人教版 九年级数学讲义 弧长、扇形、正多边形介绍(含解析)
人教版九年级数学上册24.4弧长和扇形面积教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与弧长和扇形面积相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用硬纸板制作一个扇形，测量并计算其面积。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了弧长和扇形面积的基本概念、计算公式以及它们在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对弧长和扇形面积的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解弧长和扇形面积的基本概念。弧长是圆上两点间的弧与半径的对应圆心角的比值；扇形面积是由圆心、圆上两点和这两点间的弧所围成的图形。它们在工程、设计等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，计算一个半圆的弧长和面积，通过这个案例，我们可以了解弧长和扇形面积在实际中的应用，以及它们如何帮助我们解决问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《弧长和扇形面积》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在生活中是否遇到过需要计算圆的一部分长度或面积的情况？”比如，设计一个扇形花园，我们该如何计算它的面积？这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索弧长和扇形面积的奥秘。
数学九上《弧长和扇形面积》ppt课件
弧长和扇形面积的计算方法
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弧长是指圆弧的长度，是圆周长的部分。
弧长的定义
弧长的计算公式
弧长的应用
弧长 = (圆心角/360°) × 圆的周长。
弧长常用于计算圆的周长、圆的面积、扇形面积等。
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根据弧长的定义，弧长是圆周长的部分，因此可以通过圆周长的公式推导出弧长的公式。
扇形面积的计算公式为：扇形面积 = (圆心角（弧度） / 2π) × π × 半径^2。
这个公式是通过将扇形分割成若干个小三角形，再求和得出的。
扇形面积是指由圆弧和两条半径围成的图形面积。
弧长和扇形面积都是描述圆或圆弧属性的量，它们之间存在一定的关系。
当圆心角相同时，弧长越长，扇形面积越大；反之，当弧长相同时，圆心角越大，扇形面积也越大。
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根据扇形面积的定义，扇形面积是圆面积的部分，因此可以通过圆面积的公式推导出扇形面积的公式。
扇形面积公式的推导
弧长公式的推导
弧长和扇形面积的应用
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弧长公式是计算圆或扇形周长的重要工具，常用于计算几何图形的周长。
弧长公式
扇形面积公式是计算扇形面积的基础，对于计算几何图形的面积和比例关系具有重要意义。
掌握弧长和扇形面积的计算公式。
理解弧长和扇形面积的几何意义。
能够运用所学知识解决实际问题，提高数学应用能力。
弧长和扇形面积的基本概念
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弧长是指圆弧的长度，可以通过圆心角和半径计算得出。
弧长的计算公式为：弧长 = 圆心角（弧度） × 半径。
正多边形与圆、弧长扇形讲义doc
正多边形与圆、弧长、扇形面积公式讲义 一、正多边形与圆知识点讲解：正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．正多边形的相关概念：⑴正多边形的中心角；⑵正多边形的中心；⑶正多边形的半径；⑷正多边形的边心距 正多边形的性质：⑴正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形； ⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形中心的对称轴； ⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心． 正多边形的有关计算⑴正n 边形的每个内角都等于()2180n n-装； ⑵正n 边形的每一个外角与中心角相等，等于360n°；⑶设正n 边形的边长为n a ，半径为R ，边心距为n r ，周长为n P ，面积为n S ， 则2221801801112sincos 422n n n n n n n n n n n a R r R R r a P na S n r a r P n n 鞍===+==鬃= ，，，，正多边形的画法：1.用量角器等分圆:由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.2.用尺规等分圆:对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 精典例题：例1：填写下列表中的空格正多边形边数 内角 中心角 半径边长 边心距 周长面积 323 4 1 62例题2：若正三角形、正方形、正六边形和圆的周长都相等，那么____________的面积最大； 若它们的面积都相等，那么_____________的周长最大．例题3：在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的各边长均大于1且小于2则这个多边形的边数必为___________．例题4：下面给出六个命题：其中，错误的命题是_____________．①各角相等的圆内接多边形是正多边形； ②各边相等的圆内接多边形是正多边形； ③正多边形是中心对称图形； ④各角均为120°的六边形是正六边形；⑤边数相同的正n 边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形 例题5：（1）正n 边形内接于半径为R 的圆，这个n 边形的面积为23R ，则n 等于____________． （2）正八边形每一个外角是多数等于_______．N 边形每一个内角等于________．例题6：O ⊙的内接多边形周长为3，O ⊙的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是( )A ．6B ．8C ．10D ．17例题7：已知圆内接正六边形面积为33，求该圆外切正方形边长．例题8：已知圆内接正方形的面积为2，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积． 强化训练1、正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为 。
人教版九年级数学第24章圆24.4弧长和扇形面积讲义
合作探究探究点1 弧长公式知识讲解如果弧长为l ，圆心角度数为n °,Z 圆的半径为R ，则,1802,300R n R n l ππ==(1) 在弧长的计算公式中，n 是表示10的圆心角的倍数，n 和180都不要带单位.(2)若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算弧长.(3)题设未标明精确度的,可以将弧长用π表示.(4)正确区分弧、弧的度数.弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不定相等,弧长相等的弧不定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一.典例剖析例1 如右图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧»AB . 已知半径OA=60cm ，∠AOB=1080，则管道的长度(即»AB 的长)为多少? (结果保留π)解析 直接运用弧长公式180Rπn l =求解. 答案 设»AB 的长为lcm,∵R=60cm ，n=1080,∴()cm R n l πππ3618060108180=⨯⨯== ∴管道的长度为cm π36.类题突破1 如下图.Rt △ABC 中，∠ACB=90°∠B=300.AC=1，若以A 为圆心、AC 为半径的弧交斜边AB 于点D.则»CD的长为 A.2π B.3π C.4π D.6π 答案 B点拨 直接利用弧长公式进行计算. 探究点2(高频考点) 扇形及其面积公式知识讲解(1)扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
