2017-2018学年北京市人大附中初三第一学期月考数学试卷
2017-2018学年北京市海淀首师大附中2018届九年级10月月考数学试题(含答案)
首都师大附中2017—2018学年第一学期10月练习初三数学一、选择题（每题3分，共30分）1．下列图形中，旋转60︒能与自身重合的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】A 中的图形，绕图形中心旋转120︒后，能和自身重合；B 中的图形，绕图形中心旋转90︒后，能和自身重合；C 中的图形，绕图形中心旋转180︒后，能和自身重合；D 中的图形，绕图形中心旋转60︒后，能和自身重合． 故选D ．2．若将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）．A ．25(2)1y x =-+B ．25(2)1y x =++C ．25(2)1y x =--D ．25(2)1y x =++【答案】A【解析】将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到25(2)1y x =-+． 故选A ．3．一个口袋中装有八个除标号不同外其它完全相同的小球，小球上分别标有数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，从口袋中随机地摸出一个小球，则摸出的小球上的数字是偶数的概率是（ ）．A ．14B ．13C ．12D ．38【答案】D【解析】38P =（摸出数字偶数）． 故选D ．4．下列函数图像中，与x 轴有交点的是（ ）．A ．2(2)1y x =-+B ．221y x x =-+C ．21y x =--D ．21y x x =-+【答案】B【解析】A ．抛物线2(2)1y x =-+，顶点坐标(2,1)，开口向上，与x 轴无交点；B ．抛物线221y x x =-+顶点坐标(1,0)，开口向上，与x 轴有1个交点；C ．抛物线21y x =--顶点坐标(0,1)-，开口向下，与x 轴无交点；D ．抛物线21y x x =-+顶点坐标13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，开口向上，与x 轴无交点．5．如图44⨯的正方形网格中，MNP △绕某点旋转一定的角度，得到111M N P △，则其旋转中心可能是（ ）．A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D11【答案】B【解析】∵MNP △绕某点旋转一定的角度，得到111M N P △， ∴连接1PP ，1NN ，1MM ， 作1PP 的垂直平分线过B 、D 、C ， 作1NN 的垂直平分线过B 、A ， 作1MM 的垂直平分线过B ， ∴点B 是旋转中心．6．抛物线2(1)y x t =-+与x 轴的两个交点之间的距离为4，则t 的值是（ ）．A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-【答案】D【解析】设抛物线2(1)y x t =-+与x轴的两个交点为1(,0)x ，2(,0)x ，则11x =21x =∴12||4x x -=，∴(1(14-=，∴4t =-．7．如图，从三个方向看一个几何体，根据图中标注的数据可求得这个几何体的侧面积为（ ）．A ．6πB ．12πC ．24πD ．48π从上面看从左面看从正面看【答案】B【解析】此几何体为圆锥， ∴半径为2，母线长为6， ∴侧面积ππ2612πrl ==⨯⨯=．8．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，若23BCD ∠=︒，则ACD ∠的大小为（ ）．A ．23︒B ．57︒C ．67︒D ．77︒C B AOD【答案】C【解析】∵AB 是直径， ∴90ACB ∠=︒， ∵23BAD BCD ∠=∠=︒， ∴ACD ACB BCD ∠=∠-∠ 9023=︒-︒ 67=︒．9．在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标为(2,4)A -，(4,2)B ，直线2y kx =-与线段AB 有交点，则k 的值不可能是（ ）．A ．5-B ．2-C ．3D ．5【答案】B【解析】把(2,4)A -代入2y kx =-中，得3k =-， 把(4,2)B 代入2y kx =-中，得1k =， ∵直线2y kx =-与线段AB 有交点， ∴3k -≤或1k ≥，满足， 根据题意k 的值不可能是2-． 故选B ．二、填空题（每题3分，共18分）11．将二次函数265y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，那么h k +=__________． 【答案】1-【解析】∵二次函数2265(3)4y x x x =-+=--， ∴3h =，4k =-，∴3(4)1h k +=+-=-．12．如图，⊙O 的半径为2，直线PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，若PA PB ⊥，则OP 的长为__________．【答案】【解析】连接OA ，∵直线，PA 、PB 为⊙O 的切线，PA PB ⊥，∴OA PA ⊥，1452OPA APB ∠=∠=︒，∴OPA △是等腰直角三角形，∵⊙O 的半径为2， 即2OA =，∴OP OA ==13．若关于x 的方程20x mx m -+=有两个相等实根，则代数式2281m m -+的值为__________． 【答案】1【解析】∵方程20x mx m -+=有两个相等实根， ∴0∆=，即22440b ac m m -=-=， ∴2281m m -+ 22(4)1m m =-+01=+ 1=．14．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．投掷次数由图可以看出若再抛掷一次这种图钉，“钉尖向上”的概率约是__________．你的判断理由是__________．【答案】0.618，理由，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的概率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．【解析】 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的概率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．15．已知二次函数2(1)2y x =--上有两点1(2,)A y ，2(,)B x y ，若21y y >，则x 的取值范围是__________． 【答案】0x <或2x >【解析】把点1(2,)A y 代入2(1)2y x =--中，得11y =-， ∵抛物线2(1)2y x =--对称轴为1x =， ∴点A 关于对称轴对称点为(0,1)-， ∵21y y >， ∴0x <或2x >．16．矩形ABCD 中(2,0)A -，(2,4)B --，(1,0)D ，直线y x =交边AB 于点E ，点P 在矩形边上，若45EPO ∠=︒，点P 的坐标是__________．【答案】(0,4)-或(1,2-或(1,2- 【解析】∵(2,0)A -，直线y x =与AB 交于点E ， ∴(2,2)E --，AD AE =，45ADE ∠=︒， 又∵四边形ABCD 是矩形，点(2,4)B --， ∴90A B ∠=∠=︒，易得ADE △、BEP △、OEP △是等腰直角三角形， ∴145EPO ∠=︒， ∴1(0,4)P -，以点(0,2)G -为圆心，2为半径作圆与线段CD 交于点2P 、3P ． 使23145EP O EPO EPO ∠=∠=∠=︒， 作GF CD ⊥，在3Rt GP F △中，32GP =，1GF =，∴3P F∴3(1,2P -，同理2(1,2P --，综上，点P 坐标为(0,4)-，(1,2-，(1,2-．三、解答题（17至20题，每题5分；21至23题，每题6分；24题至25题，每题7分，共52分） 17．解关于x 的一元二次方程： 2450x x --=．【答案】见解析【解析】2450x x -+=， (5)(1)0x x -+=，∴15x =，21x =-．18．在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，点F 在边CD 上，AE CF =，连接AF ，BF ． （1）求证：四边形BFDE 是矩形．（2）若3CF =，4CF =，5DF =，求证：AF 平分DAB ．D A BCEF【答案】见解析【解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB CD ∥，AB CD =， ∵AE CF =， ∴DF BE =，∴四边形DEBF 是平行四边形， 又∵DE AB ⊥， ∴四边形BFDE 是矩形．（2）证明：∵四边形BFDE 是矩形， ∴90BFC ∠=︒， ∵3CF =，4BF =，∴5BC =， ∴5AD BC ==， ∴5AD DF ==， ∴DAF DFA ∠=∠， ∵AB CD ∥， ∴FAB DAF ∠=∠， ∴AF 平分DAB ∠．19．已知关于x的方程221(1)04x a -+=有实根．（1）求a 的值．（2）若关于x 的方程2(1)0(0)mx m x a m +--=≠的所有根均为整数，求整数m 的值． 【答案】见解析【解析】（1）∵关于x的方程221(1)04x a -+=为一元二次方程，且有实根，故满足2201(4(1)04a a ⎧⎪⎨∆=--⨯⨯+⎪⎩≥≥， 整理得2(1)0a a ⎧⎨-⎩≥≤， ∴1a =．（2）由（1）得1a =，∴方程2(1)10(0)mx m x m +--=≠，解得11x =，21x m=-， ∵两根均为整数， ∴1m =±．20．一次班会设计了即兴表演节目的游戏， 在两个不透明的袋子中分别装入一些牌，甲袋内的4张牌分别标记数字1、2、3、4，乙袋内的3张牌分别标记数字2、3、4，这些牌除了标数外其余都相同.游戏规则是：参加游戏的同学从甲、乙两个袋子里分别随机摸出一张牌，若两张牌上的标数相同，就要给大家即兴表演一个节目．用列表法或树形图法求出联欢会上参加该游戏的某位同学即兴表演节目的概率．甲乙【答案】见解析 【解析】画树状图得：234234342344321乙袋甲袋∵共有12种等可能的结果，参加该游戏的某位同学即兴表演节目的有3种情况， ∴()31124P ==即兴表演节目．21．如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，弦CD BM ∥，交AB 于点F ，且»»DADC =，连接AC ，AD ，延长AD 交BM 于点E ． （1）求证：ACD △是等边三角形． （2）连接OE ，若3OF =，求OE 的长．MF ECBAOD【答案】见解析【解析】（1）证明：∵BM 是⊙O 的切线， ∴BM AB ⊥， ∵CD BM ∥， ∴AB CD ⊥， ∵AB 是⊙O 的直径，∴»»AC AD =， ∴AC AD =，又∵»»DA DC =， ∴DA DC =， ∴AC CD DA ==， ∴ACD △是等边三角形． （2）解：连接OC ， ∵ACD △是等边三角形， ∴60CAD ∠=︒， ∵AB CD ⊥，∴1302CAB BAD CAD ∠=∠=∠=︒，∴260COF CAB ∠=∠=︒，在Rt COF △中，3OF =，30DOF ∠=︒， ∴26OC OF ==，在Rt ABE △中，90ABE ∠=︒，12AB =，30BAE ∠=︒，∴tan3012BE AB =︒⋅= ∴在Rt OBE △中，6OB =，BE =∴OE = ∴OE的长为．OD ABCEF M22．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点(3,0)A -，(1,0)B -，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线及直线AC 的表达式．（2）垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，与直线AC 交于点33(,)N x y ，若312x x x <<，结合函数的图像，求123x x x ++的取值范围．【答案】见解析【解析】把点(3,0)A -，(1,0)B -代入抛物线解析式， 得93010b c b c --+=⎧⎨--+=⎩， 解得43b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为243y x x =---， ∴(0,3)C -，设直线AC 解析式为y kx b =+代入(3,0)A -，(0,3)B -， 303k b b -+=⎧⎨=-⎩， ∴13k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 解析式为3y x =--．（2）解：抛物线243y x x =---的对称轴为2x =-，顶点坐标(2,1)-， 对称轴为2x =-，顶点坐标(2,1)-， ∵P 、Q 关于2x =-对称， ∴12y y =，124x x +=-， 由312x x x <<，结合图像， 可得301y <<， ∴343x -<<-， ∴12387x x x -<++<-．23．在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 是对角线AC 上任意一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF AE =，连接BE 、EF ．（1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，易证BE =__________（不添加辅助线，填写图中一条已有线段）．（2）如图2，当点E 不是线段AC 的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：__________（填“成立”或“不成立”）．（3）如图3，当点E 是线段AC 延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．图1FECBADDABC FE图2图3FE C B AD【答案】见解析【解析】（1）BE EF =， ∵菱形ABCD ，60ABC ∠=︒， ∴AB BC AC ==，BE AC ⊥， ∵E 是AC 中点，AE CF =， ∴CE CF =， ∴30F CEF ∠=∠=︒， ∴120BEF ∠=︒， ∴30EBF ∠=︒， ∴BE EF =．EFCB AD（2）成立．取AH AE =，连HE ，∵菱形ABCD ，60ABC ∠=︒，∴AB AC BC ==，60BAC ABC ∠=∠=︒， ∵AH AE =，60HAE ∠=︒，∴AHE △为等边三角形，∴HB EC =，120BHE ECF ∠=∠=︒， ∵AE CF =，∴HE CF =，在HBE △和CEF △中，HE CF BHE ECF BH CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴HBE △≌(SAS)CEF △，∴BE EF =．EH FC B AD25．在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是圆心C 不重合的点，点P 关于⊙O 的反称点的定义如下，若在射线CP 上存在一点P '，满足2CP CP r '+=，则称P '为点P 关于⊙C 的反称点，下图为点P 及其关于⊙C 的反称点P '的示意图．（1）当⊙O 的半径为1时．①分别判断点(2,1)M ，3,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，T 关于⊙O 的反称点是否存在，若存在，求其坐标． ②P 在直线2y x =-+上，若点P 关⊙O 是反称点P '存在，且点P '不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围．（2）当⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y =+x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P '在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．。
