浅谈正余弦定理解题应用
余弦定理和正弦定理的应用
余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是初中数学中非常重要的定理，它们在解决三角形相关问题时起到了至关重要的作用。
在本文中，我将为大家详细介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的实用性和重要性。
一、余弦定理的应用余弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。
它的数学表达式为：c² = a²+ b² - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角。
1. 求解三角形的边长假设我们已知一个三角形的两边和它们之间的夹角，想要求解第三边的长度。
这时，我们可以利用余弦定理来解决这个问题。
例如，已知一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，夹角为60°，我们可以利用余弦定理来计算第三边的长度。
根据余弦定理，我们可以得到c² = 5² + 8² - 2×5×8×cos60°，即c² = 25 + 64 -80cos60°。
进一步计算可得c² = 89 - 80cos60°，再开方可得c ≈ 2.92cm。
因此，这个三角形的第三边长约为2.92cm。
2. 求解三角形的角度除了求解边长外，余弦定理还可以用来求解三角形的角度。
例如，已知一个三角形的三边长分别为3cm、4cm和5cm，我们可以利用余弦定理来计算它的夹角。
根据余弦定理，我们可以得到cosC = (3² + 4² - 5²) / (2×3×4)，即cosC = (9 + 16 - 25) / 24。
计算可得cosC = 0，因此C的值为90°。
通过以上两个例子，我们可以看到余弦定理在求解三角形边长和角度时的实用性和重要性。
它为我们解决各种三角形相关问题提供了有力的工具。
二、正弦定理的应用正弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。
高中数学三角函数正弦定理与余弦定理的解题方法
高中数学三角函数正弦定理与余弦定理的解题方法在高中数学中，三角函数是一个重要的章节，其中正弦定理和余弦定理是解决三角形相关问题的关键。
本文将介绍这两个定理的解题方法，并通过具体题目的举例，说明其考点和解题技巧。
一、正弦定理的解题方法正弦定理是指在任意三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角度A、B、C之间有如下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC1. 已知两边和一个夹角，求第三边假设已知三角形ABC中，边长a=5cm，b=7cm，夹角C=45°，求边长c。
根据正弦定理，有a/sinA = c/sinC，代入已知条件，得到5/sin45° = c/sinC。
由此可得c = sinC/sin45° * 5 ≈ 5√2 cm。
2. 已知两边和一个角度，求另外两个角度假设已知三角形ABC中，边长a=4cm，b=6cm，夹角C=60°，求角度A和B。
根据正弦定理，有a/sinA = b/sinB，代入已知条件，得到4/sinA = 6/sinB。
由此可得sinA/sinB = 2/3。
根据三角函数的性质，sinA/sinB = 1/sin(B-A)。
所以，1/sin(B-A) = 2/3，解得sin(B-A) = 3/2。
但是，sin(B-A)的取值范围是[-1,1]，因此无解。
二、余弦定理的解题方法余弦定理是指在任意三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角度A、B、C之间有如下关系：c² = a² + b² - 2ab*cosC1. 已知两边和一个夹角，求第三边假设已知三角形ABC中，边长a=5cm，b=7cm，夹角C=45°，求边长c。
根据余弦定理，有c² = a² + b² - 2ab*cosC，代入已知条件，得到c² = 5² + 7² -2*5*7*cos45°。
正、余弦定理及应用举例
02
余弦定理
定义与性质
定义
余弦定理是三角形中的重要定理，它 描述了三角形三边与其对应角的余弦 值之间的关系。
性质
余弦定理具有对称性，即交换任意两 边及其对应的角，定理仍然成立。此 外，余弦定理还可以用来判断三角形 的形状。
证明方法
证明方法一
利用向量的数量积和向量模长的性质来 证明余弦定理。
VS
定理应用举例
总结词
正弦定理在解决三角形问题中具有广泛的应用，例如求三角形边长、角度等。
详细描述
利用正弦定理，我们可以解决许多三角形问题，例如求三角形的边长、角度等。例如，已知三角形的 两边及其夹角，我们可以利用正弦定理求出第三边的长度。此外，正弦定理还可以用于判断三角形的 解的个数和类型，以及解决一些几何作图问题。
正、余弦定理及应用 举例
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正、余弦定理的综合应用 • 正、余弦定理的扩展与推广 • 正、余弦定理在数学竞赛中的应用
01
正弦定理
定义与性质
总结词
正弦定理是三角形中一个基本的定理 ，它描述了三角形边长和对应角的正 弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意 一边与其对应的角的正弦值的比等于 三角形外接圆的直径，也等于其他两 边与它们的对应角的正弦值的比。
证明方法二
通过作高线，将三角形转化为直角三角形 ，再利用勾股定理来证明余弦定理。
定理应用举例
应用一
已知三角形的两边及其夹角，求第三边。
应用二
判断三角形的形状。例如，如果一个三角形中存在两个角相等，则 这个三角形是等腰三角形。
应用三
解决一些实际问题，如测量、工程设计等。例如，在测量中，可以 利用余弦定理来计算两点之间的距离。
正弦余弦定理及应用
正弦余弦定理及应用正弦定理和余弦定理是在解三角形问题中常用的两个定理。
在解决三角形问题时，我们经常需要求解三角形的边长或者角度。
使用正弦定理和余弦定理可以帮助我们更方便地解决这些问题。
首先来看正弦定理。
正弦定理是针对一个三角形中的角和边之间的关系进行描述的。
对于一个三角形ABC，其三个内角分别为∠A、∠B和∠C，三个对边长度分别为a、b和c，则正弦定理可以表示为：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C其中sin∠A表示∠A的正弦值。
正弦定理的推导过程非常简单，可以通过三角形的面积公式进行得出。
由于三角形的面积与其对边的关系为S = (1/2)ab*sin∠C，我们可以得到sin∠C = (2S)/(ab)，从而推导出上述的正弦定理。
正弦定理的应用非常广泛。
通过正弦定理，我们可以方便地求解角度或者边长。
举个例子来说，如果我们已知一个三角形的两条边分别为a=5、b=7，以及它们之间的夹角为∠C=30，我们可以利用正弦定理来求解第三条边c的长度。
根据正弦定理，我们可以得到c/sin∠C = b/sin∠B，化简后得到c = b*sin∠C/sin ∠B。
将具体数值代入计算可以得到c=3.5。
而余弦定理则是针对三角形的边和边之间的关系进行描述的。
对于一个三角形ABC，其三个边的长度分别为a、b和c，三个内角分别为∠A、∠B和∠C，则余弦定理可以表示为：c²= a²+ b²- 2ab*cos∠C余弦定理的推导过程较为复杂，这里我们只给出其结果。
余弦定理是由向量的内积推导而来的，通过应用余弦定理，我们可以求解未知角或边长。
同样以一个例子来说明，如果我们已知一个三角形的两条边分别为a=5和b=7，以及它们夹角的余弦值cos∠C=1/2，我们可以利用余弦定理来求解第三条边c 的长度。
根据余弦定理，我们可以得到c²= a²+ b²- 2ab*cos∠C，将具体数值代入计算可以得到c²= 25 + 49 - 35/2 = 59.5。
余弦定理和正弦定理的应用
余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形问题中常用的数学定理。
它们可以帮助我们求解三角形的边长、角度和面积等。
本文将分别介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的具体使用方法。
一、余弦定理的应用余弦定理是一个用来描述三角形边长和夹角之间关系的定理。
