2014届高三数学一轮复习专讲专练：5.2等 差 数 列
2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)5.2等差数列课件 新人教A版
解析：(1)设两等差数列组成的和数列为{cn}，由题意知新数 列仍为等差数列且 c1＝7， 3＝21， c5＝2c3－c1＝2×21－7 c 则 ＝35.
(2)∵S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列， ∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20， 即 40＝10＋S30－30，∴S30＝60.
[例1]
在数列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n
＋3(n≥2，且n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
an＋3 (2)设 bn＝ n (n∈N*)，证明：{bn}是等差数列． 2
[自主解答]
(1)∵a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，
且n∈N*)，∴a2＝2a1＋22＋3＝1，a3＝2a2＋23＋3＝13.
解析：设{an}的公差为 d， 由 S2＝a3 知，a1＋a2＝a3，即 2a1＋d＝a1＋2d， 1 1 又 a1＝ ，所以 d＝ ，故 a2＝a1＋d＝1， 2 2 1 1 1 2 1 Sn＝na1＋ n(n－1)d＝ n＋ (n －n)× 2 2 2 2 1 2 1 ＝ n ＋ n. 4 4
1 2 1 答案：1 n ＋ n 4 4
[答案] n
1．上述解法计算量较大，很容易出错，若采用特殊值 计算很简单，因{an}为等差数列且 a1＝1，只要求出公差 d， S2 便可得出 an，若令 n＝1，则有 ＝3，即可求出公差 d. S1
2．特殊值法在解一些选择题和填空题中经常用到， 就是通过取一些特殊值、特殊点、特殊函数、特殊数列、
A．66 C．144
B．99 D．297
(2)(2013· 天津模拟)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn， 若 S4＝8， 8＝20， a11＋a12＋a13＋a14＝ S 则 ( )
高考理科第一轮复习课件(5.2等差数列)
考向 3 等差数列的性质及最值的应用 【典例3】（1）（2012·辽宁高考）在等差数列{an}中，已知
a4+a8=16，则该数列前11项和S11=(
(A)58 (B)88 (C)143
)
(D)176
（2）在等差数列{an}中, a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=_____.
（3）（2013·天津模拟）已知在等差数列{an}中，a1=31，Sn
Sn n a1 a n 2 2 ．
【变式备选】（2012·泉州模拟）已知等差数列{an}中,
a5=1,a3=a2+2,则S11=______. 【解析】由a3=a2+2，得公差d=a3-a2=2.由a5=a1+4×2=1，得 a1=-7，所以 S11 11 7 1110 2 33.
第二节 等 差 数 列
1.等差数列的概念
常数 ，我们称这样 从第2项起，每一项与前一项的差是同一个_____
公差 ，通常用字 的数列为等差数列，这个常数为等差数列的_____
an+1-an=d(n∈N+) 母d表示；定义的表达式为：_______________.
2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an= a1+(n-1)d _________.
否则不是．
n n 1 （5）错误．根据等差数列的前n项和公式， Sn na1 d
d 2 d n பைடு நூலகம் (a1 )n，显然只有公差d≠0时才是n的常数项为0的二 2 2
2
次函数，否则不是（甚至也不是n的一次函数，即a1=d=0 时）． 答案：（1）× （2）√ （3）√ （4）× （5）×
一轮复习课时训练§5.2： 等差数列及其前n项和
第五章§2：等差数列及其前n 项和(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于A ．－2B ．－12 C.12 D ．22．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于A ．14B ．21C ．28D ．363．若向量a n ＝(cos2nθ，sinnθ)，b n ＝(1,2sinnθ)，数列{x n }满足x n ＝(a n ·b n )2－1，则{x n }是A ．等差数列B ．等比数列C ．既是等差数列，又是等比数列D ．既不是等差数列，又不是等比数列4．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n(n ≥2)，则a 5等于A.13 B ．3 C ．4 D ．145．已知数列{a n }满足a 1＝8，a 2＝0，a 3＝－7，且数列{a n ＋1－a n }为等差数列，则a n 的最小值为A ．－30B ．－29C ．－28D ．－27二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．若数列{a n }满足a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，且S 9＝27.则a 2＋a 8＝______.7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝a 6＝12，则{a n }的通项公式为______． 8．已知数列{a n }满足递推关系式a n ＋1＝2a n ＋2n －1(n ∈N *)，且{a n ＋λ2n}为等差数列，则λ的值是________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n 2＋cn(c ∈R ，n ＝1,2,3，…)，且S 1，S 22，S 33成等差数列．(1)求c 的值；(2)求数列{a n }的通项公式．