四星级高中解析几何初步导学案(含答案)
2021学年高中数学第7章解析几何初步章末复习学案湘教版必修3
第7章解析几何初步章末复习1．点的坐标(1)两点间距离公式：两点P 1(x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)间的距离|PQ |＝〔x 2－x 1〕2＋〔y 2－y 1〕2. (2)定比分点坐标公式：分两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)所构成的有向线段AB →为定比λ的分点的坐标为(x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ)． (3)三角形重心坐标公式：以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)为顶点的三角形的重心坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．(4)三角形面积的公式：以向量(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为两边的三角形的面积S ＝12|x 1y 2－x 2y 1|.2．直线与方程 (1)直线法向量的应用①直线垂直于向量(A ，B )(法向量)⇔直线方程Ax ＋By ＋C ＝0(C 待定) ②两条直线平行或重合⇔它们的法向量平行 两条直线相交⇔它们的法向量不平行 ③两直线垂直⇔它们的法向量垂直(内积为0) (2)直线方程的几种形式(3)斜率公式和点到直线的距离公式 ①k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)②d ＝|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B 23．圆与方程(1)标准方程：以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的方程： (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．其中圆心坐标(－D 2，－E2)，r ＝D 2＋E 2－4F2(3)直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系决定： 相离⇔d >r ； 相交⇔d <r ； 相切⇔d ＝r .(4)圆与圆的位置关系由两圆的半径R ，r 及圆心距d 决定，有如下关系：(不妨设R ≥r ) 外离⇔d >R ＋r ； 外切⇔d ＝R ＋r ； 相交⇔R －r <d <R ＋r ； 内切⇔d ＝R －r >0； 内含⇔d <R －r ； 同心⇔d ＝0. 4．空间两点间的距离空间两点P (x 1，y 1，z 1)，Q (x 2，y 2，z 2)间的距离： |PQ |＝〔x 2－x 1〕2＋〔y 2－y 1〕2＋〔z 2－z 1〕2.题型一 直线的方程(1)求直线方程的主要方法是待定系数法．要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件是否具备时要另行讨论条件不满足的情况．(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单．例1 过点P (－1，0)，Q (0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．解 (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1，x ＝0，它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，显然斜率不为0，设其斜率为k ，那么两条直线的方程分别为y ＝k (x ＋1)，y ＝kx ＋2.令y ＝0，分别得x ＝－1，x ＝－2k.由题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k ＝1，即k ＝1.那么直线的方程为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2， 即x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0，综上可知，所求的直线方程为x ＝－1，x ＝0，或x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0. 跟踪演练1 将直线的方程x －2y ＋6＝0：(1)化成斜截式，并指出它的斜率与在y 轴上的截距； (2)化成截距式，并指出它在x 轴、y 轴上的截距．解 (1)将原方程移项得2y ＝x ＋6，两边同除以2，得斜截式y ＝12x ＋3，因此它的斜率k ＝12，在y 轴上的截距为3.(2)将原方程移项得x －2y ＝－6，两边同除以－6，得截距式x －6＋y3＝1.由方程可知，直线在x 轴、y 轴上的截距分别为－6，3. 题型二 直线的位置关系两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考察两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系．解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以防止讨论斜率不存在的情况．例2 两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足以下条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直； (2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0， 即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a ，∴l 1的斜率也存在，a b ＝1－a ，即b ＝a1－a .故l 1和l 2的方程可分别表示为l 1∶(a －1)x ＋y ＋4〔a －1〕a＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋a1－a＝0. ∵原点到l 1与l 2的距离相等，∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，解得a ＝2或a ＝23.因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.跟踪演练2 直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得： (1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合． 解 (1)由1×3≠m (m －2)， 即m 2－2m －3≠0， 解得m ≠－1且m ≠3.