在任意三角形ABC中，假设边长分别为a、b、c，而对应的夹角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab·cosC1. 求解三角形边长假设我们已知一个三角形的两个边长a和b，以及它们夹角C的大小。
我们可以通过余弦定理来求解第三个边长c。
例如，已知三角形ABC中，边AB的长度为5，边AC的长度为8，而夹角B的大小为60度。
按照余弦定理，我们可以用下式来计算边BC的长度：BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cosB代入具体数值，即可求得：BC² = 5² + 8² - 2·5·8·cos60°BC² = 25 + 64 - 80·0.5BC² = 89 - 40BC² = 49BC = √49 = 7因此，边BC的长度为7。
2. 求解三角形夹角在某些情况下，我们已知三角形的三个边长，但需要求解其中一个夹角的大小。
余弦定理同样可以解决这个问题。
例如，已知三角形ABC的边长分别为a=4、b=7、c=9。
我们想要求解夹角C的大小。
根据余弦定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC代入具体数值，我们可以得到：9² = 4² + 7² - 2·4·7·cosC81 = 16 + 49 - 56·cosC16 + 49 - 81 = 56·cosC-16 = 56·cosCcosC = -16 / 56 = -0.2857由于余弦函数的定义域为[-1, 1]，该结果无解，即无法构成三角形。
余弦定理及正弦定理的应用
余弦定理及正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。
它们被广泛应用于测量、导航、工程等领域。
下面将分别介绍余弦定理和正弦定理，并说明它们在实际应用中的具体运用。
一、余弦定理余弦定理描述了一个三角形的边与夹角之间的关系。
对于任意一个三角形 ABC，其边长分别为 a、b、c，对应的夹角分别为 A、B、C。
根据余弦定理，可以得到以下等式：a² = b² + c² - 2bc * cosAb² = a² + c² - 2ac * cosBc² = a² + b² - 2ab * cosC余弦定理可以用于解决以下问题：1. 测量三角形边长：如果已知三角形的两个边长和它们之间的夹角，可以利用余弦定理计算出第三条边的长度。
2. 计算三角形的夹角：如果已知三角形的三条边长，可以利用余弦定理的逆运算求解三个夹角的大小。
3. 解决航海导航问题：根据已知的方位角和航程，可以利用余弦定理计算船只的坐标位置。
二、正弦定理正弦定理描述了三角形边与其对应角的正弦值之间的关系。
对于任意一个三角形 ABC，其边长分别为 a、b、c，对应的夹角分别为 A、B、C。
根据正弦定理，可以得到以下等式：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理可以用于解决以下问题：1. 求解三角形的面积：如果已知三角形的两边和它们之间的夹角，可以利用正弦定理求解三角形的面积。
2. 判定三角形类型：根据三边的长度和正弦定理，可以判断三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。
3. 解决建筑工程问题：在建筑测量中，需利用正弦定理计算高度、距离等未知量。
综上所述，余弦定理和正弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。
通过运用这些定理，我们可以计算三角形的边长、夹角，求解三角形的面积，判断三角形的类型等。
在测量、导航、工程等领域，都离不开这两个定理的应用。
正余弦定理在生活中的运用
正余弦定理在生活中的运用正余弦定理在实际生活中的应用有：航海、地理、物理、建筑工程。
1、航海在航海中，正余弦定理被广泛用于计算方向角。
当航行在广阔的海域或天空时，确定目标的方向是至关重要的。
通过观测两个已知位置相对于自身的角度，利用正弦或余弦定理，航行者可以精确地计算出到达目标的航向角，确保安全、准确地到达目的地。
2、地理在地理中，正余弦定理被用于计算地球上两点之间的精确距离。
由于地球是一个球体，因此需要使用球面三角学来进行计算。
通过观测两个已知位置相对于第三个位置的角度，利用正弦定理或余弦定理，测量人员可以精确地计算出两点之间的实际距离，为地图绘制、导航等提供准确的数据支持。
3、物理在物理学中，正弦定理和余弦定理被广泛应用于波动和振动的研究。
例如，在声学和光学中，这些定理被用来描述波的传播和干涉现象。
通过测量波的振幅、频率和传播方向，可以使用正弦定理或余弦定理来计算波在不同介质中的传播速度、波长和相位差。
4、建筑工程在建筑工程中，正弦定理和余弦定理可用于解决与角度和距离相关的问题。
例如，在设计桥梁、隧道或高楼大厦时，工程师需要计算各种角度和距离以确保结构的稳定性和安全性。
通过使用正弦定理或余弦定理，工程师可以确定结构物的高度、长度、宽度和角度等参数。
正余弦定理介绍和区别一、正余弦定理介绍1、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。
即，a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c为三角形的三边，A、B、C为三角形的三个内角。
2、余弦定理在任意三角形中，一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍。
即，c²=a²+b²-2abcosC，其中a、b、c为三角形的三边，C为夹角。
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理与余弦定理的应用正弦定理和余弦定理是中学数学中重要的几何定理，它们在解决三角形相关问题时起着关键作用。
本文将以实际例子为基础，详细介绍正弦定理和余弦定理的应用。
一、正弦定理的应用正弦定理是解决三角形边长和角度之间关系的重要工具。
它的表达式为：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，其中$a$、$b$、$c$分别为三角形的边长，$A$、$B$、$C$为对应的角度。
例子一：已知三角形$ABC$中，$AB=5$，$BC=8$，$\angle B=45^\circ$，求$\angle A$和$\angle C$的大小。
解析：根据正弦定理可得：$\frac{5}{\sin A}=\frac{8}{\sin 45^\circ}$。
通过求解可得$\sin A=\frac{5\sin 45^\circ}{8}$，进而得到$\angle A=\sin^{-1}\left(\frac{5\sin 45^\circ}{8}\right)$。
同理，可以求得$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B$。
通过计算可得$\angle A\approx 28.07^\circ$，$\angle C\approx106.93^\circ$。
例子二：已知三角形$ABC$中，$AB=6$，$BC=9$，$\angle A=30^\circ$，求$AC$的长度。
解析：根据正弦定理可得：$\frac{6}{\sin 30^\circ}=\frac{AC}{\sin C}$。
通过求解可得$\sin C=\frac{AC\sin 30^\circ}{6}$，进而得到$AC=\frac{6\sin C}{\sin30^\circ}$。
由于$\sin C=\sin (180^\circ-\angle A-\angle B)$，可以通过计算得到$AC\approx 10.39$。
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理和余弦定理在三角学及相关领域中具有广泛的应用，通过这两个定理，我们可以解决许多与三角形相关的问题。
以下是关于正弦定理和余弦定理的应用的详细探讨。
一、正弦定理的应用正弦定理是三角学中的一个基本定理，它表达了三角形中任意一边与其对应的角的正弦值之间的关系。
正弦定理在实际应用中具有广泛的用途，以下是几个具体的应用示例：1. 航海与测量：在航海和大地测量中，正弦定理被用来计算地球上两点之间的距离。
由于地球表面可以近似为一个球体，因此可以通过测量两点的纬度和经度，利用正弦定理计算出两点之间的实际距离。
2. 电气工程：在电气工程中，正弦定理被用来分析交流电路中的电压、电流和电阻之间的关系。