2017-2018学年北京市海淀首师大附中2018届九年级10月月考数学试题(含答案)
首都师大附中2017—2018学年第一学期10月练习初三数学一、选择题（每题3分，共30分）1．下列图形中，旋转60︒能与自身重合的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】A 中的图形，绕图形中心旋转120︒后，能和自身重合； B 中的图形，绕图形中心旋转90︒后，能和自身重合； C 中的图形，绕图形中心旋转180︒后，能和自身重合；D 中的图形，绕图形中心旋转60︒后，能和自身重合． 故选D ．2．若将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）．A ．25(2)1y x =-+B ．25(2)1y x =++C ．25(2)1y x =--D ．25(2)1y x =++【答案】A【解析】将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到25(2)1y x =-+． 故选A ．3．一个口袋中装有八个除标号不同外其它完全相同的小球，小球上分别标有数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，从口袋中随机地摸出一个小球，则摸出的小球上的数字是偶数的概率是（ ）．A ．14B ．13C ．12D ．38【答案】D【解析】38P =（摸出数字偶数）． 故选D ．4．下列函数图像中，与x 轴有交点的是（ ）．A ．2(2)1y x =-+B ．221y x x =-+C ．21y x =--D ．21y x x =-+【答案】B【解析】A ．抛物线2(2)1y x =-+，顶点坐标(2,1)，开口向上，与x 轴无交点；B ．抛物线221y x x =-+顶点坐标(1,0)，开口向上，与x 轴有1个交点；C ．抛物线21y x =--顶点坐标(0,1)-，开口向下，与x 轴无交点；D ．抛物线21y x x =-+顶点坐标13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，开口向上，与x 轴无交点．5．如图44⨯的正方形网格中，MNP △绕某点旋转一定的角度，得到111M N P △，则其旋转中心可能是（ ）．A ．点AB ．点BC ．点CD ．点DP 1M 1N 1M NC B AP D【答案】B【解析】∵MNP △绕某点旋转一定的角度，得到111M N P △， ∴连接1PP ，1NN ，1MM ， 作1PP 的垂直平分线过B 、D 、C ， 作1NN 的垂直平分线过B 、A ， 作1MM 的垂直平分线过B ， ∴点B 是旋转中心．6．抛物线2(1)y x t =-+与x 轴的两个交点之间的距离为4，则t 的值是（ ）．A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-【答案】D【解析】设抛物线2(1)y x t =-+与x 轴的两个交点为1(,0)x ，2(,0)x ， 则11x t =--，21x t =+-， ∴12||4x x -=，∴(1)(1)4t t +----=，∴4t =-．7．如图，从三个方向看一个几何体，根据图中标注的数据可求得这个几何体的侧面积为（ ）． A ．6π B ．12π C ．24π D ．48π从上面看从左面看从正面看64464【答案】B【解析】此几何体为圆锥， ∴半径为2，母线长为6， ∴侧面积ππ2612πrl ==⨯⨯=．8．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，若23BCD ∠=︒，则ACD ∠的大小为（ ）．A ．23︒B ．57︒C ．67︒D ．77︒C B AOD【答案】C【解析】∵AB 是直径， ∴90ACB ∠=︒，∵23BAD BCD ∠=∠=︒， ∴ACD ACB BCD ∠=∠-∠ 9023=︒-︒ 67=︒．9．在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标为(2,4)A -，(4,2)B ，直线2y kx =-与线段AB 有交点，则k 的值不可能是（ ）． A ．5- B ．2-C ．3D ．5【答案】B【解析】把(2,4)A -代入2y kx =-中，得3k =-， 把(4,2)B 代入2y kx =-中，得1k =， ∵直线2y kx =-与线段AB 有交点， ∴3k -≤或1k ≥，满足， 根据题意k 的值不可能是2-． 故选B ．二、填空题（每题3分，共18分）11．将二次函数265y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，那么h k +=__________． 【答案】1-【解析】∵二次函数2265(3)4y x x x =-+=--， ∴3h =，4k =-，∴3(4)1h k +=+-=-．12．如图，⊙O 的半径为2，直线PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，若PA PB ⊥，则OP 的长为__________．OABP【答案】22【解析】连接OA ，∵直线，PA 、PB 为⊙O 的切线，PA PB ⊥，∴OA PA ⊥，1452OPA APB ∠=∠=︒，∴OPA △是等腰直角三角形， ∵⊙O 的半径为2， 即2OA =，∴222OP OA =⋅=．13．若关于x 的方程20x mx m -+=有两个相等实根，则代数式2281m m -+的值为__________． 【答案】1【解析】∵方程20x mx m -+=有两个相等实根， ∴0∆=，即22440b ac m m -=-=， ∴2281m m -+ 22(4)1m m =-+ 01=+1=．14．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．投掷次数“钉尖向上”的频率500045004000350030002500200015001000500由图可以看出若再抛掷一次这种图钉，“钉尖向上”的概率约是__________．你的判断理由是__________．【答案】0.618，理由，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的概率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．【解析】 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的概率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．15．已知二次函数2(1)2y x =--上有两点1(2,)A y ，2(,)B x y ，若21y y >，则x 的取值范围是__________． 【答案】0x <或2x >【解析】把点1(2,)A y 代入2(1)2y x =--中，得11y =-， ∵抛物线2(1)2y x =--对称轴为1x =， ∴点A 关于对称轴对称点为(0,1)-， ∵21y y >， ∴0x <或2x >．16．矩形ABCD 中(2,0)A -，(2,4)B --，(1,0)D ，直线y x =交边AB 于点E ，点P 在矩形边上，若45EPO ∠=︒，点P 的坐标是__________．xyCB AOD【答案】(0,4)-或(1,23)-+或(1,23)-- 【解析】∵(2,0)A -，直线y x =与AB 交于点E ， ∴(2,2)E --，AD AE =，45ADE ∠=︒， 又∵四边形ABCD 是矩形，点(2,4)B --， ∴90A B ∠=∠=︒，易得ADE △、BEP △、OEP △是等腰直角三角形， ∴145EPO ∠=︒， ∴1(0,4)P -，以点(0,2)G -为圆心，2为半径作圆与线段CD 交于点2P 、3P ． 使23145EPO EPO EPO ∠=∠=∠=︒， 作GF CD ⊥，在3Rt GP F △中，32GP =，1GF =，∴223213P F =-=， ∴3(1,23)P -+，同理2(1,23)P --， 综上，点P 坐标为(0,4)-，(1,23)-+，(1,23)--．y=xP 1P 2P 3F E G D O A BC三、解答题（17至20题，每题5分；21至23题，每题6分；24题至25题，每题7分，共52分） 17．解关于x 的一元二次方程： 2450x x --=．【答案】见解析【解析】2450x x -+=， (5)(1)0x x -+=，∴15x =，21x =-．18．在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，点F 在边CD 上，AE CF =，连接AF ，BF ． （1）求证：四边形BFDE 是矩形．（2）若3CF =，4CF =，5DF =，求证：AF 平分DAB ．D A BCEF【答案】见解析【解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB CD ∥，AB CD =， ∵AE CF =， ∴DF BE =，∴四边形DEBF 是平行四边形， 又∵DE AB ⊥， ∴四边形BFDE 是矩形．（2）证明：∵四边形BFDE 是矩形， ∴90BFC ∠=︒， ∵3CF =，4BF =， ∴22345BC =+=， ∴5AD BC ==， ∴5AD DF ==， ∴DAF DFA ∠=∠， ∵AB CD ∥， ∴FAB DAF ∠=∠， ∴AF 平分DAB ∠．19．已知关于x 的方程2212(1)04x ax a -++=有实根．（1）求a 的值．（2）若关于x 的方程2(1)0(0)mx m x a m +--=≠的所有根均为整数，求整数m 的值． 【答案】见解析【解析】（1）∵关于x 的方程2212(1)04x ax a -++=为一元二次方程，且有实根，故满足2201(2)4(1)04a a a ⎧⎪⎨∆=--⨯⨯+⎪⎩≥≥， 整理得2(1)0a a ⎧⎨-⎩≥≤， ∴1a =．（2）由（1）得1a =，∴方程2(1)10(0)mx m x m +--=≠，解得11x =，21x m=-， ∵两根均为整数，∴1m =±．20．一次班会设计了即兴表演节目的游戏， 在两个不透明的袋子中分别装入一些牌，甲袋内的4张牌分别标记数字1、2、3、4，乙袋内的3张牌分别标记数字2、3、4，这些牌除了标数外其余都相同.游戏规则是：参加游戏的同学从甲、乙两个袋子里分别随机摸出一张牌，若两张牌上的标数相同，就要给大家即兴表演一个节目．用列表法或树形图法求出联欢会上参加该游戏的某位同学即兴表演节目的概率．甲乙【答案】见解析 【解析】画树状图得：2342342342344321乙袋甲袋∵共有12种等可能的结果，参加该游戏的某位同学即兴表演节目的有3种情况， ∴()31124P ==即兴表演节目．21．如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，弦C D B M ∥，交AB 于点F ，且 D A D C =，连接AC ，AD ，延长AD 交BM 于点E ．（1）求证：ACD △是等边三角形．（2）连接OE ，若3OF =，求OE 的长．MF ECBAOD【答案】见解析【解析】（1）证明：∵BM 是⊙O 的切线， ∴BM AB ⊥， ∵CD BM ∥， ∴AB CD ⊥，∵AB 是⊙O 的直径， ∴ AC AD =， ∴AC AD =，又∵ DADC =， ∴DA DC =，∴AC CD DA ==， ∴ACD △是等边三角形． （2）解：连接OC ， ∵ACD △是等边三角形， ∴60CAD ∠=︒， ∵AB CD ⊥，∴1302CAB BAD CAD ∠=∠=∠=︒，∴260COF CAB ∠=∠=︒，在Rt COF △中，3OF =，30DOF ∠=︒， ∴26OC OF ==，在Rt ABE △中，90ABE ∠=︒，12AB =，30BAE ∠=︒， ∴3tan 3012433BE AB =︒⋅=⨯=， ∴在Rt OBE △中，6OB =，43BE =， ∴223648221OE OB BE =+=+=， ∴OE 的长为221．OD ABCEF M22．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点(3,0)A -，(1,0)B -，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线及直线AC 的表达式．（2）垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，与直线AC 交于点33(,)N x y ，若312x x x <<，结合函数的图像，求123x x x ++的取值范围．【答案】见解析【解析】把点(3,0)A -，(1,0)B -代入抛物线解析式， 得93010b c b c --+=⎧⎨--+=⎩， 解得43b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为243y x x =---， ∴(0,3)C -，设直线AC 解析式为y kx b =+代入(3,0)A -，(0,3)B -， 303k b b -+=⎧⎨=-⎩， ∴13k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 解析式为3y x =--．