第3章平面力系.
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清华大学 李俊峰教授 理论力学 第三章平面力系_
第三章 平面力系 知识点 力的平移定理 作用在刚体上某点 A 的力 F 可平行移动到任意点 B,平移时需附加一个力偶， 该力偶的力偶矩等于力 F 对平移点 B 的力矩。 平面力系的简化 根据力的平移定理，将平面力系向平面内任一点简化，得到一个力和一个 力偶。力的大小、方向等于力系的主矢，力偶的矩等于力系对简化中心的主矩。主矢与简化 中心位置无关，主矩与简化中心位置有关。 3.力系的简化结果归结为计算两个基本物理量--主矢和主矩。它们的解析表达式分别为
。由平衡方程
解得 kN
解得 kN
再取梁 ，受力如图(c)。由平衡方程
解得 由
解得
kN
此题也可在求得 和 后，再取整体为研究对象，求 和 。 例 3-7 图 3-18(a)所示的三铰拱桥由两部分组成，彼此用铰链 联结，再用铰链 和
固结在两岸桥墩上。每一部分的重量
，其重心分别在点 和 E 点。桥上载荷
。求 、 、 三处的约束力。 解：取整体为研究对象，受力如图(b)。由平衡方程
解得
kN，
kN
再取右半桥为研究对象，受力如图(c)所示。由平衡方程
解得 再由整体平衡，有
kN，
kN，
kN（↓）
解得 kN
例 3-8 曲柄冲压机由冲头、连杆、曲柄和飞轮所组成(图 3-19(a))。设曲柄
在水平位置
时系统平衡，冲头 所受的工件阻力为 。求作用于曲柄上的力偶的矩 和轴承的约束力。
的力偶，如图(c)所示。
2. 力系的主矢和主矩 （1）主矢 力系中各力的矢量和称为力系的主矢量，简称主矢，即
它与简化中心位置无关。
（3-1）
（2）主矩 力系中各力对简化中心 之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩，
即
。由平衡方程
解得 kN
解得 kN
再取梁 ，受力如图(c)。由平衡方程
解得 由
解得
kN
此题也可在求得 和 后，再取整体为研究对象，求 和 。 例 3-7 图 3-18(a)所示的三铰拱桥由两部分组成，彼此用铰链 联结，再用铰链 和
固结在两岸桥墩上。每一部分的重量
，其重心分别在点 和 E 点。桥上载荷
。求 、 、 三处的约束力。 解：取整体为研究对象，受力如图(b)。由平衡方程
解得
kN，
kN
再取右半桥为研究对象，受力如图(c)所示。由平衡方程
解得 再由整体平衡，有
kN，
kN，
kN（↓）
解得 kN
例 3-8 曲柄冲压机由冲头、连杆、曲柄和飞轮所组成(图 3-19(a))。设曲柄
在水平位置
时系统平衡，冲头 所受的工件阻力为 。求作用于曲柄上的力偶的矩 和轴承的约束力。
的力偶，如图(c)所示。
2. 力系的主矢和主矩 （1）主矢 力系中各力的矢量和称为力系的主矢量，简称主矢，即
它与简化中心位置无关。
（3-1）
（2）主矩 力系中各力对简化中心 之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩，
即
《工程力学》第三章 平面一般力系
• 运用解析法：在力系所在平面上取坐标系 O -xy(图3-3(a))，应用合力投影定理， 则由(3-2)式得
• 故主矢R′的模为
• 主矢R′的方向从图3-3(b)中可知
图3-3
• 2.对点O的主矩 • 从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶
系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶 系的合成定理可知，
• 由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于 是得
• §3-2 平面一般力系向一点的简化 • 一、平面一般力系向一点的简化 • 在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简
化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时 附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的 简化。
图3-2
•经 简 化 后 的 平 面 共 点 力 系 合成为一个合力R′，该合力作用点在简化 中心上；把简化后的附加力偶系m1， m2，…，mn合成得一力偶MO(图32(c))。自然，依据力的平移定理，可将 力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))， 这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合 力。
• 二、截面法求桁架内力
• 截面法一般采用如下步骤：
• (1)先求出桁架支承约束反力。
• (2)如需求某杆的内力，可通过该杆作一 假想截面，将桁架截为两段(只截杆件， 不能截在节点上)。注意被截杆件一般不 能多于三根。任选半边桁架考虑平衡，在 杆件被截处，画出杆件内力，其指向假定 沿杆件而背离杆件被截处。
图3-5
• 二、平面一般力系向一点简化结果分析
• 1.平面一般力系向一点的简化结果