通过正弦定理，我们可以推导出各种电气元件（如电阻、电容和电感）的等效电路模型，从而简化电路分析。
3. 通信与信号处理：在通信和信号处理领域，正弦定理被用来分析信号的频谱特性和传输特性。
通过正弦定理，我们可以将复杂的信号分解为一系列正弦波的组合，从而更容易地理解和处理信号。
二、余弦定理的应用余弦定理是另一个重要的三角定理，它表达了三角形中任意一边的平方等于其他两边平方之和减去这两边夹角的余弦值乘以这两边乘积的2倍。
余弦定理同样具有广泛的应用，以下是几个具体的应用示例：1. 几何学：在几何学中，余弦定理被用来解决与三角形边长和角度相关的问题。
例如，在已知三角形的两边及其夹角时，我们可以利用余弦定理求出第三边的长度。
此外，余弦定理还可以用于判断三角形的形状（如锐角三角形、直角三角形或钝角三角形）以及求解三角形的内角。
2. 物理学：在力学中，余弦定理被用来求解连接杆件的长度和角度问题。
例如，在机器人学和机械设计中，我们需要确定各个杆件之间的相对位置和角度，以便实现预期的运动轨迹。
余弦定理可以帮助我们解决这个问题。
此外，余弦定理还在许多其他领域中得到应用，如航空航天、土木工程、计算机图形学等。
在这些领域中，余弦定理通常被用来求解与空间几何和三维变换相关的问题。
正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用
正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用正弦定理和余弦定理是解三角形中非常常用的定理。
它们可以帮助我们在已知一些边长或角度的情况下，求解出其他未知边长或角度。
在本文中，我们将详细介绍正弦定理和余弦定理的概念，并阐述它们在解三角形中的运用。
一、正弦定理正弦定理是解三角形中最为基础和常用的定理之一、它可以用来求解三角形的任意一个角度或边长。
正弦定理的表达形式如下：a / sinA =b / sinB =c / sinC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。
在应用正弦定理求解问题时，需要注意以下几个方面：1.已知两边和它们对应的夹角，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 a = b * sinA / sinB 或 a = c * sinA / sinC。
2.已知两边和它们对应的夹角，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinA = a * sinC / c 或 sinA = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 A 的值。
3.已知两个角度和一个对边，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 b = a * sinB / sinA 或 b = c * sinB / sinC。
4.已知两个角度和一个对边，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinB = b * sinA / a 或 sinB = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 B 的值。
由于正弦定理可以用来求解任意一个角度或边长，因此它非常灵活和实用。
二、余弦定理余弦定理是解三角形中另一个重要的定理。
它可以用来求解三角形的边长或角度。
余弦定理的表达形式如下：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosAb^2 = c^2 + a^2 - 2ac * cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。
正余弦定理在解三角形中的高级应用与最值问题4
正余弦定理在解三角形中的高级应用与最值问题4方法技巧与总结1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sin sin sin222S ab C ac B bc A===，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识．5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解．7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．核心考点：边角特殊，构建坐标系【规律方法】利用坐标法求出轨迹方程【典型例题】例1．在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2a+2228b c+=，则ABC△的面积的最大值为______．【答案】5【解析】:方法1:如图，在ABC ∆中，以线段AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则,02c A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02c B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(,)C x y ，得222c x y ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦222822c x y c ⎡⎤⎛⎫++=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，整理得222544x y c +=-，当ABC ∆面积最大时0x =，故12ABC S c ∆=⨯=285c =时，ABC ∆面积取得最大值为5.方法2:如图，设AD x =，BD y =，CD h =，由22228a b c ++=，得()()22222(hyhxx +++++2)8y =，即222222()8h x y x y ++++=，又2x y +222()(2x y x y ++ 当且仅当x y =时取等号)，所以2252()82h x y ++ ，又1()2ABC S x y h x ∆=+=+22y ⨯=⨯15)25x y ⎤+=⨯⨯⎥⎦15)25x y ⎤+⨯⨯⎥⎦2252()22h x y ++(当且仅当)x y+=时，等号成立，即h =，将h =与x y =代人222222()8h x y x y ++++=中，得105x y ⎫==⎪⎪⎭.所以ABC ∆面积取得最大值为5.方法3:由三角形面积公式，得1sin 2ABC S ab C ∆=，即()222222211sin 1cos 44ABC S a b C a b C ∆==-，由22228a b c ++=，得22282a b c +=-，由余弦定理，得283cos 2c C ab-=，所以()222222211sin 1cos 44ABCS a b C a b C ∆==-=()22222222831831142416c c a b a b ab ⎡⎤-⎛⎫-⎢⎥⋅-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()2222242835161616a b c c c +--=-+(当且仅当a b =时取等号)，当285c =时，42516c c -+，取得最大值45，即245ABC S ∆ ，所以ABC ∆面积的最大值为255(也可以用基本不等式求2ABC S ∆的最大值，即42516ABC c S ∆=-+()2225165145165c c c -=⋅ ，所以ABC ∆25).方法4:在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，由22228a b c ++=，得()222222cos 8a b a b ab C +++-=，即()22384cos a b ab C +=+，又222a b ab + ，所以84cos 6ab C ab + ，即(32cos )4ab C - ，故432cos ab C -，又1sin 2ABC S ab C ∆=，所以2sin 32cos ABC C S C ∆- ，令2sin ()32cos xf x x=-，(0,)x π∈，得26cos 4()(32cos )x f x x -'=-，令06cos 40x -=，得02cos 3x =，x()00,x 0x ()0,x π()f x '+-()f x 极大值()0f x即当02cos 3x =时，05sin x =，()0()f x f x =最大值002sin 2532cos 5x x ==-，所以ABC ∆面积的最大值为55.