最新人教版八年级数学上册 14.3.1 提公因式法
新人教版八年级数学上册《14.3.1 提公因式法》课件
初步应用提公因式法
（1）公因式是多项式各项系数的最大公约数和各项都 含有的字母及多项式的最低次幂的乘积；
（2）提公因式法就是把多项式分解成两个因式乘积的 形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因 式是由多项式除以公因式得到的；
（3）用提公因式分解因式后，应保证含有多项式的因 式中再无公因式．Zx/xk
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
课件说明
• 学习目标： 1．了解因式分解的概念． 2．了解公因式的概念，能用提公因式法进行因式 分解．zxxk
• 学习重点： 运用提公因式法分解因式．
※
※※
一、问题讨论，探究引入
1. 630能被哪些数整除？ 说说你是怎样想的.
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
提示：对630进行质因数分解.
2.当a=101,b=99时，求a2-b2的 值. 提示： a2-b2=(a+b)(a-b)
※
※※
二、探究
请把下列多项式写成整式的乘积的形式： (1)x2+x = x(x+1) (2)x2-1=zx(xxk +1) (x-1)
我们把一个多项式化成了几个整式的积的 形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因 式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
※
※※
五、应用
例2 用提公因式法分解因式. （1）3mx-6nx2; （2）4a2b+10ab-2ab3.
把b+c看成整体
例3 把2a(b+c)-3(b+c)因式分解 .
例4 计算：0.84×12+12×0.6-0.44×12.
八年级数学上册14.3.1因式分解提公因式法课件(新版)新人教版
14.3.1 提公因式法
第一页，共10页。
【学习目标】 1、明确提公因式法分解因式与单项式
乘多项式的关系； 2、能正确(zhèngquè)找出多项式的
公因式，熟练用提公因式法分解简单的多 项式。 【学习重、难点】
重点：能正确(zhèngquè)找出多项式 的公因式。
第三页，共10页。
【预习(yùxí)导 学2、】自学2：自学教材P14－115“例1和例2”，掌握利用(lìyòng)
提公因式法分解因式。5分钟 2x2
a3
因式
大公约数 各项都含有的字母（含字母的多项式）
低
公因式
商
点拨精讲：在将多项式分解因式的时候首先(shǒuxiān)提取公因 式，分解要彻底。
难点：熟练用提公因式法分解简单的多 项式。
第二页，共10页。
【预习(yùxí)导 学】
一、自学指导 1、自学1：自学课本P114页“探究”，理解 因式分解与整式乘法之间的区别与联系，完成(wán chéng)下 列填空。5分钟
x(x 1)
(x 1)(x 1)
多项式
整式的积
m(a b c)
总结归纳(guīnà)：整式的乘法与因式分解是两种互逆的变形，整式 乘法的结果是和，因式分解的结果是积。
第七页，共10页。
【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流， 上台展示(zhǎnshì)并讲解思路。5分钟
第八页，共10页。
【点拨(diǎn bo)精讲】（3分钟）
1、提公因式法分解因式，关键在于找公因式。 2、提公因式法分解因式的步骤是：先排列；找出公因式 并写出来作为一个因式；另一个因式为原式与公因式的商（ 某一项是公因式时，提公因式后为1或－1，不能遗漏）； 3、因为因式分解是恒等变形，所以，把分解的结果(jiē guǒ)乘出来看是否得到原式，就可以辨别分解的正确与错误 。 4、因式分解的结果(jiē guǒ)应该是整式的积。
最新人教版八年级数学上册《14.3.1 提公因式法》优质教学课件
② 24x2y=3x ·8xy 因式分解的对象是多项式
③ x2–1=(x+1)(x–1)
④ (2x+1)2=4x2+4x+1 是整式乘法
⑤
x2+x=x2(1+
1
)
x
每个因式必须是整式
⑥ 2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
探究新知
知识点 2
用提公因式法分解因式
问题1： 观察下列多项式，它们有什么共同特点？
例2 计算：
(1)39×37–13×91；
(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14.
解：(1)原式＝3×13×37–13×91
＝13×(3×37–91)
＝13×20＝260；
(2)原式＝20.16×(29＋72＋13–14)
＝2016.