（2）解：抛物线243y x x =---的对称轴为2x =-，顶点坐标(2,1)-， 对称轴为2x =-，顶点坐标(2,1)-， ∵P 、Q 关于2x =-对称， ∴12y y =，124x x +=-， 由312x x x <<，结合图像， 可得301y <<， ∴343x -<<-， ∴12387x x x -<++<-．A 3CB O1231y23．在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 是对角线AC 上任意一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF AE =，连接BE 、EF ．（1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，易证BE =__________（不添加辅助线，填写图中一条已有线段）．（2）如图2，当点E 不是线段AC 的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：__________（填“成立”或“不成立”）．（3）如图3，当点E 是线段AC 延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．图1FEC BADDABC FE图2图3FE C B AD【答案】见解析【解析】（1）BE EF =，∵菱形ABCD ，60ABC ∠=︒， ∴AB BC AC ==，BE AC ⊥， ∵E 是AC 中点，AE CF =， ∴CE CF =，∴30F CEF ∠=∠=︒， ∴120BEF ∠=︒， ∴30EBF ∠=︒， ∴BE EF =．EFCB AD（2）成立．取AH AE =，连HE ，∵菱形ABCD ，60ABC ∠=︒，∴AB AC BC ==，60BAC ABC ∠=∠=︒， ∵AH AE =，60HAE ∠=︒，∴AHE △为等边三角形，∴HB EC =，120BHE ECF ∠=∠=︒， ∵AE CF =，∴HE CF =，在HBE △和CEF △中，HE CF BHE ECF BH CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴HBE △≌(SAS)CEF △，∴BE EF =．EH FC B AD25．在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是圆心C 不重合的点，点P 关于⊙O 的反称点的定义如下，若在射线CP 上存在一点P '，满足2CP CP r '+=，则称P '为点P 关于⊙C 的反称点，下图为点P 及其关于⊙C 的反称点P '的示意图．x y PC11O（1）当⊙O 的半径为1时．①分别判断点(2,1)M ，3,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,3)T 关于⊙O 的反称点是否存在，若存在，求其坐标． ②P 在直线2y x =-+上，若点P 关⊙O 是反称点P '存在，且点P '不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围．（2）当⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线3233y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P '在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．。
北京市海淀区中国人民大学附属中学2018届九年级10月月考数学试题(解析版)
2017—2018学年度第一学期九年级数学练习2一、选择题（每小题4分，共48分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1. ）．A. B. C.【答案】B【解析】分析：利用直接开平方法得到x﹣2=0，然后解一元一次方程即可．详解：x﹣2=0，所以x1=x2=2．故选B．点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．2. ）．B. C.【答案】D【解析】分析：根据抛物线的开口方向即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．详解：∵二次函数y=（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，∴2﹣m＞0，解得：m＜2．故选D．3. ）．C. D.【答案】A【解析】分析：根据二次函数定义可得m=－1，再代入3m+2即可得到答案．详解：∵关于x∴m=－1，∴3m+2=－1．故此解析式的一次项系数是：－1．故选A．点睛：本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．4. 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）．C.【答案】B【解析】试题解析：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故错误；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确.故选C5. 抛物线图像如图所示，根据图像，抛物线的解析式可能是（）．【答案】C【解析】由图可得：首先开口向下，a小于0，对称轴大于0，所以b大于0，图像与y轴交点大于0，说明c大于0，所以选C。
6. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么弧AC所对的圆心角的大小是（）A. B. C.【答案】D【解析】分析：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．详解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．连接AQ，CQ．在△APQ与△CQN中，APQ≌△CQN（SAS），∴∠AQP=∠CNQ，∠P AQ=∠CQN∵∠AQP+∠P AQ=90°，∴∠AQP+∠CQN=90°，∴∠AQC=90°，90°．故选D．点睛：本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．7.置，上，直角边，则旋转角等于（）．【答案】B【解析】分析：先由∠ACB=90°、∠A=40°得∠ABC=50°，再由旋转的性质得∠B′=∠ABC=50°，CB=CB′，继而可得答案．详解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=50°，又△ABC≌△AB′C′，∴∠B′=∠ABC=50°，CB=CB′，∴∠BCB′=80°．故选B．点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．8. ）．C.【答案】B【解析】分析：过O作弦AB的垂线，通过构建直角三角形求出弦AB的长．详解：过O作OC⊥AB于C．在Rt△OAC中，OA=2，∠AOC AOB=60°，∴AC=OA•∴AB=2AC故选B．点睛：本题主要考查了垂径定理及解直角三角形的应用．二、填空题（每题4分，共28分）9. 关于原点对称的点__________．【解析】分析：根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（﹣2，3）关于原点O的对称点是P′（2，﹣3）详解：根据两个点关于原点对称，∴点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．点睛：本题考查了关于原点对称的点的坐标，运用时要熟练掌握．10. 经过两点“或“填空）．【答案】>【解析】分析：根据二次函数图象上点的坐标特征，将A（﹣2，y1）和B（3，y2），分别代入二次函数的关系式，分别求得y1，y2的值，最后比较它们的大小即可．详解：∵抛物线y=x2﹣2x+5经过两点A（﹣2，y1）和B（3，y2），∴y1=4+4+5=13，即y1=13，y2=9﹣6+5=8，即y2=8．∵8＜13，∴y2＜y1．故答案为：y1＞y2．点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．经过图象上的某点，该点一定在函数图象上．11. __________．【答案】5【解析】分析：直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．．因此这个三角形的外接圆半径为5．点睛：本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．12. __________．【答案】-2【解析】分析：由二次项系数的正负，根据二次函数的性质即可得出其最值情况．详解：在函数y中，∵a0，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣2．故答案为：﹣2．点睛：本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．13. 的顶点坐标分别为，如果将，那么点的对应点__________．【解析】分析：根据网格结构找出点A、B绕点C逆时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标即可．详解：如图所示，点A的对应点A′的坐标是（﹣3，3）．故答案为：（﹣3，3）．点睛：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握网格结构，作出旋转后的图形是解题的关键．14. __________得到抛物线称轴与两段抛物线所围成的阴影部分（如图所示）的面积是__________．【答案】(1). 先向右平移2个单位再向下平移2个单位；(2). 4平移后顶点坐标是（2，-2），利用割补法，把x轴上方阴影部分补到下方，可以得到矩形面积,15. 如图，__________，当点__________．【答案】(1). (2).【解析】分析：作GM⊥AC于M，连接AG．因为∠AFC=90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上，推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值=FM﹣GM，想办法求出FM、GM即可解决问题；详解：作GM⊥AC于M，连接AG．∵GO⊥AB，∴OA=OB．在Rt△AGO中，∵AG=2，OG=1，∴AG=2OG，OA∴∠GAO=30°，AB=2AO AGO=60°．∵GC=GA，∴∠GCA=∠GAC．∵∠AGO=∠GCA+∠GAC，∴∠GCA=∠GAC=30°，∴AC=2OA MG=1．∵∠AFC=90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值=FM﹣GM1．故答案为：1．点睛：本题考查了垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（第23题6分，其余各题每题5分，共31分）16.）请你将函数解析式化成）中的图像结合图像变换表示出方程的根，要求保留画图痕迹，指出方程根的图形意义．【答案】）方程两根的意义为：二次函数与水平线【解析】分析：（1）根据配方法整理即可，再求出x=﹣1、0、1、2、3时的函数值，然后画出函数图象即可；（2）求出y=﹣2时对应的x的近似值即可．详解：（1）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，函数图象如图所示；（2）y=﹣2时，x2﹣2x﹣3=﹣2，x2﹣2x﹣1=0，方程x2﹣2x﹣1=0的根如图所示．点睛：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，图象法求一元二次方程的近似根，通常利用“五点法”作二次函数图象．17.学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...xx（22=x=±x=x2点睛：考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18.【答案】见解析【解析】分析：（1）作AB、CD的垂直平分线，交点即为所求；（2）同弧所对的圆周角相等，可得出△ADE和△CBE中两组对应角相等，已知两组对应角的夹边相等，可证得△ADE≌△CBE，得AE=CE，DE=BE，从而证得AB=CD．详解：（1）如图所示：（2）∵同弧所对对圆周角相等，∴∠A=∠C，∠D=∠B．在△ADE和△CBE中，∴△ADE≌△CBE，∴AE=CE，DE=BE，∴AE+BE=CE+DE，即AB=CD．点睛：本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识的应用能力．19.是小华与小芳的设计方案．‘我的设计方案如图所示，平行于荒地的四边建造矩形的花园，花园四周小路的宽度均相同’，你能帮小芳算出小路的宽度吗？请利用方程的方法计算出小路的宽度．‘我的设计方案是建造一个中心对称的四边形的花园，并且这个四边形的四个顶点分别在矩形荒地的四条边上’应的草图，说明所画图形的特征，并简述所画图形符合要求的理由．【答案】;【解析】分析：为直径，作圆，交两长于详解：，，得矩形点睛：本题主要考查了应用设计与作图，正确作图是解题的关键．20. 中，逆时针旋转，画出旋转后的图形．．写出求线段骤详写，其它的写出关键步骤或结果即可），并给出最后结果．【答案】【解析】分析：（1）根据要求作图即可；（2）延长BC至点F，使CF=BD，连结EF．易证△CEF为等边三角形，得到EF=CF，∠F=60°，从而可证△ABD≌△DFE，即可得到结论．（3）过点C作D′ M′⊥BC，并取CD′=CM′=BD=BM．连结DD′、MM′、DM′，得到DD′=DM′，∠D′ DC=∠M′ DC，由（1）（2）可得∠D′ DC=∠BAD=7.5°，故∠CDM′=7.5°，可证得△AMM′和△ADD′为等腰直角三角形，得到AD=AD′=1，AM=AM′，DD DM′，∠ADD′=45°，∠ADM′=45°+7.5°+7.5°=60°．过A作AE⊥DM′于点E，得到∠DAE=30°，由30°直角三角形的性质得到DE，AE的长，进而得到EM′的长，由勾股定理即可得到结论．详解：，并取、，由（）（）可得为等腰直角三角形，作于点，，，．点睛：本题是全等三角形综合题．考查了等边三角形的性质和等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．有一定的难度，综合性较强．解题的关键是读懂题意，根据所给的方法完成后面的解答．。
