概率论第一章

随机试验的三个特点
1. 2.
在相同条件下可重复进行； 试验前由试验条件能预知试验的所有可能结 果，且所有可能结果不止一个； 每次试验前不能预知会出现哪一个结果。
3.
注：上面的结果指的是基本结果。 有时，我们也称满足以上三个特点的试验为随 机试验。
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§1.1.2 样本空间 随机事件
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当时，许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公 平合理。因为,已胜了4局的一方只要再胜2局就可以拿 走全部的赌金，而另一方则需要胜3局，并且至少有2 局必须连胜，这样要困难得多。但是，人们又找不到 更好的解决方法。在这以后100多年中，先后有多位数 学家研究过这个问题，但均未得到过正确的答案。
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Ω
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两个事件和的概念可以推广到任意有限多个 事件，甚至无穷可列个事件上。
推广：称 Ak为n个事件A1 , A2 ,, An的和事件。称 Ak为
k 1 k 1 n
无穷可列个事件的A1 , A2 ,的和事件。
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3.事件的积 我们称“事件A和事件B同时发生”的事件 为事件A和事件B的积事件，记作AB或A∩B。 如例1.5中，事件AB={两次都命中}。
甲乙乙乙 乙甲乙乙 乙乙甲乙 乙乙乙甲 乙乙乙乙
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在这16种排列中，当甲出现2次或2次以上时， 甲方获胜，这种情况共有11种；当乙出现3次 或3次以上时，乙方胜出，这种情况共有5种。 因此，赌金应当按11:5比例分配。
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帕斯卡的解法
帕斯卡解决这个问题则利用了他的“算术三角形”， 欧洲人常称之为“帕斯卡三角形”。事实上，早在北宋时 期中国数学家贾宪就在《黄帝九章算法细草》中讨论过， 后经南宋数学家杨辉加以完善，并载入其著作《详解九章 算法》一书中。这就是我们常说的杨辉三角形。
则 B={2,4,6,8, 10}
在一次具体的试验中，我们说B发生了当且仅当 B中的样本点2，4，6，8，10中某一个出现。
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随机事件的分类
由满足某种条件的样 本点构成的集合
随 机 事 件
基本事件
复杂事件 特殊事件
每次试验必然发 生的结果，记 为Ω
试验最直接的可能结果 由若干个基本事件共同 在一起才能表达的结果 必然事件 不可能事件
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帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分 析计算赌博中出现的各种问题，最后分别独立的解决了 “分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广， 从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是 描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过 多年的潜心研究，也解决了掷骰子中的一些数学问题。 1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游 戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早 的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、 费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，主要 是计算各种古典概率。
一、样本空间
随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的 样本空间，记为Ω。Ω的每个元素，即Ω的每一个可能 的结果，称为E的一个样本点或基本事件。

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指的是基本 结果
样本点
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上面提到的各试验的样本空间为
Ω1={H,T} Ω2={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Ω3={(1,1),(1,2),…,(1,6),(2,1),(2,2),…,
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A
B Ω
事件的相等
若A B且B A ，则称事件A 与事件B 相等，记作A=B。
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2.事件的和（并） 我们称“事件A与事件B至少一个发生”的事件 为事件A与事件B的和事件，记作A+B（或A∪B）。 例1.5 连续射击两次，观察各次中靶情况。设 事件A={第一次命中}，B={第二次命中}，则和事件 A+B={至少命中一次}。 B A B A
设A，B，…，是随机试验E的事件，Ω是E 的样本空间。 1. 事件的包含关系
若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含 A B 。 于事件B或事件B包含事件A，记作 例如，在例1.2中，若令 A={抽到能被4整除的号码}， B={抽到偶数号码}，
则 A B。
事实上，A={4，8}，B={2，4，6，8，10}。
A AB
B Ω
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推广
A
k 1 n
k
n个事件的积事件
A
k 1

k
可列个事件的积事件
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4.事件的差 我们称“事件A发生而事件B不发生”的事 件为事件A与事件B的差事件，记作A-B。 如在例1.5中，事件A-B={第一次命中而第 二次未命中}。 B Ω
A B A
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二、 随机试验
可以是各类科学试验， 也可以是对某些事物 的某些特征的观察。
对随机现象，在相同条件下可重复进行的观察或试验 称为随机试验，简称试验，一般用E表示。
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一些随机试验的例子
例1.1 抛掷一枚硬币，观察正面H，反面T出 现的情况。 例1.2 在分别写有数字1，2，…，10的10张卡 片中任意抽取一张卡片，观察其数字。 例1.3 投掷两枚骰子，观察朝上一面的点数。 例1.4 从一批灯泡中，任抽取一只，观察其使 用寿命。 2015-1-22 19

