5.7探索直角三角形全等的条件2
探索直角三角形全等的条件
5.8探索直角三角形全等的条件教案目标：1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
教案重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教案难点：熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教案方法：探索、归纳总结。
教案工具：练习卷，投影仪、电教平台。
一、准备活动：1、判定两个三角形全等的方法：、、、2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，<1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF<填“全等”或“不全等” ）根据<用简写法）<2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF<填“全等”或“不全等” ）根据<用简写法）<3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF<填“全等”或“不全等” ）根据<用简写法）<4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF<填“全等”或“不全等” ）根据<用简写法）二、教案过程：<一）探索练习：<动手操作）：已知线段 a ，c (a<c> 和一个直角利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠，AB=c，CB= a1、按步骤作图：a c①作∠MCN=∠=90°，②在射线CM上截取线段CB=a，③以B 为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A，④连结AB教师引导学生动手做实验操作，并巡回辅导学生看书、画图、剪纸、叠合、思考，并互相讨论、探索。
学生通过看书、画图、剪纸、叠合、思考，参与公理的验证过程，这样既进一步强化学生对公理的认识，又能激发学生的学习兴趣，提高学生学习的主动性，培养学生的能力。
b5E2RGbCAP2、与同桌重叠比较，是否重合？3、从中你发现了什么？<二）揭示课题，理解公理：1．判定两个直角三角形全等的公理：斜边、直角边公理斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等<可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL”） p1EanqFDPw2．注意：<1）“HL”公理是仅适用于Rt△的特殊方法。
《探索直角三角形全等的条件》上课课件
a
c
按照步骤做一做： （1）作∠MCN=∠α =90°; （2)在射线CM上截取线段CB=a; （3)以B为圆心,c为半径 画弧,交射线CN于点A; （4）连接AB. B
A
探索交流
(1)△ABC就是所求作的三角形吗？ （2）剪下这个三角形，和其他同学所 作的三角形进行比较，它们能重合吗？
(3)交流之后，你发现了什么？
∴∠ABC=∠DEF(全等三角形对应角相等).
又∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°.
随堂练习
1. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系 在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩 上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请 说明你的理由。 解：BD=CD ∵ ∠ADB=∠ADC=90° ∵AB=AC（已知） AD=AD（公共边） ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL) ∴BD=CD
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等.简写： HL
如图，∠ACB=∠BDA=90°。要说明 △ACB≌△BDA,需要再补充几个条件， 应补充什么条件？把它们分别写出来， 有几种不同的方法就写几种。
(1) 你能帮他想个办法吗？
SAS
ASA
AAS
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗? 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边 和斜边,发现它们分别对应相等。于是，他就肯定“ 两个直角三角形是全等的”。 斜边和一条直角边对应相等→两个直角三角形全等
你相信吗？
让我们来验证这个结论。
做一做
已知线段a,c(a<c)和一个直角α，利用 尺规作一个RtΔABC，∠C=∠α, AB=c, CB=a.
第五章 三角形
5.7 探索直角三角形全等的条件
直角三角形的全等判定
直角三角形的全等判定作为初中数学中基础而重要的一章，几何中的三角形也是学习数学的过程中必不可少的一部分。
