2018届高三数学二轮复习课时作业 传统文化训练一含解析
【数学课件】2018届高考数学(理)二轮复习数学文化专项突破(4份含答案解析)
解析：设第一天走的里数为 a1，依次为 a2，a3，a4，a5，a6， 1 形成公比为2的等比数列，且 S6＝378.
16 a11－2
6
即
1 1－2
＝378，解得 a1＝3×2
15 1 6 ，∴a6＝a1·2 ＝3×2 ×25
＝6.
命题点评： 此题为中国古代数学问题， 考查了等比数列的基本 运算．
k k 2 为偶数时， N(n， k)＝2－1n －2－2n， 于是
N(n， 24)＝11n2－10n，
故 N(10,24)＝11×102－10×10＝1 000.
答案：1 000
2． 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有 一道这样的题： 把 100 个面包分给 5 个人， 使每个人的所得成等差 1 数列，且使较大的三份之和的7是较小的两份之和，则最小一份的 量为( 5 A.2 5 C.3 ) 5 B.4 5 D.6
答案：(1)5 030 5k5k－1 (2) 2
命题点评： 此题是以形为载体， 考查数列的通项公式等基础知 识，考查特殊与一般的数学思想方法，考查归纳与猜想、推理与计 算的能力．
(2)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三 百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其 关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一人走 了 378 里路， 第一天健步行走， 从第二天起因脚疼每天走的路程为 前一天的一半，走了 6 天后到达目的地．”问此人最后一天走了 (A ) A．6 里 C．24 里 B．12 里 D．36 里
解析：选 B.根据题意，8335 的“8 千”用“ “ ”“3 拾”用“ ”“5 个”用“
”“3 百”用
2018年广东省第一中学高三高考数学二轮复习专题训练18Word版含答案
数列通项公式的求法02二、累加累乘1、递推公式满足：()n g a a n n +=+1型或)(1n f a a n n +=-（2≥n ）型 思路：利用累加法，将)1(1-=--n g a a n n ，--1n a 2-n a =)2(-n g ，......，-2a 1a =)1(g ，各式相加，正负抵消，得n a ，即)(...)()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a ；用求和符号∑可以表示为：)2)(()(21211≥+=-+=∑∑==-n i f a a a a a ni n i i i n。
例1：在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。
解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n ， 把以上各式相加，得()()()21232113231-=-+-=-+++=n n n n a n ；用求和符号∑可以表示为：)2)(()(21211≥+=-+=∑∑==-n i f a a a a a ni ni i i n，即2,)1(2)1)(321()32(2121≥-=--++=-+=∑=n n n n a i a a ni n ，上式对于1=n 也成立，所以，*2,)1(N n n a n ∈-=。
例2：在数列{}n a 中，31=a ，)1(11++=+n n a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。
解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n ，则,211112-+=a a 312123-+=a a ......， n n a a n n 1111--+=-，逐项相加得：n a a n 111-+=，故na n 14-=；用求和符号表示为：)111()1(1)(2121121ii a n n a a a a a ni ni i ni i n --+=-+=-+=∑∑∑==-=，2≥n 即2,14111≥-=-+=n n n a a n ，上式对于1=n 也成立，所以，na n14-=，*N n ∈。
2018年4月2018届高三第二次全国大联考(新课标Ⅰ卷)文数卷(考试版)
文科数学试题 第1页（共6页） 文科数学试题 第2页（共6页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________2018年第二次全国大联考【新课标Ⅰ卷】文科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U =R ，集合2{|1log 0}A x x =-≤≤，{|230}B x x =-≤，则()UA B =A ．2(,)(1,)3-∞+∞ B ．2(,][1,)3-∞+∞ C ．2(,)3-∞D ．(1,)+∞2．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若(3i)i z =+，则i 1z =- A ．12i + B ．12i - C ．12i -+D ．12i --3．已知命题p ：“0m ∀≥，44m m ≥”，则命题p ⌝为 A ．0m ∀≥，44mm < B ．0m ∀≥，44mm ≤ C ．00m ∃<，0044m m <D ．00m ∃≥，0044m m <4．已知向量,a b 满足2(2,2),(3,)m -=-=-a b b ，且∥a b ，则m = A ．3 B ．3- C ．127D ．127-5．已知双曲线22:1y C x m-=-的两条渐近线的倾斜角都大于30︒，则实数m 的取值范围是A ．3(,)+∞ B ．3(,)-∞ C ．1(,)3+∞D ．1(,)3-∞6．现有6个大小相同且分别标有2，3，4，5，6，7的小球，若每次取一个后放回，连续取两次，则所取小球上的数字之积是奇数的概率是A ．14 B ．12 C ．23D ．347．已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是A ．23B ．43C ．2D ．338．函数2|1|1()3xx f -+=的单调递减区间是A ．[1,0)-和(1,)+∞B ．(,1)-∞-和[0,1]C ．[1,0)(1,)-+∞ D ．(,1)[0,1]-∞-9．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在四、五世纪，共三卷，其中有如下问题：今有人盗库绢，不知所失几何？但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹.问人、绢各几何？意思是：有人到仓库里盗走了绢，不知道丢失了多少？只听到草丛中分绢的声音，每人分六匹，会剩下六匹；每人分七匹，还差七匹.问有多少盗贼，多少绢？下面的程序框图是根据此问题设计的一个算法，则判断框内填入的条件可以是文科数学试题 第3页（共6页） 文科数学试题 第4页（共6页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………A ．?z x =B ．?z y =C ．0?z =D ．7?z =-10．已知函数1()sin(3)2f x x ϕ+=的图象的一条对称轴是3x π=，则下列是函数()f x 的零点的是 A ．3-πB ．6-πC ．4πD ．3π 11．过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，且斜率为3的直线在第一象限内交C 于点M ，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，若MNF △的周长是12，则MNF △的面积为 A ．8B ．4C ．43D ．8312．设函数()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是函数()f x 的导函数，若()3()f x f x '>，1()e 3f =（e 为自然对数的底数），则不等式3()e xf x <的解集是A ．(3,)+∞B ．(,3)-∞C ．1(,)3+∞D ．1(,)3-∞第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知18,6,cos 4a b A ===-，则sin B =________. 14．已知实数,x y 满足约束条件：42802440x y y x y --≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则目标函数465z y x =-+的最小值是___________.15．现有20～30岁若干人、30～40岁30人、40～50岁30人共3类人群组成的一个总体.若抽取一个容量为10的样本，来分析拥有自住房的比例.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体，则总体容量n 的值可能是___________.（写出n 的所有可能值）16．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱垂直于底面，底面是平行四边形，且各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为16，2AD =，则此球的表面积的最小值等于___________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足35a =，464a a =+，公比为正数的等比数列{}n b 满足21b =，35116b b =. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设2n nn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）在三棱锥P ABE -中，PA ⊥底面ABE ，AB AE ⊥，122AB AP AE ===，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =，连接,,PC PD CD .（Ⅰ）求证：CD ∥平面PAB ； （Ⅱ）求三棱锥E PCD -的高.19．（本小题满分12分）某高考模拟数学试卷的客观题部分共计80分,现随机抽取了20名高三学生,对该数学试卷客观题的得分情况进行了调查，将他们的成绩分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后，绘制成如图所示的频率分布直方图.