例2．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若3a b ==，在ABC △所在的平面内存在点M ，使得2223MA MB MC +==3，则ABC △的面积的最大值为______．【答案】16【解析】:以AB 所在直线为x 轴，AB 边的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,0)A m -，(,0)B m ，(0,)C n ，(,)M x y ，0m >，0n >.由223MA MB +=，得2222()()3x m y x m y +++-+=，即22232x y m +=-①，又21MC =，故22()1x y n +-=②，其中①式可以看作以(0，0)的圆的轨迹方程，②式可以看作以(0,)n 为圆心，半径为1的圆的轨迹方程，由题意知两圆有公共点，即点M ，则11(3)n + ③，又a b ==，得223m n +=④，由③，④得223016m < ，因为ABC S mn ∆=，所以()22223ABCS m n m∆==-，2223924m m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当22316m =时，2ABC S ∆取得最大值575256，故BC S ∆的最大值为16.核心考点：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题【规律方法】与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．【典型例题】例3．（2022·重庆一中高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足()22sin cos cos B A C B =-+.(1)证明：a ，b ，c 成等比数列；(2)若a c >且22252a cb +=，ABC，求ABC 的周长.【解析】（1）()()()22sin cos cos cos cos B A C B A C A C =-+=--+()22sin cos cos sin sin cos cos sin sin B A C A C A C A C =+--22sin 2sin sin B A C =2b ac=根据等比数列中等比中项定义可知a ，b ，c 成等比数列，证毕（2）根据余弦定理可知222222532cos 224b ba cb B ac b -+-===则sin B ==根据三角形面积公式：211sin 22ABC S ac B b ==得b =()222222225592236222a cb ac ac b ac a c b +=⇒++=+⇒+==得6a c +=，故ABC的周长为：6ABC C b a c =++=+ 例4．（2022·山东聊城·高三期中）已知ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且2b a =，3c =．(1)若2π3C =，求ABC 的面积；(2)若2sin sin 1B A -=，求ABC 的周长．【解析】（1）因为2222cos c b a ab C =+-，2b a =，3c =，∴279a =，解得7a =，∴1199sin 2227214ABC S ab C ==⨯⨯△．（2）因为2b a =，由正弦定理可得sin 2sin B A =，代入2sin sin 1B A -=，解得1sin 3A =，2sin 3B =，因为a b <，所以A 为锐角，∴cos 3A ==，当B为锐角时，cos 3B ==，∴()15222425sin sin sin cos cos sin 33339C A B A B A B =+=+=+=因为sin sin c aC A=，∴a =b =∴3ABC C = ，当B 为钝角时，cos B =-∴()sin sin sin cos cos sin 1522242533339C A B A B A B ⎛=-+= ⎝⎭=+=+，因为sin sin c aC A=，∴4253a +=b =∴3ABC C = ．综上：ABC 的周长为3或3．例5．（2022·山西·高三阶段练习）在①cos sin c A C =；②()(sin sin )()sin a b A B c C -+=；③3cos cos b A a B c +=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足___________．(1)求角A 的大小；(2)若D 为线段CB 延长线上的一点，且2,CB BD AD AC ===，求ABC 的面积．【解析】（1）若选择①，∵cos sin c A C =．∴sin cos sin C A A C =，∵sin 0C ≠，∴cos A A =，即tan A =，∵(0,π)A ∈∴π6A =；若选择②，∵()(sin sin )()sin a b A B c C -+=，∴()()()a b a b c c -+=，∴222a b c -=，∴222a b c =+，222cos 2b c A bc a +=-，∵(0,π)A ∈∴π6A =；若选择③，∵3cos cos b A a B c +=+，∴3sin cos sin cos sin B A A B B C +=+，∴3sin cos sin cos sin()B A A B B A B +=++，∴3sin cos sin cos sin cos cos sin B A A B B A B A B +=++，∴2sin cos B A B =，又∵(0,π)B ∈．∴sin 0B ≠，∴cos A =(0,π)A ∈，∴π6A =；（2）设BD x =，AB y =，ABD θ∠=，在ABC 中，用余弦定理可得2222cos AC BC BA BC BA ABC =+-⋅⋅∠，即2212422cos(π)x y xy θ=+-⨯-①，又∵在ABC 中，2222cos BC AC AB AC AB CAB =+-⋅⋅∠，即224122cos x y CAB =+-⨯∠.即224612x y y =-+，即226124y y x -+=②，在ABD △中，用余弦定理可得2222cos AD BD BA BD BA ABD =+-⋅⋅∠，即2232cos x y xy θ=+-③，③2⨯+①可得226318x y +=，将②式代入上式可得2,1y x ==，1sin 2ABC S AB AC A =⋅⋅= 例6．（2022·云南云南·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(cos sin )b c A A =-.(1)求角C ；(2)若c =，D 为边BC 的中点，ADC △的面积1S =且B A >，求AD 的长度.【解析】（1）因为(cos sin )b c A A =-，所以sin sin (cos sin )B C A A =-，又sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=，所以sin cos sin sin A C C A ≡-，因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠，所以cos sin C C =-，即tan 1=-C ，又(0,π)C ∈，所以3π4C =；（2）由ADC △面积1S =可得2ABC S =△，则1sin 22ab C =，即122ab ，得ab =又2222cos c a b ab C =+-，所以2220a b +=②，联立①②得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩B A >，所以2,a b ==在ACD 中，由余弦定理可得2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅8121132⎛=+-⨯⨯-= ⎝⎭，所以AD =例7．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））如图，△ABC 中，点D 为边BC 上一点，且满足AD CDAB BC=．