江西信丰中学2020届高三数学(理)第一次月考试卷附答案详析

江西信丰中学2020届高三数学（理）第一次月考试卷一、单选题 1．全集U=R ，集合{}1,2,3,4,5A =，[)3,B =+∞，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}12．直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件3．已知集合{}|A x x a =<，{}|12B x x =≤<，且()RA B R =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a <C ．2a ≥D ．2a >4．已知i 是虚数单位，若32i 2ii i 12iz ++=+-所对应的点位于复平面内 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④6．已知集合{}2|4120A x xx =--<，(){}2|log 10B x x =-<，则A B =（ ）A ．{}|6x x <B ．{}|12x x << C ．{}|62x x -<<D ．{}|2x x <7．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.458．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 9．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题：（ ） ①若m α⊥，n β⊥，则//m n ； ②若m αγ=，n βγ=，//m n ，则//αβ；③若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥；④若γα⊥，γβ⊥，则//αβ．其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④10．设映射f ：22x x x →-+是实数集M 到实数集P 的映射，若对于实数t P ∈，t 在M 中不存在原象，则t 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞11．已知0a >且1a ≠，函数()()2log a f x x x b =++在区间(),-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则函数()log ag x x b =-的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．设()221x f x x =+，()()520g x ax a a =+->，若对于任意[]10,1x ∈，总存在[]00,1x ∈，使得()()01g x f x = 成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[)4,+∞B ．50,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题 13．已知集合{}1,2aA =，{},B a b =．若12AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A B =______．14．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________． 15．二项式61(2)x x-展开式中含2x 项的系数是________.16．若函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]7,7-内零点的个数有_______个．三、解答题17．设命题p ：实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，命题q ：实数x 满足302x x -≤-． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:{sin ,x t C y t αα== （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB最大值.19．已知函数()3f x x a x =--+，a R ∈．（1）当1a =-时，解不等式()1f x ≤；（2）若对于[]0,3x ∈时，()4f x ≤恒成立，求a 的取值范围．20．已知函数()4log f x x =，1,416x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为集合A ，关于x 的不等式()3122x ax a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭的解集为B ，集合501x Cx x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}()|1210D x m x m m =+≤<->． （1）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围； （2）若D C ⊆，求实数m 的取值范围．21．生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需要另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，()3120360C x x x =+（万元），当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x=+-（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完． （1）写出年利润()Lx （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式（利润＝销售额－成本）； （2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大． 22．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . （i ）利用该正态分布，求()187.8212.2PZ <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX . 附：15012.2≈ 若()2~,Z Nμσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=．解析江西信丰中学2020届高三数学（理）第一次月考试卷一、单选题 1．全集U=R ，集合{}1,2,3,4,5A =，[)3,B =+∞，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1【答案】C【解析】根据图中阴影部分所表示的集合为RA B ，然后根据全集U =R ，[)3,B =+∞，求得B R，再利用交集运算求解. 【详解】由图知：图中阴影部分所表示的集合为RA B ，因为全集U =R ，[)3,B =+∞，所以(),3R B =-∞，又集合{}1,2,3,4,5A =，所以{}1,2RA B ⋂=，所以图中阴影部分所表示的集合为{}1,2，故选：C【点睛】本题主要考查ven 图以及集合的基本运算，还考查了数形结合的思想，属于基础题.2．直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k=是“OAB ∆的面积为12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由1k=时,圆心到直线:1l y x =+的距离22d =.所以弦长为2.所以1212222OABS ∆=⨯⨯=.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时, OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A.