文科数学试题 第5页（共6页） 文科数学试题 第6页（共6页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________（Ⅰ）求图中的a 的值；（Ⅱ）若从成绩在[60,80]的高三学生中任取两名，求这两名高三学生的成绩全部在[60,70)的概率. 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦点三角形（椭圆上一点与两焦点为顶点的三角形）的周长为264，离心率为63. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若1,F B 分别是椭圆C 的右焦点、上顶点，点M （不同于右焦点F ）在x 轴正半轴上，且满足1B OF △∽1MOB △（O 为坐标原点），点B 在y 轴上，点M 关于点F 的对称点是点A ，点P 为椭圆C 上一动点，且满足||||AB PB =，求AOB △的周长的最小值． 21．（本小题满分12分）已知函数ln 1e ()1(),()exxx b x f x b g x x ---=-∈=R . （Ⅰ）若1b =，求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的10x >，都存在2x ∈R ，使得21()()g x f x >成立，试求实数b 的取值范围. 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度．圆C 以极坐标系中的点(1,π)为圆心，3为半径.直线l 的参数方程是123x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）已知直线l '满足以下两点，求直线l '的方程.①与直线l 垂直；②被圆C 26， 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设222()|1|||f x x x a =---.（Ⅰ）若2a =，求不等式()0f x <的解集；（Ⅱ）若不等式()3f x >存在实数解，求实数a 的取值范围.。
高三数学(理)二轮复习课时作业：第2部分 传统文化训练1
[传统文化训练一] 单独成册一、选择题1．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束……)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为( )A ．91B ．105C ．120D ．210解析：由题意得，从上往下第n 层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∴1＋3＋6＋…＋n (n ＋1)2＝680，即12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋12n (n ＋1) ＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680，∴n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，∴n ＝15.故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为14×152＝105.答案：B2．《张丘建算经》卷上第23题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？意思是：现有一女子善于织布，若第1天织5尺布，从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月(按30天计)共织930尺布(注：1匹＝10丈，1丈＝10尺)，则每天比前一天多织( )A.47尺布B.5229尺布C.815尺布D.1631尺布解析：设公差为d ，则由a 1＝5，S 30＝30×5＋30×292d ＝930，解得d ＝5229. 答案：B3．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n .第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( )A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1) 解析：a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11·2＋12·3＋…＋1(n －1)n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 2·n －1n ＝n (n －1)．答案：C4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A ．d ≈ 3169VB ．d ≈ 32VC ．d ≈ 3300157VD ．d ≈ 32111V解析：由球体积公式得d ＝ 36πV ≈31.909 860 93V .因为169≈1.777 777 78，300157≈1.910 828 03，2111≈1.909 090 91.而2111最接近于6π，所以选D.答案：D5．(2016·河西五市二联)我国明朝著名数学家程大位在其名著《算法统宗》中记载了如下数学问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯，”诗中描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，那么塔顶有________盏灯．( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：本题可抽象为一个公比为2的等比数列{a n }．∵S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，∴可解得a 1＝3，即塔顶有3盏灯，故选B.答案：B6．(2017·武汉调研)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，∴组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·(12)2×x＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B.答案：B7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈5 13)A．600立方寸B．610立方寸C．620立方寸D．633立方寸解析：连接OA，OB，OD，设⊙O的半径为R，则(R－1)2＋52＝R2，∴R＝13.sin∠AOD＝ADAO＝513.∴∠AOD≈22.5°，即∠AOB≈45°.故∠AOB≈π4.∴S弓形ACB ＝S扇形OACB－S△OAB＝12×π4×132－12×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V＝S弓形ACB×100≈633立方寸．选D.答案：D8．(2017·石家庄模拟)李冶( 1192—1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)A．10步，50步B．20步，60步C ．30步，70步D ．40步，80步解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．故选B.答案：B二、填空题9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎨⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即 ⎩⎨⎧ 4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.答案：676610．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 016这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为________．解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故a n ＝15n －14.由a n ＝15n －14≤2 016，解得n ≤4063，又n ∈N *，故此数列的项数为135.答案：13511．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1, 3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项；(2)b 2k －1＝________(用k 表示)．解析：由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k (5k ＋1)2(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2， 故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项．答案：(1)5 030 (2)5k (5k －1)212．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面积．意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．现有下题：在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)和(x －3)2＋y 2＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图所示阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为4π1－y 2＋8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．解析：根据提示，一个底面半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π.答案：2π2＋16π。
2018届高三数学(文)二轮复习专题集训：专题二函数、不等式、导数2.2基本初等函数
