第二类Fredholm积分方程的多项式多投影算法
数值分析上机题目
数值分析上机题目4(总21页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--实验一实验项目：共轭梯度法求解对称正定的线性方程组 实验内容：用共轭梯度法求解下面方程组(1) 123421003131020141100155x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 迭代20次或满足()(1)1110k k x x --∞-<时停止计算。
编制程序：储存m 文件function [x,k]=CGmethod(A,b)n=length(A);x=2*ones(n,1);r=b-A*x;rho=r'*r; k=0;while rho>10^(-11) & k<1000 k=k+1; if k==1 p=r; elsebeta=rho/rho1; p=r+beta*p; end w=A*p;alpha=rho/(p'*w); x=x+alpha*p; r=r-alpha*w; rho1=rho;rho=r'*r; end运行程序： clear,clcA=[2 -1 0 0;-1 3 -1 0;0 -1 4 -1;0 0 -1 5]; b=[3 -2 1 5]'; [x,k]=CGmethod(A,b)运行结果： x =(2) Ax b =,A 是1000阶的Hilbert 矩阵或如下的三对角矩阵， A[i,i]=4，A[i,i-1]=A[i-1,i]=-1，i=2,3,..,n b[1]=3, b[n]=3, b[i]=2，i=2,3,…,n-1迭代10000次或满足()()710k k r b Ax -=-≤时停止计算。
编制程序：储存m 文件function [x,k]=CGmethod_1(A,b) n=length(A);x(1:n,1)=0;r=b-A*x;r1=r; k=0;while norm(r1,1)>10^(-7)&k<10^4 k=k+1; if k==1 p=r; elsebeta=(r1'*r1)/(r'*r);p=r1+beta*p; end r=r1; w=A*p;alpha=(r'*r)/(p'*w); x=x+alpha*p; r1=r-alpha*w; end运行程序： clear,clc n=1000; A=hilb(n); b=sum(A')';[x,k]=CGmethod(A,b)实验二1、 实验目的：用复化Simpson 方法、自适应复化梯形方法和Romberg 方法求数值积分。
第二类Volterra积分方程的一种特殊解法
第二类Volterra积分方程的一种特殊解法王金婵【摘要】In this paper,we study the method of solving the second kind of Volterra integral equations,propose a new numerical method for solving Volterra integral equations based on spectral method,Legendre preparation method is fully applied and a rigorous error analysis is done.The results show that the numerical error is the index fell.When kernel function and the original function is sufficiently smooth%研究了求解Volterra型积分方程的方法,重点介绍了基于谱方法解决Volterra型积分方程的一种新的数值解法,legendre配制法得到充分的应用,并进行了严格的误差分析,表明在核函数和原函数充分光滑时,数值误差是指数下降的.【期刊名称】《德州学院学报》【年(卷),期】2012(028)004【总页数】3页(P11-13)【关键词】legendre谱方法;Volterra积分方程;收敛性分析【作者】王金婵【作者单位】德州学院数学系,山东德州253023【正文语种】中文【中图分类】O175.5首先考虑第二类Volterra积分方程其中k（x，s，u（s））是核函数.假定（1）式的解充分光滑，在此情况下，有必要利用高次数值方法例如谱方法来解方程（1）.对于方程（1），现已有很多数值方法例如配制法、内积积分法，见Brunner［1］.然而，很少有人提及利用谱逼近法，在文献［2］中，作者用chebyshev谱方法在多重代数精度下求解第一类，但这些方法理论上不能获得高次精度.这种方法一直未能得到很好的应用.众所周知，Fredholm方程类似边界值问题见文献［5］，因此，许多边界值问题有效的数值方法例如谱方法能直接用来解决Fredholm方程，而方程（1）类似初值问题，因此用谱方法解是非常困难的.主要原因在于方程（1）是一个局部方程而谱方法用到全部基函数.主要困难在于如何执行这种算法使其能最终得到精确谱.此外，方程（1）的数值解法有可能不同于标准初值问题.从这个意义上说，前者需要储存网格点的所有值而后者只需固定数目网格点的信息.对于方程（1）的这种储存，更加可以接受应用谱方法的全局基函数.不失一般性，假定解的区域为［－1，1］，第二类线性积分方程一维形式如下设定N＋1个配置点作为Legendre Gauss点集假定方程（2）在xi处成立，则有得到高次精度的主要困难在于解（3）式中的积分项，特别的，对于xi充分小的值，u（s）有很少的信息可以利用，为此，把积分区间［－1，xi］转换到［－1，1］上，然后选择恰当的求积规则.事实上，首先作一个线性变换则（3）式转换为然后利用N＋1个点的Gauss积分法，以及Legendre权重｛ωi｝，则有其中其中｛θj｝j＝0，…N，与配置点相一致.用ui，0≤i≤N代替u（s（xj，θj）），用lagrange插值多项式表示u即.其中Fj是第j个lagrange基函数，代入（7）式，得从（8）式可以看出，为了计算u（xi）的近似值，需要的完全解信息和的半局部信息.其中－1≤s（xi，θj）≤xi，这不同于配制法或内积积分法，原因在于它们用到和的半局部信息.谱配制算法的执行令得到方程的矩阵形式其中矩阵A中元素如下给出下面讨论Fj（s（xi，θp）的计算效率，由于αp，j是Fj的离散的多项式系数，它的递推关系如下（见文献［5］）其中由（10）式和（11）式可得结合LP（s）的递推公式，能有效的得出Fj（s（xi，θp）），这种情况也可以推广到非线性方程及二维情况（见文献［3］）.下面从数值方面对Volterra方程进行收敛性分析，目的在于表明它的收敛率是指数型的，既谱精度可以从以提出的谱逼近中得到.引理1［5］假设N＋1个点Gauss求积公式，及lagrange权重应用积分内积uφ，其中u∈Hm（I），I＝（－1，1）m≥1，φ∈PN，则存在不依赖于N的常数C，使得其中引理2［5］假定u∈Hm（I），INu表示与它的N＋1个Gauss点相关的插值多项式，即则引理3［5］假定Fj（x）是第N个Gauss点相关的Lagrange插值多项式，则其中是一个有界常量.引理4（Gronwall不等式），如果非负积分函数E（t）满足其中 G（t）是可积函数，则定理1 令u是Volterra方程（2）的精确解，假定其中uj由（8）给出，Fj（x）是同高斯点相关的第j个Lagange基函数，若，则对于这里N充分大，s（xi，θ）由（6）式给出，C是不依赖于N的常数（证明见文献［3］）.由定理1知，收敛速度似乎是不可以选择的，应为Ο（Nm），而不应为（11）式给出的，如果引理3的估计能够进一步改进，这个结果应该是正确的，一个可能的改进是证明，假设这是正确的，则在定理1中应用‖J1‖L1（I）＝O（N－m），在这种情况下，收敛阶O（N－m）能够得到.本文总结了Volterra积分方程的解法，并对他们的优缺点进行分析.同时给出了不同解法的收敛情况.重点介绍了基于谱方法解决二维第一类型Volterra积分方程的数值解法，借助离散Gronwall不等式，给出了一系列漂亮的结果.【相关文献】［1］H.Brunner.Couocation Methods for Volerra Integral and Related Functional Equations Methods［M］.Cambridge University Press，2004.［2］H.Fujiwara.High－accurate Numerical Methed for Integral Equations of the First Kind under Muttipleprecision Arithmetic［M］.Preprint RIMS，kyoto，University，2006. ［3］T.Tang，X.Xu，J.Cheng.On Spectral Methods for Volerra Type Integral Equations and the Convergence Analysis［J］pwl Math，2007.［4］H.C.Tian.Spectral Methods for Volerra Integral Equations［M］.Msc Thesis，Simon Fraser University，1995.［5］C.Caunto，M.Y.Hussaini，A.Quarteroni，etal.Spectral Methodes Fundamentals inSingle Domains［M］.Springer－Verlag，2006.。
工程电磁场数值计算(七)
SndS Sm 40 r rn
矩量法算例（五）
• 阻抗矩阵的计算（二）
zmn
Sm
1 dS 'dS
Sn 40 r r '
In (r)dS
Sm 40
zmn
Sm
In (r)dS 4 0
Sm
N i1
wi In (ri )
1
In(r)
Sn
dS rr'
可解析求解
zmn
Sm
1 dS 'dS
s (r ') S 40
1 rr'
dS ' s (r) 2 0
1n E1(r) 2n E2(r)
s (r) 1 2 n s (r ') 1 dS ' 0
20 1 2 S 40 r r '
稳恒电流场问题（六）
s (r) 1 2 n s (r ') 1 dS ' 0
取 q dV '
根据叠加原理,某点电位是所有电荷的贡献和
(r) (r ')dV '
V 40 r r '
静电场问题（三）
• 定义Green 函数
G(r, r ') 1
40 r r '
显然满足
2G(r, r ') (r r ')
可见，给定源分布求解电磁场分布的关键在 于获得Green函数。
O'
S
S
'
nˆ
P P P P0
l l
l
源
矩量法的难点（六）
dS ' lim
S R 0
S S
s
EWMA控制图的ARL求取方法
本文引用格式：常志远．EWMA 控制图的 ARL 求取方法 [J]．新型工业化，2014，4（8）：66-70. DIO ：10.3969/j.issn.2095-6649.2014.8.10EWMA 控制图的 ARL 求取方法常志远 *（南京理工大学大学自动化学院，南京 210094）摘 要：控制图在统计过程控制中占有很重要的地位，平均运行链长 (Average Run Length, ARL) 是评 价控制图性能的一个重要指标。
