金版学案高中数学(人教A版,必修一)同步辅导与检测课件：1.3.1《函数的单调性》

即f(x1)＞f(x2)， 因此函数y＝ 1 在(－∞，0)上为减函数．
x
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利用函数的图象求函数的单调性
某地一天内的气温Q(t)(单位：℃)与时刻t(单位： 小时)之间的关系如下图所示，研究函数Q(t)在定义域内的单 调性，写出其单调区间和最大值．
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集合与函数概念
1.3 函数的基本性质 1.3.1 函数的单调性
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1．理解函数的单调性，会用定义法证明函数的单调 性．
2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性． 3．会判断常见函数如正比例函数、反比例函数、一 次函数、二次函数的单调性．
解析：由2a－1>2－a解得：a>1.故实数a的取值范围 是：(1，＋∞) .
答案： (1，＋∞)
3．若函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数
a的取值范围是_(_－__∞_，__0_)_．
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5．函数f(x)＝x2＋2x＋11的单调增区间是_[－__1_，__＋__∞__) ．
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思考应用 1．如果f(x)在区间D上是单调函数，则函数f(x)是增函
数(减函数)的说法正确吗？
解析：不正确．函数的单调性是函数的局部性质，所 以必须说明函数在哪个区间上是增(减)函数．
函数单调性的应用
已知函数f(x)在[－2,2]上单调递增，若f(1－m) ＜f(m)．求实数m的取值范围．
分析：因为f(x)在[－2,2]上单调递增，所以当－2≤x1 ＜x2≤2时，总有f(x1)＜f(x2)，反之也成立，即若f(x1)＜f(x2)， 则－2≤x1＜x2≤2.
解析：∵f(1－m)＜f(m)，
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一、选择填空题
1．使一次函数f(x)＝kx＋b为增函数的一个条件是( C )
A．k＜0
B．k≤0
C．k＞0
D．k≥0
2．下列说法正确的是( D )
A．反比例函数y＝ k 在区间(0，＋∞)上是减函数 x
B．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上
C．反比例函数y＝
－2≤m≤2 ∴－2≤1－m≤2
1－m＜m
，解得：12＜m≤2.
点评：由单调函数的函数值的不等关系转化为自变
量式子． 金品质•高追求 我们让你更放心！
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跟踪训练
3．已知函数f(x)是R上的减函数，若a＋b<0，则下列正 确的是( )
A．f(a)＋f(b)<－[f(a)＋f(b)]
例如：若f(x)＝2x－1，能证明出函数f(x)在R上为增函 数吗？___能_____.
2．函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质， 是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变 量x1，x2；当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)(或f(x1)＞f(x2))．
例如：f(x)是R上的单调函数，当f(3)＞f(2)，则y＝f(x) 是R上的单调___递__增___函数；若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R上 的单调增函数吗？___不__是___.
4．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一 般步骤：
(1)任取x1，x2∈D，且x1＜x2； (2)作差f(x1)－f(x2)； (3)变形(通常是因式分解和配方)； (4)定号(即判断差f(x1)－f(x2)的正负)； (5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．
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答案：在[0,4]上单调递减，在[4,12]上单调递增，在
[12,24]上单调递减；最大值是4.
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◆数学•必修1•(配人教A版)◆ 跟踪训练 2．函数f(x)图象如下，指出函数的递增区间．
[4,14] 金品质•高追求 我们让你更放心！
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3．若函数y＝ f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函 数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间 和单调减区间统称为单调区间．
4．若函数y＝f(x)是R上的增函数，当a＞b时，则 f(a)__＞____f(b); 若函数y＝f(x)是R上的减函数，当a＞b时，则 f(a)_____＜___f(b)．
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数．
证明函数的单调性
求证：函数f(x)＝ x ＋a在(0，＋∞)上是增函
证明：对于任意x1，x2满足x1＞x2＞0，有 f(x1)－f(x2)＝ x1－ x2 ＝ x1－ x2 x1＋ x2
x1＋ x2 ＝ xx11－＋x2x2. 因为 x1＋ x2＞0，x1－x2＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0. ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
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自测自评
1．若函数y＝(2k＋1)x＋b是R上的增函数，则( A )
A．k>－
1 2
B．k<－
1 2
C．b>0
D．b<0
2．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，若f(2a－1)>f(2－ a)，则实数a的取值范围是：______.
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跟踪训练
1．求证：函数y＝
1 x
在(－∞，0)上为减函数．
证明：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝ x11－x12＝x2x－1x2x1， 因为x2－x1＞0，x1x2＞0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，
－x－122＋41x≥0
即y＝
x－212－14x＜0
.
作出函数的图象，如图．
由图象可知，函数的单调增区间是0，12， 单调减区间是(－∞，0)和12，＋∞.
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2 x
是R上的减函数
D．一次函数f(x)＝－2x＋b的R上的减函数
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1．增(减)函数定义．
2．单调性，单调区间定义．
3．判断函数单调性的方法：方法一：画图观察；方法二： 根据实际意义确定；方法三：利用定义证明．
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基础梳理
1．如果函数f(x)对区间D内的任意x1，x2，当x1＜x2时 都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在D内是增函数；当x1＜x2时都有f(x1) ＞f(x2)，则f(x)在D内是减函数．
.
作函数图象，如图所示，在
(－∞，－1)和(0,1)上，函数是增
函数；在[－1,0]和[1，＋∞)上，
函数是减函数．
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源自文库跟踪训练
4．求函数y＝|x|·(1－x)的单调区间．
解析：y＝x－1x－1x－xx≥x0＜ 0
答案：D 金品质•高追求 我们让你更放心！
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求函数的单调区间
求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的单调区间．
解析：当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
当x＜0时，f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.
即f(x)＝
－x－12＋4x≥0 －x＋12＋4x＜0
B. f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)>－[f(a)＋f(b)]
D．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
解析：由a＋b<0得：a<－b，∴f(a)>f(－b)；
又由a＋b<0得： b<－a，∴f(b)>f(－a)．
故f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．选D.
2．函数f(x)在区间D上是增(减)函数，对于任意x1， x2∈D，则有“若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)(f(x1)＞f(x2))”反之是否 也成立呢？
解 析 ： 成 立 ． 即 函 数 f(x) 在 D 上 是 增 ( 减 ) 函 数 ， 对 于 ∀x1，x2∈D，若f(x1)＜f(x2)(f(x1)＞f(x2))，则x1＜x2，这个性 质从函数单调性的图形定义中能形象地体现出来．
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祝
您
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