• 平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现 四种情况：
• (1)R′=0，MO=0
• 主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交 力
• 故主矢R′的模为
• 主矢R′的方向从图3-3(b)中可知
图3-3
• 2.对点O的主矩 • 从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶
系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶 系的合成定理可知，
• 由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于 是得
• §3-2 平面一般力系向一点的简化 • 一、平面一般力系向一点的简化 • 在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简
化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时 附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的 简化。
图3-2
•经 简 化 后 的 平 面 共 点 力 系 合成为一个合力R′，该合力作用点在简化 中心上；把简化后的附加力偶系m1， m2，…，mn合成得一力偶MO(图32(c))。自然，依据力的平移定理，可将 力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))， 这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合 力。
• 二、截面法求桁架内力
• 截面法一般采用如下步骤：
• (1)先求出桁架支承约束反力。
• (2)如需求某杆的内力，可通过该杆作一 假想截面，将桁架截为两段(只截杆件， 不能截在节点上)。注意被截杆件一般不 能多于三根。任选半边桁架考虑平衡，在 杆件被截处，画出杆件内力，其指向假定 沿杆件而背离杆件被截处。
图3-5
• 二、平面一般力系向一点简化结果分析
• 1.平面一般力系向一点的简化结果
• 平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现 四种情况：
• (1)R′=0，MO=0
• 主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交 力
工程力学第3章
第3章 力矩和平面力偶系 图3-4
第3章 力矩和平面力偶系
这样由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的 力系称为力偶。力偶用符号(F，F′)表示，两力之间的垂直距离d 称为力偶臂， 如图3-5所示。 力偶两力作用线所决定的平面称 为力偶的作用面，力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。 实 践证明，力偶只能对物体产生转动效应，而不能使物体产生移 动效应。力偶对物体的转动效应，可用力偶中的力与力偶臂的 乘积再冠以适当的正负号来确定，称为力偶矩，记做M(F，F′), 或简写为M，
解：(1) 求三个主动力偶的合力偶矩
M Mi M1 M2 M3
13.5 13.5 17 44N m
负号表示合力偶矩为顺时针方向。
第3章 力矩和平面力偶系 图 3-10
第3章 力矩和平面力偶系 (2) 求两个螺栓所受的力。
选工件为研究对象，工件受三个主动力偶作用和两个螺栓的 反力作用而平衡，故两个螺栓的反力FA与FB必然组成为一力偶， 设它们的方向如图所示， 由平面力偶系的平衡条件，有
根据合力矩定理，力F对A点之矩
M A (F ) M A (F1 ) M A (F2 ) F1l1 F2l2 F (l1 cos150 l2 sin150 ) 3970N cm 39.7N m
负号说明力F使手柄绕A点顺时针转动。
第3章 力矩和平面力偶系 图3-3
设在刚体上作用一力F，如图3-11所示，由经验可知，当力 F通过刚体的重心C时，刚体只发生移动。如果将力F平行移动到 刚体上任一点D，则刚体既发生移动，又发生转动，即作用效果
发生改变。那么，在什么条件下，力平行移动后与未移动前对 刚体的作用效果等效呢？力的平移定理解决了这一问题。
第三章-平面任意力系
第三章 平面任意力系[习题3-1] x 轴与y 轴斜交成α角，如图3-23所示。
设一力系在xy 平面内，对y 轴和x 轴上的A 、B 两点有0=∑iA M ，0=∑iB M ，且0=∑iy F ，0≠∑ix F 。
已知a OA =，求B 点在x 轴上的位置。
解：因为0==∑iA A M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向A 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心A 。
