衢州、湖州、丽水2020年11月三地市高三教学质量检测数学试卷及答案
浙江省丽水、湖州、衢州2022年11月三地市高三教学质量检测数学试题(参考答案)
丽水、湖州、衢州2022年11月三地市地高三教学质量检测数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ABDBCCDC二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2014.3515.404416.)217-四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)在数列{}n a 中，113a =，112n n n n a a a a ++-=（*N n ∈）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求满足不等式1223117k k a a a a a a +++⋯+<（*N k ∈）成立的k 的最大值．解：（1）由条件得111112n n n n n na a a a a a +++--==，-------------------------------------------------2分所以数列{}n a 是以113a =为首项，公差2d =的等差数列．故()131221nn n a =+-⨯=+，------------------------------------------------------4分题号9101112答案ACDABDACAD即121n a n =+．---------------------------------------------------------------------------5分（2）由（1）知()()11111212322123n n a a n n n n +⎡⎤==-⎢⎥++++⎣⎦，--------------------7分故122311111111235572123k k a a a a a a k k +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1112323k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭---------------------------------------------------------------------9分所以111123237k ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，解得9k <，结合*N k ∈得，k 的最大值是8．--------------------------------------------10分18.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()sin 22cos A C B +=-．（1）求tan B 的值；（2）若ABC ∆的面积为2，求ABC ∆周长L 的最小值．解：（1）由()sin 22cos A C B +=-得，()2sin 21cos 4sin2BB B =-=，----------2分因为sin02B ≠，解得1tan 22B =．------------------------------------------------------3分所以22tan42tan 31tan 2BB B ==-．-------------------------5分（2）由上可知4sin 5B =，3cos 5B =．由ABC ∆的面积为2，得12sin 225ABC S ac B ac ∆===，故5ac =．-----------------------7分所以a c +≥=．（等号成立当且仅当a c =）----------------9分又22222642462cos 555b ac aca ac a c ac B c a c -==+-=+≥=-（等号成立当且仅当a c =）所以2b ≥．-----------------------------------------------------11分故ABC ∆周长()2L a b c a c b =++=++≥（等号成立当且仅当a c ==）．因此ABC ∆周长L的最小值为2+．--------------------------12分（注意：等号成立条件仅需说明一次即可）19．(本题满分12分)如图，在三棱台111ABC A B C -中，三棱锥111C A B C -的体积为3，1AB C ∆的面积为4，112AB A B =，且1A A ⊥平面ABC ．（1）求点B 到平面1AB C 的距离；（2）若1BB BA =，平面1AB C ⊥平面11ABB A ，求二面角11A B C A --的余弦值．解：（1）设点B 到平面1AB C 的距离为h ．因为112AB A B =，三棱锥111C A B C -的体积为3，所以三棱锥1B ABC -分又由11B ABC B AB C V V --=，得334311=⨯⨯∆C AB S h，解得h =分（2）由已知设11A B x =,11A C y =，则12BB AB x ==,2AC y =，取1AB 的中点M ，连结BM ，则1BM AB ⊥，由平面1AB C ⊥平面11ABB A 可得BM ⊥平面1ACB ，故BM AC ⊥，又1AC AA ⊥，从而AC ⊥平面11AA B B .-------------------------------------------------6分故AC AB ⊥，1AC AB ⊥，取AB 中点N ，则11A B AN x ==，四边形11A B NA 是平行四边形，所以1B N AB ⊥，又由于AB BB =1，从而1ABB ∆为正三角形，故12AB x =，11B N AA ==，又111122422AB C S AC AB y x =⋅=⋅⋅=，11111323C A B C V x y -⎛⎫=⋅⋅⋅=⎪⎝⎭得1,2x y ==.--------------------------------------8分作11A G AB ⊥，垂足为G，则12A G =，在平面1AB C 内，作1GH B C ⊥，垂足为H ，连结1A H ，则二面角11A B C A --的平面角为1A HG ∠.--------------------------------------10分B 1（第19题图）A 1C 1BCA在1Rt GHB ∆中，GH =，故11tan A G A HG GH ∠==，1cos A HG ∠=..---------------------------------------------------------12分法二：取1AB 的中点M ，连结BM ，则1BM AB ⊥，由平面1AB C ⊥平面11ABB A 可得BM ⊥平面1ACB ，故BM AC ⊥，又1AC AA ⊥，从而AC ⊥平面11AA B B .---------------------------6分故AC AB ⊥，以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设11A B x =,11A C y =，则12BB AB x ==,2AC y =，取AB 中点N ，则11A B AN x ==,四边形11A B NA 是平行四边形，1B N AB ⊥，又由于AB BB =1，从而1ABB ∆为正三角形，故12AB x =，11B N AA =，又111122422AB C S AC AB y x =⋅=⋅⋅=，1111132C A B C V x y -⎛⎫=⋅⋅⋅=⎪⎝⎭得1,2x y ==，----------------------------------------------8分则(0,0,0)A 1B，1A ，(0,4,0)C ，设面1AB C 的法向量(,,)n x y z = ，由100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(n =，设面11A B C 的法向量(,,)m a b c = ，由11100m A B m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得m =----------------------10分故cos ,19m n m n m n ⋅<>==⋅.-----------------12分20.(本题满分12分)自主招生和强基计划是高校选拔录取工作改革的重要环节.自主招生是学生通过高校组织的笔试和面试之后，可以得到相应的降分政策.2020年1月，教育部决定2020年起不再组织开展高校自主招生工作，而是在部分一流大学建设高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）.下表是某高校从2018年起至2022年通过自主招生或强基计划在各个专业的招生人数：年份数学物理化学总计201847617201958518202069520202187621202298623请根据表格回答下列问题：（1）统计表明招生总数和年份间有较强的线性关系.记x 为年份与2017的差，y 为当年招生总人数，试用最小二乘法建立y 关于x 的线性回归方程，并以此预测2023年的招生总人数（结果四舍五入保留整数）；（2）在强基计划实施的首年，为了保证招生录取结果的公平公正，该校招生办对2020年强基计划录取结果进行抽检.此次抽检从20名学生中随机选取3位学生进行评审.记X 为抽到是数学专业学生的人数，求随机变量X 的数学期望()E X ；（3）经统计该校学生的本科学习年限占比如下：四年毕业的占0076，五年毕业的占0016，六年毕业的占008.现从2018到2022年间通过上述方式被该校录取的学生中随机抽取1名，若该生是数学专业的学生，求该生恰好在2025年毕业的概率.附：ˆˆy bxa =+为回归方程，()()()121ˆnii i nii x xy b y xx ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．解（1）由题意，x 的取值集合为{1,2,3,4,5}，y 的取值集合为{17,18,20,21,23}，直接根据公式求解：()()()121ˆniii ni i x x y by x x ==--=-∑∑，代入3x =，19.8y =算得：ˆ 1.5b =，ˆˆ15.3a y xb =-=，因此回归方程为ˆ 1.515.3yx =+，当6x =时，可得ˆ24.3y=,因此预测2023年的招生总人数为24人.--------------------------------------------5分（2）由已知，314320(0)C p X C ==，21146320(1)C C p X C ⋅==，12146320(2)C C p X C ⋅==，36320(3)C p X C ==，故()E x =211463201C C C ⋅⨯121463202C C C ⋅+⨯363203C C +⨯910=.---------------------------------------4分（3）因为2025年毕业，则入学年份可能为2021年，2020年，2019年.设事件A 是“被数学系录取”，事件B 是“2025年毕业”，事件1C 是“2021年入学”，事件2C 是“2020年入学”，事件3C 是“2019年入学”.由条件概率公式可知，()1832P C A =，()2632P C A =，()3532P C A =，由全概率公式可知，()865930.760.160.0832*******P B A =⨯+⨯+⨯=.--------------------------3分21.(本题满分12分)已知点(AC 上，过点()1,0M 的直线l 交曲线C 于D ，E 两点（D ，E 均在第四象限），直线AD ，AE 分别交直线1x =于P ，Q 两点.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若APQ ∆的面积为l 的方程.解（1）①若焦点在x 轴上，设双曲线C 方程为22221x y a b-=（0,0a b >>）.由题意得223921c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以双曲线C 的标准方程为2213x y -=.-----------------------------------------------2分②若焦点在y 轴上，设双曲线C 方程为22221y x a b-=（0,0a b >>）.由题意得22233921c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，此时无解.综上所述双曲线C 的标准方程为2213x y -=.--------------------------------------------------4分（2）设直线l 方程为1x ty =+，1111(,),(,)D x y E x y ，联立221330x ty x y =+⎧⎨--=⎩得()223220t y ty -+-=，故()221221223012202323t t ty y t y y t ⎧-≠⎪∆=->⎪⎪-⎨+=⎪-⎪-⎪⋅=-⎩，解得23-<<-t ------------6分又因为直线)11:33y AD y x x =--，取1x =得)111112232P y y y x ty ---==--，同理)2222Qy y ty -=-，-----------------------------------------------------------------8分由题意点A 到直线l 的距离是2d =，所以122APQ S PQ ∆=⨯⨯=，解得PQ =.又P QPQ y y=-=-===----------------------------------------------------------------10分化简可得211260t +-=，得t =t =，易知0t <，故t =，即直线l 方程为1x =+.--------------------------------------------------------12分22.(本题满分12分)已知函数()ln 1a xxfx x a x e =+--（R a ∈）.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，则1212ln x x e a+>．解（1）由题意得()ln xxfx x x e =+-，2得()()111x f x x e x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，--------------------------------------------2分所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，因此()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减.------------------------------------4分（2）先证明122x x a+>，因为()()111a x f x a x e x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，---------------------------------------------------6分所以当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞单调递增，不满足题意；故0a >，可知()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增.在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.又当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →-∞，故11ln 20f a a a e⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，解得10a e <<，且1210x x a <<<.----------------------------------------------------8分()()ln ln 1ln 1x a x a x xf x x a x e x a x e-=+--=+--设ln t x ax =-，则由于()1tg t e t =+-单调递增，则1122ln ln x ax x ax -=-，则2ln ln 1212121x x x x x x a +<--=，可证得122x x a+>.--------------------------------------10分所以要证明1212ln x x e a +>，只要证明22ln 0e a a+>.设()22ln a e a aϕ=+（10a e <<），则()2212220e a e e a a a a ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=<，所以()a ϕ在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则()10a e ϕϕ⎛⎫>= ⎪⎝⎭.因此有1212ln x x e a +>.------------------------------------------------------------------12分方法二：先证明122x x a+>，因为()()111a x f x a x ex ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，--------------------------------------------------6分所以当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞单调递增，不满足题意；故0a >，可知()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增.在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.又当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →-∞，故11ln 20f a a a e⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，解得10a e <<，且1210x x a <<<.----------------------------------------------------8分要证明122x x a +>，只要证明212x x a>-.因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增.在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，且1210x x a <<<，所以只要证明()212f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，只要证明()112f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，设()()2g x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（10x a<<），()()()211111022ax ax g x f x f x a x x a ax e e -⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎛⎫--+->⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣'-⎦⎛⎫''=+-= ⎪⎝⎭所以()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，所以()10g x g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，因此122x x a+>成立.------------------------------------------------------------------10分所以要证明1212ln x x e a +>，只要证明22ln 0e a a+>.设()22ln a e a aϕ=+（10a e <<），则()2212220e a e e a a a a ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=<，所以()a ϕ在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则()10a e ϕϕ⎛⎫>= ⎪⎝⎭.因此有1212ln x x e a+>.-----------------------------------------------------------------12分。
湖州、衢州、丽水三地市2020届高三11月教学质量检测数学试卷(含答案)
B. , 2 C. , 2 D. , 2
A
D
O
B
C
第 9 题图
10．设数列{an} 满足 a1 1, an+1 =ean m 1 ， n N* ，若对一切 n N* ， an 2 ，则实数 m
（Ⅱ）当
x
0,
2
时，求
f
(x)
的值域．
高三数学试题卷（共四页）——第 3 页
19．(本小题满分 15 分)
如图 ，已知 三棱 台 ABC A1B1C1 ，平 面 A1 ACC1 平面 ABC ， ABC 90 ，
BAC 30 ， AA1 CC1 BC A1C1 4 ， E, F 分别是 A1C1 ， BC 的中点．
恰有两个零点，则实数
m
的取值范围是
A. (0,1) (e, )
B. (e, )
C. (0,1) (e2 ,)
D. (e2 , )
9．如图，矩形 ABCD 中心为 O ，BC AB ，现将 DAC 沿着对角线 AC 翻折成 EAC ，
记 BOE ，二面角 B AC E 的平面角为 ，直线 DE 和 BC 所成角为 ，则
3．已知实数
x,
y
满足
x+y
2
0,
则 x2 +y2 的最小值是
y 0,
D． i
A． 2
B． 2
C． 4
D． 8
4．若 a,b R ，则“ a b 1”是“ a2 b2 1 ”的
A．充分不必要条件
浙江省湖州、衢州、丽水三地市2020届高三上学期教学质量检测数学试卷(含答案)
湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷高三数学（2018．1）第 Ⅰ 卷 （选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是1ABCD2．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”公式是ABC D ．3ABCD4ABCD5．ABCD6A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件俯视图侧（左）视图正（主）视图（第5题图）7AC．D8ABCD9．（如图所示）．A BCD10ABC D第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）11的长轴长是▲ ，离心率是▲ ．12的展开式中，常数项是▲ ，含的一次项的系数是▲ ．13个球，14的最小值是▲．1516．▲ ．17．设在平面内动点，满，==PA PB PC．若的面积最大值是▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．(本小题满分14分)(Ⅰ)(Ⅱ)19．(本小题满分15分)．20．(本小题满分15分)21．(本小题满分15分)22．(本小题满分15分) 明：湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）11.13.14.三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 18．(本小题满分14分)(Ⅰ)(Ⅱ)解：(Ⅰ分分分(Ⅱ)分分---------------------------------------------14分 19．(本小题满分15分)．解：分分---------------6分------------------------------------7分--------------9分-------------11分，------------------------------------------------------------13分----------------------------------------15分 20．(本小题满分15分)解：(Ⅰ)-------2分----------4分--------------------6分PE E=，故因此PC BD ⊥-------------------------------------------7分。
浙江省衢州、湖州、丽水2021届高三11月教学质量检测数学含答案
8
D.