E W M A 控制图的 AR L 求取相对复杂，到目前为止，E W M A 控制图的 AR L 求取大致有三种方法：M a r k ov 链法、积分方程法和随机模拟。
本文详细阐述了前两种方法在用于 E W M A 控制图 ARL 计算时的原理及实现，并仿真比较了这两种方法的精度，以及状态划分对其精度的影响。
关键词：ARL ；Markov 链；积分方程；EWMAThe Methods for Calculating the ARL of EWMA Control ChartCHANG Zhiyuan(School of Automation , Nanjing University of Science & Technology , Nanjing 210094, Jiangsu , China )Abstract ：The aver age run length is a crucial index of control chart, which is an important tool for st a ti st i ca l co ntro l. The ave ra ge run l eng t h ca l c ul a ti o n a l go ri t hm o f E WM A co ntro l cha rt i s complex . The re are three methods to calculate the ARL of EWMA control so far, which is Markov chain method, initial equation method and stochastic simulation method. In this paper, the principle and implementation of the first two methods are described in detail. And the accuracy of the two methods is analy zed by simulation.Key words ：ARL; Markov chain; Initial equation; EWMA0 引言Sh e w h a r t 博士基于假设检验理论提出的控制图思想在统计过程控制中得到了广泛的应用， 对提高产品质量做出了巨大贡献。
《应用泛函分析》习题解答
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的。
由以上两个方面可知，A 是紧算子。
最后来说明A 是连续的。
设D x k ⊂}{，且0x x k →，只要能说明0Ax Ax k →即可。
0>∀ε，由),(u t f 在]1,0[]1,0[⨯上连续知：0>∃δ，当]1,0[,,∈'u u t ，且
δ<'-u u 时，
有δ<'-),(),(u t f u t f 。
由0x x k →⇒00>∃N ，当0N k >时，有δ<-x x k 。
由此
可知：0>∀ε，00>∃N ，当0N k >，有ε<-))(,())(,(t x t f t x t f k 。
则
ε<-≤-=
-⎰⎰
1
))(,())(,())(,())(,())(())((s x s f s x s f s x s f s x s f t Ax t Ax k t
k k 。
所以0Ax Ax k →，这表明A 是连续的。
综上所述，由Leray-Schauder 不动点原理可知：积分方程在]1,0[上必有连续解。
瞎扯数学分析3、泛函分析简介
瞎扯数学分析3、泛函分析简介先声明一下，这篇帖子对数学基础不好或者抽象能力不强的人不友好，建议不要浪费时间。
不过希望工程师们看看，也许有启发，因为泛函分析现在是高水平工程师混饭吃的标配，傅立叶变换，小波分析，最优控制，数学规划，资源最优配置，偏微分方程数值求解，有限元分析，弹性力学数值计算等等等等，基础都是泛函分析。
这是介绍数学思维方式的最后一部分。
主要介绍抽象思维的强大。
由于泛函分析是古典数学和现代数学的桥梁，是古典数学分析，代数和几何以现代观念交叉在一起发展起来的学科，是数学承先启后的门槛，又有广泛的应用，既是所有优化资源配置技术的基础，又是所有控制技术的基础，更是化繁为简的利器。
我在实际工作中体会是几门数学学科在实际应用上的地位是：微积分就像是钢丝钳，粗活细活都能干，凡是能够定义连续因果关系的问题，用微积分试一下没错；线性代数就像是螺丝刀，凡是离散问题，定义线性关系，就能试图找一下构造基（特征根），把问题分解投影到基上，就能分而治之；数理统计就象是扳手，碰到没有明显因果关系的糊涂乱麻问题，先寻找一下趋势外推或线性拟合，找一下统计相关性；实在碰到无法下嘴的问题，只能是数值逼近或数值模拟了。
不过泛函分析是很特殊的工具，类似电钻，可以把困难问题彻底击穿，找到本质。
当然数理方程是工程师的电锯，有招没招锯一下，大卸八块找原理。
作为一个现代工程师，如果工具箱里没钢丝钳，螺丝刀，扳手，榔头，电钻，电锯，可能心中没底，觉得自己全身赤裸，裸奔的工程师，没法见人。
其实现在工程师会不会计算并不重要，因为现在都有现成的计算软件包，关键是在一堆现象中发现问题，定义问题关键因素，并对解决问题知道用什么工具。
泛函分析是把代数（泛函分析有人就称为无穷维空间线性代数），分析（泛函就是把函数当成自变量的广义函数），几何（泛函分析的主要对象之一就是函数组成的赋范空间）整合在一体的学科，是现代数学的门槛，学过泛函分析，基本就算看到现代数学大门了。
【国家自然科学基金】_正则化算子_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802
科研热词 推荐指数 稀疏表示 3 邻近算子 2 超分辨率 2 随机噪声 1 阈值收缩 1 维纳滤波 1 红外弱小目标 1 泊松噪声 1 正则化方法 1 正则化 1 强hardy型不等式 1 广义baouendi-grushin算子 1 多结构形态 1 多成份字典 1 地震勘探 1 图像恢复 1 图像处理 1 双向扩散滤波 1 前向后向算子分裂 1 前向后向分裂算法 1 分裂bregman算法 1 信号检测 1 hardy-sobolev型不等式 1 facet小面模型 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
2011年 科研热词 推荐指数 图像去噪 4 正则化 3 稀疏表示 2 非线性图像配准 1 邻近算子 1 遗传算法 1 逆散射 1 退化 1 迭代方法 1 超分辨率 1 组合newton法 1 算子理论 1 病态方程 1 电导率成像 1 海面风向 1 泊松噪声 1 正则化算子:正则化参数 1 模拟退火法 1 最大后验慨率 1 无记忆拟牛顿法 1 数值微分 1 收敛性 1 拉普拉斯噪声 1 抛物方程组 1 存在性 1 多个散射体 1 地球物理反演 1 图像恢复 1 向下延拓 1 合成孔径雷达 1 双参数混合正则化 1 分解算法 1 分裂bregman迭代算法 1 分裂bregman算法 1 分数阶导数 1 全变分模型 1 偏移 1 偏微分方程 1 位场 1 sobel算子 1 pr算子分裂算法 1 p-laplace算子 1 bregman迭代正则化 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
fredholm,离散积分方程
1 第一类Fredholm 积分方程，具有形式如下：⎰=bax f ds s y s x k )()(),(,b x a ≤≤ (1)其中核函数),(s x K 和自由项)(x f 为已知函数，)(s y 是未知函数。
此类积分方程虽然形式简单，但其求解却比较困难，所以这类方程在下文将做详细介绍。
2 第二类Fredholm 积分方程，具有如下的形式：⎰+=ba x f ds s y s x k x y )()(),()(λ,b x a ≤≤ (2)离散积分方程的数值方法有很多种，比如可以用复化梯形公式、复化辛普森公式等，这里我们利用复化梯形公式来进行离散。
一、复化梯形公式离散过程如下：)]()(2)([2)(1b f x f a f hdx x f nk k b a++≈∑⎰=下面具体给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程。
],[)()(),(12)()](),(21)(),()(),()(),(21[)(),(12)()](),()(),([2)](),()(),([2)](),()(),([2)(),()(),()(),()(),()(),(211002*********12110b a x g f x k a b h s y s x k s y s x k s y s x k s y s x k h f x k a b h s y s x k s y s x k h s y s x k s y s x k hs y s x k s y s x k h dss y s x k ds s y s x k ds s y s x k ds s y s x k ds s y s x k n n i i n n n n i i i i s s s s s s s s bann i i ∈=-+++++=--+++++++=+++++=----⎰⎰⎰⎰⎰--ηηηηη－最后对变量x 进行离散，将区间],[b a 等分为n 份，步长为nab h -=，同时忽略积分公式误差项：)](),(21)(),()(),()(),(21[)()(1100n n i i i i i i i i s y s x k s y s x k s y s x k s y s x k h x y x g +++++-=其中n i ,2,1,0= 得到线性方程组n n g Af =其中)](),(),(),([210n n s y s y s y s y f =，)](,),(),(),([210n n x g x g x g x g g =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=),(211),(),(21),(21),(1),(21),(21),(),(211101110101000n n n n n n y x hk y x hk y x k h y x hk y x hk y x hk y x hk y x hk y x hk A再对上述方程进行数值求解，即可。
泛函分析ppt课件
∈X都有ρ(Tx, Ty)<aρ(x, y)，则称T是压缩映照
定理：完备距离空间 X 上的压缩映照T，必 存 唯一的不动点x*,使得Tx*=x*. （Banach压 缩映 照定理）
距离空间：不动点原理
应用：微分方程，代数方程，积分方程解的唯一存在 性
n
S f (i )xi
i 1
若其极限存在则称Riemann可积
b
n
