第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
及三角函数模型的简单应用
基础知识 自主学习
要点梳理
1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简
图时，要找五个特征点.如下表所示.
x
0
2
3 2
2
x
0
2
3
2
2
y
Asin(x )
0
A
0 -A
0
2.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)
6 坐标缩短到原来的
1
倍（纵坐标不变）
C.向左平移
3 个单位长度，再把所得各点的横
6 坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
D.向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐
6 标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
解析 将y=2sin x的图象向左平移 个单位得到
6
y=2sin (x )的图象，将y=2sin (x )图象上各
表示一个振动时，A叫做 振幅 ，T 2 叫做
周期
，f
1 T
叫做 频率，ωx+φ叫做 相位
，
φ叫做 初相 .
4.三角函数的图象和性质.
5.三角函数模型的应用 (1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象. (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函 数模型. (3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点 图进行函数拟合，从而得到函数模型.
22
2
图象如图所示，直线 y 1 与该
图象有两个交点.
2
题型分类 深度剖析
题型一 作y=Asin(ωx+φ)的图象
【例1】
已知函数
y
2sin(2x
第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
)
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2π 解析：最小正周期为 ＝ 解析：最小正周期为T＝ π ＝6； ； 3 1 π 由2sin φ＝1，得sin φ＝2，φ＝6. ＝ ， ＝ ＝
答案： 答案： A
返回
3．将函数y＝sin x的图象向左平移 ≤φ＜2π)个单位后，得到函 ．将函数 ＝ 的图象向左平移φ(0≤ ＜ 个单位后 个单位后， 的图象向左平移 π － 的图象， 数y＝sin x－6的图象，则φ等于 ＝ 等于 ( ) 11π π B. 6 A.6 7π 5π C. 6 D. 6
返回
2．平移变换中的平移量 ． |φ| 从y＝sin ωx(ω>0)到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的变换中平移量为 ω ＝ 到 ＝ ＋ 的变换中平移量为 (φ>0时，向左；φ<0时，向右 而不是 平移的距离是针对 的 时 向左； 而不是|φ|.平移的距离是针对 时 向右)而不是 平移的距离是针对x的 变化量而言的． 变化量而言的．
解析： ＝ 解析：y＝cos
π 2x＋ ＝cos ＋6
π 2x＋ 的图象，只需将函数 ＋ 6 的图象，
( π B．向右平移12个单位 ． π D．向左平移12个单位 ．
π ＋ 2x＋12.
)
答案： 答案： D
返回
2．(2011·北京西城区期末 函数 f(x)＝sin xcos ． 北京西城区期末)函数 北京西城区期末 ＝
返回
返回
一、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 ＝ ＋ 的有关概念 y＝Asin(ωx ＝ ＋φ)(A>0， ， ω>0)， ， x∈[0，＋ ∈ ，＋ ，＋∞) 表示一个振 动量时 A
2π T＝ ω ＝
ω 1 f＝ T ＝ 2π ωx＋φ ＝
第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
得
π 5sin6＋φ＝5， ，
π π π ∴ ＋φ＝2kπ＋ ，∴φ＝2kπ＋ (k∈Z)． ＝ ＋ ＝ ＋ ∈ ． 6 2 3 π 又|φ|<π，∴φ＝ . ， ＝ 3
法三：(起始点法 法三： 起始点法) 起始点法 的图象一般由“ 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象一般由“五点法”作出，而起 ＝ ＋ 的图象一般由 五点法”作出， 始点的横坐标 x 正是由 ωx＋φ＝0 解得的．故只要找出起 ＋ ＝ 解得的． π 始点横坐标 x0，就可以迅速求得角 φ.由图象易得 x0＝－ ， 由图象易得 2 2 π π ＝－ωx ∴φ＝－ 0＝－ ×－2 ＝ . ＝－ 3 3
3 3 ＋ 2 sin4πcosx＋cos4πsinx ＝
2
3 y＝ 2sinx 的图象向左平移 π 个长度单位． 个长度单位． ＝ 4
答案： 答案：B
3．将函数 y＝sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后，得 ． 个单位后， ＝ ≤ 个单位后 π 的图象， 到函数 y＝sin(x－ )的图象，则 φ 等于 ＝ － 的图象 6 π A. 6 7π C. 6 5π B. 6 11π D. 6 ( )
答案： 答案：B
2．函数 y＝cosx－sinx 的图象可由函数 y＝ 2sinx 的图象 ． ＝ － ＝ ( π A．向左平移 个长度单位 ． 4 π C．向右平移 个长度单位 ． 4
解 析 ： y ＝ cosx － sinx ＝
3 ＋ sinx＋4π，可由
)
3π B．向左平移 个长度单位 ． 4 3π D．向右平移 个长度单位 ． 4
第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
2π 2π 3cos －sin 3 3
3 ＝10. 2
故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. (2)因为 f(t)
＝10－2
3 π 1 π cos t＋ sin t 2 12 2 12
π π ＝10－2sin12t＋3 ，
数学
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m 个单位 y 轴对
长度后，得到
1 1 π y＝sin2x＋2m＋6的图象，此图象关于
1 π π 2π 称．则2m＋6＝kπ＋2(k∈Z)；m＝2kπ＋ 3 (k∈Z)，又 m＞0， 2π ∴m 的最小值为 3 . 2π 答案： 3
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函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 及三角函数模型的简单应用
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函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 及三角函数模型的简单应用
结束
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函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
基础盘查一 2 3 4π π －4
基础盘查二
π 7π 13π ，0，(2π，2)， ，0，(5π，－2)， ，0 2 2 2
结束
3．解析：将函数
π π y＝tan ωx＋4 (ω＞0)的图象向右平移 6个单位长 π ωπ y＝tanωx＋4－ 6 (ω＞0)的图象，与函数
度后，得到函数
y k
π π ωπ π ＝tan ωx＋6 的图象重合，所以 4－ 6 ＝6＋kπ(k∈Z)，所以
1 ＝0 时，ω 的最小值为2. 1 答案：2
数学
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函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 精讲附配套练习
第四节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[考纲传真] 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示3.由y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象先平移后伸缩先伸缩后平移⇓⇓1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( )(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2016·四川高考)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向上平行移动π3个单位长度 D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．]3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图3-4-1，则ω＝( )图3-4-1A ．5 B.4 C.3D.2B [由图象可知，T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4， 所以T ＝π2＝2πω，所以ω＝4.]4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4 B.π4 C.0D.－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.] 5．(教材改编)电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的初相、周期分别是________．π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I 变化的初相是π3，周期T ＝2π100π＝150.]已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ [解] (1)列表取值：(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象.12分[规律方法] 1.变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位．2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．[变式训练1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．(1)D (2)2π3 [(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. (2)因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象．]图3-4-2如图3-4-2所示，则( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2(1)A (2)D [(1)由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.][规律方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[变式训练2] (2017·石家庄一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图3-4-3所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )图3-4-3A ．