2015届高三数学一轮复习备考试题统计(含答案)
2015届高三数学(理)湘教版一轮复习解答题规范专练3 数列
解答题规范专练(三) 数 列1．已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝4，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)证明数列{a n ＋1－a n }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝2(a n －1)a n(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，求使S n >2 013成立的n 的最小值．2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n a n ＋2，且a 1＝2. (1)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列，若是，请给予证明，若不是，请说明理由； (2)若b n ＝2＋a n a n ·⎝⎛⎭⎫12n ，求数列{b n }的前n 项和T n .3．(2014·皖南八校联考)将数列{a n }中所有的项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1a 2 a 3a 4 a 5 a 6a 7 a 8 a 9 a 10……记表中的第1列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1，S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b n b n S n －S 2n＝1(n ≥2，n ∈N *)． (1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)上表中，若从第3行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a 81＝－491时，求上表中第k (k ≥3)行所有项的和．答 案1．解：(1)证明∵a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1)(n ≥2，n ∈N *)．∵a 1＝2，a 2＝4，∴a 2－a 1＝2≠0，∴a n －a n －1≠0(n ≥2，n ∈N *)，故数列{a n ＋1－a n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝2， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋2n －3＋…＋21＋2＝2×(1－2n －1)1－2＋2＝2n (n ≥2，n ∈N *)， 又a 1＝2也满足上式，∴a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝2(a n －1)a n ＝2⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2－12n －1(n ∈N *)， ∴S n ＝2n －⎝⎛⎭⎫1＋121＋122＋…＋12n －1＝2n －1－12n 1－12＝2n －2⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2n －2＋12n －1， 由S n >2 013得，2n －2＋12n －1>2 013，即n ＋12n >2 0152， ∵n ∈N *，∴n ＋12n 的值随n 的增大而增大， ∴n 的最小值为1 008.2．解：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下： ∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知，1a n ＝12＋(n －1)·12＝n 2， b n ＝2＋a n a n ·⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫2a n ＋1·⎝⎛⎭⎫12n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫12n ， ∴T n ＝2×12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋4×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫12n ，① 12T n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋4×⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1.② ①－②得12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝1＋14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝ 32－n ＋32n ＋1，∴T n ＝3－n ＋32n . 3．解：(1)由已知，当n ≥2时，2b n b n S n －S 2n＝1， 又b n ＝S n －S n －1，所以2(S n －S n －1)(S n －S n －1)S n －S 2n＝1， 即2(S n －S n －1)－S n －1S n＝1，所以1S n －1S n －1＝12. 又S 1＝b 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为12的等差数列． 故1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1. 所以当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1).因此b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2.(2)设表中从第3行起，每行的公比都为q ，且q >0.因为1＋2＋…＋12＝12×132＝78， 所以表中第1行至第12行含有数列{a n }中的前78项，故a 81在表中第13行第3列，因此a 81＝b 13·q 2＝－491.又b 13＝－213×14， 所以q ＝2(舍去负值)．记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ，则S ＝b k (1－q k )1－q ＝－2k (k ＋1)·1－2k 1－2＝2k (k ＋1)·(1－2k )(k ≥3)．。
高考数学一轮复习《统计》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《统计》练习题（含答案）一、单选题1．已知条件p ：11x -<<，q ：x >m ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞B ．(),1-∞-C ．()1,0-D ．(],1-∞-2．下表为随机数表的一部分：08015 17727 45318 22374 21115 78253 77214 77402 43236 00210 45521 64237已知甲班有60位同学，编号为00~59号，规定：利用上面的随机数表，从第1行第4列的数开始，从左向右依次读取2个数，则抽到的第8位同学的编号是（ ） A ．11B ．15C ．25D ．373．一组数据的方差为()20S S ≥，将该组数据都乘以2，所得到的一组新数据的标准差为（ ）A ．22S B ．SC ．2SD ．2S4．甲、乙两所学校的男女生比例如图所示，已知甲校学生总数为1500，乙校学生总数为1000，下列结论错误的是（ ）A ．甲校女生比乙校女生多B ．乙校男生比甲校男生少C ．乙校女生比甲校男生少D ．甲校女生比乙校男生少5．某校共有学生3000人，为了解学生的身高情况，用分层抽样的方法从三个年级中抽取容量为100的样本，其中高一抽取40人，高二抽取30人，则该校高三学生人数为（ ） A ．600B ．800C ．900D ．12006．设某高中的男生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据()(12)i i x y i n =,，，，，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8580.71y x =-，则下列结论中不正确的是（ ） A ．y 与x 有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(),x yC ．若该高中某男生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该高中某男生身高为170cm ，则可断定其体重必为63.79kg 7．x 是12100,,,x x x 的平均值，5为4120,,,x x x 的平均值，10为4142100,,,x x x 的平均值，则x =（ ） A ．8B ．9C ．15D ．1528．某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ）． A ．0.45B ．0.62C ．0.7D ．0.769．某样本点)()(,1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅的经验回归方程为ˆ0.50.7yx =+，当8x =时，y 的实际值为4.5，则当8x =时，预测值与实际值的差值为（ ）． A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.410．若数据9，m ，6，n ，5的平均数为7，方差为2，则数据11，9，21m -，17，21n -的平均数和方差分别为（ ） A ．13，4B ．14，4C ．13，8D ．14，811．2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（ ）A ．甲的化学成绩领先年级平均分最多.B ．甲有2个科目的成绩低于年级平均分.C ．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理.D ．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果.12．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热，若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ）（1）中位数为3，众数为2 （2）均值小于1，中位数为1（3）均值为3，众数为4 （4）均值为2 A ．（1）（3）B ．（3）（4）C ．（2）（3）D ．（2）（4）二、填空题13．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5:5:4，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生人数为20，则抽取的样本容量为______.14．已知具有线性相关的变量x 、y ，设其样本点为()(1,2,,,8)i i i A x y i =，回归直线方程为1ˆ2yx b =+，若128(6,2)OA OA OA +++=(O 为原点），则b =_______.15．已知一组数据按顺序排列为：12，16，20，n ，46，51，58，60.若这组数据的第30百分位数的两倍与这组数据的第50百分位数相等，则n 的值为___________.16．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中的数据得线性回归方程为y bx a =+，其中20b =-，预测当产品价格定为9.5(元)时，销量约为__________件．三、解答题17．某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参与主题教育活动时间（单位：h ）的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在(]12,16内的人数为92．(1)求n 的值；(2)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数（中位数精确到0.01）．(3)如果计划对参与主题教育活动时间在(]16,24内的党员干部给予奖励，且在(]16,20，(]20,24内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率．18．由于疫情影响，今年我们学校开展线上教学，高一年级某班班主任为了了解学生上网学习时间，对本班40名学生某天上网学习时间进行了调查，将数据（取整数）整理后，绘制出如图所示频率分布直方图，已知从左到右各个小组的频率分别是0.15，0.25，0.35，0.20，0.05，则根据直方图所提供的信息：（1）这一天上网学习时间在100~119分钟之间的学生有多少人？（2）估计这40位同学的线上平均学习时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）以及中位数分别是多少？（精确到0.1）（3）如果只用这40名学生这一天上网学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生该天的上网学习时间，这样推断是否合理？为什么？19．省政府坚持以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，落实全国、全省教育大会部署，坚持社会主义办学方向，落实立德树人根本任务，发展素质教育，推进育人方式变革，引导全社会树立科学的教育质量观和人才培养观，切实减轻有损中小学生身心健康的过重学业负担，遵循教育教学规律，促进中小学生健康成长，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．从某市抽取1000名一年级小学生进行调查，统计他们每周做作业的时长（单位：小时），根据结果绘制的频率分布直方图如下：（1）根据频率分布直方图，求所有被抽查小学生每周做作业的平均时长和中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）①为了进一步了解，现采用分层抽样的方法从[8,10]和[10,12]组中抽取50名学生，则两组各抽取多少人？②再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会．现从参加座谈会的5名学生中随机抽取两人发言，求[8,10]小组中恰有2人发言的概率？20．为了调查某地区高中女生的日均消费情况，研究人员随机抽取了该地区5000名高中女生作出调查，所得数据统计如下图所示．(1)求a 的值以及这5000名高中女生的日均消费的平均数（同一组数据用该组区间的中间值代替）；(2)在样本中，现按照分层抽样的方法从该地区消费在[)15,20与[)20,25的高中女生中随机抽取9人，若再从9人中随机抽取3人，记这3人中消费在[)15,20的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望．21．道德与法律的联系：法律､道德都是行为规范，都是为规范人们的行为而规定的行动准则.1.法律需要道德的奠基和撑持；2.道德的实施需要法律的强制保障.某校进行了一次道德与法律的相关测试（满分：100分），并随机抽取了50个统计其分数，得到的结果如下表所示： 成绩/分 [)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[)80,100人数/个 44102210(1)若同一组数据用该区间中点值作代表，试估计这次测试的平均分和中位数（所得结果四舍五入保留整数）；(2)假设处于[)20,40的4个人的成绩分别为20，26，35，38，求表中成绩的10%分位数； (3)以频率估计概率，若在这个学校中，随机挑选3人，记3人的成绩在[)80,100间的数量为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X .22．某校从高三年级学生中随机抽取100名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的5组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中x 的值；(2)估计这组数据的平均数；(3)若成绩在[)50,60内的学生中男生占40%.现从成绩在[)50,60内的学生中随机抽取2人进行分析，求2人中恰有1名女生的概率.23．某校从高三学生中选取了50名学生参加数学质量检测，成绩（单位：分）分组及各组的频数如下：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8．(1)列出频率分布表；(2)画出频率直方图及频率折线图．24．某农业科学研究所为检验某农作物种子的培育有效率，进行了如下试验：一是对该农作物的10000粒种子进行培育，发现有20粒种子未发芽；二是将未进行培育的该农作物的2500粒种子种植在5块试验田中，各试验田种植的种子数及未发芽数如下表：（1）求y 关于x 的回归直线方程； （2）在上述试验下，若以1nN-表示该农作物种子的培育有效率，其中n 为进行培育的10000粒种子的未发芽数，N 为依据上述回归方程估算的未进行培育的10000粒种子的未发芽数，请估计该农作物种子的培育有效率（结果保留3位有效数字）．参考公式；在回归方程ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx=-参考答案1．D2．A3．D4．D5．C6．D7．A8．D9．B10．C11．A12．D 13．7014．18-##-0.12515．34 16．6017．（1）由已知可得，0.25(0.02500.04750.05000.0125)0.1150a =-+++=． 则0.1150492n ⨯⨯=，得922000.11504n ==⨯．（2）设中位数为x ，则0.050040.01254(16)0.11500.5x ⨯+⨯+-⨯=，得13.83x ≈．（3）按照分层抽样的方法从(16，20]内选取的人数为0.050540.05000.0125⨯=+，从(20，24]内选取的人数为0.0125510.05000.0125⨯=+．记二等奖的4人分别为a ，b ，c ，d ，一等奖的1人为A ，事件E 为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人，且这2人均是二等奖”．从这5人中随机抽取2人的基本事件为(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a A ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b A ，(,)c d ，(,)c A ，(,)d A ，共10种，其中2人均是二等奖的情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d ，共6种， 由古典概型的概率计算公式得()63105P E ==． 18．（1）因为频数=样本容量⨯频率，一天上网学习时间在100119分钟之间的学生所占频率为0.35，所以一天上网学习时间在100~119分钟之间的学生人数为400.3514⨯=（人） （2）40位同学的线上学习时间估计值为：0.1569.90.2589.90.35109.90.20129.90.05149.9104.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分钟在中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的，设在99.9~119.9靠近左侧长度为x ,则0.15+0.25+0.350.5x =解得0.27x ≈； 所以中位数估计值是99.9+0.27=100.17100.2≈（3）因为该样本的选取只在高一某班，不具有代表性，所以这样推断不合理. 19．（1）设抽查学生做作业的平均时长为x ，中位数为y ，0.0510.130.2550.370.1590.1110.0513 6.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 0.050.10.250.15(6)0.5y y =+++⨯-=，解得203y =即抽查学生做作业的平均时长为6.8，中位数为203． （2）①[8,10]组的人数为10000.15150⨯=人，设抽取的人数为a ，[]10,12组的人数为10000.1100⨯=人， 设抽取的人数为b ，则50150100250a b ==，解得30a =，20b = 所以在[8,10]和[]10,12两组中分别抽取30人和20人，②再抽取5人，其中[8,10]和[]10,12两组中分别抽取3人和2人，将[8,10]组中被抽取的工作人员标记为1A ，2A ，3A ，将[]10,12中的标记为1B ，2B ． 设事件C 表示从[8,10]小组中恰好抽取2人，则抽取的情况如下：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B 共10种情况；其中在[8,10]中恰好抽取2人有3种，则3()10P C =． 20．（1）由题意得，()20.040.080.0651a +++⨯=，解得0.01a =，故所求平均数为17.50.427.50.332.50.0537.50.0524.25⨯0.2+22.5⨯+⨯+⨯++=（元）； （2）由题意得，消费在[)15,20，[)20,25的高中女生分别有3人和6人，故X 的可能取值为0，1，2，3，∴()6033395021C C P X C ===，()21633915128C C P X C ===，()1263393214C C P X C ===，()0363391384C C P X C ===， 故X 的分布列为：∴()515310123121281484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； 故答案为：1. 21．(1)估计这次测试的平均分为1043045010702290106250x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）；设这次测试的中位数为0x ，显然()060,80x ∈，则060441022200.550x -+++⋅=，解得066x ≈（分）. 即估计这次测试的中位数为66.(2)由于5010%5⨯=，所以表中成绩的10%分位数为2026232+=. (3)X 所有可能取值为0，1，2，3.由表中数据可知，任意挑选一人，成绩在[)80,100间的概率为101505=. 所以()346405125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21341481C 55125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()122341122C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31135125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 故X 的分布列为故X 的数学期望()6448121301231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 22．(1)由频率分布直方图得()0.0050.0350.0300.010101x ++++⨯=，解得0.020x =， 所以图中x 的值是0.020.(2)由频率分布直方图得这组数据的平均数： (550.005650.020750.03585x =⨯+⨯+⨯+⨯)0.030950.0101077+⨯⨯=， 所以这组数据的平均数为77.(3)数学成绩在[)50,60内的人数为0. 005101005⨯⨯=(人)，其中男生人数为540%2⨯=(人)，则女生人数为3人，记2名男生分别为1A ，2A ，3名女生分别为1B ，2B ，3B ，从数学成绩在[)50,60内的5人中随机抽取2人进行分析的基本事件为：121112132122A A A B A B A B A B A B ,,,,,,23121323A B B B B B B B ,,,，共10个不同结果，它们等可能， 其中2人中恰有1名女生的基本事件为111213212223,,,,,A B A B A B A B A B A B ，共6种结果， 所以2人中恰有1名女生的概率为为63105=. 23．（1）解：频率分布表如下：（2） 频率直方图及频率折线图如图所示．24． (1)依题意，3004005006007005005x ++++==，2466755y ++++==， 513002400450066006700713700ii i x y ==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=∑， 52222221(34567)100001350000i i x==++++⋅=∑， 于是得512252113700550051200ˆ0.01213500005500100000i ii i i x y nx y b x nx==-⋅-⋅⋅====-⋅-∑∑，ˆˆ50.0125001ay bx =-=-⨯=-， 所以y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.0121yx =-； (2)由(1)知，估计未进行培育的10000粒种子的未发芽数N 约为：ˆ0.012100001119y =⨯-=，而已培育的10000粒种子有20粒种子未发芽，即20n =， 所以该农作物种子的培育有效率为209910832119119-=≈。
