高考数学 第二章 第十一节 导数在研究函数中的应用课件 理 新人教A版
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高考数学第一轮复习 第二篇 第11讲 导数在研究函数中的应用课件 理 新人教A版
∴f(x)的单调递增区间为－∞，－13，[3，＋∞)；
f(x)的单调递减区间为－13，3.
(3，＋∞)
＋ ↗
第九页，共22页。
利用导数研究(yánjiū)函数的 极值 【例 2】设 f(x)＝alnx＋21x＋32x＋1，其中 a∈R，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))
处的切线垂直于 y 轴． (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值．
化简得12a＋b＝0， 4a＋b＝－8，
审题路线
f′2＝0， (1)f2＝c－16 ⇒a，b 的值； (2)求导确定函数的极 大值⇒求得 c 值⇒求 得极大值、极小值、 端点值⇒求得最值．
解得a＝1， b＝－12.
第十四页，共22页。
利用(lìyòng)导数求函数 的最值
【例 3】 (2012·重庆卷)已知函数 f(x)＝ax3＋bx＋c 在 x＝2 处取得极值 为 c－16. (1)求 a，b 的值； (2)若 f(x)有极大值 28，求 f(x)在[－3,3]上的最小值．
∵f(x)在 x∈[0，＋∞)上是增函数，
∴当 x≥0 时，f′(x)＝x(ex－2k)≥0 恒成立．
∴ex－2k≥0，即 2k≤ex 恒成立．
(1)利用导数研究函数的单调(dāndiào)性 的关键在于准确判定导数的符号．而解
由于 ex≥1，∴2k≤1，则 k≤12. 又当 k＝12时，f′(x)＝x(ex－1)≥0
1.导数与单调(dāndiào)性的 关系 (1)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充要条件．( ) (2)函数在其定义域内离散的点处导数等于 0 不影响函数的单调性．( ) (3)(2012·辽宁卷改编)函数 y＝12x2－lnx 的单调递减区间为(0,1]．( )
高中数学 3.3.1导数在研究函数中的应用课件 新人教A版选修11
∴只有选项 B 符合题意,当 x∈(π,2π)时,y'>0 恒成立.
答 案 :B
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ANGTANGJIANCE
探究一
探究二
探究三
探究四
典例提升 2
求函数 f(x)=x2-ln x 的单调区间.
思路分析:求函数的单调区间,即求定义域上满足 f'(x)>0 或 f'(x)<0的区
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做一做 2
y=2x2 在区间
上 是 增函数,其切线斜率大于零,倾斜角为锐
角 ;在 区间
上 是 减函数,其切线斜率小于零,倾斜角为钝角.
答案:(0,+∞) (-∞,0)
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准 确 熟练地解出不等式是求函数单调区间的基本功.
典例提升 1
函数 y=xcos x-sin x 在下面哪个区间内是增函数( )
A.
π 2
,
3π 2
B.(π,2π)
C.
3π 2
,
5π 2
D.(2π,3π)
思 路 分析:只需判断在哪个区间上导函数的值大于零即可.
解析:y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若 y=f(x)在某区间内是增函数,只需 在此区间内 y'恒大于零即可.
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答 案 :B
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探究二
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求函数 f(x)=x2-ln x 的单调区间.
思路分析:求函数的单调区间,即求定义域上满足 f'(x)>0 或 f'(x)<0的区
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y=2x2 在区间
上 是 增函数,其切线斜率大于零,倾斜角为锐
角 ;在 区间
上 是 减函数,其切线斜率小于零,倾斜角为钝角.
答案:(0,+∞) (-∞,0)
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准 确 熟练地解出不等式是求函数单调区间的基本功.
典例提升 1
函数 y=xcos x-sin x 在下面哪个区间内是增函数( )
A.
π 2
,
3π 2
B.(π,2π)
C.
3π 2
,
5π 2
D.(2π,3π)
思 路 分析:只需判断在哪个区间上导函数的值大于零即可.
解析:y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若 y=f(x)在某区间内是增函数,只需 在此区间内 y'恒大于零即可.
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新高考一轮复习人教A版第二章第十一讲导数与函数的单调性课件(60张)
【题后反思】根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单 调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)单调递增(减)的充要条件是对任意的 x∈(a，b) 都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在(a，b)内的任一非空子区间 上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略， 否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式 有解问题.