(2)扇形的面积公式:设圆的半径为R,圆心角是n 0的扇形面积为S 扇形.则.2121803602lR R R n R n S =⨯==ππ扇形(其中l 为扇形的孤长) 典例剖析例2 如图，两个同心圆被两条半轻截得的»AB 的长为5π,»CD 的长为7π,AC=4.求阴影部分的面积。
解析 阴影部分的面积等于两个扇形的面积之差. 答案 设圆心角为n 0，大圆与小的半径分别是为R 1,R 2则.1802,180211R n l R n l ππ==即阴影部分的面积为24π.类题突破2 如图，扇形OAB 的圆心角为900，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小哦关系怎样？答案 设两个半圆的另一个交点为C ，如图，扇形OAB 的半径为R ，则P=S 扇形OAB -2S 平面OCA +Q=.22124122Q Q R R =+⎪⎭⎫⎝⎛⋅⨯-ππ∴P 和Q 相等.点拨 假设出扇形的半径，再表示出半圆面积和扇形的面积，即可找到两部分面积间的关系.探究3（高频考点）圆锥的侧面积和全面积 知识讲解(1)连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆维的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.(2)圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。
人教版九年级数学上册 正多边形和圆;弧长和扇形面积培优讲义
正多边形和圆；弧长和扇形面积培优讲义一、知识点：(1)多边形内角和公式：01802⋅-）（n(2)边心距：过圆心作边的垂线段(3)把一个圆分成n(n≥3)等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的_内接正n边形_。
(4)一个正多边形的_外接圆的圆心__叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径_叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的_圆心角_叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的_距离_叫做正多边形的边心距．(5)正n边形的每一个内角等于_______，它的中心角等于______，它的每一个外角等于______正三角形正方形正六边形12r a3R==a21r2==R ar32==R扇形面积计算：方法一：如果已知扇形圆心角为n，半径为r，那么扇形面积=s方法二：如果已知扇形弧长为l，半径为r，那么扇形面积=s（1）h为圆锥的，a为圆锥的，r为圆锥的，由勾股定理可得：a、h、r之间的关系为：（2）圆锥的侧面展开后一个：圆锥的母线是扇形的而扇形的弧长恰好是圆锥底面的。
故:圆锥的侧面积就是圆锥的侧面展开后的扇形的。
圆锥的表面积= +1、与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆；内切圆的圆心叫三角形的内心.2、三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点.1、弧长公式：180Rnlπ=； 2、扇形面积公式：R lRnS213602==π二、经典例题 例1.正三角形的边心距、半径和高的比是（ ）A. 1:2:3B.321：： C.321：： D.321：： 例2.已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm ，求此扇形的面积。
例3.如下左图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于C ，PA=2cm ，PC=1cm,则图中阴影部分的面积S 是 （ ）A.2235cm π-B.2435cm π- C.24235cm π-D.2232cm π-例4.如上右图，把直角三角形 ABC 的斜边AB 放在定直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A ″B ′C ″的位置，设BC=1，AC= 3 ，则顶点A 运动到 A ″的位置时，点A 经过的路线与直线l 所围成的面积是____________（计算结果不取近似值）例5.如图，等腰直角△ABC 的斜边AB ＝4，O 是AB 的中点，以O 为圆心的半圆分别与两腰相切于D 、E ，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）。
人教版九年级上册数学 第24章《圆》讲义 第讲 正多边形和圆弧长和扇形面积(有答案)
第17讲 正多边形和圆、弧长和扇形面积 第一部分 知识梳理 知识点一：圆与内正多边形的计算1、正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；2、正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::1:1:2OE AE OA =3、正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::1:3:2AB OB OA = 知识点二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180n R l π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱侧面展开图：3、圆锥侧面展开图第二部分 考点精讲精练考点1、正多边形和圆的求解例1、六边形的边长为10cm ，那么它的边心距等于（ ）A ．10cmB ．5cmC ．cm D ．cm 例2、已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为（ ） A ．正三角形 B ．正方形 C ．正六边形 D ．正十二边形例3、如图，在⊙O 内，AB 是内接正六边形的一边，AC 是内接正十边形的一边，BC 是内接正n 边形的一边，那么n= ．例4、圆的内接正六边形边长为a，这个圆的周长为．例5、如图，已知边长为2cm的正六边形ABCDEF，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别为所在各边的中点，求图中阴影部分的总面积S．举一反三：1、下列命题中的真命题是（）A．三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2：1B．正六边形的边长等于其外接圆的半径C．圆外切正方形的边长等于其边A心距的倍D．各边相等的圆外切多边形是正方形2、已知正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R：a=（）A．1：1：B．1：：2 C．1：：1 D．：2：43、某工人师傅需要把一个半径为6cm的圆形铁片加工截出边长最大的正六边形的铁片，则此正六边形的边长为 cm．4、如图，正六边形与正十二边形内接于同一圆⊙O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为．5、如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t= s时，四边形PBQE为菱形；②当t= s时，四边形PBQE为矩形．