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d)＝－a 3＋2d ＝2d ＝－1，∴d ＝－12.答案：B2．解析：∵a 3＋a 4＋a 5＝12，∴3a 4＝12，a 4＝4.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝28.答案：C3．解析：a n ·b n ＝cos2nθ＋2sin 2nθ＝1，x n ＝0，{x n }是等差数列．答案：A4．解析：因为1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，所以1a n ＋1－1a n ＝1a n －1a n －1，所以{1a n }为等差数列，d ＝1a 2－1a 1＝12，1a n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，1a 5＝5＋12＝3，所以a 5＝13. 答案：A5．解析：由已知a 2－a 1＝－8，a 3－a 2＝－7.又∵{a n ＋1－a n }为等差数列，∴a n ＋1－a n ＝n －9.a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝8－8－7＋…＋(n －10)＝8＋(n －18)(n －1)2＝n 22－192n ＋17. ∴当n ＝9或10时a n 取最小值为－28. 答案：C二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：由a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1得{a n }为等差数列．∵S 9＝27，∴9(a 1＋a 9)2＝27.∴a 1＋a 9＝6，∴a 2＋a 8＝6. 答案：67．解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝12a 1＋5d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝2，∴a n ＝2n. 答案：a n ＝2n8．解析：由a n ＋1＝2a n ＋2n －1可得a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋12－12n ＋1，则a n ＋1＋λ2n ＋1－a n ＋λ2n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n －λ2n ＋1＝12－12n ＋1－λ2n ＋1＝12－λ＋12n ＋1，当λ的值是－1时，数列{a n －12n }是公差为12的等差数列． 答案：－1三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5. (2)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2. 所以n ＝2时，S n 取到最大值4.10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)∵nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n 2＋cn(n ＝1,2,3，…)， ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝n 2＋cnn (n ＋1)(n ＝1,2,3，…)． ∵S 1，S 22，S 33成等差数列，∴S 22－S 11＝S 33－S 22.∴1＋c 2＝4＋2c 6， ∴c ＝1. (2)由(1)得S n ＋1n ＋1－S n n ＝1(n ＝1,2,3，…)．∴数列{S n n }是首项为S 11，公差为1的等差数列．∴S n n ＝S 11＋(n －1)·1＝n. ∴S n ＝n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 当n ＝1时，上式也成立，∴{a n }的通项公式是a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…)．。
高考数学一轮复习课件5.2等差数列
• (1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中， 已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝ ()
•A．58 D．176
B．88
C．143
•(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6 项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n ＞6)，则a9＋a10＝
【尝试解答】 (1)S11＝11（a12＋a11）＝11（a42＋a8）＝ 88.
法二 同法一得d＝－53.
又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴当n＝12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12＝S13＝130.
求等差数列前n项和的最值常用的方法
(1)先求an，再利用
an≥0
aห้องสมุดไป่ตู้＋1≤0
或
an≤0
an＋1≥
0
求出其正负转折
•【思路点拨】 (1)由S2＝a3求{an}的公差d， 进而代入求a2与Sn； •(2)易求d＝－2，从而可求an；求出Sn后，根 据方程Sk＝－35，求k值．
【尝试解答】 (1)由 S2＝a3，得 a1＋a2＝a3，
∴d＝a3－a2＝a1＝12，
因此 a2＝a1＋d＝1，Sn＝n42＋n4.
【答案】
【解析】 设自上第一节竹子容量为a1，则第9节 容量为a9，且数列{an}为等差数列．
则aa71＋＋aa82＋＋aa93＝＋3aa4＝1＋42a11＋d＝6d4＝. 3，
解之得a1＝1232，d＝676，故a5＝a1＋4d＝6676.
【答案】
67 66
2014届步步高高三数学一轮复习备考 5.2 平面向量基本定理及坐标表示课件
x2－x12＋y2－y12 .