(R) a f (x)dx lxim0 i1 f (i )xi
从Riemann积分到Lebesgue积分
Riemann积分的思想是，将曲边梯形分成若干个小 曲 边梯形，并用每一个小曲边梯形的面积用小矩形 来代 替，小矩形的面积之和就是积分值的近似。剖 分越精 细，近似程度越好。
距离空间：定义
设 X 是非空集合，对于X中的任意两元素x与y，按某一法则都
对 应唯一的实数ρ(x, y)，并满足以下三条公理（距离公理）
：
1. 非负性： ρ(x, y) ≥0， ρ(x, y) =0当且仅当x=y； 2. 对称性： ρ(x, y) =ρ(y, x)；
3. 三角不等式；对任意的x, y, z
例子：Fredholm第二类积分方程
b
x(s) f (s) a K (s,t)x(t)dt
对充分小的| λ |，可证
当f ∈ C[a, b]， K(s, t)∈ C[a, b; a, b]时有唯一连续解 当f ∈ L2[a, b]， K(s, t)∈ L2 [a, b; a, b]时有唯一平方可积解
(x, y) (a b )2 1/ 2 i i i
则 Rn是距离空 间
距离空间： Lp[a,b]
第二类Fredholm积分方程的几种解法
考虑第二类 Ｆｅｈ ｌ ｒ ｏｍ积分方程 ｄ
ｆｘ－ 广 （ ｆｙ ｙ （ ２ ｘ ）（ ｄ ： （ Ｋ ， ） Ｉ ． ）＝ ） ｙ ｇ
电
（） １
其中：ｆ（） ｘ 是未知函数； 是非零参数；口 是常数或无穷大，（，） ， 口 称为积分区间； （ ） 五ｙ 是
已知的连续函 ， 数 称为积分核；ｇ 是已知函数， （） 称为自由 项．
此时方程为 ：
厂 － Ｋ ｘ ｙｆｙｄ ＝ｇ ） （ ２ （— ）（） ） Ｉ ｙ （
一
（ ２）
般 采用 Ｆ ｕ ｅ 变换 解法 。做 Ｆ ｕｉｒ 换 ，得 ： ｏｒ ｒ ｉ ｏｒ 变 ｅ
厂（ 一 （ 厂（ ） （ ） ｃ ＝ ｃ ｏ ｏ
或 （ ＝ 。
（） １ ０
［ ） ｃ ） Ｊ ｐ） （＋ ｃ ） ＝（， ｇ ＋ （ （ Ｊ Ｉ 卜 Ｉ ） ， ） （ ｇ） ｌ ｚ ｒ （［， （ ）） ｇ ， ） 】
化为 ∑ ｐ）（ｙ 喜 ）ｙ］ ｏ 简 ｎ 一 ），一 ｃ ）（ｙ （ 。 ［ （ ） ． （ ｄ ＝ ｃ ，） ｇｄ １ ， ）ｈ ） ｆ ， ｐ ｌ
。
中 表示函数 ， Ｌ ｐａｅ 的 ａＩ 变换 ，其余类似。 ｃ
故（解，＝ｌ ｌ 方４ 为 Ｌ 程的 ：） ）
例 ２ 设 ＞０，求 解 下面 的方 程 ：
）
， ） （ ｙ （ｄ＝ （ ＜ 。。 （ ＋ ｆ ） ｙｙ １ ｏ ＋） 一ｆ） 一 。
解 用 Ｌｐ ｃ 变换。 ａｌ ｅ ａ 查表， 得 （ ） ＝Ｐ ｐ ＝Ｐ ，ｉ ～。用公式 （ ） 得解： ５，
［
２ 变量分 离核 方程及 其解 法
如果积 分 核为 ：
［
ｎｎ１￣。 ／－２ ｒｃ ＝ｏ ｓ
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用1 引言大家都知道，在微分方程、积分方程以及其它各类方程的理论中，解的存在性、唯一性以及近似解的收敛性等都是相当重要的课题，为了讨论这些方程解的存在性，我们可以将它们转化成求某一映射的不动点问题．本文就这一问题作一下详细阐述．2 背景介绍把一些方程的求解问题化归到求映射的不动点，并用逐次逼近法求出不动点，这是分析中和代数中常用的一种方法．这种方法的基本思想可以追溯到牛顿求代数方程的根时所用的切线法，19世纪Picard 运用逐次逼近法解常微分方程．后来，1922年，波兰数学家巴拿赫（Banach ）将这个方法加以抽象，得到了著名的压缩映射原理，也称为巴拿赫不动点定理．3 基本的定义及定理定义1[1](P4) 设X 为一非空集合，如果对于X 中的任何两个元素x ，y ，均有一确定的实数，记为),,(y x ρ与它们对应且满足下面三个条件：①非负性：0),(≥y x ρ，而且0),(=y x ρ的充分必要条件是x =y ； ②对称性：),(y x ρ=),(x y ρ；③三角不等式：),(y x ρ),(),(y z z x ρρ+≤，这里z 也是X 中任意一个元素． 则称ρ是X 上的一个距离，而称X 是以ρ为距离的距离空间，记为()ρ,X ．注 距离概念是欧氏空间中两点间距离的抽象，事实上，如果对任意的,),,,(),,,,(2121n n n R y y y y x x x x ∈==ΛΛ2/12211])()[(),(n n y x y x y x -++-=Λρ容易看到①、②、③都满足．定义2[1](P23) 距离空间X 中的点列}{n x 叫做柯西点列或基本点列，是指对任给的,0>ε存在,0>N 使得当N n m >,时，ερ<),(n m x x ．如果X 中的任一基本点列必收敛于X 中的某一点，则称X 为完备的距离空间．定义3[2](P16) 设X 是距离空间，T 是X 到X 中的映射．如果存在一数,10,<≤a a 使得对所有的X y x ∈,，不等式),(),(y x a y x ρρ≤T T （1）成立，则称T 是压缩映射．压缩映射必是连续映射，因为当x x n →时，有0),(),(→≤x x a Tx Tx n n ρρ．例 设[]10，X =，Tx 是[]10，上的一个可微函数，满足条件：()[][]()1,01,0∈∀∈x x T ，以及 ()[]()1,01∈∀<≤'x a x T ，则映射X X T →:是一个压缩映射．证()()[]()()y x a y x a y x y x T Ty Tx Ty Tx ,1,ρθθρ=-≤--+'=-=()10,,<<X ∈∀θy x ，得证．定义4 设X 为一集合，X X T →:为X 到自身的映射（称为自映射），如果存在,0X x ∈使得00x Tx =，则称0x 为映射T 的一个不动点．例如平面上的旋转有一个不动点，即其旋转中心，空间中绕一轴的旋转则有无穷多个不动点，即其旋转轴上的点均是不动点，而平移映射a x Tx +=没有不动点．如果要解方程(),0=x f 其中f 为线性空间X 到自身的映射（一般为非线性的），令,I f T +=其中I 为恒等映射：,x Ix =则方程()0=x f 的解恰好是映射T 的一个不动点．因此可以把解方程的问题转化为求不动点的问题．下面就来介绍关于不动点的定理中最简单而又应用广泛的压缩映射原理：定理1[3](P36) 设X 是完备的距离空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点． 证 任取,0X x ∈并令ΛΛ,,,,11201n n Tx x Tx x Tx x ===+ （2）下证()2的迭代序列是收敛的，因T 是压缩映射，所以存在,10<≤a 使得()()y x a Ty Tx ,,ρρ≤，因此 ()()()();,,,,00101021Tx x a x x a Tx Tx x x ρρρρ=≤=()()()();,,,,002212132Tx x a x x a Tx Tx x x ρρρρ=≤=…………一般地，可以证明()()()();,,,,00111Tx x a x x a Tx Tx x x nn n n n n n ρρρρ≤≤≤=--+Λ于是对任意自然数p n ,，有()()()+++≤++++Λ211,,,n n n n p n n x x x x x x ρρρ()p n p n x x +-+,1ρ≤()0011,)(Tx x a a a p n n n ρ-++++Λ()()()0000,1,11Tx x aa Tx x a a a n p n ρρ-≤--= （3）由于10<≤a ，因此，当n 充分大时，(),,ερ<+p n n x x 故}{n x 是X 中的基本点列，而X 是完备的，所以存在_0_0,x x X x n →∈使得成立．再证_0x 是T 的不动点．易证，若T 是压缩映射，则T 是连续映射，而,lim _0x x n n =∞→因此,lim _0x T Tx n n =∞→所以_0_0_0,x x x T 即=是T 的一个不动点．最后，我们证明不动点的唯一性，若存在X x ∈*，使得,**x Tx =则,,,,*_0*_0*_0⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x a Tx x T x x ρρρ 而_0*_0*,0,,1x x x x a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛<即所以ρ．证毕．注 （i ）由（2）定义的序列收敛，且收敛到T 的唯一不动点，且迭代与初始值0x 的取法无关．（ii ）误差估计式 方程x Tx =的不动点*x 在大多数情况下不易求得，用迭代程序,1n n Tx x =+即得到不动点*x 的近似解，在（3）式中令()()00*,1,,Tx x aa x x p nn ρρ-≤∞→得 （4） 此即误差的先验估计，它指出近似解n x 与精确解*x 之间的误差．如果事先要求精确度为(),,*ερ≤x x n 则由()ερ≤-00,1x Tx aa n，可计算出选代次数n ，在（4）式中取01,1Tx x n ==代入得()()0*0,1,x Tx aa xTx ρρ-≤．上式对任意初始值均成立，取10-=n x x ，即得()()1*,1,--≤n n n x x aax x ρρ， 此式称为后验估计，可从n x 与其前一步迭代结果1-n x 的距离来估计近似解与精确解*x 之间的误差．所以，压缩映射原理，不仅给出了不动点的存在性，而且给出求解方法，同时还指明了收敛速度及误差．（iii ）a 值越小迭代收敛的速度越快．（iv ）在T 满足()()()y x y x Ty Tx ≠<,,ρρ （5） 的条件下，T 在X 上不一定存在不动点．如令[)[)()+∞∈++=+∞=,011,,0x xx Tx X ，我们容易证明对一切[)y x y x ≠+∞∈,,0,时，有()()[)∞+<，但0,,,T y x Ty Tx ρρ中没有不动点．又如，若令x arctgx Tx R X +-==2π，，则T 满足条件（5），因任取,,,y x R y x ≠∈则由中值公式()()y x T y x Ty Tx ,,'在ξξ-=-之间，由于()，故得11'22<+=ξξξT ()()y x Ty Tx y x Ty Tx ,,,ρρ<-<-即， Tx 但没有不动点，因任何一个使x Tx =的x 须满足,2π=arctgx 在R 内这样的x 不存在．（v ）压缩映射的完备性不能少． 如设(]1,0=X ，定义T 如下：2xTx =，则T 是压缩映射，但T 没有不动点．这是由于(]1,0空间的不完备性导致的．（vi ）压缩映射条件是充分非必要条件． 如()[]b a x f ,映为自身，且 ()()y x y f x f -≤- ， （6）任取[],,1b a x ∈令()[]n n n x f x x +=+211 ， （7） 该数列有极限**,x x 满足方程()**xxf =，但由（6），（7）可得11-+-≤-n n n n x x a x x ，相当于,1=a 不是10<<a ，即不满足压缩映射的条件．