非确定性现象：模糊现象
随机现象
１. 模糊现象
由事物本身含义不确定导致结果不确定的现象，例如： “健康的人”，“稠密的深林”，“高大的山脉”等等。
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２．随机现象 事前不可预言的现象，即在相同条件下重复进行试验， 每次结果未必相同，或知道事物过去的状况，但未来的 发展却不能完全肯定。例如，掷一枚硬币，可能出现正 面向上，也可能出现反面向上；取５０粒种子做发芽试 验，观察发芽的种子粒数，结果可能是０粒，１ 粒，．．．，５０粒种子发芽等等。 特征：条件不能完全决定结果。 确定性现象与随机现象的共同特点是事物本身的含 义确定。随机现象与模糊现象的共同特点是不确定性， 随机现象的不确定性是指试验的结果不确定，而模糊 现象的不确定性有两层含义，一是指事物本身的定义 不确定，二是结果不确定。
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数理统计的起源
数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个 数学分支，研究如何有效的收集、整理和分析受随机因 素影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，为 采取某种决策和行动提供依据或建议. 统计学是一门很古老的科学，它起源于人口统计、社 会调查等各种描述性统计活动。例如：在我国，公元前 2250年，大禹治水，根据山川土质，人力和物力的多寡， 分全国为九州；在西方，公元前3050年，埃及建造金字塔， 为征收建筑费用，对全国人口进行的普查和统计等都属于 描述性的统计活动。早期的统计工作大都与国家实施统治 有关。一般认为其学理研究始于古希腊的亚里斯多德时代 （公元前384-322），迄今已有两千三百多年的历史。
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费尔马的解法
费尔马注意到，如果继续赌下去，最多只要再赌4轮便可 决出胜负，如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜， 那么最后4轮的结果，不外乎以下16种排列。
甲甲甲甲 甲甲甲乙 甲甲乙甲 甲乙甲甲 乙甲甲甲 乙甲甲乙
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甲甲乙乙 甲乙甲乙 甲乙乙甲 乙乙甲甲 乙甲乙甲
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模糊数学将数学的应用范围从清晰确定扩大到模糊现 象的领域，而概率论与统计学则将数学的应用从必然现象 扩大到随机现象的领域。
对于随机现象，人们经过长期实践并深入研究之后， 发现这类现象在大量重复试验或观察下，它的结果会呈现 某种规律性，这种规律性我们称之为统计规律性。 概率论就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数 学学科；数理统计是以概率论为基础，研究如何通过观察 和试验认识自然规律和社会规律的一门方法论学科。
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概率论的起源
概率论起源于15世纪中叶，肇事于所谓的“赌金分配问 题”。 赌金分配问题：在一场赌博中,某一方先胜6局便算赢家,那 么,当甲方胜了4局,乙方胜了3局的情况下,因出现意外,赌局 被中断,无法继续,此时,赌金应该如何分配? 当时，有一答案是：应当按照4:3的比例把赌金分给双方。 意大利科学家帕 西奥尼给出的
(2,6),(3,1),(3,2),…,(3,6),(4,1),(4,2),
…,(4,6),(5,1),(5,2),…,(5,6),(6,1),(6,2), …,(6,6)}
Ω4={t:t≥0}
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二、随机事件
不必是基本 结果
从本质上讲，随机事件就是关于随机试验结果的 命题；从集合的角度来讲，随机事件是样本空间的子 集，是由一部分样本点构成的集合，随机事件简称事 件，常用英文字母A，B，C，…，表示。一个事件发 生当且仅当属于它的某一个样本点出现。 例如，在例1.2中“出现的数字是3”，“出现的数 字是偶数”都是随机事件。 记为“B”,
B
A A B
每次试验必不发生的 结果，记为
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从集合的角度看
显然，样本空间是以基本事件为元素的集合， 复杂事件是样本空间的至少包含两个元素的真子集， 基本事件就是一个单点集，必然事件就是样本空间， 不可能事件是样本空间的空子集。

B

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A
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§1.1.3 事件的关系及运算
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直到1654年，一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲 身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题“，求助其对这种现象 作出解释，引起了这位法国天才数学家的兴趣，帕斯卡接受 了这些问题，但他没有立即去解决它，而是把它交给另一位 法国数学家费尔马。之后，他们频频通信，互相交流，围绕 着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来 被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他也开始 就这方面展开研究。
3 C4 ，其中 C44 是甲出现4次的组合数， 是甲出现3次
的组合数等等。因此赌金应按照
4 3 2 1 0 (C4 C4 C4 ) : (C4 C4 ) 11: 5
的比例分配，这与费马得到的结果是完全一致的。
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在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士 数学家族——伯努利家族的几位成员。关于概率论的后 续发展，可参见课本后面的附录1。
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统计学的发展大致可分为古典时期、近代时期和现 代时期三个阶段．进一步的了解可参见课本后面的附录 1. “数理统计” 是统计学在第三个发展阶段所形成的 所有收集和分析数据的新方法的一个综合性名词。 现在，概率论与以它作为基础的数理统计学的应用范 围愈来愈广泛，在自然科学，社会科学，工程技术，军事 科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。 直观地说，卫星上天，导弹巡航，飞机制造，宇宙飞船遨 游太空等都有概率论的一份功劳；及时准确的天气预报， 海洋探险，考古研究等更离不开概率论与数理统计；电子 技术发展，影视文化的进步，人口普查及教育等同概率论 与数理统计也是密不可分的。
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§1.1.1 随机现象与随机试验
一 随机现象
在自然界和实际生活中，我们通常会遇到两类不同的现 象，一类是确定性现象，另一类是非确定性现象。 确定性现象 在一定条件下必然发生的现象（事前可预言的现象）， 例如，在标准大气压下，将水加热至100℃必然沸腾；同性 电荷必然排斥等等。 特征：条件完全决定结果。
1 1 1
1
1 1 4 3
Hale Waihona Puke Baidu
2
3 6
1
1 4 1
13
1 5 10 10 5 1 ……………………………………… 2015-1-22
帕斯卡利用这个三角形获得了从n件物品中一 次取出r件的组合数 Cnr ，由上图可知，三角形
第五行上的数恰好是
4 3 2 1 0 C4 1, C4 4, C4 6, C4 4, C4 1
Probability & Statistics
概率论与数理统计
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学期成绩的评定
学期成绩是下面两部分成绩的加权平均: (一) 平时成绩 占 30﹪ 由作业、考勤、上课表现等确定； (二) 期末考试 占70﹪
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第一章 随机事件及其概率
§1.1 随机事件
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