方法总结：在计算求
值时，若式子各项都
–2xy
探究新知
素养考点 1 利用提公因式法分解因式
例1
把下列各式分解因式.
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
公因式既可以是一个单
项式的形式，也可以是
一个多项式的形式.
(2) 2a(b+c) – 3(b+c).
分析：提公因式法步骤(分两步)
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
注意：首项有负常提负.
探究新知
归纳总结
提取公因式分解因式的技巧：
①当公因式是多项式时，把多项式看成一个整体提
取公因式；②分解因式分解到不能分解为止；③某一项
全部提取后，不要漏掉“1”；④首项有负号常提负号；
人教版八年级数学上册14.3.1《提公因式法》教学设计
人教版八年级数学上册14.3.1《提公因式法》教学设计一. 教材分析《提公因式法》是人民教育出版社八年级数学上册第14章第3节的内容，本节课主要让学生掌握提公因式法分解因式的技巧，并能灵活运用解决实际问题。
教材通过引入实例，引导学生发现并总结提公因式法的原理，进而运用到因式分解中。
本节课的内容是学生学习因式分解的重要环节，对于提高学生的数学思维能力和解决实际问题能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法、完全平方公式和平方差公式等基础知识。
但由于提公因式法的抽象性较强，学生可能难以理解其本质和应用。
此外，学生在学习过程中可能存在对公式死记硬背的现象，缺乏对公式的灵活运用能力。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，引导学生发现提公因式法的规律，培养学生的数学思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握提公因式法，能够运用提公因式法分解因式。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现提公因式法的原理，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：提公因式法的原理和运用。
2.难点：如何引导学生发现提公因式法的规律，以及如何灵活运用提公因式法解决实际问题。
五. 教学方法1.启发式教学：通过设置疑问，引导学生主动思考，发现提公因式法的规律。
2.案例教学：通过分析具体实例，使学生理解并掌握提公因式法的应用。
3.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示提公因式法的原理和应用。
2.实例：准备一些具有代表性的例子，用于讲解和练习。
3.练习题：准备一些练习题，巩固学生对提公因式法的掌握。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入提公因式法，引导学生思考如何简化表达式。
例如，给出表达式 (x^2 - 4x + 4)，让学生尝试分解。
八年级数学上册14.3因式分解14.3.1提公因式法说课稿(新版)新人教版
八年级数学上册 14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法说课稿（新版）新人教版一. 教材分析《八年级数学上册》第14.3节是关于因式分解的内容，其中14.3.1节是提公因式法。
这一节内容是在学生已经掌握了多项式乘法、完全平方公式和平方差公式的基础上进行教学的。
教材通过引入提公因式法，使学生能够更好地理解和掌握因式分解的方法，为后续学习更复杂的因式分解方法打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于多项式乘法和完全平方公式等概念有一定的了解。
但是，学生在学习过程中可能会对因式分解的方法和思路感到困惑，特别是对于提公因式法的应用可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的困惑进行解答和指导。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握提公因式法的概念和步骤，能够灵活运用提公因式法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的解决问题的能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握提公因式法的概念和步骤，能够灵活运用提公因式法进行因式分解。
2.教学难点：如何引导学生理解和掌握提公因式法的应用，以及如何解决因式分解过程中的关键步骤。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板和教学卡片等辅助教学。
六. 说教学过程1.引入新课：通过一个具体的例子，让学生观察和分析，引导学生思考如何将一个多项式进行因式分解。
2.讲解提公因式法：讲解提公因式法的概念和步骤，通过示例进行讲解，让学生理解和掌握提公因式法的应用。
3.练习与讨论：给出一些练习题，让学生独立进行因式分解，然后进行小组讨论，共同解决问题。
4.总结与拓展：对提公因式法进行总结，引导学生思考如何解决更复杂的因式分解问题。
人教版八年级数学上册14.3.1提取公因式法优秀教学案例
（一）知识与技能
1.理解提取公因式法的概念，掌握提取公因式法分解因式的基本步骤和技巧。