A 级1．已知函数f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )A ．[1,81]B ．[1,3]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析： 由f (x )的图象过点(2,1)可知b ＝2，∴f (x )＝3x －2，其在区间[2,4]上是增函数，∴f (x )min ＝f (2)＝30＝1，f (x )max ＝f (4)＝32＝9.故C 正确．答案： C2．(2017·安徽省两校阶段性测试)函数y ＝x 2ln |x ||x |的图象大致是( )解析： 易知函数y ＝x 2ln |x ||x |是偶函数，可排除B ，当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，令y ′>0，得x >e －1，所以当x >0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D 正确，故选D.答案： D3．已知x 0是f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0解析： 因为x 0是函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1x 的一个零点，所以f (x 0)＝0，因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上是单调递减函数，且x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，所以f (x 1)>f (x 0)＝0>f (x 2)．答案： C4．(2017·云南省第一次统一检测)已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析： f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.答案： D5．(2017·洛阳市第一次统一考试)已知f (x )是偶函数，当x >0时， f (x )单调递减，设a ＝－21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 52，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (c )<f (b )<f (a )B ．f (c )<f (a )<f (b )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )解析： 依题意，注意到21.2>20.8＝⎝⎛⎭⎫12－0.8>20＝1＝log 55>log 54＝2log 52>0，又函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f (21.2)<f (20.8)<f (2log 52)，由函数f (x )是偶函数得f (a )＝f (21.2)，因此f (a )<f (b )<f (c )，选C.答案： C6.⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________. 解析： ⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝⎝⎛⎭⎫23－3＋log 31＝278＋0＝278. 答案：2787．已知f (x )＝2|x |＋x 2＋a 有唯一的零点，则实数a 的值为________．解析： 设函数g (x )＝2|x |＋x 2，因为g (－x )＝g (x )，所以函数g (x )为偶函数，当x ≥0时，g (x )＝2x ＋x 2，为增函数；当x <0时，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋x 2，为减函数，所以g (x )≥g (0)＝1.因为f (x )＝2|x |＋x 2＋a 有唯一的零点，所以y ＝g (x )与y ＝－a 有唯一的交点，即a ＝－1.答案： －18．(2017·湖北省七市(州)联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝P 0e －kt .如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少了19%需要花费的时间为________小时．解析： 前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t ＝5时，P ＝0.9P 0，代入，得(e －k )5＝0.9，∴e －k ＝50.9＝0.915，∴P ＝P 0e －kt ＝P 0⎝⎛⎭⎫0.915t .当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P ＝0.81P 0，代入得0.81＝⎝⎛⎭⎫0.915t ，解得t ＝10，即需要花费10小时． 答案： 109．已知f (x )＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，a ∈R )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．解析： (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎨⎧3x －6，x ≥12，－x －4，x <12.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，3x －6≥0，解得x ≥2；由⎩⎪⎨⎪⎧x <12，－x －4≥0，解得x ≤－4. 所以f (x )≥0的解集为{x |x ≥2或x ≤－4}．(2)由f (x )＝0，得|2x －1|＝－ax ＋5.作出y ＝|2x －1|和y ＝－ax ＋5的图象，观察可以知道，当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y ＝f (x )有两个不同的零点．故a 的取值范围是(－2,2)．10．为了维持市场持续发展，壮大集团力量，某集团在充分调查市场后决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：品时需上交0.05x 2万美元的特别关税，假设所生产的产品均可售出．(1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x (x ∈N *)之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润； (3)如何决定投资可使年利润最大．解析： (1)y 1＝(10－a )x －20(1≤x ≤200，x ∈N *)， y 2＝－0.05x 2＋10x －40(1≤x ≤120，x ∈N *)． (2)∵10－a >0，故y 1为增函数，∴当x ＝200时，y 1取得最大值1 980－200a ，即投资生产甲产品的最大年利润为(1 980－200a )万美元．y 2＝－0.05(x －100)2＋460(1≤x ≤120，x ∈N *)，∴当x ＝100时，y 2取得最大值460，即投资生产乙产品的最大年利润为460万美元． (3)为研究生产哪种产品年利润最大，我们采用作差法比较：由(2)知生产甲产品的最大年利润为(1 980－200a )万美元，生产乙产品的最大年利润为460万美元，(1 980－200a )－460＝1 520－200a ，且6≤a ≤8，当1 520－200a >0，即6≤a <7.6时，投资生产甲产品200件可获得最大年利润； 当1 520－200a ＝0，即a ＝7.6时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润； 当1 520－200a <0，即7.6<a ≤8时，投资生产乙产品100件可获得最大年利润．B 级1．(2017·广西三市第一次联考)已知函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4.对任意的x∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，则m 的取值范围是( )A ．(1,2＋ln 2)B ．⎝⎛⎭⎫2，72＋ln 2 C ．(ln 2,2]D ．⎝⎛⎦⎤1，72＋ln 2 解析： 作出函数y 1＝e |x －2|和y ＝g (x )的图象，由图可知当x ＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由e x －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤ln2＋72，又m >1，∴1<m ≤ln 2＋72. 答案： D2．(2017·兰州市高考实战模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14 B ．18C ．－78D ．－38解析： ∵函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，∴方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，∴方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，∴Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.答案： C3．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝⎛⎭⎫a ·2x －43a ，若方程f (x )＝g (x )有且仅有一解，求实数a 的取值范围． 解析： (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )，所以log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx ，所以log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－12.(2)由已知f (x )＝g (x )，有且仅有一解，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4⎝⎛⎭⎫a ·2x －43a 有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x －43a 有且只有一个实根．令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根．①当a ＝1时，则t ＝－34不合题意；②当a ≠1时，Δ＝0，解得a ＝34或－3.若a ＝34，则t ＝－2，不合题意；若a ＝－3，则t ＝12；③若方程有一个正根与一个负根，即－1a －1<0，解得a >1.综上所述，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)． 4．已知函数f (x )＝e x －m －x ，其中m 为常数．(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围； (2)当m >1时，判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数，并说明理由． 解析： (1)f ′(x )＝e x－m－1，令f ′(x )＝0，得x ＝m .故当x ∈(－∞，m )时，e x －m <1， f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(m ，＋∞)时，e x－m>1，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以当x ＝m 时，f (m )为极小值，也是最小值． 令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1， 即若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立， 则m 的取值范围是(－∞，1]．(2)由(1)知f (x )在[0,2m ]上至多有两个零点， 当m >1时， f (m )＝1－m <0. 因为f (0)＝e －m >0，f (0)f (m )<0，所以f(x)在(0，m)上有一个零点．因为f(2m)＝e m－2m，令g(m)＝e m－2m，因为当m>1时，g′(m)＝e m－2>0，所以g(m)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(m)>g(1)＝e－2>0，即f(2m)>0.所以f(m)·f(2m)<0，所以f(x)在(m,2m)上有一个零点．故f(x)在[0,2m]上有两个零点．。