在学习三角形时，我们经常会遇到判定两个三角形是否全等的问题，这在数学中被称为全等判定。
在本篇文章中，我们将主要探讨直角三角形的全等判定。
一、直角三角形的定义先来回顾一下直角三角形的定义，一个三角形如果其中一个角度为90度，那么这个三角形就称为直角三角形，而另外两个角度则被称为锐角和钝角。
二、全等三角形的定义全等是数学中的一个重要概念，指两个对象在形状和大小上完全相同。
在三角形中，如果两个三角形的每个边对应相等，每个角度对应相等，那么这两个三角形就是全等的。
三、直角三角形的全等判定针对直角三角形的全等判定，有以下几种情况：情况一：两个直角边和一条锐角边相等这种情况下，两个三角形必定全等。
因为直角边和锐角边可以唯一确定一个直角三角形，而题目中已经给定两个三角形有共同的锐角和两个直角边相等，因此这两个三角形就是全等的。
情况二：一条直角边和两条锐角边相等如果两个三角形都只有一个直角边，则必须保证这个直角边和两条锐角边对应相等，而两个三角形的另外两个角度必须相等。
如果这些条件都成立，那么这两个三角形就是全等的。
情况三：斜边和一条锐角边相等如果两个三角形的斜边和一条锐角边对应相等，那么它们不一定全等。
因为直角三角形的斜边是唯一的，但是锐角边和对应的角度可能不唯一，因此在这种情况下，还需要另外一个条件来保证两个三角形的全等，比如另外一个锐角边和对应的角度相等。
情况四：斜边和对应锐角边相等如果两个三角形的斜边和对应的锐角边对应相等且另外一个锐角边和对应的角度也相等，那么这两个三角形就是全等的。
因此，在判断两个直角三角形是否全等时，要注意每个条件的要求，并且查漏补缺。
四、总结全等判定是数学中的一个基本概念，也是初中数学中的重要知识点。
对于直角三角形的全等判定，要根据具体条件进行判断，不能漏掉任何一个条件。
同时，在学习数学的过程中要多多练习，才能更好地掌握知识和技能。
初中数学知识点精讲精析 探索直角三角形全等的条件
5·7 探索直角三角形全等的条件1.判断三角形全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS2.判断直角三角形全等的方法上述判定两三角形全等的方法对直角三角形同样适用.两直角三角形已具备一个直角对应相等，判定两三角形全等还差二个条件.分别是：二锐角、一边一锐角、二边.两个锐角对应相等的两直角三角形不一定全等。
两锐角对应相等后它们的三个角就对应相等，而三个角对应相等的两个三角形不一定全等.二边对应相等又有两种情况，一种情况是两直角边对应相等，利用SAS可得它们全等，另一种情况是一条直角边和斜边对应相等，这种情况两个直角三角形不一定全等，因为有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.一边和一锐角对应相等的两直角三角形全等.因为两直角三角形已有一个直角对应相等，这样它们就有二个角和一条边对应相等，利用前面学的判定两三角形全等的条件知这两个三角形全等.小结直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜.边、直角边”或“HL”1. 如图所示，已知：AC⊥BC，BD⊥AD，如果要得到△ABC≌△BAD，还需要补充一个条件，请你完成，至少写出3个不同的答案.补充的一个条件可以为：2. 如图所示，有一个Rt △ABC ，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB ，P 、Q 两点分别在AC 和过A 点且垂直于AC 的射线AE 上运动，问P 点运动到什么位置时，才能使△ABC 和△APQ 全等？点拨：要使△ABC 和△APQ 全等，由∠C=∠EAC=90°，已知这两个三角形都是直角三角形，又由AB=PQ ，根据“HL ”要判定两个三角形全等，只需AP=BC ，即P 是AC 的中点.【解析】∴P 为AC 的中点 ∴P 点运动到AC 的中点时，才能使△ABC ≌△QPA3. 如图所示，已知△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 边的中点.（1）D 到AB ，AC 的距离相等吗？为什么？（2）连结AD ，△AED 与△AFD 全等吗？为什么？（）1∠=∠CAB DBA （）2∠=∠CBA DAB （）3AC BD =（）4BC AD =C P A ∆∆ABC QPA PQ AB ≅=，∴=AP BC ()全等三角形的对应边相等又 BC =5∴=AP 5 AC =10∴==AP PC AC 12（3）如果P 点是AD 上的一个动点，那么P 到AB ，AC 的距离相等吗？为什么？【解析】（1）D 到AB ，AC 的距离相等理由：过D 点作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F 。
两个直角三角形全等的条件和结论
两个直角三角形全等的条件和结论两个直角三角形全等的条件和结论：直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
当两个直角三角形之间满足一定的条件时，可以推断它们是全等的。
全等是指两个物体或图形的所有对应边长和角度相等。