考点2、弧长的计算例1、一条弧所对的圆心角是90°，半径是R，则这条弧长是（）A．B．C．D．例2、一个滑轮起重装置如图所示，滑轮半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O，绕逆时针方向旋转的角度约为（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°）（）A．115°B．160°C．57°D．29°例3、已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=120°，OB=1，则∠BAD= 度，∠BCD= 度，弧BCD的长= ．例4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=cm，将△ABC绕点B旋转至△A′BC′的位置，且使点A、B、C′三点在一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是．例5、如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC为对角线．将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AC′D′，连接DC′．（1）求证：△ADC≌△ADC′；（2）求在旋转过程中点C扫过路径的长．（结果保留π）举一反三：1、弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，则弧所在的圆的半径为（）A．6 B．6C．12D．182、如图，一块边长为10cm的正方形木板ABCD，在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转到A′B′C′D′的位置时，顶点B从开始到结束所经过的路径长为（）A．20cm B．20cm C．10πcm D．5πcm3、一段铁路弯道成圆弧形，圆弧的半径是2km．一列火车以每小时28km的速度经过10秒通过弯道．那么弯道所对的圆心角的度数为度．（π取3.14，结果精确到0.1度）．4、已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，按如图放置在直线AP上，然后不滑动地转动，当它转动一周时（A→A′），顶点A所经过的路线长等于．5、如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠CAB=30°，BC=1米．工人师傅把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点B翻转到△A1B1C1的位置（BC1在l上），最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边）．（1）请直接写出AB、AC的长；（2）画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，并求出该路径的长度（精确到0.1米）．考点3、扇形面积的计算例1、已知五个半径为1的圆的位置如图所示，各圆心的连线构成一个五边形，那么阴影部分的面积是（）A．B．2π C．D．3π例2、一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=4cm，以点A 为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积是（）A．（4π+8）cm2 B．（4π+16）cm2C．（3π+8）cm2 D．（3π+16）cm2例3、如图，E是正方形ABCD内一点，连接EA、EB并将△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC，若BA=4，BE=3，在△BAE旋转到△BCF的过程中AE扫过区域面积．例4、如图，有一直径为1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形，则剩下部分的（阴影部分）的面积是．例5、如图，已知P为正方形ABCD内一点，△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置．（1）请说出旋转中心及旋转角度；（2）若连接PQ，试判断△PBQ的形状；（3）若∠BPA=135°，试说明点A，P，Q三点在同一直线上；（4）若∠BPA=135°，AP=3，PB=，求正方形的对角线长；（5）在（4）的条件下，求线段AP在旋转过程中所扫过的面积．举一反三：1、若一个扇形的面积是相应圆的41，则它的圆心角为（ ） A ．150° B ．120° C ．90° D ．60°2、如图所示的4个的半径均为1，那么图中的阴影部分的面积为（ ）A ．π+1B ．2πC ．4D ．63、如图，O 为圆心，半径OA=OB=r ，∠AOB=90°，点M 在OB 上，OM=2MB ，用r 的式子表示阴影部分的面积是 ．4、如图，直角△ABC 的直角顶点为C ，且AC=5，BC=12，AB=13，将此三角形绕点A 顺时针旋转90°到直角△AB′C′的位置，在旋转过程中，直角△ABC 扫过的面积是 ．（结果中可保留π）5、如图，四边形ABCD 是长方形，AB=a ，BC=b （a ＞b ），以A 为圆心AD 长为半径的圆与CD 交于D ，与AB 交于E ，若∠CAB=30°，请你用a 、b 表示图中阴影部分的面积．考点4、圆锥侧面积计算例1、如果圆锥的高为3cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是（ ）A ．16πcm 2B ．20πcm 2C ．28πcm 2D ．36πcm 2例2、新疆哈萨克族是一个游牧民族，喜爱居住毡房，毡房的顶部是圆锥形，如图所示，为防雨需要在毡房顶部铺上防雨布．已知圆锥的底面直径是5.7m ，母线长是3.2m ，铺满毡房顶部至少需要防雨布（精确到1m 2）（ ）A ．58 m 2B ．29 m 2C ．26 m 2D ．28 m 2例3、扇形的圆心角为150°，半径为4cm ，用它做一个圆锥，那么这个圆锥的表面积为 cm 2．例4、在十年文革期间的“高帽子”．这种“高帽子”是用如图①所示的扇形硬纸板，做成如图②所示的无底圆锥体．已知接缝的重叠部分的圆心角为30°．（1）求重叠部分的面积．（结果保留π）（2）计算这顶“高帽子”有多高？（结果保留根号）例5、已知：一个圆锥的侧面展开图是半径为20cm，圆心角为120°的扇形，求这圆锥的底面圆的半径和高．举一反三：1、若圆锥的侧面积为12πcm2，它的底面半径为3cm，则此圆锥的母线长为（）A．4πcm B．4 cm C．2πcm D．2 cm2、圆锥的轴截面是一个等腰三角形，它的面积是10cm2，底边上的高线是5cm，则圆锥的侧面展开图的弧长等于（）A．87πcm B．47πcm C．8 cm D．4 cm3、如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的高为。
+24.4.1弧长和扇形面积+课件++2024-2025学年人教版数学九年级上册+-
·自我检测 当堂反馈·
1.一个扇形的圆心角为90o，半径为2，则弧长为
，
扇形面积π为
.
π
2. 一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则该扇 形的圆心角为 150o .
3.已知半径为2cm的扇形，其弧长为8cm,则这个扇形的面 积S扇形 =_8_c_m__2 ．
·归纳总结 反思提高·
（1）本节课我们研究的内容是什么？ 弧长和扇形面积公式
（2）小明觉得上面的扇形可近似看成曲边△AOB，其中 可 看作是三角形的底，半径可作为三角形的高，所以他猜测该 扇形面积还可以用三角形的面积公式求得.请你通过计算判断 小明的猜想是否合理，并说明理由.
·活用公式 解决问题·
活动2 推导公式
·活用公式 解决问题·
变式练习 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 3dm，其中水面高度为1.5dm，求截面上有水部分的面积.