－62 B.－32 C.－22D.－1D [由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z )，即k ＝1，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D.](2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪π2－x ·cos ⎝ ⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解](1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z.2分f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .8分设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.12分[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．[变式训练3] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.【导学号：01772119】(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．[解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.3分因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.5分(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6分当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.10分故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.12分数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，2分又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.4分当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.6分 (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3， 故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.9分又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18. 故在10时至18时实验室需要降温.12分[规律方法] 1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4] (2015·陕西高考)如图3-4-4，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图3-4-4A ．5 B.6 C.8D.10C [根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.][思想与方法]1．由图象确定函数解析式由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点．2．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．[易错与防范]1．要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域．课时分层训练(七) 二次函数与幂函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )【导学号：01772040】A.12 B.1 C.32D.2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3 B.13 C.7D.5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2 B.m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D.m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )【导学号：01772041】A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则ca ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B.1 C.2D.－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 二、填空题6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0， 所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎨⎧f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎨⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.] 7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________.【导学号：01772042】P ＞R ＞Q [P ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1， 由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3， 又a ≥2，所以2≤a ≤3.] 三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)， 并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.12分10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分 ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.5分(2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；8分 ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )【导学号：01772043】A ．恒大于0 B.恒小于0 C ．等于0D.无法判断A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数． 又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ， 又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0， 又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． [解] (1)由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.2分所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].6分(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1，即k 的取值范围是(－∞，1).12分第三节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( )(3)x >0，y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.]3．(2016·安徽合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7 B.8 C ．9D.10C [∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号，故选C.]4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) 【导学号：01772209】A ．1＋ 2 B.1＋ 3 C ．3D.4C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.]5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2.25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， 则y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.](1)(2015·湖南高考)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2 C ．2 2D.4(2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是__________．(1)C (2)3 [(1)由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.(2)由x 2＋2xy －3＝0得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.] [规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．[变式训练1] (1)(2016·湖北七市4月联考)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b ≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10 B.9 C ．8D.7(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为__________．(1)B (2)－4 [(1)∵2a ＋1b ＝2(2a ＋b )a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号．又2a ＋1b ≥m ，∴m ≤9，即m的最大值等于9，故选B.(2)∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·mn ＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4.]