福建省漳州双语实验学校2015届高三一轮复习测数学文试卷(三) Word版含答案
2015届高三一轮复习测试卷三文科数学考查范围：集合、逻辑、函数、导数、复数 时间：2014年6月19日第Ⅰ卷2．集合{}2|20A x x x =+-≤,B ={}0x x <,则AB =（ ）A ．[)2,0-B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞3．函数1lg(2)y x =-的定义域是（ ）A. []12，B. [)12，C. ()12，D. (]12，4．已知幂函数)(x f y =的图象经过点，则1()9f 的值为( )A ．3B ．13C ．18D ．145．已知()1+x f =x x 62+，则()x f 的表达式是（ ）A ．542-+x x B ．782++x x C ．522-+x x D ．1062-+x x6．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0，则( )．A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)7．设a ＝20.4，b ＝0.43，c ＝4log 0.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a < bD ．a <c <b 8. 函数3()233f x x x =+-的零点所在的区间为( )A ．(-1,0)B ．( 0,1)C ．(1,2)D ．(2,3) 9.已知)1('),1('3)(2f xf x x f 则+==（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．210.已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）11. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )．A ．[－1,2]B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．[－3,6]D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)12.已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈-时2()f x x =,那么函数()y f x =的图象与函数5log y x =的图象的交点共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在答题卷相应位置上.13．已知函数y ＝loga (x ＋b )的图象如图所示， 则a +b ＝________.14．已知2x ＝3y＝6，则1x ＋1y＝________.15．设函数()2sin 1f x x x =+,若()10f a =,则()f a -= .16．函数f (x )＝|log 3 x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的取值范围为三、解答题(本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17. (本题满分l2分)计算：(1) )121023170.0272179--⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2) lg 2lg 50＋lg 5lg 20－lg100lg 5lg 2；18．（本小题满分12分）记函数()f x =的定义域为集合A ，函数()()lg 12x g x =-的定义域为集合B ．（1）求集合B ；（2）若A B A =，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ax 2＋23x ＋b是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在(－∞，0)上的极值．20. （本小题满分12分)已知函数)()(2R a ax e x f x∈-=.（Ⅰ）求函数)(x f 在点()0,1P 处的切线方程；（Ⅱ）若函数)(x f 为()0,+∞上的单调递增函数，试求a 的取值范围.21．（本小题满分12分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？22．（本小题满分14分)已知函数2()ln(1)()f x x ax a x a =---∈R ． (1) 当1a =时，求函数()f x 的最值； (2) 求函数()f x 的单调区间；(3) 试说明是否存在实数(1)a a ≥使()y f x =的图象与5ln 28y =+无公共点．答案：DACBA BCBAA BD 13．6； 14．1； 15．-8； 16．28,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．(1)-45;(2)118．（本小题满分12分）记函数()f x =的定义域为集合A ，函数()()lg 12x g x =-的定义域为集合B ．（1）求集合B ；（2）若A B A =，求实数a 的取值范围． 解：（1）由已知得：{}{}|120|0x B x x x =->=<（2）由已知得：()(){}{}|0|1111A x x x a x x a a x a ==-+--≥≤-≥+或 ∵ AB A =B A ∴⊆， 10a ∴-≥所以，实数a 的取值范围为[)1,+∞19．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ax 2＋23x ＋b是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在(－∞，0)上的极值．解 (1)即a ＝2，b ＝0，此时f (x )＝2x 2＋23x.(2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝23x ＋23x，f (x )在(－∞，－1]上是增函数，在(－1,0)上是减函数，所以，f (x )在1x =-取得极大值为()413f -=-，无极小值.20. （本小题满分12分)已知函数)()(2R a ax e x f x ∈-=.（Ⅰ）求函数)(x f 在点()0,1P 处的切线方程；（Ⅱ）若函数)(x f 为()0,+∞上的单调递增函数，试求a 的取值范围.解：（Ⅰ）ax e x f x2)(-=' ，(0)1f '∴=…………………3分所以)(x f 在点)1,0(P 处的切线方程为x f f y )0()0('=-，即1+=x y .……6分 （Ⅱ）由题意02)(≥-='ax e x f x 恒成立………………7分因为0>x ，所以x e a x ≤2，令x e x g x=)(，则2)1()(x x e x g x -='，由0)(='x g 得1=x ，1>x 时0)(>'x g ，1<x 时0)(<'x g .e g x g ==∴)1()(min ,2ea ≤∴；…………… 10分 综上，若函数)(x f 为R 上的单调递增函数，则20ea ≤<.………………12分21．（本小题满分12分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解： (1)每吨平均成本为y x (万元)．则（方法一）y x ＝x 5＋8 000x －48)0(>x ，----2分设4880005)(-+=x x x f ，2800051)(xx f -='， 令2800051)(xx f -='=0，得x ＝200（舍去负值），----4分 )200,0(∈x 时，0)(<'x f ，),200(+∞∈x 时，0)(>'x f ，)(x f ∴在x ＝200处取得极小值也是最小值--------5分∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．------6分 （方法二） y x ＝x 5＋8 000x－48≥2 x 5·8 000x－48＝32，)0(>x -------4分 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．---------5分∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．------6分 (2)设年获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．------9分∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时，R (x )有最大值为 －15(210－220)2＋1 680＝1 660.--------11分 ∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．-----12分22．（本小题满分14分)已知函数2()ln(1)()f x x ax a x a =---∈R ． (1) 当1a =时，求函数()f x 的最值； (2) 求函数()f x 的单调区间；(3) 试说明是否存在实数(1)a a ≥使()y f x =的图象与5ln 28y =+无公共点． 解：（1） 函数2()ln(1)()f x x ax a x a =---∈R 的定义域是()1,+∞．当1a =时，'32()12()2111x x f x x x x -=--=--，所以()f x 在3(1,)2为减函数 ,在3(,)2+∞为增函数，所以函数f (x )的最小值为3()2f =3ln 24+． (2) '22()2()2,11a x x a f x x a x x +-=--=-- 若0a ≤时，则21,2a +≤f '(x )22()21a x x x +-=-0>在()1,+∞恒成立， 所以()f x 的增区间为()1,+∞．若0a >，则21,2a +>故当21,2a x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，'()f x 22()21a x x x +-=-0≤， 当2,2a x +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，f (x ) 22()21a x x x +-=-0≥, 所以0a >时()f x 的减区间为21,2a +⎛⎤ ⎥⎝⎦，()f x 的增区间为2,2a +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． (3) 1a ≥时，由（2）知()f x 在()1,+∞上的最小值为22()1ln 242a a af a +=-+-， 由2()()2ag a f +=21ln 42a aa =-+-在 [)1,+∞上单调递减， 所以max 3()(1)ln 2,4g a g ==+则max 51()(ln 2)88g a -+=0>， 因此存在实数()1a a ≥使()f x 的最小值大于5ln 28+，故存在实数()1a a ≥使()y f x =的图象与5ln 28y =+无公共点．。
江西省2015届高三数学理一轮复习备考试题：立体几何
江西省2015届高三数学一轮复习备考试题立体几何一、选择题 1、（2014年江西高考）一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是2、（2013年江西高考）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么m n +=A.8B.9C.10D.11 3、（2012年江西高考）如图，已知正四棱锥S-ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分。
记SE=x （0＜x ＜1），截面下面部分的体积为V （x ），则函数y=V （x ）的图像大致为4、（红色六校2015届高三第一次联考）已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是( )5、（2014届江西省高三4月模拟）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.233B.223C.203D.1436、（吉安一中2014届高三下学期第一次模拟）如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线,,Ox Oy Oz 上，则在下列命题中，错误．．的为（ ）A. O-ABC 是正三棱B. 直线OB ∥平面ACDC. 直线AD 与OB 所成的角是45°D. 二面角D-OB-A 为45°7、（南昌三中2014届高三第七次考试）M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出下列命题：①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都相交；④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都平行.其中真命题是（ ） A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④ D ．①②③ 8、设a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题：①若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α； ②若a ∥α，α⊥β则a ⊥β； ③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α；④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β则a ⊥β． 其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．39、将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥，得到图(b)所示的 几何体，则该几何体的侧视图为10、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是A 、n n αβαβ⊥,⇒⊥∥,m ∥mB 、,,m n m n αβαβ⊥⊂⊥⇒⊥C 、,,m n m n αβαββ⊥=⊥⇒⊥ D 、,,m n n αβαβ⊥⊥⇒⊥∥m11、平面四边形ABCD 中，1===CD AD AB ，CD BD BD ⊥=,2，将其沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥BD A '平面BCD ，若四面体BCD A -'顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A.π23 B. π3 C. π32 D. π2 12、如右图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．1B ．12C ．34D ．32二、解答题1、（2014年江西高考）如图，四棱锥ABCD P -中，ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD .（1）求证：;PD AB ⊥ （2）若,2,2,90===∠PC PB BPC 问AB 为何值时，四棱锥ABCD P -的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值.2、（2013年江西高考）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点，G PD 为的中点，3,12DAB DCB EA EB AB PA ∆≅∆====，，连接CE 并延长交AD 于F .(1) 求证：AD CFG ⊥平面；(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.3、（2012年江西高考）在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=AC=AA 1BC=4，在A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O 。
浙江省宁波市2015届高三一轮复习阶段性考试(月考)数学理试题 Word版含答案
浙江省宁波市2015届高三一轮复习阶段性考试数学理试题本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．第Ⅰ卷（选择题部分 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合M ={x |1122x -<<}，N ={x | x 2 ≤ x }，则M ∩N = （A ）1[1,)2- （B ）1(,1]2-（C ）1[0,)2 （D ）1(,0]2-2．设a ＞1＞b ＞0，则下列不等式中正确的是 （A ）(-a )7＜(-a )9 （B ）b - 9＜b - 7（C ）11lg lg a b > （D ）11ln ln a b>3．已知R α∈，cos 3sin αα+，则tan 2α=（A ）43 （B ）34 （C ）34- （D ）43-4．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6(第4题图)5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是 （A ）若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥ （B ）若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥ （C ）若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m α （D ）若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ6．已知某锥体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该锥体的体积为 （A ）23cm （B ）43cm （C ）63cm （D ）83cm 7．251(1)(2)x x--的展开式的常数项是（A ）48 （B ）﹣48 （C ）112 （D ）﹣1128．袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是 （A ）14 （B ）13 （C ）27 （D ）3119．已知实系数二次函数()f x 和()g x 的图像均是开口向上的抛物线，且()f x 和()g x 均有两个不同的零点．则“()f x 和()g x 恰有一个共同的零点”是“()()f x g x +有两个不同的零点”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件10．设F 1、F 2是椭圆Γ的两个焦点，S 是以F 1为中心的正方形，则S 的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有（S 的各边可以不与Γ的对称轴平行）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（第6题图）正视图侧视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分)二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分． 11．已知复数z 满足22z z +-= i （其中i 是虚数单位），则z = ▲ ． 12．设25z x y =+，其中实数,x y 满足68x y ≤+≤且20x y -≤-≤，则z 的取值范围是▲ ．13．已知抛物线23x y =上两点,A B 的横坐标恰是方程2510x x ++=的两个实根，则直线AB 的方程是 ▲ ．14．口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X ，则随机变量X 的数学期望是 ▲ ．15．已知直线10x y --=及直线50x y --=截圆C 所得的弦长均为10，则圆C 的面积是 ▲ ．16．在△ABC 中，∠C=90︒，点M 满足3BM MC =，则sin ∠BAM 的最大值是 ▲ ． 17．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数．．．．x 、y ，使得AO x AB y AC =+，且21x y +=，则cos ∠BAC = ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分） 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 5B c =，11cos 14B =．（I ）求角A 的大小；（II ）设BC 边的中点为D ，AD =ABC ∆的面积． 19．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==错误！未找到引用源。