又因为0==∑iB B M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向B 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心B 。
一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。
因此，合力R F 的作用线同时能过A 、B 两点。
又因为0==∑iy Ry F F ，所以合力R F 与y 轴垂直。
即AB 与y 垂直。
由直角三角形OAB 可知，B 点离O 点的距离为： αcos ab =[习题3-2] 如图3-24所示，一平面力系(在oxy 平面内)中的各力在x 轴上投影之代数和等于零，对A 、B 两点的主矩分别为m kN M A ⋅=12，m kN M B ⋅=15，A 、B 两点的坐标分别为（2，3）、（4，8），试求该力系的合力(坐标值的单位为ｍ)。
解：由公式（3-5）可知：)(212R O O O F M M M +=)(R B A B F M M M +=)()(Ry B Rx B A B F M F M M M ++=依题意0=Rx F ，故有：)(Ry B A B F M M M +=)24(1215-⨯+=Ry F 32=Ry F )(5.1kN F Ry = kN F F Ry R 5.1==)(85.112m F M a R A ===故C 点的水平坐标为：m x 6-=。
理论力学 第三章 平面力系
FBl cos M 0
得
M 20 k N m FB 4.62 kN l cos 5 m cos 30
FA FB 4.62kN
故
目录
第三章 平面力系\力的平移定理
3.3 力的平移定理
作用于刚体上的力，可平行移动到刚体内任一指定点，但必须 在该力与指定点所决定的平面内同时附加一力偶，此附加力偶的矩 等于原力对指定点之矩。 平面一般力系向一点简化的理论基础是力的平移定理。
设平面汇交力系F1、F2、…、Fn中各力在x、y轴上的投影分 别为Xi、Yi，合力FR在x、y轴上的投影分别为XR、YR，利用公式
F Fx Fy Xi Yj
分别计算式FR=F1+F2+…+Fn=ΣF 等号的左边和右边，可得 FR = XR i+YR j 以及 F1+F2+…+Fn=(X1i+Y1j)+（X2i+Y2j）+…+（Xni+Ynj） =（X1+X2+…+Xn）i+（Y1+Y2+…+Yn）j 比较后得到 X R X1 X 2 X n X YR Y1 Y2 Yn Y 目录
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第三章 平面力系
如图(a)所示水坝，通常取单位长度坝段进行受力分析，并将坝 段所受的力简化为作用于坝段中央平面内的一个平面力系［图(b)］。
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第三章 平面力系
第三章 平面力系
3.1 平面汇交力系的合成与平衡 3.2 平面力偶系的合成与平衡 3.3 力的平移定理 3.4 平面一般力系向一点简化 3.5 平面一般力系的平衡方程及其应用
第三章 平面力系\平面力偶系的合成与平衡
《工程力学：第三章-力系的平衡条件和平衡方程》解析
工程力学 1. 选择研究对象。以吊车大梁 AB为研究对象，进行受力分析 （如图所示） 2.建立平衡方程
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
FAX FTB cos 0 Fy 0
F
x
0
： （1）
M
FAy FQ FP FTB sin 0
A
(F ) 0
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
§3.3 考虑摩擦时的平衡问题
3.3.1 滑动摩擦定律
概念：
静摩擦力：F 最大静摩擦力：Fmax 滑动摩擦力： Fd
静摩擦因数：
水平拉力： Fp
Fmax f s FN
fs
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.3.2 考虑摩擦时构件的平衡问题
考虑摩擦力时与不考虑摩擦力时的平衡 解题方法和过程基本相同， 但是要注意摩擦力的方向与运动趋势方向相反；且在滑动之前摩擦 力不是一个定值，而是在一定范围内取值。
l l sin 0
（3）
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
• 联立方程（1）（2）（3）得：
FAX
FQ FP 3 l x 2
（2）由FTB结果可以看出，当x=L时，即当电动机移动到大梁右 端B点时，钢索所受的拉力最大，最大值为
非静定问题：未知数的数目多于等于独立的平衡方程的数目，不能 解出所有未知量。相应的结构为非静定结构或超静定结构。
会判断静定问题和非静定问题
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.2.2 刚体系统平衡问题的特点与解法
1.整体平衡与局部平衡的概念 系统如果整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个 2.研究对象有多种选择 刚体也必然是平衡的。
第3章力系的平衡条件与平衡方程