已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. [证明] (1)1a ＋1b ＋1ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4，3分∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).5分(2)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋a b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，10分 ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).12分 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ， 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，10分故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9.12分 [规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[变式训练2] 设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2.【导学号：01772210】[证明] 由于a ，b 均为正实数，所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab ，3分 当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立，又因为2ab ＋ab ≥22ab ·ab ＝22，当且仅当2ab ＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab ＋ab ≥22，8分当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号.12分制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．[解] (1)设所用时间为t ＝130x (h)， y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100].2分 所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x＋2×130360x ，x ∈[]50，100. (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[]50，100).5分(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥26 10， 当且仅当130×18x＝2×130360x ， 即x ＝1810，等号成立.8分故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.12分[规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[变式训练3]某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解](1)由题意得，y＝100＋0.5x＋(2＋4＋6＋ (2x)x，即y＝x＋100x＋1.5(x∈N*).5分(2)由基本不等式得：y＝x＋100x＋1.5≥2x·100x＋1.5＝21.5，8分当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.12分[思想与方法]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．2．基本不等式的两个变形：(1)a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．(2)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．[易错与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．课时分层训练(七) 二次函数与幂函数A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( ) 【导学号：01772040】A.12B.1C.32D.2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B.13C.7D.5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m 4，由函数f (x )的增减区间可知m 4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B.m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D.m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )【导学号：01772041】A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则c a ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )A ．－1B.1C.2D.－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得．∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧ －a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 二、填空题6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0，所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎨⎧f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎨⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.] 7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________. 【导学号：01772042】P ＞R ＞Q [P ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1，由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3.]三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)，∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎨⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.12分 10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.5分 (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；8分②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1. 12分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )【导学号：01772043】A ．恒大于0B.恒小于0C ．等于0 D.无法判断A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意，∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数．又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0，又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2， 故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]。
数学配套：第3章第4节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及3角函数模型的简单应用
第四节函数y＝A sin（ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用【考纲下载】1．了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义;能画出y＝A sin（ωx＋φ）的图象，了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin（ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示:x－错误!－错误!＋错误!错误!错误!－错误!错误!ωx＋φ0错误!π3π22πy＝A sin（ωx＋φ）0A0－A02．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin（ωx＋φ)(A>0,ω〉0）的图象的步骤法一法二步骤1错误!错误!错误!横坐标变为,原来的错误!倍错误!错误!得到y＝A sin(ωx＋φ）的图象步骤4错误!错误!横坐标变为,原来的错误!倍错误!步骤2向左（右）平移,错误!个单位长度错误!步骤3错误!3．函数y＝A sin（ωx＋φ）(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))的物理意义(1）振幅为A.(2)周期T＝错误!.(3）频率f＝1T＝错误!。
（4)相位是ωx＋φ.(5）初相是φ。
1．用五点法作y＝A sin(ωx＋φ)的图象，应首先确定哪些数据？提示：先确定ωx＋φ，即先使ωx＋φ等于0，错误!，π，错误!，2π,然后求出x的值．2．在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位长度个数为什么不一样？提示:可以看出，前者平移｜φ｜个单位长度，后者平移错误!个单位长度，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．1．y＝2sin错误!的振幅、频率和初相分别为( )A．2,错误!，－错误!B．2，错误!,－错误!C．2，错误!,－错误!D．2，错误!，－错误!解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin错误!的振幅为2，周期为π，频率为错误!,初相为－错误!.2．函数y＝cos x（x∈R)的图象向左平移错误!个单位长度后，得到函数y＝g（x)的图象，则g(x)的解析式应为g（x)＝( ）A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x解析：选A 将y＝cos x向左平移错误!个单位长度得y＝cos错误!＝－sin x.3．将函数y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度后得到的函数图象的对称轴是( ）A．x＝错误!＋错误!,k∈Z B．x＝错误!＋错误!，k∈ZC．x＝错误!－错误!，k∈Z D．x＝kπ－错误!，k∈Z解析：选B y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度,得y＝sin 错误!＝sin错误!。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及角函数模型的简单应用 2019高考数学 考点精讲
因为 y＝sin x 的对称中心为(kπ，0)，k∈Z， π kπ π 令 2x＋6＝kπ，k∈Z，解得 x＝ 2 －12，k∈Z， 即
kπ π y＝g(x)图象的对称中心为 2 －12，0，k∈Z， π 最近的对称中心为－12，0.
