半2，故所得几何体的体积V ＝13π(2)2
×2×2＝42π3
.
4．如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 上的一点，则三棱锥D 1B 1C 1E 的体积等于( )
A.1
3 B.512
C.36
D.16
【解析】选D.V D 1B 1C 1E ＝V E B 1C 1D 1＝13S △B 1C 1D 1·CC 1＝13×12×12×1＝1
6
，故选D.
5．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )
A ．8π
B ．12π
C ．20π
D ．24π
6．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为37，则侧 (左)视图中线段的长度x 的值是( )
A.7 B ．27 C ．4
D ．5
【解析】选C.分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD ，故其体积V ＝13×32
＋32×4×CP ＝
37，所以CP ＝7，所以x ＝32
＋
7 2
＝4.
7．如图，正四棱锥P ABCD 的底面边长为6 cm ，侧棱长为5 cm ，则它的侧(
左)视图的周长等于( )
A ．17 cm
B ．(119＋5)cm C
．16 cm
D ．14 cm
8．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球
O 的半径为( )
A.317
2 B ．210 C.132
D ．310
9．如下图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为( )
A ．6π B.2
3π＋ 3 C ．4π D ．2π＋ 3
【答案】C
【解析】此几何体为一个组合体，上为一个圆锥，下为一个半球拼接而成，表面积为S ＝4π2＋
1
2×2×2π＝4π.
10．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的棱的长是( )
A ．2 5
B ．2 6
C ．27
D ．4 2
【解析】选C.由三视图可知该四面体的直观图如图所示，其中AC ＝2，PA ＝2，△ABC 中，边AC 上的高为23，所以BC ＝42
＋ 23 2
＝27，而P B ＝PA 2
＋AB 2
＝22
＋42
＝25，PC ＝PA 2
＋AC 2
＝22，因此在四面体的六条棱中，长度最长的棱是BC ，其长为27，选C.
11．某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．17
B ．22
C ．14＋213
D ．22＋213
12．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )
A ．24π
B ．6π
C ．4π
D ．2π
【解析】选B.题中的几何体是三棱锥A BCD ，如图所示，其中底面△BCD 是等腰直角三角形，BC ＝CD ＝2，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AB ＝2，BD ＝2，AC ⊥CD .取AD 的中点M ，连接BM ，CM ，则有BM ＝CM ＝1
2AD
＝
1222＋ 2 2
＝62.从而可知该几何体的外接球的半径是62
.故该几何体的外接球的表面积为
4π×⎝
⎛⎭
⎪⎫622
＝6π，应选B.
13．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
【答案】7
【解析】利用圆锥、圆柱的体积公式，列方程求解． 设新的底面半径为r ，由题意得
13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2
×8， ∴r 2
＝7，∴r ＝7.
14．三棱锥P ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥 D ABE 的体积为V 1，P ABC 的体积为V 2，则V 1V 2
＝________.
【答案】14
15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
【答案】16＋8π
【解析】根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋12
×22
×π×4＝16＋8π.
16．在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝AB ＝BC ＝2，且点O 为AC 中点．
(1)证明：A 1O ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥C 1ABC 的体积．
17．如图，四边形ABCD 为菱形，G 是AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .
(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；
(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ACD 的体积为6
3
，求该三棱锥的侧面积． (1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，。