3．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其 中 b≠0.a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
被向量 a 唯一确定，此时点 A 的 坐标与 a 的坐标统一为(x， 但 y)， 应注意其表示形式的区别，如点 → A(x，y)，向量 a＝OA＝(x，y)． → → 当平面向量OA 平行移动到O1A1 → → 时，向量不变即O1A1＝OA＝(x， → y)，但O1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 向量坐标的基本运算
解 析 探 究 提 高 【例 2】 已知 A(－2,4)，B(3，－1)， → → → (3)设 O 为坐标原点， C(－3， －4)． 设AB＝a， ＝b， BC CA → → → → → ∵CM＝OM－OC＝3c， ＝c，且CM＝3c，CN＝－2b， → → (1)求 3a＋b－3c； ∴OM＝3c＋OC＝ (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m， n； (3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
数学
北(理)
§5.2 平面向量基本定理及 坐标表示
第五章 平面向量
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 1.基底的不唯一性
只要两个向量不共线， 就 可以作为平面的一组基 底，对基底的选取不唯 一，平面内任意向量 a 都可被这个平面的一组 基底 e1， 2 线性表示， e 且 在基底确定后， 这样的表 示是唯一的．
题型一 平面向量基本定理的应用
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 已知点 G 为△ABC 的重心，过 G 作直线与 AB、 两边分别交于 M、 AC → → → N 两点， 且AM＝xAB， AN 1 1 → ＝yAC，求 ＋ 的值． x y
2014届高三数学一轮复习 5.1数列的概念精讲精练 新人教版.doc
2014高中数学精讲精练第五章数列【知识图解】【方法点拨】1．学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证．2．强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧．3．在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化．4．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法、迭乘法等．5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．第1课数列的概念【考点导读】1．了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；2．理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系；3．能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前n项和的问题。
【基础练习】1.已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =3-。
分析:由a 1=0,)(1331++∈+-=N n a a a n n n 得⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-=,0,3,3432a a a 由此可知:数列}{n a 是周期变化的,且三个一循环,所以可得: .3220-==a a2．在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 2n-1 。
3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1(31)()2n n a S n N -=∈ ，且454a =，则1a =____2__.4．已知数列{}n a 的前n 项和(51)2n n n S +=-，则其通项n a = 52n -+． 【范例导析】例1．设数列{}n a 的通项公式是285n a n n =-+，则 （1）70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？ （2）写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象； （3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？分析：70是否是数列的项，只要通过解方程27085n n =-+就可以知道；而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。
高考数学一轮总复习第五章数列2等差数列课件高三全册数学课件
(3)设等差数列{an}，{bn}的公差分别为 d1，d2，则 pan＋1＋ qbn＋1－(pan＋qbn)＝p(an＋1－an)＋q(bn＋1－bn)＝pd1＋qd2(与 n 值无 关的常数)，即数列{pan＋qbn}也是等差数列．
钱．( C )
5
3
A.3
B.2
4
5
C.3
D.4
第二十三页，共四十八页。
解析：设甲、乙、丙、丁、戊分别为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d，由题意可得：
a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d， 联立解得 a＝1，d＝－16. ∴这个问题中，甲所得为 1－2×(－16)＝43(钱)． 故选 C.
(2)(2019·全国卷Ⅲ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1≠0，a2
＝3a1，则SS150＝____4____.
第十六页，共四十八页。
【解析】 (1)解法 1：设等差数列{an}的公差为 d，
∵Sa45＝ ＝05， ，
∴4a1＋4×2 3d＝0， a1＋4d＝5，
解得da＝1＝2－，3，
(1)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则 a10＝ 18 .
(2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝－5，S9＝27，则公
差 d＝ 2 .
(3)在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则 a2＋a8
＝ 180 . (4)在等差数列{an}中，S6＝4，S18＝24，则 S12＝ 12 .
2014届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件：5.2等差数列
7＋n1＋21，∴当
n＝1,2,3,5,11
时，an为整数， bn
故选 D.
答案 D
点评 对等差数列性质的考查是高考的重点，解题的关键是要
敏锐地观察出题中各项的脚标间的数量关系，本题只有深入理解 Sn 公式中隐含的性质，才能灵活地利用 S2n－1 公式中的 a1＋a2n－1 与 an 的关系.
变式迁移 3
考点串串讲
1．等差数列的定义以及判定方法 (1)等差数列的定义 如果数列{an}满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于 同一个常数(用 d 表示)，就称这个数列为等差数列． 常数 d 叫作这个等差数列的公差，即 an＋1－an＝d. 对于等差数列定义需注意： ①在等差数列的定义中，要强调“从第二项起”，因为第一项没 有前一项； ②要强调“同一个常数”，这五个字体现了等差数列的基本特 征．如果某几项破坏了这一规律，尽管其他项都满足，那么这个数列 也不是等差数列． ③要强调公差 d＝an＋1－an(n∈N*)，防止把被减数与减数弄颠倒． ④由定义可知有了某一项和公差，则这个等差数列就被完全确定．
题型四 等差数列的前 n 项和的性质 例 4.已知{an}为等差数列，Sn＝m，Sm＝n，其中 m≠n，m，n∈N*， 求 Sm＋n. 分析 分析 1：由已知，可设等差数列的基本量 a1，d，据 Sn ＝m 与 Sm＝n，列方程组求出 a1，d，再代入前 n 项和公式求 Sm＋n. 分析 2：根据等差数列前 n 项和公式为不含常数项的二次函数 关系式，因此可设 Sn＝An2＋Bn，据 Sm 与 Sn 列方程组建立 A 与 B 的关系，再求 Sm＋n. 分析 3：从前 n 项和的定义 Sn＝a1＋a2＋…＋an 入手，结合等差 数列的性质：当 m＋n＝p＋q 时，有 am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q 均 为正整数)来求解．