解：函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2－a＋x 1x＋1＝
ax－1x－1
x
.
①当 0<a<1 时，1a>1， ∴x∈(0,1)和1a，＋∞时，f′(x)>0； x∈1，a1时，f′(x)<0， ∴函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单调递增，在1，1a上 单调递减；
综上，当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单 调递增，在1，a1上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 a>1 时，函数 f(x)在0，a1和(1，＋∞)上单调递增， 在1a，1上单调递减.
【题后反思】 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式 解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论， 还要确定导数为零的点和函数的间断点.
②当 a＞0 时，令 3x2－a＝0，得 x＝
33a或－
3a 3.
当 x＞ 33a或 x＜－ 33a时，f′(x)＞0；
当－ 33a＜x＜ 33a时，f′(x)＜0.
因此 f(x)在－∞，－ 33a， 33a，＋∞上单调递增， 在－ 33a， 33a上单调递减.
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2111导数的应用课件理新人教A版
答案 －32 3
解法一：因为 f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，所以[f(x)]2＝4sin2x(1 ＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3，设 cosx＝t，则 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)， 所以 y′＝4[－(1＋t)3＋3(1－t)(1＋t)2]＝4(1＋t)2(2－4t)，所以当－1<t<21时， y′>0；当21<t<1 时，y′<0。所以函数 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)在－1，21 上单调递增，在12，1上单调递减，所以当 t＝12时，ymax＝247；当 t＝±1 时， ymin＝0。所以 0≤y≤247，即 0≤[f(x)]2≤247，所以－32 3≤f(x)≤32 3，所以 f(x)的最小值为－32 3。
(ⅱ)当 0<2a<1，即 0<a<2 时，由 f′(x)>0，得 0<x<a2或 x>1； 由 f′(x)<0，得a2<x<1。 则函数 f(x)的单调递增区间为0，a2，(1，＋∞)， 函数 f(x)的单调递减区间为a2，1。 (ⅲ)当2a＝1，即 a＝2 时，f′(x)≥0 恒成立，则函数 f(x)的单调递增区 间为(0，＋∞)。
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数 y＝f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数
值 都小
，且 f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0 ，右
侧 f′(x)＞0 ，则 x＝a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
(2)函数的极大值
1．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成 立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。
解法一：因为 f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，所以[f(x)]2＝4sin2x(1 ＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3，设 cosx＝t，则 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)， 所以 y′＝4[－(1＋t)3＋3(1－t)(1＋t)2]＝4(1＋t)2(2－4t)，所以当－1<t<21时， y′>0；当21<t<1 时，y′<0。所以函数 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)在－1，21 上单调递增，在12，1上单调递减，所以当 t＝12时，ymax＝247；当 t＝±1 时， ymin＝0。所以 0≤y≤247，即 0≤[f(x)]2≤247，所以－32 3≤f(x)≤32 3，所以 f(x)的最小值为－32 3。
(ⅱ)当 0<2a<1，即 0<a<2 时，由 f′(x)>0，得 0<x<a2或 x>1； 由 f′(x)<0，得a2<x<1。 则函数 f(x)的单调递增区间为0，a2，(1，＋∞)， 函数 f(x)的单调递减区间为a2，1。 (ⅲ)当2a＝1，即 a＝2 时，f′(x)≥0 恒成立，则函数 f(x)的单调递增区 间为(0，＋∞)。
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数 y＝f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数
值 都小
，且 f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0 ，右
侧 f′(x)＞0 ，则 x＝a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
(2)函数的极大值
1．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成 立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。
高考数学一轮复习第二篇第11节导数在研究函数中的应用第1课时课件文新人教A版
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解析：①错误．f′(x)>0 能推出 f(x)为增函数，反之不一定．如函 数 f(x)＝x3 在(－∞，＋∞)上单调递增，
但 f′(x)≥0. 所以 f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分条件，但不是必要条件． ②错误．一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一 个．
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③正确．一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极 大值可能比极小值大，也可能比极小值小，还可能与极小值相等．
(A)－1
(B)－2e－3
(C)5e－3
(D)1
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A 解析：因为 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以 f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋ (x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为 x＝－2 是函数 f(x)＝ (x2＋ax－1)ex－1 的极值点，所以－2 是 x2＋(a＋2)x＋a－1＝0 的根， 所在 a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令 f′(x)＞0， 解得 x＜－2 或 x＞1，令 f′(x)＜0，解得－2＜x＜1，所以 f(x)在(－∞， －2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当 x＝1 时，f(x)取得极小值，且 f(x)极小值＝f(1)＝－1，选择 A.