（2）我们是怎么研究的？ 从整体到部分 从特殊到一般 类比迁移
（3）本节课你有哪些收获？
·布置作业 分层训练·
基础作业
1.120°的圆心角所对的弧长为
,则此弧所在的圆的半径是
2.如左图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B为圆心，BC长为半径
画弧，交AD于点E，则图中阴影部分的面积为
链接中考 如右图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交
180°
90°
1°
占整圆的 几分之几
弧长 扇形面积
“数”与“式”
从整体到部分
n°
从特殊到一般
类比思想
·活用公式 解决问题·
趁热打铁 如图，若扇形的半径R是3，∠AOB=120°， （1）求 的长和扇形AOB的面积.
九年级数学上册 期末考点大串讲 正多边形和圆及弧长和扇形面积(含解析)(新版)新人教版-(新版)新人
正多边形和圆及扇形面积知识网络重难突破知识点一正多边形和圆正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．正多边形的相关概念：➢正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．➢正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．➢正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．➢正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．半径、边心距，边长之间的关系：画圆内接正多边形方法（仅保留作图痕迹）：1）量角器（作法操作复杂，但作图较准确）2）量角器+圆规（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）3）圆规+直尺（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）【典型例题】典例1（2019·某某市期中）如图，圆O与正五边形OOOOO的两边OO，OO分别相切于O，O两点，∠=__________度.则OCB【答案】18【分析】根据∠OCB=∠BCD-∠OCD，求出∠BCD，∠OCD即可；【详解】解：∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，∴OA⊥AE，OC⊥CD，∴∠OAE=∠OCD=90°，又∵∠BCD=108°，∴∠OCB=108°-90°=18°故答案为18．【名师点睛】本题考查正多边形与圆、切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．典例2（2019·某某市期中）正三角形OOO内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正三角形的面积为_________．【答案】27√3【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，OD、BD、BC的值，然后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：连接AO并延长交BC与点D连接BO，∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，OO，∴∠OBD=30°，BD=CD=12∴OD=1=3，2OB∴AD=9，BD=√62−32=3√3，∴BC=6√3，×6√3×9=27√3.∴这个正三角形的面积为：12故答案为：27√3．【名师点睛】此题主要考查了正多边形和圆，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD是解题关键．典例3（2019·莱芜市期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则△ADE的周长是________ .【答案】6+2√3【分析】首先确定三角形的三个角的度数，从而判断该三角形是特殊的直角三角形，然后根据半径求得斜边的长，从而求得另外两条直角边的长，进而求得周长．【详解】连接OE ，∵多边形ABCDEF 是正多边形，∴∠DOE=360°6=60°， ∴∠DAE=12∠DOE=12×60°=30°，∠AED=90°，∵⊙O 的半径为2，∴AD=2OD=4，∴DE=12AD=12×4=2，AE=√3DE=2√3，∴△ADE 的周长为4+2+2√3=6+2√3，故答案为：6+2√3．【名师点睛】考查了正多边形和圆的知识，解答的关键是确定三角形的三个角的度数，然后确定其三边的长，难度不大．典例4（2018·余干县期中）如图，要拧开一个边长为a=6cm 的正六边形螺帽，扳手X 开的开口b 至少为______cm ．【答案】6√3.【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍，构造一个由半径、边长的一半、边心距组成的直角三角形，再根据锐角三角函数的知识求解即可．【详解】解：设正多边形的中心是O ，其一边是AB ，AC 与BO 相交于点M ，∴∠AOB =∠BOC =60°，∴OA=OB=AB=OC=BC ，∴四边形ABCO 是菱形，∵OA =AB =6cm ，∠AOB =60°，∴∠OAC =30°，cos ∠OAC =OO OO ，∴AM =6×√32=3√3（cm ），∵OA=OC ，且∠AOB =∠BOC ，∴AM=MC =12AC ，∴AC =2AM =6√3（cm ）．故答案为6√3．【名师点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边和边心距组成的直角三角形、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.典例5（2018·某某市期末）如图，有公共顶点A 、B 的正五边形和正六边形，连接AC 交正六边形于点D ，则∠ADE 的度数为___．【答案】84°．【分析】据正多边形的内角，可得∠ABE 、∠E 、∠CAB ，根据四边形的内角和，可得答案．【详解】正五边形的内角是∠ABC＝(5−2)×180°5＝108°，∵AB＝BC，∴∠CAB＝36°，正六边形的内角是∠ABE＝∠E＝(6−2)×180°6＝120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB＝360°，∴∠ADE＝360°﹣120°﹣120°﹣36°＝84°，故答案为84°．【名师点睛】本题考查了多边形的内角与外角，利用求多边形的内角得出正五边形的内角、正六边形的内角是解题关键．知识点二圆锥相关知识设⊙O的半径为O，O°圆心角所对弧长为O，弧长公式：O=OOO180（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）扇形面积公式：O扇形=O360OO2=12OO母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
人教版九年级数学上册课件：24.4弧长和扇形面积(共19张PPT)
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1353π6×0 152＝375π(cm2)．
9
能力提升
11．如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分．图2中， 图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°，则图2的周长为 83π ________cm.(结果保留π)
10
12．如图，在△ABC中，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋 转30°得到△FGC，则图43中π 阴影部分的面积为________.