江西省2015届高三数学理一轮复习备考试题：不等式
江西省2015届高三数学一轮复习备考试题不等式一、选择题1、（2014年江西高考）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.42、（2013年江西高考）在实数范围内，不等式211x --≤的解集为3、（2012年江西高考）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。
4、（崇义中学2015届高三上学期第一次月考）设变量x ，y 满足|3|2,43:y x z x y x xy -=⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥则的最大值为( ) A ．8B ．3C ．413 D ．29 5、（红色六校2015届高三第一次联考）若关于x 的不等式21321x x a a -+-≤--在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是（ ）A.13a a <->或B.03a a <>或C.13a -<<D.13a -≤≤ 6、（崇义中学2015届高三上学期第一次月考）已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y ≥0表示的平面区域为Ω，其中k ≥0，则当Ω的面积最小 时的k 为________7、（乐安一中2015届高三上学期开学考试）定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ，且对任意R x ∈都有21)(<'x f ，则不等式21)(22+>x x f 的解集为（ ）A.(1，2)B.(0，1)C.),1(+∞D.(-1，1)8、（南昌三中2015届高三上学期第一次月考）若不等式4)2(2)2(2<-+-x a x a 的解集为R ,则实数a 的取值范围是9、（2014届江西省高三4月模拟）若不等式组10100x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内的点都不．在圆2221()(0)2x y r r +-=>外，则r 的最小值是________10、（吉安一中2014届高三下学期第一次模拟）已知10a b c >>>>，对以下不等式①a b c c > ②11a bc c > ③11abc c ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭④1111abc c ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤11log log c c a b>， 其中成立的是（ ） A. ①②⑤B. ②③④C. ②③⑤D. ③④⑤11、（南昌三中2014届高三第七次考试）设01,a b <<<则下列不等式成立的是( )A ．33a b >B ．11a b< C ．1b a >D ．()lg 0b a -<12、（南昌铁路一中2014届高三第二轮复习测试）不等式2|3||1|3x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立,则正实数a 的取值范围______13、（上饶市2014届高三1月第一次高考模拟）若正数,x y 满足230x y +-=，则的最小值为14、设变量,x y 满足10,020,015,x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则23x y +的最大值为 ( ).A 20 .B 35 .C 45 .D 5515、已知变量,x y 满足1,2,0.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则x y +的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 516、若R c b a ∈,,，b a >，则下列不等式成立的是 （ ）A ．b a 11< B ．1122+>+c bc a C ．22b a > D ．c b c a > 17、已知正数,x y 满足20x y xy +-=，则2x y +的最小值为（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）0 18、已知011<<ba ，给出下列四个结论：①b a < ②ab b a <+ ③||||b a > ④2b ab < 其中正确结论的序号是A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④19、设a,b 是两个实数，且a ≠b ，①,322355b a b a b a +>+②)1(222--≥+b a b a ，③2>+abb a 。
江西省2015届高三数学理一轮复习备考试题：三角函数
江西省2015届高三数学一轮复习备考试题三角函数一、选择、填空题1、（2014年江西高考）在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别是,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积是A.3B.239 C.233 D.332、（2013年江西高考）函数2sin 2y x x =+的最小正周期为T 为3、（2012年江西高考）若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ= A ．15 B. 14 C. 13 D. 124、（红色六校2015届高三第一次联考）函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，ϕ＜π2的图象如图所示，为了得到()sin 3g x x =的图象，只需将()f x 的图象( )A.右平移π4个单位长度 B.左平移π4个单位长度C.右平移π12个单位长度D.左平移π12个单位长度5、（井冈山中学2015届高三第一次月考）定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角， 则(sin )f α与(cos )f β的大小关系是A ．(sin )(cos )f f αβ> B ．(sin )(cos )f f αβ< C ．(sin )(cos )f f αβ= D ．(sin )(cos )f f αβ≥6、（南昌二中2015届高三上学期第一次考）已知,135)4sin(-=+πx 则x 2sin 的值等于 ( ) A ．169120 B ．169119 C ．169120- D ．119169-7、（南昌市八一中学2015届高三8月月考）已知函数f （x ）=Acos （ωx+φ）的图象如图所示，f （）=﹣，则f （0）=（ ）A ．﹣B ． ﹣C ．D ．8、（遂川中学2015届高三上学期第一次月考）已知24sin 225α=-，(,0)4πα∈-，则sin cos αα+=（ ）A.－15B.15C.－75D.759、（吉安一中2014届高三下学期第一次模拟）已知函数()sin cos f x a x b x =-（a 、b 为常数，0,a x R ≠∈）在4x π=处取得最小值，则函数3()4y f x π=-是（ ） A. 奇函数且它的图象关于点3(,0)2π对称 B. 奇函数且它的图象关于点(,0)π对称 C. 偶函数且它的图象关于点(,0)π对称 D. 偶函数且它的图象关于点3(,0)2π对称 10、（南昌三中2014届高三第七次考试）已知函数)2,2(tan ππω-=在x y 内是减函数，则（ ） A ．0<ω≤1 B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1二、解答题1、（2014年江西高考）已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈-（1）当4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；(2)若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值.2、（2013年江西高考）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosC+（conA-sinA ）cosB=0.（1） 求角B 的大小；若a+c=1，求b 的取值范围3、（2012年江西高考）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a ，b ，c 。
2015届高考数学一轮复习 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用(含解析)新人教A版
课时跟踪检测(二十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·滨州一模)把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移π4个单位，得到的函数图像的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 2．(2013·全国大纲卷)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图，则ω＝( )A ．5B ．4C ．3D ．23．(2014·威海高三期末)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图像向左平移π6个单位后所得函数图像的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32B ．－12C.12D.324．(2013·福建高考)将函数f (x )＝sin (2x ＋θ) ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图像，若f (x )，g (x )的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6C.π2D.π65.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________．6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎝⎛⎭⎫π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.7．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图像．8．已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·长春调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图像如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围．2．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最小正周期为2，且当x ＝13时，f (x )的最大值为2.(1)求f (x )的解析式．(2)在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不正在，请说明理由．3．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选A 由y ＝sin x 图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图像的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝cos 2x . 2．选B 由函数的图像可得T 2＝12·2πω＝⎝⎛⎭⎫x 0＋π4－x 0＝π4，解得ω＝4. 3．选A 由函数f (x )的图像向左平移π6个单位得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图像，因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|<π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π20，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，23π， 所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 4．选B 因为函数f (x )的图像过点P ，所以θ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；又函数f (x )的图像向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π3， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝32，所以φ可以为5π6. 5．解析：由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2，又函数图像经过点⎝⎛⎭⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以f (0)＝2sin π3＝62.答案：626．解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)， 当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5. 答案：20.57．解：(1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.(2)图像如图所示．8．解：(1)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图像向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图像，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝ 2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)由题中图像得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，而－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12，所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 2．解：(1)由T ＝2知2πω＝2得ω＝π.又因为当x ＝13时f (x )max ＝2，知A ＝2.且13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， 故φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋2k π＋π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6， 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. (2)存在．令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k ＋13(k ∈Z )．由214≤k ＋13≤234.得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5. 故在⎣⎡⎦⎤214，234上存在f (x )的对称轴， 其方程为x ＝163.3．解：(1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在[2,8]上单调递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500.根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π6，且⎩⎪⎨⎪⎧ －A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝200，B ＝300.根据分析可知，当x ＝2时f (x )最小， 当x ＝8时f (x )最大， 故sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝－1， 且sin ⎝⎛⎭⎫8×π6＋φ＝1. 又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π6.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f (x )＝200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300. (2)由条件可知，200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300≥400，化简，得 sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6≥12⇒2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ， 解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z . 因为x ∈N *，且1≤x ≤12，故x＝6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三一轮复习阶段测试卷(第2周)数学文 Word版含答案
高三文科数学阶段质量检查试题(第2周) （考试时间：120分钟 满分100分） 拟题人：冯维丽 审题人：杨艳昌 2014.8.8一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1、下列函数为偶函数的是（ ）A ．sin y x =B ．3y x =C ．x y e = D．y =2、幂函数()f x x α=的图像经过点)21,4(，则1()4f 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13、函数1()ln(1)f x x =++ （ ）A ．[2,0)(0,2]-B ．(1,0)(0,2]-C ．[2,2]-D ．(1,2]-4、已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩,则1(())9f f =( ) A.4 B.14 C.4- D.14- 5、函数()2xf x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)6、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=)0(12)0(2x x x y x 的图象大致是（ ）7、设2131og a =，3.02)21(3log ==c b ，，则（ ） A. a<b<c B. a<c<b C. b<c<a D. b<a<c8、利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程的一个根位于下列区间的（ ）.A.（0.6，1.0）B.（1.4，1.8）C.（1.8，2.2）D.（2.6，3.0） 9、已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2011)(2012)f f -+的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．210、设0x 是方程3log 3x x =-的根，且0(,1)x k k ∈+，则k =（ ）A ．（0，1）B ．（1，3）C ．（3，4）D ．（4，+∞）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11、已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则x = .12、若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数，则实数a 的值为 ．13、若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-；函数()lg g x x = ，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为＿＿＿＿14、已知()f x 为偶函数，且(1)(3),20,()3x f x f x x f x +=--≤≤=当时,则=)2011(f三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15、（10分）计算： （1）0021)51(1212)4(2---+-+-（2）91log 161log 25log 532∙∙16、（13分）已知定义域为R 的函数ab x f x x+-=22)(是奇函数。
安徽省2015届高三数学(理)一轮复习参考试题：复数(北师大版)
安徽省2015届高三数学（理）一轮复习参考试题：复数一 选择题【2014安徽（理）真题1】设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数． 若,1i z +=则zi z i+⋅= （ ） A ．2- B ． i 2- C ． 2 D ． i 2 【答案】．C【2013安徽（理）真题1】设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z =（ ）A ．1+iB ．1i -C ．1+i -D ．1-i - 【答案】．A【2012安徽（理）真题1】复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z = （ ）()A 22i -- ()B 22i -+()C i 2-2 ()D i 2+2【答案】．D【2011安徽（理）真题1】设i 是虚数单位，复数aii 1+2-为纯虚数，则实数a 为 A ．2 (B) -2 (C) 1-2 (D) 12【答案】．A错误！未指定书签。
．（安徽省迎河中学2014届高三上学期第一次月考数学(理)试题）设复数z 满足(1-i)z=2 i,则z= （ ） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i 【答案】D错误！未指定书签。