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2．f′(x0)＝0 是可导函数 f(x)在 x＝x0 处取极值的什么条件？ 提示：必要不充分条件，因为当 f′(x0)＝0 且 x0 左右两端的导数 符号变化时，才能说 f(x)在 x＝x0 处取得极值．反过来，如果可导函 数 f(x)在 x＝x0 处取极值，则一定有 f′(x0)＝0.
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4．已知 f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则 a 的最大值是 ________．
解析：①错误．f′(x)>0 能推出 f(x)为增函数，反之不一定．如函 数 f(x)＝x3 在(－∞，＋∞)上单调递增，
但 f′(x)≥0. 所以 f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分条件，但不是必要条件． ②错误．一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一 个．
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③正确．一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极 大值可能比极小值大，也可能比极小值小，还可能与极小值相等．
(A)－1
(B)－2e－3
(C)5e－3
(D)1
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A 解析：因为 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以 f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋ (x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为 x＝－2 是函数 f(x)＝ (x2＋ax－1)ex－1 的极值点，所以－2 是 x2＋(a＋2)x＋a－1＝0 的根， 所在 a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令 f′(x)＞0， 解得 x＜－2 或 x＞1，令 f′(x)＜0，解得－2＜x＜1，所以 f(x)在(－∞， －2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当 x＝1 时，f(x)取得极小值，且 f(x)极小值＝f(1)＝－1，选择 A.
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2．f′(x0)＝0 是可导函数 f(x)在 x＝x0 处取极值的什么条件？ 提示：必要不充分条件，因为当 f′(x0)＝0 且 x0 左右两端的导数 符号变化时，才能说 f(x)在 x＝x0 处取得极值．反过来，如果可导函 数 f(x)在 x＝x0 处取极值，则一定有 f′(x0)＝0.
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4．已知 f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则 a 的最大值是 ________．
高中数学选修2《导数在研究函数中的应用》课件
或
x>1
时,
f (x)>0,
-
1 3
x
1
时,
∴ 函数在 (-∞,
f (x)<0.
- 13) 或 (1,
+∞) 上是增函数,
在
(
-
1 3
,
1)上是减函数.
4. 证明函数 f(x)=2x3-6x2+7 在 (0, 2) 内是减函数.
证明: f (x)=6x2-12x,
解不等式 6x2-12x<0 得 0<x<2,
函数是增函数.
例2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f(x)=x3+3x;
(2) f(x)=x2-2x-3;
(3) f(x)=sinx-x, x(0, p);
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1.
y
解: (3) f (x) = cosx-1,
解不等式 cosx-1>0 得
果 f(x)<0, 那么函数 y=f(x)在
这个区域内单调递减.
例1. 已知导函数 f (x) 的下列信息:
当 1<x<4 时, f (x)>0;
当 x>4, 或 x<1 时, f (x)<0;
当 x=4, 或 x=1 时, f (x)=0.
试画出函数 f(x) 图象的大致形状.
解: 在区间 (1, 4) 内, f (x)>0,
解不等式 6x2+6x-24>0 得
x
-
1 2
-
17 2
,
或
x
-
1 2
+
高三数学一轮复习 第二章 第十一节 导数在研究函数中的应用课件 理 新人教A版
(2013·广州调研)设f(x)＝1＋exax2，其中a为正实数．
(1)当a＝43时，求f(x)的极值点； (2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
【思路点拨】
(1)当a＝
4 3
时，求f′(x)＝0的根，然后利
用极值与导数的关系判定；(2)转化为判定f′(x)不变号满足
的不等式，求a的范围．
【提示】 不一定．如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0) ＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点，对于可导函数，若x ＝x0为其极值点，则需满足以下两个条件：①f′(x0)＝0，②x ＝x0两侧的导数f′(x)的符号异号．因此f′(x0)＝0是函数y＝f(x) 在点x＝x0取得极值的必要(bìyào)不充分条件．
第七页，共48页。
1．(人教A版教材习题改编)当x＞0时，f(x)＝x＋
4 x
的单
调减区间是( )
A．(2，＋∞) C．( 2，＋∞)
B．(0，2) D．(0， 2)
第八页，共48页。
【解析】 f′(x)＝1－x42，令f′(x)＜0， ∴1－x42＜0，∴0＜x＜2，
x＞0， ∴f(x)的减区间为(0，2)．
第十六页，共48页。
(2)由于a＝1， 所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1. 故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于
k<exx＋－11＋x(x>0)．
①
令g(x)＝exx＋－11＋x，
则g′(x)＝（－exx－ex－1）12＋1＝ex（（eexx－－x1－）22）.