新定义(解析)
解答下列问题： (1) 在平面直角坐标系中画出有向线段 （有向线段与 轴的长度单位相同）， 与 轴的正
半轴的夹角是 ，且
．
(2) 若 的终点 坐标为
，求它的模及它与 轴的正半轴的夹角 的度数．
答案
(1) 画图见解析． (2) 的度数为 ．
解析 (1) 如图所示，有向线段 即为所求．
(2) ∵
，
∴
，
∵
，
，
∴ 与 轴正半轴夹角为 ，
∴ 的度数为 ．
考点 三角形 > 锐角三角函数及解直角三角形 > 锐角三角函数
三、圆
5 2017~2018学年北京东城区东直门中学初三上学期期中第28题8分
对于平面直角坐标系 中的某点 和⊙ ，给出如下定义：若⊙ 上存在两个点 ， ，使得
，则称点 为⊙ 的“凤尾点”，
度为
．
(1) 回答下列问题：
1 如图 ，在平面直角坐标系 中，图形 为以 为圆心， 为半径的圆，直接写出
以下各点到图形 的距离跨度：
的距离跨度
；
的距离跨度
；
的距离跨度
．
图
2 根据①中的结果，猜想到图形 的距离跨度为 的所有的点组成的图形的形状是
． (2) 如图 ，在平面直角坐标系
中，图形 为以
为圆心， 为半径的圆，直线
即恰好 、 点为圆 的关联时，则
，
此时， ，
故若线段 上的所有点都是某个圆的凤尾点，这个圆的半径 的取值范围为 ．
考点 三角形 > 直角三角形 > 直角三角形的性质 > 30°所对的直角边是斜边的一半
6 2017~2018学年北京东城区北京五中分校初三上学期期中第27题
2017-2018北师大版九年级第一学期第三次月考数学试卷
…○…○…………装…学校:___________姓名：…………内…○…………订………绝密★启用前2017-2018北师大版九年级第一学期第三次月考数学试卷做卷时间120分钟 满分150分温馨提示：亲爱的同学们，又到了考试的时间，希望你不要慌张，考试只是检验你平时对所学知识掌握情况，你要平心静气，不要急于下结论；下笔时，把字写得规矩些，让自己和老师都看得舒服，祝你成功！ 一、选择题（计30分）1．（本题3分）不透明的口袋中装有除颜色外其余均相同的2个白球、2个黄球、4个绿球，从中任取一球出来，它不是黄球的概率是（ ） A ．14 B ．34 C.13 D ．232．（本题3分）“服务他人，提升自我”，笔山职中积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男2女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是（ ）． A ．B ．C ．D ． 3．（本题3分）反比例函数ky x=在第一象限内的图象如图17-19所示，点M 是图象上一点，MP ⊥x 轴，垂足为P .如果△MOP 的面积为1，那么k 的值是（）A. 1B. 2C. 4D.124．（本题3分）如果x ＝4是一元二次方程223a x x =-的一个根，则常数a 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．±2D ．±4 5．（本题3分）下列说法正确的是（ ） A ．各有一个角是70°的等腰三角形相似 B ．各有一个角是95°的等腰三角形相似 C ．所有的矩形相似 D ．所有的菱形相似 6．（本题3分）若方程有两个相等实数根，则=（ ）．…○…………A. B. 0 C. 2 D.7．（本题3分）已知点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），则PB：AB的值为（）．A．32B．12C．12D．34-8．（本题3分）如图，将一个小球摆放在圆柱上，该几何体的俯视图是（）A． B． C． D．9．（本题3分）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）A． B．C米 D10．（本题3分）如图，矩形ABCD，R是CD的中点，点M在BC边上运动，E、F分别是AM、MR的中点，则EF的长随着M点的运动A．变短 B．变长 C．不变 D．无法确定二、填空题（计30分）11．（本题3分）菱形的两条对角线长为8cm和6cm，面积是．AB CRDMEF试卷第2页，总6页…外………○……12．（本题3分）如图，直线l 1、l 2、l 3分别过正方形ABCD 的三个顶点A ，B ，D ，且相互平行，若l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为1，则该正方形的面积是．13．（本题3分）（2015•锦州）如图，点A 在双曲线y=xk上，AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积是2，则k 的值是．14．（本题3分）已知关于x 的一元二次方程2220x x m m ++-=有一个实数根为1-，则另一个实数根为．15．（本题3分）若753z y x ==，则z y x zy x -++-=________.16．（本题3分）如图，在长方形ABCD 中，AB=4cm,BC=5cm,在CD 上取一点E ，将△ADE折叠后点D 恰好落在BC 边上的点F ，则CE 的长为 cm ．17．（本题3分）已知与y =x ﹣6相交于点P （a ，b ），则的值为______． 18．（本题3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AD=8，DB=2，则CD 的长为__．………○…………19．（本题3分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N，若点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12），那么当△ADN为等腰三角形时，x的值为___________。
人大附中2018届九年级上学期数学10月月考试卷
人大附中2018届九年级上学期数学10月月考试卷一、单选题1.一元二次方程的解集是（）．A. B. C. ， D.2.若二次函数的图像是开口向上的抛物线，则的取值范围是（）．A. B. C. D.3.已知关于的函数是二次函数，则此解析式的一次项系数是（）．A. B. C. D.4.有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5.抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能是（）A. B. C. D.6.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么弧AC所对的圆心角的大小是（）A. B. C. D.7.如图，在中，，，以直角顶点为旋转中心，将旋转到的位置，其中、分别是、的对应点，且点在斜边上，直角边交于，则旋转角等于（）．A. B. C. D.8.如图，是⊙的弦，半径，，则弦的长是（）．A. B. C. D.二、填空题9.点关于原点对称的点的坐标为________．10.已知抛物线经过两点和，则________ （用“ ”或“ ”填空）．11.已知直角三角形的两条直角边长分别为和，那么这个三角形的外接圆半径等于________．12.函数的最小值是________．13.如图，的顶点坐标分别为、、，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点的对应点的坐标是________．14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线可通过平移变换向________得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分（如图所示）的面积是________．15.如图，以为圆心，半径为的圆与轴交于、两点，与轴交于、两点，点为⊙上一动点，于，则弦的长度为________，当点在⊙上运动的过程中，线段的长度的最小值为________．三、解答题16.已知二次函数．（1）请你将函数解析式化成的形式，并在直角坐标系中画出的图像．（2）利用（）中的图像结合图像变换表示出方程的根，要求保留画图痕迹，指出方程根的图形意义．17.用配方法解一元二次方程：．18.已知：如图，在⊙中，弦、交于点，．（1）利用尺规作图确定圆心的位置，保留作图痕迹．（2）求证：．19.在一块长，宽为的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．（1）小芳说，‘我的设计方案如图所示，平行于荒地的四边建造矩形的花园，花园四周小路的宽度均相同’，你能帮小芳算出小路的宽度吗？请利用方程的方法计算出小路的宽度．（2）小华说，‘我的设计方案是建造一个中心对称的四边形的花园，并且这个四边形的四个顶点分别在矩形荒地的四条边上’，请你按小华的思路，分别设计符合条件的一个菱形和一个矩形，在图和图中画出相应的草图，说明所画图形的特征，并简述所画图形符合要求的理由．20.如图（1）如图，中，，是上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形．（2）如图，等边中，为边上一点，在的延长线上，且．求证：．（3）已知：如图，在中，，，为边上一点，为延长线上一点，且，已知，．写出求线段长的具体思路（即添加辅助线的方法，推导的具体步骤详写，其它的写出关键步骤或结果即可），并给出最后结果．答案解析部分一、单选题1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】B二、填空题9.【答案】10.【答案】>11.【答案】512.【答案】-213.【答案】14.【答案】先向右平移2个单位再向下平移2个单位；415.【答案】；三、解答题16.【答案】（1）解：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，函数图象如图所示（2）解：y=﹣2时，x2﹣2x﹣3=﹣2，x2﹣2x﹣1=0，方程x2﹣2x﹣1=0的根如图所示．17.【答案】解：x2+3x﹣=0x2+3x=x2+3x+（）2= +（）2（x+ ）2=x+ =±x1= ，x2= ．18.【答案】（1）解：如图所示：（2）解：∵同弧所对对圆周角相等，∴∠A=∠C，∠D=∠B．在△ADE和△CBE中，∵，∴△ADE≌△CBE，∴AE=CE，DE=BE，∴AE+BE=CE+DE，即AB=CD．19.【答案】（1）解：设宽度为米，则，∴，解得：，又∵，∴，答：路宽为米．（2）解：如图①，作矩形的中点四边形，得菱形，则菱形面积矩形面积，如图②，以矩形两宽的中点连线为直径，作圆，交两长于、，得矩形，则．20.【答案】（1）解：如图，即为所求，（2）解：延长至点，使，连结．∵为等边三角形，∴，∴，∴为等边三角形．∴．∵，∴，又∵，∴≌，∴，得证．（3）解：过点作，并取，连结、、，则，由（）（）可得，∴，由，可证得≌≌，所以和为等腰直角三角形，∴，∴，∴，过作于点，∴，∴，∴，∴．。
2017-2018学年北京市人民大学附属中学初三上学期开学摸底考试数学试卷(解析版)
2017-2018学年北京市人大附中九年级（上）开学摸底数学试卷一、单项选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分）．1．下列各图中，是中心对称图形的为（）A．B．C．D．2．下列函数中，y是x的二次函数的为（）A．y=﹣3x2B．y=2x C．y=x+1 D．y=x33．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为（）A．B．C．D．4．二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的最大值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．15．如图，P是等边△ABC内部一点，把△ABP绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ACQ，则旋转角的度数是（）A．70°B．80°C．60°D．50°6．将抛物线y=x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（）A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2+1 D．y=（x﹣1）2+17．如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板的圆心绕O旋转，则正方形ABCD被纸板覆盖部分的面积为（）A．a2 B．a2 C．a2 D． a8．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程变形正确的是（）A．（x﹣1）2=6 B．（x﹣2）2=9 C．（x+1）2=6 D．（x+2）2=99．在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的白菜价格进行调查．四个城市5个月白菜的平均值均为3.50元，方差分别为S甲2=18.3，S乙2=17.4，S丙2=20.1，S丁2=12.5．一至五月份白菜价格最稳定的城市是（）A．甲B．乙C．丙D．丁10．如图1，正方形ABCD中，点M是AB的中点，点P在某条线段上匀速运动，若运动的时间为x，点P与点M之间的距离为y，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则点P的运动路线可能是（）A．A→B B．A→D C．B→D D．D→C二、填空题（本大题包括6个小题，每小题3分，共18分）．11．点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=（x﹣1）2的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1 y2（填“＞”、“＜”、“=”）．12．在平面直角坐标系中，点P（5，3）关于原点对称的点的坐标为．13．如图，P是正方形ABCD内一点，将△PCD绕点C逆时针方向旋转后与△P′CB重合，若PC=1，则PP′=．14．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a、b的值：a=，b=．15．在某中学开展的“书香伴我行”读书活动中，为了解九年级300名学生一个月的读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如表所示：册数0 1 2 3 4人数 1 13 16 17 3估计这所中学九年级学生一个月共读书约册，你的估计理由是．16．阅读下面材料，在数学课上，老师提出如下问题：已知：线段AB．尺规作图：以线段AB为对角线作一个菱形ADBC．