定理 1从应用观点上看还有一个缺点，因为映射T 常常不是定义在整个空间X 上的，而仅定义在X 的子集E 上，而其像可能不在E ，因此要对初值加以限制，有以下结果：定理2 [4]（P193-194）设T 在Banach 空间的闭球()(){}r x x X x r x B B ≤∈==00_,:,ρ上有定义，在X 中取值，即T ：()X r x B →,0_又设[),1,0∈∃a 使得()()(),,,,,0_y x a Ty Tx r x B y x ρρ≤∈∀有()(),1,00r a Tx x -≤ρ且则迭代序列（2）收敛于T 在B 中的唯一不动点．证 只需证明(),,B x B B T ∈∀⊂ ()Tx x ,0ρ()()Tx Tx Tx x ,,000ρρ+≤()r a -≤1()x x a ,0ρ+()r ar r a =+-≤1，因此()B ，B T B Tx ⊂∈所以,由定理1B 在知T 中有唯一的不动点，证毕．有时T 不是压缩映射，但T 的n 次复合映射nT 是压缩映射，为了讨论更多方程解的存在性、唯一性问题，又对定理1进行了推广．定理3[5]（P21）设T 是由完备距离空间X 到自身的映射，如果存在常数10,<≤a a 以及自然0n ，使得()()()X y x y x y T x Tn n ∈≤,,,00ρρ， （8）那么T 在X 中存在唯一的不动点．证 由不等式（8），0n T 满足定理1的条件，故0n T存在唯一的不动点，我们证明0x 也是映射T唯一的不动点．其实，由()()()000100Tx x T T x T Tx Tnn n ===+，可知0Tx 是映射0n T 的不动点．由0n T 不动点的唯一性，可得00x Tx =，故0x 是映射T 的不动点，若T 另有不动点1x ，则由,1111100x Tx Tx T x T n n ====-Λ可知1x 也是0n T 的不动点，再由0n T 的不动点的之唯一性，得到,01x x =证毕．4 不动点定理的应用4.1 不动点定理在数学分析中的应用该定理在数学分析中主要用于证明数列的收敛性、方程解的存在性和唯一性及求数列极限． 定理4.1.1 ① 对任一数列{}n x 而言，若存在常数r ，使得10,,11<<-≤-∈∀-+r x x r x x N n n n n n 恒有 ()A ，则数列{}n x 收敛．② 特别，若数列{}n x 利用递推公式给出：()n n x f x =+1 (),,2,1Λ=n 其中f 为某一可微函数，且()()(),1',B R x r x f R r ∈∀<≤∈∃使得则{}n x 收敛．证 ①此时rr x x r r r x x x x rx xx x np n n pn n k k pn n k k kn p n --≤---=-≤-≤-+++=-++=-+∑∑11.0101011111应用Cauchy 准则，知{}n x 收敛，或利用D ，Alenber 判别法，可知级数()1--∑n n x x 绝对收敛，从而数列()()ΛΛ,2,1011=+-=∑=-n x x xx nk k kn 收敛．② 若()B 式成立，利用微分中值定理：()()()()Λ,3,2,1111=-≤-'≤-=----+n x x r x x f x f x f x x n n n n n n n n ξ即此时()A 式亦成立，故由①知{}n x 收敛．注 若()B 式只在某区间I 上成立，则必须验证，{}n x 是否保持在区间I 中．例1 设数列{}n x 满足压缩性条件，,,3,2,10,11Λ=<<-≤--+n k x x k x x n n n n 则{}n x 收敛． 证 只要证明{}n x 是基本点列即可，首先对一切n ，我们有11-+-≤-n n n n x x k x x ,121212x x k x x k n n n -<<-<---Λn m >设，则 n n m m m m n m x x x x x x x x -++-+-≤-+---1211Λ123122x x k x x k m m -+-<--121x x k n -++-Λ()01121∞→→--<-n x x kk n ，证毕．注 该题体现了不动点定理证明数列的收敛性．例2 证明若()x f 在区间[]r a r a I +-≡,上可微，()1<≤'αx f ，且()()r a a f α-≤-1 , （9）任取()()(),,,,,,112010ΛΛ-===∈n n x f x x f x x f x I x 令则**,lim x x x n n =∞-为方程()x f x =的根（即*x 为f 的不动点）证 已知I x ∈0，今设I x n ∈，则()()()a a f a f x f a x n n -+-=-+1()()a a f a x f n -+-'≤ξ ()之间与在a x n ξ[由（9）](),1r r r =-+≤ααI x n ∈+1即这就证明了：一切I x n ∈应用微分中值定理，1,+∃n n x x 在ξ之间（从而I ∈ξ）()()()()111--+-'=-=-n n n n n n x x f x f x f x x ξ 1--≤n n x x α ()10<<α，这表明()1-=n n x f x 是压缩映射，所以{}n x 收敛．因f 连续，在()1-=n n x f x 里取极限知{}n x 的极限为()x f x =的根． 注 该题体现了不动点定理证明方程解的存在性． 例 3 ()x f 满足()()(),10<<-≤-k y x k y f x f (),,10n n x f x R x =∈∀+令取则{}n x 收敛，且此极限为方程()x x f =的唯一解．证 ① 因为()()01212111x x k x x k x x k x f x f x x nn n n n n n n n -≤≤-≤-≤-=-----+Λ所以 n n p n p n p n p n n p n x x x x x x x x -++-+-≤-+-+-+-+++1211Λ()01121x x k k k k n n p n p n -++++≤+-+-+Λ()10101<<--<k x x kk n因为01lim01=--∞→x x k k n n ，所以εε<--<->∀∀∃>∀+011,,,,0x x kk x x N n p N nn p n 有，由Cauchy 准则，知{}n x 收敛．② 设,lim *x x n n =∞→已知()n n x f x =+1，所以()()**lim x f f x f x n n 连续∞→=，所以()x f x x =是*的解．若另有解*y 是()x f x =的解，即()**yf y =，而()()()10******<<-≤-=-k x y k x f y f x y ．所以**x y =，所以()x f x x =是*的唯一解．注 该题既体现了不动点定理证明数列的收敛性又体现了方程解的存在唯一性．定理4.1.2 已知数列{}n x 在区间I 上由()()Λ,2,11==+n x f x n n 给出，f 是I 上连续函数，若f 在I 上有不动点()()***xf x x =即满足()()()()*0*111≥--x x x f x，则此时数列{}n x 必收敛，且极限A 满足()A f A =,若()*式"""">≥改为对任意I ∈1x 成立，则意味着*x 是唯一不动点，并且,*x A =特别，若f 可导，且()(),10I x x f ∈<'<当则f 严增，且不等式()()""""*>≥可该为会自动满足()I x ∈∀1，这时f 的不动点存在必唯一从而*x A =，证 （分三种情况进行讨论）：① 若*1x x >，则()()**12x x f x f x =≥=，一般地，若已证到*x x n ≥，则()()**1x x f x f x n n =≥=+．根据数学归纳法，这就证明了，一切*:x x n n ≥（即*x 是n x 之下界）另一方面，由()*式条件，已有()112x x f x ≤=，由f 单调增，知()()2123x x f x f x =≤=，…．一般地若已证到1-≤n n x x ，由f 单调增，知()()n n n n x x f x f x =≤=-+11，这就证明了n x 单调减，再由单调有界原理，知{}n x 收敛．在()n n x f x =+1里取极限，因()x f 连续，可知{}n x 的极限A 适合方程()A f A =． ② *1x x <的情况，类似可证．③ *1x x =若，则一切n ，*x x n =结论自明．最后，假若()(),10I x x f ∈∀<'<由压缩映射原理可知{}n x 收敛．事实上，这时也不难验证()*条件成立，如：对函数()()x f x x F -≡应用微分中值定理，（注意到()()0,0*>'=x F x F ），知*x在ξ∃与x 之间，使得()()()()()()(),***x x F x x F xF x F x f x -'=-'+=≡-ξξ可见()()(),0*>--xx x f x 即条件()*严格成立，故*lim x xnn =∞→．例4 设()nn n x c x c x x ++=>+1,011（1>c 为常数），求n n x ∞→lim ．解 法一（利用压缩映射）因0>n x ，且0>x 时，0))(()1()1()('2'>-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=x f c c x c x c x f x ，又由1>c 知111)1()()1()('022<-=-≤+-=<c c c c x c c c x f )0(>∀x ，故)(1n n x f x =+为压缩映射，{}n x 收敛，在nn n x c x c x ++=+)1(1中取极限，可得c x n n =∞→lim ．法二（利用不动点）显然一切0>n x ，令()()x xc x c x f =++=1，知不动点c x =*，而f 单调增加且0)()()()1(22>-++=-+---=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-c x x c c x c x x c cx c x cx c x x c x c x ．表明()()()0*111≥--xx x f x 成立，根据不动点方法原理c xnn =∞→lim ．注 该题体现了不动点定理用于求数列极限．定理4.1.3 （不动点方法的推广）设),(y x f z =为二元函数，我们约定，将),(x x f z =的不动点，称为f 的不动点（或二元不动点），已知),(y x f z =为0,0>>y x 上定义的正连续函数，z 分别对x ，对y 单调递增，假若：（1）存在点b 是),(x x f 的不动点；（2）当且仅当b x >时有()x x f x ,>，令()()()()()ΛΛ,4,3,,0,,,21121==>==--n a a f a a a a f a a a f a n n n ， （10）则{}n a 单调有界有极限，且其极限A 是f 的不动点．