3
5.已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数，则“ f (0) = 0 ”是
“ f ( x) 是奇函数”的
公 众 号 ： 高 三 资 料 库
5
2 正视图
1 1
侧视图
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
俯视图
第 4 题图
6. m ， n 是空间两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是
（Ⅰ）证明： EF // 平面 PAD ；
P
（Ⅱ）当 AP ⊥ BD ，求直线 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值 E
解：（1）取 PD 的中点 M ，连结 AM ， ME ,--------------2 分
D
由已知 AF // ME // DC ，且 AF = ME = 1 DC ,
C
2
A
F
B
（Ⅱ）解法一：取 AD 的中点 O ，连结 PO ，
∵ PA = AD = PD = 2 ， PO ⊥ AD ， 又侧面 PAD ⊥ 底面 ABCD ，∴ PO ⊥ 平面 ABCD ， ∴ PO ⊥ BD 又∵ AP ⊥ BD ， ∴ BD ⊥ 平面 PAD ，------------------------------------------9 分
库
PA = AD = PD = 2 ，侧面 PAD ⊥ 底面 ABCD ， E ， F 分别为 PC ， AB 的中点.
（Ⅰ）求证： EF // 平面 PAD ；
P
（Ⅱ）当 AP ⊥ BD 时，求直线 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值.
E
D
C
20.（本小题满分 15 分）
衢州、丽水、湖州三地市2020年高三数学教学质量检测试卷
衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷(第6稿)（2020.04）一、选择题1. 已知集合[]0,4A=，{}R|1B x x=∈≤，则BACR⋂)(（）A．[)1,0- B.[]1,0-C．[]0,1 D. (]1,42.椭圆x22+y2=1的离心率是（）A. 12B. 13C.√23D.√223. 已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．323B．163C．4 D．84.明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
它的意思是说：求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止，所得结果就是这个数的最小正整数值。
《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何。
”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件. （）A. 21B. 22C. 23D. 245.函数()()lnx xf x e e x-=+的图象大致为（）6.若实数满足约束条件{x−2y+3≥02x−y−3≤0x+y≥0，则2x+3y的取值范围是（）A.[－1, 15]B. [1, 15]C. [－1, 16]D. [1, 16]7.若0,0a b>>,则“ab≤4”是“1aba b≤+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.任意a∈[−1,2]，若存在实数b使不等式|x2−ax|≤b对任意的x∈[0,2]恒成立，则（）A. b的最小值为4B. b的最小值为6C. b的最小值为8D. b的最小值为109.如图，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，P是圆O上的动点，则下列叙述不正确．．．的是（）第3题图DB CA第9题A. ⋅+⋅是定值.B. ⋅+⋅+⋅+⋅是定值.C.PD PC PB PA +++是定值.D. 2222PD PC PB PA +++是定值.10.对任意x >0,不等式2ae 2x −lnx +lna ≥0恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．√eB ．2√eC. 2e D ．12e 二、填空题11.若复数z =21+i (i 为虚数单位），则|z|= . 12.在数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，已知a 2=1，a 3=6，且数列{}n a n +是等比数列,则n a = n S = .13. 二项式6)21(x x -的展开式的各项系数之和为 ，4x 的系数为 ． 14.已知直线:1,l mx y -=若直线l 与直线10x my --=平行，则m 的值为 ，动直线l 被圆x 2+y 2−2y −8=0截得的弦长最短为 . 15.已知随机变量X 的分布列如下表：X 0 2 a P12b14其中a >0,b >0.且E(X)=2,则b= ,D(2x-1)= .16.在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的异于顶点的任意一点，过点M 作双曲线的切线l ，若13OM l k k ⋅=，则双曲线离心率e 等于 . 17. 已知函数a ax x x f ++=2)(，{}x x f x A ≤∈=)(R ，{}R [()]()B x f f x f x =∈≤,B A A ⊆∅≠,，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题：18.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为.已知3)4tan(=+A π.（Ⅰ）求A A 2cos 2sin + 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积1=S ，2=c ，求a 的值.ABC ∆,,a b c19.如图，已知四棱锥A BCDE -，正三角形ABC 与正三角形ABE 所在平面互相垂直，//BC 平面ADE ,且BC=2,DE=1. （Ι）求证：//BC DE ；（Π）若2AF FD =，求CF 与平面ABE 所成角的正弦值.20.已知数列{}n a 的前n 项和S n =a n 2+2a n4，且)N (0*∈>n a n .（Ⅰ）写出123,,a a a 的值,并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设b n =√S n ，n T 为数列{}n b 的前n 项和；求证：22222nn T n n n +<<+.21. 如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为直线 y =−2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .（Ⅰ）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（Ⅱ）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA,MB 分别交于点C,D,记λ=SΔEAB S ΔMCD,问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.22. 已知()()2x f x x a e -=-，()()1x g x a e -=+ （Ι）当1a =时,判断函数()f x 的单调性；（Π）当1a >-时,记()f x 的两个极值点为()1212,x x x x <，若不等式()()()2121'x f x f x g x λ≤-⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数λ 的值.。
浙江省衢州、丽水、湖州三地市2024届高三上学期11月月考政治试卷+Word版含答案
衢州、丽水、湖州2023年11月三地市教学质量检测试卷思想政治考生注意：1．本试题卷共6页，有4大题，33小题。
满分100分，考试时间90分钟。
2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3．选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，答案写在本试题卷上无效。
一、判断题（本大题共5小题，每小题1分，共5分。
判断下列说法是否正确，正确的请将答题卡相应题号后的T涂黑，错误的请将答题卡相应题号后的F涂黑）1．人民幸福是最大的人权，发展是实现人民幸福的关键。
2．当前，夜经济不仅丰富了百姓生活，也成为推动经济发展的第一动力。
3．中国共产党的性质和宗旨决定了党在任何时候都没有自己特殊的利益。
4．公正司法，就是指在司法活动的过程中坚持和体现公平正义。
5．中国式现代化是坚持矛盾普遍性与特殊性相统一的生动实践。
二、选择题I（本大题共16小题，每小题2分，共32分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）6．在阶级社会的演进过程中，奴隶社会、封建社会和资本主义社会的共同点是①剥削的基础不同但形式相同②都是少数人对多数人的统治③社会基本矛盾都是阶级矛盾④产品分配方式都由生产资料私有制决定A．①③B．①④C．②③D．②④7．今天，每当资本主义世界出现普遍性危机时，人们就会发现“马克思所说的都应验了”。
为什么他在一百多年前提出的观点，在今天依然适用？这是因为马克思A．奠定了科学社会主义的理论基石B．找到了变革资本主义社会的坚定力量C．揭示了资本主义生产方式的内在矛盾D．实现了社会主义由空想到科学的飞跃8．在探究“只有社会主义才能救中国”的课题活动中，某班同学得出了以下结论.其中符合史实的是①五四运动在中华民族追求发展进步的历史进程中具有里程碑意义②新中国的成立实现了中华民族有史以来最为广泛而深刻的社会变革③社会主义改造的胜利标志着我国实现了从新民主主义到社会主义的转变④在社会主义建设时期,马列主义基本原理同中国实际进行了“第一次结合”A．①②B．①③C．②④D．③④9．改革开放已走过千山万水，但仍需跋山涉水。
2020年11月浙江省衢州、湖州、丽水三市2021届高三教学质量联考检测数学参考答案
15. 16. 17.
三、解答题
18.在锐角 中,角 所对的边分别是 ,已知
.
（Ⅰ）求角 的值；
（Ⅱ）求 的取值范围.
解：（1）由已知得 ,---------------------------2分
所以 ,---------------------------------------4分
所以 ,所以 ；--------------------------------------6分
（2）
---------------------------------------------8分
,-------------------------------------------------------10分
21.已知椭圆 ,抛物线 的焦点是 ,点 在 的准线上.