小颢这样操作的：如图：（1）分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D；（2）作四边形ADBC．老师说：“小颢的做法是正确的．”请回答：小颢的作图依据是．三、解答题（本大题包括6个小题，每小题5分，共30分）．17．解方程：x2﹣4x+2=0．18．如图，正方形网格中，△ABC的顶点及点O在格点上．画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′．19．若二次函数y=2x2﹣4x+1过点（m，0），求代数式2（m﹣1）2+3的值．20．如图，矩形ABCD．AE=CD，DF⊥BE于F．求证：∠E=∠ADF．21．已知二次函数的图象经过点（1，0），且顶点坐标为（2，5）．求此二次函数的解析式．四、解答题（本大题包括6个小题，每小题5分，共30分）．22．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，m）、B（1，1）．（1）求m的值及直线y=bx+c的解析式；（2）直接写出关于x的不等式ax2＜bx+c的解集为．23．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠BCD=45°，将CD绕点D逆时针旋转90°至ED，延长AD交EC于点F．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若AD=2，BC=3，求AE的长．24．某商店以每件20元的价格购进一批商品，每种商品售价x元．（1）每件商品的利润是元；（2）若每月可卖出（800﹣10x）件，商店每月的总盈利为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出每月的最大利润是多少？25．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在BC边上，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE，作DF⊥BC交AB于点F．（1）求证：AB⊥BE；（2）若AC=8，DF=3，求BE的长．26．有这样一个问题：探究函数y=x2﹣2的图象与性质．小峰根据学习函数的经验，对函数y=x2﹣2的图象与性质进行了探究．下面是小峰的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x2﹣2的自变量的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．x …﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …y …n 3 0 ﹣1 0 ﹣1 0 3 m …求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第四象限内的最低点是（1，﹣1），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：．五、解答题（本大题包括3个小题，第27题7分，第28题7分，第29题8分；共22分）．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=mx2﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B、C（点B在点C左侧）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求点B的坐标；（3）若抛物线C2：y=a（x﹣1）2﹣1（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．28．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P在对角线BD上，点Q在直线AD上，且∠CPQ=120°．（1）如图1，若点P为菱形ABCD的对角线的交点．①依题意补全图1；②猜想PC与PQ的数量关系并加以证明；（2）如图2，若∠CPD=80°，连接CQ，写出求∠PQD度数的思路．29．如图，平面直角坐标系中，点P关于点A的关联点P′的定义如下：若在线段PA的延长线上存在一点P′，满足AP+AP′=2，则称为点P′为点P关于点A的关联点．特别地，当点P′是与点A重合时，规定：AP′=0．（1）分别判断点M（1，0）、N（1，2）关于原点O（0，0）的关联点是否存在？若存在，求出其坐标；（2）如图，直线y=﹣x+1分别与x、y轴交于点B、C．①若点P（m，n）在直线y=﹣x+1上，且点P关于原点O（0，0）的关联点P′存在，求m的取值范围；②若对于线段BC上的任意一点P，使得点P关于点A（a，0）的关联点P′存在，且点P′不在x轴上，求a的取值范围．2017-2018学年北京市人大附中九年级（上）开学摸底数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分）．1．下列各图中，是中心对称图形的为（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故错误；B、不是中心对称图形，故错误；C、不是中心对称图形，故错误；D、是中心对称图形，故正确．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．下列函数中，y是x的二次函数的为（）A．y=﹣3x2B．y=2x C．y=x+1 D．y=x3【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、是二次函数，故此选项正确；B、是一次函数，故此选项错误；C、是一次函数，故此选项错误；D、是三次函数，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．3．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个，利用概率公式直接求解即可求得答案．【解答】解：∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个，∴掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为：=．故选C．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意掌握概率=所求情况数与总情况数之比．4．二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的最大值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【考点】二次函数的最值．【分析】因为此题中解析式为顶点式的形式，所以根据其解析式即可求解．【解答】解：∵二次函数y=﹣（x﹣1）2+2，∴当x=1时，二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的最大值为2，故选B．【点评】考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．5．如图，P是等边△ABC内部一点，把△ABP绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ACQ，则旋转角的度数是（）A．70°B．80°C．60°D．50°【考点】旋转的性质．【分析】先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，然后根据旋转的性质可得到∠BAC为旋转角，从而得到旋转角的度数．【解答】解：∴△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△ABP绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ACQ，∴∠BAC为旋转角，即旋转角的度数为60°．故选C．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．6．将抛物线y=x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（）A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2+1 D．y=（x﹣1）2+1【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先得到抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到点（0，0）向上平移1个单位得到的点的坐标为（0，1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向上平移1个单位得到的点的坐标为（0，1），所以所得到的抛物线的解析式为y=x2+1．故选A．【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．7．如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板的圆心绕O旋转，则正方形ABCD被纸板覆盖部分的面积为（）A．a2 B．a2 C．a2 D． a【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】扇形的半径交AD于E，交CD于F，连结OD，如图，利用正方形的性质得OD=OC，∠COD=90°，∠ODA=∠OCD=45°，再利用等角的余角相等得到∠EOD=∠FOC，于是可证明△ODE≌△OCF，得到S△ODE=S△OCF，所以S阴影部分=S△DOC=S正方形ABCD=a2．【解答】解：扇形的半径交AD于E，交CD于F，连结OD，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴OD=OC，∠COD=90°，∠ODA=∠OCD=45°，∵∠EOF=90°，即∠EOD+∠DOF=90°，∠DOF+∠COF=90°，∴∠EOD=∠FOC，在△ODE和△OCF中，，∴△ODE≌△OCF，∴S△ODE=S△OCF，∴S阴影部分=S△DOC=S正方形ABCD=a2．故选B．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．8．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程变形正确的是（）A．（x﹣1）2=6 B．（x﹣2）2=9 C．（x+1）2=6 D．（x+2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程移项，配方得到结果，即可做出判断．【解答】解：方程变形得：x2﹣2x=5，配方得：x2﹣2x+1=6，即（x﹣1）2=6，故选A【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的白菜价格进行调查．四个城市5个月白菜的平均值均为3.50元，方差分别为S甲2=18.3，S乙2=17.4，S丙2=20.1，S丁2=12.5．一至五月份白菜价格最稳定的城市是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差．【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差分别为S甲2=18.3，S乙2=17.4，S丙2=20.1，S丁2=12.5．可找到最稳定的．【解答】解：因为丁城市的方差最小，所以丁最稳定．故选D．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．10．如图1，正方形ABCD中，点M是AB的中点，点P在某条线段上匀速运动，若运动的时间为x，点P与点M之间的距离为y，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则点P的运动路线可能是（）A．A→B B．A→D C．B→D D．D→C【考点】动点问题的函数图象．【专题】几何图形问题．【分析】根据题意和函数图象以及选项可以推测出哪个选项是正确的．【解答】解：∵正方形ABCD中，点M是AB的中点，点P在某条线段上匀速运动，若运动的时间为x，点P与点M之间的距离为y，∴如果从A→B，则点P的距离与M的距离由大到0再变大，与函数图象不符，故选项A错误；如果从A→D，则点P的距离与M的距离一直变大，与函数图象不符，故选项B错误；如果从B→D，则点P的距离与M的距离由大变小，再由小变大，并且到D的距离大于到点B的距离，与图象符合，故选项C正确；如果从D→C，则点P的距离与M的距离由大变小，再由小变大，并且到D的距离等于到点C的距离，与图象不符，故选项D错误．故选C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是利用数形结合的思想，分不同情况看函数的图象．二、填空题（本大题包括6个小题，每小题3分，共18分）．11．点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=（x﹣1）2的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1＜y2（填“＞”、“＜”、“=”）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x=1，再根据二次函数的增减性，x＜1时，y随x的增大而减小解答．【解答】解：∵y═（x﹣1）2，∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，∵x2＞x1＞1，∴y1＜y2．故答案为：＜【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．12．在平面直角坐标系中，点P（5，3）关于原点对称的点的坐标为（﹣5，﹣3）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出即可．【解答】解：点P（5，3）关于原点对称的点的坐标为：（﹣5，﹣3）．故答案为：（﹣5，﹣3）．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，得出对应点坐标是解题关键．13．如图，P是正方形ABCD内一点，将△PCD绕点C逆时针方向旋转后与△P′CB重合，若PC=1，则PP′=．【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】根据正方形的性质得CD=CB，∠BCD=90°，再根据旋转的性质得CP=CP′，∠PCP′=∠DCB=90°，则可判断△PCP′为等腰直角三角形，于是PP′=CP=．