2014年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)――数列概念及等差数列
2014年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）数列概念及等差数列一．【课标要求】1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数；2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式；3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。
体会等差数列与一次函数的关系.二．【命题走向】数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。
对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高.预测2014年高考：1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题.三．【要点精讲】1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式.例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a =1n（n N +∈）。
说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a =(1)n -=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩； ③不是每个数列都有通项公式。
2014高考数学(文)一轮复习用书配套精练(广东专用)第42课等差数列
第42课 等差数列1．（2012肇庆二模）若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1～100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是（ ）A ．130B ．325C ．676D ．1300【答案】C【解析】设两个连续偶数为22k +和2k ，则2222(2)4(21)k k k +-=+（）， ∴和平数的特征是4的倍数，但不是8的倍数，∴在1～100之间，能称为和平数的有41,43,45,47⨯⨯⨯⨯，…，425⨯， 即1～25之间的奇数个数，共计13个，其和为6761322514=⨯+⨯． 2．（2011东城二模）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（ ）A ．16B ．8C ．22D ．4【答案】D【解析】∵222112(2)n n n a a a n +-=+≥，令2n n b a =，∴112n n n b b b +-=+，∴数列{}n b 为等差数列，∵2111b a ==，2221213b b a d a -=-==，∴1(1)332n b n n =+-⨯=-．∴n a ==，∴64a ==．3．（2012东莞一模）设{lg }n a 成等差数列，公差lg3d =，且{lg }n a 的前三项和为6lg3，则{}n a 的通项为___________.【答案】3n n a =【解析】∵{lg }n a 的前三项和为6lg3，∴123lg lg lg 6lg 3a a a ++=，2lg 2lg 3a =，∴2lg lg (2)2lg3(2)lg3n a a n d n =+-=+-，∴lg lg 3lg 3n n a n ==，∴3n n a =.4．（2012苏州质检）已知命题：“在等差数列{}n a 中，若210()424a a a ++=，则11S 为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为_____．【答案】18 【解析】∵111116()11112a a S a +=⨯=， 11S 为定值为真命题，则6a 为定值．设括号内的数为n ，则210424n a a a ++=， ∴6664(4)(4)[(6)]24a d a d a n d -++++-=， ∴66(18)24a n d +-=，∵6a 为定值，且0d ≠，∴18n =．5．(2011昌平二模)已知数列{}n a 满足125a =，且对任意*n ∈N ，都有11422n n n n a a a a +++=+． （1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）试问数列{}n a 中*1()k k a a k +⋅∈N 是否仍是{}n a 中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．【解析】（1）111242n n n n n n a a a a a a ++++=+，即11223n n n n a a a a ++-=， ∴11132n n a a +-=， ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以52为首项，公差为32的等差数列． （2）由（1）可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为1322n n a +=， ∴232n a n =+． ∴122323(1)2k k a a k k +⋅=⋅+++2492110k k =++ 22921622k k =+++22372322k k =++⋅+． ∵22372(1)3122k k k k k k +++=+++， 当k *∈N 时，()12k k +一定是正整数， ∴23722k k ++是正整数．∴1k k a a +⋅是数列{}n a 中的项，是第23722k k ++项．6.已知数列}{n a 中，51=a 且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）．（1）求2a ，3a 的值；（2）是否存在实数λ，使得数列2n n a λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵51=a ，∴22122113a a =+-=，33222133a a =+-=． （2）方法1：假设存在实数λ，使得数列2n n a λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 设2n n na b λ+=，由}{n b 为等差数列，则有3122b b b +=． ∴321232222a a a λλλ+++⨯=+， ∴13533228λλλ+++=+，解得，1λ=-． 事实上，1111122n n n n n n a a b b +++---=-()111212n n n a a ++=-+⎡⎤⎣⎦ ()1112112n n ++⎡⎤=-+⎣⎦1=． 综上可知，存在实数1λ=-，使得数列2n n a λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列． 方法2：假设存在实数λ，使得2n n a λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 设2n n n a b λ+=，由}{n b 为等差数列，则有122n n n b b b ++=+（*n ∈N ）． ∴12122222n n n n n n a a a λλλ+++++++⨯=+． ∴1244n n n a a a λ++=--()()121222n n n n a a a a +++=---()()12221211n n ++=---=-． 综上可知，存在实数1λ=-，使得数列2n n a λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列．。
2014届高三数学一轮复习：5.2等-差-数-列