（Ⅰ）当 在椭圆 上时,求 的值；
（Ⅱ）如图,过点 的直线 与椭圆 交于 两点,与抛物线 交于 两点,且
是 的中点,过点 的直线 交抛物线 于 两点.若 ,求 的斜率 的
取值范围.
解：（1）由已知 , ；------------------------------------------------2分
由 消去 得 ,
则 ,------（3）且 ,------------------10分
由 消去 得 ,
所以 ,----------------------------------------------------------------------------12分
因为 ,所以 ,即 ,
所以 ,----------（4）-----------------------------------------------------14分
衢州、湖州、丽水三地市高三教学质量检测数学试卷数学答案
衢州、湖州、丽水2018年9月三地市高三教学质量检测数学答案及评分标准一、选择题：二、填空题：11.14，21，16 14. 2，715. 18 16. 4 17. 83- 三、解答题：18.已知函数()2cos cos (0)f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈127,40ππx 且()21330-=x f ，求02cos x 的值.解（Ⅰ）()21cos 2cos cos 22xf x x x x x ωωωωω+=-=-1sin(2)62x πω--.......................................4分 因为T π=，所以1ω=.............................................................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1()sin(2)62f x x π=--01()2f x =，所以0sin(2)6x π-=因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈127,40ππx ，所以02,63x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦..............................................8分因为0sin(2)6x π-=<所以022,63x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，0cos(2)63x π-=-..................................10分00003cos 2cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 6666666x x x x ππππππ=-+=---=-.........14分19．在四棱锥P ABCD -中，E 是侧棱PC 的中点，PAB ∆是正三角形，四边形ABCD 是直角梯形，且//AD BC ，BC CD ⊥,60ABC ∠= ，22BC AD ==，3PC =．（Ⅰ）求证：//DE 平面PAB ；（Ⅱ）求直线BD 与平面PAB 所成角的正弦值．解；（Ⅰ）取PB 的中点F ，连,EF AF ，---------------2分 因为EF 是PBC 的中位线，所以//EF BC ，且12EF BC =因为//AD BC ，12AD BC =，所以四边形EFAD 是平行四边形，所以//DE AF ，----------------------4分又因为DE ⊄平面PAB ，AF ⊂平面PAB ， 所以//DE 平面PAB -----------------6分（Ⅱ）取AB 中点Q ，连,PQ CQ ，因为PAB ∆是正三角形，所以PQ AB ⊥，------------8分在直角梯形ABCD 中，因为60ABC ∠=，22BC AD ==，计算得2AB AC ==，所以CQ =CQ AB ⊥，------------10分 所以AB ⊥平面PCQ ，即平面PCQ ⊥平面PAB ，过点E 作EG PQ ⊥，垂足是G ，连BG ，则EBG ∠即是直线BD 与平面PAB 所成角，------12分则PQC ∆中，3PQ QC PC ===，所以3sin 304EG PE ==，又BE =，--------14分所以sin EG EBG BE ∠==-----------------------15分 所以直线BE 与平面PAB． 解法2：如图，以D 为原点，,DA DC 为x 轴，y由已知条件得，2AB =，DC =，所以()0,0,0D ，()1,0,0A ，()C ，()B ，----8分 设(),,P x y z ，由()()((22222222214249x y z x y z x y z ⎧-++=⎪⎪-+-+=⎨⎪⎪+-+=⎩得9342P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B PACDEFQG所以5342AP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()AB =，由560x z x ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩得平面PAB的法向量是()3,2n =- ，----------------12分又73,,884BE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，-----------------------14分 sin BE n BE nθ⋅==----------------------------15分 所以直线BD 与平面PAB20.设正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，12a =，且2211,3,1n n S S ++-成等差数列()n *∈N .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；12111112n S S S <+++≤ ()n *∈N . 解：（Ⅰ）由题2214n n S S +-=，214S =---------------2分所以数列{}2n S 是以为4首项，4为公差的等差数列，所以 24n S n =，又0n a >，所以0n S >，所以n S =--------------4分 当2n ≥时，1n n n a S S -=-=当1n =时，12a =也满足上式，所以N n *∀∈都有n a =分（Ⅱ）由（Ⅰ）知n S =，所以1n S ==>=分 所以121111nS S S +++> ---------------------------------------------------10分又因为1(2)n n S =<=≥------------------12分 当2n ≥时1211111112n S S S S +++≤= ------------------14分 当1n =时上式也成立12111112n S S S <+++≤ ()N n *∈ ---------------------15分 21．已知F 是抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点，点()1,P m 是抛物线上一点，且2PF =,直线l 过定点()4,0，与抛物线T 交于,A B 两点，点P 在直线l 上的射影是Q . （Ⅰ）求,m p 的值； （Ⅱ）若0m >，且2PQQA QB =⋅，求直线l 的方程．解：（Ⅰ）由2PF =得，122p+=，所以2p =，-------------------------2分 将1,x y m ==代入22y px =得，2m =±，--------------------------4分 （Ⅱ）因为0m >，由（1）知点()1,2P ，抛物线2:4T y x =， 设直线l 的方程是4x ny =+，由244x ny y x=+⎧⎨=⎩得，24160y ny --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y n +=，1216y y ⋅=-，-----------------------6分因为2PQ QA QB =⋅，所以PA PB ⊥，所以0PA PB ⋅=,且124n ≠+，----------8分所以()()()()121211220x x y y --+--=，且32n ≠-，------------------------------10分 由()()()()121233220ny ny y y +++--=，得，()()()21212132130n y y n y y ++-++=，()()()2161324130n n n -++-+=，24830n n ++=，--------------------13分解得，32n =-（舍去）或12n =-， 所以直线l 的方程是：142x y =-+，即280x y +-=．---------------------15分（Ⅱ）解法二：因为0m >，由（1）知点()1,2P ，抛物线2:4T y x =， 设直线l 的方程是4x ny =+，由244x ny y x=+⎧⎨=⎩得，24160y ny --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y n +=，1216y y ⋅=-，------------------6分由()421x ny y n x =+⎧⎪⎨-=--⎪⎩解得Q 点的纵坐标是02231n y n -=+，------------------8分PQ =， -------------------------------------------10分()()()210201QA QB n y y y y ⋅=-+--()()22001164n ny y =-+--+，-------------------------------12分因为2PQQA QB =⋅，所以()()()()()22222222342323116111n n n n PQ n n n n ⎛⎫+-- ⎪==++- ⎪+++⎝⎭化简得24830n n ++=，解得，32n =-（舍去）或12n =-， ---------------------------14分 所以直线l 的方程是：142x y =-+，即280x y +-=．--------------------15分22．已知函数()()21ln ()2R f x x x a x x a =+-+∈（Ⅰ） 若函数()f x 无极值点，求a 的取值范围；（Ⅱ） 若3122a a x ≤≤≤， 记(),M a b 为()()g x f x b =-的最大值， 证明：()1,ln 24M a b ≥-.解：（Ⅰ）由题意()()()xx a x x x a a x x f 111'+-+=--+= ()()xx a x 1+-=-----------------------------------3分由()'0,0x fx >=得a x =，又()x f 无极值点，所以0a ≤ ---------------------5分（Ⅱ）因为2a ≥，由（Ⅰ）可知()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a ,2上单调递减，()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,aa 上单调递增， 又()3ln 2234492122322+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a a a a f a f ()03ln 1<-=a 所以 322a a f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ -----------------------------------7分 所以当322a ax ≤≤时，()()⎪⎭⎫⎝⎛≤≤2a f x f a f 又因为 ()()(),,,2a M a b f b M a b f a b ⎛⎫≥-≥-⎪⎝⎭-----------------------------------9分所以 ()()()2,22-a a M a b f b f a b f f a ⎛⎫⎛⎫≥-+-≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-------------------------------11分 即 ()()221112,ln 2ln 22ln 2282822a a a M a b f f a a a a ⎛⎫⎛⎫≥-=-+=+-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()1,ln 24M a b ≥-，当且仅当()()412ln 212,2--=+==f f b a 时取等号-------15分。
浙江省湖州、衢州、丽水2021届高三11月教学质量检测数学答题卷
请在各题目答题区域内做答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目答题区域内做答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目答题区域内做答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
18.（本题满分14分）2020年11月衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测
数学答题卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1 A B C D 6 A B C D
2 A B C D7 A B C D
3 A B C D8 A B C D
4 A B C D9 A B C D
5 A B C D10 A B C D
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分）
11.
12.
13.
14.