第二十四章 圆
弧长和扇形面积
第一课时
知识展示
知识点 1 弧长公式 n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l＝n1π8R0 ，其中 R 为半径． 核心提示：在弧长公式中，已知 l、n、R 中的任意两个量，都可以求出第三个 量． 知识点 2 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
分析：先用扇形OAB的面积－三角形OAB的面积求出上面空白部分面积，再用扇形OCD的面积－三角形OCD的面积－上面空白部分的面
积7．，如即图可，求5分出．别阴以影【五部边分黑形的A龙面BC积D江．E的顶哈点尔为圆滨心，中以1考为半】径作一五个个圆，扇则图形中的阴影弧部分长的面是积之1和1为π__c___m___.，半径是18
2
知识点 3 扇形面积公式 (1)n°圆心角的扇形面积公式：S 扇形＝n3π6R02 ，其中 R 为半径． (2)弧长为 l 的扇形面积公式：S 扇形＝12lR，其中 R 为半径． 【典例】如图，半径为 12 的圆中，两圆心角∠AOB＝60°、∠COD＝120°，连接 AB、CD，求图中阴影部分的面积．
cm，则此扇形的圆心角是__________度． 71．2．如如图图，，分在别△以AB五C中边，形AACB＝CD4E，的将顶△点AB为C圆绕心点，C逆以时11为针1半旋0 径转作30五°得个到圆△，FG则C，图则中图阴中影阴部影分部的分面的积面之积和为为________________.. 一列火车以6每．小时【28 江km的苏速度泰经州过10中秒通考过弯】道．如那么图弯，道所分对的别圆心以角为正___三_____角__度形．(π的取3.3个顶点为圆心， 98．．一已段知铁扇边路形弯所长道在成圆为圆半弧 径半形为，4径，圆弧弧画长的为弧半6径π，，是则2三扇km形.段面积弧为_围_____成____.的图形称为莱洛三角形．若正三角 分 积析，：即先 可用 求形扇 出形 阴边影OA部长B的分面为的积面6－积三．c角m形，OAB则的面该积求莱出上洛面三空白角部分形6面π积的，再周用扇长形为OCD_的_面__积_－__三_角c形mOC. D的面积－上面空白部分的面
人教版九年级数学弧长、扇形、正多边形介绍讲义(含解析)(2020年最新)
6 18
讲解用时： 5 分钟 解题思路： 首先求出 ①AOB，OB，然后利用 S 阴=S①ABO﹣S 扇形 OBD 计算即可。 教学建议： 解题的关键是学会分割法求面积，记住扇形面积公式。 难度： 3 适应场景： 当堂例题 例题来源： 市南区二模 年份： 2018
【练习 4】
如图，在正方形 ABCD 中，边长 AD=2 ，分别以顶点 A 、D 为圆心，线段
如右图为圆锥及其展开图，其 中： CO 为高， AC 为母线。
课堂精讲精练
【例题 1】
如图， ①Ｏ的周长等于 8πcm，正六边形 ABCDEF 内接于 ①Ｏ。 （ 1）求圆心 O 到 AF 的距离； （ 2）求正六边形 ABCDEF 的面积。
【答案】（1）2 3 cm；（2）24 3 cm2
【解析】 本题考查的是正六边形的性质、垂径定理，
① OB=4， DM= 3 ，DE=2 3 ，BN=2 3 ，BC=4 3 ，
①Ｓ①ABC= 1 ×４3 × 6=12 3 ， 2
①Ｓ①DEF= 1 ×２3 × 3=3 3 ， 2
①
= 12 3 4 ，故选： A ．
33
讲解用时： 8 分钟
解题思路： 过点 O 作 ON①BC 垂足为 N，交 DE 于点 M ，连接 OB，则 O，D， B 三点一定共线，设 OM=1 ，则 OD=ON=2 ，再求得 DE，BC 的长，根据三角形 的面积公式即可得出 ①DEF和①ABC 的面积。 教学建议： 明确边心距半径边长的一半正好组成直角三角形是解题的关键。 难度： 4 适应场景： 当堂例题 例题来源： 河北模拟 年份： 2018
2 ①由勾股定理得 CE= 3a ，
4
①这个圆的内接正三角形的边长为： 2EC= 3a ， 2
人教版数学九年级2弧长和扇形面积课件
答：所需油毡的面积至少是112m2.
5.如图，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°， 求圆锥全面积. 解：∵AB=AC，∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形. ∴AB=BC=AC=8cm. ∴S侧=πrl=π×4×8=32π(cm2), S底=πr2=π×4×4=16π(cm2), ∴S全=S侧+S底=48π(cm2).
因此,搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡
20×（22.10+14.76）≈738m2
随堂演练
基础巩固
1.圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的 高为( D ) A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm 2.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面 展开图扇形的圆心角是( D ) A.60° B.90° C.120° D.180°
推进新课
回顾
1、弧长计算公式
l
nR 180
2、扇形面积计算公式
nR 2 S
或 S 1 lR
360
2
R
l
n° O
生活中的圆锥
圆锥的相关概念
高
连结圆锥顶点与底面圆心的线 段叫做圆锥的高.
ha r
母线 连接圆锥顶点和底面圆周上任 意一点的线段叫做圆锥的母线. (母线有无数条,母线都是相等的 )
圆锥的底面半径、高、母线长 三者之间的关系:
第三个几何体：绕AB旋转，底面半径r3=
3
5
4
=2.4.
S全3=S侧上+S侧下=πr3l2+πr3l3=π×2.4×3+π×2.4×4=16.8π.