第二十八页，共48页。
(2)∵f′(x)＝－3x2＋2ax＝x(－3x＋2a)，∵a＜0，
(江西专用)高考数学一轮复习 2.11 导数在研究函数中的应用课件 文 新人教A版
os
1 4 x>1 , 4
此时x满足的区间原函数是减函数,又原函数为奇函数,可得
选C正确. 【答案】C
3.已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极 大值,则a的取值范围是 ( (A)(-∞,1).
(C)(0,1).
)
(B)(-1,0).
出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x)(注意函数的实际
需要的限制);
②求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0; ③比较函数在定义域的区间端点和使f'(x)=0的点的函数值 的大小,其中最大的为最大值,最小的为最小值.
1.函数f(x)=x+ln x的单调增区间为 ( (A)(-1,0).
题型2
利用导数研究函数的极值或最值
例2
已知函数f(x)=ex+2x2-3x.
(1)求证:函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点; (2)当x≥ 时,若关于x的不等式f(x)≥ x2+(a-3)· x+1恒成立,求
1 2 5 2
实数a的取值范围.
【分析】根据极值点存在性可转化为存在唯一的零点来处 理,恒成立问题可以转化为求函数的最值问题来处理.
(C)(-∞,4].
) (B)(4,+∞).
(D)(-∞,4).
(2)函数y=2sin x+ex在[1,+∞)上 ( (A)为增函数. (C)先增后减. (B)为减函数. (D)先减后增.
)
【分析】利用导数取值的正负与函数的单调性之间的关系 求解,其中第(1)小题转化为不等式f'(x)≤0在(2,+∞)上的恒成
【答案】(1)C (2)A
1 4 x>1 , 4
此时x满足的区间原函数是减函数,又原函数为奇函数,可得
选C正确. 【答案】C
3.已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极 大值,则a的取值范围是 ( (A)(-∞,1).
(C)(0,1).
)
(B)(-1,0).
出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x)(注意函数的实际
需要的限制);
②求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0; ③比较函数在定义域的区间端点和使f'(x)=0的点的函数值 的大小,其中最大的为最大值,最小的为最小值.
1.函数f(x)=x+ln x的单调增区间为 ( (A)(-1,0).
题型2
利用导数研究函数的极值或最值
例2
已知函数f(x)=ex+2x2-3x.
(1)求证:函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点; (2)当x≥ 时,若关于x的不等式f(x)≥ x2+(a-3)· x+1恒成立,求
1 2 5 2
实数a的取值范围.
【分析】根据极值点存在性可转化为存在唯一的零点来处 理,恒成立问题可以转化为求函数的最值问题来处理.
(C)(-∞,4].
) (B)(4,+∞).
(D)(-∞,4).
(2)函数y=2sin x+ex在[1,+∞)上 ( (A)为增函数. (C)先增后减. (B)为减函数. (D)先减后增.