证 只需证明{}n a 收敛，因为这样就可在（10）式中取极限，知A 是f 的不动点，下面分两种情况进行讨论：① 若1a a ≤，由f 对x ，对y 的单增性知112),(),(a a a f a a f a =≥=，进而2111123),(),(),(a a a f a a f a a f a =≥≥=，类似：若已推得121,---≥≥n n n n a a a a ，则),4,3(),(),(2111Λ==≥=---+n a a a f a a f a n n n n n n ，如此得{}n a 单调递增．又因a a a f a ≥=),(1，按已知条件这时只能b a ≤（否则b a >按已知条件（2），应有1),(a a a f a =>，产生矛盾），进而),(),(,),(),(121a b f a a f a b b b f a a f a ≤==≤= Λ,),(b b b f =≤，用数学归纳法可得一切b a n ≤，总之n a 单调递增有上界，故{}n a 收敛． ② 若a a ≤1，类似可证{}n a 单调递减有下界b ，故{}n a 收敛．注 按b 的条件可知b 是f 的最大不动点，b x >时不可能再有不动点，情况②时极限b A ≥是不动点，表明此时b A =．例5 若ΛΛ,)(,,)(,)(,031312131311231311--+=+=+=>n n n a a a a a a a a a a ，试证 （1）数列{}n a 为单调有界数列；（2）数列{}n a 收敛于方程313x x x +=的一个正根．证 （利用定理 4.1.3）设3131)(),(y x y x f z +==，显然f 当0,0>>y x 是正值连续函数，对y x ,单增，只需证明 ①b ∃使得),(b b f b =；②),(x x f x >当且仅当b x >① 注意到 f 的不动点，亦即是方程0313=--x x x 的根，分析函数313)(x x x x g --=，因0926)(",3113)('35322>+=--=xx x g xx x g （0>x 时），0)1(',)00('>-∞=+g g ，可知g 在（0，1）内有唯一极小点c x c >,时g x g ,0)('>严增，0)2(,0)1(><g g ，故g 在（0，1）内有唯一零点b （即f 的不动点）．② b x >时0)()(=>b g x g ，即),(x x f x >；事实上，在0>x 的范围也只有在b x >时才有),(x x f x >，因为0)(,0)0(==b g g ，在),0(c 上)(x g 严减，),(b c 上)(x g 严增，所以),0(b 上0)(<x g ，即),(x x f x <．证毕．4．2 不动点定理在积分方程中的应用该定理在积分方程用于证明方程解的存在性、唯一性及连续性． 例6 第二类Fredholm 积分方程的解，设有线性积分方程τττμϕd x t k t t x b a )(),()()(⎰+=，（11）其中[]b a L ,2∈ϕ为一给定的函数，λ为参数，),(τt k 是定义在矩形区域b a b t a ≤≤≤≤τ,内的可测函数，满足+∞<⎰⎰ττdtd t k ba b a 2),(．那么当参数λ的绝对值充分小时，方程（11）有唯一的解[]b a L x ,2∈．证 令τττμϕd x t k t t Tx ba )(),()()(⎰+=．由 []d t d x d t k d x t k ba b a b a ba b a τττττττ222)(),()(),(⎰⎰⎰≤⎰⎰ττττd x dt d t k ba ba b a 22)(),(⎰⎰⎰=及T 的定义可知，T 是由[]b a L ,2到其自身的映射，取μ充分小，使[]1),(2/12<⎰⎰=dtd t k a ba b a ττμ，于是 2/12))()()(,(),(⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰=dt ds s y s x t k Ty Tx b a b a τμρ()()2/122/12)()(),(ds s y s x dtd t k b a b ab a -⎰⎰⎰≤ττμ()),(),(2/12y x dtd t k b a b aρττμ⎰⎰=),(y x a ρ=故T 为压缩映射，由定理1可知，方程（11）在[]b a L ,2内存在唯一的解． 注 该题体现了不动点定理证明第二类Fredholm 积分方程解的存在唯一性．例7 设),(τt k 是定义在三角形区域t a b t a ≤≤≤≤τ,上的连续函数，则沃尔泰拉积分方程)()(),()(t d x t k t x t a ϕτττμ+⎰= （12）对任何[]b a C ,∈ϕ以及任何常数μ存在唯一的解[]b a C x ,0∈．证 作[]b a C ,到自身的映射()()()()(),,:t f d x t k t Tx T ta+=⎰τττμ则对任意的[],,,21b a C x x ∈有 ()()()()()()()[]⎰-=-tad x x t k t Tx t Tx ττττμ2121,()()()t x t x a t M bt a 21max --≤≤≤μ()(),,21x x a t M ρμ-=其中M 表示),(τt k 在t a b t a ≤≤≤≤τ,上的最大值，ρ表示[]b a C ,中的距离，今用归纳法证明),()!/)(()()(21221x x n a t M t x T t x T nnnnρλ-≤- （13）当1=n 时，不等式（13）已经证明，现设当k n =时，不等式（13）成立，则当1+=k n 时，有[]ττττμd x T x T t k t x T t x T k k t a k k )()(),()()(212111-⎰=-++[]),()(!/2111x x ds a s k M k t a k k ρμ-⎰≤++[]),()!1/()(21111x x k a t M k k k ρμ+-=+++，故不等式（13）对1+=k n 也成立，从而对一切自然数n 成立．由（13）()!/)()()(m ax ),(2121n a b M t x T t x T x T x T n n nn n bt a n n -≤-=≤≤μρ ),(21x x ρ对任何给定的参数μ，总可以选取足够大的n ，使得1!/)(<-n a b M n n nμ，因此n T 满足定理3的条件，故方程在[]b a C ,中存在唯一的解．注 该题体现了不动点定理证明沃尔泰拉积分方程在三角形区域上解的存在唯一性． 例8 设),(τt k 是[][]b a b a ,,⨯上的连续函数，()[]b a C t f ,∈，λ是参数，方程)()(),()(t f d x t k t x b a +⎰=τττλ， （14）当λ充分小时对每一个取定的)(t f 有唯一解．证 在[]b a C ,内规定距离)()(max ),(t y t x y x bt a -=≤≤ρ．考虑映射())(),())((t f d x t k t Tx b a +⎰=τττλ （15） 当λ充分小时T 是[][]b a C b a C ,,→的压缩映射．因为()()()()()()()()()⎰-=-=≤≤≤≤ba bt a bt a d y x t k t Ty t Tx Ty Tx ττττλρ,max max ,τττλd t y x t k b a bt a )()(),(max -⋅⎰⋅≤≤≤),(y x M ρλ⋅≤此处ττd t k M ba bt a ),(max ⎰=≤≤．故当λ1<M 时，T 是压缩映射，此时根据定理1，方程对任一[]b a C t f ,)(∈解存在唯一，任取初始值逼近，令()()()()t f d x t k t x b a+=⎰τττλ01,，则),(1)*,(01x x MM x x nnn ρλλρ⋅-≤，)(t x n 是第n 次的近似，)(*t x 是精确解．注 该题体现了不动点定理证明沃尔泰拉积分方程在矩形区域上解的存在唯一性．例9 设[]1,0C f ∈，求出积分方程ds s x t f t x to )()()(⎰+=λ []()1,0∈t 的连续解．解 法一 据例7方程对一切λ存在唯一解[]1,0)(∈t x ，改写方程))(()(),()()(10t kx ds s x s t k t f t x =⎰+=λ，其中⎩⎨⎧≥<=.,1,,0),(s t s t s t k 由逐次逼近法，取0)(0=t x ，得002201,,,x k x x k x kx x nn ===Λ，则)(lim )(t x t x n n ∞→=在[]1,0C 中收敛，即为原方程之解，容易看出,,)(),()()(),()(1021Λds s f s t k t f t x t f t x ⎰+==λ)(1t x n +()()()∑⎰=+=nk k k ds s f s t k t f 11,λ，其中),,(),(1s t k s t k =du s u k u t k s t k n t n ),(),(),(10-⎰= )2(≥n ，从而 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<=-,,)()!1(10),(1s t s t n s t s t k n n ()()()()()()()ds s f n s t s t s t t f t x tn n n ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-+-++=--+011221!1!21λλλλΛ， 故.)()()(lim )()(01ds s f et f t x t x s t t n n -+∞→⎰+==λλ法二 令ds s x t y t)()(0⎰=，则)()('t x t y =，如果)(t x 满足原方程，则)(t y 必满足方程⎩⎨⎧=+=0)0()()()('y t y t f t y λ （16） 易知方程（16）的解为 ds s f e t y s t t )()()(0-⎰=λ再令 ()()()()()()⎰-+=+=ts t ds s f et f t y t f t x 0λλλ （17）下面证明)(t x 为原方程之解，事实上，因为()t y 满足（16），则)()()()('t x t y t f t y =+=λ 所以ds s x t y t )()(0⎰=，由（17）知ds s x t f t x t )()()(0⎰+=λ，故ds s f e t f t x s t t )()()()(0-⎰+=λλ为原方程的连续解．4.3 不动点定理在线性代数方程组中的应用该定理在线性代数方程组用于证明方程解的存在性、唯一性． 例10 设有线性方程组()n i b x ax i nj j iji ,2,11Λ==-∑=， (18)如对每个1,1<≤∑=a ai nj ij(19)则该方程组有唯一解．证 在空间n R 中定义距离()i i ni y x y x -=≤≤11max ,ρ (其中i x 与i y 分别是x 与y 的第i 分量)，则n R 按照1ρ是一个距离空间，且是完备的．