(1)证明：πBAC DAC ∠+∠=；(2)若AB ＝2，AC ＝1，BC =ABD 的面积．【解析】（1）在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB CBC BAC=Ð,在ADC △中，由正弦定理得sin sin AD CCD DAC=Ð,又AD CDAB BC =，故sin sin sin =sin sin sin C C BAC DAC DAC BAC=扌行，由于BAC DAC ∠>∠，所以BAC DAC ∠≠∠，因此πBAC DAC ∠+∠=，（2）由AB ＝2，AC ＝1，BC =2224171cos 22212AB AC BC BAC AB AC +-+-Ð===-状,由于BAC ∠为三角形内角,所以120BAC ∠= ，由(1)知60DAC ∠= ,故60DAB ∠=因此1sin602211sin602ABDADCAB AD S AB S AC AC AD 创==创,进而得221133sin12021332323ABD ABC S S AB AC==创创=创�核心考点：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围【规律方法】对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．【典型例题】例8．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=.(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 周长的取值范围.【解析】（1）在ABC 中，()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=，由正弦定理得：2(2)(2)2a c a c a c b -+-=，整理得222b ac ac =+-，由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==，而0B π<<，所以3B π=.（2）由（1）知，3B π=，由正弦定理得：2sin sin sin sin 3a cb A C B π====，则,a A c C ==，而23A C π+=，令,33A C ππθθ=+=-，在锐角ABC 中，032032ππθππθ⎧<+<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得66ππθ-<<，cos 12θ<≤，于是得(sin sin 2sin cos 4cos 4333a c πππθθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎤+++-⨯=∈ ⎪ ⎪⎥⎦⎝⎭⎝⎭⎦，则26a b c <++≤，所以ABC周长的取值范围是2,6]+.例9．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知向量()cos ,sin a x x =，),sin =b x x ，函数()12=⋅- f x a b ．将函数()f x 的图像向左平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图像．(1)求函数()g x 的零点；(2)若锐角ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别是a ，b ，c ，且()1f A =，求b ca+的取值范围．【解析】（1）211π()cos sin sin sin 2226f x a b x x x x ⎛⎫=⋅-=+-=- ⎪⎝⎭ ，∴()πππsin 2sin 2463g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()π2πZ 3x k k +=∈，解得()πZ 62k x k π=-+∈，函数()g x 的零点是()πZ 62k k π-+∈；（2）由正弦定理得sin sin sin b c B Ca A++=，由（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，而()2f A =，得πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴ππ22π62A k -=+，Z k ∈，又()0,πA ∈，得π3A =，∴2π3C B =-代入上式化简得：2ππ3sin sin sin cos π36222sin sin sin sin 6B B B B B b c B a A A A ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭====+ ⎪⎝⎭，又ABC 为锐角三角形，∴π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，∴ππ62B <<πsin 16B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，2b ca+<≤．例10．（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数()()πsin cos sin π2f x x x x x m ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭．(1)在下列三个条件中选择一个作为已知，使得实数m 的值唯一确定，并求出使函数()f x 在区间[]0,a 上最小值为12-时，a 的取值范围；条件①：()f x 的最大值为1；条件②：()f x 的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭；条件③：()f x 的一条对称轴为π3x =．(2)若12m =-，在锐角ABC 中，若()1f A =，且能盖住ABC 的最小圆的面积为π，求+AB AC 的取值范围．【解析】（1）()2sin cos f x x x x m=+1cos 2π1sin 2sin 22262x x m x m -⎛⎫=++=-++ ⎪⎝⎭，选条件①：因为()f x 的最大值为1，所以102m +=，即12m =-，此时实数m 的值唯一确定，满足题意．当[]0,x a ∈时，πππ2,2666x a ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，要使最小值为12-，则ππ7π2666a -<-≤，解得2π03a <≤，所以函数()f x 在区间[]0,a 上最小值为12-时a 的取值范围为2π0,3⎛⎤⎥⎝⎦．选条件②：()f x 的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭，则77π11sin 201212622f m m ππ⎛⎫⎛⎫=⨯-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12m =-，此时实数m 的值唯一确定，满足题意，当[]0,x a ∈时，πππ2,2666x a ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2666a -<-≤，解得2π03a <≤，所以函数()f x 在区间[]0,a 上最小值为12-时a 的取值范围为2π0,3⎛⎤⎥⎝⎦．条件③：()f x 的一条对称轴为π3x =，则无法确定m 的值，不满足题意．（2）当12m =-时，()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()1f A =，所以πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为ABC 为锐角三角形，所以π02A <<，ππ5π2,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ262A -=，故有π3A =．已知能盖住ABC 的最小圆为ABC 的外接圆，由面积为π，则半径1R =，设ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由正弦定理22sin sin sin a b cR A B C====，所以2sin b B =，2sin c C =，2π2sin 2sin 2sin 2sin 3b c B C B B ⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭π3sin 6B B B ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为ABC 为锐角三角形，所以022032B C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得ππ62B <<．