)
【分析】利用导数取值的正负与函数的单调性之间的关系 求解,其中第(1)小题转化为不等式f'(x)≤0在(2,+∞)上的恒成
【答案】(1)C (2)A
高中数学文科基础知识讲解《2-11a导数在研究函数中的应用》教学课件
(1)求 f(x)的单调区间； (2)若 y＝f(x)－m－1 在定义域内有两个不同的零点，求 实数 m 的取值范围． 解 (1)f′(x)＝a＋ln x＋1， f′(1)＝a＋1＝0，解得 a＝－1，当 a＝－1 时，f(x)＝ －x＋xln x，即 f′(x) ＝ln x，令 f′(x)>0，解得 x>1； 令 f′(x)<0，解得 0<x<1. ∴f(x)在 x＝1 处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1， ＋∞)，单调递减区间为(0,1)．
①若 4a－2≥0 即 a≥12时，函数 y＝f(x)在[0，＋∞)上单 调递增，
则 f(x)min＝f(0)＝4a－4，不等式恒成立；
②若 4a－2<0 即 0≤a<12时，则在[0，＋∞)上存在 f′(x0) ＝0，
此时函数 y＝f(x)在 x∈(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞) 上单调递增且 f(0)＝4a－4，
第2章 函数、导数及其应用
第11讲 导数在研究函数中的应用
[A 级 基础达标]
1．函数 y＝x4－4x＋3 在区间[－2,3]上的最小值为( )
A．72
B．36
C．12
D．0
解析 因为 y′＝4x3－4，令 y′＝0 即 4x3－4＝0，解
得 x＝1.当 x<1 时，y′<0，当 x>1 时，y′>0，在[－2,3]上
5．[2018·珠海模拟]设 f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且 f′(x) ＞g′(x)，则当 a＜x＜b 时，有( )
A．f(x)＞g(x) B．f(x)＜g(x) C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a) D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)
解析 ∵f′(x)＞g′(x)，∴[f(x)－g(x)]′＞0. ∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数． ∴f(a)－g(a)＜f(x)－g(x)． 即 f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．
①若 4a－2≥0 即 a≥12时，函数 y＝f(x)在[0，＋∞)上单 调递增，
则 f(x)min＝f(0)＝4a－4，不等式恒成立；
②若 4a－2<0 即 0≤a<12时，则在[0，＋∞)上存在 f′(x0) ＝0，
此时函数 y＝f(x)在 x∈(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞) 上单调递增且 f(0)＝4a－4，
第2章 函数、导数及其应用
第11讲 导数在研究函数中的应用
[A 级 基础达标]
1．函数 y＝x4－4x＋3 在区间[－2,3]上的最小值为( )
A．72
B．36
C．12
D．0
解析 因为 y′＝4x3－4，令 y′＝0 即 4x3－4＝0，解
得 x＝1.当 x<1 时，y′<0，当 x>1 时，y′>0，在[－2,3]上
5．[2018·珠海模拟]设 f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且 f′(x) ＞g′(x)，则当 a＜x＜b 时，有( )
A．f(x)＞g(x) B．f(x)＜g(x) C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a) D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)
解析 ∵f′(x)＞g′(x)，∴[f(x)－g(x)]′＞0. ∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数． ∴f(a)－g(a)＜f(x)－g(x)． 即 f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．
高中数学第十一节 导数在研究函数中的应用ppt课件
∴f′(x)<0 的解集为(x1，x2)，∴a>0. 又 x1，x2 均为正数，∴3ca>0，－23ba>0，可得 c>0，b<0. 答案：A
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1．求函数 f(x)极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数 f′(x)； (3)解方程 f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验 f′(x)在 f′(x)＝0 的根 x0 左右两侧值的符号，如果左 正右负，那么 f(x)在 x0 处取极大值，如果左负右正，那么 f(x)在 x0 处取极小值．
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(2)∵函数 f(x)在 x＝1 处取得极值， ∴a＝1，∴f(x)≥bx－2⇒1＋1x－lnxx≥b， 令 g(x)＝1＋1x－lnxx，则 g′(x)＝ln xx－2 2， 令 g′(x)＝0，得 x＝e2， 则 g(x)在(0，e2)上递减，在(e2，＋∞)上递增， ∴g(x)min ＝g(e2)＝1－e12，即 b≤1－e12. 故实数 b 的取值范围为－∞，1－e12.
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当 x<x1 或 x>x2 时，f′(x)<0. 当 x1<x<x2 时，f′(x)>0. 故 f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递 增． (2)因为 a>0，所以 x1<0，x2>0. ①当 a≥4 时，x2≥1. 由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增． 所以 f(x)在 x＝0 处和 x＝1 处分别取得最小值和最大值． ②当 0<a<4 时，x2<1.
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1．求函数 f(x)极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数 f′(x)； (3)解方程 f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验 f′(x)在 f′(x)＝0 的根 x0 左右两侧值的符号，如果左 正右负，那么 f(x)在 x0 处取极大值，如果左负右正，那么 f(x)在 x0 处取极小值．
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(2)∵函数 f(x)在 x＝1 处取得极值， ∴a＝1，∴f(x)≥bx－2⇒1＋1x－lnxx≥b， 令 g(x)＝1＋1x－lnxx，则 g′(x)＝ln xx－2 2， 令 g′(x)＝0，得 x＝e2， 则 g(x)在(0，e2)上递减，在(e2，＋∞)上递增， ∴g(x)min ＝g(e2)＝1－e12，即 b≤1－e12. 故实数 b 的取值范围为－∞，1－e12.