在这个空间中，定义Tx y R R T nn =→,:由下式确定()∑==+=nj i j iji n i b x ay 1,,2,1Λ ，如令 ()()()()2211,y Tx y Tx==，则有()()()()()()()()()()()21112112121max max ,,j j nj ij ni iini x x a y yyyTxTx -=-==∑=≤≤≤≤ρρ()()2111max jj nj ij ni x x a -≤∑=≤≤()()∑-≤=≤≤≤≤nj ij n i j j nj a x x 11211max max由条件（19）可得()()()()()()2121,,x x a TxTx ρρ≤，即T 是压缩映射，从而它有唯一的不动点，即方程有唯一解且可用迭代法求得．上述结果可用于方程组(),,,,,21n n R x x x x b Ax ∈==Λ()()'21,,,n nn ijb b b b a A Λ==⨯ （20） 可知，当n i a aii nji j ij,2,1,,1Λ=<∑≠=时（19）存在唯一的解x ，且用如下的Jacobi 法求出x ，将（20）改写成 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+----=+--+-=+---=nn n n nn n nn n nnn n n a b a a a a a b a a a a a b a a a a ξξξξξξξξξξξξ000221122222221222121111112111211ΛΛΛΛΛΛΛ记 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=nn n nnn nnn n n a b ab a b b a a a a a a aa a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛ2221112122222211111112000 即为b x A x +=，任取()()()(),,,,002010nnRx ∈'=ξξξΛ用迭代法，令n n b x A x n n ,,2,1,1Λ=+=-，则x x n n =∞→lim ．4.4 不动点定理在微分方程中的应用该定理在微分方程用于证明方程解的存在性、唯一性． 例11 考察微分方程()y x f dxdy,=，00y y x =， （21）其中()y x f ,在整个平面上连续，此外还设()y x f ,关于y 满足利普希茨（R ．Lipschtz ）条件：()(),,,,,,2'''R y y x y y k y x f y x f ∈-≤-其中0>k 为常数，那么通过点()00,y x ，微分方程（21）有一条且只有一条积分曲线． 证 微分方程（21）加上初值条件00y yx =，等价于下面的积分方程()()()dt t y t f y x y xx ,00⎰+=．我们取0>δ，使1<δk ，在连续函数空间[]δδ+-00,x x C 内定义映射:T()()()()[]()δδ+-∈+=⎰000,,0x x x dt t y t f y x Ty xx ，则有()()(()()[]⎰-=≤-xx x x dt t y t f t y t f Ty Ty 002121,,max,δρ()()⎰-≤≤-xx x x dt t y t y k 0021max δ()()().,m ax 21210y y k t y t y k x t δρδδ=-≤≤-因,1<δk 由定理1，存在唯一的连续函数()[]()δδ+-∈000,x x x x y 使()()()dt t y t f y x y xx ⎰+=0000,，由这个等式可以看出，()x y 0是连续可微函数，且()x y y 0=就是微分方程（21）通过点()00,y x 的积分曲线，但只定义在[]δδ+-00,x x 上，考虑初值条件(),000δδ±=±x y yx 并再次应用定理1，使可将解延拓到[]δδ2,200+-x x 上，依次类推，于是可将解延拓到整个直线上．通过上文的论述，我们加深了对不动点定理的理解，了解了求不动点的方法以及相应例题的证明技巧，知道了此定理应用的广泛性，而随着理论和实践的蓬勃发展对不动点定理的研究也将不断深化，所以我们研究的脚步不能停下．。
非线性Volterra积分方程
一类第二种非线性Volterra 积分方程积分数值解方法1前言微分方程和积分方程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点.相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分方程对于问题的解决比微分方程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较方便，结果也比较完美,所以研究积分方程便得越来越有用,日益受到重视.积分方程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分方程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分方程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分方程。
所以最早研究积分方程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分方程，并用两种方法求出了它的解,第一的积分方程便是以Abel 命名的方程.该方程的形式为：⎰=-baax f dt t x t )()()(ϕ,该方程称为广义Abel 方程,式中a 的值在(0,1)之间.当a=21时，该式子便成为)()(x f dt tx x x a =-⎰ϕ.在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分方程.但是Fourier其实已经求出了一类积分方程的反变换，这就说明在早些时候积分方程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分方程.积分方程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和V olterra 奠定的，积分方程主要是研究两类相关的方程，由于这两位数学家的突出贡献，所以这两个方程被命名为Fredholm 方程和V olterra 方程。
后来又有德国数学家D.Hilbert 进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert 领头科学家的研究，所以掀起了一阵研究积分方程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。
第二类fredholm积分方程组的分段泰勒级数展开法
第二类fredholm积分方程组的分段泰勒级数展开法第二类Fredholm积分方程组的分段泰勒级数展开法是一种常见的数学分析方法，它能够有效地解决解积分方程组的解决问题。
本文将介绍第二类Fredholm积分方程组的分段泰勒级数展开法的基本原理以及解算方法，从而为读者提供参考。
一、什么是第二类Fredholm积分方程组第二类Fredholm积分方程组是一类特殊的积分方程组，它由一个线性微分方程和一类无穷积分方程组组成，表达式如下：∫an(x)v(x)dx=∑bn(x)u(x)，x∈[a,b]其中，a_n(x)、b_n(x)为定义在[a,b]上的给定函数，u(x)、v(x)为函数，要求求解u(x)和v(x)。
二、第二类Fredholm积分方程组的分段泰勒级数展开法第二类Fredholm积分方程组的分段泰勒级数展开法是一种求解数学分析问题的有效方法，它利用多项式的分段展开及泰勒级数的展开，对被积函数(u(x))和积分核(v(x))进行拓展，从而解决积分方程组的求解问题。
该方法的解算步骤如下：1.函数[a,b]上的函数表示为第n次多项式的分段展开，即：u(x)=∑aiTni(x)，v(x)=∑biSnj(x)其中，Tni(x)、Snj(x)为第n次与[a,b]相关多项式基函数，ai、bi为相应的系数。
2.原积分方程变换为多项式展开的形式，即：∑ai∫an(x)Tni(x)dx=∑bi∫bn(x)Snj(x)dx3.用把积分变量拆分到基函数，把上式变为线性方程组，即：∑ai∑nj=1,2,3,…,n∫an(x)Tni(x)Snj(x)dx=∑bi∑ni=1,2,3,…,n∫bn(x)Snj(x)Tni(x)dx4.上述线性方程组的系数矩阵可求得所求函数的多项式系数ai、bi，所以可以求得函数u(x)和v(x)。
三、结论上文介绍了第二类Fredholm积分方程组的分段泰勒级数展开法的基本原理以及解算步骤，可以用来有效解积分方程组求解问题。
超几何函数
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Pfaff变换可以导出 Euler变换，它将李代数参数β变成 -β：
Pfaff变换和 Euler变换都是分式线性变换的例子，这得名于等式两边的超几何函数的宗量的，参见莫比乌 斯变换。
将上面提到的四个连接关系与 Pfaff变换及 Euler变换组合起来，就得到完整的 Kummer表。
给定一组李代数参数(α,β,μ)，(±α,±β,±μ)及其轮换对应着 24个不同但彼此关联的超几何函数 （Fα,β,μ恒等于Fα,β,-μ），利用前面提到的四个连接关系和 Pfaff变换，它们中的任意一个可以通过任 意另外两个表出。
超几何函数
数学术语
目录
01 超几何级数
03 超几何方程
02 特殊情形 04 变换公式
在数学中，高斯超几何函数或普通超几何函数2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数 都是它的特例或极限。
所有具有三个正则奇点的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。
超几何级数
当 c不是0,-1,-2...时，对于|z|<1，超几何函数可用如下幂级数定义 其中是Pochhammer符号，定义为: 当a或b是0或负整数时级数只有有限项。 对于满足|z|≥1的复数z，超几何函数可以通过将上述在单位圆内定义的函数沿着避开支点0和1的任意路径 做解析延拓来得到。
例如 Euler变换可以表示为：
下面是一个二次变换的例子： 二次变换得名于等号两边超几何函数宗量的（一个二次函数和一个莫比乌斯变换的组合）。
若一组李代数参数满足下列条件：有两个是 ±1/3，或者三个参数的绝对值相等，则有一个三次变换的公式 将它与另一个超几何函数起来。
另外有一些 4次和 6次变换的公式。其它次数的变换公式只有当参数取特定有理数值时存在。
第二类两端奇异Fredholm积分方程的
∑ n−1 λun (x) = f (x) + B1TP (x) + BiTσi (x) + BnTQ (x) ,
(2.14)
其中
i=2
B1 =
∫ a1 (y − a)α1 un (y) dy
a0
∫ a1
...