其中离原点 O
突 破 点
一
突
点
一
突
破
点
二
课时达标检测
函数 y ＝ A sin(ω x ＋ φ ) 的图象及三角函数模型的简单应用
结
束
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 1.“五点法”画图
(1)y＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)， π 3π ，1，(π，0)， ，－1，(2π，0)，图象如图①所示． 2 2
(2)y＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)， π 3π ，0，(π，－1)， ，0，(2π，1)，图象如图②所示． 2 2
突 破 点 一 突 破 点 二 课时达标检测
函数 y ＝ A sin(ω x ＋ φ ) 的图象及三角函数模型的简单应用
结
束
突破点(一)
基础联通
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
抓主干知识的“源”与“流”
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)， 振幅 A 周期 频率 相位 初相 φ
2π 1 ω ωx ＋φ ______ f＝T＝ ω 2π T＝____
突
破
点
一
突
破
点
二
课时达标检测
第4节函数y=Asin(wx+φ)图像及三角函数模型的简单应用
又 x= π 是其图象的一条对称轴, 6
∴f π =4 或 f π =0.
6
6
代入验证可知选项 B 符合.故选 B.
确定 y=Asin(ωx+ )+b(A>0,ω>0)
的步骤和方法:
(1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m,
M m M m
则 A=
,b=
2
则x
→x+
,则顶点
π ,2
→ π
,2 ,
2
4 3
得 =- π ,f(x)=2sin 2 x π ,
6
12
∴f(0)=-1.故选 B.
法二 由题图知 A=2,且 f π 3
=2sin 2π =2,
2 3
3
所以g(x)在源自0,5π 24
上的值域为[-3,6].
(1)熟记由 y=sin x 的图象变换到函
数 y=Asin(ωx+ )图象的方法步骤,明确既可
先平移后伸缩,也可先伸缩后平移,但应注意 两种变换方法中平移的单位长度是不同的.
(2)在 x 轴方向上进行平移时,特别注意只是针对于 x
【例 2】 (2012 德州一模)已知函数
y=Asin(ω x+ )+m 的最大值为 4,最小值为 0,两
π
π
条对称轴间的最短距离为 ,直线 x= 是其图
2
6
象的一条对称轴,则符合条件的解析式是( )
(A)y=4sin 2x π 6
(C)y=-2sin x π +2 3
设∠PMN=θ,
“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时ωx+ =0; “第二点”(即图象的“峰点”)时ωx+ = π ;
第四章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
23ωπ －ωφ
2π－φ ω
ωx＋φ
_0__
π
2
_π__
3π 2
_2_π_
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
－A
0
返回
3.由函数 y＝sin x 的图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0)的图象的两种方法
返回
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后
变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变 方法
换其自变量 x，如果 x 的系数不是 1，则需把 x 的系数
提取后再确定平移的单位长度和方向
可以把判断的两函数变为同名的函数，且 x 的系数变
为一致，通过列方程求解，如 y＝sin 2x 变为 y＝sin( 2x
方程 思想
＋π3 )，可设平移 φ 个单位长度，即由 2(x＋φ)＝2x＋π3 解得 φ＝π6，向左平移π6，若 φ＜0 说明向右平移|φ|个单 位长度
3 ∠HRQ＝π6，则 tan∠QRH＝A3＝ 33，解得 A＝ 3.又 P(1， 3)是 图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.又因为 0<φ<π2，所 以 φ＝π6，所以 f(x)＝ 3sinπ3x＋π6，f(0)＝ 3sin π6＝ 23.故选 B.