拓展延伸
7.如图，从一个直径是1m的圆形铁皮中剪出一个圆心角为 90°的扇形，求被剪掉的部分的面积；如果将剪下来的扇 形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是多少？
九年级数学上册第二十四章圆24.4弧长和扇形面积(第1课时弧长和扇形面积)课时精讲(新版)新人教版
九年级数学上册第二十四章圆24.4弧长和扇形面积（第1课时弧长和扇形面积）课时精讲（新版）新人教版第1课时 弧长和扇形面积1．在半径为R 的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长是圆周长C ＝__2πR___，所以n °的圆心角所对的弧长为l ＝__n πR180___．2．在半径为R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积S ＝__πR 2___，所以圆心角为n °的扇形面积是S 扇形＝__n πR 2360___．3．用弧长表示扇形面积为__12lR___，其中l 为扇形弧长，R 为半径．知识点1：弧长公式及应用 1．点A ，B ，C 是半径为15 cm 的圆上三点，∠BAC ＝36°，则弧BC 的长为__6π___cm . 2．扇形的半径是9 cm ，弧长是3π cm ，则此扇形的圆心角为__60___度． 3．已知扇形的圆心角为45°，弧长等于π2，则该扇形的半径是__2___．4．(2014·兰州)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝2.将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B 转过的路径长为( B )A .π3B .3π3C .2π3D ．π 5．如图，⊙O 的半径为6 cm ，直线AB 是⊙O 的切线，切点为点B ，弦BC∥AO.若∠A＝30°，求劣弧BC ︵的长．解：连接OB ，OC.∵AB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BO.∵∠A ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵BC ∥AO ，∴∠OBC ＝∠AOB＝60°.又∵OB＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴∠BOC ＝60°，∴劣弧BC ︵的长为60×π×6180＝2π(cm )知识点2：扇形的面积公式及应用6．钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是( A ) A .12π B .14π C .18π D ．π 7．(2014·成都)在圆心角为120°的扇形AOB 中，半径OA ＝6 cm ，则扇形AOB 的面积是( C )A ．6π cm 2B ．8π cm 2C ．12π cm 2D ．24π cm 28．如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则图中弓形的面积为( C ) A .4π－334 B .π－34C .2π－334 D .π－332,第8题图) ,第9题图)9．如图，△ABC 的三个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上，将△ABC 绕点B 逆时针旋转得到△A′BC′，且点A′，C ′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是__7.2___．(π≈3.14，结果精确到0.1)10．如图，△OAB 中，OA ＝OB ＝4，∠A ＝30°，AB 与⊙O 相切于点C ，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)解：连接OC ，可求∠AOB＝120°，OC ＝2，AC ＝23，∴S 阴影＝S △AOB －S 扇形＝2×12×2×23－120360×π×22＝43－43π11．如图，某厂生产横截面直径为7 cm 的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面，为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为( B )A .π4 cmB .7π4 cmC .7π2cm D ．7π cm ,第11题图) ,第12题图)12．如图，扇形AOB 的半径为1，∠AOB ＝90°，以AB 为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为( C )A .14πB ．π－12C .12D .14π＋1213．(2014·南充)如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，将矩形ABCD 按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转，则点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是( A )A .252π B ．13π C ．25π D ．25 2 ,第13题图) ,第14题图)14．如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠ABC＝120°，OC ＝3，则BC ︵的长为__2π___．15．如图，已知菱形ABCD 的边长为3 cm ，B ，C 两点在扇形AEF 的EF ︵上，求BC ︵的长度及扇形ABC 的面积．解：∵四边形ABCD 是菱形且边长为3 cm ，∴AB ＝BC ＝3 cm .又∵B，C 两点在扇形AEF 的EF ︵上，∴AB ＝BC ＝AC ＝3 cm ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°，BC ︵的长l ＝60π×3180＝π(cm )，S 扇形ABC ＝12lR ＝12×π×3＝32π(cm 2)16．(2014·昆明)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是边AC 上的一点，连接BD ，使∠A＝2∠1，E 是BC 上的一点，以BE 为直径的⊙O 经过点D.(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若∠A＝60°，⊙O 的半径为2，求阴影部分的面积．(结果保留根号和π)解：(1)连接OD ，∵OB ＝OD ，∴∠1＝∠BDO，∴∠DOC ＝2∠1＝∠A.在Rt △ABC 中，∠A ＋∠C ＝90°，即∠DOC＋∠C＝90°，∴∠ODC ＝90°，即OD⊥DC，∴AC 为圆O 的切线 (2)当∠A＝60°时，在Rt △OCD 中，有∠C＝30°，OD ＝r ＝2，∴∠DOC ＝60°，CD ＝23，S △ODC ＝12OD·DC＝23，S 扇形＝60πr 2360＝23π，∴S 阴影＝S △ODC －S 扇形＝23－23π17．如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处．再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG.(1)求证：EF∥CG；(2)求点C ，A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．解：(1)在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°，∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABF，∴△ABF ≌△CBE ，∴∠FAB ＝∠ECB，∠ABF ＝∠CBE＝90°，AF ＝EC ，∴∠AFB ＋∠FAB＝90°.∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，∴∠AFB ＋∠CFG＝∠AFG ＝90°，∴∠CFG ＝∠FAB＝∠ECB，∴EC ∥FG.∵AF ＝EC ，AF ＝FG ，∴EC ＝FG ，∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG (2)∵AB＝2，E 是AB 的中点，∴FB ＝BE ＝12AB ＝12×2＝1，∴AF＝AB 2＋BF 2＝22＋12＝ 5.由平行四边形的性质，△FEC ≌△CGF ，∴S △FEC ＝S △CGF ，∴S 阴影＝S 扇形BAC ＋S △ABF ＋S △FGC －S 扇形FAG ＝90×π×22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90×π×（5）2360＝52－π4。
人教版数学九年级上册教材 弧长和扇形面积 课件演示
心角是( )
A．120°
B．150°
C．210°
D．240°
2.已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm². 求扇 形的弧长.
人教版数学九年级上册教材 弧长和扇形面积 课件演示
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作业
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的 面积S扇形=__34 _ _.
2、已知扇形面积为 1 ，圆心角为60°，则这个扇形的 3
半径R=___2 _．
3、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 4 ，则这个扇
形的面积S扇形=__34 __．
3
人教版数学九年级上册教材 弧长和扇形面积 课件演示
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通过本课时的学习，需要我们掌握：
跟踪训练
l nR
180
1.已知弧所对的圆心角为90°，半径是4，则弧长为__2__
2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8 ，那么这条弧所对
的圆心角为__1_6_0__° _.