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴CD=CB，∠BCD=90°，∵△PCD绕点C逆时针方向旋转后与△P′CB重合，∴CP=CP′，∠PCP′=∠DCB=90°，∴△PCP′为等腰直角三角形，∴PP′=CP=．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．14．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a、b的值：a=1，b=2．【考点】根的判别式．【专题】开放型．【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根；进而得出答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=b2﹣4a=0，符合一组满足条件的实数a、b的值：a=1，b=2等．故答案为：1，2．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确求出a，b之间的关系是解题关键．15．在某中学开展的“书香伴我行”读书活动中，为了解九年级300名学生一个月的读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如表所示：册数0 1 2 3 4人数 1 13 16 17 3估计这所中学九年级学生一个月共读书约648册，你的估计理由是50名学生读书的平均册数等于全年级学生读书的册数．【考点】用样本估计总体；加权平均数．【分析】根据图表所给出的数据求出50名学生读书的平均册数，然后乘以九年级的总人数即可．【解答】解：根据题意得：=2.16（册），则这所中学九年级学生一个月共读书约2.16×300=648（册）；估计理由是：50名学生读书的平均册数等于全年级学生读书的册数．故答案为：648，50名学生读书的平均册数等于全年级学生读书的册数．【点评】本题考查了用样本估计总体，关键是根据统计表得出50名学生读书的平均册数，运用了样本估计总体的思想．16．阅读下面材料，在数学课上，老师提出如下问题：已知：线段AB．尺规作图：以线段AB为对角线作一个菱形ADBC．小颢这样操作的：如图：（1）分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D；（2）作四边形ADBC．老师说：“小颢的做法是正确的．”请回答：小颢的作图依据是四边相等的四边形为菱形．【考点】作图—复杂作图；菱形的判定．【专题】作图题．【分析】利用作图可判断AC=AD=BC=BD，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ACBD为菱形．【解答】解：由作图可得AC=AD=BC=BD，所以四边形ACBD为菱形，则小颢的作图依据为四边相等的四边形为菱形．故答案为四边相等的四边形为菱形．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．三、解答题（本大题包括6个小题，每小题5分，共30分）．17．解方程：x2﹣4x+2=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【解答】解：x2﹣4x=﹣2x2﹣4x+4=2（x﹣2）2=2或∴，．【点评】配方法的步骤：形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．18．如图，正方形网格中，△ABC的顶点及点O在格点上．画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′．【考点】作图-旋转变换．【专题】作图题．【分析】利用网格特点和中心对称的性质分别画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′，则可得到△A′B′C′．【解答】解：如图，△A′B′C′为所作；【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．19．若二次函数y=2x2﹣4x+1过点（m，0），求代数式2（m﹣1）2+3的值．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】由于y=2x2﹣4x+1经过点（m，0），则2m2﹣4m+1=0，代数式2（m﹣1）2+3=2m2﹣4m+1+4=0+4=4即可．【解答】解：抛物线y=2x2﹣4x+1经过点（m，0），则2m2﹣4m+1=0，因此2（m﹣1）2+3=2m2﹣4m+1+4=0+4=4．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确将代数式变形是解决本题的关键．20．如图，矩形ABCD．AE=CD，DF⊥BE于F．求证：∠E=∠ADF．【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质．【专题】证明题．【分析】由矩形的性质得出AB=CD，∠BAD=90°，得出∠ABE+∠1=90°，再由已知条件得出AE=AB，由等腰三角形的性质得出∠E=∠ABE，证出∠ADF+∠2=90°，由对顶角相等得出∠ABE=∠ADF，即可得出结论．【解答】证明：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠BAD=90°，∴∠ABE+∠1=90°，∵AE=CD，∴AE=AB，∴∠E=∠ABE，∵DF⊥BE，∴∠DFB=90°，∴∠ADF+∠2=90°，∵∠1=∠2，∴∠ABE=∠ADF，∴∠E=∠ADF．【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角的互余关系；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．21．已知二次函数的图象经过点（1，0），且顶点坐标为（2，5）．求此二次函数的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣2）2+5，然后把（1，0）代入求出a 的值即可．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+5，把（1，0）代入得a+5=0，解得a=﹣5，所以抛物线解析式为y=﹣5（x﹣2）2+5．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．四、解答题（本大题包括6个小题，每小题5分，共30分）．22．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，m）、B（1，1）．（1）求m的值及直线y=bx+c的解析式；（2）直接写出关于x的不等式ax2＜bx+c的解集为﹣2＜x＜1．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】（1）先把B（1，1）代入抛物线y=ax2与求出a的值，故可得出抛物线的解析式，再把点A （﹣2，m）代入抛物线的解析式即可得出m的值，把A、B两点代入直线y=bx+c求出B、C的值即可；（2）直接根据两函数图象的交点即可得出结论．【解答】解：（1）∵B（1，1）在抛物线y=ax2上，∴1=a，∴抛物线的解析式为y=x2．∵点A（﹣2，m）在此抛物线上，∴m=4，∴A（﹣2，4）．∵A、B两点在直线y=bx+c上，∴，解得．∴直线y=bx+c的解析式为y=﹣x+2；（2）∵由函数图象可知，当﹣2＜x＜1时，二次函数的图象在一次函数图象的下方，∴不等式ax2＜bx+c的解集为：﹣2＜x＜1．故答案为：﹣2＜x＜1．【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用函数图象求出不等式的解集是解答此题的关键．23．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠BCD=45°，将CD绕点D逆时针旋转90°至ED，延长AD交EC于点F．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若AD=2，BC=3，求AE的长．【考点】矩形的判定与性质．【分析】（1）根据平行线求出∠B=∠BAF=90°，∠BCD=∠FDC=45°，根据旋转得出DE=DC，∠EDC=90°，根据等腰三角形性质求出∠AFC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出AF和DF，求出DF=EF=1，根据勾股定理求出即可．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∠BCD=45°，∴∠B=∠BAF=90°，∠BCD=∠FDC=45°，∵将CD绕点D逆时针旋转90°至ED，∴DE=DC，∠EDC=90°，∴∠EDF=45°=∠FDC，∴DF⊥CE，∴∠AFC=90°，即∠B=∠BAF=∠AFC=90°，∴四边形ABCF是矩形；（2）解：∵四边形ABCF是矩形，∴AF=BC=3，∴DF=3﹣2=1，∵∠EDF=45°，∠DFE=90°，∴∠DEF=∠EDF=45°，∴DF=EF=1，在Rt△AFE中，由勾股定理得：AE===．【点评】本题考查了平行线的性质，矩形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．24．某商店以每件20元的价格购进一批商品，每种商品售价x元．（1）每件商品的利润是x﹣20元；（2）若每月可卖出（800﹣10x）件，商店每月的总盈利为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出每月的最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据利润=售价﹣进价即可得到结论；（2）根据总盈利=销量乘以每件商品的利润求出y与x之间的函数关系式，然后求二次函数的最大值即可．【解答】解：（1）每件商品的利润=（x﹣20）元，故答案为：x﹣20；（2）根据题意得：y=（800﹣10x）（x﹣20）=﹣10x2+1000x﹣16000，∴y=﹣10（x﹣50）2+9000，∴每月的最大利润是9000元．【点评】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出关于x、y的关系式是解答此题的关键．25．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在BC边上，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE，作DF⊥BC交AB于点F．（1）求证：AB⊥BE；（2）若AC=8，DF=3，求BE的长．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】证明题．【分析】（1）作EH⊥BC于H，如图，根据旋转的性质得∠ADE=90°，DA=DE，再利用等角的余角相等得到∠EDH=∠DAC，则可根据“AAS”证明△ACD≌△DHE得到AC=DH，CD=EH，接着利用∠C=90°，AC=BC和等线段代换可得BH=EH，于是可判断△BEH为等腰直角三角形，所以∠EBH=45°，则可得到∠ABE=90°，然后根据垂直的定义得AB⊥BE；（2）由于DF⊥BC，∠FBD=45°，则可判断△DBF为等腰直角三角形，得到BD=DF=3，再利用BC=AC=8得到CD=5，然后利用（1）中的证明过程得EH=CD=5，△BEH为等腰直角三角形，于是BE=EH=5．【解答】（1）证明：作EH⊥BC于H，如图，∵AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，∴∠ADE=90°，DA=DE，∴∠ADC+∠EDH=90°，而∠ADC+∠DAC=90°，∴∠EDH=∠DAC，在△ACD和△DHE中，∴△ACD≌△DHE，∴AC=DH，CD=EH，∵∠C=90°，AC=BC，∴∠ABC=45°，∵AC=BC=DH，∴CD=BH，∴BH=EH，∴△BEH为等腰直角三角形，∴∠EBH=45°，∴∠ABE=90°，∴AB⊥BE；（2）解：∵DF⊥BC，∠FBD=45°，∴△DBF为等腰直角三角形，∴BD=DF=3，∵BC=AC=8，∴CD=5，由（1）得EH=CD=5，△BEH为等腰直角三角形，∴BE=EH=5．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质．26．有这样一个问题：探究函数y=x2﹣2的图象与性质．小峰根据学习函数的经验，对函数y=x2﹣2的图象与性质进行了探究．下面是小峰的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x2﹣2的自变量的取值范围是任意实数；（2）下表是y与x的几组对应值．x …﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …y …n 3 0 ﹣1 0 ﹣1 0 3 m …求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第四象限内的最低点是（1，﹣1），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：对称轴是y轴．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）由图表可知x是任意实数；（2）根据图表可知当x=4时的函数值为m，把x=4代入解析式即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．【解答】解：（1）任意实数，（2）令x=4，∴y=x2﹣2=42﹣2=16﹣8=8，∴m=8；（3）如图。
2018-2019年北京市人大附中九年级(上)月考数学试卷(10月份)(无答案)