[答案] B
[方法技巧]
返回
考法二 由图象求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
[例 3] (1)(2018·怀仁期末联考)若函数 f(x)＝sin(ωx－φ)
|φ|≤π2的部分图象如图所示，则 ω 和 φ 的值是
()
A．ω＝1，φ＝π3 C．ω＝12，φ＝π6
第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
4
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考点一 考点二 考点三
⑨再把所得图象上的所有点的横坐标变为原来的ω1 (ω>0)倍，纵坐标不变，得到 y
＝sin(ωx＋φ)；
⑫最后把所有点的纵坐标变为原来的 A(A>0)倍，横坐标不变，就得到 y＝Asin(ωx
＋φ)的图象．
6
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考点一 考点二 考点三
[四基自测]
1．(教材改编)电流 i(单位：A)随时间 t(单位：s)变化的函数关系是 i＝5sin100πt＋π3，
t∈[0，＋∞)，则电流 i 变化的初相、周期分别是( )
A．π3，510
B．π6，1100
3．y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义
y ＝ Asin(ωx ＋ φ)(A>0 ， 振幅 周期
频率
相位 初相
ω>0)， x∈[0， ＋ ∞)表 示 A
一个振动量时
2π T＝_ω__
f＝T1＝2ωπ ω__x_＋__φ_
φ
5
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考点一 考点二 考点三
_ωπ_－__ωφ__ 0 0__
3π 2
_23_ωπ_－__ωφ__ －1 _－__A_
2π
2_ωπ_－___ωφ_ 0 _0 _
2
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考点一 考点二 考点三
(2)描点：_－__ωφ__，__0_ ，_2π_ω_－__ωφ__，__A_，_ωπ_－__ωφ__，__0_，_23_ωπ_－__ωφ__，__－__A__，_2ω_π_－__ωφ__，__0_ ． (3)连线：把这 5 个点用光滑曲线顺次连接，就得到 y＝Asin(ωx＋φ)在区间长度为一 个周期内的图象．
高二数学课件：第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
时，φ=
2 ； 3 3
所以y= 2 sin(2x+ 2 ).
3
(3)由图象得A=2，当x=0时，sinφ＝ 3 ，
2
因为｜φ｜＜
，所以φ= ， 3 2 9 3
所以由题图可知ω× 2 + =π， ∴ω=3.所以f(x)=2sin(3x+ 答案：f(x)=2sin(3x+ )
2 2 6 6 3 3 所以T= 4 ，ω＝ 3 ；由 × 3 +φ＝ +2kπ，k∈Z得 3 2 6 2 2 5 φ= +2kπ,k∈Z， 4
当k=-1时，φ=- π.
3 4
1 (2)选D.由图象知A= 2 ， T＝ ，所以T=π， 3 2 2 3 所以ω=2；又由- 7 ×2+φ＝2kπ+ π,k∈Z，所以当k=-1 12 2中作出函数f(x)在［0，π］上的图象.
【解题指南】(1)将函数解析式 y cos(2x ) 化为
)］即可得到结果. 12 (2)①由周期得ω，由 f ( ) 得φ； 4 y cos［2(x
6
②采用五点法作图，注意定义域［0,π］即可.
8
【反思·感悟】1．振幅A与最值有关；ω与周期T有关；初相 φ用待定系数法求解; 2．利用待定系数法解题的过程中选择的点要慎重 ;
3．要善于观察图象，抓住图象的特征.
【变式备选】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,|φ|＜ ) 2
的部分图象如图所示. (1)求ω，φ. (2)求函数的图象的对称轴和对称中心.