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人教版数学九年级上册教材 弧长和扇形面积 课件演示 人教版数学九年级上册教材 弧长和扇形面积 课件演示
A
B
n°
O
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例题
【例1】西气东输工程中，有成千上万个圆弧形管道，制造弯 形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算 如图所示管道的展直长度l(单位：mm，精确到1mm)
人教版数学九年级上册教材 弧长和扇形面积 课件演示
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这个公式又可以这样理解：把扇形OAB 近似地看作一个三角形，其中A⌒B 相当于底边， 半径OC就相当于这个底边上的高，此时，扇 形就变成了一个“曲边三角形”.如图
人教版数学九年级上册 弧长与扇形的知识解读与解题运用
人教版数学九年级上册 弧长与扇形的知识解读与解题运用一、知识解读：1、弧长的定义：设圆的半径是R ，周长为C ，则C=2πR 。
因为，圆的周长所对的圆心角是360°，所以，1°的圆心角所对的弧长是：︒3602R π=︒180R π n °圆心角所对的弧长是L ，则： L=︒180R n π。
对于弧长的定义，实际上就指n °圆心角所对的弧长。
从定义上看出，弧长的大小与圆的半径有关，还与所含的圆心角的大小有关。
圆的半径越大，所对的弧长越大；所含的圆心角越大，所对的弧长就越大。
2、扇形的定义：2.1由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形即叫做扇形。
2.2扇形的面积公式：S 扇形=︒3602R n π，其中的条件是：已知扇形的圆心角，扇形所在圆的半径。
或者S 扇形=LR 21，其中的条件是：已知扇形的弧长，扇形所在圆的半径。
从定义上看出，扇形的面积实际上是指n °扇形的面积。
扇形的面积的大小与组成扇形的圆心角有关，圆心角越大，扇形的面积就越大；扇形的面积与扇形所在圆的半径有关，圆的半径越大，扇形的面积就越大。
3、公式的两个变形公式：设扇形的半径是R ，扇形的圆心角是n °，扇形的弧长是L,扇形的面积是S ，则n °=R L π⨯︒180=2360RS π⨯︒. R=nL π⨯︒180=πn S ⨯︒360 二、考点例析：考点1、弧长的计算例1、在半径为5的圆中，︒30的圆心角所对的弧长为_________(结果保留π)分析：这里，R=5，n= 30°，所以，直接代入弧长计算公式，就可以得到结果。
解：L=︒180R n π=︒⨯⨯180530π=π65。
考点2、旋转弧长的计算例2、如图1所示，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，BC =6，点D 为BC 中点，将△ABD 点A 按逆时针方向旋转120得到AB D ''△，则点D 在旋转过程中所经过的路程为 ．（结果保留π）分析：点D 在旋转的过程中，构成了一条弧，这条弧所在的圆的半径是AD ，所包含的圆心角是120，只要求出圆的半径问题，就解决了。
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第13讲 弧长、扇形、正多边形介绍知识定位讲解用时：3分钟A 、适用范围：人教版初三，基础一般B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先主要学习正多边形与圆的关系，了解正多边形的相关概念和计算，能够根据正多边形性质分析处理问题，其次学习弧长和扇形的相关计算，能够熟练利用公式解题，最后学习圆锥的侧面积和全面积，能够根据圆锥的展开图进行有关计算。
本节课的重点是相关图形性质和公式的熟练运用，希望同学们能够熟练掌握。
知识梳理讲解用时：20分钟正多边形与圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n （n 是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
（2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心； ①正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径； ①中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； ①边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． （3）正多边形的有关计算公式 ①多边形内角和定理：（n ﹣2）•180°（n≥3且n 为整数）①多边形的外角和等于360°③正多边形内角等于n n ︒⨯-180)2(如右图为正六边形与圆，其中：O 为中心，OC 为半径，①DOC 为中心角，OH 为边心距（1）弧长的计算 弧长公式：180R n l π=（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ） ①在弧长的计算公式中，n 是表示1°的圆心角的倍数，n 和180都不要带单位； ①若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长； ①题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示； ①正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． （2）扇形面积的计算 ①扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形； ①扇形面积计算公式：设圆心角度数为n ，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则S 扇形=3602R n π或S 扇形=lR 21（其中l 为扇形的弧长） （3）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ①和差法； ①割补法． 说明： 求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积。
（1）圆锥的有关概念①圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线；①圆锥的高连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的相关计算圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。
①圆锥的侧面积：S 侧=rl l r ππ=••221； ①圆锥的全面积：S 全=S 底+S 侧=rl r ππ+2 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等；①圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．如右图为圆锥及其展开图，其中：CO 为高，AC 为母线。
课堂精讲精练【例题1】如图，正六边形ABCDEF 内接于①O ，若AB=2，则①O 的半径为 。
【答案】2【解析】本题主要考查了正多边形与圆，连接AO ，BO ，①正六边形ABCDEF 内接于①O ，①①AOB=60°，①①ABO 是等边三角形，①AB=2，①①O 的半径为：2．讲解用时：3分钟解题思路：直接利用等边三角形的判定与性质进而分析得出答案。