2018-2019学年北京市人大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（8×3＇=24＇）1．如图，以点P 为圆心作圆，所得的圆与直线l 相切的是（ ）A ．以PA 为半径的圆B ．以PB 为半径的圆C ．以PC 为半径的圆D ．以PD 为半径的圆2．抛物线y=（x-2）2+1的对称轴是（ ）A ．x=2B ．x=-2C ．x=1D ．x= -13．下列k 的值中，使方程x2-4x+k=0有两个不相等实数根的是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．利用圆内接正多边形，可以设计出非常有趣的图案，下列图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．将关于x 的方程x 2-4x-2=0进行配方，正确的是（ ）A ．（x-2）2=2B ．（x+2）2=2C ．（x+2）2=6D ．（x-2）2=66．如图，A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB=40°，点D 在∠ACB上，M 为半径OD 上一点，则∠AMB 的度数不可能为（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85° 6题7．在学习了《圆》这一童节之后，甲、乙两位同学分别整理了一个命题：甲：相等的弦所对的圆心角相等； 乙：平分弦的直径垂直于这条弦．下面对这两个命题的判断，正确的是（ ）A ．甲对乙错B ．甲错乙对C ．甲乙都对D ．甲乙都错8．下表时二次函数y=ax 2+bx+c 的x ，y 的部分对应值：x … －1212 1 32 2 52 … y … 14 －1 －74 m －74 －1 n … 则对于该函数的性质的判断：①该二次函数有最大值；②不等式y ＞-1的解集是x ＜0或x ＞2；③方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别位于-12＜x ＜0和2＜x ＜52之间；④当x ＞0时，函数值y 随x 的增大而增大；其中正确的是（ ）A ．②③B ．②④C ．①③D ．③④二、填空题（8×3＇=24＇）9．一元二次方程2x2+x-2=0的一次项系数为10．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD=8，OE=3，则⊙O 的半径为11．请写出一个开口向上，且与y 轴交于（0，-1）的二次函数的解析式12．若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx 的函数值为13．点A （-3，y1），B （2，y2）在抛物线y=x2-5x 上，则y 1 y 2．（填“＞”，“＜”或“=”）14．为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，并测量出AB=3cm ，这张光盘的半径是 cm 10题14题15题16题16．如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示，请回答：（1）线段BC的长为cm．（2）当运动时间t=2.5秒时，P、Q之间的距离是cm．三、解答题（12×6＇=72＇）17．解方程：x（2x+1）=4x+218．如图，等边ΔABC的边长为6，点D是线段BC上的一点，CD=4，以AD为边作等边ΔADE，连接CE．求CE的长．19．已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不等的实数根；（2）若方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1=3x2，求m的值．⌒中点，若∠BAC=70°，求∠C．20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是BC21．如图，园林小组的同学用一段长16米的篱笆围成一个一边基墙的矩形菜园ABCD，墙的长度为9米，设AB的长为x米，BC的长为y米．（1）①写出y与x的函数关系是：；②自变量x的取值范围是；（2）园林小组的同学计划使矩形菜园的面积为30平方米，试求此时边AB的长．22．在附中中心花园的草坪上，有一些自动旋转喷泉水装置，它的喷灌区域是一个扇形，小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图，如图，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，喷灌起终点A，B两点的距离为12米，求这种装置能够喷的草坪面积．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n与x轴正半轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）利用直尺和圆规，作出抛物线y=x2+mx+n的对称轴（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P为抛物线对称轴上的一点，则PA+PC的最小值为24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM，AD⊥CM于点D，交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=AO=2，求线段CD的长．25．在生活中，有很多函数并不一定存在解析式，对于这样的函数，我们可以通过列表和图象来对它可能存在的性质进行探索，例如下面这样一个问题：x …-5 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 5 …y … 1.969 1.938 1.875 1.75 1 0 -2 -1.5 0 2.5 …进行了探究．下面是小孙同学的探究过程，请补充完整；（1）如图，在平面之间坐标系xOy中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数的图象：（2）根据画出的函数图象回答：①x=-1时，对应的函数值y的为（答案不唯一）；②若函数值y＞0，则x的取值范围是；③写出该函数的一条性质（不能与前面已有的重复）：（答案不唯一）．26．已知关于x的二次函数y=ax2-（2a+2）x+b（a≠0）在x=0和x=6时函数值相等．（1）求a的值；（2）若该二次函数的图象与直线y=-2x的一个交点为（2，m），求它的解析式：（3）在（2）的条件下，直线y=-2x-4与x轴，y轴分别交于A，B，将线段AB向右平移n（n＞0）个单位，同时将该二次函数在2≤x≤7的部分向左平移n个单位后得到的图象记为G，请结合图象直接回答，当图象G与平移后的线段有公共点时，n的取值范围．27．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，连接BD，AE⊥BD于点E．（1）记△ABC得外接圆为⊙O．①请用文字描述圆心O的位置；②求证：点E一定在⊙O上．（2）将射线AE绕点A顺时针旋转45°后，所得到的射线与BD延长线交于点F，连接CF，CE．①依题意补全图形；②用等式表示线段AF，CE，BE的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，对于图形G，若存在一个正方形γ，这个正方形的某条边与x轴垂直，且图形G上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形γ为图形G的一个正覆盖．很显然，如果图形G存在一个正覆盖，则它的正覆益有无数个，我们将图形G的所有正覆盖中边长最小的一个，称为它的紧覆盖，如图所示，图形G为三条线段和一个圆弧组成的封闭图形，图中的三个正方形均为图形G的正覆盖，其中正方形ABCD就是图形G的紧覆盖．（1）对于半径为2的⊙O，它的紧覆盖的边长为（2）如图1，点P为直线y=-2x+3上一动点，若线段OP的紧覆盖的边长为2，求点P的坐标．（3）如图2，直线y=3x+3与x轴，y轴分别交于A，B，①以O为圆心，r为半径的⊙O与线段AB有公共点，且由⊙O与线段AB组成的图形G的紧覆益的边长小于4，直接写出r的取值范围；②若在抛物线y=ax2+2ax-2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆益的边长为3，直接写出a的取值范围．。
2018-2019学年北京市人大附中九年级(上)月考数学试卷
2018-2019学年北京市人大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（8×3＇=24＇）1．如图，以点P 为圆心作圆，所得的圆与直线l 相切的是（ ） A ．以PA 为半径的圆 B ．以PB 为半径的圆 C ．以PC 为半径的圆 D ．以PD 为半径的圆 2．抛物线y=（x-2）2+1的对称轴是（ ）A ．x=2B ．x=-2C ．x=1D ．x= -13．下列k 的值中，使方程x2-4x+k=0有两个不相等实数根的是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．利用圆内接正多边形，可以设计出非常有趣的图案，下列图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．将关于x 的方程x 2-4x-2=0进行配方，正确的是（ ） A ．（x-2）2=2 B ．（x+2）2=2 C ．（x+2）2=6 D ．（x-2）2=66．如图，A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB=40°，点D 在∠ACB 上，M 为半径OD 上一点，则∠AMB 的度数不可能为（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85° 6题 7．在学习了《圆》这一童节之后，甲、乙两位同学分别整理了一个命题： 甲：相等的弦所对的圆心角相等； 乙：平分弦的直径垂直于这条弦． 下面对这两个命题的判断，正确的是（ ）A ．甲对乙错B ．甲错乙对C ．甲乙都对D ．甲乙都错 8．下表时二次函数2则对于该函数的性质的判断：①该二次函数有最大值；②不等式y ＞-1的解集是x ＜0或x ＞2；③方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别位于-12＜x ＜0和2＜x ＜52之间；④当x ＞0时，函数值y 随x 的增大而增大；其中正确的是（ ）A ．②③B ．②④C ．①③D ．③④ 二、填空题（8×3＇=24＇）9．一元二次方程2x2+x-2=0的一次项系数为10．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD=8，OE=3，则⊙O 的半径为 11．请写出一个开口向上，且与y 轴交于（0，-1）的二次函数的解析式 12．若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx 的函数值为 13．点A （-3，y1），B （2，y2）在抛物线y=x2-5x 上，则y 1 y 2．（填“＞”，“＜”或“=”）14．为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，并测量出AB=3cm，这张光盘的半径是cm10题14题15题16题15．如图，网络格上正方形小格的边长为1，图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，则在1区～4区中，点P′所在的单位正方形区域是（选填区域名称）16．如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示，请回答：（1）线段BC的长为cm．（2）当运动时间t=2.5秒时，P、Q之间的距离是cm．三、解答题（12×6＇=72＇）17．解方程：x（2x+1）=4x+218．如图，等边ΔABC的边长为6，点D是线段BC上的一点，CD=4，以AD为边作等边ΔADE，连接CE．求CE的长．19．已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不等的实数根；（2）若方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1=3x2，求m的值．⌒中点，若∠BAC=70°，求∠C．20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是BC21．如图，园林小组的同学用一段长16米的篱笆围成一个一边基墙的矩形菜园ABCD，墙的长度为9米，设AB的长为x米，BC的长为y米．（1）①写出y与x的函数关系是：；②自变量x的取值范围是；（2）园林小组的同学计划使矩形菜园的面积为30平方米，试求此时边AB的长．22．在附中中心花园的草坪上，有一些自动旋转喷泉水装置，它的喷灌区域是一个扇形，小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图，如图，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，喷灌起终点A，B两点的距离为12米，求这种装置能够喷的草坪面积．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n与x轴正半轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C．（1）利用直尺和圆规，作出抛物线y=x2+mx+n的对称轴（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P为抛物线对称轴上的一点，则PA+PC的最小值为24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM，AD⊥CM于点D，交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=AO=2，求线段CD的长．25．在生活中，有很多函数并不一定存在解析式，对于这样的函数，我们可以通过列表和图象来对它可能存在的性质进行探索，例如下面这样一个问题：数的图象与性质进行了探究．下面是小孙同学的探究过程，请补充完整；（1）如图，在平面之间坐标系xOy中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数的图象：（2）根据画出的函数图象回答：①x=-1时，对应的函数值y的为（答案不唯一）；②若函数值y＞0，则x的取值范围是；③写出该函数的一条性质（不能与前面已有的重复）：（答案不唯一）．26．已知关于x的二次函数y=ax2-（2a+2）x+b（a≠0）在x=0和x=6时函数值相等．（1）求a的值；（2）若该二次函数的图象与直线y=-2x的一个交点为（2，m），求它的解析式：（3）在（2）的条件下，直线y=-2x-4与x轴，y轴分别交于A，B，将线段AB向右平移n （n＞0）个单位，同时将该二次函数在2≤x≤7的部分向左平移n个单位后得到的图象记为G，请结合图象直接回答，当图象G与平移后的线段有公共点时，n的取值范围．27．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，连接BD，AE⊥BD 于点E．（1）记△ABC得外接圆为⊙O．①请用文字描述圆心O的位置；②求证：点E一定在⊙O上．（2）将射线AE绕点A顺时针旋转45°后，所得到的射线与BD延长线交于点F，连接CF，CE．①依题意补全图形；②用等式表示线段AF，CE，BE的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，对于图形G，若存在一个正方形γ，这个正方形的某条边与x轴垂直，且图形G上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形γ为图形G的一个正覆盖．很显然，如果图形G存在一个正覆盖，则它的正覆益有无数个，我们将图形G的所有正覆盖中边长最小的一个，称为它的紧覆盖，如图所示，图形G为三条线段和一个圆弧组成的封闭图形，图中的三个正方形均为图形G的正覆盖，其中正方形ABCD就是图形G的紧覆盖．（1）对于半径为2的⊙O，它的紧覆盖的边长为（2）如图1，点P为直线y=-2x+3上一动点，若线段OP的紧覆盖的边长为2，求点P的坐标．（3）如图2，直线y=3x+3与x轴，y轴分别交于A，B，①以O为圆心，r为半径的⊙O与线段AB有公共点，且由⊙O与线段AB组成的图形G的紧覆益的边长小于4，直接写出r的取值范围；②若在抛物线y=ax2+2ax-2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆益的边长为3，直接写出a的取值范围．。