所以ππ2π363B <+<πsin 16B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，故3b c <+≤+AB AC的取值范围是(3,．例11．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，cos sin sin cos a A A B b B =+，且a b ¹．(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且2c =，求△ABC 面积的取值范围．【解析】（1）由sin sin sin a b cA B C==以及cos sin sin cos a A A B b B +=+，可得22sin cos sin cos A A A B B B =+，即sin 2sin 2cos 2)cos 2)22A BA B -=-+，即sin 2sin 2cos 2cos 22222A B A B -=-，即sin 2cossin cos 2sin 2cos sin cos 23333A A B B ππππ-=-，即sin(2)sin(2)33A B ππ-=-，由于a b ¹，故A B ≠，又0<,A B π<，故5<2,23333A B ππππ---<，故(2)(233A B πππ-+-=或(2)(2)333A B πππ-+-=，解得56A B π+=或116A B π+=（舍去），故()6C A B ππ=-+=.（2）由正弦定理得24sin 6sin sin A B a b π===，即4sin a A =，4sin b B =．所以ABC 的面积sin sin sin si 1544sin()26n C b B A S A A a π===-，22s n 2sin(in co 23s A A A A π=+=-因为ABC 为锐角三角形，所以02532062A A A πππππ⎧<<⎪⎪⇒<<⎨⎪<-<⎪⎩，所以22(,333A πππ-∈，所以sin(2),1]32A π-∈，故ABC面积的取值范围是2+．例12．（2022·湖南·安仁县第一中学模拟预测）在,ABC 中内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,.a b c已知22cos 2sin sin 122A B A B -⎛⎫-=-⎪⎝⎭(1)求角C 的大小.(2)若1c =，求ABC S 的最大值.【解析】（1）由倍角公式知原式可化为1cos()2sin sin 1.A B A B +--=即21(cos cos sin sin )2sin sin 1.2A B A B A B ++-=-整理得：21cos()12A B ++=，即cos()A B +=所以cos C =，故.4C π=（2）由余弦定理和基本不等式可得：2222c a b ab =+-≥-，即12.ab ≥（即22ab ≤当且仅当a b ==时，等号成立..1221sin .244ABC S ab C ab =即max 1.4ABC S =（）例13．（2022·山东·日照市教育科学研究中心高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 满足3BD BC = ，且0AD AC ⋅=．(1)若b ＝c ，求A 的值；(2)求B 的最大值．【解析】（1）因为0AD AC ⋅=，所以103AB BC AC ⎛⎫⋅ ⎪⎭+⎝=，即21033AB AC AC ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭+= ，所以2212121cos 0333333AB AC AC AB AC AC AC bcA b +=⋅⎛⎫⋅ ⎪+⋅=+⎝⎭=，因为b ＝c ，所以1cos 2A =-，因为0A π<<，所以23A π=．（2）因为2212121cos 0333333AD AC AB AC AC AB AC AC AC bcA b ⋅=+=⋅⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭+⋅=+= ，由余弦定理得，222222121cos 033323b c a bc A b bc b bc +-+=+=，即22220b c a +-=，所以2222222223222cos 222a c a c a c a c b B ac ac ac -+-+-===≥当且仅当22322a c =时，即a =时，取等号．因为0B π<<，所以B 的最大值为6π．例14．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知()()22232cos b c b c a abc C -+-=．(1)求tan A ；(2)若b c +=ABC 面积的最大值．【解析】（1）在ABC 中，()()22232cos b c b c a abc C -+-=，由余弦定理2222cos b c a bc A+-=得，(3)2cos 2cos b c bc A abc C -⋅=，整理得3cos cos cos b A a C c A =+，由正弦定理得：3sin cos sin cos sin cos sin()sin B A A C C A A C B =+=+=，而sin 0B >，解得1cos 3A =，sin ==Asin tan cos A A A==（2）由（1）知22sin 3A =，而b c +=2()82b c bc +≤=，当且仅当b c ==等号，于是得112282sin 82233ABC S bc A =≤⨯⨯=，所以当b c ==ABC 面积取得最大值823.例15．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）在①πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②32S BA CA =⋅；③tan (2)tan c A b c C =-.三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题.在ABC 中，内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，ABC 的面积为S ，且满足___________(1)求A 的大小；(2)设ABC的面积为D 在边BC 上，且2BD DC =，求AD 的最小值.【解析】（1）选①，由πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理得πsin sin sin sin 3A B B A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ABC 中sin 0B ≠，∴πsin sin 3A A ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()0,πA ∈ ，则sin 0A >，1sin sin 2A A A +=，可得sin 0A A =>，则tan A =，因此，π3A =；选②，31co 3s si 2n 22S bc A bc A BA CA ⋅=== ，()0,πA ∈ ，则sin 0A >，∴tan A =π3A =；选③，tan (2)tan c A b c C =-，由正弦定理和切化弦得sin sin sin (2sin sin )cos cos A CCB C A C=-，ABC 中sin 0C ≠，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B=+=+=ABC 中sin 0B ≠，()0,πA ∈ ，∴1cos 2A =，得π3A =（2）由1sin 2ABC S bc A ==△，有8bc =，由23AD AB BC =+ ，有1233AD AB AC =+ ，∴222221441416169999999AD AB AB AC AC c b =+⋅+=++≥+ 41648999bc =+=，等号成立时28c b bc =⎧⎨=⎩即24c b =⎧⎨=⎩，∴AD。