以下是两个直角三角形全等的条件和结论：条件1：直角三角形的两个直角边相等当两个直角三角形的两个直角边相等时，即两个三角形中直角边的长度相等，可以推断它们是全等的。
结论1：两个直角三角形的斜边相等如果两个直角三角形的直角边相等，那么它们的斜边也相等。
因为两个直角三角形的直角边相等，所以它们的斜边和夹角相等，从而可以推断两个直角三角形是全等的。
条件2：直角三角形的一条直角边和斜边相等当两个直角三角形中，其中一个三角形的一条直角边和斜边分别与另一个三角形的一条直角边和斜边相等时，可以推断它们是全等的。
结论2：两个直角三角形的另一条直角边和夹角相等如果两个直角三角形的一条直角边和斜边相等，那么它们的另一条直角边和夹角也相等。
因为两个直角三角形的一条直角边和斜边相等，所以它们的另一条直角边和夹角也相等，从而可以推断两个直角三角形是全等的。
条件3：直角三角形的两条直角边与斜边的比例相等当两个直角三角形的两条直角边与斜边的比例相等时，可以推断它们是全等的。
结论3：两个直角三角形的所有角度和边长都相等如果两个直角三角形的两条直角边与斜边的比例相等，那么它们的所有角度和边长也相等。
因为两个直角三角形的两条直角边与斜边的比例相等，所以它们的所有角度和边长都相等，从而可以推断两个直角三角形是全等的。
条件4：直角三角形的一条直角边和对应角的正弦、余弦、正切的比例相等当两个直角三角形中，其中一个三角形的一条直角边和对应角的正弦、余弦、正切的比例分别与另一个三角形的一条直角边和对应角的正弦、余弦、正切的比例相等时，可以推断它们是全等的。
结论4：两个直角三角形的所有角度和边长都相等如果两个直角三角形的一条直角边和对应角的正弦、余弦、正切的比例相等，那么它们的所有角度和边长也相等。
直角三角形全等判定定理
直角三角形全等判定定理直角三角形全等判定定理，也叫直角三角形全等条件定理、勾股定理或斯托克斯定理，是数学中一个重要的定理，它说明在任何直角三角形中，若有任意两边长度相等，则三角形就是全等三角形，即两个相等的角都是90度，且三条边长也是相等的。
斯托克斯定理曾是希腊数学家欧几里得的儿童时代创造，后来被苏格拉底改写为定理形式。
斯托克斯定理是一个有关直角三角形的数学定理，它告诉我们，如果两条边的长度相等，则该三角形是一个直角三角形。
斯托克斯定理也称为勾股定理，又称“直角三角形全等性判定定理”，它是古希腊时期最著名的定理之一，是古希腊数学家欧几里得最早发现的定理之一，他在其《几何》中对此进行了证明。
斯托克斯定理可以用来证明所有直角三角形都具有三条边和两个相等的角，这种特殊的三角形称为全等三角形。
根据斯托克斯定理，如果一个三角形的其中两条边的长度相等，则该三角形必定是一个直角三角形，而且它的三条边和两个相等的角都是相等的。
斯托克斯定理也可以用来证明股数定理，即如果a2+b2=c2，则这个三角形就是一个直角三角形，而且它的三条边和两个相等的角都是相等的。
斯托克斯定理是数学中一个重要的定理，它能够提供一个简单而又有效的方法来验证一个三角形是否为直角三角形。
它可以被用来证明某一个三角形是否全等，也可以用来检验三角形的长度是否相等。
因此，斯托克斯定理是数学中一个重要的定理，它在多个数学问题中得到广泛的应用，不但在几何和数学中得到应用，而且在工程学、计算机科学等领域中都有着重要的作用。
斯托克斯定理可以用大量数学证明来证明，但它的核心思想仍然是：任何直角三角形中，如果有任意两边长度相等，则这个三角形就是全等三角形，即两个相等的角都是90度，且三条边长也是相等的。
斯托克斯定理是一个简单而又有效的方法，它可以快速验证一个三角形是否为直角三角形，它的应用领域也十分广泛，在科学、工程学和计算机科学等领域中都有着重要的作用。
5.7探索直角三角形全等的条件
7
探索直角三角形全等的条件
1、判定两个三角形全等方法， SSS ， ASA ， AAS， SAS。 判定两个三角形全等方法， 2、如图，Rt ∆ABC中，直角边 BC 、 AC ，斜边 AB 。 如图， ABC中 A C
回 顾 与 思 考
B
A 如图， BE于 BE于 3、如图，AB ⊥ BE于C，DE ⊥ BE于E， B C D，AB=DE， （1）若∠ A=∠ D，AB=DE， ABC与 全等” 则△ ABC与 △DEF 全等 （填“全等”或“不全 等”） ASA 根据 （用简写法） F E
下面让我们一起来验证这个结论。
已知线段a、 ﹤ 和一个直角 和一个直角α， 已知线段 、c(a﹤c)和一个直角 ， 利用尺规作一个 一个Rt△ 利用尺规作一个 △ABC,使 使 ∠C= ∠ α ，CB=a，AB=c. ，
a
c
α
想一想，怎样画呢？
按照下面的步骤做一做： 按照下面的步骤做一做：
⑴ 作∠MCN=∠α=90°; ∠ ° M 在射线CM上截取线段 上截取线段CB=a; ⑵ 在射线 上截取线段 M B
C N 为圆心,C为半径画弧 ⑶ 以B为圆心 为半径画弧， 为圆心 为半径画弧， 交射线CN于点 于点A; 交射线CN于点A; M B
C 连接AB. ⑷ 连接 M B
N
C
A
N
C
A
N
就是所求作的三角形吗？ ⑴ △ABC就是所求作的三角形吗？ 就是所求作的三角形吗 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较， ⑵ 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较， 它们能重合吗？ 它们能重合吗？