第3章 力系的平衡条件与平衡方程3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程如果一个平面一般力系的主矢和力系对任一点的主矩同时都等于零，物体将不会移动也不会转动，则该物体处于平衡状态。
力系平衡的充分必要条件：力系的主矢和力系对任一点的主矩都分别等于零，即 110()0i nR i nO O ii F F M M F ==⎫==⎪⎪⎬⎪==⎪⎭∑∑平衡条件的解析式：11100()0nix i niy i n O i i F F M F ===⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭∑∑∑ 或 00()0x y O F F M F ⎫=⎪⎪=⎬⎪=⎪⎭∑∑∑ 平面一般力系的平衡方程该式表明，平面一般力系的平衡条件也可叙述为：力系中各力在任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任一点的矩的代数和也等于零。
平面汇交力系：平面汇交力系对平面内任意一点的主矩都等于零，即恒满足()0OMF ≡∑物体在平面汇交力系作用下平衡方程：00x yFF ⎫=⎪⎬=⎪⎭∑∑例题3-1 图所示为悬臂式吊车结构图。
其中AB 为吊车大梁，BC 为钢索，A 处为固定铰支座，B 处为铰链约束。
已知起重电动机E 与重物的总重量为PF （因为两滑轮之间的距离很小，PF 可视为集中力作用在大梁上）梁的重力为QF 已知角度30θ=。
求：1、电动机处于任意位置时，钢索BC 所受的力和支座A 处的约束力；2、分析电动机处于什么位置时。
钢索受力最大，并确定其数值。
解：1、选择研究对象以大梁为研究对象，对其作受力分析，并建立图示坐标系。
建立平衡方程 取A 为矩心。
根据 ()0A M F =∑sin 02Q P TB lF F x F l θ-⨯-⨯+⨯=222sin 2sin 30P Q P Q P TB QlF x F F x F l F x F F l l l θ⨯+⨯+===+ 由xF =∑cos 0Ax TB F F θ-=2()cos303()2QP P Ax Q F F x F x F F l l =+=+由yF =∑sin 0Ay Q P TB F F F F θ---+=122[()]2Q P Ay Q P TB Q P Q P F F x F F F F F F l F l xF l =--+=--++-=-+由 2P TB QF x F F l =+ 可知当x l =时钢索受力最大， 其最大值为 22P TB Q P QF lF F F F l =+=+在平面力系的情形下，力矩中心应尽量选在两个或多个未知力的交点上，这样建立的力矩平衡方程中将不包含这些未知力；坐标系中坐标轴取向应尽量与多数未知力相垂直，从而这些未知力在这一坐标轴上的投影等于零，这样可减少力的平衡方程中未知力的数目。
第2章平面汇交力系与第3章平面力偶系
2. 解析法：
Fx 0 Fy 0
[例1] 图示杆AB长为l， AC=BC, =45°，F=10N。求：
A、B处反力。 解1: 几何法
O F
研究AB杆，画受力图，并
作力旳三角形
由正弦定理
FA sin 45
sin(180
F 90
1)
FA
A
10 FA 4 F 7.9N
F
1
C
45°
B
FNB
反作用。
28
[例] 画出每个构件旳受力图
C
C
C
OI
B
K
H
D
B
I
D
A
D
Q
B
O
IK
A
29
解：
C
OI K
H D
A Q
FC
FC'
C
FI
B
FT
D
FRD
B
FB
FR' D FOY
FOX O
I
A
Q
C
I
D
SI B
K
S B
NK
30
二、几种注意点 1. 明确画旳是受力图，而不是施力图； 2. 每一种力都要有施力者——不多画力； 3. 每解除一种约束都要画出相应旳约束反力—不错画 力，不漏画力； 4. 刚体系各刚体之间旳力要成对出现——不错画力； 5. 整体受力分析时不出现内力。
定理：平面汇交力系旳合力对平面内任一点旳矩，等于全
部各分力对同一点旳矩旳代数和
即：
n
mO (R )mO (Fi )
i 1
[证] 由合力投影定理有： od=ob+oc
第三章 平面力系
x'
工程力学 第三章 平面力系
[例] 已知 P=2kN 例 求SCD , RA
解 ①研究AB杆 ②画出受力图 研究 杆 ③选坐标系 ④列平衡方程
∑
RA ⋅ cosφ − SCD ⋅ cos450 = 0 X =0
Y = 0 −P − RA ⋅ sinφ + SCD ⋅ sin450 = 0 ∑
ϕ
工程力学 第三章 平面力系
=
=
=
工程力学 第三章 平面力系
M = FRd = Fd + F2d +L− Fnd = M1 + M2 +LMn 1
M = ∑ Mi = ∑Mi
i= 1
n
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0 ，有如下平衡方程
∑ Mi
=0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是： 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数 和等于零. 和等于零.