【解析】(1)由图象知A=1，
3 T= 11 - = 3 , 4 4 12 6 ∴T=π,∴ω= 2 =2, T 由2× +φ=2kπ+ , 2 6 得φ=2kπ+ (k∈Z), 6 ∵|φ|＜ ,∴φ= . 2 6
高考数学总复习第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
重点保分型考点——师生共研
某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π 2
π
3π 2
2π
x
π
5π
3
6
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期
(A＞0，ω＞0)
A
T＝
2π ω
频率 相位 初相 f＝T1＝2ωπ ωx＋φ φ
返回
2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五 个关键点，如下表所示：
返回
考点三 三角函数的图象和性质的综合问题
重点保分型考点——师生共研 [典例引领]
(2018·“绿色联盟”模拟)已知函数f(x)＝sin x·(cos x＋ 3sin x)． (1)求f(x)的最小正周期；
解：f(x)＝12sin
2x－
3 2 cos
2x＋
23＝sin2x－π3＋
23，
故函数f(x)的最小正周期为T＝22π＝π.
x
－ωφ
－ωφ＋2πω
π－φ ω
ωx＋φ
__0_
π 2
__π_
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
23ωπ －ωφ
2π－φ ω
3π _2_π__ 2
Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件 理
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝ Asin(ωx＋ φ) (A>0，
ω>0)，
振幅 周期 频率 2π
A T＝_ω__ f＝T1＝2ωπ
相位 _ω_x_＋__φ_
初相 φ
2.用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
答案：y＝2sin4x＋π6＋2
2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) x∈R，ω>0，0<φ<π2 的部 分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．
解析：由题图知，最小正周期T＝2×1112π－51π2＝π， 所以ω＝2Tπ＝2. 因为点51π2，0在函数图象上， 所以Asin2×51π2＋φ＝0， 即sin56π＋φ＝0. 又0<φ<π2，所以56π<56π＋φ<43π.从而56π＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在 函数图象上，所以Asin π6＝1，得A＝2.故f(x)＝2sin2x＋π6. 答案：f(x)＝2sin2x＋π6
解析：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为
0，可知b＝2，A＝2.由函数的最小正周期为
π 2
，可知
2π ω
＝
π2，得ω＝4.由直线x＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3
＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，从而φ＝kπ－56π，k∈Z.又0<φ<π2，所
以φ＝π6，故函数解析式是y＝2sin4x＋π6＋2.
再将图象上的各点的横坐标缩短为原来的一半，那么 所得图象的函数表达式为________________．
解析：将函数f(x)＝sin
2x－π3
第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用重点精选课件 文课件
x＋m＋π 3
的图象，此图象关于 y 轴对称，则 x＝0
时，y＝±2，即
2sin
m＋π 3
＝±2，所以
m＋ π 3＝π 2＋kπ，k∈Z ，由于
m>0，所以
mmin
＝π. 6
【答案】 B
高频考点全通关——函数 y =Asin（ωx+φ）图象与性质的综合应用
闯关二：典题针对讲解——图象变换与函数解析式的综合问题
高频考点全通关——函数 y =Asin（ωx+φ）图象与性质的综合应用
闯关二：典题针对讲解——函数图象与性质的综合问题
[例 3]
(2012·重庆 高考改 编)设函 数 f(x)＝Asin(ωx＋φ )
(其中 A>0，ω>0，－ π<φ≤ π)在 x＝π处取 得最大 值 2， 6
其图 象与 x 轴的 相邻两 个交点 的距离 为π，求 f(x)的解 析式． 2
∴－ 3≤f(x)≤2，故 f(x)的值域为[－ 3，2]．
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(1)图象变换与函数的性质的综合问题； (2)图象变换与函数解析式的综合问题； (3)函数图象与性质的综合问题．
高频考点全通关——函数 y =Asin（ωx+φ）图象与性质的综合应用
闯关二：典题针对讲解——图象变换与函数性质的综合问题
[例 1]
(2013·湖北 高考)将函 数 y＝
3cos x＋sin x(x∈ R )的
图象 向左平 移 m(m＞ 0)个单 位长度 后，所 得到的 图象关 于
y 轴对 称，则 m 的最 小值是 (
)
A. π 12
B. π 6
C. π 3
D.5 π 6
【解析】 y＝
第3章 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用ppt-2015届高考苏教版数学(理)大一轮复
∴T＝23π，ω＝3，∴f(x)＝2sin(3x＋φ)， 设D点的坐标为(xD,2)，则由已知得点M的坐标为(－xD，0)， ∴xD－(－xD)＝14T＝14×23π，则xD＝1π2，
则点M的坐标为－1π2，0，∴sinπ4－φ＝0. ∵0<φ<π2，∴φ＝π4，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin3x＋π4.