课时跟踪检测(三十一) 等 差 数 列1．{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22D ．242．(2012·广州调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．723．(2012·东北三校联考)等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．2＋log 254．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9的值等于( ) A ．54 B ．45 C ．36D ．275．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15>0，S 16<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为( )A.S 1a 1 B.S 15a 15 C.S 8a 8D.S 9a 96．(2013·遵义模拟)已知数列{a n }是等差数列，前四项和为21，末四项和为67，且前n 项和为286，则n ＝( )A ．13B ．14C ．26D ．287．(2012·广东高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. 8．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________. 9．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 10．设数列{a n }的前n 项积为T n ，T n ＝1－a n ，(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 的前n 项和S n .11．数列{a n}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负．(1)求数列的公差d；(2)求前n项和S n的最大值；(3)当S n>0时，求n的最大值．12．数列{a n}满足a n＋1＋a n＝4n－3(n∈N＋)．(1)若{a n}是等差数列，求其通项公式；(2)若{a n}满足a1＝2，S n为{a n}的前n项和，求S2n＋1.1．等差数列中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是()A．156 B．52C．26 D．132．在等差数列{a n}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|a n|}的前18项和T18的值是()A．24 B．48C．60 D．843．(2012·湖北高考)已知等差数列{a n}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．答 案课时跟踪检测(三十一)A 级1．选B 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.2．选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＝a 1＋4d ＝8，S 3＝3a 1＋3d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48.3．选B 依题意得，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 5＋a 6)＝20，因此有log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝20.4．选A 2a 8＝a 5＋a 11＝6＋a 11，则a 5＝6，故S 9＝9a 5＝54.5．选C ∵S 15>0，∴a 1＋a 15>0，即2a 8>0，∴a 8>0，又S 16<0，∴a 1＋a 16<0，∴a 8＋a 9<0，∴a 9<0，∴S 8最大，a 1>a 2>…>a 8>0>a 9>…∴S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中，S 8a 8最大． 6．选C 依题意，知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21， a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝67，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝88， ∴a 1＋a n ＝884＝22.∵S n ＝n (a 1＋a n )2＝286，∴n ＝26.7．解析：设等差数列公差为d ，∵由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列， 故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －18．解析：a 7－a 5＝2d ＝4，则d ＝2.a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1， S k ＝k ＋k (k －1)2×2＝k 2＝9.又k ∈N ＋，故k ＝3. 答案：39．解析：∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 6b 6＝1941. 答案：194110．解：(1)证明：由T n ＝1－a n 得，当n ≥2时，T n ＝1－T nT n －1，两边同除以T n 得1T n －1T n －1＝1.∵T 1＝1－a 1＝a 1， 故a 1＝12，1T 1＝1a 1＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是首项为2，公差为1的等差数列． (2)由(1)知1T n ＝n ＋1，则T n ＝1n ＋1，从而a n ＝1－T n ＝n n ＋1，故a nT n ＝n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n ＝n (n ＋1)2.11．解：(1)由已知a 6＝a 1＋5d ＝23＋5d >0，a 7＝a 1＋6d ＝23＋6d <0，解得－235<d <－236，又d ∈Z ，∴d ＝－4.(2)∵d <0，∴{a n }是递减数列， 又a 6>0，a 7<0，∴当n ＝6时，S n 取得最大值， S 6＝6×23＋6×52×(－4)＝78.(3)S n ＝23n ＋n (n －1)2×(－4)>0，整理得n (50－4n )>0，∴0<n <252，又n ∈N ＋，所求n 的最大值为12.12．解：(1)由题意得a n ＋1＋a n ＝4n －3，① a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1，② ②－①得a n ＋2－a n ＝4，∵{a n }是等差数列，设公差为d ，∴d ＝2. ∵a 1＋a 2＝1，∴a 1＋a 1＋d ＝1， ∴a 1＝－12，∴a n ＝2n －52.(2)∵a 1＝2，a 1＋a 2＝1，∴a 2＝－1.又∵a n ＋2－a n ＝4，∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4， ∴a 2n －1＝4n －2，a 2n ＝4n －5，S 2n ＋1＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(n ＋1)×2＋(n ＋1)n 2×4＋n ×(－1)＋n (n －1)2×4＝4n 2＋n ＋2.B 级1．选C ∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6(a 4＋a 10)＝24，故a 4＋a 10＝4， ∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝26.2．选C 由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0，故T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60.3．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7， 故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4； 当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5； 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n | ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝1时，不满足此式，当n ＝2时，满足此式． 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.。