k=1
n
力在平面直角坐 标系中的解析式
FR = FRxi + FRy j
工程力学 第三章 平面力系
合力投 影定理
合力投影定理： 合力投影定理：平面汇交力系的合力在任一坐标轴 上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和 代数和。 上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。
工程力学 第三章 平面力系
∑Fi = 0
i=1
n
注意 因为力是矢量，其包括大小和方向二个元素。所以 因为力是矢量，其包括大小和方向二个元素。
用封闭力多边形可以求出二个未知元素，即可以有一个力大 封闭力多边形可以求出二个未知元素， 可以求出二个未知元素 小和方向都未知，或者有二个力各有一个未知元素（ 小和方向都未知，或者有二个力各有一个未知元素（大小或 方向）。 方向）。
理论力学(郝桐生)第三版第3单元课件
动画
力线平移定理
参见动画：平面力线平移定理
2021/10/10
5
参见动画：钳工用丝锥攻螺纹(断)
为什么如此攻螺纹会断？
参见动画：力线平移实例
2021/10/10
6
二、平面任意力系向作用面内一点简化‧主矢和主矩
参见动画：平面任意力系向平面内任一点的简化
2021/10/10 称点O为简化中心
7
平面力系向作用面内一点简化
30
例题
平面任意力系
例题5
解： 1. 取T 字形刚架为研究对象，受力分析如图。
l
60
F
B
l
D
M
l
F 60
B
y l
D M
3l
G
A
q
2021/10/10
F1
G
l MA FAy
x
A FAx 31
例题
平面任意力系
例题5
2. 按图示坐标，列写平衡方程。
y
l
l
F 60
Fx 0,
FAx F1 F sin 60 0
FR (Fx)2(Fy)2
coF sR (,i)FFRx ,
co(F sR , j)FFRy
原力系的主矢与简化中心O的位置无关
主矩： 原力系中各力对简化中心O之矩的代数和称为原力
系对点O的主矩。
n
M O M O (F1) M O (F2 ) ...... M O (Fn ) M o (Fi )
M O (FR ) FRd M O
n
而 M O M o (Fi )
n
i 1
M O (FR ) M o (Fi ) 合力矩定理得证
理论力学第3章力系平衡方程及应用
由于平面汇交力系的主矢FR 通过汇交点，若选择 汇交点作为矩心，则矩方程自然满足，因此汇交力系 只有两个独立的方程，只能解两个未知量。
Fx 0 Fy 0
3.1 平面力系平衡方程
【例3-5】 如图所示，求A ，B处的约束力。
40kN
A
45
B
C
2m
2m
3.1 平面力系平衡方程
【解】 本题可用三力平衡汇交定理确定约束力 的作用线(如图a)
（两矩式）
B
A
x
A、B 连线不垂直于x 轴
MA F 0 MB F 0 MC F 0
（三矩式） C B
A
C
A、B、C三点不
在同一条直线上
3.1 平面力系平衡方程
3.1.3 平面平行力系平衡方程
假设作用在平面oxy内的所有的力平行于轴y，则力的投 影方程∑Fx= 0 自然满足。因此平面平行力系也只有两个独 立的平衡方程，最多解两个未知量。
为铰链，中间无外力作用，为二
力构件
FB
B C
A FA
C 处为固定铰支座，有1个
方向待定的约束力，由于主动力
C 只有1个力偶，为保持系统平衡，
FC
约束力FC和FA必组成1力偶，与 主动力偶平衡。
3.1 平面力系平衡方程
E B
【解】
r
M
M 0
M FC CE 0
CE 2 r 2 l 3 2 r
【例3-1】
【解】以料车为研究对象，画出受力分析图：
F
F
d e
WC
q
a b
W
C
B
FB
A
FA
红色的表示未知力。
Fx 0 Fy 0
3.1 平面力系平衡方程
【例3-5】 如图所示，求A ，B处的约束力。
40kN
A
45
B
C
2m
2m
3.1 平面力系平衡方程
【解】 本题可用三力平衡汇交定理确定约束力 的作用线(如图a)
（两矩式）
B
A
x
A、B 连线不垂直于x 轴
MA F 0 MB F 0 MC F 0
（三矩式） C B
A
C
A、B、C三点不
在同一条直线上
3.1 平面力系平衡方程
3.1.3 平面平行力系平衡方程