15. 16. 17. 19．（本题满分15分）
姓名：考号：班级：
填涂样例正确填涂：]
错误填涂：\ | ; :
考生禁涂
缺考[
违纪[
贴条码区。
浙江省衢州、丽水、湖州三市11月质量检测2024届高三数学答案
第1页 共9页衢州、丽水、湖州2023年11月三地市高三教学质量检测试卷数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 10- 14.1- 15. 1y x =- 16.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin cos cos cos cos sin B C B AB A C+-=+.（1）求sin A ；（2）若点D 在边BC 上，2BD DC =，2c b =，2AD =，求ABC ∆的面积. 解：（1）由题意得22222sin sin sin cos cos sin sin B C C B A A B ⋅+=-=-，-----------2分所以222b c a bc +-=-，故2221cos 22b c a A bc +-==-，------4分 因为0A π<<，所以sin 2A =.-----------------------------------5分（2）设CD x =，则2BD x =，在ADB ∆中，有2222244cos 28AD BD AB x c ADB AD BD x+-+-∠==⨯.第2页 共9页在ADC ∆中，有222224cos 24AD CD AC x b ADC AD CD x+-+-∠==⨯.----------------------------------7分 又πADB ADC ∠+∠=，所以cos cos ADB ADC ∠=-∠， 所以有2226212c x b =-+. 又2c b =，所以222b x =+. 在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-.又3a x =，2c b =，2π3A =， 所以有22222194472x b b b b ⎛⎫=+-⨯-= ⎪⎝⎭.联立2222297b x x b ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，解得3x b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以26c b ==，----------------------------------9分 所以11sin 362222ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=.----------------------------------10分另解：由2BD DC =，2c b =，知AD 是BAC ∠平分线，所以3BAD CAD π∠=∠=在ADB ∆中，有222()423a c c =+-.在ADC ∆中，有221()423a b b =+-，所以22424(42)c c b b +-=+-结合2c b =解得26c b ==，所以11sin 3622ABC S bc A ∆==⨯⨯=.18．（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面ADEF ，//EF AD ,2,1,AF AD EF CF ====,BE 与CF 交于点M .（1）若N 是BF 中点，求证：AN CF ⊥； （2）求直线MD 和平面ABE 所成角的正弦值.证：（1）由平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥，知AB ⊥平面ADEF ，第3页 共9页故AB AF ⊥，---------------------------------------------------------------------------------------------------2分 另一方面，在ACF ∆中，222AF AC CF +=知AF AC ⊥，从而AF ⊥平面ABCD .-------4分 故AF AD ⊥，又AB AD ⊥，知AD ⊥平面BAF ，故AD AN ⊥，故BC AN ⊥，又N 是BF 中点，AF AB =，故AN BF ⊥，进而AN ⊥平面BCEF ,故AN CM ⊥.-------------------6分（2）以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AF 所在的直线为x 、y 、z 轴，则)0,0,0(A 、)0,0,2(B 、)0,2,0(D 、)2,1,0(E 、)34,32,32(M ，则)34,34,32(--=MD ，---------8分设面ABE 的法向量为()z y x n ,,= ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AE n AB n 得()1,2,0-=n，----------------10分则552sin =θ.------------------------------------------------------------------------------------------12分 19．（本题满分12分）某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队生产同种创新产品，现对其生产的产品进行质量检验.（1）为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，评估结果如右图： 现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善22⨯列联表，并说明是否有95%的把握认为“产品质量”与“生附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．（2）将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为35，来自乙生产的概率为25），检测结果显示这袋产品中恰有4件合格品，求该袋产品由甲团队生产的概率（以（1）中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率）.第4页 共9页------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2分2230(10818)5 3.84118121515K ⨯-==>⨯⨯⨯，-------------------------------4分故有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关.-------------------------------5分（2）记事件A 代表“一袋中有4个合格品”，事件B 代表“所抽取的这袋来自甲生产”，事件C 代表“所抽取的这袋来自乙生产”，故3()5P B =,2()5P C =，下求()P B A ：由()()()()()P A P A B P B P A C P C =⋅+⋅----------------------------------------------------7分44413232864(5())(5())5555553125=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=--------------------------------------10分 故()()()8()()()9P A B P B P AB P B A P A P A ⋅===.-------------------------------12分 20．（本题满分12分）已知函数()cos sin f x x x a x =+.（1）若1a =-，证明：当01x <<时，3()3x f x >-；（2）求所有的实数a ，使得函数()y f x =在[]π,π-上单调.第5页 共9页又()(1)cos sin f x a x x x '=+-.-----------------------------------------------------------------------8分因为()022f ππ'=-<，所以函数()y f x =在[]0,π只能单调递减，由(0)10()(1)0f a f a π'=+≤⎧⎨'=-+≤⎩，解得1a =-.------------------------------------------------10分下证当1a =-时，()cos sin f x x x x =-在[]π,π-上单调.由于()f x 是奇函数，只要()y f x =在[]0,π单调，因为()sin 0f x x x '=-≤，所以()f x []0,π单调递减.----------------------------12分解法2：（2）因为()cos sin ()f x x x a x f x -=--=-，所以()f x 为奇函数.--------------------------6分 要使函数()y f x =在[]π,π-上单调，只要函数()y f x =在[]0,π上单调.又()(1)cos sin f x a x x x '=+-.------------------------------------------------------------------------8分 （i ）若(0)10f a '=+=，即1a =-时，()sin 0f x x x '=-≤，所以函数()y f x =在[]0,π上单调递减，所以1a =-满足题意；（ii ）若(0)10f a '=+>，则()(1)0f a π'=-+<，故(0)()0f f π''⋅<，所以由零点存在定理得存在12,(0,)x x π∈，使得当1(0,)x x ∈时，()0f x '>，当2(,)x x π∈时，()0f x '<，所以()y f x =在1(0,)x 单调递增，在2(,)x π单调递减，因此1a >-不合题意；（iii ）若(0)10f a '=+<，则()(1)0f a π'=-+>，故(0)()0f f π''⋅<，所以由零点存在定理得存在34,(0,)x x π∈，使得当3(0,)x x ∈时，()0f x '<，当4(,)x x π∈时，()0f x '>，所以()y f x =在3(0,)x 单调递减，在4(,)x π单调递增，因此1a <-不合题意；------------------10分 因此所求实数a 的取值范围是1a =-.-------------------------------------------------------------12分 21．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 满足11a =．第6页 共9页（1）若2243a a a +=，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b满足n b =*N n ∈，且{}n b 是等差数列，记n T 是数列1n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.对任意*N n ∈，不等式4n T λ<恒成立，求整数．．λ的最小值． 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则2113(12)d d d +++=+，得12d =±，-------------2分 故12n n a +=或32n n a -=.-----------------------------------------4分（2）由{}n b 为等差数列，可设n b pn q =+，记{}n a 的公差为d ，故1(1)n a n d =+-.所以pn q +=，显然0p ≥，0pn q +≥，----------------------------6分 平方得22222224p n pqn q d n d ++=+-，该式对任意*n N ∈成立，故2222024p d pq q d ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，得20p d q ==⎧⎨=⎩.故21n a n =-，2n b n =.------------------------------------8分 因此11112(21)nnn k k k k T a b k k ====-∑∑， 一方面，11111112(21)22nnn k k k k T a b k k ====>-=-∑∑，故42n T >，------------------9分 另一方面，111211114442112(21)()()22nn n n n k k k k k k T a b k k k k k k ========+---∑∑∑∑22111122213(1)1nnk k k k k k n ==⎛⎫<+=+-=+-< ⎪--⎝⎭∑∑.--------------------------------11分故整数．．λ的最小值为3.-------------------------------------------------------------------------12分法二：记{}n a 的公差为d ，则1b =，2b =3b =，-------------------------6分第7页 共9页上式平方后消去d 可得2222322135b b b b --=，结合3122b b b +=可知212b b =， 故2d =，21n a n =-，2n b n =.-----------------------------------------------------------------------8分下同方法一. 22．（本题满分12分）已知抛物线22C y px =：（05p <<）上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点(1,0)作直线交C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线1l 与2l ， 1l 与2l 相交于点D ，过点A 作直线3l 垂直于1l ，过点B 作直线4l 垂直于2l ，3l 与4l 相交于点E ，1l 、2l 、3l 、4l 分别与x 轴交于点P 、Q 、R 、S .记DPQ ∆、DAB ∆、ABE ∆、ERS ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S .若124S S =34S S ，求直线AB 的方程.解：（1）设(),3M t ，由题意可得9252ptpt =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即9522p p +=，解得1p =或9p =(舍去)，所以抛物线C 的方程为22y x =.-------------------------------------------------------3分（2）设经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程为():1AB l x my m R =+∈，与抛物线方程22y x =联立可得222y my =+，即2220y my --=，根据韦达定理知122y y m +=，122y y =-.-------------------------------------------------------5分由题意得直线1l 方程为1111111()2y y x x y x y y =-+=+，令0y =，得212y x =-，即21,02y P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.直线2l 方程为2212y y x y =+，令0y =，得222y x =-，即22,02y Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.则第8页 共9页222122y y PQ =-.------------------------------------------------------------------6分 联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1212122y y x y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即()1,D m -， 则D 到直线AB l的距离2D AB d -==.直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，令0y =，得2112y x =+，即211,02y R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 直线4l 的方程为32222y y y x y =-++，令0y =，得2212y x =+，即221,02y S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.则222122y y RS =-. 联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得2222x m y m⎧=+⎨=⎩，即()222,2E m m +，----------------------------------------------7分 则E 到直线AB l 的距离E AB d -==.由上可得22211112222D y y S PQ y m =⋅=-，21,2d AB S AB d -=⋅=312E AB S AB d -=⋅=第9页 共9页222141122222E y y S RS y m =⋅=-.--------------------------------------------------10分所以212342=42S S m S S +==，得m = 所以直线AB的方程为：1x =+.-----------------------------------------12分。