【考点】1.直线与圆的位置关系.2.充要条件. 3．已知集合{}|A x x a =<，{}|12B x x =≤<，且()RA B R =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a <C ．2a ≥D ．2a >【答案】C【解析】先由题意，求出B R，根据()RAB R =，即可得出结果.【详解】 因为{}|12B x x =≤<，所以{1RB x x =<或}2x ≥，又{}|A x x a =<，()RA B R =，所以，只需2a ≥. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由并集和补集的结果求参数，属于基础题型. 4．已知i 是虚数单位，若32i 2ii i 12iz ++=+-所对应的点位于复平面内 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】由题意计算可得13z i =-，据此确定其所在的象限即可.【详解】 因为232i 2i (32i)i (2i)(12i)i i 23i i i 13i i 12i i (12i)(12i)z +++++=+=+=-+⋅=---+， 所以该复数位于第四象限，故选D ． 【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．5．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】C【解析】试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时22x y >不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.【考点】1、不等式的基本性质；2、真值表的应用. 6．已知集合{}2|4120A x xx =--<，(){}2|log 10B x x =-<，则A B =（ ）A ．{}|6x x <B ．{}|12x x << C ．{}|62x x -<<D ．{}|2x x <【答案】B【解析】先解不等式，化简两集合，再求交集，即可得出结果.【详解】 因为{}{}2|4120|26A x xx x x =--<=-<<，(){}{}{}2|log 10|011|12B x x x x x x =-<=<-<=<<，所以{}|12A B x x ⋂=<<.故选：B. 【点睛】本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，以及对数不等式的解法，属于基础题型. 7．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A ．0.8 B ．0.75C ．0.6D ．0.45【答案】A【解析】【详解】试题分析：记A =“一天的空气质量为优良”，B =“第二天空气质量也为优良”，由题意可知()()0.75,0.6PA P AB ==,所以()()()4|5P AB P B A P A ==，故选A. 【考点】条件概率．8．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 【答案】B【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .9．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题：（ ） ①若m α⊥，n β⊥，则//m n ； ②若m αγ=，n βγ=，//m n ，则//αβ；③若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥；④若γα⊥，γβ⊥，则//αβ．其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④【答案】A【解析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明. 【详解】对①，由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确；对②，设三棱柱的三个侧面分别为,,αβγ，其中两条侧棱为,m n ，显然//m n ，但α与β不平行，故②错误. 对③，∵////αβγ，当m α⊥时，m γ⊥，故③正确.对④，当三个平面,,αβγ两两垂直时，显然结论不成立，故④错误. 故选:A. 【点睛】本题考查空间线面位置关系的判断，属于中档题.10．设映射f ：22x x x →-+是实数集M 到实数集P 的映射，若对于实数t P ∈，t 在M 中不存在原象，则t 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】A【解析】根据二次函数的性质，求出22y x x =-+的值域，再由题意，即可求出结果.【详解】 因为映射f ：22x x x →-+是实数集M 到实数集P 的映射，由22yx x =-+，x ∈R 可得()2111y x =--+≤，即集合P 要包含(],1-∞，又对于实数t P ∈，t 在M 中不存在原象， 所以(],1t ∉-∞，因此1t >.故选：A.【点睛】本题主要考查映射的相关计算，考查二次函数的值域，属于基础题型. 11．已知0a >且1a ≠，函数()()2log a f x x x b =++在区间(),-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则函数()log ag x x b =-的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据奇函数求出1b =，根据增函数可知1a >，进而判断函数()g x 的图象.【详解】 解：函数()()2log a f x x x b =++在区间(),-∞+∞上是奇函数，∴()00f =，则1b =，又函数()()2log a f x x x b =++在区间(),-∞+∞上是增函数，∴1a >.所以()log 1a gx x =-，当1x >时，()()log 1a g x x =-为增函数，排除B ，D 选项；当01x <<时，()()log 1a g x x =-为减函数，排除C.故选：A. 【点睛】本题考查奇函数的特性，复合函数的增减性，对数函数的性质，考查数形结合的思想，分析问题能力，属于基础题.12．设()221x f x x =+，()()520g x ax a a =+->，若对于任意[]10,1x ∈，总存在[]00,1x ∈，使得()()01g x f x = 成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[)4,+∞B ．50,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】先对函数()f x 分0x =和0x ≠，运用二次函数的值域求法，可得()f x 的值域，运用一次函数的单调性求出函数()gx 的值域，由题意可得()f x 的值域包含在()g x 的值域内，可得a 的不等式组，解不等式可得a 的取值范围． 【详解】∵()221x f x x =+，当0x =时，()0f x =， 当0x ≠时，()22111112422x xx f x ==⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由01x <≤，即11x ≥，所以2111224x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭， ∴()01f x <≤，故()01f x ≤≤， 又因为()()520g x ax a a =+->，且()052g a =-，()15g a =-．由()gx 递增，可得()525a g x a -≤≤-，对于任意[]10,1x ∈，总存在[]00,1x ∈，使得()()01g x f x =成立，可得[][]0,152,5a a ⊆--，可得52051a a -≤⎧⎨-≥⎩∴5,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法，注意运用转化思想，是对知识点的综合考查，属于中档题． 