2.能够运用提取公因式法分解因式，解决实际问题，提高数学应用能力。
3.熟练运用提取公因式法，处理特殊情况，如提取公因式后多项式仍需继续分解的情况。
4.掌握提取公因式法与其他分解因式方法的联系与区别，能灵活选择合适的方法解决问题。
本节课的教学内容与过程旨在充分发挥学生的主体作用，让学生在解决实际问题的过程中掌握提取公因式法，提高学生的思维能力、团队合作能力和自我评价能力，使学生在理解提取公因式法的同时，提升自己的数学素养。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过设计一个贴近学生生活的植树问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索提取公因式法在实际问题中的应用，体现了“从生活中来，到生活中去”的教学理念。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对学习过程进行反思，让学生总结自己在提取公因式法学习中的优点和不足，提高自我评价的能力。
2.设计具有针对性的练习题，让学生在实践中检验自己的学习成果，培养学生的调整策略的能力。
3.教师组织学生进行互评和自评，让学生在评价中认识自我，提高学习的积极性。
本节课的教学策略旨在充分发挥学生的主体作用，激发学生的学习兴趣，培养学生的思维能力、团队合作能力和自我评价能力，使学生在理解提取公因式法的同时，提升自己的数学素养。
人教版八年级数学上册14.3.1提取公因式法优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版八年级数学上册14.3.1提取公因式法，旨在让学生掌握提取公因式法分解因式的技巧，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。在此之前，学生已经学习了提公因式法和公式法分解因式，为本节课的学习奠定了基础。然而，在实际教学中，我发现许多学生在运用提取公因式法时，往往存在提取不彻底、忽略特殊情况等问题，因此，本节课的教学重点在于让学生熟练运用提取公因式法分解因式，并能够灵活处，提升他们的数学应用能力。
八年级数学上册14.3.1提公因式法教案(新版)新人教版
提公因式法◆教学目标◆◆知识与技能：使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．会用提取公因式的方法分解因式．◆过程与方法：在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法．.◆情感态度：通过综合运用提公因式法分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．◆教学重点与难点◆◆重点：会用提公因式法分解因式◆难点：如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式◆教学过程◆一．提出问题，创设情境[师]请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快．（出示投影片）[师]在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，•有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解．二．导入新课 1．分析讨论，探究新知．把下列多项式写成整式的乘积的形式出示投影片（1）x2+x=_________ （2）x2-1=_________ （3）am+bm+cm=__________ [生]根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算：（1）x2+x=x（x+1）（2）x2-1=（x+1）（x-1）（3）am+bm+cm=m（a+b+c）[师]像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维．再观察上面的第（1）题和第（3）题，你能发现什么特点．[生]我发现（1）中各项都有一个公共的因式x，（2）中各项都有一个公共因式m，是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式呢？[师]你分析得合情合理．因为ma+mb+mc=m（a+b+c）．于是就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，•其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商，•像这种分解因式的方法叫做提公因式法．2．例题教学，运用新知．出示投影片：[例1]把8a3b2-12ab3c分解因式． [例2]把2a（b+c）-3（b+c）分解因式．[例3]把3x3-6xy+x分解因式． [例4]把-4a3+16a2-18a分解因式．[例5]把6（x-2）+x（2-x）分解因式．（让学生利用提公因式法的定义尝试独立完成，然后与同伴交流解题心得，•教师深入到学生中去发现问题，并对有困难的学生进行适时的引导和启发，最后师生共同评析、总结）[例1]分析：先找出8a3b2与12ab3c的公因式，再提出公因式．•我们看这两项的系数8与12，它们的最大公约数是4，两项的字母部分a3b2与ab3c都含有字母a和b．其中a的最低次数是1，b的最低次数是2．我们选定4ab2为要提出的公因式．