假设作用在平面oxy内的所有的力平行于轴y，则力的投 影方程∑Fx= 0 自然满足。因此平面平行力系也只有两个独 立的平衡方程，最多解两个未知量。
为铰链，中间无外力作用，为二
力构件
FB
B C
A FA
C 处为固定铰支座，有1个
方向待定的约束力，由于主动力
C 只有1个力偶，为保持系统平衡，
FC
约束力FC和FA必组成1力偶，与 主动力偶平衡。
3.1 平面力系平衡方程
E B
【解】
r
M
M 0
M FC CE 0
CE 2 r 2 l 3 2 r
【例3-1】
【解】以料车为研究对象，画出受力分析图：
F
F
d e
WC
q
a b
W
C
B
FB
A
FA
红色的表示未知力。
第3章 平面力系的合成与平衡
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先 设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。
作业
习题3-5；
习题3-8。
第三章 目录
3.1 汇交力系的合成与平衡
3.2 力线的平移
3.3 平面一般力系的合成
3.4 平面一般力系的平衡方程和应用
平面力系的 第三章 合成与平衡
教学目标
了解平面力系的定义及其分类；
掌握平面力系平衡方程的求解；
理解力线平移原理，平面力系的简化。
第三章 目录
3.1 汇交力系的合成与平衡
3.2 力线的平移
3.3 平面一般力系的合成
3.4 平面一般力系的平衡方程和应用
3.5 平面平行力系的合成与平衡
• 力系的分类
• 【思考题】
1.力系的合力与主矢有什么区别？
2.力系的主矩与合力偶有什么不同？
• 主矢的确定
FR F F
2 Rx 2 Ry
F F
2 x y
2
Fx F Rx cos FR , i FR FR
FRy Fy cos FR , j FR FR
FR2
d
F4
e
F3
a
FR
FR F1 F2 F3 F4
• 1. 力多边形
c
F2
F3
d
F4
由各分力和合力构
成的多边形 abcde 称 为力多边形，这种作图
b
F1
e
a
FR
法称力多边形法则。
合力的作用线通过汇交点，大小和方向
第2章平面汇交力系与第3章平面力偶系
2- 6
合力的大小：R Rx2 Ry2
X2 Y2
方向：
tg
Ry Rx
∴ tg1 Ry tg1 Y
Rx
X
作用点： 为该力法 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系
的合力为零。 即： R 0 Rx2 Ry2 0
FC M / a
M C
FC
D
A
a
D
B
FB
FD
取T形杆ADC为研究对象
FX 0 FA cos 45 FC 0
FA 2M / a
C
M
B
a
a
C
FC
A
FA
2-34
[例4] 起重机用绕过滑轮B的钢绳吊起重为G＝20KN的重物， 试求杆AB、BC所受的力。
解：取B点为研究对象，受力分析
2-21
2. 力偶可搬家；
F1
d1
F1
F1
F1
d1
3. 力偶的表示方法。 F1
d1
=
F1
F1
d1
F1
d1
F1
F1
F1
F1
d1
=m
2-22
四、力偶系的合成和平衡 平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 设有两个力偶
d
d
m1 F1d1;
一、力偶 d
定义：作用于同一个物体上大小 相等，方向相反且作用线不重合 的两个力。
力偶的两个力F'、F所在的平面称为力偶作用面。 力偶的两个力F 、F作用线之间的距离d称为力偶臂。 作用效果：使刚体产生纯转动。
合力的大小：R Rx2 Ry2
X2 Y2
方向：
tg
Ry Rx
∴ tg1 Ry tg1 Y
Rx
X
作用点： 为该力法 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系
的合力为零。 即： R 0 Rx2 Ry2 0
FC M / a
M C
FC
D
A
a
D
B
FB
FD
取T形杆ADC为研究对象
FX 0 FA cos 45 FC 0
FA 2M / a
C
M
B
a
a
C
FC
A
FA
2-34
[例4] 起重机用绕过滑轮B的钢绳吊起重为G＝20KN的重物， 试求杆AB、BC所受的力。
解：取B点为研究对象，受力分析
2-21
2. 力偶可搬家；
F1
d1
F1
F1
F1
d1
3. 力偶的表示方法。 F1