2018高三各地优质文科二模试题分项汇编11：数学文化(含解析)
【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】专题十一 数学文化一、选择题1．【2018广东惠州高三4月模拟】如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A. 5.45B. 4.55C. 4.2D. 5.8 【答案】B【解析】2．【2018河北保定高三一模】2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin cos 23ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）【答案】A【解析】设直角三角形中较小的直角边长为a ，则()22263842106sin ,cos ,105105a a a θθ++=∴=∴==== sin cos 23ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11143cos cos cos 22255θθθθθ-=+=⨯+=选A.3．【2018河北石家庄高三一模】南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即： S = a b c >>），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ）A. 82平方里B. 83平方里C. 84平方里D. 85平方里 【答案】C4．【2018湖南益阳高三四月调研】侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为，则（）A. 无限大B.C. D. 可以取【答案】B5．【2018宁夏石嘴山高三一模】《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意设每天多织尺,依题意得,解得.故选B.6．【2018青海西宁高三一模】我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位）.这个问题中，等差数列的通项公式为（）A.1766n-+（*,5n N n∈≤） B.1362n+（*,5n N n∈≤）C. 1766n+（*,5n N n∈≤） D.1362n-+，（*,5n N n∈≤）【答案】D7．【2018衡水金卷高三模拟三】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于20里（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】由题意，记每天走的路程为{}n a是公比为12的等比数列，又由61611237812aS⎛⎫⎛⎫-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭==-，解得1192a=，所以111922nna-⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，则34451119224,1921222a a⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即从第5天开始，走的路程少于20里，故选C.8．【2018山东、湖北高三冲刺模拟】朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”。
江西省南昌市2018届高三第二轮复习测试文科数学试题及答案
2017-2018学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷必做部分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数其中为虚数单位，则的虚部为A. B. C. D.2.集合，,则A. B. C. D.3.直角的外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为（）A. B. C. D.4.设，则A. B. C. D.5.在圆内，过点的最短弦的弦长为A. B. C. D.6.为了得到函数的图像，可以将的图像向A. 右平移个单位B. 左平移个单位C. 右平移个单位D. 左平移个单位7.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为 (参考数据：，，)A. B. C. D.8.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥．．．．．．的外接球的表面积等于A. B. C. D.9.已知实数满足：.若目标函数（其中为常数）仅在处取得最大值，则的取值范围是A. B. C. D.10.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具)先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m，记第二次出现的点数为n，向量则和共线的概率为A. B. C. D.11.已知各项均为正数的递增数列的前项和为满足，（），若成等差数列，则的最大值为A. B. C. D.12.已知函数，则和的公切线的条数为A. 三条B. 二条C. 一条D. 0条二．填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设函数若，则_________．14.若满足,，的有两个，则实数的取值范围为_____．15.已知抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是．16.国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”,为响应国家号召，各地利用已有土地资源建设健身场所.如图，有一个长方形地块，边为，为．地块的一角是草坪（图中阴影部分），其边缘线是以直线为对称轴，以为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线上一点的直线型隔离带，，分别在边，上（隔离带不能穿越草坪，且占地面积忽略不计），将隔离出的△作为健身场所．则△的面积为的最大值为____________（单位：）．三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记为各项为正数的等比数列的前项和，已知.（Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）令，求的前n项和.18.如图，四边形为等腰梯形沿AC折起，使得平面平面ABC，E为AB的中点，连接DE,DB（如图2）.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求三棱锥的体积.19.我国是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）已知平价收费标准为元/吨，议价收费标准为元/吨，当时，估计该市居民的月平均水费.（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）20.已知椭圆的一个顶点坐标分别为，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，点是该椭圆内一点，四边形的对角线交于点P .设直线，记求的最大值.21.已知函数,直线为曲线的切线（为自然对数的底数）.(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ) 用表示p,q中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数m的取值范围.22.已知直线l经过点，倾斜角，圆C的极坐标方程为. (Ⅰ)写出直线l的参数方程，并把圆的方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)设l与圆相交于两点，求点到两点的距离之积．考点：极坐标与参数方程．23.已知函数(Ⅰ)求关于的不等式的解集；(Ⅱ)，使得成立，求实数的取值范围．2017-2018学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷必做部分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数其中为虚数单位，则的虚部为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数共轭的概念得到，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】虚部为-1，故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2.集合，,则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得到集合M的解集，再由集合的补集的概念得到，最后由交集的概念得到结果.【详解】，=，，则.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的交集和集合的补集的概念，要看清楚题目中所给的全集；集合常考的问题还有集合的子集个数问题，若集合有n个元素，其子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.3.直角的外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求得，三角形的外心O点在BC的中点处，且∠ABC=，由向量投影的定义，利用已知条件求出即可．【详解】直角外接圆圆心O落在BC的中点上，根据题意画出图像，又O为△ABC外接圆的圆心，半径为1，∴BC为直径，且BC=2，OA=AB=1，∠ABC=；∴向量在向量方向的投影|cos=．故选：A．【点睛】此题主要考查了向量投影的概念与直角三角形外接圆的性质应用问题，是基础题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。