江西省南昌市2014届高三数学一轮复习 数列训练题2
江西省南昌市2014届高三数学一轮复习 数列训练题2一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设n S 为等差数列{}n a n 的前项和，若3963,27a S S =-=，则该数列的首项1a 等于A ．65B ．35 C ．65- D ．35- 2．数列12102,4,20a a a +++共有十项，且其和为240，则1210a a a +++=A ．31B ．120C ．130D ．185 3．等差数列{}n a 中，20131-=a ，其前n 项和为n S ，若210121012=-S S ，则2013S 的值等于 A ．2012- B ．2013- C ．2012 D ．2013 4．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则8967a a a a ++等于A ．21-B ．21+C ．223-D ．223+ 5．等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 且满足,0,01615<>S S 则15152211,,,a S a Sa S 中最大的项为A ．88a S B ．99a S C ．77a SD ．66a S6．已知数列{}n a 的通项公式*2log ()1n na n N n =∈+,设其前n 项和为n S ，则使4n S <-成立的自然数n 有A ．最大值15B ．最小值15C ．最大值16D ．最小值167．已知等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S a +=+，N *n ∈，则实数a 的值是A ．3-B ．3C ．1-D ．1 8．若1x ，2x ，3,x ，2013x 的方差为3，则13(2)x -，23(2)x -，33(2),x -，20133(2)x -的方差为A ．3B ． 9C ． 18D ．279．已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=A ． 0B ．100-C ．100D ．1020010．数列}{n a 满足⎩⎨⎧=-==kn a k n n a k n 2,12,当当，其中*∈N k ，设n n a a a a n f 21221)(++++=- ，则)2012()2013(f f -等于A ．20122 B ．20132C ．20124D ．20134二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上。
高考数学一轮复习 第5章 数列5精品训练 理(含解析)新人教B版
2014年高考数学一轮复习 第5章 数列5精品训练 理（含解析）新人教B 版[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年太原模拟)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7等于( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C ．3＋2 2D ．3－2 2解析：设等比数列{a n }的公比为q ，其中q ＞0，由题意知a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q .因为a 1≠0，所以有q 2－2q －1＝0，由此解得q ＝1±2，又q ＞0，所以q ＝1＋2，所以a 8＋a 9a 6＋a 7＝q 2a 6＋a 7a 6＋a 7＝q 2＝(1＋2)2＝3＋22，选C.答案：C2．(2013年衡阳六校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且ON →＝a 15OM →＋a 6OP →(直线MP 不过点O )，则S 20等于( )A ．10B ．15C ．20D ．40解析：依题意，得a 15＋a 6＝1.由等差数列性质知a 15＋a 6＝a 1＋a 20，所以S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 15＋a 6)＝10，选A.答案：A3．(2013年杭州模拟)已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a ＞0，a ≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第二项与第三项，若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10等于( )A.911B.1011C.811D.1211解析：由y ＝log a (x －1)＋3恒过定点(2,3)，即a 2＝2，a 3＝3，又{a n }为等差数列， ∴a n ＝n .∴b n ＝1nn ＋1. ∴T 10＝1－111＝1011，故选B.答案：B4．(2013年临川模拟)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4(n ≥1)，且a 1＝9，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|＜1125的最小整数n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：由已知式子变形得3(a n ＋1－1)＝－(a n －1)，则{a n －1}是以8为首项，－13为公比的等比数列，则|S n －n －6|＝|a n －1＋a n －1－1＋…＋a 1－1－6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n1＋13－6＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＜1125，化简得3n －1＞250，故满足条件的最小整数n 的值为7. 答案：C5．(2013年武汉模拟)已知定义在R 上的函数f (x )、g (x )满足f x g x＝a x，且f ′(x )g (x )＜f (x )g ′(x )，f 1g 1＋f －1g －1＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n g n (n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：令h (x )＝f x g x＝a x，∵h ′(x )＝f ′xg x －f x g ′x[g x ]2＜0，∴h (x )在R 上为减函数，∴0＜a ＜1.由题知，a 1＋a －1＝52，解得a ＝12或a ＝2(舍去)，∴f ng n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∴有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n g n 的前n 项和S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3132，∴n ＝5.答案：A 二、填空题6．(2013年衡阳六校联考)在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得，数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：287．(2013年北京东城区期末)在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意的正整数p ，q 都有a p＋q＝a p a q ，则a 8的值为________．解析：∵a p ＋q ＝a p a q ，∴a 8＝a 4＋4＝(a 4)2＝[(a 2)2]2＝a 42＝a 81＝28＝256. 答案：2568．(2013年宝鸡模拟)已知正项等比数列{a n }满足：a 2 012＝a 2 011＋2a 2 010，且a n ·a m ＝4a 1，则6⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n 的最小值为________．解析：设数列{a n }的公比为q ，由题意知a 2 010q 2＝a 2 010q ＋2a 2 010，化简得q 2－q －2＝0，所以q ＝－1(舍去)或q ＝2，又由已知条件a n a m ＝4a 1，可得a 21qm ＋n －2＝16a 21，所以2m ＋n －2＝24，故m ＋n ＝6，所以6⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝(m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋m n ≥4，当且仅当n m ＝m n，即m ＝n ＝3时取“＝”．