二、填空题 13．已知集合{}1,2aA =，{},B a b =．若12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A B =______．【答案】11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】根据交集的定义得,a b 的值，即可得答案；【详解】12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，∴112122a A a ∈⇒=⇒=-，∴12b =，∴{}111,21,,1,22aA B ⎧⎫⎧⎫===-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，∴11,,12A B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭， 故答案为：11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查集合的并运算，考查运算求解能力，属于基础题.14．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________． 【答案】16【解析】十个数中任取七个不同的数共有C 种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C 种情况，于是所求概率P ＝＝．15．二项式61(2)x x-展开式中含2x 项的系数是________. 【答案】192-【解析】试题分析：通项为()6116322166212rrr r rr r r T C x x C x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1r =，系数为()151612192C -=-.【考点】二项式展开式. 16．若函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]7,7-内零点的个数有_______个．【答案】12【解析】先由题意，将函数零点个数问题，转化为函数()y f x =与函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩图像在区间[]7,7-内交点的个数问题；画出图像，由图像，即可得出结果.【详解】 由()()()0hx f x g x =-=得()()f x g x =，因此函数()()()hx f x g x =-在区间[]7,7-内零点的个数，即为函数()y f x =与函数()()()7log 010x x g x x x⎧>⎪=⎨-<⎪⎩图像在区间[]7,7-内交点的个数；因为函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，所以()f x 以2为周期；又[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，在同一直角坐标系内，画出()y f x =与()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩的图像如下，由图像可得，函数()y f x =与函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩图像共有12个交点，则函数()()()hx f x g x =-在区间[]7,7-内零点的个数有12个.故答案为：12. 【点睛】本题主要考查判定函数零点的个数，根据数形结合的方法求解即可，属于常考题型.三、解答题17．设命题p ：实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，命题q ：实数x 满足302x x -≤-． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()2,3；（2）12a <≤． 【解析】（1）若1a =，分别求出p ，q 成立的等价条件，利用且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）利用p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【详解】 解：由()()30x a x a --<，其中0a >，得3a x a <<，0a >，则p ：3a x a <<，0a >．由302x x -≤-解得23x <≤．即q ：23x <≤． （1）若1a =，则p ：13x <<，若p q ∧为真，则p ，q 同时为真，即2313x x <≤⎧⎨<<⎩，解得23x <<，∴实数x 的取值范围()2,3．（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，∴332a a >⎧⎨≤⎩，即12a a >⎧⎨⎩，解得12a <≤．【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，转化为q 是p 的充分不必要条件是解决本题的关键，属于基础题. 18．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:{sin ,x t C y t αα== （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB最大值.【答案】（Ⅰ）()330,0,,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）4.【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为22230x y x +-=．联立222220,{230,x y y x y x +-=+-=解得0,{0,x y ==或3,2{3,2x y ==所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33(,)22．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为．所以2sin 23cos AB αα=-4()3sin πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．【考点】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．19．已知函数()3f x x a x =--+，a R ∈．（1）当1a =-时，解不等式()1f x ≤；（2）若对于[]0,3x ∈时，()4f x ≤恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）5|2x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭；（2）77a -≤≤． 【解析】（1）当1a =-时，不等式为131x x +-+≤，分三段3x <-，31x -≤≤-，1x >-分别讨论求解不等式； （2）当[]0,3x ∈时，原问题转化为772a x -≤≤+对于[]0,3x ∈恒成立，由不等式的恒成立思想可得答案.【详解】解：（1）当1a =-时，不等式为131x x +-+≤，当3x <-时，()()131x x -+--+≤⎡⎤⎣⎦，即21≤，所以x ∈∅； 当31x -≤≤-时，()()131x x -+-+≤，即241x --≤，解得52x ≥-，∴512x -≤≤-； 当1x >-时，()()131x x +-+≤，即21-≤，所以1x >-；∴不等式的解集为5|2x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭． （2）当[]0,3x ∈时，()4f x ≤即437a x x x -≤++=+，即()77x a x x -+≤-≤+对于[]0,3x ∈恒成立，即772a x -≤≤+对于[]0,3x ∈恒成立，而当[]0,3x ∈时，77213x ≤+≤，∴77a -≤≤． 