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当 x<x1 或 x>x2 时，f′(x)<0. 当 x1<x<x2 时，f′(x)>0. 故 f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递 增． (2)因为 a>0，所以 x1<0，x2>0. ①当 a≥4 时，x2≥1. 由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增． 所以 f(x)在 x＝0 处和 x＝1 处分别取得最小值和最大值． ②当 0<a<4 时，x2<1.
高中教学导数在中的应用课件新课标人教A版选修2
y f ( x) g ( x)
两函数积的求导法则: 如果
则 y f ( x) g ( x) g ( x) f ( x)
一.利用导数求速度和加速度
速度和加速度分别代表位移对时间和速度对时间的 变化率,瞬时速度和瞬时加速度可以表示为:
s ds v lim s(t ) t 0 t dt
d d ( BS sin ) d e(t ) BS cos BS cos dt dt dt
例.所示:两根平行金属导线固定在水平桌面上,每一 根导轨每米长的电阻值为0.10,导轨的端点P、Q 用电阻可以忽略不计的导线相连,两导轨的距离为l, 有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面,已知磁感应 强度B与时间t的关系为B=kt,比例系数为k=0.02,一 电阻不计的金属杆可以在导线上无摩擦地滑动,在 滑动过程中保持与导轨垂直,在t=0时刻,金属杆紧 靠在P、Q端,在外力作用下,杆以恒定的加速度从 静止开始向导轨和另一端滑动,求在t=6.0秒时金属 杆所受到的安培力.
B
解:要求加速度必求安培力，求安培力 必求感应电流，则导体棒中的电流可 表示为:
dQ d (CU ) dU d ( Blv) dv i C C CBl CBla dt dt dt dt dt
物体加速度可表示为:
dQ F合 mg BIl mg B dt l mg Bl (CBla) a m m m m
v0 v(0) 5(m / s)
dv a v(t ) 12( ms 2 ) dt
变式练习：一物体从450m空中自由下落 下落距离满足 s v0t 1 at 2 2 1 .物体下落5秒钟后的速度 2 .当物体落地时的速度
二.利用导数求感应电动势
两函数积的求导法则: 如果
则 y f ( x) g ( x) g ( x) f ( x)
一.利用导数求速度和加速度
速度和加速度分别代表位移对时间和速度对时间的 变化率,瞬时速度和瞬时加速度可以表示为:
s ds v lim s(t ) t 0 t dt
d d ( BS sin ) d e(t ) BS cos BS cos dt dt dt
例.所示:两根平行金属导线固定在水平桌面上,每一 根导轨每米长的电阻值为0.10,导轨的端点P、Q 用电阻可以忽略不计的导线相连,两导轨的距离为l, 有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面,已知磁感应 强度B与时间t的关系为B=kt,比例系数为k=0.02,一 电阻不计的金属杆可以在导线上无摩擦地滑动,在 滑动过程中保持与导轨垂直,在t=0时刻,金属杆紧 靠在P、Q端,在外力作用下,杆以恒定的加速度从 静止开始向导轨和另一端滑动,求在t=6.0秒时金属 杆所受到的安培力.
B
解:要求加速度必求安培力，求安培力 必求感应电流，则导体棒中的电流可 表示为:
dQ d (CU ) dU d ( Blv) dv i C C CBl CBla dt dt dt dt dt
物体加速度可表示为:
dQ F合 mg BIl mg B dt l mg Bl (CBla) a m m m m
v0 v(0) 5(m / s)
dv a v(t ) 12( ms 2 ) dt
变式练习：一物体从450m空中自由下落 下落距离满足 s v0t 1 at 2 2 1 .物体下落5秒钟后的速度 2 .当物体落地时的速度
二.利用导数求感应电动势
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4
4
令F′(x)=0，得
x1
a， 2
x2
a 6
,
∵a>0,∴x1<x2,
由F′(x)>0得， xa或xa；
2
6
由F′(x)<0得， a x a .
2
6
∴单调递增区间是 (,a),(a,)；
26
单调递减区间为 ( a , a ).
26
【互动探究】在本例题(2)②中，若条件不变，讨论函数
f(x)+g(x)当a＞0时，在区间(-∞，-1)上的单调性.