．（安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学理试题）在复平面内,复数ii+-221对应的点的坐标为 （ ）A ．()1,0-B ．()1,0C ．⎪⎭⎫⎝⎛-53,54 D ．⎪⎭⎫⎝⎛53,54 【答案】A 原式=(12)(2)(2)(2)i i i i --+-=i -,所以,对应的坐标为(0,-1),选A>错误！未指定书签。
．（安徽省望江二中2014届高三复习班上学期第一次月考数学（理）试题）复数满足(1)2z i i +=,则复数Z 的实部与虚部之差为（ ）A ．2-B ．2C ．1D ．0【答案】D错误！未指定书签。
．（安徽省江南十校2014届新高三摸底联考数学理试题）若得利数z满足 (1+3)z=23i(i 为虚数单位),则z 的虚部是（ ） A ．32B ．-32C ．32i D ．-32i 【答案】A错误！未指定书签。
【学海导航】2015届高三数学(人教版理B)第一轮总复习同步训练：第12单元《概率与统计、统计案例》
第十二单元 概率与统计、统计案例第66讲 随机事件的概率、古典概型与几何概型1.(2013·安徽合肥市质检)在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为( )A.34B.23C.15D.132.容量为100的样本数据，依次分为8组，如下表：组号1 2 3 4 5 6 7 8 频数10 13 3x x 15 13 12 9 则第三组的频率是( )A ．0.12B ．0.21C ．0.15D ．0.283.从集合{1,2,3，…，10}中任取5个数组成集合A ，则A 中任意两个元素之和不等于11的概率为( )A.1945B.463C.863D.16634.在区间[0,9]上随机取一实数x ，则该实数x 满足不等式1≤log 2x ≤2的概率为______．5.已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8}，现从A 、B 中各取一个数字，组成无重复数字的二位数，在这些二位数中，任取一个数，则恰为奇数的概率为________．6.某单位招聘员工，从400名报名者中选出200名参加笔试，再按笔试成绩择优取40名参加面试，随机抽查了20名笔试者，统计他们的成绩如下：分数段[60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 人数1 3 6 6分数段[80,85) [85,90) [90,95) 人数2 1 1 由此预测参加面试所划的分数线是______．7.(2013·郑州市第一次质量预测)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 和曲线y ＝x 2围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是______．8.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12. (1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .记事件A 表示“a ＋b ＝2”，求事件A 的概率．9.设函数f(x)＝log2[x2－2(a－1)x＋b2]的定义域为D.(1)若a是从1,2,3,4四个数中任取的一个数，b是从1,2,3三个数中任取一个数，求使D ＝R的概率；(2)若a是从区间[0,4]任取的一个数，b是从区间[0,3]任取的一个数，求使D＝R的概率．第67讲 互斥事件、独立事件与条件概率1.某商场在春节举行抽奖促销活动，规则是：从装有编为0,1,2,3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖，则中奖的概率是( )A.13B.23C.14D.342.(2013·太原市第一次模拟)甲乙两人各加工一个零件，若加工为一等品的概率分别是23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.14C.16D.5123.现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少一名义工，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为( )A.16B.56C.1027D.17274.在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( ) A.14 B.34C.964D.27645.在一段时间内，甲去某地的概率为14，乙去此地的概率为15，假定两人的行动相互没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是________．6.甲乙两人向目标各射击一次(甲、乙相互没有影响)．甲的命中率为12，乙的命中率为710.已知目标被击中，则目标被甲击中的概率为________．7.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则：(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.8.一个袋子里装有大小、形状相同的3个红球和2个白球，如果不放回地依次抽取2个球，求：(1)第1次抽到红球的概率；(2)第1次和第2次都抽到红球的概率；(3)在第1次抽到红球的条件下，第2次抽到红球的概率；(4)抽到颜色相同的球的概率．9.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率．第68讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差1.若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)等于( )A ．(1－α)(1－β)B ．1－(α＋β)C ．1－α(1－β)D ．1－β(1－α)2.若ξ～B (n ，p )且Eξ＝6，Dξ＝3，则P (ξ＝1)的值为( )A ．3×2－2B ．3×2－10C ．2－4D ．2－83.从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1件的概率是( )A.3235B.1235C.335D.2354.甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则Eξ为( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.55.某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100元，在下雨的日子每天要损失10元，若该地区每年下雨的日子约为130天，则此小摊每天获利的期望值是(一年按365天计算)________元(结果保留2位小数)．6.已知随机变量ξ的分布列如表所示，则Dξ＝________.ξ 0 1 2P 12 a 14 7.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望EX ＝______.8.“低碳经济”是促进社会可持续发展的推进器．某企业现有100万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为35，15，15；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利30%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为a 和b (其中a ＋b ＝1)．(1)如果把100万元投资“传统型”经济项目，用ξ表示投资收益(投资收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的概率分布及均值(数学期望)Eξ；(2)如果把100万元投资“低碳型”经济项目，预测其投资收益均值会不低于投资“传统型”经济项目的投资收益均值，求a 的取值范围．9.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2 障时间x(年)轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)123 1.8 2.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．第69讲 随机抽样、用样本估计总体、正态分布1.将参加夏令营的500名学生编号为：001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为( )A ．20,15,15B ．20,16,14C ．12,14,16D ．21,15,142.已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜2)等于( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.23.(2013·宁波市四中高三上期末)200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速不低于60 km/h 的汽车数量为( )A ．65辆B ．76辆C ．88辆D ．95辆4.设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104，x 5＝105，随机变量ξ1取值x 1、x 2、x 3、x 4、x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22、x 2＋x 32、x 3＋x 42、x 4＋x 52、x 5＋x 12的概率也均为0.2.若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则( )A ．Dξ1＞Dξ2B ．Dξ1＝Dξ2C ．Dξ1＜Dξ2D ．Dξ1与Dξ2的大小关系与x 1、x 2、x 3、x 4的取值有关5.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市______家．6.在一次运动员的选拔中，测得7名选手身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示．已知记录的平均身高为174 cm ，但有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为______. 18 0 117 0 3 x16 8 97.给出如下10个数据：63,65,67,69,66,64,66,64,65,68.根据这些数据制作频率分布直方图，其中[64.5,66.5)这组所对应的矩形的高为 .8.在某篮球比赛中，根据甲和乙两人的得分情况得到如图所示的茎叶图．(1)从茎叶图的特征来说明他们谁发挥得更稳定；(2)用样本的数字特征验证他们谁发挥得更好．9.某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：分组频数频率[39.95,39.97)10[39.97,39.99)20[39.99,40.01)50[40.01,40.03]20合计100(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在下图中画出频率分布直方图；(2)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率；(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．第70讲 变量的相关性、回归分析和独立性检验1.在回归分析中，残差图中纵坐标为( )A ．残差B ．样本编号C.x － D ．y i2.(2013·湛江测试)已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为( )A ．y ＝1.23x ＋4B ．y ＝1.23x ＋5C ．y ＝1.23x ＋0.08D ．y ＝0.08x ＋1.233.在下列各图中，两个变量具有相关关系的图是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(2)(3)4.(2013·临沂市质量检测)为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了200位老年人，结构如下：性别是否需要志愿者 男 女需要70 40 不需要30 60 附：P (K 2>k ) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过的0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”C ．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”D ．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”5.经调查某地若干户家庭的年收入x (万元)和年饮食支出y (万元)具有线性相关关系，并得到y 关于x 的线性回归直线方程：y ＝0.245x ＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加 万元．6.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝0.7x ＋0.35，那么表中m 的值为______.x 3 4 5 6y 2.5 m 4 4.57.某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，可以有 %的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.超重 不超重 合计偏高4 15 不偏高3 12 15 合计7 13 20 独立性检验临界值表：P (K 2≥k 0)0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 5.024 6.635 7.879 10.828独立性检验随机变量K 2值的计算公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d . 8.下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温/℃ 26 18 13 10 4 －1杯数20 24 34 38 50 64 (1)将上表中的数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现温度与卖出热茶的杯数近似成什么关系吗？(3)如果近似成线性相关关系，请求出线性回归方程来近似地表示这种线性相关关系；(4)如果某天的气温是－5 ℃时，用(3)的回归方程预测这天小卖部卖出热茶的杯数．9.电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷 体育迷 合计男女10 55 合计附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d )，P (K 2≥k )0.05 0.01 k 3.841 6.635第十二单元 概率与统计、统计案例第66讲 随机事件的概率、古典概型与几何概型1．C 总的取法有15种，由正四面体的性质可知，对棱垂直，故互相垂直的有3种，所以所求概率为15，故选C.2．B 因为10＋13＋3x ＋x ＋15＋13＋12＋9＝100，得x ＝7，所以，第三组的频数3x＝21，于是，第三组的频率是21100＝0.21，故选B.3．C 分组考虑，和为11的有：(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，若A 中任意两个元素之和不等于11，则5个元素必须只有每组中的一个，故所求概率为P ＝25C 510＝863，故选C.4.29由1≤log 2x ≤2得2≤x ≤4， 故所求概率为29.5.712由题意，所有无重复数字的两位数有3×2×2＝12个，其中奇数为17,71,27,81,83,37,73共7个，所以概率P ＝712.6．80 因为40200×20＝4，所以随机抽查了20名笔试者中的前4名进入面试，观察成绩统计表，预测参加面试所划的分数线是80分．7.13 阴影部分的面积S 1＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(23x 32－13x 3)|10＝13，而正方形AOBC 的面积为1，故所求的概率为13.8．解析：(1)由题意可知：n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)不放回地随机抽取2个小球的所有等可能基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A 包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个，所以P(A)＝412＝13.9．解析：(1)定义域D ＝{x|x 2－2(a －1)x ＋b 2>0}． 将取的数组记作(a ，b)，共有4×3＝12种可能． 要使D ＝R ，则Δ＝4(a －1)2－4b 2<0，即|a －1|<|b |.满足条件的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(3,3)，共6个基本事件，所以P (D ＝R )＝612＝12. (2)全部试验结果Ω＝{(a ，b )|a ∈[0,4]，b ∈[0,3]}， 事件A ＝{D ＝R }对应区域为A ＝{(a ，b )||a －1|<|b |}，则P (A )＝S 阴影S Ω＝3×4－12×1×1－12×3×33×4＝712，故D ＝R 的概率为712.第67讲 互斥事件、独立事件与条件概率1．B 中一等奖的概率是1C 24＝16，中二等奖的概率是1C 24＝16，中三等奖的概率是2C 24＝13，所以中奖的概率为16＋16＋13＝23，故选B.2．D 设甲加工为一等品，乙加工为非一等品的事件为A ，乙加工为一等品，甲加工为非一等品的事件为B ，则两个零件中恰有一个一等品的概率为P (A )＋P (B )＝23×14＋13×34＝512，故选D. 3．B 甲、乙两人被分到同一社区的概率为A 33C 24A 33＝16，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为1－16＝56，故选B.4．C 设事件A 发生的概率为P ，事件A 不发生的概率为P ′，则有：1－(P ′)3＝6364⇒P ′＝14，故P ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×(14)2＝964，故选C. 5.25 至少有1人去此地包含有3个互斥事件，(1)甲去乙未去，(2)甲未去乙去，(3)甲、乙都去．所以至少有1人去此地的概率为14×(1－15)＋15×(1－14)＋14×15＝25.6.1017设“甲命中”为事件A ，“乙命中”为事件B ，“目标被击中”为事件C ，则P (A )＝12，P (C )＝1－P (A －)P (B －)＝1－(1－12)(1－710)＝1720，则P (A |C )＝P (A ∩C )P (C )＝P (A )P (C )＝1017. 7．(1)2π (2)14(1)S 圆＝π，S 正方形＝(2)2＝2，根据几何概型的求法有：P (A )＝S 正方形S 圆＝2π；(2)由∠EOH ＝90°，S △EOH ＝14S 正方形＝12，故P (B |A )＝S △EOH S 正方形＝122＝14.8．解析：设A ＝{第1次抽到红球}，B ＝{第2次抽到红球}， 则第1次和第2次都抽到红球为事件AB .从第5个球中不放回地依次抽取2个球的事件数为n (Ω)＝A 25＝20，(1)由分步计数原理，n (A )＝A 13·A 14＝12， 于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝1220＝35.(2)P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝620＝310.(3)在第1次抽到红球的条件下，当第2次抽到红球的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12.(4)抽到颜色相同球的概率为P ＝P (两次均为红球)＋P (两次均为白球) ＝3×220＋2×120＝25.9．解析：(1)由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12，记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P (A )＝C 34(12)3(12)4－312＝18.(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ， 因为，乙以4比2获胜的概率为P 1＝C 35(12)3(12)5－312＝532，乙以4比3获胜的概率为P 2＝C 36(12)3(12)6－312＝532，所以P (B )＝P 1＋P 2＝516.第68讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差 1．B 由分布列性质可有：P (x 1≤ξ≤x 2)＝P (ξ≤x 2)＋P (ξ≥x 1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)， 故选B.2．B Eξ＝np ＝6，Dξ＝np (1－p )＝3⇒p ＝12，n ＝12，所以P (ξ＝1)＝C 112(12)12＝3×2－10，故选B. 3．B 设随机变量X 表示取出次品的个数，则X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3，它的可能取值为0,1,2，所以所求概率为P (X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，故选B.4．B ξ的可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 36C 33C 36C 36＝120，P (ξ＝1)＝C 16C 25C 23C 36C 36＝920，P (ξ＝2)＝C 26C 14C 13C 36C 36＝920，P (ξ＝3)＝C 36C 36C 36＝120，则Eξ＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝1.5，故选B.5．60.82 Eξ＝100×235365＋(－10)×130365≈60.82.6.1116 由题知a ＝1－12－14＝14， 则Eξ＝0×12＋1×14＋2×14＝34，Dξ＝12×(0－Eξ)2＋14×(1－Eξ)2＋14×(2－Eξ)2＝1116.7.1116 因为P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，所以p ＝12. 随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×(12)2＋23×(12)2＝13；P (X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12)2＝512，P (X ＝3)＝23×(12)2＝16.因此EX ＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.8．