F C
E
Байду номын сангаас
直角三角形全等的判定方法及性质
直角三角形全等的判定方法及性
质
直角三角形同余的判断:1。
对应边相等的两个三角形的三组同余。
2.两条边和它们的夹角相等的两个三角形。
3.两个三角形有两个角，它们的夹紧边全等。
判定方法
方法一：SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等。
方法二：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。
方法三：ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。
方法四：AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。
方法五：HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
性质
1、全等角形面积和周长相等。
2.全等角对应边的高度相等。
3、全等角形的对应边相等。
4.全等角对应边的中线相等。
5.全等角对应的角的角函数值相等。
6、全等角形的对应角相等。
7.能够完全重合的顶点称为对应顶点。
8.全等角对应的角的平分线相等。
直角三角形全等的条件
直角三角形一、知识归纳：1、直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成或 __________匸 AB=AB ___ = ____.Rt △ ABC^ Rt △ A B ' C 3、注意：1、 斜边、直角边公理（HL ）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。
2、 SSS SAS ASA AAS 适用于任何三角形，包括直角三角形。
二、典型例题例 1、如图，△ ABC 中，/ C=90° ,AM 平分/ CAB,CM=20cm,那么 M 到AB 的距离是 ____ c m. 例 2、已知△ ABC 和△ A B' C , / C=Z C =90° ,AC=A' C ,要判定△ ABC^A A B ' C ,必须添加条件为① ________ 或② ________ 或③ _________ 或④ _________例3、如图,B 、E 、F 、C 在同一直线上,AF 丄BC 于F,DE 丄BC 于 E,AB=DC,BE=CF,若要说明 AB// CD,理由如下：•/ AF 丄 BC 于 F,DE 丄 BC 于 E （已知）•••△ ABF,A DCE 是直角三角形•/ BE=CF 已知）• BE+ ___ =CF+ ______ 等式性质）即 ________ = __________ （已证）• Rt △ ABF ^ Rt △ DCE （）三、课堂检测：1.两个直角三角形全等的条件是 （）A. 一锐角对应相等；B.两锐角对应相等；C. 一条边对应相等；D.两条边对应相等2.要判定两个直角三角形全等，需要满足下列条件中的（）①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边2、直角三角形全等的判定:斜边直角边定理（HL ）AC达闻中小学生课外辅导中心学员辅导资料和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等A.6 个B.5 个C.4 个D.3 个3. 如图,AB // EF// DC,/ ABC=90 ,AB=DC,那么图中有全等三角形（）A.5 对；B.4 对；C.3 对；D.2 对4. 已知在△ ABC和厶DEF中，/ A=/ D=90° ,则下列条件中不能判定厶ABC和△ DEF全等的是（）A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD. / C=/ F,BC=EF5. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么两个直角三角形全等的依据是（）A.AASB.SASC.HLD.SSS6. 如图，△ ABC中，/ C=90° ,AB=2AC,M是AB的中点，点N在BC上,MN± AB.求证:AN平分/ BAC.7. 已知：如图AC BD相交于点O,AC=BD/ C=/ D=90° ,求证:OC=OD.达闻中小学生课外辅导中心学员辅导资料8. 已知：如图,AB=AE,BC=ED,/ B=Z E,AF丄CD,F 为垂足,求证:CF=DF.9.如图，/ ACB=/ ADB=90 , AC=AD E是ABt任意一点.求证：CE=DE.。
探索直角三角形全等的条件
E C
解：
(1)∵在R t△ABC和Rt△DEF中 ∵ △ 和 △ 中 BC=EF（已知） （已知） AC=DF （已知） 已知） ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL) △ ≌ △
B
A D
F