(4)错误.对可导函数f(x)，f′(x0)=0只是x0点为极值点的必要条 件，如y=x3在x=0时f′(0)=0，而函数在R上为增函数，所以0 不是极值点． (5)正确.当函数在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极 值. 答案: (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
1．函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为( )
2
x
且x≠0，又函数的定义域为(0,+∞),故单调递减区间为(0,1］.
(2)①f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b，
f 1 a 1 c,
由已知可得
g
1
1
Hale Waihona Puke 解b 得ca, =b=3.
2
a
3
b,
②令 F x f x g x x 3 a x 2 a 2 x 1 ， F x 3 x 2 2 a x a 2 ，
【典例1】(1)(2012·辽宁高考)函数 y 1x2 ln x的单调递减
2
区间为( )
(A)(-1,1］
(B)(0,1］
(C)［1,+∞)
(D)(0,+∞)
(2)(2012·北京高考改编)已知函数f(x)=ax2+1(a>0), g(x)=x3+bx. ①若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切 线,求a,b的值; ②当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.
【解析】(1)错误.f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，反之不一 定．如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增，但f′(x)≥0． 所以f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分条件，但不是必要条 件． (2)错误．一个函数在某区间上或定义域内极大值可以不止一 个. (3)正确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极 大值可能比极小值大，也可能比极小值小.
【思路点拨】(1)保证函数有意义的前提下，利用y′≤0求解. (2)①利用交点既在f(x)上,也在g(x)上，在公切点处导数相等， 构造方程组求解；②构造函数F(x)=f(x)+g(x)，再利用导数求 单调区间.
【规范解答】(1)选B.由 y (1 x 2 ln x ) x 1 0 1 x 1 ，
【解析】由本例解析知，当a＞0时，函数的单调递增区间是
第十一节 导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数的关系
增函数 常量函数
减函数
2.函数的极值与导数 (1)极值的概念
f(x)<f(x0) 极大值点
f(x)>f(x0) 极小值点
(2)判别f(x0)是极大(小)值的方法 若x0满足f′(x0)=0，且在x0的两侧f(x)的导数_异__号__，则x0 是f(x)的极值点. ①如果在x0附近的左侧_f_′__(_x_)_＞__0_，右侧__f_′_(_x__)_＜__0，即 “_左__正__右__负__”，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧_f_′__(_x_)_＜__0_，右侧__f_′_(_x_)__＞__0，即 “_左__负__右__正__”，那么f(x0)是极小值.
3．求函数f(x)在［a,b］上最值的步骤 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的_极__值__. (2)将函数y=f(x)的各_极__值__与端点处的_函__数__值__f_(_a_)_，__f_(_b_)_比 较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函 数f(x)在［a,b］上的最值.
4．已知f(x)＝x3－ax在［1，＋∞)上是增函数，则a的最大值
是( )
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
【解析】选D. f′(x)＝3x2－a≥0在［1，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2在［1，＋∞)上恒成立，而(3x2)min＝3×12＝3. ∴a≤3，故amax＝3.
5．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，
A(0,1)B(1,)
a
a
C(,1)D(,a)
a
【解析】选A.由 fx＝1－ 得a0， 0 x 1 ，
x
a
∴f(x)的单调递增区间为 ( 0 ， 1 )．
a
2．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极 值，则下列点中一定在x轴上的是( ) (A)(a，b) (B)(a，c) (C)(b，c) (D)(a＋b，c) 【解析】选A.f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知1，－1是方 程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，∴1－1＝－2b，故b＝ 选0， A.
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1) f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件.( ) (2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大.( ) (4)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0点为极值点的充要条 件.( ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定 是极小值.( )
3a
3.函数f(x)=x3-3x,x∈(-1,1)( )
(A)有最大值，但无最小值
(B)有最大值，也有最小值
(C)无最大值，也无最小值
(D)无最大值，但有最小值
【解析】选C.f′(x) =3x2-3,∵x∈(-1,1),
∴f′(x)＜0,
∴f(x)在(-1,1)上是减函数，故f(x)无最大值，也无最小值.
则f(x)>x的解集是( )
(A)(0,1)
(B)(－1,0)∪(0,1)
(C)(1，＋∞)
(D)(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】选C.令F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－1>0，所以
F(x)是增函数，故易得F(x)>F(1)的解集，即f(x)>x的解集是
(1，＋∞)．
考向 1 利用导数研究函数的单调性