d1
=
F1
F1
d1
F1
d1
F1
F1
F1
F1
d1
=m
2-22
四、力偶系的合成和平衡 平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 设有两个力偶
d
d
m1 F1d1;
一、力偶 d
定义：作用于同一个物体上大小 相等，方向相反且作用线不重合 的两个力。
力偶的两个力F'、F所在的平面称为力偶作用面。 力偶的两个力F 、F作用线之间的距离d称为力偶臂。 作用效果：使刚体产生纯转动。
理论力学第三章平面一般力系
再研究轮
mO(F)0
SAco R sM 0
X0
XOSAs in0
Y0 SAco sYO0
MPRXOPtg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
23
由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统——桁架
§3-7 平面简单桁架的内力分析
24
工程中的桁架结构
25
工程中的桁架结构
26
工程中的桁架结构
18
[例]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移 谐调条件来求解。
19
二、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
20
物系平衡的特点： ①物系静止 ②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个 平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 有n个物体）
平面力偶系的平衡方程
X 0
Y 0
mi 0
四、静定与静不定
独立方程数 ≧未知力数目—为静定
独立方程数 < 未知力数目—为静不定 五、物系平衡
物系平衡时，物系中每个构件都平衡， 解物系问题的方法常是：由整体 局部
单体
39
六、解题步骤与技巧
解题步骤
解题技巧
①选研究对象
① 选坐标轴最好是未知力 投影轴；
解： 研究整体 画受力图 选坐标列方程
m B 0 , Y A 2 .5 P 1 .2 0
Y0 YAR Bq a P 0
R B q 2 m a a 2 P 2 2 0 0 .8 0 1 .8 2 6 2 1 0 ( k 2 )N Y A P q R B a 2 2 0 0 . 0 8 1 2 2 ( k 4 )N 17
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y
y
Fy Fy
Fy Fy
F
Fx
Fx
x
F
Fx
Fx
x
Fx F cos;Fy F sin F cos
y Fx
F
y Fx
F
Fy Fy Fy Fy
Fx
x
Fx
x
力F的解析表达式： F Fx Fy Fxi Fy j
2.2 合力投影定理 表明合力的投影和分力的投影之间的关系
2 平面汇交力系的合力之矩定理
O
汇交力系
n
FR Fi i 1
n
M O FR M O Fi
i 1
d1
d d2
F1
FR F2
2 汇交力系的合力之矩定理
例题
已 知 : F , l1,
l2 , .
求 : MO(F)
二、汇交力系的合力之矩定理
例题
MO (F) =
FB'C
B
y x
FBA FBC
B
F2 600
300
F1
C
FCB
解：1）研究对象：滑轮B
2)画受力图：主 F2（F1=F2=P）
动力
：
F1
，
约二束力力杆：）FBA，FBC（AB，BC均为
3）选取坐标轴：Bxy
4）列平衡方程并求解：
y x
FBA FBC
B
F2 600
300
F1
Fx 0, Fy 0,
M A F1 F1 d1 40 0.3sin 30 6N m M A F2 F2 d2 50 0.2cos30 8.66N m
Ca
FDx
30
F1
b D
FDy
FBy
F2
30
B FBx
A
第二种解法：二力对A点的矩分别为
M A F1 FDy a F1 sin 30 a 40 sin 30 0.3 6N m M A F2 FBx b F2 cos30 b 50cos30 0.2 8.66N m
MO (F cos) +MO(F sin )
3.3 力偶·力偶矩
力偶的概念
F1
r1
r2
rB两个力所组成的力 系.