(y − a)αma un (y) dy
, Bi =
∫ ai li,1 (y) un (y) dy
ki (x, y) = k (x, ai−1) li,1 (y) + k (x, ai) li,2 (y) ,
(2.12)
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592
应用数学
2019
其中
li,1(y) =
ai − y ai − ai−1
a0
∫ a1
...
k (x, ai) (x − a)αma dx
,
a0
∫ a1
a0
∫ a1
C¯1
=
∫
(x − a)α1 η1 (x) dx
a0
...
a1
(x − a)αma η1 (x) dx
... ... ···
∫
(x − a)α1 ηmb (x) dx
a0
...
a1
(x − a)αma ηmb (x) dx
lj,γ (x) ξp (x) dx
aj−1
aj−1
[ ∑ n−1
∫ aj
p=1
aj−1
∫ aj
]
+
Bi,1
lj,γ (x) k (x, ai−1) dx + Bi,2
新的Nystrom法解二维第二类Fredholm积分方程
新的Nystrom法解二维第二类Fredholm积分方程徐建;黄晋【摘要】基于Nystom方法的定义,利用积分中值定理下的Nystrom方法来解决线性的二维第二类Fred-holm积分方程,从而得到积分方程的近似解,并且还对所得的近似解作了相应的误差估计和收敛性分析.最后,给出了一些相应的数值算例,将数值解与解析解相比较,表明了该方法的可行性和有效性.%Based on the definition of Nystrom method,in this paper we use a new Nystyom method under the integral mean value theorem to solve the two-dimendion linear second kind Fredholm integral equation,and get its approximate solution.We also give the corresponding error estimation and convergence analysis for the approximate solution.Finally,a corresponding numerical example is given to show the feasibility and effectiveness of this method.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(040)005【总页数】6页(P609-614)【关键词】Nystrom方法;Fredholm积分方程;误差分析【作者】徐建;黄晋【作者单位】电子科技大学数学科学学院,四川成都611731;电子科技大学数学科学学院,四川成都611731【正文语种】中文【中图分类】O241.83由于积分方程已被广泛应用于弹性力学、流体力学、计算电磁学、计算生物和热传导等实际的工程问题，因此受到很多人的关注和重视.近20年来，很多方法也用来解决第二类Fredholm积分方程，如配置法[1-2]、泰勒多项式逼近法[3-4]、Nystrom方法[5-7]、小波分析法[8-11]、Galerkin方法[12]等.考虑积分方程φ(x,y)-k(x,y,s,t)φ(s,t)dsdt=其中，f(x,y)是定义在[a,b]×[a,b]上的连续函数，k(x,y,s,t)是连续的核函数.所谓传统的Nystrom方法：首先定义线性积分算子K是映C[a,b]×[a,b]到C[a,b]×[a,b]的紧算子，并且有(Kφ)(x,y)=k(x,y,s,t)φ(s,t)dsdt,由数值积分的插值求积公式有(Knφ)(x,y)=amt·k(x,y,xm,yt)φ(xm,yt),其中，(xm,yt)为[a,b]×[a,b]上的求积节点，m=0,1,2,…,n-1;t=0,1,2,…,n-1，一系列系数a00,a01,…,a0n;a10,a11,…,a1n;…;an0,an1,…,ann为求积系数.为此，根据Nystrom方法，方程(1)的数值解可表示为其中为下面线性方程组的解为此，得到的积分方程数值解的方法叫Nystrom法或者叫机械求积法[1].前面初步介绍了数值积分法，下面对这个方法进行改进，使之更加简化.在讨论新方法之前，需要回顾积分中值定理:为此，假设x0=a,…,xn=b，利用积分区间可加性定理有对于积分s(x)dx利用上述的积分中值定理有其中xk<ck<xk+1.令其中ck(k=0,1,2,…,n)都是常数.如果ck是能够被确定的，那么Tn(s,ck)这个求积公式就是精确的；但这只是理论的想法，而实际上Tn比T(s)更难处理，因为常数c和ck都是未知的，很难确定；但是将Tn(s,ck)这个公式应用到求解第二类连续核的Fredholm积分方程的近似解中去，会使计算更加简单容易.为了使计算方便，通常都是取等距节点xk=a+kh, k=0,1,2,…,n,其中,h=，则方程(9)可以写成(s,ck)=hs(xk+hck), 0<ck<1.对于二维问题，同理可以采用二重积分中值定理，然后再应用于解二维第二类连续核的Fredholm方程中，得到(s,cm,ct)=h2s(xm+hcm,yt+hct),其中，0<cm<1，0<ct<1.将(12)式应用到二维第二类Fredholm积分方程中得到(Kφ)(x,y)=k(x,y,s,t)φ(s,t)dsdt=其中，(x,y)∈[a,b]×[a,b]，未知函数cm(x)和ct(y)(m=0,1,2,…,n-1;t=0,1,2,…,n-1)分别依赖于x和y，且0<cm(x)<1，0<ct(y)<1.一般情况下，作为一种近似,假设其中,cm和ct都是常数，且0<cm<1，0<ct<1,则有k(x,y,s,t)·φ(s,t)dsdt≈其中,(x,y)∈[a,b]×[a,b]，0<cm<1，0<ct<1.下面定义积分算子且有如下定理：定理 1 对于上述定义的积分算子则有证明对于∀φ∈C[a,b]×[a,b]，并且‖φ‖≤1,由于‖‖而所以即‖‖≤h2|k(x,y,xm+hcm,yt+hct)|.又因为积分核函数k(x,y,s,t)是连续函数，所以必然存在一点(m0,n0)∈[a,b]×[a,b]使得另外，若选择φ0∈C[a,b]×[a,b]，‖φ0‖=1，且k(m0,n0,xm+hcm,yt+hct)·φ0(xm+hcm,yt+hct)=m=0,1,2,…,n; t=0,1,2,…,n,则可以得到而因此，定理得证.通过以上求积公式的算法构造，可得到方程(1)的近似解(x,y)=f(x,y)+h2k(x,y,xm+其中为如下线性方程组的解也即原算子方程可以近似为算子方程则求解的n(xm+hcm,yt+hct)为原方程的近似解.注 1 若cm=ct=，则求积公式变成中矩形求积公式.对于以上的算法是否有效呢？得到的解是否收敛呢？误差是否合理呢？这些都是值得去研究和讨论的；为此，就需要进一步对解的收敛性做判断，以及对误差进行分析.首先，为了方便讨论，令其中,0<c<1；则得到如下定理:定理 2 如果函数s(x,y)[a,b]×[a,b]上是连续的，并且满足利普希茨条件[1]：1)‖s(x1,y)-s(x2,y)‖≤L1‖x1-x2‖,2)‖s(x,y1)-s(x,y2)‖≤L2‖y1-y2‖，其中L1和L2都是大于0的常数,则有(s,c,c)→Tn(s)=s(x,y)dxdy=证明因为h2‖s(xm+hc,yt+h c)-s(xm+hcm,yt+hc)+其中L1和L2都是大于0的常数.又因为所以从而有令则有为此有同样，有如下定理：定理 3 如果函数k(x,y,s,t)是在D内上的连续函数，并且满足利普希茨条件[1]：1)‖k(x,y,s1,t)-k(x,y,s2,t)‖≤L3‖s1-s2‖，2)‖k(x,y,s,t1)-k(x,y,s,t2)‖≤L4‖t1-t2‖，3)‖φ(s1,t)-φ(s2,t)‖≤L5‖s1-s2‖，4)‖φ(s,t1)-φ(s,t2)‖≤L6‖t1-t2‖，其中L3、L4、L5以及L6都是大于0的常数，则有证明因为h3L3‖φ(x,y)‖这里,0<ct,cm<1且0<ct(y),cm(x)<1,故有0<‖ct-ct(y)‖<1，且0<‖cm-cm(x)‖<1,从而若令则有从而得到即定理得证.通过以上2个定理，可以对近似解φn与解析解φ的误差进行估计.因为故有由于0<cm、ct<1，而cm和ct是难以确定的，所以由cm和ct的不确定性所带来的误差是不可避免的；但是为了使计算方便且误差更小，可以选取0<cm=ct=λs<1，(s=0,1,2,…,k)，则可以通过求解线性方程组可以得到近似解之后，再采用求取平均值作为最终的近似结果，即例 1[1] 考虑二维的积分方程已知其精确解u(x1,x2)=exp(-x1-x2)-x1x2，假设取步长h=(,)，则采用积分中值定理下的Nystrom方法所得到的数值解与其解析解的比较,见图1、图2及表1. 首先，当取n=5时，得到其解析解u和数值解un的图像分别如图1和图2.当n=5、10、15,且k=10时,其数值解un和解析解u的绝对误差见表1.对于多维线性的第二类Fredholm积分方程，积分中值定理下的Nystrom方法是一种简单有效的方法，并且该方法所得到的数值解的收敛性和误差估计也得到了分析和证明；但是该方法所达到的计算精度并不高，对它所得到的解进行迭代过后，会达到更高的精度.当然，更好的方法有待进一步研究.2010 MSC:45B05【相关文献】[1] 吕涛,黄晋. 积分方程数值解的高精度算法[M]. 北京:科学出版社,2012:197-215.[2] GRAHAM I G. Collocation methods for two dimensional weakly singular integral equations[J]. J Austral Math Soc,1981,B22(4):456-473.[3] 黄勇,李显方. 二维Fredholm方程的Taylor展开式解法[J]. 数学理论与应用,2007,27(1):92-95.