解析：(1)依题意，ξ的可能取值为20,0，－10， ξ的分布列为ξ 20 0 －10P 35 15 15Eξ＝20×35＋0×15＋(－10)×15＝10(万元)．(2)设η表示100万元投资“低碳型”经济项目的收益，则η的分布列为η 30 －20 P a bEη＝30a －20b ＝50a －20，依题意要求50a －20≥10，所以35≤a ≤1.9．解析：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110. (2)依题意得，X 1的分布列为X 11 2 3 P125 350 910X 2的分布列为X 2 1.8 2.9 P110910(3)由(2)得，EX 1＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，EX 2＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)，因为EX 1＞EX 2，所以应生产甲品牌轿车．第69讲 随机抽样、用样本估计总体、正态分布1．B 根据系统抽样特点，被抽到号码l ＝10k ＋3，k ∈N ，第353号被抽到，因此第二营区应有16人，所以三个营区被抽中的人数分别为20,16,14，故选B.2．C 由P (ξ＜4)＝0.8知P (ξ＞4)＝P (ξ＜0)＝0.2， 故P (0＜ξ＜2)＝0.3，故选C.3．B 设时速不低于60 km/h 的汽车数量为n ， 则n200＝(0.028＋0.010)×10＝0.38， 所以n ＝0.38×200＝76.4．A Dξ1＝15[(x －－x 1)2＋…＋(x －－x 5)2]＝15(x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25)－x －2， Dξ2＝15[(x －－x 1＋x 22)2＋…＋(x －－x 5＋x 12)2]＝15[(x 1＋x 22)2＋…＋(x 5＋x 12)2]－x －2＜15(x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25)－x －2， 所以Dξ1>Dξ2，故选A.5．20 n ＝100×400200＋400＋1400＝20.6．7 将所有数据都减去170，根据平均数的计算公式可得10＋11＋3＋x －2－17＝4，解得x ＝7.7.15 落在区间[64.5,66.5)的数据依次为65,66,66,65，共4个，则矩形的高等于频率组距＝41066.5－64.5＝15.8．解析：(1)茎叶图的直观形状像横放的频率分布直方图，且保留了所有原始数据的信息，所以从数与形的特征来看，甲和乙的得分都是对称的，叶的分布是“单峰”的，但甲全部的叶都集中在茎2上，而乙只有57的叶集中在茎2上，这说明甲发挥得更稳定．(2)x －甲＝20＋21＋25＋26＋27＋28＋287＝25，x －乙＝17＋23＋24＋25＋26＋29＋317＝25，s 2甲＝17[(20－25)2＋(21－25)2＋(25－25)2＋(26－25)2＋(27－25)2＋(28－25)2＋(28－25)2]≈9.14，s 2乙＝17[(17－25)2＋(23－25)2＋(24－25)2＋(25－25)2＋(26－25)2＋(29－25)2＋(31－25)2]≈17.43.因为x －甲＝x －乙，s 2甲<s 2乙，所以甲发挥得更好．9．解析：(1)频率分布表及频率分布直方图如下：分组 频数 频率 频率组距[39.95,39.97) 10 0.10 5 [39.97,39.99) 20 0.20 10 [39.99,40.01) 50 0.50 25 [40.01,40.03] 20 0.20 10合计100 1(2)误差不超过0.03 mm ，即直径落在[39.97,40.03]范围内，其概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9. (3)整体数据的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．第70讲 变量的相关性、回归分析和独立性检验 1．A 联想残差图知纵坐标为残差，故选A.2．C 由题知斜率的估计值为1.23，排除D ；因为回归直线方程必过样本点的中心(x －，y －)，将点(4,5)代入A 、B 、C 检验可知，选C.3．D 图形应为散点图，且成带状分布．4．A 由公式可计算K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝200(70×60－30×40)2100×100×110×90≈18.18，即P (K 2>10.828)＝0.001，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”，故选A.5．0.245 x 变为x ＋1，y ＝0.245(x ＋1)＋0.321＝0.245x ＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．6．3 由题意可得x －＝3＋4＋5＋64＝92，所以y －＝0.7×92＋0.35＝3.5，所以2.5＋m ＋4＋4.54＝3.5，所以m ＝3.7．97.5 K 2＝20(4×12－3×1)25×7×13×15≈5.934＞5.024，所以可以有97.5%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系． 8．解析：(1)将表中的数据制成散点图，如图：(2)从散点图中发现气温与卖出热茶的杯数近似成线性相关关系．(3)线性回归方程是y ^＝－1.648x ＋57.557.(4)如果某天的气温是－5 ℃，用y ^＝－1.648x ＋57.557预测这天小卖部卖出热茶的杯数约为－1.648×(－5)＋57.557≈66.9．解析：由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：非体育迷 体育迷 合计男30 15 45 女45 10 55 合计75 25 100 由2×2列联表中数据代入公式计算，得：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d )＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以，没有理由认为“体育迷”与性别有关．。
2015届高三数学(理)湘教版一轮复习解答题规范专练5 平面解析几何
解答题规范专练(五) 平面解析几何1．(2014·武汉模拟)设点P 是圆x 2＋y 2＝4上任意一点，由点P 向x 轴作垂线PP 0，垂足为P 0，且0MP ＝320PP . (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)与(1)中的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列，求实数m 的取值范围．2．(2014·合肥模拟)已知椭圆：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4，且过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B ，M 是椭圆上的三点．若OM ＝35OA ＋45OB ，点N 为线段AB 的中点，C ⎝⎛⎭⎫－62，0，D ⎝⎛⎭⎫62，0，求证：|NC |＋|ND |＝2 2.3．(2014·哈师大附中模拟)已知点E (m,0)(m >0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值；(2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点．答 案1．解：(1)设点M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则由题意知P 0(x 0,0)．由0MP ＝(x 0－x ，－y )，0PP ＝(0，－y 0)，且0MP ＝320PP ，得(x 0－x ，－y )＝32(0，－y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－x ＝0，－y ＝－32y 0，于是⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝23y .又x 20＋y 20＝4，∴x 2＋43y 2＝4.∴点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0.∴Δ＝(8mk )2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，即3＋4k 2－m 2>0.(*)且⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.依题意，k 2＝y 1y 2x 1x 2，即k 2＝kx 1＋m x 1·kx 2＋mx 2.∴x 1x 2k 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.∴km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，即km ⎝⎛⎭⎫－8mk 3＋4k 2＋m 2＝0.∵m ≠0，∴k ⎝⎛⎭⎫－8k 3＋4k 2＋1＝0，解得k 2＝34.将k 2＝34代入(*)，得m 2<6. ∴m 的取值范围是(－6，0)∪(0，6)．2．解：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，3a 2＋14b 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1， 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 21＝1，x 224＋y 22＝1. 由OM ＝35OA ＋45OB ， 得M ⎝⎛⎭⎫35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2. 因为M 是椭圆C 上一点，所以⎝⎛⎭⎫35x 1＋45x 224＋⎝⎛⎭⎫35y 1＋45y 22＝1， 即⎝⎛⎭⎫x 214＋y 21⎝⎛⎭⎫352＋⎝⎛⎭⎫x 224＋y 22⎝⎛⎭⎫452＋2×35×45×⎝⎛⎭⎫x 1x 24＋y 1y 2＝1， 得⎝⎛⎭⎫352＋⎝⎛⎭⎫452＋2×35×45×⎝⎛⎭⎫x 1x 24＋y 1y 2＝1，故x 1x 24＋y 1y 2＝0. 又线段AB 的中点N 的坐标为 ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， 所以⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2222＋2⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222＝12⎝⎛⎭⎫x 214＋y 21＋12⎝⎛⎭⎫x 224＋y 22＋x 1x 24＋y 1y 2＝1， 从而线段AB 的中点N ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在椭圆x 22＋2y 2＝1上． 又椭圆x 22＋2y 2＝1的两焦点恰为 C ⎝⎛⎭⎫－62，0，D ⎝⎛⎭⎫62，0， 所以|NC |＋|ND |＝2 2.3．解：(1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点，∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD .设AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －1)，y 2＝4x 得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4. ∵M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝⎛⎭⎫2k21＋1，2k 1， 同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)，∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝ 12 ⎝⎛⎭⎫2k 212＋⎝⎛⎭⎫2k 12·(2k 21)2＋(－2k 1)2＝2 k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4， 当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取最小值4. (2)证明：设AB 的方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －m )，y 2＝4x 得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0， y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ， ∵M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝⎛⎭⎫2k21＋m ，2k 1， 同理，点N ⎝⎛⎭⎫2k 22＋m ，2k 2， ∴k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2. ∴MN 的方程为y －2k 1＝k 1k 2x －⎝⎛⎭⎫2k 21＋m ， 即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．。
高考数学一轮复习测试卷2-人教版高三全册数学试题
2015届高三一轮复习测试卷二文科数学考查X 围：集合、逻辑、函数、导数、复数、圆锥曲线、概率第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.) 1.复数z=ii++-23 的共轭复数是( ) A ．2+i B ．2-i C ．-1+i D ．-1-i 2.若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ） A.M N ⋃ B.M N ⋂ C.()()U U C M C N ⋃ D.()()U U C M C N ⋂ 3.下列命题中，真命题是 （ ）A ．2,x R x x ∀∈≥ B ．命题“若21,1x x ==则”的逆命题C ．2,x R x x ∃∈≥ D ．命题“若,sin sin x y x y ≠≠则”的逆否命题4.函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为（ ）(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]- (D)(1,2]-5.已知()1-x f =x x 62+，则()x f 的表达式是（ ）A ．542-+x xB ．782++x xC ．322-+x xD ．1062-+x x 6.定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )．A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)7．设a ＝log 0.50.8，b ＝log 1.10.8，c ＝1.10.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )． A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．a <c <b8．函数()()14214xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+<⎩则f (log 23)等于()．A ．1 B.18 C.116D.1249.函数13y x x =-的图象大致为()．10. 与椭圆1422=+y x 共焦点且过点P )1,2(的双曲线方程是：( ) A ．1422=-y x B ．1222=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 11.“a =－1”是“函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．非充分必要条件12.已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈-时2()f x x =,那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有( )A.10个B.9个C.8个D.1个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在答题卷相应位置上.13.已知2x ＝5y＝10，则1x ＋1y＝________.14.设函数()3cos 1f x x x =+,若()11f a =,则()f a -=15.设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在x 轴上，抛物线上的点(2,)P k 与点F 的距离为3，则抛物线方程为。
江西省南昌市2015届高三第一轮复习训练 数学(1)(集合与简易逻辑)
2014－2015学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题数学（一）（集合、简易逻辑和推理与证明.）命题人：刘婷 学校：江西师大附中 审题人：孙建民 学校：南昌市教研室一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2A ={|log <1},B={x|0<<c}x x x，若=AB B ，则c 的取值范围是A ．(0,1]B ．[1,+)∞C ．(0,2]D ．[2,+)∞ 2．{2,1,0,1,2},{2,1,0},{0,1,2}U A B =--=--=，则集合()U A B ð等于A ．{1,2}B ．{2,1}--C ．{0}D ．{0,1,2}3．“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”。
此推理方法是 A ．演绎推理 B ．归纳推理 C.类比推理 D.以上均不对 4．对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是A.逆命题为“单调函数不是周期函数”B.否命题为“周期函数是单调函数”C.逆否命题为“单调函数是周期函数”D.以上三者都不对 5．用数学归纳法证明()22111,11n n a a a a n N a a++-+++⋅⋅⋅+=∈≠-在验证n =1成立时，左边所得的项为A ．1B ．1a +C ．21a a ++D ．231a a a +++6．已知函数=y )(x f (R x ∈),则“)2()1(f f <”是“=y )(x f 在R 上是增函数”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7. 在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4。
类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为 A ．1：2 B ．1：4 C ．1：8 D ．1：168．用反证法证明“如果,a b >>”时，应先假设A ==<D =<9．命题“为真命题的一个充分不必要条件可以是 A ．1a ≥ C ．4a ≥ D ．4a >10“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域(阴影部分)的周率从左到右依次记为1τ，2τ，3τ，4τ，则下列关系中正确的是．A ．143τττ>>B ．312τττ>>C ．421τττ>>D ．341τττ>>题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上。
广东省2015届高三数学理一轮复习备考试题：三角与向量