教学建议：理解①ABO 是等边三角形是解题关键。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：金平区一模 年份：2018【练习1】如图，正六边形ABCDEF 的顶点B ，C 分别在正方形AMNP 的边AM ，MN 上，若AB=4，则CN= 。
【答案】326【解析】本题考查了正方形的性质和正六边形的性质，在Rt①BCM 中，①AB=BC=4，①CBM=60°，①M=90°，①①BCM=30°， ①BM=21BC=2，CM=3BM=23，①AM=4+2=6， ①四边形AMNP 是正方形，①MN=MA=6，①CN=MN ﹣CM=6﹣23讲解用时：5分钟解题思路：在Rt①BCM 中，根据条件AB=BC=4，①CBM=60°，①M=90°，解直角三角形即可解决问题。
教学建议：在Rt①BCM 中，了解每个内角的度数是关键。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：富阳区一模 年份：2018【例题2】已知正多边形的边长为a ，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是 。
（用含字母a 的代数式表示）。
【答案】a 23 【解析】本题考查了正多边形的边心距计算，①正多边形的一个外角是其内角的一半，①设外角为x°，则内角为2x°，①x+2x=180，则x=60，①这个正多边形的边数是360÷60=6，①它的中心角=60°，①正六边形的边长与正六边形的半径组成等边三角形，①它的半径为a ，①此正多边形的边心距是a 23． 讲解用时：8分钟解题思路：根据题意可得这个正多边形的一个外角为60°，求得它的中心角=60°，于是得到正六边形的边长与正六边形的半径组成等边三角形，进而可得边心距。
教学建议：熟知正六边形的半径与边长相等。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：静安区二模 年份：2018 【练习2】如图，①O 的周长等于 8πcm ，正六边形ABCDEF 内接于①O 。
（1）求圆心O 到AF 的距离；（2）求正六边形ABCDEF 的面积。
【答案】（1）23cm ；（2）243cm 2【解析】本题考查的是正六边形的性质、垂径定理，（1）连接OC 、OD ，作OH①CD 于H ，①①O 的周长等于8πcm ，①半径OC=4cm ，①六边形ABCDE 是正六边形，①①COD=60°，①①COH=30°，①圆心O 到CD 的距离=23，①圆心O 到AF 的距离为23cm ；（2）正六边形ABCDEF 的面积=21×4×23×6=243cm 2． 讲解用时：5分钟解题思路：（1）连接OC 、OD ，作OH①CD 于H ，根据圆的周长公式求出半径，根据勾股定理计算OH 即可；（2）根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算教学建议：基础题型，熟练掌握正六边形的相关性质。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：盐城期中 年份：2017秋 【例题3】如图，AB 与①O 相切于点B ，OA=2，①OAB=30°，弦BC①OA ，则劣弧的长是 。
【答案】B【解析】本题考查了切线的性质、含30度直角三角形的性质以及弧长公式，连接OB ，OC ，①AB 为圆O 的切线，①①ABO=90°，在Rt①ABO 中，OA=2，①OAB=30°，①OB=1，①AOB=60°，①BC①OA ，①①OBC=①AOB=60°，又OB=OC ，①①BOC 为等边三角形，①①BOC=60°，则劣弧长为ππ31180160=⨯，故选：B ． 讲解用时：8分钟解题思路：连接OB ，OC ，由AB 为圆的切线，利用切线的性质得到①AOB 为直角三角形，根据30度所对的直角边等于斜边的一半，由OA 求出OB 的长，且①AOB=60°，再由BC 与OA 平行，利用两直线平行内错角相等得到①OBC=60°，又OB=OC ，得到①BOC 为等边三角形，确定出①BOC=60°，利用弧长公式即可求出劣弧BC 的长。
教学建议：熟练掌握切线的性质是解本题的关键。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：明光市二模 年份：2018【练习3】如图，从A 地到B 地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A 地到B 地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（ ）。
A ．猫先到达B 地 B ．老鼠先到达B 地C ．猫和老鼠同时到达B 地D ．无法确定【答案】C【解析】本题考查了半圆的弧长公式，以AB 为直径的半圆的长是：21π•AB ； 设四个小半圆的直径分别是a ，b ，c ，d ，则a+b+c+d=AB ． 则老鼠行走的路径长是：21πa+21πb+21πc+21πd=21π（a+b+c+d ）=21π•AB ． 故猫和老鼠行走的路径长相同，故选：C ．讲解用时：5分钟解题思路：利用半圆的弧长公式，即可分别求得两个路径的长，然后进行比较即可。
教学建议：正确理解a+b+c+d=AB 是关键。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：泰安期末 年份：2014秋【例题4】如图所示，点A 、B 、C 在①O 上，若①BAC=45°，OB=4，则图中阴影部分的面积为（ ）。
A ．4π﹣8B ．2π﹣4C ．π﹣2D ．4π﹣4【答案】A【解析】本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式，①①BAC=45°，①①BOC=90°，①①OBC 是等腰直角三角形，①OB=4，①S 阴影=S 扇形OBC ﹣S ①OBC =41π×42﹣21×4×4=4π﹣8，故选：A ． 讲解用时：4分钟解题思路：先证得①OBC 是等腰直角三角形，然后根据S 阴影=S 扇形OBC ﹣S ①OBC 即可求得。
教学建议：熟记扇形的面积公式。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：邵阳县一模 年份：2018【练习4】如图，点C 在以AB 为直径的半圆O 的弧上，①ABC=30°，且AC=2，则图中阴影部分的面积是 。
【答案】334-π 【解析】本题主要考查了扇形面积求法，连接OC ，①①ABC=30°，①①ACB=90°，①AOC=60°，①COB=120°，①AC=2，①AB=2AO=4，BC=23，①OC=OB=2，①阴影部分的面积=S 扇形﹣S ①OBC =3341322136021202-=⨯⨯-⨯⨯ππ 讲解用时：4分钟解题思路：根据已知条件得到①ACB=90°，①AOC=30°，①COB=120°，解直角三角形得到AB=2AO=4，BC=23，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结果。
教学建议：利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形OCD 的面积是解题关键。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：重庆模拟 年份：2018【例题5】如图，圆锥的底面半径OB=6cm ，高OC=8cm ．则这个圆锥的侧面积是 。