2，即 y＝sin(2x＋φ)．因为图像过点π3，0，即 sin23π＋φ＝0，所
以23π＋φ＝kπ(k∈Z)．又 0<φ≤π2，所以 φ＝π3. 答案：π3
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第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角 结束 函数模型的简单应用
[ 典 例 ] (2013·安 徽 望 江 中 学 模 拟 ) 如 图 是 函 数 f(x) ＝ Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M，N 是它与 x 轴的两个交点，D，C 分别为它的最高点和最低点，点 F(0,1) 是线段 MD 的中点， MD·MN ＝1π82.
[解] (1)列表取值：
x 12x－π4
f(x)
π 2
3 2π
5 2π
7 2π
9 2π
0
π 2
π
3 2π
2π
0
3
0
－3
0
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第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角 结束 函数模型的简单应用
描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的 简图．
(2)先把 y＝sin x 的图像向右平移π4个单位，然后把所有 点的横坐标扩大为原来的 2 倍，再把所有点的纵坐标扩大 为原来的 3 倍，得到 f(x)的图像．
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②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一 个点为突破口．具体如下：
第一点 图象上升时与x轴的交点 第二点 图象的“峰点” ωx＋φ＝0 π ωx＋φ＝ 2 ωx＋φ＝π 3π ωx＋φ＝ 2 ωx＋φ＝2π
第三点 图象下降时与x轴的交点 第四点 第五点 图象的“谷点”
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2．谨防1种失误 一般情况下，ω的值是唯一确定的，但φ的值是不确定 的，它有无数个，如果求出的φ值不在指定范围内，可以通 2π 过加减 ω 的整数倍达到目的．
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6.函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部 分图象如图所示，则 f
π 的值为________． 4
3 11π π 3π 解析：由图象可知 A＝2， T＝ － ＝ ，∴T＝π，∴ω＝2， 4 12 6 4
π ∵当 x＝ 时，函数 f(x)取得最大值， 6 π π π ∴2× ＋φ＝ ＋2kπ(k∈Z )，∴φ＝ ＋2kπ(k∈Z )， 6 2 6
(
)
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π π 解析：函数y＝2sin 2x＋6 的周期为π，将函数y＝2sin 2x＋6
1 π 的图象向右平移 个周期即 个单位长度，所得图象对应的函 4 4
π π π 数为y＝2sin2 x－4 ＋6 ＝2sin2x－3，故选D.
5π 2sin ＝－1， 4
答案：D
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2．(2017· 天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中 ω>0，|φ|<π.若f 于2π，则 2 π A．ω＝ ，φ＝ 3 12 1 11π C．ω＝ ，φ＝－ 3 24
5π 11π ＝2，f 8 8
7π 7π 2π π π ω＝ T ＝2.又f 12 ＝ 2sin 6 ＋φ ＝－ 2，|φ|< ，得φ＝ ，则 2 3
f(x)＝ 故选D.
11π π 2sin2x＋3 ，f 24 ＝
11π π 2sin 12 ＋3 ＝
π π ∵0<φ<π，∴φ＝ ，∴f(x)＝2sin2x＋6 ， 6
则f
π π π π ＝2sin ＋ ＝2cos ＝ 6 4 2 6
3.