【解析】浙江省湖州、衢州、丽水三地市2020届高三上学期期中考试数学试题
湖州、衢州、丽水三地市教学质检测试卷高三数学注意事项:1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.2.本试卷分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.第I 卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}1,011|,1,P Q x x =-=-≤<，则P Q =I （ ） A. {}0 B. []1,0-C. {}1,0-D. [)1,1-【答案】C 【分析】根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集.【详解】集合的交集是由两个集合的公共元素组合而成，故P Q =I {}1,0-. 故选：C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2.已知复数1iz i+=(i 为虚数单位)，则复数z 的虛部是（ ） A. 1 B. 1-C. iD. i -【答案】B 【分析】先用复数除法运算化简z ，由此求得z 的虚部.【详解】依题意()()()11i i z i i i +-==-⋅-，故虚部为1-. 故选：B3.已知实数,x y 满足236020,0x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则22x y +的最小值是（ ）B. 2C. 4D. 8【答案】B 【分析】画出可行域，计算原点到直线20x y +-=的距离，进而求得22x y +的最小值.【详解】画出可行域如下图所示， 22xy +表示原点到可行域内的点的距离的平方，由图可知，原点到可行域内的点的距离是原点到直线20x y +-==，其平方为2.故22xy +的最小值为2.故选：B.【点睛】本小题主要考查线性可行域的画法，考查点到直线的距离公式，考查非线性目标函数的最值的求法，属于基础题.4.若,x y R ∈，则“1x y +≤”是“221x y +≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】分别画出不等式1x y +≤和221x y +≤表示的区域，根据区域的包含关系判断出充分、必要条件.【详解】设(){},|1A x y x y=+≤其表示的区域是1111x y x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪--≤⎩，画出图像如下图所示，而(){}22,|1B x y x y =+≤表示的区域是单位圆圆上和圆内部分，由图可知，A 是B 的真子集，故“1x y +≤”是“221x y +≤”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本小题主要考查不等式表示区域的画法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 5.函数()(), ,00sin ),(xf x x xππ=∈-⋃的图象大致是（ ）A. B.C. D. 【答案】A【分析】利用特殊值对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于πππ21π22sin2f⎛⎫==>⎪⎝⎭，只有A选项符合.故选：A.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，属于基础题.6.已知随机变量,X Y的分布列如下:X321 P a b c Y123 P a b c 若,,a b c成等差数列，则下列结论一定成立的是（）A. ()()D X Y D >B. ()() E X E Y =C. ()()E X E Y < D.()()D X Y D =【答案】D 【分析】,,a b c 成等差数列，即2b a c =+，结合1a b c ++=，计算出()()()(), ,,E E Y D X X D Y ，由此判断出正确结论.【详解】由于,,a b c 成等差数列，故2b a c =+①，另根据分布列的知识可知1a b c ++=②.由①②得12,33b c a ==-. 所以()2243232333E X a b c a a a =++=++-=+， ()2282332333E Y a b c a a a ⎛⎫=++=++-=- ⎪⎝⎭， 由于484224333a a a ⎛⎫+--=-+ ⎪⎝⎭正负无法确定，故()() ,E X E Y 大小无法比较. ()222444322212333D X a a a b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅+--⋅+--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2225211222233333a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()222888122232333D Y a a a b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅+-+⋅+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2225211222233333a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()()D X Y D =. 故选：D.【点睛】本小题主要考查根据随机变量分布列计算数学期望和方差，考查等差中项的性质，考查运算求解能力，属于中档题.7.已知(,(A B ，作直线l ，使得点,A B 到直线l 的距离均为d ，且这样的直线l 恰有4条，则d 的取值范围是（ ）A. 1d ≥B. 01d <<C. 01d <≤D.02d <<【答案】B 【分析】分别以,A B 为圆心，半径为d 作圆，当两个圆外离时，可以作两个圆的四条公切线，根据圆心距和2d 的大小关系，求得d 的取值范围.【详解】分别以,A B 为圆心，半径为d 作圆，当两个圆外离时，可以作两个圆四条公切线，也即,A B 到四条切线的距离都等于d ，符合题目的要求.圆心距2AB ==，由于两个圆外离，故AB d d >+，即022,01d d <<<<. 故选：B.【点睛】本小题主要考查两个圆的位置关系，考查两圆外离时公切线的条数，考查化归与转化的数学思想方法，考查两点间的距离公式，属于基础题.8.若函数()222,0,0x x x m x f x e mx e x ⎧---<=⎨-+≥⎩恰有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. ()(,1,) 0e ⋃+∞ B. (),e +∞ C. ()20,1,() e ⋃+∞D. 2(,)e +∞【答案】C 【分析】令()0f x =，然后进行分离常数m ，利用数形结合的数学思想方法画出图像，结合图像求得m 的取值范围.【详解】()2010f e =+≠，故0x =不是()f x 的零点.当0x ≠时，令()0f x =得222,0,0x x x x m e e x x⎧--<⎪=⎨+>⎪⎩.令()()20x e e g x x x +=>，()()2'21x x e e g x x--=，设()()()210x h x x e e x =-->，则()'0x h x xe =>，所以()h x 在()0,∞+上递增，而()20h =，所以当()0,2x ∈时，()0h x <，即()'0g x <；当()2,x ∈+∞时，()0h x >，即()'0g x >.即()g x 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以当2x =时，()2min g x e =.结合二次函数的图像与性质，画出222,0,0x x x x y e e x x ⎧--<⎪=⎨+>⎪⎩的图像如下图所示，由图可知，当01m <<或2m e >时，y m =与222,0,0x x x x y e e x x⎧--<⎪=⎨+>⎪⎩的图像有两个交点，也即()f x 恰有两个零点. 故选：C.【点睛】本小题主要考查根据零点个数求参数的取值范围，考查利用导数研究函数的单调性、和最值，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 9.如图，矩形ABCD 中心为, O BC AB >，现将DAC △沿着对角线AC 翻折成EAC V ，记BOE α∠=，二面角B AC E --的平面角为β，直线DE 和BC 所成角为γ，则（ ）A. ,2βαβγ>>B.,2βαβγ>< C.,2βαβγ<> D.,2βαβγ<< 【答案】D 【分析】作出二面角B AC E --的平面角β,根据最小角定理，判断出正确选项.【详解】如图，过D 作AC 的垂线，交AC 于F ，交BC 于G ，则EFG β=∠，且EDF ∠为ED 与平面ABCD 的线面角，由最小角定理,EDF EDO EDF EDA ∠<∠∠<∠，又2,2,EDF EDO EDA βαγ=∠=∠=∠，所以,2βαβγ<<.故选：D.【点睛】本小题主要考查面面角、线面角、线线角的概念和运用，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.10.设数列{}n a 满足*111,1,n a mn a a e n N -+==+∈， 若对一切*,2n n N a ∈≤，则实数m 的取值范围是（ ） A. 2m ≥B. 12m ≤≤C. 3m ≥D.23m ≤≤【答案】A 【分析】根据题意列不等式，结合函数的单调性求得m 的取值范围.【详解】设函数()1x mf x e -=+，则()1n n a f a +=.依题意有212x mx e -≤⎧⎨+≤⎩，注意到()1x m f x e -=+在区间(],2-∞上为增函数，故当2x =时，1x m e -+有最大值，即212m e -+≤，解得2m ≥.故选：A.【点睛】本小题主要考查用函数的观点理解数列的递推关系，考查函数的单调性和最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.第II 卷（非选择题部分，共110分)注意事项:用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11.双曲线22145x y -=的焦距为__________，离心率为__________【答案】 (1). 6 (2). 32【分析】根据双曲线的几何性质，求得焦距和离心率.【详解】依题意2,3a c ===，所以焦距26c =，离心率32c e a ==. 故答案：（1）6；（2）32. 【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题.12.已知二项式()*)2(nx n N -∈的展开式中，第二项的系数是14-，则n =_______，含x 的奇次项的二项式系数和的值是__________ 【答案】 (1). 7 (2). 64【分析】根据二项式展开式的通项公式列方程，解方程求得n 的值.利用二项式系数公式，结合组合数的计算公式，计算出奇次项的二项式系数和.【详解】依题意二项式()*)2(nx n N -∈的展开式中，第二项的系数是14-，即()11214n C ⋅-=-，解得7n =.含x 的奇次项的二项式系数和为0246777712134764C C C C +++=+++=.故答案为：（1）7；（2）64.【点睛】本小题主要考查根据二项式展开式项的系数求n 的值，考查求二项式展开式中指定项的二项式系数和，属于基础题.13.某几何体的三视图如图所示(单位: cm )，则该几何体的体积为__________3cm ， 最长的棱长为__________cm .【答案】 (1). 16 (2). 6 【分析】画出三视图对应的原图，根据锥体体积公式，求得几何体的体积，并计算出最长的棱长. 【详解】由三视图可知，该几何体为四棱锥，画出原图如下图所示几何体P ABCD -.由三视图可知，四边形ABCD 是直角梯形，且PA ⊥平面ABCD ，4,2PA AB AD DC ====，所以()3111424416cm 332ABCD V S PA =⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=.2225AC AD CD AB AD =+=>=，PA 为三个直角三角形,,PAD PAC PAB 的公共直角边，所以PC PB PD >=，故最长的棱为226cm PC PA AC =+=.故答案为：（1）16；（2）6.【点睛】本小题主要考查根据三视图求原图的体积和最长的棱长，考查空间想象能力，属于基础题.14.在锐角ABC △中，D 是线段BC 的中点，若2, 2,30AD BD BAD ==∠=︒，则角B =__________，AC =__________【答案】 (1). 45o (2). 823- 【分析】利用正弦定理求得sin B ，进而求得B 的大小，利用余弦定理求得AC . 【详解】在三角形ABD 中，由正弦定理得sin sin AD BD B BAD=∠，解得2sin B =，由于三角形ABC 为锐角三角形，故45B =o .而30,45,75BAD B ADC ∠=∠=∠=o o o ，在三角形ADC中，由余弦定理得222cos75823AC AD DC AD DC =+-⋅⋅=-o .故答案为：（1）45o ；（2）823-.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于基础题.15.已知12,F F 是椭圆22:143x y C +=的左右焦点，P 是直线: ()l y x m m R =+∈上一点，若12PF PF +的最小值是4，则实数m =__________.【答案】 【分析】根据椭圆的定义判断直线l 和椭圆相切，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式列方程，解方程求得m 的值.【详解】依题意椭圆22:143x y C +=，则24a =，2a =，又因为，P 是直线:()l y x m m R =+∈上一点，若12PF PF +的最小值是4，则此直线与椭圆相切.由22143x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并化简得22784120x mx m ++-=，判别式()24870m ∆=-=，解得m =.故答案为：【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.16.已知平面向量,,a b c r r r满足604,1a b a b c a ⋅=-=-=r r r r r r ，， 则c r 的取值范围为_________. 【答案】[]5,11 【分析】根据平面向量减法的模的几何意义画出图像，判断出c r的轨迹，由此求得c r 的取值范围.【详解】设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，依题意4AB a b ==-u u u r r r ，设D 是线段AB 的中点，则()()a b OD DA OD DB⋅=+⋅+r r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()OD DA OD DA=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r 2260OD DA =-=u u u r u u u r ，即2226026064OD DA =+=+=u u u r u u u r ，所以8OD =u u u r ，故22OD OA OD -≤≤+u u u r u u u r u u u r ，即610OA ≤≤u u u r ，由于1c a AC -==r r u u u r，所以C 在以A 为圆心，半径为1的圆上，所以11OA OC OA -≤≤+u u u r u u u r u u u r ，即511c ≤≤r.