(2) ∵Rt△ABC≌Rt△DEF △ ≌ △ ° ∴∠ABC=∠DEF ∠ ∴∠ (全等三角形对应角相等 全等三角形对应角相等) 全等三角形对应角相等 又∵∠DEF+∠DFE=90° ∠ ° (直角三角形的两个锐角互余 直角三角形的两个锐角互余) 直角三角形的两个锐角互余 ∴∠ABC+∠DFE=90° ∴∠ ∠ °
∵
AB=AC(已知） AB=AC(已知） 已知 AD=AD（公共边） AD=AD（公共边）
Rt△ADB≌Rt△ (HL HL) ∴ Rt△ADB≌Rt△ADC (HL)
∴ BD=CD（ 全等三角形对应边相等 ） （
答：两个木桩离旗杆底部的距离相等。 两个木桩离旗杆底部的距离相等。 两个木桩离旗杆底部的距离相等
A D
1
2
C
∴∠1=∠ ∴∠ ∠2=90° B ° ∵AD＝CB（已知） ∵AD＝CB（已知） AC=CA（公共边） AC=CA（公共边）
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL) ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL) HL
想一想
你能够用几种方法说明 两个直角三角形全等？ 两个直角三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形， 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三 角形判定全等的方法， 角形判定全等的方法，还有直角三角形特有的判定 方法“ 方法“HL”. 判断直 角三角 形全等 条件
SSS AAS HL ASA
SAS
前四个判定方法都需要三个条件， 前四个判定方法都需要三个条件，而 HL”只有两个条件，你怎么看？ “HL”只有两个条件，你怎么看？
探索直角三角形全等的条件
《探索直角三角形全等的条件》教学案例湖北省兴山县高阳镇中学张华【课题】义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）七年级下册第五章第7节一、教学设计思路（1）教学内容的背景和分析本节课是北师大版教材数学七年级下册第五章《三角形》的第七节，这也是学生在学习三角形全等的条件及作三角形后教材安排的一课时内容。
直角三角形的全等在生活中随处可见，它不仅是研究其他图形的基础，而且在解决实际问题中有着广泛的运用。
本节课是探索和掌握直角三角形全等的条件，学好本节课的知识对学生更好地认识现实世界、发展空间观念和推理能力都有非常重要地作用。
（2）学校及学生情况分析我们学校是一所地处鄂西山区的农村学校，教学条件差，教室里没有电脑和大屏幕，学生全部来自农村，学生的基础知识和技能参差不齐，相当一部分同学缺乏遇难而上，独立思考的习惯，没有良好的严谨求实的学习态度。
学生勤于动手、乐于探究，实践应用能力和创新精神很缺乏，但对新知识有较强的好奇心。
①、学生学习本节内容的认知基础：学生刚刚学习了有关三角形全等的基础知识，以及利用尺规作三角形，这些知识是学习本节课的认知基础，本节课正是在此基础上展开的。
②、学生容易出现的学习障碍或困难：学生虽然已经有了以上的认知基础，但由于七年级的学生的认知水平有限，所学知识还不能融会贯通，在三角形全等条件的综合运用上，学生也存在思维上的难点，“HL”的判定方法学生难以认可。
这两个问题既是本节课的重点，也是本节课的难点，解决问题的主要思路是让学生动手实验，合作交流，在活动中去领会、感悟。
二、教学目标①、知识与技能目标：进一步熟练掌握三角形全等的条件，掌握直角三角形全等的条件；②、方法与过程目标：探索直角三角形全等的条件，运用直角三角形全等的条件来解决实际问题；③、情感与态度目标：培养学生的空间观念，推理能力，发展有条理地表达能力，积累数学活动经验。
三、教学重点、难点重点：掌握判定两直角三角形全等的条件；运用直角三角形全等的条件来解决实际问题难点：探索“HL”，灵活运用直角三角形全等的条件来解决实际问题四、教学方式采用师生互动，合作交流，实验探究的方式教学。
直角三角形的全等判定定理
直角三角形的全等判定定理1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊直角三角形的全等判定定理，这听起来有点复杂，但其实就像吃冰淇淋一样简单又好玩。
你可能会想，“全等判定定理”到底是什么鬼？别着急，让我给你解开这个谜团。
2. 什么是直角三角形？2.1 直角三角形的定义直角三角形，顾名思义，就是其中一个角是90度的三角形。
这种三角形就像三角形中的“老大”，因为它在很多地方都很实用。
比如说，建筑师在设计房子时，往往需要用到直角三角形来保证墙壁的直立，这可不是开玩笑的！2.2 直角三角形的特征直角三角形有一个特征，就是它的两条直角边和一条斜边。
说到斜边，那可是直角三角形的“王者”，它总是最长的，就像那个老大哥，默默守护着其他的小弟弟们。
要知道，如果没有这条斜边，直角三角形可就失去光彩了！3. 全等三角形的含义3.1 全等三角形的定义好吧，接下来我们要谈谈全等三角形了。
全等三角形就像是两个孪生兄弟，它们的形状和大小完全相同，尽管可能位置不同。
你想象一下，如果有两个完全相同的模型，放在不同的地方，看到它们时总会让你觉得奇妙。
3.2 直角三角形的全等判定定理那么，直角三角形的全等判定定理是怎么回事呢？其实很简单，主要有三种情况。