答案： 3
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课 堂 考 点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
返回
考点一
函数y＝Asinωx＋φ的图象与变换
2x )
的图象 π A．向右平移 个单位长度 6
(
π B．向右平移 个单位长度 3
π π C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度 6 3 π π 解析：函数 y＝2sin2x－3＝2sin2x－6 ，可由函数 y＝
π 2sin 2x 的图象向右平移 个单位长度得到．故选 A. 6
π 个单位得到的． 2 后平移”中平移的长度一致． 2π (3)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝ ω . 1 1 原来的 ，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x. 2 2
(
)
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩， ( ( ) )
(4)把函数y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为 ( )
第
四
节
函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的图象及 三角函数模型的简单应用
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
返回
课 前 双 基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
返回
过
基
础
知
识
返回
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
返回
1 π 1 π 解析：由题意，得sin －2ω＋ 6 ＝0，即－ ω＋ ＝kπ(k∈Z )， 2 6
π π 则ω＝ －2kπ(k∈Z )，结合0<ω<2，得ω＝ ，所以f(x)＝ 3 3
π π π π π π sin3 x＋ 6 ＝cos2－ 3 x－6 ＝cos3 x－1 ，所以只需将函数g(x)
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0) 振幅 A 周期 T＝ 2π ω 频率 相位 初相 φ
1 ω ωx＋φ f＝T＝ 2π
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2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五 个关键点，如下表所示：
ωx＋φ x y＝Asin(ωx＋φ) 0 π 2 π
π－ φ ω
3π 2
3π φ － 2ω ω
2π
2π－φ ω
φ －ω
0
π φ － 2ω ω
A
0
－A
0
返回
3．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0)的图象的两种方法
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过
基
础
小
题
返回
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
π π (1)函数y＝sin x－4 的图象是由y＝sin x＋4 的图象向右平移
答案：D
返回
π ωx＋ 6
2．(2018· 昆Hale Waihona Puke 质检)已知函数f(x)＝sin 件：f
1 － 2
(0<ω<2)满足条
＝0，为了得到函数y＝f(x)的图象，可将函数
g(x)＝cos ωx的图象向右平移m(m>0)个单位长度，则m的 最小值为 A．1 1 B. 2 π C. 6 π D. 2 ( )
[考什么·怎么考]
三角函数图象的变换多出现在选择题中， 以 y＝sin x， y＝cos x，y＝tan x 的图象为基础，进行横向伸缩变换及 纵向伸缩变换，或者由正弦型、余弦型、正切型函数图象 为基础进行逆向变换.属于必得分题.
[典题领悟]
(2017· 全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos
返回
2π x，C2：y＝sin 2x＋ 3 ，则
下面结论正确的是 ( ) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把 π 得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2 6 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把 π 得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2 12 1 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把 2 π 得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2 6 1 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把 2 π 得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2 12
π ＝cos x的图象向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y＝ 3 f(x)的图象，故选A.
答案：A
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考点二
求函数y＝Asinωx＋φ的解析式
根据三角函数的图象或性质求解析式是高考对三角 函数知识考查的一个重要方面，主要考查由图象或性质 求解析式；由图象或性质求解析式中参数的值；由图象 或性质解决相关的求值问题等.多以选择题、填空题的形 式出现，有时也可能在解答题中出现，难度为中低档题.
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解析：易知C1：y＝cos
π x＝sinx＋2，把曲线C1上的各点的横坐
π 1 标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x＋2 的图 2
π 象，再把所得函数的图象向左平移 个单位长度，可得函数y＝ 12
π π 2π sin2 x＋12＋2 ＝sin2x＋ 3 的图象，即曲线C2.
φ y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是ω个单位．
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[冲关演练]
π 1 1．(2016· 全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin 2x＋6 的图象向右平移 个周 4
期后，所得图象对应的函数为
π A．y＝2sin2x＋4 π C．y＝2sin2x－4 π B．y＝2sin2x＋ 3 π D．y＝2sin2x－3
答案：A
返回
5．用五点法作函数y＝sin
π x－ 6
在一个周期内的图象时，主要
确定的五个点是______、______、______、______、_____.
π 答案：6，0 2π ，1 3 7π ，0 6 5π ，－1 3 13π ，0 6
返回
[典题领悟]
1.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
π A>0，ω>0，|φ|< 2 11π 的值为( 24
的部分图象如图所示，则f 6 A．－ 2 2 C．－ 2
)
3 B．－ 2 D．－1
返回
解析：由图象可得A＝
7π π 2 ，最小正周期T＝4× 12－3 ＝π，则
沿y轴 由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不 伸缩 变，纵坐标变为原来的|A|倍
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2．注意三角函数图象变换中的 3 问题 (1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用 诱导公式转化为同名函数； (2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得 到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向； (3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数 y＝ Asin x 到 y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数 y＝ Asin ωx 到
返回
[冲关演练]
1．(2015· 全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所 示，则f(x)的单调递减区间为
答案：A
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