河南省豫北重点中学2017-2018学年高二12月联考数学(文)试题

河南省豫北重点中学2017-2018学年高二12月联考数学（文）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知数列{}n a 中111,1n n a a a +==-，则4a 等于（ ）A ．2B ．0 C.1- D ．2- 2. 命题：0,2+sin 0xx x ∀>>的否定是（ ）A ．0000,2+s in 0x x x ∃>> B ．000,2+s in 0x x x ∃>≤C. 0,2+sin 0xxx ∀>≥ D ．0,2+sin 0xxx ∀><3.若函数()2c o s f x x x=+的导函数是()f x '，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A ．32B ．52C. 22-．22+4. 在A B C∆中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，已知13s i n B s i n As i n C-=，43 0sinA sin B -=，则cos A=（ ）A ．12B ．23C.34D ．455.已知点()01,M y 是拋物线()220y p x p =>上一点，且M 到拋物线焦点的距离是M 到原点O2，则p 等于（ ）A ．12B ．1 C.32D ．26.关于x y 、的不等式组360,20,40,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩则2zx y=+的最大值是（ ）A ．3B ．5 C. 7 D ．9 7. 若“2340x x -->”是“223100x a x a-->”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．63,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．42,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.(]6,3,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．(]4,2,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭8. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若58415,2S a a ==，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A ．21n n + B ．211n n -+ C.321n n + D ．221n n ++9.若曲线()xb f x aex=+在()()1,1f 处的切线方程为()21y e x =+，则a b =（ ）A ．1B ．3 C.e D ．3e 10.设F 是双曲线()2222:10,0x y Ca b ab-=>>的一个焦点，若点P 的坐标为()0,2b ，线段P F的中点在C 上，则C 的离心率为（ ）A ．11.已知点2P ⎛ ⎝⎭是椭圆()22211x ya a+=>上的点，,A B 是椭圆的左、右两个顶点，则PAB∆的面积为（ ）A ．2B 4C.12D ．112. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，3nn a =，若对任意的()*3,432n n N S n λ⎛⎫∈+≥- ⎪⎝⎭恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．8243λ≥B ．7243λ≥C. 881λ≥D ．781λ≥第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数33y x x=-的单调增区间为 ．14.设0a >，则4a a a++的最小值为 ．15．若等比数列{}n a 的各项都是正数，且564716a a a a +=，则21222l o g l o g l o g a a a +++= ． 16. 已知抛物线24y x=的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,MN两点，O 是坐标原点.若M O N ∆，则M N =．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知p :方程2214xymm +=-表示双曲线；q :方程22214x ym+=表示焦点在x 轴上的椭圆.若p q∨为真命题，pq∧为假命题，求实数m 的取值范围.18.已知,,a b c 分别为A B C ∆三个内角,,A B C 的对边，()co s a C Cb c +=+.（1）求角A ； （2）若5a=，求A B C ∆的周长的最大值.19. 设双曲线M 的方程为2219xy-=.（1）求M 的实轴长、虚轴长及焦距； （2）若抛物线()2:20Nyp x p =>的焦点为双曲线M 的右顶点，且直线()0x m m =>与抛物线N 交于A B 、两点，若O A O B⊥(O 为坐标原点），求m 的值.20.在等差数列{}n a 中，3785,28a a a =+=，数列{}nb 的前n 项和为n S ，且()413nn S b =-.（1）求n a 及n b ； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n T .21. 已知椭圆()2222:10x y C a b ab+=>>的离心率为12，以短轴的一个端点与两个焦点为顶点C 的右焦点作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 相较于A B 、两点，线段A B 的中点为P . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P 垂直于A B 的直线与x 轴交于点1,07D ⎛⎫⎪⎝⎭，求k 的值.22.