第一种情况，就是两条直角边相等。
这就像你和你的小伙伴在比拼谁的肌肉更壮，看看谁的直角边更长，哈哈。
第二种情况，就是一条直角边和斜边相等，这时候我们可以说，“哇，你的直角边和斜边真是绝配！”最后一种情况，就是两条直角边和夹角相等，这就好比两位舞者在舞台上完美配合，真是让人惊叹！4. 日常生活中的例子4.1 实际应用那么，直角三角形的全等判定定理有什么实际用处呢？想象一下，你在家里装修，墙壁和地板的角度必须是90度的，只有这样才能保证美观和实用。
或者你在学校上几何课时，老师用这些定理教你解题，真是一举两得啊！4.2 趣味活动而且，我们还可以通过一些简单的游戏来巩固这个知识。
比如说，拿出几根尺子，画出不同的直角三角形，看看它们是否全等。
直角三角形全等三角形的判定
直角三角形全等三角形的判定在咱们学习数学的奇妙旅程中，有这么一个有趣的部分——直角三角形全等三角形的判定。
这可真是个让人又爱又恨的小知识点呀！先来说说啥是直角三角形全等。
想象一下，有两个直角三角形，就好像两个形状特别的积木，如果它们能够完美地重合在一起，那它们就是全等的啦。
那怎么才能知道它们是不是全等呢？这就得靠咱们的判定方法啦。
判定直角三角形全等，有好几种方法。
其中一个特别重要的就是“HL”定理。
这“HL”就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开全等的大门。
“H”代表斜边，“L”代表直角边。
意思就是如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那这两个三角形就是全等的。
我记得有一次在课堂上，老师拿出两个直角三角形的模型，让我们来判断它们是不是全等。
同学们都瞪大眼睛，仔细观察着。
有个同学着急地说：“老师，我觉得它们是全等的，看起来一模一样！”老师笑着说：“光看可不行，得用咱们的判定方法来证明呀！”于是，大家开始量边的长度，认真地计算和比较。
最后，我们终于用“HL”定理得出了正确的结论，那种成就感，简直爆棚！还有一种方法是“SSS”，也就是三条边对应相等。
这就好像给三角形的三条边都量了量身，只要尺寸都一样，那它们肯定全等。
另外，“SAS”也能派上用场，两条边及其夹角对应相等，三角形也就全等啦。
其实啊，在生活中也能找到直角三角形全等的影子。
比如建筑工人盖房子的时候，要保证房梁的支架是全等的，这样房子才稳固。
他们就是用这些判定方法来保证工程质量的。
学习直角三角形全等三角形的判定，不仅能让我们在考试中拿到好成绩，更重要的是能培养咱们的逻辑思维能力。
就像解开一道道谜题，每一次找到答案，都觉得自己超级厉害！所以呀，同学们，可别小看了这个小小的知识点，它的用处大着呢！让我们一起努力，把它牢牢掌握在手中，成为数学世界里的小勇士！。
七年级数学探索直角三角形全等的条件
AC=DF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)
C
B
D
E F
想一想
你能够用几种方法说明 两个直角三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三 角形判定全等的方法，还有直角三角形特有的判定 方法“HL”. 判断直 角三角 形全等 条件
三边对应相等 SSS 一锐角和它的邻边对应相等 ASA 一锐角和它的对边对应相等 AAS 两直角边对应相等 SAS 斜边和一条直角边对应相等 HL
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴BC=BD
D
(全等三角形对应边相等).
2. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在 旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上， 两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明 你的理由。
解：BD=CD ∵在Rt△ABD与Rt△ACD中 AB=AC AD=AD ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL) ∴BD=CD(全等三角形对应边相等).
1.如图，∠ABD与∠DEF都是直角
（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF 全等 （填 “全等”或“不全等”）根据 ASA （用简写法）
（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF 全等 （填 “全等”或“不全等”）根据 AAS （用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF 全等 （填“全 等”或“不全等”）根据 SAS （用简写法） （4）若AB=DE，AC=DF则△ABC与△DEF 全等 （填“全等” 或“不全等”）根据 HL （用简写法）
A B F E D
C
看谁快!
把下列说明 Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或 根据补充完整.