2018届高中数学高考二轮复习数列教案含答案(全国通用)
教学过程一、考纲解读1.高考对于本节的考查方式:(1)选择填空重点考查等差、等比数列的性质；(2)解答题中重点考查通项公式、求和（重视求和的错位相减法、裂项相消法）(3)递推数列也是考察的重点，只局限于最基本的形式2. 数列在历年高考高考试题中占有重要的地位，近几年更是有所加强.一般情况下都是一至两个考查性质的客观题和一个考察能力的解答题。
文科以等差数列的基础知识、基本解法为主，理科注重概念的理解和运用。
分值在22分左右二、复习预习(1)数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.②了解数列是自变量为正整数的一类函数.(2)等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.③能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.(3)数列求和,求通项.与函数,不等式等知识的综合题,考查学生对知识的掌握和应用能力.错位相减法、裂项相消法三、知识讲解考点1 数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.②了解数列是自变量为正整数的一类函数.考点2 等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.③能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.考点3 综合问题(1)求数列通项累加法,累乘法,构造法,数学归纳法(2)数列求和裂项相消法,错位相减法, 数学归纳法(3)与函数,不等式等知识的综合题,考查学生对知识的掌握和应用能力.放缩法四、例题精析例1 [2014全国大纲] 等比数列{}n a 中，42a =，55a =，则数列{lg }n a 的前8项和等于( ) (A)6 (B)5 (C)4 (D)3【规范解答】选（C ）.（求解对照）由已知有在等比数列{}n a 中，42a =，55a =， 则63728154a a a a a a a a ⋅=⋅=⋅=⋅=10所以410lg )lg(lg lg lg 4821821==⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++a a a a a a 。
高考数学二轮复习练习：第二部分专项三特色讲练数学传统文化含解析
一、选择题1．(2018·合肥模拟)我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸解析：选B.设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝15，a 13＝135，则15＋12d ＝135，解得d ＝10.所以a 2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B.2．(2018·益阳、湘潭调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例．若输入n ，x 的值分别为3，3，则输出v 的值为( )A ．15B ．16C ．47D ．48解析：选D.执行程序框图，n ＝3，x ＝3，v ＝1，i ＝2≥0，v ＝1×3＋2＝5，i ＝1≥0，v ＝5×3＋1＝16，i ＝0≥0，v ＝16×3＋0＝48，i ＝－1<0，退出循环，输出v 的值为48.故选D.3．(2018·沈阳教学质量监测(一))刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )A.334πB.332πC.12πD.14π解析：选B.如图，在单位圆中作其内接正六边形，则所求概率P ＝S 六边形S 圆＝34×12×6π×12＝332π. 4．(2018·高考北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322f C.1225f D.1227f解析：选D.从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122的等比数列，记为{a n }，则第八个单音频率为a 8＝f (122)8－1＝1227f ，故选D.5．(2018·潍坊模拟)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的( )A ．己亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年解析：选C.由题意知2014年是甲午年，则2015到2020年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年．6．(2018·惠州第二次调研)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A ．33B ．34C ．36D ．35解析：选B.由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.7．(2018·兰州模拟)刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2∶1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为( )A.3πB.3π2C ．3πD ．4π解析：选B.由三视图得阳马是一个四棱锥，如图中四棱锥P -ABCD ，其中底面是边长为1的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD 且P A ＝1，所以PC ＝3，PC 是四棱锥P -ABCD 的外接球的直径，所以此阳马的外接球的体积为4π3⎝⎛⎭⎫323＝3π2，故选B.8．(2018·唐山五校联考)割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．这是公元三世纪我国古代数学家刘徽大胆地应用以直代曲、无限趋近求圆周率的思想方法．现利用刘徽的“割圆术”思想设计一个计算圆周率的近似值的程序框图(如图)．若输入的a ＝3，n ＝10，则输出的n ＝( )A ．20B ．40C ．80D ．160参考数据：解析：选B.当a ＝3，n ＝10时，b ＝3，a ＝12×10sin 360°10＝2.939，此时|a －b |＝0.061>0.05，不满足条件，则n ＝20，b ＝2.939，a ＝12×20×sin 360°20＝3.090，此时|a －b |＝0.151>0.05，不满足条件，则n ＝40，b ＝3.090，a ＝12×40×sin 360°40＝3.128，此时|a －b |＝0.038<0.05，满足条件，故输出的n ＝40.故选B.9．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式：设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222.若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A. 3 B ．2 C ．3D. 6解析：选A.根据正弦定理，由a 2sin C ＝4sin A ，得ac ＝4.再结合(a ＋c )2＝12＋b 2，得a 2＋c 2－b 2＝4，则S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222＝16－44＝3，故选A. 10．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A.392 B.752 C ．39D.6018解析：选B.设下底面的长为x ⎝⎛⎭⎫92≤x <9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝16×3×[(3×2＋x )×2＋(2x ＋3)(9－x )]＝－x 2＋17x 2＋392，故当x ＝92时，体积取得最大值，最大值为－⎝⎛⎭⎫922＋92×172＋392＝752.故选B.11．(2018·昆明模拟)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面面积，“势”是几何体的高．意思是：若两个等高几何体在同高处的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现在一旋转体D (如图1所示)，它是由抛物线y ＝x 2(x ≥0)，直线y ＝4及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周形成的几何体，旋转体D 的参照体的三视图如图2所示，利用祖暅原理，则旋转体D 的体积是( )A.16π3 B ．6π C ．8πD ．16π解析：选C.由三视图知参照体是一个直三棱柱，其体积V ＝12×4×4×π＝8π，故旋转体D 的体积为8π，故选C.12．(2018·郑州第一次质量预测)刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”．如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为( )A ．24B ．32 5C ．64D ．32 6解析：选B.由三视图可知该几何体的直观图如图所示，其中S四边形ABED ＝S四边形ACFD ，S △ABC ＝S △DEF .过点A 向平面BCFE 作垂线，垂足为A ′，作AM ⊥CF 于点M ，作AN ⊥BC 于点N ，连接A ′N ，易知AA ′＝4，A ′N ＝CM ＝8－42＝2，CN ＝12BC ＝2.在Rt △AA ′N 中，AN ＝AA ′2＋A ′N 2＝42＋22＝25，在Rt △ANC 中，AC ＝CN 2＋AN 2＝22＋（25）2＝26，在Rt △AMC 中，AM ＝AC 2－CM 2＝（26）2－22＝2 5.所以S 四边形ACFD ＝12×(4＋8)×25＝125，S △ABC ＝12×BC ×AN ＝12×4×25＝4 5.所以该茅草屋顶的面积为2×125＋2×45＝325，故选B.