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，由不等式恒成立求参数的范围，属于中档题.20．已知函数()4log f x x =，1,416x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为集合A ，关于x 的不等式()3122x ax a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭的解集为B ，集合501x Cx x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}()|1210D x m x m m =+≤<->． （1）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围； （2）若D C ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(),4-∞-；（2）(]0,3．【解析】（1）根据指数函数性质，先求出[]2,1A =-，解指数不等式，求出,4aB ⎛⎫=-∞- ⎪⎝⎭，根据A B B⋃=得A B ⊆，由此列出不等式求解，即可得出结果； （2）先解分式不等式，求出(]1,5C =-，根据D C ⊆，分别讨论121m m +≥-，121m m +<-两种情况，即可得出结果. 【详解】（1）由对数函数的单调性可得，()4log f x x =在1,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以其值域()[]1,42,116A ff ⎡⎤⎛⎫==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又由()3122x ax a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭可得：()322x a x -+>，即：3x a x -->，所以4a x <-， 所以,4a B ⎛⎫=-∞-⎪⎝⎭， 又A B B ⋃=所以可得：A B ⊆， 所以14a->，所以4a ，即实数a 的取值范围为(),4-∞-．（2）因为501x x -≥+，所以有501x x -≤+，所以15x -<≤，所以(]1,5C =-， 对于集合{}|121D x m x m C =+≤<-⊆有：①当121m m +≥-时，即02m <≤时D =∅，满足D C ⊆； ②当121m m +<-时，即2m >时D ≠∅，所以有：1123215m m m +>-⎧⇒-<≤⎨-≤⎩， 又因为2m >，所以23m <≤， 综上：由①②可得：实数m 的取值范围为(]0,3．【点睛】本题主要考查由并集的结果求参数，考查由集合的包含关系求参数，涉及指数函数与对数函数的性质，以及分式不等式解法，属于常考题型.21．生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需要另投入成本为()Cx ，当年产量不足80千件时，()3120360C x x x =+（万元），当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x=+-（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完． （1）写出年利润()Lx （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式（利润＝销售额－成本）； （2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大．【答案】（1）3130250080360()10000120080x x x L x x x x ⎧-+-≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）100 千件．【解析】（1）根据题意，得到x 千件．．商品销售额为0.051000x ⨯万元，分别求出080x ≤<和80x ≥两种情况，即可求出函数解析式；（2）根据（1）的结果，用导数的方法和基本不等式，分别求出两段的最值，即可得出结果. 【详解】（1）因为每件．．商品售价为0.05万元，则x 千件．．商品销售额为0.051000x ⨯万元，依题意得，当080x ≤<时，()()310.05100020250360L x x x x =⨯---3130250360x x =-+-； 当80x ≥时，1000010000()(0.051000)5114502501200L x x x x x x ⎛⎫=⨯--+-=-+ ⎪⎝⎭． 即3130250080360()10000120080x x x L x x x x ⎧-+-≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩．（2）当080x ≤<时，()3130250360L x x x =-+-． ()21'300120L x x =-+=，60x =±． 此时，当60x =时，()Lx 取得最大值()60950L =（万元）． 当80x ≥时，1000010000()1200120021000L x x x x x⎛⎫=-+≤-⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x=，即100x =时，()L x 取得最大值1000（万元）． 因为9501000<，所以当年产量为100千件时，生产该商品获利润最大． 答：当年产量为100 千件时，生产该商品获利润最大．【点睛】本题主要考查函数模型的应用，考查导数的应用，涉及基本不等式求最值，属于常考题型. 22．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . （i ）利用该正态分布，求()187.8212.2PZ <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX . 附：15012.2≈ 若()2~,Z Nμσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=．【答案】（I ）200,150；（II ）（i ）0.6826；（ii ）68.26．【解析】试题分析：（I ）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为12的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II ）（i ）由已知得，Z ~(200,150)N ，故()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6826+=；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数(100,0.6826)X B ~，故期望1000.682668.26EX =⨯=．试题分析：（I ）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.22x =⨯+⨯+⨯+2000.332100.242200.08⨯+⨯+⨯+2300.02⨯200=，2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=．（II ）（i ）由（I ）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，从而()187.8212.2PZ <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6826+=．（ii ）由（i ）可知，一件产品的质量指标值位于区间()187.8,212.2的概率为0.6826，依题意知(100,0.6826)X B ~，所以1000.682668.26EX =⨯=．【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的3σ原则；3、二项分布的期望．。