故答案为：[]5,11.【点睛】本小题主要考查向量减法的模的几何意义，考查向量数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 17.已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是_________. 【答案】12- 【分析】将() 1f x ≤转化为221112x x a b x --≤-+≤-，画出2211,,12y x y x a b y x =--=-+=-的图像，结合图像求得12a b +的最大值.【详解】由()1f x ≤得，21121x x a b +-+-≤≤，即221112x x a b x --≤-+≤-.即当[]1,1x ∈-时，12y x a b =-+的图像夹在21y x =--与21y x =-之间.双变量问题先固定一个变量值或者范围，在[]1,1x ∈-中移动12y x a b =-+的图像，可知可取1b =-，变化a ，移动12y x a b =-+的图像，由图可知11a -≤≤，所以111112222a b a b +≤+≤-=-，即12a b +的最大值为12-.移动12y x a b =-+的图像，,a b 有无数种情况，但是最大值始终为12a b +12=-.故答案为：12-.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于中档题.三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)18.已知平面向量()3,,02,a sinx cosx b cosx ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭==r r，函数()2()f x a b x R =+∈r r .(1)求函数()f x 图象的对称轴； (2)当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域. 【答案】(1),2()6k x k Z ππ=+∈ (2) 3,6⎤⎦【分析】（1）先求得2a b +r r的坐标，然后根据向量模的做包运算，求得()f x 的表达式并进行化简，再根据正弦型函数的对称轴的求法，求得函数()f x 的对称轴.（2）根据（1）中所求()f x 的解+析式，结合三角函数值域的求法，求得()f x 的值域.【详解】(1)()23,2a b sinx cosx cosx +=+r r()()222cos 3()f x x sinx cosx =++2246sin x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，由262x k πππ+=+解得:,2()6k x k Z ππ=+∈， 所以函数()f x 图象的对称轴是直线,2()6k x k Z ππ=+∈ (2) 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，72666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以12,162sin x π⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦所以()(3,6f x ⎤∈⎦.所以()f x 的值城是(3,6⎤⎦【点睛】本小题主要考查平面向量坐标的线性运算，考查平面向量模的坐标运算，考查三角恒等变换，考查正弦型函数的对称轴、值域的求法，属于基础题.19.如图，已知三棱台111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=o ，30BAC ∠=o ，11114AA CC BC AC ====，,E F 分别是11,ACBC 的中点.(1)证明：BC EF ⊥(2)求直线EB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】(1) 证明见解+析【分析】取AC 中点O ，AB 中点G ，分别以,,OG OF OE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.（1）通过计算0BC EF ⋅=u u u r u u u r证得BC EF ⊥.（2）通过直线EB 的方向向量和平面11BCC B 的法向量，求得线面角的正弦值.【详解】取AC 的中点O ，取AB 的中点G ，取BC 的中点F ，取11A C 的中点E .根据中位线的性质可知//,//OG BF OF BG ==，而90ABC ∠=o ，故四边形OGBF 为矩形.根据等腰三角形的性质以及面面垂直的性质定理可知，OE ⊥平面ABC .分别以,,OG OF OE 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则有2,()B，()C -0,(,)F 1( 1,(0,0C E -,(1)因为()(4,0,0,BC EF =-=-u u u r u u u r所以0BC EF ⋅=u u u r u u u r，故有BC EF ⊥(2)因为()(14,0,0,1,BC CC =-=u u u r u u u u r，设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =r，则由10,0CC n BC n ⋅=⋅=u u u u r r u u u r r ，解得()0,2,1n =r，2,(EB =-u u u r，故有cos ,35EB n sin EB n EB nθ⋅====⋅u u u r ru u u r r u u u r r所以直线EB 与平面11BCC B.【点睛】本小题主要考查空间向量法证明线面垂直以及求线面角的正弦值，考查运算求解能力，属于基础题.20.已知数列{}n a 满足()*11()11,1n n a a n N n a +==∈+.(1)求23,a a ，并猜想{}n a 的通项公式(不需证明)； (2)求证()*1222()11n a a a n n N <+∈.【答案】(1) 2311,23a a ==;猜想1n a n=;(2)证明见解+析 【分析】（1）根据递推关系式求得23,a a ，由此猜想出{}n a 的通项公式. （2n a 22121n n <--+，由此求和证得不等式成立.也可用数学归纳法，证得不等式成立. 【详解】解:(1)2311,23a a == 猜想1n a n=1222222n a n n n n ===+ 222121n n <-++(22121n n =--+12n a a a 213352121n n --+)1=(2)方法二用数学归纳法证明:(1)当1n =时，左边1==，右边)1==左边<右边，不等式成立；(2)假设*()n k k N =∈)1<，那么当1n k =+)1成立，))11+<只要证明()()12212231k k k +++<++即证141k +<+，即证43k <+只要证明221624816249k k k k ++<++，显然成立， 所以1n k =+时不等式也成立.综合(1)(2)可得对一切的*n N ∈不等式均成立.【点睛】本小题主要考查根据数列的递推关系式猜想数列的通项公式，考查利用放缩法证明不等式，考查数学归纳法的运用，属于中档题.21.如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，,,A B M 是抛物线上三点(M 在第一象限)，直线AB 交x 轴于点N (N 在F 的右边)，四边形FMNA 是平行四边形，记MFN △，FAB V 的面积分别为12,S S .(1)若1MF =，求点M 的坐标(用含有p 的代数式表示)；(2)若1225S S =，求直线OM 的斜率( O 为坐标原点). 【答案】(1) 2122p M p p ⎛-- ⎝2【分析】（1）根据抛物线的定义，结合抛物线方程，求得M 点的坐标.（2）设()00,M x y ，根据平行四边形的对称性求得,A N 两点的坐标，设出B 点坐标，利用1225S S =得到2001139,28y y y x p==，由AB MF k k =列方程，解方程求得M 的坐标，由此求得直线OM 的斜率.【详解】(1)设(),M x y ，则12p x +=，所以12p x =-， 所以22122p y p p p ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以2122p M p p ⎛-- ⎝ (2)设()00,M x y ，因为FMNA 是平行四边形，所以对角线,AM FN 互相平分， 所以,A M 两点的纵坐标互为相反数，所以()00,A x y -，02,02p N x ⎛⎫- ⎪⎝⎭设()11,B x y ，因为1225S S =，所以01025y y y =+所以2001139,28y y y x p== 因为// MF AB ，所以AB MF k k =， 所以20975248o y p x p-= 又2002y px =，解得00,x p y ==，所以OM k =【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查三角形面积公式，考查平行四边形的性质，考查斜率公式，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.22.已知函数())f x lnx x a R =+-∈有两个极值点12,x x ，且12x x <.(1)若5a =，求曲线()y f x =在点()()4,4f 处的切线方程；(2)记()()()12g a f x f x =-，求a 的取值范围，使得()150424g a ln <≤-. 【答案】(1) 46y ln =- (2) 45a <≤【分析】（1）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（2）令()'0f x =，利用根与系数关系得到12,x x 的关系式，利用换元法化简()g a 的表达式，利用导数，结合单调性以及()g a 的取值范围，求得a 的取值范围.【详解】(1)5a =时，()ln x x f x +-=()11f x x '=+- ()()446,'40,f ln f =-=所以，点()()4,4f 处的切线方程是46y ln =-；(2)()11f x x '=+=2a =1=，且2160a ∆=->，4a >，t =，得()2214t a t +=，且1t >. 因为()11112f x lnx x lnx x =+-=--，()2222f x lnx x =--，所以()()12121ln 2x g a x x t lnt x t ⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭， 令()12ln h t t t t=--则()()2222211221'10t t t h t t t t t --+=+-==> 所以()h t 在(1,)+∞上单调递增，因为()154424h ln =-，所以14t <≤， 又因为()221124t a t t t+==++在(]1,4上单调递增，所以45a <≤. 【点睛】本小题主要考查求曲线上某点的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性以及取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.。
衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷(2020参考答案)(6)
衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷高三数学卷参考答案（2020.04）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11. √2 12. 3n−1−n ，3n 2−n 2+n+1213.136416-， 14. -1, 2√5 15. 14 , 24 16.2√3３17. 2230-≤≤a 或6223≤≤+a解析：方法一：设[]x x f x f f x f n n ==-)(,)()(01，由题意方程x x f =)(的存在实根，且都在函数)(x f y =的对称轴右侧（含对称轴）.因此有⎪⎩⎪⎨⎧≥+⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥--02).1(204)1(22a a a a a a ； 解得2230-≤≤a 或6223≤≤+a方法二：设21,x x （21x x ≤）是方程x x f =)(的两个实根，则))(()(21x x x x x x f --=-))()()(()())((21x x f x x f x f x f f --=-=[][]11)()(x x x x f x x x x f -+--+-=)1)(1)()((2121+-+---x x x x x x x x .由题意，对任意21x x x ≤≤时，0)())((≤-x f x f f 即0121≥+-x x ，即可解得. 三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）解：（Ⅰ） 214tan ).4tan(14tan)4tan()4(tan tan =++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=πππππA A A A A ..........3分581tan 1tan 2cos sin cos cos sin 2cos 2sin 22222=++=++=+A A A A A A A A A .......7分 （Ⅰ）由（1）21tan =A 可得：552cos ,55sin ==A A ；............9分 又1sin 21==A bc S ,2=c 可得5=b ；......................11分 1cos 2222=-+=A bc c b a ;所以1=a ...................................................14分19.（本题满分15分）解：（Ι）因为//BC 平面ADE ，BC BCED ⊂，且BCED ADE DE =I 平面平面，..........3分 所以//BC DE ...................5分 （Π）解法1如图所示建立空间直角坐标系，设2AB = 各点的坐标分别为()1,0,0A -，()1,0,0B ，()0,3,0C ，()0,0,3E ，..........7分 所以()1,3,0BC =-u u u r，113,,0222ED BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，所以13,,322D ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭， 13,,322AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .........9分所以21323,,3333AF AD ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，所以2323,,333⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭F .........11分 所以22323,,333⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r CF ，因为面ABE 的一个法向量是()03,0OC =u u u r ，.....13分设CF与平面ABE 所成的角为θ，则sin cos ,OC CF OC CF OC CFθ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r所以21sin 7=θ.........15分 解法2如图所示，延长,CD BE 交于P ，连接PA ,延长CF 交AP 于G ，显然G 为PA 的中点，OC ABE ⊥面,,.......7分所以CGO ∠即为设CF 与平面ABE 所成的角.......11分 因为32OC OG ==，,所以7=CG ,.........13分所以21sin 7∠=CGO .........15分 20.