答案：49．(2013年大同四校联考)已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若a ⊥b ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值为________． 解析：依题意得a ·b ＝0，即2S n ＝n (n ＋1)，S n ＝n n ＋12.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋12－n n －12＝n ；又a 1＝S 1＝1×1＋12＝1，因此a n ＝n ，a na n ＋1a n ＋4＝n n ＋1n ＋4＝n n 2＋5n ＋4＝1n ＋4n＋5≤19，当且仅当n ＝4n，n ∈N *，即n ＝2时取等号，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值是19.答案：19三、解答题10．公差不为零的等差数列{a n }中，a 3＝7，且a 2，a 4，a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an ，求数列{b n }的前n 项和S n .解析：(1)由数列{a n }为公差不为零的等差数列，设其公差为d ，且d ≠0. ∵a 2，a 4，a 9成等比数列，∴a 24＝a 2·a 9，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )． 整理得d 2＝3a 1d .∵d ≠0，∴ d ＝3a 1. ∵a 3＝7，∴a 1＋2d ＝7， ∴a 1＝1，d ＝3，∴a n ＝3n －2. (2)由(1)知b n ＝23n －2，∵b n ＋1b n ＝23n ＋1－223n －2＝8， ∴{b n }是等比数列，公比为8，首项b 1＝2， ∴S n ＝21－8n1－8＝28n－17. 11．(2013年濮阳调研)已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝x 2＋1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n b n ＋2＜b 2n ＋1. 解析：(1)由已知得a n ＋1＝a n ＋1， 即a n ＋1－a n ＝1，又a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． 故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知：a n ＝n ，从而b n ＋1－b n ＝2n，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.因为b n b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝(22n ＋2－2n ＋2－2n ＋1)－(22n ＋2－2×2n ＋1＋1)＝－2n＜0，所以b n b n ＋2＜b 2n ＋1.12．(能力提升)甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500 ml ，同时从甲、乙两个容器中各取出100 ml 溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和．经n －1(n ≥2，n ∈N *)次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为a n 、b n .记a 1＝10%，b 1＝20%.(1)试用a n －1，b n －1表示a n ，b n ；(2)求证：数列{a n －b n }是等比数列，数列{a n ＋b n }是常数列； (3)求数列{a n }，{b n }的通项公式． 解析：(1)由题意知，a n ＝400a n －1＋100b n －1500＝45a n －1＋15b n －1， b n ＝400b n －1＋100a n －1500＝45b n －1＋15a n －1.(2)由(1)知，a n －b n ＝35(a n －1－b n －1)，又a 1－b 1≠0，所以数列{a n －b n }成等比数列；a n ＋b n ＝a n －1＋b n －1＝…＝a 1＋b 1＝30%，所以数列{a n ＋b n }是常数列．(3)因为a 1－b 1＝－10%，数列{a n －b n }是公比为35的等比数列，所以a n －b n ＝－10%×⎝ ⎛⎭⎪⎫35n－1.又a n ＋b n ＝30%，所以a n ＝－5%×⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1＋15%，b n ＝5%×⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1＋15%.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年合肥模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A ．13,12B ．13,13C ．12,13D ．13,14解析：设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝a 23＝64，(8－2d )(8＋4d )＝64，(4－d )(2＋d )＝8,2d －d 2＝0，又d ≠0，故d ＝2，故样本数据为：4,6,8,10,12,14,16，18,20,22，平均数为S 1010＝4＋22×510＝13，中位数为12＋142＝13，故选B.答案：B2．(2013年南昌模拟)下面给出一个“直角三角形数阵” 14 12，1434，38，316…满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a 83等于________．解析：设第一列为数列{a n 1}，则a n 1＝14＋(n －1)×14＝n 4.设第n 行第m 列为a n m ＝n 4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －1，∴a 83＝84×⎝ ⎛⎭⎪⎫123－1＝12.答案：123．(2013年北京东城质检)已知数列{a n }满足a 1＝14，a n ＝a n －1－1na n －1－2(n ≥2，n ∈N *)． (1)试判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋－1n 是否为等比数列，并说明理由； (2)设c n ＝a n sin2n －1π2，数列{c n }的前n 项和为T n .求证：对任意的n ∈N *，T n ＜23. 解析：(1)由a n ＝a n －1－1na n －1－2得1a n ＝－1na n －1－2a n －1＝(－1)n－2a n －1，所以1a n ＋(－1)n ＝2·(－1)n－2a n －1＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a n －1＋－1n －1. 又1a 1－1＝3≠0，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋－1n 是首项为3，公比为－2的等比数列． (2)证明：由(1)得1a n＋(－1)n ＝3·(－2)n －1.所以1a n＝3·(－2)n －1－(－1)n.a n ＝13·－2n －1－－1n，所以c n ＝a n sin 2n －1π2 ＝13·－2n －1－－1n·(－1)n －1＝13·2n －1＋1＜13·2n －1.所以T n ＜13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜23.。