力偶实例
力 偶 实 例 F1
F2
力偶的作用面与力偶臂
F1 F2
力偶作用面 : 二力所在平面。
力 偶 臂: 二力作用线之间
第3章 力系简化的基础知识▲
1平面汇交力系的合成与平衡条件▲ 2力对点的矩▲▲ 3力偶·力偶矩▲▲ 4平面力偶系的合成与平衡条件 5力的等效平移▲▲
力系分类
按力的作用线所在的位置，分为平面力系和 空间力系，平面力系又可按力系中各力的相互关 系分为平面共线力系、平面汇交力系、平面平行 力系和平面任意力系。
FBA F1 cos60 F2 cos30 0 FBC F1 cos30 F2 cos60 0
•解得：FBA 0.366 P 7.32kN FBC 1.366 P 27.32kN
FAB
A
B FB'A
FB'C
∴AB 杆所受的力 FB/A 7.32kN （压力）
，b=0.2m,放置在水平面上 。给定：F1=40N,F2=50N,二 力与边长的夹角为α=30°
a b
，如图所示。试求两个力对
A点的矩。如果以A点为一
30
d1
转轴，试判断在此二力的作 F1
用下矩形板绕A点转动的方
向。
F2
30
d2
A
a
b
30
d1 F1
F2
30
d2
A
第一种解法：二力对A点的矩分别为
将式子
n
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
两边分别向坐标轴上投影，有
n
FRx F1x F2x Fnx Fx i 1
n
FRy F1y F2 y Fny Fy i 1
合力投影定理：合力在任何一轴上的投影， 等于各分力在同一轴上的投影的代数和。
i 1
i 1
称为平面汇交力系的平衡方程。
平面汇交力系有两个独立的平衡方程，可以求 解两个未知量。
例1如图所示，重力P=20KN，有钢丝绳挂在 绞车D及滑轮B上。A、B、C处为光滑铰链 连接。钢丝绳、杆和滑轮的自重不计，并忽 略摩擦和滑轮大小，试求平衡时杆AB和BC 所受的力。
FAB
A
B FB'A
Fy
i 1
FR
作用点：为该力系的汇交点。
2.4 平面汇交力系的平衡条件及应用
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系 的合力为零。即：
FR
FRx 2 FRy 2
n
2
Fx
n
2
Fy
0
i1 i1
n
n
得： Fx 0, Fy 0
2.3 平面汇交力系合成的解析法
合力的大小：FR FRx2 FRy 2 n Fx 2 n Fy 2
i1 i1
方向余弦：
n
cos FR,i
FRx FR
Fx i1 , FR
n
cos FR , j
FRy FR
合力
如果某力与一力系等效，则此力称为力系的合力。
3.1平面汇交力系的合成与平衡条件
平面汇交力系的合成
1 图解法（几何法） 2 解析法（数解法）
平面汇交力系的平衡条件及应用
FR1 F2
F1
1 图解法（几何法）
F2 FR1 F1
F4 F3
F2
F3
F1
F4
FR1 F2
F3
F1
F4
2 解析法（数解法） 2.1 力在坐标轴上的投影
3.2力对点的矩
1 定义 力对点的矩是力使物体绕点转动效果
的度量，它是一个代数量，其绝对值等 于力的大小与力臂之积，其正负可作如 下规定：力使物体绕矩心逆时针转动时 取正号，反之取负号。
力对点之矩的定义
M o (F ) Fd
F
B
力对点之矩的定义
例3-4矩形板的边长 a=0.3m
B
BC 杆所受的力 FB/C 27.32kN （压力）
C
FCB
解题技巧及注意事项
（1）解析法中投影轴常选择与未知力垂直， 最好使每个方程中只含有一个未知数。
（2）解析法解题时，未知方向的约束力其方 向可以任意假设，如果求出负值，说明力的 方向与假设相反。对于二力构件，一般先设 为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。