二、填空题13．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．解析：由题意得，蒲草的长度组成首项为a 1＝3，公比为12的等比数列{a n }，设其前n 项和为A n ；莞草的长度组成首项为b 1＝1，公比为2的等比数列{b n }，设其前n 项和为B n .则A n ＝3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12，B n ＝2n －12－1，令3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝2n －12－1，化简得2n ＋62n ＝7(n ∈N *)，解得2n ＝6，所以n ＝lg 6lg 2＝1＋lg 3lg 2≈3，即第3天时蒲草和莞草长度相等．答案：314．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n ＝________．解析：第一次循环，得S ＝2，否；第二次循环，得n ＝2，a ＝12，A ＝2，S ＝92，否；第三次循环，得n ＝3，a ＝14，A ＝4，S ＝354，否；第四次循环，得n ＝4，a ＝18，A ＝8，S ＝1358＞10，是，输出的n ＝4.答案：415．(2018·广州调研)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角”．现将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为S n ，如S 1＝1，S 2＝2，S 3＝2，S 4＝4，…，则S 126＝________．解析：题图②中的三角形数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，有1个1，第2次全行的数都为1的是第2行，有2个1，第3次全行的数都为1的是第4行，有4个1，依此类推，第n 次全行的数都为1的是第2n－1行，有2n －1个1.第1行，1个1，第2行，2个1，第3行，2个1，第4行，4个1；第1行1的个数是第2行1的个数的12，第2行与第3行1的个数相同，第3行1的个数是第4行1的个数的12；第5行，2个1，第6行，4个1，第7行，4个1，第8行，8个1；第5行1的个数是第6行1的个数的12，第6行与第7行1的个数相同，第7行1的个数是第8行1的个数的12.根据以上规律，当n ＝8时，第28－1行有128个1，即S 128＝128，第127行有64个1，即S 127＝64，第126行有64个1，即S 126＝64.答案：6416．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于五世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面积．意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．现有下题：在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)和(x －3)2＋y 2＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图所示阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为4π1－y 2＋8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．解析：根据提示，一个底面半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π.答案：2π2＋16π。
主题08 等差数列、等比数列与传统文化-2018年高考数学二轮透析23题对对碰 含解析 精品
2018届二轮透析高考数学23题对对碰【二轮精品】 第一篇主题8 等差数列、等比数列与传统文化【主题考法】本主题考题形式为选择题、填空题，主要考查等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式和前n 项和公式，考查等差、等比数列的基本运算、基本技能和基本思想方法，考查运算求解能力、函数与方程思想，难度为基础题或中等难度，分值为5分. 【主题回扣】 1.等差数列（1）定义：1n n a a d +-=(d 为常数)⇔ {}n a 是等差数列 (2)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (3)求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ；(4)性质：①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②a n ＝a m ＋(n －m )d ；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，成等差数列. （5）判断等差数列的常用方法 ①定义法a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．②通项公式法a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．③中项公式法2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． ④前n 项和公式法S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．2.等比数列 （1）定义：1n na q a += (q 为非零常数)⇔ {}n a 是等比数列； (2)通项公式：a n ＝a 1q n －1(q ≠0)；(3)求和公式：q ＝1，S n ＝na 1；q ≠1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q；(4)性质：①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ； ②a n ＝a m ·qn －m；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(S m ≠0)成等比数列.（5）判断等比数列的常用方法 ①定义法a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． ②通项公式法a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．③中项公式法a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．【易错提醒】1.等差(比)数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．2.易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a n b n时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q ≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解． 5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论． 【主题考向】考向一 等差数列与等比数列的基本量的求解【解决法宝】等差（比）数列的通项公式、前n 项和公式中一共包含1,a d （或q ）,,n n a 与n S 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中1a 和d （或q ）是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．注意方程思想的应用．讨论等差数列前n 项和的最值时，不要忽视n 为整数的条件和0n a =的情形．等比数列前n 项和公式时，注意分类讨论． 例1．【四川南充市2018届综合测试（一）】公差不为0的等差数列{}n a 的部分项123,,,k k k a a a 构成等比数列{}n k a ，且11k =，22k =，36k =，则4k 为（ ）A ．20B ．22C ．24D ．28 【分析】利用等比数列和等差数列的通项公式即可求解 4k .【解析】设等差数列{}n a 的公差为126,,,d a a a 成等比数列,2216a a a ∴=, 即()()21115a d a a d +=+，1213,4d a a a ∴=∴=,所以等比数列123,,...k k k a a a 的公比4q =，433111464k a a q a a ∴===,又()()()414141113k a a k d a k a =+-=+-,()()1411141364,0,3264a k a a a k ∴+-=≠∴-=,422k ∴=,故选B.考向二 等差数列、等比数列定义的应用 【解决法宝】1.等差数列的判定：①定义法：1n n a a d --=（d 为常数）(n ∈N*)⇔{n a }是等差数列； ②等差中项法：112n n n a a a +-=+⇔{n a }是等差数列；③通项公式法：n a pn q =+（,p q 为常数）⇔{n a }是等差数列；④前n 项和公式法：2n S an bn =+（,a b 为常数）⇔{n a }是等差数列．其中用来证明方法的有①②．2.等比数列的判定：①定义法：1nn a q a -=（0,0n a q ≠≠）⇔{n a }是等比数列； ②等比中项法：211n n n a a a +-=（0n a ≠）⇔{n a }是等比数列； ③通项公式法：(a 0,b 0)nn a ab =≠≠⇔{n a }是等比数列；④前n 项和公式法：,(a 0,b 0,b 1),na,(a 0)n n a b a S ⎧⋅-≠≠≠=⎨≠⎩⇔{n a }是等比数列，其中用来证明方法的有①②．例2．【甘肃省兰州市2018届高三一诊】若等比数列的前项和为，其中，是常数，则的值为（ ）A. B. C. D.【分析】先判断a 不为0，有题中条件求出321,,a a a ，根据等比数列定义即可列出b a ,的关系式，即可求出b a +的值.考向三 等差数列与等比数列的性质的应用【解决法宝】条件或结论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时，先观察分析下标之间的关系，再考虑能否应用性质解决，要特别注意等差数列与等比数列性质的类比、联系与区别．等差数列（等比数列）中若出现的是通项与数列和的关系，则优先考虑：（1）等差数列性质：①已知,,,m n p q *∈N ，q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+；②d m n a a m n )(-+=；（2）等比数列性质：①已知,,,m n p q *∈N ，q p n m +=+，则q p n m a a a a =；②m n m n q a a -=；利用性质可简化计算.