已知函数()ln 1a f x xx =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若对()()2310,11x a xfx a xx --∀>≥--+恒成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DBABB 6-10: CDADB 11、12：DA二、填空题13.11,33⎛⎫-⎪⎝⎭14. 5 15. 15 16. 5三、解答题17. 解：p 为真命题时，()40,04m mm -<<<，q为真命题时，24m >，2m>或2m <-，∵p q ∨为真命题，p q∧为假命题，∴p与q —真一假，当p真，q 假时，02m <≤，当p 假，q 真时，2m <-或4m≥，∴()(][),20,24,m ∈-∞-⋃⋃+∞.18.解：（1）由已知及正弦定理得sin sin sin sin A co s C A C B C+=+，∴()s inc o s in s in s ins in A C A C ACC+=++，co s 1A A -=，即()1sin 302A -︒=，∴3030A -︒=︒，从而60A =︒.（2）由余弦定理得2222a b c b cco sA=-+，∴()222253bcb c b c b c=+-=+-，又2332b c b c +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()22134bc b c b c +-≥+，即()21254b c ≥+，∴10b c +≤，从而15a b c ++≤，∴A B C ∆的周长的最大值为15. 19. 解：（1）∵222229,1,10a bcab===+=，∴3,1,ab c ===.∴M 的实轴长26a=，虚轴长22b=，焦距2c=（2）∵M 的右顶点为()3,0， ∴32p =，∴6p =，N 的方程为212y x=.当xm=时，y=，∴可设((,,A m B m ，∵O AO B⊥，∴2120O A O Bmm ⋅=-=，∵0m >，∴12m =.20.解：（1）∵1125,21328a d a d +=⎧⎨+=⎩∴11,1,2a d =⎧⎨==⎩∴()11221na n n =+-⨯=-.当1n =时，()111413b S b ==-，∴14b =. 当2n ≥时，()()11441133nn n nn b S S b b --=-=---，∴14nn b b -=，∴{}n b 是首项为4，公比为4的等比数列，∴4nn b =.（2）∵()214nn n a b n ⋅=-⋅，∴()2343454214nnT n =+⨯+⨯++-⨯，∴()()2314434234214nn nT n n +=+⨯++-⨯+-⨯，∴()()231342444214nn n T n +-=++++--⨯()21144456204212441433nn n n n ++-⨯-=+⨯+-⨯=⨯--，∴16520499n nn T +-=⨯+.21.解:（1）设焦距为2c，则222,1,2ca b c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,1ab c ===，∴椭圆C 的方程为22143xy+=.（2）设过椭圆C 的右焦点的直线l 的方程为()1y k x =-，将其代入22143xy+=中得，()22223484120kxk x k+-+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则221212228412,3434kk x x x x kk-+==++，∴()312122286223434kk y y k x x k k kk-+=+-=-=++，∵P 为线段A B 的中点，∴点P 的坐标为22243,3434k k kk ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又直线P D 的斜率为1k-，直线P D 的方程为2223143434kkyx kk k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭，令0y=得，2234kxk=+，由点D 的坐标为22,034kk ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则221=347kk+，解得1k =±.22.解:（1）()f x 定义域为()0,+∞，()()()()22221111xa x af x xx x x +++'=--=-++，当202a +-≤即2a≥-时，()()2210,0x a x f x '+++><，当2a<-，()222440,42a aa a ∆=+-=+≤-≤<-时，()()2210,0x a x f x '+++><，当4a<-时，120,022x x =>=>，10x x <<或2x x >时，()0f x '<，12x x x <<时，()0f x '>，∴当4a≥-时，()f x 的单调减区间为()0,+∞，当4a<-时，()f x 的单调减区间为02⎛ ⎪⎝⎭与2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭，()f x 的单调增区间为22⎛ ⎝⎭.（2）()()23111x a f x a x x --≥--+，()3ln 1111aa x a x xx x -≥-++-++，()311ln 1ax x x≥+-+，令()()31ln 11g x x x x=-++，令()ln 1h x x x =-+，则()111x h x xx-'=-=，∴()0,1x ∈时，()0h x '>，()1,x ∈+∞时，()0h x '<，∴()h x 在(]0,1上是减函数，在[)1,+∞上是减函数，∴()()10h x h ≤=，∴0x>且0x≠时，()1,1g x x<=时，()1g x =，∴()()m a x 11g x g ==，∴1a≥，即[)1,a ∈+∞.。