2015年高考一轮复习备考试题--三角与向量一、选择题 1、[2014·广东卷] 已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )A ．(－1，1，0)B ．(1，－1，0)C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1) 2、（2012广东高考）若向量()2,3BA =，()4,7CA =，则BC =（ ）A .()2,4--B .()2,4C .()6,10D .()6,10--3、（2011广东高考）若向量,,a b c 满足a ∥b 且⊥a c ，则(2)⋅+=c a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．04、（2014广州一模）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则cb为A ．2sin CB ．2cos BC ．2sin BD ．2cos C5、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））设函数sin 23cos2y x x =+的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,2A = B . T π=,2A = C ．2T π=,2A = D ．2T π=,2A = 6、（2015广州六中8月摸底）已知向量AB 与AC 的夹角为120°,且3,2==AC AB ,若AC AB AP +=λ,且0)(=-⋅AB AC AP ，则实数λ的值为( ）A ．73 B ．712 C ．6 D ．13二、解答题7、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.8、（2013广东高考）已知学科网函数()2cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．9、（2012广东高考）已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中0ω>x ∈R ）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，56535f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，5165617f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()cos αβ+的值.10、（2011广东高考）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求5()4f π的值； （2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求cos()αβ+的值．11、（2015广州六中第一学科网次质检） 已知函数21()3sin cos cos ,2f x x x x x R =--∈． (Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期；(Ⅱ)已知ABC ∆内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==，若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a b 、的值．12、（2014广州一模）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，．（1）求实数a 的值；（2）设[]2()()2g x f x =-，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间．13、（2015广州海珠区综合测试一）已知函数()2cos 24x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，x R ∈. （1）求()f x 的单调递减区间； （2）若3sin 5θ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()4f θπ+．14、已知函数21cos 2sin 23)(2--=x x x f ，x R ∈． （I ）若]43,245[ππ∈x ，求函数()f x 的最大值和最小值，并写出相应的x 的值； （II ）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足3c =，()0f C =且sin 2sin B A =，求a 、b 的值.15、（2015广东七校摸底）已知函数1()2sin()3f x x ϕ=+（,02x R πϕ∈<<）的图象过点(,3)2M π.（1）求ϕ的值；（2）设,[0,]2παβ∈，1056(3),(3),1325f f παπβ+=+=-求sin()αβ-的值.参考答案：1、B2、A3、D4、B5、C6、B7、解：（1）依题意有55233sin sin 12124322f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3A = （2）由（1）得()3sin(),4f x x x R π=+∈，()()33sin sin 6cos 442f f ππθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+-=++-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦6cos 4θ∴=，2310(0,)sin 1cos 1284πθθθ∈∴=-=-= 33303sin 3sin 4444f πππθθθ⎛⎫⎛⎫∴-=-+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8、(Ⅰ)2cos 2cos 2cos 1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (Ⅱ)22cos 22cos 2cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭.9、解析：（Ⅰ）210T ππω==，所以15ω=.（Ⅱ）515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3s i n 5α=.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以8cos 17β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以24c o s 1s i n 5αα=-=，215sin 1cos 17ββ=-=，所以()4831513cos c os co s s i n s i n 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-. 10、解：（1）515()2sin()2sin 243464f ππππ=⨯-== （2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α=16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴212cos 1sin 13αα=-=，24sin 1cos 5ββ=-= ∴1235416cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=11、12、解：（1）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 即ππsin cos 033a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即3022a -+=．解得3a =． （2）由（1）得()sin 3cos f x x x =+．所以2()[()]2g x f x =-()2sin 3cos 2x x =+-22sin 23sin cos 3cos 2x x x x =++-3sin 2cos2x x =+312sin 2cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 2cos cos 2sin 66x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以()g x 的最小正周期为22π=π． 因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ， 所以当πππ2π22π262k x k -≤+≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增， 即ππππ36k x k -≤≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增．所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．12、解：（Ⅰ）∵C B A ,,为ABC ∆的内角，且552cos =A ，10103cos =B∴555521cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=A A 1010101031cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=B B ∴()B A +cos B A B A sin sin cos cos += 10105510103552⨯-⨯=22=（Ⅱ）由（I ）知， 45=+B A ∴ 135=C ∵10=a ，由正弦定理BbA a sin sin =得555101010sin sin =⨯=⨯=A Ba b∴ABC S ∆252251021sin 21=⨯⨯⨯==C ab13、14、解（Ⅰ）31cos 21()sin 2sin(2)12226x f x x x π+=--=--…….............3分 令,62π-=x t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈34,4ππt ()1sin -=∴t t f 。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三一轮复习阶段测试卷(第12周)数学理 Word版含答案
（八）幂函数与函数的图像 33.4．[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( )图1-1A BC D图1-234.10．[2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－33，33 35.8．[2014·山东卷] 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，12B. ⎝⎛⎭⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞) 36.7．[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )（九） 函数与方程37.10．[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e)C.⎝⎛⎭⎫－1e ，e D.⎝⎛⎭⎫－e ，1e38.14．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．39.6．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >9（十） 函数模型及其应用 40.8．[2014·湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－141.10．[2014·陕西卷] 如图1-2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )图1-2A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x（十一） 导数及其运算 42.18．[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．43.21．[2014·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p.44.20．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .45.10．[2014·广东卷] 曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．46.13．[2014·江西卷] 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．47.18．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．48.7．[2014·全国卷] 曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2 D ．1 49.8．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 50.21．[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．51.19．[2014·四川卷]设等差数列{a n}的公差为d，点(a n，b n)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{a n}的前n项和S n；(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n的前n项和T n.（十二）导数的应用52.21．[2014·四川卷]已知函数f(x)＝e x－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．53.18．[2014·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．答案提示：(八) 幂函数与函数的图像33. B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图像不正确．因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66.故选B.35.8．B [解析] 画出函数f (x )的图像，如图所示．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实数，则函数f (x )，g (x )有两个交点，则k ＞12，且k ＜1.故选B.36. [2014·浙江卷]7．D [解析] 只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选D.(九) 函数与方程 37.10．B [解析] 依题意，设存在P (－m ，n )在f (x )的图像上，则Q (m ，n )在g (x )的图像上，则有m 2＋e －m －12＝m 2＋ln(m ＋a )，解得m ＋a ＝ee －m －12，即a ＝ee －m －12－m (m ＞0)，可得a ∈(－∞，e)．38．[解析] 14．(0，1)∪(9，＋∞) 在同一坐标系内分别作出y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图像如图所示．当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图像相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋a ＝－x 2－3x ，a >0，整理得x 2＋(3－39． [2014·浙江卷] .6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >96．C [解析] 由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，而0<f (－1)≤3，故0<－6＋c ≤3， ∴6<c ≤9，故选C.（十）函数模型及其应用40.[解析] 8．D 设年平均增长率为x ，则有(1＋p )(1＋q )＝(1＋x )2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1. 41. [2014·陕西卷] 9. 如图1-2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )图1-2A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x10．A [解析] 设该三次函数的解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d .因为函数的图像经过点(0，0)，所以d ＝0，所以y ＝ax 3＋bx 2＋cx .又函数过点(－5，2)，(5，－2)，则该函数是奇函数，故b ＝0，所以y ＝ax 3＋cx ，代入点(－5，2)得－125a －5c ＝2.又由该函数的图像在点(－5，2)处的切线平行于x 轴，y ′＝3ax 2＋c ，得当x ＝－5时，y ′＝75a ＋c ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧－125a －5c ＝2，75a ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1125，c ＝－35.故该三次函数的解析式为y ＝1125x 3－35x .(十一) 导数及其运算 42. [2014·安徽卷] 18． 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 18．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减， 所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值． 43. [2014·安徽卷] 21． 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p. 21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x . 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立． (2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p .①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k p＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1p>1＋p · 1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k . 因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p， 所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p 均成立．再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n<1，即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p ，则x p ≥c ，所以f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p ⎝⎛⎭⎫1－c x p >0. 由此可得，f (x )在[c 1p ，＋∞)上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1p .①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p 1>c 可知 a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p ， 故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p 成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p )，即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p均成立．44. [2014·福建卷] 20．已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 20．解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4>0， 故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0， 所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x .(3)证明：①若c ≥1，则e x ≤c e x .又由(2)知，当x >0时，x 2<e x . 故当x >0时，x 2<c e x .取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .②若0<c <1，令k ＝1c >1，要使不等式x 2<c e x 成立，只要e x >kx 2成立．而要使e x >kx 2成立，则只要x >ln(kx 2)，只要x >2ln x ＋ln k 成立． 令h (x )＝x －2ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－2x ＝x －2x .所以当x >2时，h ′(x )>0，h (x )在(2，＋∞)内单调递增．取x 0＝16k >16，所以h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增．(2)同方法一．(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝4c， 由(2)知，当x >0时，e x>x 2，所以e x＝e x 2·e x 2>⎝⎛⎭⎫x 22·⎝⎛⎭⎫x 22，当x >x 0时，e x>⎝⎛⎭⎫x 22⎝⎛⎭⎫x 22>4c ⎝⎛⎭⎫x 22＝1c x 2，因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)首先证明当x ∈(0，＋∞)时，恒有13x 3<e x .证明如下：令h (x )＝13x 3－e x ，则h ′(x )＝x 2－e x .由(2)知，当x >0时，x 2<e x ，从而h ′(x )<0，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以h (x )<h (0)＝－1<0，即13x 3<e x .取x 0＝3c ，当x >x 0时，有1c x 2<13x 3<e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .45. [2014·广东卷] 10．曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________． 10．y ＝－5x ＋3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.46. [2014·江西卷] 13． 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．13．(－ln 2，2) [解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －x .又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e －x 0＝－2，可得x 0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．47. [2014·江西卷] 18．已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )．(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围． 18．解：(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x （x ＋2）1－2x，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0.所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，－x1－2x<0， 依题意当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，19. 48. [2014·全国卷] 7．曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．17．C [解析] 因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x －1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－1＝2，故曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处的切线斜率是2.49. [2014·新课标全国卷Ⅱ] 8．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．38．D [解析] y ′＝a －1x ＋1，根据已知得，当x ＝0时，y ′＝2，代入解得a ＝3.50. [2014·陕西卷] 21． 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x＝x1＋2x ，那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a（1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0，∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减，∴φ(a －1)<φ(0)＝0. 即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0nx x ＋1d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，51.[2014·四川卷] .19．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .19．解：(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以 2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意有a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ，所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1，因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.（十二） 导数的应用 52. [2014·四川卷] 21． 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围． 21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1. 同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2. 故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2， 则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0，解得e －2<a <1. 当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))． 若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0，故f (x )在(x 1，x 2)内有零点． 综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)． 53. [2014·安徽卷] 18．设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 18．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．。