[4] LIU Y C. Application of the Chebyshev polynomial in solving Fredholm integral equations[J]. Math Comput Model,2009,50(3):465-469.[5] NELAKANTI G L. Iteration methods for Fredholm integral equations of the second kind[J]. Comput Math Appl,2007,53(6):886-894.[6] WANG K Y, WANG Q S. Lagrange collocation method for solving Volterra-Fredholm Integral equations[J]. Appl Math Comput,2013,219(21):10434-10440.[7] ZHONG X C. A new Nystrom-type method for Fredholm integral equations of the second kind[J]. Appl Math Comput,2013,219(17):8842-8847.[8] XIAO J Y, WEN L H, ZHANG D. Solving second kind Fredholm integral equations by periodic wavelet Galerkin method[J]. Appl Math Comput,2006,175(1):508-518.[9] 霍春雷,冯象初. 第二类Fredholm积分方程的小波快速算法[J]. 工程数学学报,2003,20(6):42-46.[10] 张慧. 高阶奇异积分方程的小波解法[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2010,33(4):471-473.[11] 李来,孙经先,赵吕慧子. 一类Hammerstein型积分方程的解[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2011,34(5):646-650.[12] 黄春妙,王五生. 若奇异非线性迭代积分不等式及其应用[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2016,39(2):214-220.。
泰勒展开法求解Fredholm积分微分方程
泰勒展开法求解Fredholm积分微分方程
黄功伟;陈豫眉
【期刊名称】《新余学院学报》
【年(卷),期】2024(29)2
【摘要】提出一种求解Fredholm积分微分方程初值问题的泰勒展开法,并通过数值算例验证了该方法的有效性和实用性。
该方法将积分微分方程转化为一个含未知系数的矩阵方程,具有计算简单、精度高等优点。
【总页数】6页(P87-92)
【作者】黄功伟;陈豫眉
【作者单位】西华师范大学数学与信息学院;西华师范大学公共数学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O241.83
【相关文献】
1.有理 Haar 小波求解非线性分数阶Fredholm 积分微分方程
2.用算子展开法求解Fredholm积分方程
3.第一类Fredholm积分方程分段泰勒级数展开法
4.求解m 阶非线性Volterra-Fredholm型积分微分方程的一种算法
5.第二类Fredholm积分方程组的分段泰勒级数展开法
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第三章不连续函数
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4. 乘法定理
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第二类Fedholm方程
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第一类Voltera方程
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第二类Voltera方程
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极值定理 Limit theorem 5。 （1）
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２ 抽象理论框架
本节介绍第二类 Ｆｅｈｌ ｒｄｏ ｍ积分方程多投影算法 的理论框架 ．
令 是 ￣ｎｃ 空间， ａ ｈ 其范数记为 『『假设算子 为 由 到 的紧线性算子 ， 为由 到其 自身的 ｆｆ ．．
恒等算子 ． 我们考虑第二类 Ｆｅ￣ｌ ｒ ｄ ｍ积分方程
一 ＝
ｆ．
投影算法推广到子空间 为多项式空间的情形， 构造多项式投影算法． 并证 明当核 函数和解的光滑度 满足一定 条件 时 ， 多项 式多 投影算 法 可 以达 到文献 ［， ，］ ３４ ５ 的精 度 ． 文 由三部分组 成 ， 二节 主要介绍 本 第 多投影算法的抽象理论框架 ， 第三节分别对 Ｇ ｅ ｉ 情形和配置法情形讨论多投影算法的超收敛性， ￣ｒ ｎ ｋ 并 给 出误差 估计 ．
关键词 ： 积分方程 ； 多投影算法 ； 多项式空间 ； 收敛 超
中 图分 类 号 ： １ ５３ Ｏ ７ ． 文献 标 识 码 ： Ａ
１ 引 言
设 是 Ｂｎｃ 间 ， ： 一 是 紧线 性算子 ． ａａｈ空 第二类 Ｆｅｈ ｌ 积分方程 为求未 知量 “ ｒｄｏ ｍ ∈ ， 使得 ＵＳ 一 （ ） （ ）＝ ＿ Ｓ ， Ｓ 厂 ）Ｓ∈ ［ ｂ ， （ ａ， ］ （ ．） １１
（ ．） ２ １
假设对任意 ｆ ， Ｅ 方程（ ．） ２ １在 上 的解存在唯一． 下面我们给出多投影算法的框架 ， 为此 ， 我们假设 ｛ ： ∈ ｝Ｎ ＝｛ ，， ｝ ｎ ， １２ … 是 的一列有限维
（ 西师 范学院 数 学与计算机科 学 系， 广 广西 南宁 ５０ ２ ） ３ ０ ３
摘 要： 主要讨论第二类 Ｆ ｅｈｌ ｒ ｏ ｄ ｍ积分方程的多项式多投影算法 ． 法应用到 Ｇ ｌ ｋｎ方法和配置法 两种情 算 ａ ｒｉ ｅ
况， 并证明当核函数 和方程的解具有一定 的光滑核性时 ， 多投 影算 法的近似解及其迭代解 的精度分别是一 般有限 维投影法近似解 的三倍和 四倍 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 表现出算法具有非常高的超 收敛性 ．
２０ ０ ８年 ９月
广 西师 范学 院学 报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｕｎ ｘ Ｔ ａｈｒ Ｅ ｕａｉ ｎｖｒ ｔ（ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ ｄｔ ｎ ｏｒ ａ ｏ ａ ｇｉ ｅｃｅｓ ｄ ｃｔ ｎＵ ｉ ｓｙＮａ ａ Ｓ ｉ ｃ ｉｏ ） Ｇ ｏ ｅｉ ｕ ｅ Ｅ ｉ
其中 ｌ ＝ ， ２ ： （ 一 ） ３ 一 Ｎ ， ＝（ ） ， ４ 一 ） （ 一 ， ． 后 利用与低 － ＝（ 然 Ｘ ） 频相 关的三个块算 子 。 ， 和 。 之和 ＝ ＋ ： ， 为算子 的一 个 近似 ， 由此构 造 出 ＋ 作 并
∈ ｝令算 子 ： ． ＝
满足
（ 一 ） ＝ ｆ． “ （ ．） １ ２
（ 或者
：０ Ｉ 为算 子 的一个 逼 近算 子 ， ９ ） － 求 上 的逼 近解 Ｕ ∈
最为经典 的超 收敛数值 算法是 Ｓｏｎ迭 代算法 ， ｌ ａ 它通过对 近似解 “ 进行迭 代
・ ７・ ３
度分别比逼近框架（ ．） １２ 的近似解 高 出三倍和四倍 ， 具有非常高的超收敛性． 在进行数值处理时 ， 多项式的运算往往归结于简单的加法和乘法 ． 利用多项式空 间作为 的一个 逼近子空间 ， 并构造逼近框架进行数值计算 ． 它的一个好处就是多项式空间的基底容易构造 ， 使得计算 复杂性降低 ． 另一方 面 ， 因为 多项式 空 间的灵 活性较 差 ， 又 使得 理论 分析有 一定 的难度 ． 文致 力于将 多 本
Ｓｐ ２０ ｅ ．０ ８
Ｖ １２ ｏ ３ ｏ．５ Ｎ ．
第２ ５卷 第 ３期
文章编号 ：０ ２ ７ ３ ２ ０ ）３ ０ ６ ６ １ ０ —８ ４ （０ ８ ０ —０ ３ —０
第 二类 Ｆ ｅｈ ｌ 积 分方 程的 多项 式 多投 影算 法 ｒｄ ｏｍ
王和平 ， 隆广庆 ， 唐 帅
“ ：＝ ＋＿， 厂
使得近似解 “ 的精度 比 高 出一倍 ， 达到 超收敛 ．
最近 ， 在文献Ｅ ，，］ 提出了一种称之为多投影算法的新的投影算法 ， ３４ ５ 中， 并给出了相应的全离散格
式， 算法 的思 想将算子 进 行高低频 分解
１ ｊ ｒ１ ］ ，
作者简 介： 王和平（ ９０ ， ， １８ 一）男 安徽巢 湖人 ， 士生 ， 硕 研究 方 向： 积分 微分 方程数值 算 法； 讯作 者简 介 ： 通 隆广庆 （９ ４ ， ， １７ 一）男 副教授 ， 士， 博 主要研究方向 ： 积分微分方程数值算法 ．
第 ３期
王和平 ， ： 等 第二类 Ｆ ｅｈｈ１ ｒ ｏＩ ｄ 积分方程的多项式多投影算 法
Ｍ
方程（ ．） １１的一 个逼近 格式 ： 近似解 “ ， 求 ∈ 满足
一 “ ＝ ｆ，
及其迭代解 “ ＝
＋ｌ 当 为分 片线性子空 间时 ， 投影算法 的近似解 厂 ． 多
及 其迭 代解
的精
收 稿 日期 ：０ ８ ６ ６ ２ ０ —０ —２ 基金项 目： 中国博士后科学基金 （０ ５３ ６ ３ ； ２ ０ ０ ７０ ）广西科学青年基金 （７ ８ ４ ）广西教 育厅 科学 基金 ； ０ ２０ ４ ； 广西师范学院 基 础 研 究 基 金
其 中 ｆＥ 为 已知 ． 这类 方程 数值算法 的超收敛 性研究是 近十几年来 的一个研 究热点 ， 并提 出不少具有
超收敛性的数值算法 ， 在工程和物理上也有广泛的应用 ． 令指标集 ： １２ …｝一般来说， ：｛，， ． 方程（ ．） １１ 的数值解法常常采用有限维投影法： 首先 ， 按某种方 法选取空间 的有限维子空间序列 ｛ ｃ ： ｝以及 到 上的投影算子序列 ｛ ： 一 ： ∈ ， ７ ＂ ／