故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交． (2)当1·(m －2)＋m ·3＝0， 即m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或(m ×2m ≠3×6)，即m ＝－1时，l 1∥l 2.(4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)， 即m ＝3时，l 1与l 2重合．题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系是高考考察的重点，切线问题更是重中之重．判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．2．解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题．例3 如下图，在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝ 4.(1)假设直线l 过点A (4，0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．解 (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－〔3〕2d ＝|1－k 〔－3－4〕|1＋k 2，从而k (24kk ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，那么直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k 〔－3－a 〕－b |1＋k2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k 〔4－a 〕－b 1＋1k 2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝ －5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5. 因为k 的取值范围有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验点P 1和P 2满足题目条件．跟踪演练3 直线l 过点P (1，1)并与直线l 1：x －y ＋3＝0和l 2：2x ＋y －6＝0分别交于点A ，B ，假设线段AB 被点P 平分，求：(1)直线l 的方程；(2)以原点O 为圆心且被l 截得的弦长为855的圆的方程．解 (1)依题意可设A (m ，n )，B (2－m ，2－n )，那么⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＋3＝0，2〔2－m 〕＋〔2－n 〕－6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝－3，2m ＋n ＝0， 解得A (－1，2)．又l 过点P (1，1)，易得直线AB 的方程为x ＋2y －3＝0， 即直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.(2)设圆的半径长为r ，那么r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4552，其中d 为弦心距，d ＝35，可得r 2＝5，故所求圆的方程为x 2＋y 2＝5. 题型四 与圆有关的最值问题在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围．例4 圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆C 上任一点． (1)求y －2x －1的最大值与最小值； (2)求x －2y 的最大值与最小值． 解(1)显然y －2x －1可以看作是点 P (x ，y )与点Q (1，2)连线的斜率．令y －2x －1＝k ，如下图，那么其最大、最小值分别是过点Q (1，2)的圆C 的两条切线的斜率． 对上式整理得kx －y －k ＋2＝0， ∴|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1， ∴k ＝3±34.故y －2x －1的最大值是3＋34，最小值是3－34. (2)令u ＝x －2y ，那么u 可视为一组平行线，当直线和圆C 有公共点时，u 的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．当直线与圆相切时，有|－2－u |5＝1，解得u ＝－2±5，故x －2y 的最大值是－2＋5，最小值是－2－ 5.跟踪演练4 当曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，512 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，34 C.⎝⎛⎦⎥⎤512，34D.⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞ 答案 C解析 曲线y ＝1＋4－x 2是以(0，1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y ＝k (x －2)＋4是过定点(2，4)的直线．设切线PC 的斜率为k 0，那么切线PC 的方程为y ＝k 0(x －2)＋4，圆心(0，1)到直线PC 的距离等于半径2，即|1＋2k 0－4|1＋k 20＝2，k 0＝512. 直线PA 的斜率为k 1＝34.所以，实数k 的范围是512<k ≤34.题型五 分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的根本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为局部问题来解决，化成局部问题后，从而增加了题设的条件．在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时、用斜率表示直线方程时都要分类讨论．例5 直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l 的方程．解 圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r ＝5.①当直线l 的斜率不存在时，那么l 的方程为x ＝－4，易求得直线与圆的两交点分别为(－4，2)，(－4，6)，显然弦长为8，故直线x ＝－4符合题意． ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋3＝k (x ＋4)， 即kx －y ＋4k －3＝0.由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫|－k ＋2＋4k －3|1＋k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝52， 解得k ＝－43，即所求直线方程为4x ＋3y ＋25＝0.综上所述，满足题设的l 方程为x ＝－4或4x ＋3y ＋25＝0.跟踪演练5 过点A (4，－3)作圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线方程． 解 ∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， ∴点A 在圆外．①假设所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ，那么切线方程为y ＋3＝k (x －4)． 因为圆心C (3，1)到切线的距离等于半径1，所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，解得k ＝－158..下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。