2015届高考数学一轮总复习 阶段性测试题10(统计与概率)
阶段性测试题十(统计与概率)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)某学校进行问卷调查，将全校4200名同学分为100组，每组42人按1～42随机编号，每组的第34号同学参与调查，这种抽样方法是()A．简单随机抽样B．分层抽样C．系统抽样D．分组抽样[答案] C(理)(2013·郑州质量预测)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤－2)＝()A．0.16B．0.32C．0.68 D．0.84[答案] A[解析]因为ξ服从正态分布N(1，σ2)，所以P(ξ≤4)＝P(ξ≥－2)＝0.84，故P(ξ≤－2)＝1－P(ξ≥－2)＝1－0.84＝0.16.2．(2014·武汉市调研)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x，y的值分别为()A．2,6 B．2,7C．3,6 D．3,7[答案] D[解析]x＝17×5－(9＋12＋10＋27＋24)＝3，∵15<10＋y<18且中位数为17，∴y＝7，故选D.3．(文)(2014·银川九中一模)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110B.310 C.35 D.910[答案] D[解析] 将3个红球记作A 、B 、C,2个白球记作D 、E ，从中任取3个球，不同的取法有(A ，B ，C )，(A ，B ，D )，(A ，B ，E )，(A ，C ，D )，(A ，C ，E )，(A ，D ，E )，(B ，C ，D )，(B ，C ，E )，(B ，D ，E )，(C ，D ，E )，共10种，其中所取3个球全是红球的只有1种，∴所求概率P ＝1－110＝910，故选D.(理)(2014·合肥八中联考)将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A ．10种B ．20种C ．36种D ．52种[答案] A[解析] 根据2号盒子里放球的个数分类：第一类，2号盒子里放2个球，有C 24种放法，第二类，2号盒子里放3个球，有C 34种放法，剩下的小球放入1号盒中，共有不同放球方法C 24＋C 34＝10种．4．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中，龙海二中六校联考)设函数f (x )＝－x ＋2，x ∈[－5,5]．若从区间[－5,5]内随机选取一个实数x 0，则所选取的实数x 0满足f (x 0)≤0的概率为( )A ．0.5B ．0.4C ．0.3D ．0.2 [答案] C[解析] 令f (x 0)≤0得x 0≥2，∴所求概率P ＝5－25－(－5)＝0.3，故选C.(理)(2014·成都七中模拟)已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，f (x )g (x )＝a x ，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则关于x 的方程abx 2＋2x ＋52＝0(b ∈(0,1))有两个不同实根的概率为( )A.35B.25 C.15 D.12 [答案] B[解析] 令h (x )＝f (x )g (x )＝a x ，则h ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2<0，∴h (x )是减函数，∴0<a <1.又f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，∴a ＋1a ＝52，∴a ＝12.由Δ>0得b <25.又b ∈(0,1)，由几何概型概率公式得：p ＝25，选B.5．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中，龙海二中六校联考)如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.8 B ．84,1.6 C ．85,4 D ．85,1.6 [答案] D[解析] 去掉最高分93分和最低分79后，所剩数据的平均分为：x －＝80＋15(4×3＋6＋7)＝85，方差为：S 2＝15[(85－84)2×3＋(85－86)2＋(85－87)2]＝1.6.(理)(2014·长安一中质检)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 [答案] B[解析] 有两个重复数字时，①含2个0，有9种，②含1个0,0不能排在百位，∴有C 12C 19＝18种；③不含0，有C 19C 13C 18＝216种(或C 29C 12C 13＝216种)；有三个重复数字时，有C 19＝9种，∴共有含重复数字的三位数9＋18＋216＋9＝252个，故选B.6．(2014·湖南益阳市箴言中学模拟)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ② y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ [答案] D[解析] y 与x 正(或负)相关时，线性回归直线方程y ＝b ^x ＋a ^中，x 的系数b ^>0(或b ^<0)，故①④错． 7．(2014·北京市海淀区期末)为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2000尾鱼，并给每尾鱼做上标记(不影响存活)，然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为( )A ．10000B ．20000C ．25000D ．30000 [答案] C[解析] 设估计该水池中鱼的尾数为n ，根据题意可得2000n ＝40500，解得n ＝25000.故C 正确． 8．(文)(2014·长沙市重点中学月考)已知正方形ABCD 的边长为2，H 是边DA 的中点．在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满足|PH |<2的概率为( )A.π8 B.π8＋14 C.π4 D.π4＋14[答案] B [解析]取AB 的中点E ，∵正方形边长为2，H 为AD 的中点，∴HE ＝2，以H 为圆心，HE 为半径画弧交CD 于F ，当点P 落在扇形HEF 和△AHE 、△DHF 内时，|PH |< 2.这是面积型几何概型，∴所求概率P ＝2×(12×1×1)＋14×π·(2)22×2＝π＋28，故选B.(理)(2014·广东执信中学期中)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A ．1－π8B ．1－π4C ．1－π2D ．1－3π4[答案] B[解析] ∵f (x )有零点，∴Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，∴a 2＋b 2≥π2，∵a ，b ∈[－π，π]， ∴所求概率P ＝4π2－π·π24π2＝1－π4，故选B. 9．(2014·云南景洪市一中期末)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” [答案] C10．(文)(2014·宝鸡市质检)定义函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在常数c ，对任意x 1∈D ，存在唯一x 2∈D 的，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c ，已知f (x )＝lg x ，x ∈[10,100]，则函数f (x )＝lg x 在x ∈[10,100]上的均值为( )A.32B.34C.710 D ．10[答案] A[解析] 根据定义，函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在常数c ，对任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c ，令x 1x 2＝10×100＝1000，当x 1∈[10,100]时，选定x 2＝1000x 1∈[10,100]可得：c ＝lg (x 1x 2)2＝32，故选A.(理)(2014·开滦二中期中)二项式(x 2＋2x)10的展开式中的常数项是( ) A ．第10项 B ．第9项 C ．第8项 D ．第7项[答案] B[解析] 通项T r ＋1＝C r 10·(x 2)10－r ·(2x )r ＝2r ·C r 10x 20－5r 2，令20－5r 2＝0得r ＝8，∴常数项为第9项． 11．(2014·安徽示范高中联考)给出下列五个命题：①将A 、B 、C 三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体为9个，则样本容量为30；②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中比较稳定的是甲； ④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y ＝1－2x ，则x 每增加1个单位，y 平均减少2个单位；⑤统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为0.4.其中真命题为( ) A ．①②④ B ．②④⑤ C ．②③④ D ．③④⑤ [答案] B[解析] ①样本容量为9÷36＝18，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为16(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③x －乙＝5＋6＋9＋10＋55＝7，s 2乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝15×(4＋1＋4＋9＋4)＝4.4，∵s 2甲>s 2乙，∴乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个，故所求概率为410＝0.4，⑤是真命题．12．已知x ，y 的取值如下表：从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝( ) A ．2.5 B ．2.6 C ．2.7 D ．2.8 [答案] B[解析] x －＝2，y －＝4.5， ∵回归直线过样本点中心(2,4.5)， ∴4.5＝0.95×2＋a ^， ∴a ^＝2.6，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2014·佛山市质检)一个总体分为甲、乙两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本．已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19，则总体中的个体数为________．[答案] 180[解析] 因为分层抽样中每个个体被抽到的概率相等，故总体中的个体数为20÷19＝180.(理)(2014·长沙市重点中学月考)从某500件产品中随机抽取50件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将这500件产品按001,002,003，…，500进行编号．如果从随机数表第7行第4列的数2开始，从左往右读数，则依次抽取的第4个个体的编号是________．(下面摘录了随机数表第6行至第8行各数)16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 72 06 50 25 83 42 16 33 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 [答案] 206[解析] 按规定的读数方法，依次读取的数是：217,157,245,217,206，…，由于重复的数字应只保留1个，故读取的第4个个体的编号为206.14．(文)(2014·海南省文昌市检测)在区域M ＝(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y <4y >xx >0内撒一粒豆子，落在区域N＝{(x ，y )|x 2＋(y －2)2≤2}内的概率为________．[答案] π4[解析] ∵⊙C ：x 2＋(y －2)2＝2的圆心C (0,2)与直线y ＝x 和x ＋y ＝4都相切． ∴区域M 中落在区域N 内的部分为半圆．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝4，得A (2,2)，∴S △OAB ＝12×4×2＝4，又S 半圆＝π，∴所求概率P ＝π4.(理)(2014·浙江省五校联考)若对任意的实数x ，有x 4＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3＋a 4(x＋2)4，则a 3的值为________．[答案] －2[解析] ∵x 4＝[(x ＋2)－2]4＝(x ＋2)4－2(x ＋2)3＋4(x ＋2)2－8(x ＋2)＋16，∴a 3＝－2.15．(2014·安徽示范高中联考)在三棱锥P －ABC 中，任取两条棱，则这两条棱异面的概率是________．[答案] 15[解析] 三棱锥中两条相对的棱所在直线是异面直线，共有3对，从6条棱中任取两条，可知有15种取法，∴取到两条棱异面的概率P ＝315＝15.16．(文)(2014·北京朝阳区期末)某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名学生的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图(如图所示)，那么这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为________．[答案] 54[解析] 这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为100×[(0.12＋0.15)×2]＝54.(理)(2014·浙北名校联盟联考)一袋中装有分别标记着1,2,3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X ，Y ，设ξ＝Y －X ，则E (ξ)＝________.[答案] 43[解析] 由题意知ξ的取值为0,1,2，ξ＝0，表示X ＝Y ，ξ＝1表示X ＝1，Y ＝2；或X ＝2，Y ＝3；ξ＝2表示X ＝1，Y ＝3.∴P (ξ＝0)＝333＝19，P (ξ＝1)＝2×2×333＝49，P (ξ＝2)＝2×3＋A 3333＝49， ∴E (ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝43.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2014·海南省文昌市检测)某水泥厂甲、乙两个车间包装水泥，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99 乙：110,115,90,85,75,115,110 (1)画出这两组数据的茎叶图；(2)求出这两组数据的平均值和方差(用分数表示)；并说明哪个车间的产品较稳定．(3)从甲中任取一个数据x (x ≥100)，从乙中任取一个数据y (y <100)，求满足条件|x －y |≤20的概率．[解析] (1)茎叶图如图：(2)x －甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；x －乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；S 2甲＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)＝247； S 2乙＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)＝16007， ∵S 2甲<S 2乙，故甲车间产品比较稳定．(3)所有可能的情况有：(102,90)，(102,85)，(102,75)，(101,90)，(101,85)，(101,75)，(103,90)，(103,85)，(103,75)，不满足条件的有：(102,75)，(101,75)，(103,75)，所以P (|x －y |≤20)＝1－39＝23.18．(本小题满分12分)(文)(2014·广东执信中学期中)某校高三文科分为五个班．高三数学测试后，随机地在各班抽取部分学生进行成绩统计，各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的班被抽取了18人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示，其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05，此分数段的人数为5人．(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人？(2)在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于90分的概率． [解析] (1)由频率分布条形图知，抽取的学生总数为50.05＝100人． ∵各班被抽取的学生人数成等差数列，设其公差为d ， 由5×18＋10d ＝100，解得d ＝1.∴各班被抽取的学生人数分别是18人，19人，20人，21人，22人．(2)在抽取的学生中，任取一名学生，则分数不小于90分的频率为0.35＋0.25＋0.1＋0.05＝0.75. 用频率作为概率的估计值知所求概率约为0.75.(理)(2014·抚顺二中期中)在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目．已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，选课情况如下表：(1)求选出的4人均选科目乙的概率；(2)设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望． [解析] (1)设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A ，“从第二小组选出的2人选科目乙”为事件B .由于事件A 、B 相互独立， 且P (A )＝C 25C 26＝23，P (B )＝C 24C 26＝25，所以选出的4人均选科目乙的概率为 P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝23×25＝415.(2)由条件知ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝415，P (ξ＝1)＝C 25C 26·C 12C 14C 26＋C 15C 26·C 24C 26＝2245，P (ξ＝3)＝C 15C 26·1C 26＝145，P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝29，ξ的分布列为：∴ξ的数学期望E (ξ)＝0×415＋1×2245＋2×29＋3×145＝1.19．(本小题满分12分)(文)(2014·抚顺市六校联合体期中)用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：(单位：人)(1)求x ，y ；(2)若从高二、高三年级抽取的人中选2人，求这二人都来自高二年级的概率． [解析] (1)由题意可得x 99＝y 27＝218，所以x ＝11，y ＝3.(2)记从高二年级抽取的3人为b 1，b 2，b 3，从高三年级抽取的2人为c 1，c 2，则从这两个年级中抽取的5人中选2人的基本事件有：(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 2，b 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 3，c 1)，(b 3，c 2)，(c 1，c 2)共10种，设选中的2人都来自高二的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)共3种． 因此P (A )＝310＝0.3.故选中的2人都来自高二的概率为0.3.(理)(2014·泸州市一诊)在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下.