正弦定理和余弦定理的应用
建筑设计：确 定建筑物的最 佳设计方案， 例如高度、角
度和长度等
机械设计：计 算齿轮的旋转 角度和速度， 以确保机械设 备的正常运行
水利工程：计 算水流的流速 和方向，以设 计合理的排水 系统或水电站
Part Four
正弦定理和余弦定 理的应用技巧和注
意事项
应用技巧
掌握基本公式：熟悉正弦定理和余弦定理的基本公式，能够熟练运用。
理解几何意义：理解正弦定理和余弦定理在几何图形中的应用，能够根 据图形特点选择合适的定理。
灵活变换形式：能够根据问题需要，灵活变换正弦定理和余弦定理的形 式，简化计算过程。
注意适用范围：明确正弦定理和余弦定理的适用范围，避免在不适合的 情况下使用。
注意事项
适用范围：正 弦定理和余弦 定理适用于直 角三角形，注 意角度的取值
水利工程：在水利工程中，如大坝、水库和水电站的设计和建设中，需要利用正弦定理和余弦 定理进行水流角度和速度的计算，以确保工程的安全性和稳定性。
Part Three
正弦定理和余弦Байду номын сангаас 理的实例分析
几何学中的实例分析
直角三角形中的 正弦定理应用
等腰三角形中的 余弦定理应用
任意三角形中的 正弦定理和余弦 定理综合应用
正弦定理是解三角形的重要工具，可以用于计算角度、边长等。
余弦定理的定义
余弦定理公式： a²=b²+c²-2bc cos A
适用范围：解决 任意三角形边长 和角度的问题
证明方法：利用 向量的数量积和 向量的模长公式 进行证明
应用举例：通过 余弦定理可以求 出三角形的任意 一边长度和角度
定理的证明和推导
定理
Part Two
数学解题技巧之余弦定理与正弦定理的应用
数学解题技巧之余弦定理与正弦定理的应用在数学解题中，余弦定理与正弦定理是两个非常重要且经常被使用的定理。
它们能够帮助我们求解各种三角形相关的问题。
本文将探讨余弦定理与正弦定理的定义、应用以及解题技巧。
一、余弦定理余弦定理是描述三角形边与角之间关系的定理。
它可以用来解决一些已知三边或两边一角的三角形问题。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，角A对应于边a，角B对应于边b，角C对应于边c。
则余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，^2表示乘方，cosC表示角C的余弦值。
余弦定理可以应用于以下几种情况：1. 已知三边求角度：如果已知三角形的三个边长a、b、c，我们可以利用余弦定理计算角A、角B、角C的大小。
2. 已知两边一角求边长：如果已知三角形的两个边长a、b和它们夹角C，我们可以利用余弦定理计算第三个边c的长度。
3. 已知两边和夹角求第三边：如果已知三角形的两个边长a、b和它们夹角C，我们可以利用余弦定理计算第三个边c的可能范围。
二、正弦定理正弦定理也是解决三角形相关问题的重要工具。
它可以描述三角形的边和角之间的关系。
对于一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，角A对应于边a，角B对应于边b，角C对应于边c。
正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理的应用有以下几种情况：1. 已知两角一边求另外一边：如果已知三角形的两个角A、B和一边c的长度，我们可以利用正弦定理计算另外两个边a、b的长度。
2. 已知两边一角求角度：如果已知三角形的两个边长a、b和夹角C 的大小，我们可以利用正弦定理计算另外两个角A、B的大小。
3. 已知三边求角度：如果已知三角形的三个边长a、b、c，我们可以利用正弦定理计算三个角A、B、C的大小。
三、解题技巧1. 判断何时使用余弦定理或正弦定理：根据已知条件的不同，确定使用何种定理。
如果已知两边一角，则通常使用余弦定理；如果已知两角一边，则通常使用正弦定理。
正弦、余弦定理与应用
正弦、余弦定理与应用正弦、余弦定理是解决三角形中各边和角关系的重要工具。
在几何学和三角学中，它们被广泛应用于测量和计算问题。
本文将介绍正弦、余弦定理的概念及其应用，并通过实例展示其有效性。
一、正弦定理正弦定理是解决三角形中边和角之间关系的定理。
对于任意三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理的应用可以帮助我们求解未知边或未知角。
例如，给定一个三角形的两边长度和它们之间的夹角，我们可以通过正弦定理计算出第三边的长度。
例如，假设三角形ABC，已知边AB的长度为5，边AC的长度为7，夹角BAC的大小为30°。
应用正弦定理，我们可以得到：5/sin30° = 7/sinBAC通过代入数值并解方程，我们可以求得角BAC的大小。
正弦定理使我们能够通过已知边长和夹角大小来计算其他边长和角度。
二、余弦定理余弦定理是另一个用于三角形中边和角之间关系的定理。
对于任意三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC通过余弦定理，我们可以计算三角形中的边长或角度。
例如，已知三角形ABC的两边长度分别为3和4，夹角C的大小为60°，我们可以通过余弦定理计算第三边的长度。
应用余弦定理，我们可以得到：c² = 3² + 4² - 2*3*4*cos60°通过计算，我们可以求得第三边的长度c。
余弦定理在解决三角形中边和角关系时非常有用，特别是当仅已知两边和它们之间的夹角时。
三、应用案例正弦、余弦定理广泛应用于测量和计算相关问题。
以下是一些实际应用案例：1. 三角测量：正弦、余弦定理可以用于三角形测量中。
例如，在地理测量中，通过测量三角形的边长和角度可以确定地球上两点之间的距离。
正、余弦定理的应用
正、余弦定理的应用
题目：正弦定理以及应用条件，余弦定理以及应用条件？
正弦定理(Sinetheorem)内容在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a、sinA=b、sinB=c、sinC=2R（其中R 为三角形外接圆的半径）。
正弦定理的应用领域，在解三角形中，有以下的应用领域：
（1）、已知三角形的两角与一边，解三角形。
（2）、已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。
（3）、运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系。
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
余弦定理：余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
专题一(正余弦定理的综合运用)
涉及力、速度、加速度等物理量的计算，如求解 物体在斜面上的支持力、分析刚体的平衡状态等。
3
电磁学问题
涉及电场、磁场等物理场的计算，如求解带电粒 子在磁场中的运动轨迹、计算电磁感应现象中的 感应电动势等。
建模方法和步骤介绍
确定问题类型
根据实际问题背景，确定问题 的类型和所属领域。
建立数学模型
a:sinA = b:sinB = c:sinC，也可以简单理解为边长与对应角的正弦值成正比。余弦Biblioteka 理定义及表达式余弦定理定义
在一个三角形中，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a² = b² + c² 2bc·cosA（其中a、b、c为三角形三边，A为边a所对的角）。
分析题目中的已知条件和所求，明确解题目 标。
灵活转化边角
利用三角函数的基本关系和诱导公式，实现 边角之间的灵活转化。
合理选择公式
根据题目特点，选择适当的正余弦定理公式 进行求解。
细心求解过程
注意计算过程中的细节和技巧，避免计算错 误。
难点和易错点提示
难点
如何准确理解题意并建立数学模 型；如何选择适当的公式进行求 解；如何实现边角之间的灵活转 化。
图形结合法思想介绍
01
图形结合法是一种将几何图形与代数方程相结合来解决问题的 方法。
02
在正余弦定理中，通过绘制三角形或其他相关图形，将已知条
件和未知量直观地表示出来，有助于理解和解决问题。
图形结合法强调直观性和形象性，能够帮助学生更好地理解正
03
余弦定理的几何意义和代数表达。
具体案例分析
案例一
专题一：正余弦定理的综合运用
合理选择正余弦定理解题
合理选择正余弦定理解题