例3．【安徽省黄山市2017届摸底考试】设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201620171a a >，20162017101a a -<-，给出下列结论：（1）01q <<；（2）2016201810a a ->；（3）2016T 是数列{}n T 中的最大项；（4）使1n T >成立的最大自然数等于4031，其中正确的结论为（ ） A ．（2）（3） B ．（1）（3） C ．（1）（4） D ．（2）（4） 【分析】利用等比数列的性质即可判断各结论的正误. 【解析】由20162017101a a -<-，11a >得2016201711,01a a q ><<<，，前2016项都大于1，而从第2017项起都小于1，因此2016T 是数列{}n T 中的最大项；由等比数列性质知40331a a =40322a a =……=22017a =20182016a a ＜1，所以4033T ＜1，（2）错误，因为40321a a =40312a a =……=20172016a a ＞1，所以4032T ＞1，所以，使1n T >成立的最大自然数等于4032，故（4）错误，所以（1）（3）正确，选B.例4 【甘肃省武威市2018届二练】已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ） A ．1941 B ．1737C ．715D ．2041【分析】利用等差数列的性质与前n 项和公式，即可求出结果.【解析】()()11111538383831111113921011111111111111111()2211()222a a a a a a a a a a a a ab b b b b b b b b b b b b b b b ++++++=+====++++++++＝1111211319411341S T ⨯-==⨯-，故选A ． 考向四 数列与传统文化【解决法宝】认真阅读题目，先将与数列有关的传统文化题目转化为数列的问题，然后再利用数列的知识有关知识进行解题，最后对实际问题作出解释.例5【河南省三门峡一高2018届下学期第一次月考】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织 28 尺，第二日，第五日，第八日所织之和为 15 尺，则第九日所织尺数为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，设为}{n a ，且a 2+a 5+a 8=15，S 7=28，利用等差数列通项公式和前n 项和，即可求出基本量d a ,1，利用通项公式即可求出9a 即为第九日所织尺数.【主题集训】 一、选择题：1．【2018年湖南省十四校联考】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下1尺，重4斤；在最细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其总重量为，则的值为（ ） A. 4 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C【解析】由于粗细是均匀变化的,所以为等差数列,即,所以总重量为.故选.2.【河南百校联考2017届高三9月质检，3】在等差数列{}n a 中，12a =，公差为d ，则“4d =”是“123,,a a a 成等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由123,,a a a 成等比数列得22213(2)2(22)04a a a d d d d =⇒+=+⇒==或，所以“4d =”是“123,,a a a 成等比数列”的充分不必要条件，选A.3．【山西省晋中市2018届高三1月高考适应性考试】等比数列中，，是函数的两个零点，则等于（ ） A.B.C. D.【答案】D【解析】是函数的两个零点，，由等比数列的性质知，.，故选D.4．【湖南省怀化市2018届高三上学期期末】在等差数列中，若，，则的值是（）A. 15 B. 30 C. 31 D. 64【答案】A【解析】等差数列中,,,，故选A.5.【河北省张家口市一高2018届3月考】数列是等差数列，若，且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，若数列的前项和有最大值，即，当时，可知，又，可知，所以，即，而，所以取得最小正值时，，故选C.6.【福建省莆田市2018届3月质量检测】等比数列的前项和为，已知，，则（）A. B. C. 14 D. 15【答案】D【解析】由，得，即，又为等比数列，所以公比，又，所以..故选D.7．【山东潍坊2017届高三上学期期中，6】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里 B．48里 C.36里 D．24里【答案】C8．【福建省漳州市2018届高三上学期期末】等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项均为1，公差与公比均为3，则123b b b a a a ++=（ ）A. 64B. 32C. 38D. 33 【答案】D【解析】依题意： ()13132n a n n =+-=-，13n n b -=，则11b =， 23b =， 39b =，123139172533b b b a a a a a a ∴++=++=++=，故选D9．【吉林省长春市2018届质量监测（二）】已知等比数列的各项均为正数，前项和为，若，则A. B. C.D.【答案】C 【解析】由得，，解得，从而，故选C.10.【安徽省宿州市2018届第一次质量检测】在等差数列{}n a 中， 761a a <-，若它的前n 项和n S 有最大值，则当0n S >时， n 的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】A【解析】数列{}n a 为等差数列，若761a a <-，则7660a a a +<，可得0d <，60a ∴>， 760a a +<， 70a <，111620a a a ∴+=>， 110S >，112760a a a a +=+<， 120S <，则当0n S >时， n 的最大值为11，故选A11.【辽宁盘锦市高中2017届11月月考，3】等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，1232n n a a a a m ++++=+…，则22212n a a a +++…等于（ ）A ．1(4)3n m + B ．1(21)3n -C ．41n-D ．2(2)n m +【答案】A【解析】∵等比数列{}n a 中，对任意正整数n ，1232n n a a a a m ++++=+…，∴m a +=21，m a a +=+421，m a a a +=++8321，∴m a +=21，22=a ，43=a ，∴1-=m ，11=a ，∴121=a ，422=a ，1623=a ，∴{}2na 是首项为1，公比为4的等比数列，∴()()m a a a a n n n n+=-=--=++++431143141412232221．故选：A ．12.【广东省珠海一中等六校2018届高三第三次联考】设等差数列的前项和为，若,则( )A. 63B. 45C. 36D. 27 【答案】A 【解析】由题意，，，，∴，，，故选A ．13.【福建省宁德市2018届高三上学期期末】已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若1239a a a ++=，636S =，则12a 为（ ）A. 23B. 24C. 25D. 26 【答案】A【解析】等差数列{}n a 的前n 和为n S ， 1239a a a ++=， 636S =， 11339{ 656362a d a d +=∴⨯+=，解得11,2a d ==， 12111223a =+⨯=，故选A.15．【河南百校联考2017届高三9月质检，11】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若4321228a a a a +--=，则542a a +的最小值为（ ）A ．12B ．122C ．123D ．163 【答案】C【解析】24321212128228(2)(1)821a a a a a a q a a q +--=⇒+-=⇒+=-，则335421282(2),(1)1q a a a a q q q +=+=>-，求导得导函数零点3q =，为唯一一个极小值点，也是最小值点，所以3q =时542a a +取最小值为123，选C.16．【河北省武邑中学2018届第一次质量检】已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为数列的前项和，则的值为__________．【答案】2【解析】根据等比中项有即,化简得.，17.【安徽百校论坛2017届高三上学期第2联考，16】已知函数{}n a 满足11123n n n a a a +++=+，且11a =，则数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前20项和为 ．【答案】78018.【云南省昆明市一中2018届第六次月考】若等比数列的前项和（其中，是常数），则__________．【答案】【解析】，，，由数列是等比数列得：，即，所以．19.【福建省莆田市2018届3月质检】已知数列满足，，则__________．【答案】【解析】由，同时除以可得，即是以为首项，为公差的等差数列，所以，即.20.【河北省衡水市武邑中学2018届高三下学期开学】已知等比数列{}n a 的各项均为正数， n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+， 416a =，则4S =__________． 【答案】3021．【天津市耀华中学2018届12月月考】已知等差数列中，公差，且，，成等比数列，求___．【答案】【解析】∵为等差数列且，，成等比，∴，即，∴，则，∴，∴．22.【山东省烟台市2018届上学期期末自主练习】方程的解称为函数的不动点，若有唯一不动点，且数列满足，，则_______________________.【答案】【解析】由题得，化简得由唯一不动点，所以，，所以，所以，是一个等差数列，.23.【湖南省株洲市二中等十四校2018届第一次联考】已知数列满足：，.设是等差数列，数列是各项均为正整数的递增数列，若，则__________．【答案】【解析】由题意，递推关系可化为,令，则有，而，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，依题意知，成等差数列，即，结合通项公式有：，结合可得：，分类讨论：当均为奇数时，整理计算可得，左边为偶数，故矛盾；当均为偶数时，整理计算可得，左边为偶数，故矛盾；当为偶数，为奇数时，整理计算可得，左边为偶数，因为数列是各项均为正整数的递增数列，所以，所以，故矛盾；当为奇数，为偶数时，整理计算可得，即.综上可得.。