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课时跟踪检测(三十一) 等 差 数 列1．{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22D ．242．(2012·广州调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．723．(2012·东北三校联考)等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．2＋log 254．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9的值等于( ) A ．54 B ．45 C ．36D ．275．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15>0，S 16<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为( )A.S 1a 1 B.S 15a 15 C.S 8a 8D.S 9a 96．(2013·遵义模拟)已知数列{a n }是等差数列，前四项和为21，末四项和为67，且前n 项和为286，则n ＝( )A ．13B ．14C ．26D ．287．(2012·广东高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. 8．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________. 9．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 10．设数列{a n }的前n 项积为T n ，T n ＝1－a n ，(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 的前n 项和S n .11．数列{a n}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负．(1)求数列的公差d；(2)求前n项和S n的最大值；(3)当S n>0时，求n的最大值．12．数列{a n}满足a n＋1＋a n＝4n－3(n∈N＋)．(1)若{a n}是等差数列，求其通项公式；(2)若{a n}满足a1＝2，S n为{a n}的前n项和，求S2n＋1.1．等差数列中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是()A．156 B．52C．26 D．132．在等差数列{a n}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|a n|}的前18项和T18的值是()A．24 B．48C．60 D．843．(2012·湖北高考)已知等差数列{a n}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．答 案课时跟踪检测(三十一)A 级1．选B 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.2．选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＝a 1＋4d ＝8，S 3＝3a 1＋3d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48.3．选B 依题意得，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 5＋a 6)＝20，因此有log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝20.4．选A 2a 8＝a 5＋a 11＝6＋a 11，则a 5＝6，故S 9＝9a 5＝54.5．选C ∵S 15>0，∴a 1＋a 15>0，即2a 8>0，∴a 8>0，又S 16<0，∴a 1＋a 16<0，∴a 8＋a 9<0，∴a 9<0，∴S 8最大，a 1>a 2>…>a 8>0>a 9>…∴S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中，S 8a 8最大． 6．选C 依题意，知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21， a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝67，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝88， ∴a 1＋a n ＝884＝22.∵S n ＝n (a 1＋a n )2＝286，∴n ＝26.7．解析：设等差数列公差为d ，∵由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列， 故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －18．解析：a 7－a 5＝2d ＝4，则d ＝2.a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1， S k ＝k ＋k (k －1)2×2＝k 2＝9.又k ∈N ＋，故k ＝3. 答案：39．解析：∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 6b 6＝1941. 答案：194110．解：(1)证明：由T n ＝1－a n 得，当n ≥2时，T n ＝1－T nT n －1，两边同除以T n 得1T n －1T n －1＝1.∵T 1＝1－a 1＝a 1， 故a 1＝12，1T 1＝1a 1＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是首项为2，公差为1的等差数列． (2)由(1)知1T n ＝n ＋1，则T n ＝1n ＋1，从而a n ＝1－T n ＝n n ＋1，故a nT n ＝n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n ＝n (n ＋1)2.11．解：(1)由已知a 6＝a 1＋5d ＝23＋5d >0，a 7＝a 1＋6d ＝23＋6d <0，解得－235<d <－236，又d ∈Z ，∴d ＝－4.(2)∵d <0，∴{a n }是递减数列， 又a 6>0，a 7<0，∴当n ＝6时，S n 取得最大值， S 6＝6×23＋6×52×(－4)＝78.(3)S n ＝23n ＋n (n －1)2×(－4)>0，整理得n (50－4n )>0，∴0<n <252，又n ∈N ＋，所求n 的最大值为12.12．解：(1)由题意得a n ＋1＋a n ＝4n －3，① a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1，② ②－①得a n ＋2－a n ＝4，∵{a n }是等差数列，设公差为d ，∴d ＝2. ∵a 1＋a 2＝1，∴a 1＋a 1＋d ＝1， ∴a 1＝－12，∴a n ＝2n －52.(2)∵a 1＝2，a 1＋a 2＝1，∴a 2＝－1.又∵a n ＋2－a n ＝4，∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4， ∴a 2n －1＝4n －2，a 2n ＝4n －5，S 2n ＋1＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(n ＋1)×2＋(n ＋1)n 2×4＋n ×(－1)＋n (n －1)2×4＝4n 2＋n ＋2.B 级1．选C ∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6(a 4＋a 10)＝24，故a 4＋a 10＝4， ∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝26.2．选C 由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0，故T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60.3．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7， 故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4； 当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5； 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n | ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝1时，不满足此式，当n ＝2时，满足此式． 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.。