(1)计算样本的平均成绩及方差；(2)现从10个样本中随机抽出2名学生的成绩，设选出学生的分数为90分以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．[解析] (1)样本的平均成绩x －＝92＋98×2＋85×2＋74×3＋60×210＝80，方差s 2＝110[(92－80)2＋(98－80)2×2＋(85－80)2×2＋(74－80)2×3＋(60－80)2×2]＝175.(2)由题意知选出学生的分数为90分以上的人数为ξ，得到随机变量ξ＝0,1,2.P (ξ＝0)＝C 27C 210＝715，P (ξ＝1)＝C 13C 17C 210＝715，P (ξ＝2)＝C 23C 210＝115，分布列为：E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.20．(本小题满分12分)(文)(2013·沈阳联考)某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：(1)(2)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额． [解析] (1)依题意，画出散点图如图所示，(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.则b ^＝∑i ＝15(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝15(x i －x －)2＝1020＝0.5，a ^＝y －－b ^x －＝0.4， ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4. (3)由(2)可知，当x ＝11时，y ^＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．∴可以估计第6名推销员的年销售金额为5.9万元．(理)(2014·河南淇县一中模拟)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．[解析] (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝2466＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝111， 于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2) ＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的分布列是因此E (ξ)＝1×611＋21．(本小题满分12分)(文)(2014·绵阳市南山中学检测)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[120,130)内的频率；(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为100＋1102＝105.)作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．[解析] (1)分数在[120,130)内的频率为：1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3. (2)估计平均分为x －＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121. (3)由题意，[110,120)分数段的人数为60×0.15＝9(人)，[120,130)分数段的人数为60×0.3＝18(人)．∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m ，n ； 在[120,130)分数段内抽取4人并分别记为a ，b ，c ，d ；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A ，则基本事件有：(m ，n )，(m ，a )，(m ，b )，(m ，c )，(m ，d )，(n ，a )，(n ，b )，(n ，c )，(n ，d )，(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )共15种．事件A 包含的基本事件有：(m ，n )，(m ，a )，(m ，b )，(m ，c )，(m ，d )，(n ，a )，(n ，b )，(n ，c )，(n ，d )共9种．∴P (A )＝915＝35.(理)(2014·保定市八校联考)某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：(1)从A ，B ，(2)在B 小区中随机选择20户，从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X ，求X 的分布列和期望E (X )．[解析] (1)记这3人中恰好有2人是低碳族为事件A ，P (A )＝12×45×13＋12×15×23＋12×45×23＝715，(2)在B 小区中随机选择20户中，“非低碳族”有4户，P (X ＝k )＝C k 4C 3－k 16C 320，(k ＝0,1,2,3)，E (X )＝0×2857＋1×819＋2×895＋3×1285＝0.6.22．(本小题满分14分)(文)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：(1)试分析估计两个班级的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.[甲班优秀人数为30人，优秀率为3050＝60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为2550＝50%，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.(2)因为K 2＝100×(30×25－20×25)50×50×55×45＝10099≈1.010，所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．(理)(2014·浙江省五校联考)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立．求：(1)打满4局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E (ξ)．[解析] 令A k ，B k ，C k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满4局比赛还未停止的概率为P (A 1C 2B 3A 4)＋P (B 1C 2A 3B 4)＝124＋124＝18.(2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6，且 P (ξ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝122＋122＝12，P (ξ＝3)＝P (A 1C 2C 3)＋P (B 1C 2C 3)＝123＋123＝14.P (ξ＝4)＝P (A 1C 2B 3B 4)＋P (B 1C 2A 3A 4)＝124＋124＝18.P (ξ＝5)＝P (A 1C 2B 3A 4A 5)＋P (B 1C 2A 3B 4B 5)＝125＋125＝116.P (ξ＝6)＝P (A 1C 2B 3A 4C 5)＋P (B 1C 2A 3B 4C 5)＝125＋125＝116.故分布列为∴E (ξ)＝2×12＋3×14＋4×18＋5×116＋6×116＝4716.。
2015届高三数学一轮复习备考试题：平面向量
8、（南通市2014届高三第三次调研）在直角三角形 中， =90°， ， ．若点 满足 ，则 ▲．
9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知平面内的四点O，A，B，C满足 ， ，则 =▲．
4、（2014江苏百校联考一）知 ， ，其中 ，函数 的最小正周期为 .
(1)求 的单调递增区间；
(2)在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．且 ， ，求角 、 、 的大小
5、（2014南通二模）在△ABC中，已知 ．求：
（1）AB的值；
（2） 的值．
6、（徐州市2014届高三上学期期中）设向量 为锐角。
10、（徐州市2014届高三第三次模拟）如图，在△ 中，已知 ， ， ，
， ，则 ▲．
11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知| |＝1，| |＝2，∠AOB＝ ， ＝ ＋ ，则 与 的夹角大小为▲
12、（2014江苏百校联考一）如图， 是半径为1的圆 的直径，△ABC是边长为1的正三角形，则 的最大值为
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值。
参考答案
一、填空题
1\、222、 3、 4、55、－14
6、247、[ ，2]8、109、－510、 11、60°
12、 13、－3614、
15、答案：
提示一：利用夹角相等，则有 ．
提示二：利用角平分线定理，根据相似比求得 ．
二、解答题
1、解：（1）∵ ∴ 即 ，
则由条件得 ．……………………………3分
两式相加得 ，即 ，故 ．………………7分
（方法3）设A，B，C的对边依次为a，b，c，
江西省高考数学一轮复习 导数及其应用(含积分)备考试题
江西省2015届高三数学一轮复习备考试题导数及其应用（含积分）一、选择题1、（2014年江西高考）若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰A.1-B.13-C.13 D.12、（2013年江西高考）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为 A.123S S S << B.213S S S << C.231S S S << D.321S S S <<3、（乐安一中2015届高三上学期开学考试）定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足'()()f x x f x >，则下列不等式成立的是（ ） A ．3(2)2(3)f f < B ．3(4)4(3)f f < C ．2(3)3(4)f f < D ．(2)2(1)f f <4、（南昌二中2015届高三上学期第一次考）定义在R 上的可导函数)(x f ，当),1(+∞∈x 时，0)1)(()()1(''>--⋅-x x f x f x 恒成立，若)2(f a =， )3(21f b =， )2(121f c -=，则c b a ,,的大小关系是( )A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<5、（南昌三中2015届高三上学期第一次月考）设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A. 2e B. e C.ln 22D. ln 26、（南昌市八一中学2015届高三8月月考）已知函数f （x ）在R 上满足f （1+x ）=2f （1﹣x ）﹣x 2+3x+1，则曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程是学科网（ ） A ． x ﹣y ﹣2=0 B ． x ﹣y=0 C ． 3x+y ﹣2=0 D ． 3x ﹣y ﹣2=0 7、（南昌市新建二中2015届高三9月月考）设()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()f x f x '>，对任意的正数a ，下面不等式恒成立的是( ).A.()(0)af a e f <B.()(0)af a e f > C.(0)()a f f a e <D ．(0)()af f a e> 8、（遂川中学2015届高三上学期第一次月考）由直线3x π=-，3x π=，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为( )A .12B .1C .32D . 39、（南昌三中2014届高三第七次考试）已知二次函数2()1f x ax bx =++的导函数为'()f x ，且'(0)f ＞0，()f x 的图象与x 轴恰有一个交点，则'(1)(0)f f 的最小值为 ( ) A ．3 B ．32 C ．2 D ．5210、（吉安一中2014届高三下学期第一次模拟）设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A. 4B. 14-C. 2D. 12-二、填空题1、（2014年江西高考）若曲线xy e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________.2、（2013年江西高考）设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且()x x f e x e =+，则(1)xf =3、（2012年江西高考）计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________。
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江苏省2015年高考一轮复习备考试题
统计
一、填空题
1、（2014年江苏高考）在底部周长]130,80[ 的树木进行研究，频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.
2、（2013年江苏高考）抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：
运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87
91
90
89
93
乙
89 90 91 88 92 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 。
3、（2012年江苏高考）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．
4、（2015届江苏南京高三9月调研）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 ▲ 名学生．
5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）某大学共有学生5600人，其中专科生1300人，本科生3000人，研究生1300人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为280的样本，则抽取的本科生人数为 ▲ ．
6、（南京市2014届高三第三次模拟）某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为 ▲
7、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））样本容量为100的频率分布直方图如右图所示，由此估计样本数据落在[6，10]内的频数为 ▲
8、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））某地区教育主管部门为了对该地区模拟
考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学
生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有▲．
9、（2014江苏百校联考一）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出人．
10、（2014南通二模）从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的
方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则
该样本中产品的最大编号为▲．
11、（苏锡常镇四市2014届高三3月调研（一））一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数
10,20，2；
分别如下：(]
(]20,30，3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4；(]60,70，2．则样本在(]10,50上的频率是 ▲ ． 12、（南京、盐城市2014届高三第一次模拟）若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s =
13、如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,a a ，则12,a a 的大小关系是_____________(填12a a >，21a a >，12a a =)
．
14、甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C ）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_____________，气温波动较大的城市是____________.
15、某单位为了了解用电量y 度与气温C x 0之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，气温(0C) 18 13 10 -1 用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程a bx y
ˆ+=中2b -=，预测当气温为0
4C - 时，用电量的度数约为____▲____.
二、解答题
1、已知z ，y 之间的一组数据如下表：
x
1
3
6 7 8 y 1 2
3
4
5
(1)从x ,y 中各取一个数，求x+y≥10的概率；
(2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为113y x =
+与11
22
y x =+，试利 用“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好.
2．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日 期 12月1日
12月2日 12月3日
12月4日
12月5日
温差x （°C ） 10 11 13 12 8 发芽数y （颗）
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求
出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到
的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?
3.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[)60,50，[)70,60…[]100,90后画出如下部分．．频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题： （1）求出物理成绩低于50分的学生人数； (2)估计这次考试物理学科及格率（60分及 以上为及格）
(3) 从物理成绩不及格的学生中任选两人， 求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．
参考答案
一、填空题
1、24
2、25)9092()9088()9091()9090()9089(2
22222
=-+-+-+-+-=
S
3、15
4、32
5、150
6、30
7、32
8、300
9、25 10、76． 11、
7
10 12、265
13、21a a > 14、乙，乙 15、68
二、解答题
1、【解】（1）从x,y 各取一个数组成数对(x ,y )，共有25对，……………………………2分 其中满足10≥+y x 的有)5,8(),4,8(),3,8(),2,8(),5,7(),4,7(),3,7(),5,6(),4,6(，共9对…5分 故所求概率为259=P ，所以使10≥+y x 的概率为25
9．…………………………… 7分 （2）用131
+=
x y 作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为 3
7
)5311()4310()33()22()134(222221=-+-+-+-+-=S ．………………………10分
用2
1
21+=x y 作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为
21
)529()44()327()22()11(222222=-+-+-+-+-=S ．………………………12分
12S S < ，故用直线2
1
21+=x y 拟合程度更好．……………………………14分
2、解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种， ………………2分
所以 43
()1105
P A =-=．………………………………………………4分
答：略． ………………………………………………………………5分
（2）由数据，求得12,27x y ==．……………………………………………7分
由公式，求得5
2
b =
，3a y bx =-=-． ………………………………9分 所以y 关于x 的线性回归方程为5
ˆ32
y
x =-． …………………………10分 （3）当x =10时，5
ˆ103222
y =⨯-=，|22－23|＜2；………………………12分 同样，当x =8时，5
ˆ83172
y =⨯-=，|17－16|＜2．……………………14分 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ……………………15分
3、解： （1）因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为： 1.010)005.0025.003.02015.0(11=⨯+++⨯-=f
所以低于50分的人数为61.060=⨯（人）………………………………………….5分
（2）依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组），
频率和为 (0.0150.030.0250.005)100.75+++*=
所以，抽样学生成绩的合格率是75%.
于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为75%……………………………………9分.
（3）“成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9。
所以从成绩不及格的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：7
6
1415561=⨯⨯-=P ……………14分。