（本题满分15分）解：（I ）当1=n 时，a 1=S 1=a 12+2a 14，又因为0>n a ，所以a 1=2，a 2=4，a 3=6--------------------------------------------------------------------- ---3分 当2≥n 时，a n =S n −S n−1=a n 2+2a n4−a n−12+2a n−14(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0 因为0>n a ，所以a n −a n−1−2=0；-------------------------------------5分 所以数列{}n a 是等差数列，a n =2n .----------------------7分 （Ⅱ）由（1）题可得S n =n(n +1),)1(+=n n b n ； -----10分所以 n b n >，22n n T n +>；--------------------------------12分又 212)1()1(+=++<+=n n n n n b n ； 所以2222)1(2nn n n n T n +=++<； ---------------------14分 综上可得22222nn T n n n +<<+. ---------------------15分 21.（本题满分15分）解：(I )设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),过A 点的切线方程为 y −x 122p=x 1p (x −x 1)，过B 点的切线方程为 y −x 222p=x 2p(x −x 2)，联立这两个方程可得x M =x 2+x 12,y M =x 1x 22p, −−3分又k AB =y 2−y 1x 2−x 1=x 2+x 12p ;故直线AB 的方程为 y −x 122p =x 2+x 12p(x −x 1),−−−−−5分 化简得(x 1+x 2)x −2py −x 1x 2=0, 令x=0,y =−x 1x 22p ,又y M =x 1x22p=−2p ,∴y =2p ∴直线AB 过(0,2p)点.−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−7分 （Ⅱ）记x M =x 1+x 22, 同理可得x C =x 1+x E 2, x D =x 2+x E 2, −−−−− −−− 8分|AC CM|=|x C−x 1x M−x C|=|x 1+xE 2−x 1||x 1+x 22−x 1+x E 2|=|x E−x 1x 2−x E|, |CEED |=|x E−x c x D−x E|=|x E−x 1+x E 2x 2+x E 2−x E |=|x E−x 1x 2−x E|,∴|AC CM|=|CEED|,同理|MD DB|=|x E−X C x 2−x E|∴|AC CM |=|EC ED|=|DMDB|−−−−−−−−−−−− −−−− 10分设|AC CM|=|ECED|=|DM DB|=t ,记S ΔMCE =S ,则S ΔACE =tS ,同理， S ΔMDE =S t ,S ΔBDE =St 2,SΔMAB S ΔMCD=|MA ||MB ||MC ||MD |=t+11•t+1t=(t+1)2t,于是S ΔMAB =(t+1)2tS ΔMCD =(t+1)2t(S +St )=(t+1)3t 2S , ----------12分∴S ΔEAB =S ΔMAB -S ΔMCD -S ΔACE -S ΔBDE =2(t+1)tS, S ΔMCD=t+1tS, −−−14分∴λ=SΔEAB S ΔMCD= 2 -------------------------------15分22.（本题满分15分）解：（Ι）当1a =时,()()21x f x x e -=-, ----------1分 所以()()2'21x f x x x e -=-++ ----------3分令()()2'21=0x f x x x e -=-++，得221=0x x -++所以1211x x == ----------4分所以()f x 单调递减区间为(,1-∞，()1+∞ 单调递增区间为(1 ----------7分 （Π）因为()()2'2x f x x x a e -=-++，1a >- ----------8分 所以12,x x 为方程()22=0x x x a e --++化简后即22=0x x a --的两相异根，此时，12122+=2=20i i x x x x a x x a ⎧⎪-⎨⎪-++=⎩， ----------9分所以()()()121'0+1x f x g x a e --=-()11x a e -=-+()()()1111221212112=2=22x x x x x f x x x a e x x e x x e ae ----=-=- ----------10分所以()()()()2111'x f x f x g x λ≤-可以转化为()1121x x ae a e λ---≤-+，因为()2120,1i i x x a x -++=∈-∞，所以上式可化为()()()112112120x x x x ee λ---+-≤化简得：()12112201x x x e λ⎛⎫--≤ ⎪+⎝⎭┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄-11分 ①当()1,0a ∈-时()10,1x ∈，21120x x -<， 所以1201x e λ-≥+恒成立，因为此时12211x e e ⎛⎫∈ ⎪++⎝⎭,1 所以1λ≥；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄-12分②当=0a 时10x =，21120x x -=，所以※显然恒成立，即R λ∈；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄-13分③当()0,a ∈+∞时()1,0x ∈-∞，21120x x ->所以1201x e λ-≤+恒成立，因为此时()1211x e∈+,2,所以1λ≤；┄┄┄┄┄┄14分 综上①②③可知：1λ= ----------15分。
2020届湖丽衢11月高三数学质量检测试卷
2020届湖丽衢11月高三数学质量检测试卷一、选择题：每小题4分，共40分1. 已知集合{}1,0,1P =-，{}|11Q x x =-≤<，则P Q =（ ）A ．{}0B ．[]1,0-C ．{}1,0-D ．[)1,1-2. 已知复数1+iiz =（i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -3. 已知实数,x y 满足2360,20,0,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则22x y +的最小值是（ ）AB ．2C ．4D ．84. 若,a b ∈R ，则“1a b +≤”是“221a b +≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 函数()sin xf x x=，()(),00,x ππ∈-的大致图象是（ ）6.若a ，b ，c 成等差数列，则下列结论一定成立的是（ ） A ．()()D X D Y > B ．()()E X E Y =C ．()()E X E Y <D ．()()D X D Y =7. 已知(A ，(B ，作直线l ，使得点A ,B 到直线l 的距离为d ，且这样的直线l 恰有4条，则d 的取值范围是（ ） A ．1d ≥ B ．01d <<C ．01d <≤D ．02d <<8. 若函数()222,0e e ,0x x x m xf x mx x⎧---<=⎨-+≥⎩恰有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()()0,1e,+∞B ．()e,+∞C ．()()20,1e ,+∞D ．()2e ,+∞9. 如图，矩形ABCD 中心为O ，BC AB >，现将DAC △沿着对角线AC翻折成EAC △，记B O E α=∠，二面角B AC E --的平面角为β，直线DE 和BC 所成角为γ，则（ ） A ．βα>，2βγ> B ．βα>，2βγ< C ．βα<，2βγ>D ．βα<，2βγ<10. 设数列{}n a 满足11a =，1e 1n a m n a -+=+，*n ∈N ，若对一切*n ∈N ，2n a ≤，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2m ≥ B ．12m ≤≤ C ．3m ≥ D ．23m ≤≤二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 双曲线22145x y -=的焦距为 ，离心率为 ．12. 已知二项式()()2nx n *-∈Ν的展开式中，第二项的系数是14-，则n = ，含x 的奇次项的二项式系数和的值是 ．13. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为 3cm ，最长的棱长为 cm ．14. 在锐角ABC △中，D 是线段BC 的中点，若=2AD，=BD 30BAD ∠=︒，则角B = ，AC = ．15. 已知1F ，2F 是椭圆C ：22143x y +=的左右焦点，P 是直线l ：()y x m m =+∈R 上一点，若12PF PF +的最小值是4，则实数m = ．16. 已知平面向量a ，b ，c 满足60⋅=a b ，4-=a b ，1-=c a ，则c 的取值范围为 ．17. 已知函数()()21,2fx x x a b a b =+-+∈R ，若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是 ．三、解答题：5小题，共74分BOCDEA侧视图俯视图正视图18. （本题满分14分）已知平面向量,cos x x ⎫=⎪⎪⎝⎭a ，()cos ,0x =b ，函数()()2f x x =+∈R a b ． （1）求函数()f x 图像的对称轴；（2）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域．19. （本题满分15分）如图，已知三棱台111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，11114AA CC BC AC ====，E ，F 分别是11A C ，BC 的中点．（1）证明：BC EF ⊥；（2）求直线EB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．20. （本题满分15分）已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n a n n a *+=∈+Ν． （1）求2a ，3a ，并猜想{}n a 的通项公式（不需证明）； （2)1n a +<()n *∈Ν．F C 1B 1A 1CBEA21. （本题满分15分）如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，A ，B ，M 是抛物线上三点（M 在第一象限），直线AB 交x 轴于点N （N 在F 的右边），四边形FMNA 是平行四边形，记△MFN ，△F AB 的面积分别为1S ，2S ．（1）若1MF =，求点M 的坐标（用含有p 的代数式表示）；（2）若1225S S =，求直线OM 的斜率（O 为坐标原点）．22. （本题满分15分）已知函数())ln f x x x a =+-∈R 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <．（1）若5a =，求曲线()y f x =在点()()4,4f 处的切线方程； （2）记()()()12g a f x f x =-，求a 的取值范围，使得()1504ln 24g a <≤-．。
浙江省湖州、衢州、丽水三地市2020届高三上学期教学质量检测数学试卷（含答案）
浙江省湖州、衢州、丽⽔三地市2020届⾼三上学期教学质量检测数学试卷（含答案）湖州、衢州、丽⽔三地市教学质量检测试卷⾼三数学（2018．1）第Ⅰ卷（选择题，共 40 分）⼀、选择题（本⼤题共 10 ⼩题，每⼩题 4 分，共 40 分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．）1．已知全集 U ? ?1, 2, 3, 4, 5, 6? ，集合 P ? ?1, 4? ， Q ? ?3, 5? ，则 eU ? P Q? ?A．?2, 6?B．?2, 3, 5, 6? C．?1, 3, 4, 5 ?D． ?1, 2, 3, 4, 5, 6?2．我国古代著名的思想家庄⼦在《庄⼦·天下篇》中说：“⼀尺之棰，⽇取其半，万世不竭．”若把“⼀尺之棰”的长度记为 1 个单位，则“⽇取其半”后，⽊棒剩下部分的长度组成数列的通项公式是A．ann 21B． an ? n 2C．an1 2n3．设 l 为直线， ? ， ? 是两个不同的平⾯，下列命题中正确的是D．an1 ?n?12 ??A．若 ? ? ? ， l //? ，则 l ? ?B．若 l //? ， l // ? ，则 ? // ?C．若 l ? ? ， l // ? ，则 ? // ?D．若 l ? ? ， l ? ? ，则 ? // ?4．已知 ? 为锐⾓，且 cos 2? ? ? 7 ，则 tan? ? 25A． 3 5B． 4 5C． 3 4D． 4 35．某四棱锥的三视图如图所⽰（单位： cm ），则该四棱锥的体积（单位： cm3 ）是 A． 43 C． 4B． 8 3D． 822正（主）视图2侧（左）视图俯视图（第 5 题图）6．若 c ? R ，则“ c ? 4 ”是“直线 3x ? 4y+c ? 0 与圆 x2 ? y2 +2x ? 2 y ?1 ? 0 相切”的A．充分不必要条件 C．充要条件B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件，y满⾜? ?x xy? N,30，则x3y的最⼤值是y ? N，A． 3B． 5C． 7D． 98．已知函数 f ? x? ? x ?1 ? x ? x ?1 ，则⽅程 f ?2x ?1? ? f ? x? 所有根的和是A． 1 3B． 1C． 4 3D． 29．已知等腰 Rt?ABC 内接于圆 O ，点 M 是下半圆弧上的动点（如图所⽰）．现将上半圆⾯沿 AB 折π起，使所成的⼆⾯⾓ C ? AB ? M 为．则直线 AC 与直线 OM 所成C4⾓的最⼩值是A．π 12B．π 6AOBC．π 4D．πM310．已知 a,b, c ? R 且 a ? b ? c ? 0 ， a ? b ? c ，则 b 的取值范围是 a2 ? c2A． ??? ?5 5，5 5B．1 5，1 5C． ? 2，2D． ??? ?2， 5 5第Ⅱ卷（⾮选择题部分，共 110 分）注意事项：⽤钢笔或签字笔将试题卷中的题⽬做在答题卷上，做在试题卷上⽆效．⼆、填空题（本⼤题共 7 ⼩题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．）11．椭圆 x2 ? y2 ? 1的长轴长是▲，离⼼率是▲． 4312．在 ? x ?1? ? ?2 ? x?3 的展开式中，常数项是▲，含 x 的⼀次项的系数是▲．ab ? ▲， z1 ? z2 的最⼩值是▲．15．在锐⾓ ?ABC 中， AD 是 BC 边上的中线．若 AB ? 3 ， AC ? 4 ， ?ABC 的⾯积是 3 3 ，则 AD ? ▲．16．设 m?R ，若函数 f (x) ?| x3 ? 3x ? 2m | +m 在 x ?[0, 2] 上的最⼤值与最⼩值之差为 3 ，则 m ?▲．17 ．设点 P 是 ?ABC 所在平⾯内动点，满⾜ C P ? ? C A? ? C B, 3?+4? ? 2 （ ?, ? ? R ），PA = PB = PC ．若 AB ? 3 ，则 ?ABC 的⾯积最⼤值是▲．三、解答题（本⼤题共 5 ⼩题，共 74 分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．） 18．(本⼩题满分 14 分)已知函数 f ? x? ?3sin2x62sinxcosx．(Ⅰ) 求函数 f ? x? 的最⼩正周期；(Ⅱ) 当 x ?[? ? , ? ] 时，求函数 f ? x? 的最⼤值和最⼩值．4419．(本⼩题满分 15 分)已知函数 f ? x? ? x2 ? ax ? ln x （ a ?R ）．（Ⅰ）当 a ?1 时，求曲线 f ? x? 在点 P ?1, 0? 处的切线⽅程；（Ⅱ）若函数 f ? x?有两个极值点 x1 ， x2 ，求 f ? x1 ? x2 ? 的取值范围．20．