提出公因式4ab2后，•另一个因式2a2+3bc就不再有公因式了．解：8a3b2+12ab2c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2（2a2+3bc）．总结：提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行．[例2]分析：（b+c）是这两个式子的公因式，可以直接提出．这就是说，公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出．解：2a（b+c）-3（b+c）=（b+c）（2a-3）．[例3]解：3x2-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1=x（3x-6y+1）．注意：如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉．[例4]解：-4a3+16a2-18a=-（4a3-16a2+18a） =-2a（2a2-8a+9）注意：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．可以用一句话概括：首项有负常提负．[例5]分析：先找6（x-2）与x（2-x）的公因式，再提取公因式．因为2-x=-（x-2），•所以x-2即公因式．解：6（x-2）+x（2-x）=6（x-2）-x（x-2） =（x-2）（6-x）．总结：有时多项式的各项从表面上看没有公因式，但将其中一些项变形后，•但可以发现公因式，然后再提取公因式．三．随堂练习 1．课本练习1、2．Ⅳ．课时小结四．作业必做题：作业本（2）15.4.1提公因式法选做题：◆板书设计◆14．3．1提公因式法因式分解的概念因式分解与整式乘法的关系．提取公因式的方法教后反思：◆课后思考◆。
人教版初中数学八年级上册14.3.1提公因式法(教案)
3.增强学生问题解决能力，使学生能够运用提公因式法解决实际数学问题，体会数学在实际生活中的应用价值；
4.培养学生数学抽象思维，让学生从具体的数学问题中提炼出一般性规律，形成对数学知识的深入理解。过这次教学反思，我深刻认识到教学是一个不断学习和成长的过程。在今后的教学中，我会努力改进自己的教学方法，提高教学效果，让每个学生都能在数学的世界里快乐地探索和成长。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“提公因式法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了提公因式法的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对提公因式法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调如何找出公因式和分解多项式这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与提公因式法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何找出多项式的公因式，并进行分解。
初中数学人教版八年级上册14.3.1提取公因式法
小亮解的有误吗？
把3x2 - 6xy+x分解因式
解：原式 =x(3x-6y)
错误
当多项式的某一项和公 因式相同时，提公因式
后剩余的项是1。
. . . 正确解：原式=3x x-6y x+1 x
=x(3x-6y+1)
注意：某项提出莫漏1。
诊断 小华解的有误吗？
把 - x2+xy-xz分解因式
解：原式= - x(x+y-z)
解：12a4b3+16a2b3c2
=4a2b3·3a2+ 4a2b3 ·4c2
= 4a2b3 (3a2 + 4c2)
注
意
提公因式后，另一个因式： ①项数应与原多项式的项数一样； ②不再含有公因式．
例2 把2ac(b+2c)- (b+2c)分解因式．
解：2ac(b+2c) －(b+2c) = (b+2c)(2ac-1)
x
⑥2x 4y 6z 2(x 2y 3z)
这个多项式有什么特点？
ma mb mc
相同因式m
多项式中各项都含有的相同因式， 叫做这个多项式的公因式。
12a4b3+16a2b3c2 的公因式是什么？
公因
式
4
最大公约数
a2
相同字母
b3
最低指数
观察 方向 一定系数
二定字母
三定指数
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
解: a2b+ab2 =ab(a+b)=3 × 5=15
小结
1、什么叫因式分解？
人教版八年级数学上册 14.3.1因式分解 (提公因式法)
因式分解（ 提公因式法）1. 因式分解的概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式。
2. 提取公因式确定公因式的方法是：先取各项数字系数的最大公约数，再取各项相同字母的最低次幂，合起来就是这个多项式的公因式。
如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的，并且注意括号内其它各项要变号。
如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。
