2011年北京大学优秀中学生体验营数学试题及其解答

，ax x 。于是知线段 KC 中点坐标为
，(
) 。显然有 (
) =a·
，即线段 KC 中点在抛物线上。
五、已知正n边形A A A … A ，在A A 的延长线上取B ，使所有的△A B B 周 长相等，其中k = 1、2、3、 … … 、n，且A = A ，B = B 。求证：所有的△ A B B 都全等。
又因为f(x) =
= ，g(x) =
= ，所以 +
=
( )( ) = 0 ⇒ ab − 16 = 0。所以f(x) =
= 0，g(x) =
= 0。
二、已知sin x 、 sin y 、 sin z是严格递增的等差数列，求证：cos x 、 cos y 、 cos z构不
成等差数列。
证明：根据条件知：
(
)来自百度文库
，得：
·
4cos · x + 4 cos − m + (m − 2m) = 0
(3)
其判别式△= 16 cos + m − cos · m ＞0，所以该方程有两个不等实根，不妨设
x = p，x = q。根据韦达定理知：p + q =
＞0，pq =
＞0，所以p＞0，
q＞0。 根据递归公式的特征方程知：
解答：经过调整坐标系，不妨设抛物线解析式为y = ax 。设 A 点坐标为 x ，ax ，
B 点坐标为 x ，ax ，则 C 点坐标为
，(
)。
求导知y’ = 2ax。于是点 A 处的切线方程为：
y = 2ax x − ax
(1)
点 B 处的切线方程为：
y = 2ax x − ax
(2)
联立(1)、(2)，解得点 K 坐标为
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文武光华
解答：不妨设正n边形A A A … A 边长为 1，设A B = a ，并记a △A B B 周长均为m，显然m＞2。根据余弦定理知：
a + (a + 1) + a + (a + 1) − 2a (a + 1) cos = m 由(1)式得：
a + (a + 1) − 2a (a + 1) cos = m − a − (a + 1)
2 sin y = sin x + sin z
(1)
若cos x 、 cos y 、 cos z构成等差数列，则：
2 cos y = cos x + cos z
(2)
(1) + (2) 得：
4 = 2 + 2 cos(z − x) ⇒ cos(z − x) = 1 ⇒ z − x = 2kπ ⇒ sin z = sin x，与
文武光华
2011 年北京大学优秀中学生体验营数学试题及其解答
解答人：文武光华数学工作室 田开斌
一、已知f(x) = ax + 8x + b，g(x) = bx + 8x + a，且f(x) + g(x) = 0，求
f(x) 、g(x) 。
解答：根据条件知f(x)、g(x)存在最小值，所以a＞0，b＞0。
= a 。设所有的 (1)
⇒ a + (a + 1) − 2a (a + 1) cos = m + a + (a
ak+1+1+2akak+1+1 ⇒ m − 2m(a + a + 1) + 4cos a (a + 1) = 0
⇒a =
(
)
+ 1) − 2m(a + (2)
整理递归公式(2)的特征方程：x =
特殊值。
当n = 1时，有：f(3) = f(1) + 2
(1)
当n = 3时，有：f(1) = f(3) + 2
(2)
则显然有f(3) ≥ 2，f(1) ≥ 2。由(1) − (2)得：
f(3) − f(1) = f(1) − f(3) · f(1) + f(3)
(3)
若f(1) ≠ f(3)，则f(1) + f(3) = 0，与f(3) ≥ 2，f(1) ≥ 2矛盾。
sin x 、 sin y 、 sin z严格递增矛盾。所以cos x 、 cos y 、 cos z构不成等差数列。
三、在实数域有定义的实值函数f(x)，问是否存在f(n)，对任意整数n，都有
f(−n + 3n + 1) = f(n) + 2。
解答：不存在。理由如下：
若存在实值函数f(n)，对任意整数n，都有f(−n + 3n + 1) = f(n) + 2。我们考察几个
若f(1) = f(3)，设为k，代入(1)式得：k = k + 2 ⇒ k − k + 2 = 0，k为虚数，与f(n)
为实值函数矛盾。
综上所述，不存在f(n)，对任意整数n，都有f(−n + 3n + 1) = f(n) + 2。
四、抛物线上 A、B 两点，两点处切线的交点为 K，A、B 中点为 C，求证：线段 KC 中 点在抛物线上。
·
=
·
(4)
·
于是知： =
·
·。
·
因为
·
≠ 1，所以
·
= 0。代入递归公式(4)知，
= 0，
k = 1、2、3、 … … 、n。于是知a = a = a = ⋯ = a = p。显然所有的△A B B 都全 等。
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