A
AC=DF ∠A=∠D ( ASA ) (1) _______, BC=EF (2) AC=DF,________ (SAS)
直角三角形判定全等的方法
直角三角形判定全等的方法一种判断直角三角形全等的方法是基于两个三角形的边长和角度的关系。
具体来说，我们可以使用以下三种方法：SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）和AAS（角-角-边）定理。
1.SSS定理（边-边-边）：SSS定理指出，如果两个三角形的三边长度分别相等，则这两个三角形全等。
例如，如果两个直角三角形的三边长度分别为a、b、c和a’、b’、c’，如果a=a’、b=b’、c=c’，则可以判定这两个三角形全等。
这是最直观和直接的方法，但是在实践中，测量和比较三角形的边长可能不够准确。
因此，我们可以使用其他方法来判断直角三角形的全等。
2.SAS定理（边-角-边）：SAS定理指出，如果两个三角形的两边长和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
对于直角三角形，我们可以注意到其中一个角度是90度。
因此，如果两个直角三角形的一条直角边和两个相邻边的长度分别相等，则可以判定这两个三角形全等。
3.AAS定理（角-角-边）：AAS定理指出，如果两个三角形的两个角度和一条边长分别相等，则这两个三角形全等。
对于直角三角形，其中一个角度是90度。
因此，如果两个直角三角形的两个非直角角度和一条边的长度分别相等，则可以判定这两个三角形全等。
需要注意的是，在使用SAS和AAS定理时，我们需要确保给定的两个三角形中的直角对应于另一个直角。
如果直角不对应，则不能判定两个三角形全等。
除了使用这些方法，我们还可以使用勾股定理来判定直角三角形的全等。
勾股定理是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
假设我们有两个直角三角形，分别具有直角边a和b以及斜边c，以及直角边a’和b’以及斜边c’。
如果a²+b²=c²且a’²+b’²=c’²，则我们可以判定这两个直角三角形全等。
总结起来，我们可以使用SSS、SAS、AAS这些几何性质和勾股定理来判定直角三角形的全等。
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5.7探索直角三角形全等的条件(2)年级：七年级学科：数学执笔：市二中王恒课型：新授审核：市二中樊丽时间：2008-12-18【学习目标】知识目标：1理解直角三角形全等的判别，能综合运用三角形全等的判别解决问题。
2.结合图形理解图形变换的知识。
能力目标:通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力.情感目标:提高学生的识图技能，使学生的思维变得更灵活.【学习重点】直角三角形全等判定的运用【学习难点】判定方法的综合应用【学习方法】探索发现法【学习过程】一知识复习1我们学过的判定一般三角形全等的方法有哪些?2 直角三角形全等的特殊判定方法?3练习. 选择题（1）下列说法正确的是A.面积相等的两个直角三角形全等B.周长相等的两个直角三角形全等C.斜边相等的两个直角三角形全等D.有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（2）下列说法错误的是A.周长相等的两个等腰直角三角形全等B.面积相等的两个等腰直角三角形全等C.有一条角平分线相等的两个直角三角形全等D.有一腰上的中线对应相等的两个直角三角形全等二例题精讲例1在⊿ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB于E, DF⊥AC于F,DE=DF,试说明AB=AC.例2如图，E,F为线段AC上的两个动点，且D E⊥AC 于点E.,BF⊥AC于点F,AB=CD,AF=CE,BD交AC于M，(1)试说明MB=MD,ME=MF(2)当E,F两点移动到图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予说明。
例3 如图，已知AB=AE,B=DE,∠B=∠E,AF⊥CD于F。
试说明CF=DF三巩固练习1如图，⊿ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC,ED⊥AB于D,若AC=3㎝,则AE+DE=2⊿ABC中,AB=AC, BD⊥AC于 D， EC⊥AB 于 E BD,CE相交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等三角形的对数是3、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由答：理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC （已知）∴∠AFB=∠DEC= °在Rt△和Rt△中⎩⎨⎧==_______________________________∴≌（）∴∠= ∠（）∴（内错角相等，两直线平行）四反馈提升1 如图，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF.则AB与CD平行吗？为什么？2 已知：如图，AB=AC，AD⊥BC，垂足是F，P是AD上任意的一点，求证：PB=PC.3 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.求证：①AE=CD；②若AC=12 cm，求BD的长.五课堂小结六课堂检测1如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。
则△ACE≌△BDF，根据（5）若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的（）A两条直角边对应相等B斜边和一锐角对应相等C斜边和一条直角边对应相等D两个锐角对应相等七作业八教后反思5.5探索三角形全等的条件（2）年级：七年级 学科：数学 执笔：马晓丽 审核： 内容：探索三角形全等的条件（2）课型：新授课 时间：学习目标：1、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握三角形的“角边角”“角角边”条件，了解三角形的稳定性。
3、在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
学习重点：三角形“角边角”“角角边”的全等条件学习难点：用三角形“角边角”“角角边”的条件进行有条理的思考并进行简单的推理。
学习方法：探索、归纳总结。
学习过程：（一）准备活动：1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为 或2、如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，AD 能平 分∠BAC 吗？你能说明理由吗？解：AD 平分∠BAC 。
∵AD 是BC 边上的中线（已知） ∴ ＝ （中线的定义） 在 中 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧（图 1） ∴ ≌ （ ） ∴∠BAD ＝∠CAD （ ） ∴AD 平分∠BAC （ ）3、如图2， （图2）（1）∵AC ∥BD （已知）∴∠ ＝∠ （ ） （2）∵AD ∥BC （已知）∴∠ ＝∠ （ ） 4、如图3，∵EA ⊥AD ，FD ⊥AD （已知） （图3）∴∠ ＝∠ ＝90°（ ）（二）新授课 一、探索练习：1、如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm ，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？结论：A BC D 1234A B CDE F A B C D2、如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，比如三角形两个内角分别是60°和45°，一条边长为3cm 。