总结 ①公因式的系数：②字母：③相同字母的指数：例1 下列从左到右的变形,属于分解因式的是( )A. (x+3)(x －2)=x 2+x －6B. ax －ay+1=a(x －y)+1C. x 2－21y=(x+y 1)(x －y 1) D. 3x 2+3x=3x(x+1) 例2 写出下列多项式中的公因式：（1）3525x x + （2）121m n m n ab a b -+-（3）253243143521x y x y x y +- （4）()()23a a b a b a --- （5）()()2222n m n m m nm n + （6）3223232125a b c ab c a b c +-例3利用提公因式法分解因式：（1）33xy y x - （2）32318x x -例4 把a 2﹣4a 多项式分解因式，结果正确的是（ ）A ．a （a ﹣4） B ． （a+2）（a ﹣2） C ． a （a+2）（a ﹣2） D ． （a ﹣2）2﹣4例5把多项式（m+1）（m ﹣1）+（m ﹣1）提取公因式（m ﹣1）后，余下的部分是（ ）A ． m+1B ． 2mC ． 2D ． m+2例6已知（19x ﹣31）（13x ﹣17）﹣（13x ﹣17）（11x ﹣23）可因式分解成（ax+b ）（8x+c ），其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c=（ ）A ． ﹣12B ． ﹣32C ． 38D ． 721．下列变形中,属于因式分解的是 （ ）A ．(a +b )(a －b )=a 2－b 2B ．x 2－y 2+4y －4=(x +y )(x －y )+4(y －1)C ．a 3－b 3=(a －b )(a +ab +b )D ．a 2－10a +10=a (a －10)+102． 49x 3y z 3+14x 2y 2z 2－21xy 2z 2在分解因式时应提取的公因式是 （ ）A ．7x 3y z 3B ．7x 2y 2z 2C ．7xy 2z 2D ．7xy z 23． 多项式0.5x(a －b)－0.25y(b －a)中,可提取公因式 （ ）A ．0.5x+0.25yB ．0.5x+0.25yC ．a+bD ．0.25(a －b)4． (－a )m +a (－a )m －1的值是 （ ）A ．1B ．－1C ．0D ．(－1)x+15． 下列各恒等变形中,是因式分解的是 （ ）A ．a 2－2ab +b 2=(a －b )2B ．(a +b )2=a 2+2ab +b 2C ．a 2b +ab 2+c=ab (a +b )+cD ．a 2－2ab +b 2－c=(a －b )2－c。
人教版八年级数学上册第十四章 提公因式法
复习导入
同学们，老师最近遇到了一个问题： 学校有一个长方形的植物园，面积为（6ab+3ab2）平方米，如 果它的长为3ab米，那么宽为多少米？ 观察一下长方形的长和面积的代数式有什么关系？
1. 请同学们阅读课本114页探究至14.3.1提公因式法前． 2．观察探究中的两个式子，整式乘法与因式分解有什么关系？
整式乘法与因式分解互为逆运算
3．请同学们阅读课本114页剩余内容． 4．请同学们阅读课本115页提公因式法的定义，并完成例1，
例2.
1.下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？ (1)a2＋a＝a(a＋1)；(2)(a＋3)(a－3)＝a2－9； (3)18a3bc＝3a2b·6ac；(4)x2－3x＋1＝x(x－3)＋1； (5)4x2－4x＋1＝(2x－1)2.
(1)，(5)是，其他不是
2．请同学们讨论下列多项式的公因式： (1)ma＋mb；(2)4kx－8ky；(3)5y3＋20y2；(4)a2b－2ab2＋ ab. (1)m；(2)4k；(3)5y2；(4)ab
3．你能归纳出寻找公因式的诀窍吗？ 定系数、定字母、定指数
4．通过115页例1，例2的因式分解，你发现了什么？
点拨：x2y＋xy2＝xy(x＋y)＝4×6＝24.
例4：把下列各式分解因式：
(1)a2x2－ax；
(2)15a3＋10a2；
(3)－14abc－7ab＋49ab2c； (4)mn(m－n)－m(n－m)．
解：(1)原式＝ax(ax－1)． (2)原式＝5a2(3a＋2)．
(3)原式＝－7ab(2c＋1－ 7bc)．
人教版八年级数学上册14.提公因式法
提公因式后的项数应与原多项式的项数一样,当多 项式的某一项恰好是公因式时,这一项应看成它与 1的乘积,提公因式后剩下的应是1,1作为项的系数 通常可省略,但如果单独成一项时,它在因式分解时 不能漏项.
1.下列等式从左到右的变形中,属于因式分解的是( )D
A.a(x-y)=ax-ay
B.x2+2x+1=x(x+2)+1
C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3
D.x3-x=x(x+1)(x-1)
2.下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是( )B
A.x2-y B.x2+2xy
C.x2+y2
3.单项式a2b与3ab的公因式是 ab
D.x2-xy+y2 .
4.已知a+b=2,ab=1,则a2b+ab2的值为 2
.
5.把下列各式分解因式:
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3
因式分解
14.3.1 提公因式法
学习目标
1.能说出因式分解的定义,并知道因式分解与整式乘法 的关系.
2.会确定一个多项式各项的公因式,会用提公因式法分 解因式.