北京市人大附中九年级(上)月考数学试卷(12月份)
23．
；24．1：1：2；DH=BF+CG；BF=DH+CG；1＜y≤2；25．5；7； ﹣
；﹣ ；
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22．（5 分）如图 1，给定锐角三角形 ABC，小明希望画正方形 DEFG，使 D，E 位 于边 BC 上，F，G 分别位于边 AC，AB 上，他发现直接画图比较困难，于是他 先画了一个正方形 HIJK，使得点 H，I 位于射线 BC 上，K 位于射线 BA 上，而 不需要求 J 必须位于 AC 上．这时他发现可以将正方形 HIJK 通过放大或缩小得 到满足要求的正方形 DEFG．
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特别地，权重为 1、1 的直角距离，又称为等权重距离，则记为 d（M，N），例
如：d（（1，0），（4，7））=|1﹣4|+|0﹣7|=10．
根据以上定义，回答以下问题：
（1）d（（0，0），（﹣3，﹣2））=
，d3，2（（0，0），（﹣1，2））=
．
（2）P 为直线 y=2x+4 上一动点，求 OP 的等权重距离的最小值及此时 P 点的坐
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五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）
23．（7 分）已知关于 x 的二次函数 y1=x2﹣（m+3）x+m+2，y2=﹣x2+bx+c． （1）求证：方程 x2﹣（m+3）x+m+2=0 必有实根；
（2）若 m 为整数，y1 的图象与 x 轴有一个交点的横坐标 a 满足 5＜a＜7，求 m 的值；
（3）在第（2）问的条件下，小明利用函数图象解关于 x 的不等式 y1＜y2，正确 解得该不等式的解集为 3＜x＜4，求 y2 的解析式．
最新-北京市2018学年度九年级数学第一学期月考试题 新
北京市2018—2018学年度第一学期九年级数学月考试卷1.关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为（ ）．A. 0.5 B . 1 C. -1 D. 1或-1 2. 下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( )A ．21xy x += B ．220x y +-= C ．22y ax -=- D ．2210x y -+=3.将抛物线22y x =向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线表达式是（ ）． A. 22(1)3y x =-- B . 22(1)3y x =++C. 22(1)3y x =-+D. 22(1)3y x =+-4. 抛物线1C ：21y x =+与抛物线2C 关于x 轴对称，则抛物线2C 的解析式为（ ）A ．2y x =-B ．21y x =-+C ．21y x =-D ．21y x =--5. 如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随 自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥3 B ．x ≤3 C ．x ≥1 D ．x ≤16. 若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ．1k >-且0k ≠C ．1k <D ．1k <且0k ≠ 7. 抛物线217()24y x =++上三点（－2，a ）、(－1，b)、（3，c ），则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ． b ＞a ＞cC ． c ＞a ＞bD ．无法比较大小 8．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，下列结论：班级 姓名 学号密封 线 内 不得答 题①0<++c b a ;② 0>+-c b a ; ③0<abc ; ④a b 2=；⑤△0< 正确的个数是 ( )A ． 4 个B ． 3个C ． 2 个D ． 1个二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．抛物线m x x y +--=22，若其顶点在x 轴上，则=m ．10．关于x 的一元二次方程2=--n x x 第_____象限.11．抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 值为12．如图所示，A 、B 、C 是抛物线y ＝ax 2根据图中所绘位置可得a_____0，（用“＞”或“＜”连接）三、解答题（本题共50分，15题813. 解方程：2280x x +-=14. 已知：如图，四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B =30°，AD =CD ．求证：BD 2=AB 2＋BC 2．15. 已知二次函数y= x 2＋4x+3.（1）用配方法将y= x 2＋4x+3化成y =a (x -h ) 2 +k 的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； 列表（3）直接写出当x 为何值时，y >0．答：_________________ （4）当30x -<<时，y 的取值范围是___________________16．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 为AB 中点，DE 、DF 分别交AC 于E ，交BC于F ，且DE ⊥DF ．(1)如果CA =CB ，求证：AE 2＋BF 2=EF 2；(2)如果CA ＜CB ，(1)中的结论还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．17. 若二次函数32++=bx ax y 的图象经过（1，0）、（-1，8）两点，求此二次函数的解析式.18. 已知二次函数c bx ax y ++=2，自变量x 的部分取值及对应的函数值y 如下表所示：（1（2）求出这个二次函数图象的顶点坐标.19. 某水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10元， 每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每 涨价1元，日销售量将减少20千克.（1）如果市场每天销售这种水果盈利了 6 000元，同时顾客又得到了实惠．．．．．．．．．．，那么 每千克这种水果涨了多少元？（2）设每千克这种水果涨价x 元时（0＜x ≤25），市场每天销售这种水果所获利 润为y 元.若不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多 少元时，市场每天销售这种水果盈利最多？最多盈利多少元？四、解答题（本题共22分，20题7分，21题8分，22题7分） 20. 已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．21. 已知抛物线y=x 2+(2n-1)x+n 2-1 (n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式； (2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.22. 已知在平面直角坐标系中，点C （0，2），D （3，4），在x 轴正半轴上有一点A ，且它到原点的距离为1.（1）求过点C、A、D的抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一个交点为B，求四边形CABD的面积；（3）把（1）中的抛物线先向左平移一个单位，再向上或向下平移多少个单位能使抛物线与直线AD只有一个交点？。
(一)统计人大附中初三第一学期数学统一测评(一)
人大附中初三第一学期数学统一测评（一）f途择题《每题4分，共3卫浙）】•下列调查中.诚35方式选择正勰的是（g> L4为了了解一批新型璋瞻U枢的使用寿食,选择全面谟查队为了了解某天的空气质摭状I5L选择抽样调查U为了了耕全国观众对春节联双晚会的陶意程度.逸择全面浦会队为了r的"抑七”飞船的零部件是否满足安全发射的条件.逸择抽ttitift3-为了了航-批例所能拳受购量大电流.从中指取100槌保陛丝进行混忒-这个向理的ff*fe（ S ^A.就扭扰幽授B.逮批保险丝所能承受的最大电流C 抽出的i（»相保陪丝D, 1003*要调查某次学生的抵日运动下观裁提收集方式中最合理的是（P ）.A.调族该校艺术团学生每日的隹动址B.调查核校初土学上蛰日的起动毋C.调汽该校舛生您臼的运劫澈D.随机调进夺学校食堂就餐的I0Q名学生的运动址4.栗反映某市一天内气温的变化情!R5X采用C B》・A.条涝统计图B-折戕统计图C-琮彩统计图 D.骚敖分布EL方图5.—个睿京为即的样本最大值是14&最小位是50,最粗距为10.则可以先成（卜）.A. 1。
组B. 9 组C, &甄 D. 7 蜓6.某市2009年初三悦掀专淇多褂的满，分值如F表所示…若将农中务科濡分按比例垸制成翌形堕适行统诗，风么农示数学孕^的用醪的股心却是/ P, >.D. I50ZS,，下表为某簸学攵9商的猊故分布表.某同学相把下表得出了儿个缁论「①该玻共遍50名学生；真也嵩不营祯炭m的学生在接魂中所占的比揭走16游；③谖垢钥而最踮段的学生成为£人；④因为身需在口汰也以妙呼生此掂扃不矽165cm的*生步，所以该成的男生多7■女生.这些A. 1个B. 2个 C 3个 D. 4个B.昧搏为75次/分钟的人数占该/体检人数的"10C.豚搏高于7S次/分仲的人数不可此低于该班体检人敏的一#D.参加体检的学生中有70%的人脉舞不到80次/分钟二、填空恩（第9建和第10 JK每空2分.其余每空4分.共32分）9.已知全班有40位学生.他们有的步行.有的骑车.还有的乘车来上学，根据以下已知值息完旋统计袈』上学方式骑车乘车划记正正正正iF止正正—频数9百分比40%10.罗进行下列iPiff：①了解全班同学铮周体育取嫉的时网②瑾绶中鱼的数5 ＜2）7解市场上某膊食血防坡刑含贝是否符合国家枷：④了解地昭区各为夷户的M情况；⑤了解保险丝所网受的用大淹.其中话合使用全面调查的4 —.适台便用抽样调查的______ ___11.空y是由沙利气体混台而出的.为了简明掘票地介绍空气的说成情况，较好地描述数据.最好使用___________ 场计既12.某市为了了解初三年级学生的身体素质情况,随机抽取了S0C名初三年级学生送行检测. 发现其中身体素乐速标的有450人.请你估计该市6万名初三年愎学生中.身体素质达标的大约有 g 万人13.右图表示某班将加深打葬的总人多7曾缱的人敬占30%,表示蹈程的扇形00心角是60度广宙程和打西的X数比括12茶么参加其他活动的人数占忌人数的百分比是’・14.2009年某市春季房交会期何，黛会晌参加本次盼交会的5万名消责者进行了嗣机同卷调苞共发放1000份调行何卷.并全05收回. 根据调近间卷,将消或者年收入的情况整理后.制成衰格如下，年收入（万元）246一10被调15的消费者Sdft （人）20050020070 130故如年收入x万元的消费者隹哆负担总价为（10x+30＞万元的房鼠而阴譬坏W L5万元/平米. 那么估计参加房交会的泊#者中,能够负担不小于50平米房用的"/＞、）％.三、解答欢〈15距6分，16-18每题10分，共36分〉15.谀堂上，老的布置给您个小组一个任务！用抽样调查豹方法估计全圻阈学的平均身高.坐在数室圾后面的小强立即向他周用的三名同学做黄袤.计算出连自己在内四个人的平均身高后就举手向老师示意己经完成任务T.（1）你认为小翌所送用的这种抽样调查的方式合适吗？为什么？（2）如果是你，你打算如何进行调卷？结舍你自己班级的实际情况说说看.咨⑴16. 老师想知道全班同学每夭在上学的路上要花多少时间，于是让大家将每天来校上课的单 程肘间写好交上来.下面是全班30名学生单理所花的时何(早位：分)，成胡® y>®丝> &2必g 应(20)W 坨“忡2Q)劣、流3以⑴ 请使用划记法自行列衰整理寂据Y(2) 谓画出学生上学单程所花时何(5分、10分.15分……)出现次敛的期统沈岛(3) 根探调查靖果，每天单科20分钟制校的学生占全班学生的百分比差一M ： (1) -一 ⑴诺在上表中补全百分比〈百分号前的敷字保留到小散点后一位以 ⑵谙你估计，一年中该布空气质量级别为 的天数最多，一年(365天)空气质扯级 别为优利良的夭数共约有_______________________________ 夭〈保留整致).. 】8•小赵在学校纸织的社会调查活动中负贺了解他所店住的小区400户居民的家庭月收入情 况・他从中皿机调赍了 40户的收入情况(收入取整敷,单位：元).并绘制了如下的履数分 布表和频敷分布亢方图. 根据队上提供的信息.解答下列问迅⑴补全笫数分布表： (2) 补全须敷分布直方图：(3) 绞制相应的烦敷分布折线图1(4) 该小区家庭属于中等收入(不低于3000元H 不足灿0元〉的大的存空气质量级别 优轻度污染中度污染 重度污染 天数 7 135 3 2 百分比 43 3,》_ 妍％ 荫％ I Q ^ Uizd — 分纽绷敷 百分比 2000Cx<30002 5%3000 Wx <400064000^x<5000 45%__5000$x<6000 96000^x<70007000<x<80002 5场 合计4。