(本⼩题满分 15 分)已知矩形 ABCD 满⾜ AB ? 2 ， BC ? 2 ， ?PAB 是正三⾓形，平⾯ PAB ? 平⾯ ABCD ．（Ⅰ）求证： PC ? BD ；P（Ⅱ）设直线 l 过点 C 且 l ? 平⾯ ABCD ，点 F 是AlFD直线 l 上的⼀个动点，且与点 P 位于平⾯ ABCD 的同侧．记直线 PF 与平⾯ PAB 所成的⾓为? ，若 0 ? CF ? 3 ?1，求 tan? 的取值范围．21．(本⼩题满分 15 分)已知抛物线 C : y2 =2 px （ p ? 0 ）上的点 M ?m, ?2? 与其焦点的距离为 2 ．（Ⅰ）求实数 p 与 m 的值；y（Ⅱ）如图所⽰，动点 Q 在抛物线 C 上，QBA直线 l 过点 M ，点 A 、 B 在 l 上，且满⾜ QA ? l ，OxMB 2MQB // x 轴．若为常数，求直线 l 的⽅程．MA（第 21 题图）满⾜：a1=1，an?1ln1an（nN?），设数列1 an的前n项和为Tn．证明：（Ⅰ） an ? 0 （ n ? N? ）；（Ⅱ）an +13an an ? 3（n ? N?）；（Ⅲ）n2 +5n 6Tnn2 +5n 4（n ? N?）．湖州、衢州、丽⽔三地市教学质量检测参考答案⼀、选择题（本⼤题共 10 ⼩题，每⼩题 4 分，共 40 分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．）题号 12345678910答案 ACDD⼆、填空题（本⼤题共 7 ⼩题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．）11. 4 , 1 212. 8 , ?47413.10 ， 514. ?1, 23715.216. ? 1 217. 9三、解答题(本⼤题共 5 ⼩题，共 74 分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．) 18．(本⼩题满分 14 分)已知函数 f ? x? ?3sin2x62sinxcosx．(Ⅰ) 求函数 f ? x? 的最⼩正周期；(Ⅱ)当 x ?[? ?, ] 时，求函数fx 的最⼤值和最⼩值．44解：(Ⅰ) f ? x? ? 3[sin 2x cos ? ? cos 2xsin ? ] ?sin 2 x -----------4 分663 cos 2x 1 sin 2x22sin2x3---------------------------------------6分因此函数 f ? x? 的最⼩正周期 T ? ? ---------------------------------------8 分(Ⅱ)因为 ? ? ? x ? ? ，所以 ? ? ? 2x+ ? ? 5? ----------------------------10 分4sin2x+31 -----------------------------------------------12分因此，当 x= ? 时， f ? x? 的最⼤值为1，12当 x= ? ? 时， f ? x? 的最⼩值为 ? 1 ．---------------------------------------------14 分4219．(本⼩题满分 15 分)已知函数 f ? x? ? x2 ? ax ? ln x （ a ?R ）．（Ⅰ）当 a ?1 时，求曲线 f ? x? 在点 P ?1, 0? 处的切线⽅程；（Ⅱ）若函数 f ? x? 有两个极值点 x1 ， x2 ，求 f ? x1 ? x2 ? 的取值范围．解：（Ⅰ）当 a ?1 时， f ? x? ? x2 ? x ? ln x则 f ?? x? ? 2x ?1? 1 -----------------------------------------------------2 分x所以 f ? 1 ? 2 ----------------------------------------------------------------4 分因此曲线 f ? x? 在点 P ?1, 0? 处的切线⽅程为 2x ? y ? 2 0 ．---------------6 分（Ⅱ）由题意得 f ?? x? ? 2x ? a ? 1 ? 0 ，------------------------------------7 分x故 2x2 ? ax ?1 ? 0 的两个不等的实根为 x1 ， x2 ．? a2 ? 8 ? 0由韦达定理得?x1x2a 2，解得a22．x1x21 2--------------9 分故fx1 x2 = x1 x2 2．-------------11分设 g ?a? = ? a2 ? ln a （ a ? 2 2 ），42则 g??a? = ? a ? 1 ? 2 ? a2 ? 0 ．------------------------------------------------------------13 分2 a 2a故 g?a? 在 2 2，+? 单调递减，所以 g ?a? ? g 2 2 ? ?2 ? ln 2 ．因此 f ? x1 ? x2 ? 的取值范围是 ??，? 2 ? ln 2 ．----------------------------------------15 分20．(本⼩题满分 15 分)已知矩形 ABCD 满⾜ AB ? 2 ， BC ? 2 ， ?PAB 是正三⾓形，平⾯ PAB ? 平⾯ ABCD ．（Ⅰ）求证： PC ? BD ；（Ⅱ）设直线 l 过点 C 且 l ? 平⾯ ABCD ，点 F 是直线 l 上的⼀个动点，且与点 P 位于平⾯ ABCD 的同侧．记直线 PF 与平⾯ PAB 所成的⾓为? ，若 0 ? CF ? 3 ?1，求 tan? 的取值范围．PG AE BlFDC解：(Ⅰ) 取 AB 的中点 E ，连接 PE ， EC ．-------2 分由点 E 是正 ?PAB 边 AB 的中点， PE ? AB ，⼜平⾯ PAB ? 平⾯ ABCD ，平⾯ PAB 平⾯ ABCD=AB ,所以 PE ? 平⾯ ABCD ，则 PE ? BD ．----------4 分因为 BE ? 1 ? 2 ? BC , ?EBC ? ?BCD ? 90? ，所以 ?EBC ∽ ?BCD ． BC 2 2 CD故 ?ECB ? ?BDC ，则 CE ? BD ，--------------------6 分CE PE ? E ，故 BD ? 平⾯ PEC ，⼜ PC ? 平⾯ PEC因此 PC ? BD ．-------------------------------------------7 分（Ⅱ）在平⾯ PAB 内过点 B 作直线 m // FC ,过 F 作 FG ? m 于 G ，连接 PG 。
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16.一个口袋中有3个红球，3个白球，2个黑球，现从中任取3个球，
记取出的球的颜色有 种，则 ▲.
17.若实数 满足 ，则 的最小值是▲.
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本小题满分14分）
在锐角 中，角 所对的边分别是 ， .
（Ⅰ）求角 的大小；
A. B. C. D.
9.已知数列 的前 项和是 ，前 项的积是 .
①若 是等差数列，则 是等差数列；
②若 是等比数列，则 是等比数列；
③若 是等差数列，则 是等差数列；
④若 是等比数列，则 是等比数列.
其中正确命题的个数有
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.已知空间向量 两两的夹角均为 ，且 ， .若向量 满足 ， ，则 的最大值是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）
注意事项：
用钢笔或签字笔将试题卷上的题目做在答题卷上，做在试题卷上的无效.
二.填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)
11.古希腊著名数学家毕达格拉斯发现：数量为 的石子，可以排成三角形（如图），我们把这样的数称为“三角形数”，依此规律，第 个“三角形数”是 ，则第5个“三角形数”是▲，前6个“三角形数”的和是▲.
当 时，存在 ，使得 ，
∴ 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，从而要使 有三个零点，必有 ，
∴ ，即 ，∴ ，
又∵ ，令 ，则
∵当 时， ，∴ 在区间 单调递增，
∴ ，即 ．-------------------------------------------11分
（3） ，
（Ⅱ）解法一：取 的中点 ，连结 ，
∵ ， ，
又侧面 底面 ，∴ 平面 ，
∴
又∵ ，
∴ 平面 ，------------------------------------------9分
∴
又 ，∴ ．--------------------11分
过点 作 于点 ，连结 ，由平面 平面 知， 平面 ，所以 是直线 与平面 所成角．-----------13分
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）当 ，求直线 与平面 所成角的正弦值
解：（1）取 的中点 ，连结 ， ,--------------2分
由已知 ，且 ,
所以四边形 是平行四边形，-----------------------3分
所以 ，又 平面 ， 平面 ------------------6分
所以 平面 ；-----------------------------7分
衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷
高三数学（2020.11）
本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在试题卷和答题纸规定的位置上.
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
A
D
B
D
B
D
C
C
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，பைடு நூலகம்36分.
11. 12.
13. 14.
15. 16. 17.
三、解答题
18.在锐角 中，角 所对的边分别是 ，已知
.
（Ⅰ）求角 的值；
（Ⅱ）求 的取值范围.
解：（1）由已知得 ，---------------------------2分
A. B. C. D.
3.若实数 满足 ，则
A.有最小值 ，无最大值B.有最小值 ，无最大值
C.有最大值 ，无最小值D.有最大值 ，无最小值
4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
5.已知 是定义在 上的函数，则“ ”是
“ 是奇函数”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
12.已知 展开式中第三项的二项式系数是 ，则 ▲，展开式中最大的系数是▲.
13.已知函数 的最小正周期是 ，则 ▲，单调递增区间是▲.
14.已知直线 被圆 所截得的弦长为4，且与圆心为 的圆 相切，则 ▲；圆 的半径长是▲.
15.已知三棱柱 的所有棱长均为 ，侧棱 底面 ，
若 分别是线段 ， 的中点，则异面直线 与 所成角
当 时，由 ，得 ，∴ 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
∵ ，
∴若 ，则在区间 上存在 ，当 时， ，当 时， ，当 时，
∴ 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，此时函数 有且只有一个零点．-------------------------------------9分
（Ⅱ）求 的取值范围.
19.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ，侧面 底面 ， ， 分别为 ， 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.（本小题满分15分）
已知正项数列 的前 项和为 ，且 ， .
（Ⅰ）求 ， 的值，并写出数列 的通项公式；
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求.在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效.
参考公式：
若事件 互斥，则柱体的体积公式
若事件 相互独立，则其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高
锥体的体积公式
若事件 在一次试验中发生的概率是 ，则 次
独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高
（2）由（1）得，
当 时， ,-------------------------9分
将上式对 从1到 求和，得 ，-------------12分
注意到： --------------------14分
将上式对 从1到 求和，
得 --------------15分
所以 .
经验证，当 时，上式也成立.
（Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，求证：当 时， .
解（1）当 时， ，即
， ， ，解得 ，------------------------------------4分
由 ，可得
即
，
又
是首项为 ，公差为 的等差数列，
.----------------------------------------------------------7分
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
6. ， 是空间两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A.若 ， ， ，则
B.若 ， ， ，则
C.若 ， ， ，则
D.若 ， ， ，则
7.已知函数 的图象如图所示，则 的图象可能是
8.已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过点 的直线 与双曲线 在第一象限的交点为 ，若原点到直线 的距离为 ， ，则双曲线 的离心率为
因为 在椭圆 上，所以 ，所以 ---------------------4分
所以 ；------------------------------------------------------------6分
（2）设 ， ，
，
因为 是 的中点，所以 ，且 ，
所以 ，--------（1）且 -------（2）----------------------------------------------8分
球的表面积公式
台体的体积公式
球的体积公式
其中 分别表示台体的上、下底面积，
表示台体的高其中 表示球的半径
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.已知 ，若复数 （ 是虚数单位）是纯虚数，则
由（1）（2）（3）解得 ，
由（4）得 ，即 ，所以 或 .----------------------------------15分
22.已知函数 ， （ ）．
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）设 ，若当 时， 有三个不同的零点，求 的最小值；
（Ⅲ）当 时， 恒成立，求 的取值范围．
解：（1）∵ ，由 得， --------------------2分
因为 是锐角三角形，所以 ，--------------------------12分
，所以 ---------------13分
所以 ----------------------------------------------14分
19．如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ，侧面 底面 ， ， 分别为 ， 的中点．
21.已知椭圆 ，抛物线 的焦点是 ，点 在 的准线上.
（Ⅰ）当 在椭圆 上时，求 的值；
（Ⅱ）如图，过点 的直线 与椭圆 交于 两点，与抛物线 交于 两点，且
是 的中点，过点 的直线 交抛物线 于 两点.若 ，求 的斜率 的
取值范围.
解：（1）由已知 ， ；------------------------------------------------2分
由 消去 得 ，
则 ，------（3）且 ，------------------10分
由 消去 得 ，
所以 ，----------------------------------------------------------------------------12分