学习重面积是21,长是7,那宽呢?如果 面积是x2+2x-3,长是x+3,你怎么求宽?别着急,如果我告诉你 x2+2x-3就等于=(x+3)(x-1),你能求出宽吗?你知道x2+2x-3= (x+3)(x-1)这个式子是如何从左边变形成右边的吗?这种变形又 叫什么?
3.用提公因式法分解因式时要注意: (1)多项式的首项系数为负时,一般要提出“-”号,即提出 负系数公因式,或利用加法交换律使首项系数为正,再提正 系数公因式. (2)提公因式时要提“全”、提“尽”,即提公因式后的多 项式中不再含有公因式. (3)提公因式时要避免漏项问题,一般提公因式后,括号里 面多项式的项数应与原多项式的项数一致,当某一项作为 公因式被全部提出后剩下的是1,而不是0. (4)公因式不一定是单项式,有时也可以是多项式.
人教版八年级上数学14.3.1 因式分解—提公因式法
人教版义务教育教科书八年级《数学》上册第十四章整式的乘法与因式分解因式分解提公因式法一、教学内容提公因式法（1t（y）=mmy；（5）2－2yy2=（－y）2．问题：1．多项式mnmb中各项含有相同因式吗2．多项式42－和y2－y－y呢请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由．【教师归纳】我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式，如在mnmb中的公因式是m，在42－中的公因式是，在y2－y－y中的公因式是y．概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．（二）、小组合作，探究方法【教师提问】多项式42－86，16a3b2－4a3b2－8ab4各项的公因式是什么【师生共识】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式，找公因式一看系数、二看字母，公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．（三）、范例学习，应用所学【例1】把－42y－12y24y分解因式．解：－42y－12y24y=－（42y12y2－4y）=－4y（3y－1）【例2】分解因式，3a2（－y）3－4b2（y－）2【思路点拨】观察所给多项式可以找出公因式（y－）2或（－y）2，于是有两种变形，（－y）3=－（y－）3和（－y）2=（y－）2，从而得到下面两种分解方法．解法1：3a2（－y）3－4b2（y－）2=－3a2（y－）3－4b2（y－）2=－[（y－）2·3a2（y－）4b2（y－）2]=－（y－）2 [3a2（y－）4b2]=－（y－）2（3a2y－3a24b2）解法2：3a2（－y）3－4b2（y－）2=（－y）2·3a2（－y）－4b2（－y）2=（－y）2 [3a2（－y）－4b2]=（－y）2（3a2－3a2y－4b2）【例3】用简便的方法计算：×1212×－×12．【教师活动】引导学生观察并分析怎样计算更为简便．解：×1212×－×12=12×（－）=12×1=12．【教师活动】在学生完全例3之后，指出例3是因式分解在计算中的应用，提出比较例1，例2，例3的公因式有什么不同（四）、随堂练习，巩固深化课本P115练习第1、2、3题．【探研时空】利用提公因式法计算：××××（五）、课堂总结，发展潜能1．利用提公因式法因式分解，关键是找准最大公因式．•在找最大公因式时应注意：（1）系数要找最大公约数；（2）字母要找各项都有的；（3）指数要找最低次幂．2．因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为止．（六）、布置作业，专题突破课本P119习题14．4第1、4（1）、6题．六、教学反思通过比较归纳使学生对公因式的概念有更深刻的认识，所谓公因式通俗地说就是多项式的各项中共有的“东西”，这个“东西”应从数、相同字母、相同字母的个数（即最低次数）这几个方面进行考虑，这个“东西”有时还可以是一个多项式．。
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(2)原式＝(2a－3)(b＋c).
(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．
新课讲解
【易错】下面的因式分解正确吗？如果有错，错
在哪里？怎样改正？ （1）12x2y+18xy2=3xy(4x + 6y)； （2）3x2 - 6xy+x =x(3x-6y)； （3）- x2+xy-xz= - x(x+y-z).
解：（1）错误，公因式没有提尽，还可以提 出公因式2.正解：原式=6xy(2x+3y). （2）错误，提公因式后漏项1.正解：原式= 3x· x-6y· x+1· x=x(3x-6y+1).
（3）错误，提出负号后括号里的项没变号. 正解：原式= - (x2-xy+xz)=- x(x-y+z).