正余弦定理是数学中最重要的定理之一，学习它是高中数学的一项必修课程，但很多学生并不能正确理解和使用正余弦定理解题。
因此，本文将以“合理选择正余弦定理解题”为题，讨论如何更有效地理解和使用正余弦定理解题。
首先，在使用正余弦定理解题之前，学生应该仔细阅读问题，以确定问题的内容，明确目标。
如果问题的理解不清楚，就会导致回答不精确。
因此，阅读问题时，要从问题的主要关键词出发，进行详细的了解，以确保完全理解问题的意思。
其次，学生需要认真观察题目，判断题目是否可以使用正余弦定理解决。
此时，学生应该记住三点：第一，正余弦定理可以用于证明三角形内角和相关平行线问题；第二，此定理可以用于证明等腰三角形的垂心、垂足和两等边三角形的中线定理；第三，此定理还可以用于证明全等三角形的定理。
最后，学生开始解决题目时，应该做好准备，根据题目的内容，设计出解题思路，然后逐步推导，最后小心核对得出答案。
在结束本次解题过程之前，一定要在书面上总结结果，以便更快地掌握正余弦定理，并正确应用它。
总之，若要有效地理解和使用正余弦定理解题，学生首先要仔细阅读问题，明确目标；其次要认真观察题目，判断是否可以正余弦定理；最后要动笔解题，在结束本次解题过程之前，一定要在书面上总结结果。
只有充分理解并正确运用正余弦定理，才能解决数学问题，
取得效果。
正余弦定理应用小结
正余弦定理应用小结一．三角形中的求角或求边长问题例1、△ABC 中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB 、BC 、CA 上取点D 、E 、F ，使△DEF 是等边三角形（如图1）。
设∠FEC=α，问sin α为何值时，△DEF 的边长最短？并求出最短边的长。
图 1分析：要求最短边的长，需建立边长关于角α的目标函数。
解：设△DEF 的边长为x,显然∠C=90°,∠B=60°,故EC=x ·cos α.因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B,所以∠EDB=α.在△BDE 中，由正弦定理得, 所以 ，因为BE+EC=BC ，所以， 所以 当，.注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理.二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状。
例2：在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C c A a=，再由余弦定理，得cos B ＝2222a c b ac +-． ∴ 2222a c b ac +-＝2c a，即a 2＝b 2，得a ＝b ，故选(B)． 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一 化为边，再判断(如解法2)．二、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等 方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题例3 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求CD的宽度。
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浅谈正余弦定理解题应用
作者：陈家俊
来源：《中学课程辅导·教学研究》2017年第26期
摘要：正、余弦定理是高中数学学习的重要内容，以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，来考核的题目是近几年来高考的热点题型。
特别是用正、余弦定理来解决实际问题的应用题目既是学习的重点和难点，又是考试的热点，因此加强对正、余弦定理的解题应用学习非常重要。
关键词：正、余弦定理；运用
一、利用正、余弦定理计算高度
利用正、余弦定理测量高度问题，在军事、航空、天文、地理和日常生活中的应用非常广泛，这些物体一般不能直接测量，而运用正、余弦定理就容易进行计算。
其应用步骤是：一是画图，根据所给已知条件画出示意图；二是分析三角形，分析和问题有关的三角形；三是求解，运用正、余弦定理求解有关三角形，就可求出高度。
例1、要测量河对面的电视发射塔的高度AB时，可选择与塔底在同一平面内的两点C、D进行测量，测得CD=s，∠BCD=a，∠BDC=β，在C点测得塔顶的仰角为θ，求塔高。
解析：要求出塔高，在直角△ABC中，已知仰角∠ACB=θ ，只要求出BC的长就可计算出塔高，而在△BCD中用正弦定理可求出BC的长度。
在△BCD中，∠CBD=π-a-β，根据已知条件运用正弦定理，可得BCsin∠BDC=CDsin∠CBD，
∴可求出BC=s.sinβsin（a+β），∴在直角△ABC中AB=BC.tan∠ACB=s.tanθ.sinβsin
（a+β）。
点评：在用正、余弦定理测量计算高度问题时，要正确理解仰角、俯角、坡角、坡度等特定相关概念，并要准确画出解题的示意图才能正确解题。
在本题中，要把所求的问题转变成三角型的模型，并明确已知条件，已知两角和一边，可以运用正弦定理就能容易解决。
二、利用正、余弦定理计算距离
利用正、余弦定理可以计算有障碍物相隔的两点之间的距离问题。
利用正弦定理解决距离问题时，一般要测出所构造的三角形的两角和一边，或两边和其中一边的对角，才能计算距离；利用余弦定理解决距离问题时，通常要测出所构造的三角形的两边和夹角，或两边和其中一边的对角；有时需要综合运用两个定理才能计算距离。
例2、在图2中，甲船以302海里/时速度向北航行，乙船沿直线匀速航行。
当甲船位于
A1时，乙船位于甲船北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里；当甲船航行20分钟到达A2时，乙船位于甲船北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里。
求乙船的航行速度。
解析：连接图中的A1B2，∵ A2B2=102 A1A2=302×2060=102，∴A1A2=A2B2，
∵∠A1A2B2=180°-120°=60°，∵△A1A2 B2等边三角形∴A1B2=A1A2=102，∵A1B1=20，∠B1A1B2=105°-60°=45°，在△A1B2B1中运用余弦定理，B1B22 =A1B12+A1B22-
2A1B1A1B2.COS45°=200，∴B1B2=102，∵乙船速度=10220×60=302（海里/时）
点评：本题的解题模型是常见的四边形，但其实质是三角形，在题信息量大，条件多，有一定的干扰因素，通过连接A1B2，就把四边形的问题转化成了三角形的问题。
另外，把
B1B2“归”到△A1B2B1中来选择运用余弦定理求解。
题中挖掘△A1A2B2的几何条件和性质是解题的关键，这样就可以找到解题思路，优化解题过程。
三、正、余弦定理的综合运用
利用正、余弦定理在解决应用问题时，经常需要在一起综合运用。
此时应恰当选择定理才能简化计算过程，提高解题效率。
同时还应把正、余弦定理和平面几何中的知识结合使用，通过数形结合，充分挖掘题目中的隐含条件，就能正确使问题得到解决。
例3、已知a、b、c是△ABC中三个内角所对应的边长，C=π3，c=2，sinC+sin（B-A）
=2sin2A。
求：△ABC的面积。
解析：∵sinC+sin（B-A）=2sin2A=4sinAcosA，∴sinBcosA=2sinAcosA。
当cosA=0时，A=π2，B=π6，a=433，b=233，∴三角形面积S=12absinC=233。
当cosA≠0时，sinB=2sinA，根据正弦定理得b=2a，建方程组a2+b2-ab=4b=2a ，可求出
a=233，b=433，∴三角形面积S=12absinC=233。
综合两种情况可得三角形面积为233。
点评：在解三角形中，面积公式是最常用，因为在面积公式中它既有边又有角，非常容易把正弦定理和余弦定理两者结合起来解决一些比较复杂的综合问题。
在解三角形中也经常把三角函数的内容加入到题目中进行综合考核，比如，求三角函数的最值问题。
综上所述，利用正、余弦定理来解决应用问题时，一般都是从题意出发，把实际问题抽象出一个或几个三角形，通过解三角形，就能解决实际问题。
利用正、余弦定理来解决几何问题时，要根据所给的条件，恰当选择定理。
运用正弦定理时，常常是把边转化成角，如果题目给出的条件是三条边的关系，一般考虑利用余弦定理来解题。
另外，图形结合方式也是利用这两个定理解题的常用方法。
（作者单位：湖南省益阳市一中1602班 413000）。