2018届二轮复习 传统文化与高考数学 课件(全国通用)
为9的等差数列,S9=9×9+ 9 8 ×9=405.
2
答案:405
命题背景二
渗透古代名家(学派)研究数学的考查
【典例】(1)(2017·枣庄二模)两千多年前,古希腊毕
达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.
他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点或小石
子能排列的形状对数进行分类.如图中实心点的个数
率是
(
)
1 A． 4
B． 8
1 C． 2
D． 4
(2)(2017·郑州二模)我国古代数学名著《九章算
术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以
至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是
一种无限与有限的转化过程,比如在 2 2 2
中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这
特色专题 传统文化与高考数学
命题阐述
年份
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
卷别 Ⅰ
题号 T4
命题背景 中国古代太极图
考查知识点 概率
2017 2017年《考试大纲》修订 内容中增加了数学文化的 要求.以数学文化为背景的 新颖命题,将数学知识、方 法、文化融为一体,有效考 查学生在新情境下对知识 的理解及迁移运用能力
Ⅱ Ⅲ Ⅰ
2016
2.(新题预测)我国古代,9是数字之极,代
表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包
含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆
丘的底面由扇环形的石板铺成(如图),最高一层是一
块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,
每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则前9圈的石板总数
是________.
【解析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9,公差
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[传统文化训练一]一、选择题1．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束……)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为( )A ．91B ．105C ．120D ．210解析：由题意得，从上往下第n 层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. ∴1＋3＋6＋…＋n (n ＋1)2＝680，即12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋12n (n ＋1) ＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680，∴n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，∴n ＝15.故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为14×152＝105.答案：B2．《张丘建算经》卷上第23题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？意思是：现有一女子善于织布，若第1天织5尺布，从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月(按30天计)共织930尺布(注：1匹＝10丈，1丈＝10尺)，则每天比前一天多织( )A.47尺布B.5229尺布C.815尺布D.1631尺布解析：设公差为d ，则由a 1＝5，S 30＝30×5＋30×292d ＝930，解得d ＝5229.答案：B 3．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n .第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( )A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1)解析：a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11·2＋12·3＋…＋1(n －1)n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 2·n －1n ＝n (n －1)．答案：C4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A ．d ≈ 3169VB ．d ≈ 32VC ．d ≈ 3300157VD ．d ≈ 32111V解析：由球体积公式得d ＝ 36πV ≈31.909 860 93V .因为169≈1.777 777 78，300157≈1.910 828 03，2111≈1.909 090 91.而2111最接近于6π，所以选D.答案：D5．(2016·河西五市二联)我国明朝著名数学家程大位在其名著《算法统宗》中记载了如下数学问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯，”诗中描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，那么塔顶有________盏灯．( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：本题可抽象为一个公比为2的等比数列{a n }．∵S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，∴可解得a 1＝3，即塔顶有3盏灯，故选B.答案：B6．(2017·武汉调研)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，∴组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·(12)2×x＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B.答案：B7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈5 13)A．600立方寸B．610立方寸C．620立方寸D．633立方寸解析：连接OA，OB，OD，设⊙O的半径为R，则(R－1)2＋52＝R2，∴R＝13.sin∠AOD＝ADAO＝513.∴∠AOD≈22.5°，即∠AOB≈45°.故∠AOB≈π4.∴S弓形ACB ＝S扇形OACB－S△OAB＝12×π4×132－12×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V＝S弓形ACB×100≈633立方寸．选D.答案：D8．(2017·石家庄模拟)李冶( 1192—1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)A．10步，50步B．20步，60步C．30步，70步D．40步，80步解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．故选B.答案：B二、填空题9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎨⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即 ⎩⎨⎧ 4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.答案：676610．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 016这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为________．解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故a n ＝15n －14.由a n ＝15n －14≤2 016，解得n ≤4063，又n ∈N *，故此数列的项数为135.答案：13511．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1, 3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项；(2)b 2k －1＝________(用k 表示)．解析：由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k (5k ＋1)2(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2， 故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项． 答案：(1)5 030 (2)5k (5k －1)212．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面积．意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．现有下题：在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)和(x －3)2＋y 2＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图所示阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为4π1－y 2＋8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．解析：根据提示，一个底面半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π. 答案：2π2＋16π。