新课讲解
(3) a2 +2ab+b2 =( a+b )2
新课讲解
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这 样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把 这个多项式分解因式. 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形，即 因式分解 x2-1 整式乘法 (x+1)(x-1)
x2-1 = (x+1)(x-1) 等式的特征：左边是多项式， 右边是几个整式的乘积.
RJ八(上) 教学课件
第十四章 整式的乘法与 因式分解
14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
学习目标
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区 别和联系.（重点） 2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式 法分解因式.（难点）
问题引入
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方 法表示这块草坪的面积吗？ 方法一：m(a+b+c) 方法二：ma+mb+mc 整式乘法 m(a+b+c)=ma+mb+mc
新课讲解
例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有( B ) ①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；
③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
因式分解与整式乘法是相反方向的变
形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形
新课讲解
例4 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． 解：∵a＋b＝7，ab＝4，
∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
含a±b，ab的求值题，通常要将所求
所以公因式是3x.
新课讲解
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最
大公约数. 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同 字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个， 即字母的最低次数.
新课讲解
找一找：下列各多项式的公因式是什么？ (1) 3x+6y； (2)ab-2ac； (3) a2 - a3；
3 a a2
(4)4(m+n) 2 +2(m+n)； 2(m+n)
(5)9m2n-6mn； 3mn -2xy
(6)-6x2y-8xy2.
新课讲解
例2 把下列各式分解因式： (1) 8a3b2 + 12ab3c； (2) 2a(b+c) - 3(b+c).
公因式既可以是一个单 项式的形式，也可以是 一个多项式的形式.
1 ) ； x
每个因式必须是整式.
⑥ 2x+4y+6z=2(x+2y+3z).
新课讲解
2 用提公因式法分解因式
问题1：观察下列多项式，它们有什么共同特点？
pa+pb+pc
相同因式p
多项式的公因式.
2 x ＋x
相同因式x
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个
新课讲解
pa+ pb +pc = p ( a+b+c )
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以
把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与
另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法
叫做提公因式法.
新课讲解
问题2：如何确定一个多项式的公因式？ 找3x 2 – 6 xy 的公因式. 指数：相同字母的 x 1 最低次数 字母：相同 的字母
3 系数：最 大公约数
分析：提公因式法基本步骤（分两步）： 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的 乘积. 整体思想是数学中一种重要且常用的思想方法.
新课讲解
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2
· 2a2+4ab2 · 3bc
=4ab2(2a2+3bc).
如果提出公因式 4ab,另一个因式 是否还有公因式？
另一个因式将是2a2b+3b2c， 它还有公因式b. （2） 2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3). 如何检查因 式分解是否 正确？
做整式乘法运算.
新课讲解
【练习】因式分解： (1)3a3c2＋12ab3c； (2)2a(b＋c)－3(b＋c)； (3)(a＋b)(a－b)－a－b. 解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3).
例3 计算： (1)39×37－13×91； (2)29×20.18＋72×20.18＋13×20.18－20.18×14. 解：(1)原式＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)
＝13×20＝260.
(2)原式＝20.18×(29＋72＋13－14)＝2018.
在计算求值时，若式子各项都含有公 因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，
整式乘法的右边是多项式的形式．
新课讲解
【练习】在下列等式中，从左到右的变形是因式分
解的有 ③ ⑥ （填序号），不是的请说明理由.
① am+bm+c=m(a+b)+c； 最后不是积的运算. ② 24x2y=3x · 8xy； 因式分解的对象是多项式. ③ x2-1=(x+1)(x-1)； ④ (2x+1)2=4x2+4x+1； 是整式乘法. ⑤ x2+x=x2(1+
m a b c
?
新课讲解
1 因式分解
1.运用整式乘法法则或公式填空： (1) m(a+b+c)= ma+mb+mc ； (2) (x+1)(x-1)= (3) (a+b)2 = x2 -1 ； 都是多项式化为几 比一比，这些式子
a2 +2ab+b2 .
个整式的积的形式 有什么共同点？ .
2.根据等式的性质填空： (1) ma+mb+mc=( m )( a+b+c ) (2) x2 -1 =( x+1 )( x-1 )