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？ 结论： 二、巩固练习：1、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成 或2、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成 或3、如图，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，你能证明△ABD ≌△ACE 吗？ 证明： △ABD 和△ACE 中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∠∠∠=∠（公共角）＝（已知）＝（已知） ∴ ≌ （ ） 4、如图，已知AC 与BD 交于点O ，AD ∥BC ，且AD ＝BC ，你能说明BO=DO 吗？证明：∵AD ∥BC （已知）∴∠A= ，（ ） ∠D= ，（ ）在 中，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∴ ≌ （ ）∴BO=DO （ ）5、如图，∠B ＝∠C ，AD 平分∠BAC ，你能证明△ABD ≌△ACD ？ 若BD ＝3cm ，则CD 有多长？证明：∵AD 平分∠BAC （ ）∴∠ ＝∠ （角平分线的定义） 在△ABD 和△ACD 中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∠∠∠=∠（公共边）＝（已证）＝（已知） ∴△ABD △ACD （ ） ∴BD ＝CD （ ） ∵BD ＝3cm （已知）∴CD ＝ ＝ （等量代换）A B C D OB CC6、如图，在△ABC 中，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BE ＝CF ，那么BD 与DC 相等吗？你能说明理由吗？ 解：BD ＝DC 。
∵BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F∴∠ ＝∠ ＝90°（垂直的定义） 在 中， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∴ ≌ （ ） ∴BD ＝DC （ ） （第6题） 7、如图，已知AB ＝CD ，∠B ＝∠C ，你能说明△ABO ≌△DCO 吗？三、提高练习：1、如图，AB ∥CD ，∠A ＝∠D ，BF ＝CE ，∠AEB ＝110°，求∠DCF 的度数。
2、如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，BE 是角平分线，ED ⊥AB 于D ， 且BD ＝AD ，试确定∠A 的度数。
小 结：掌握三角形的“角边角”“角角边”条件，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
作 业：课本P 143习题：1，2，3。
教学后记：学生不能很好地掌握三角形的“角边角”“角角边”条件，对“角边角”和“角角边”容易混淆，也不能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
A B C DEF A B C DEA BC D EF A B C D O5.5探索三角形全等的条件（2）年级：七年级 学科：数学 执笔：马晓丽 审核：内容：探索三角形全等的条件（2）课型：新授课 时间：学习目标：1、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握三角形的“角边角”“角角边”条件，了解三角形的稳定性。
3、在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
学习重点：三角形“角边角”“角角边”的全等条件学习难点：用三角形“角边角”“角角边”的条件进行有条理的思考并进行简单的推理。
学习方法：探索、归纳总结。
学习过程：（一）准备活动：1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为 或2、如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，AD 能平分∠BAC 吗？你能说明理由吗？解：AD 平分∠BAC 。
∵AD 是BC 边上的中线（已知） ∴ ＝ （中线的定义）在 中 图1 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∴ ≌ （ ） 图2 ∴∠BAD ＝∠CAD （ ） ∴AD 平分∠BAC （ ）3、如图2， （1）∵AC ∥BD （已知）∴∠ ＝∠ （ ） （2）∵AD ∥BC （已知）∴∠ ＝∠ （ ） 4、如图3， ∵EA ⊥AD ，FD ⊥AD （已知） ∴∠ ＝∠ ＝90° （ ） （二）新授课一、探索练习： 图3A B C D 1234A B CDEFAB C D1、如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm ，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？结论： 2、如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，比如三角形两个内角分别是60°和45°，一条边长为3cm 。
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？ 结论： 二、巩固练习：1、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成 或2、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成 或3、如图，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，你能证明△ABD ≌△ACE 吗？证明： △ABD 和△ACE 中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∠∠∠=∠（公共角）＝（已知）＝（已知） ∴ ≌ （ ） 4、如图，已知AC 与BD 交于点O ，AD ∥BC ，且AD ＝BC ，你能说明BO=DO 吗？证明：∵AD ∥BC （已知）∴∠A= ，（ ） ∠D= ，（ ） 在 中，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∴ ≌ （ ）∴BO=DO （ ） 5、如图，∠B ＝∠C ，AD 平分∠BAC ，你能证明△ABD ≌△ACD ？若BD ＝3cm ，则CD 有多长？证明：∵AD 平分∠BAC （ ）∴∠ ＝∠ （角平分线的定义）在△ABD 和△ACD 中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∠∠∠=∠（公共边）＝（已证）＝（已知） ∴△ABD △ACD （ ）∴BD ＝CD （）∵BD ＝3cm （已知）A B C DO B C∴CD ＝ ＝ （等量代换）6、如图，在△ABC 中，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BE ＝CF ，那么BD 与DC 相等吗？你能说明理由吗？ 解：BD ＝DC 。