国家级示范高中,江苏省四星级学校泗阳中学导学案--圆的复习课(有详细解答)
圆的复习课【典例练讲】例1.已知圆C ：2286210x y x y ++-+=与直线y mx =交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，求证OQ OP ⋅为定值。
例 2.已知点(),M x y 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应该满足什么关系？并且形成什么样的曲线？例3. 已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成的两段弧长之比为3：1(1）当圆心到直线x-2y=0 (2）求圆心到直线x-2y=0距离最近的圆的方程。
例4.已知圆C ：,04y 4x 2y x 22=-+-+是否存在斜率为1的直线l ，使l 以被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。
【课后检测】1.若过点A(4,0)的直线l 与曲线(x-2)2+y 2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为2．过P （1，1）作圆224x y +=的弦AB ，若12AP BA =-，则直线AB 的方程是3．直线l 与圆x 2+y 2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A 、B 两点，弦AB 的中点为（0，1），则直线l的方程为_________________________4.与圆(x-2)2+(y-2)2=2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有___________条5．设集合}4y x |)y ,x {(M 22≤+=,)}0r (r )1y ()1x (|)y ,x {(N 222>≤-+-=.当N N M =⋂时，实数r 的取值范围是_________________6．求经过A(0,5)，且与直线x-3y=0和3x+y=0都相切的圆的方程．7.已知直线x+3y-7=0和kx-y-2=0与x 轴、y 轴围成的四边形有外接圆，求k 的取值8.已知圆C ：0m y 6x y x 22=+-++与直线x+2y-3=0交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OQ OP ⊥，求实数m 的值。
平面解析几何初步(日照实验高中导学案).doc
日照实验高中2007级导学案……平面解析几何初步一、课标要求理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握斜率的计算公式，会判定两条直线的位置关系。
掌握直线方程的几种形式。
掌握两点间、点到直线的距离公式，会求两平行线间的距离。
掌握圆的标准方程与一般方程。
能够判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
二、知识再现：1、直线(1)直线的斜率与倾斜角直线的斜率：已知直线上两点户(也况),。
(*2，%)，直线PQ的斜率为直线的倾斜角：与所成的角叫做这条直线的倾斜角。
(2)直线方程的几种形式：点斜式：直线/经过点*31，为)，当直线斜率不存在时，直线方程为；当斜率为k时，直线方程为,该方程叫做直线的点斜式方程.斜截式：方程叫做直线的斜截式方程，其中叫做直线在 __________________ 上的截距.两点式：经过两点*(也,力)，P2(x2,y2~) (%] x2)的直线的两点式方程为.截距式：方程- + ^ = l(ab^Q)中，。
称为直线在—上的截距，人称为直线在—上a b的截距.一般式：直线方程的一般式Ax + By + C = 0中，A, 3满足条件,当A = 0,B ? 0时，方程表示垂直于的直线，当5 = 0, 0时，方程表示垂直于的直线.(3)两条直线的位置关系平行：若已知直线/] : + 3]丫 + G = 0与直线‘2 :人2工+32丫 +。
2 =0Z] 〃/2 = ______________________________________Z1与重合0 _________________________________________若已知直线/| : y = k x x + b{,l2 : y = k2x + b2,那么匕〃/2 = __________________________________匕与，2重合0 __________________________________垂直：满足直线:A l x + B l y + C l = 0与直线l2:A2x + B2y + C2 = 0垂直的条件是直线l x'.y = 3 + b［」2 '■ y = *2》+ “2垂直的条件是2、圆(1)圆的标准方程以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程： .圆心在原点(0,0),半径为r时，圆的方程则为：；(2)圆的一般方程形如x2+y2 + Dx + Ey + F = 0的都表示圆吗？当D2 + E2-4F> 0时，方程表示以为圆心,为半径的圆；当D2 + E2-4F = 0时，方程表示；当D2 + E2-4F< 0 时，；圆的一般方程：•3、直线与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系有、、o(2)设圆心到直线的距离为d ,圆半径为r,当________ 时，直线与圆相离，当_______ 时，直线与圆相切，当_____ 时，直线与圆相交.4、圆与圆的位置关系(1)圆与圆之间有，, , , ___________________________________ 五种位置关系.(2)设两圆的半径分别为*，弓，圆心距为d ,当时，两圆外离，当时,两圆外切，当时，两圆相交，当时，两圆内切，当时,两圆内含.5、距离(1)平面上两点P^x l,y l),P2(x2,y2)之间的距离公式为0 =.(2)中点坐标公式：对于平面上两点*(如弟,旦32，力)，线段*旦的中点是M(x0,y0),则•(3)点P(x0,y0)到直线Z：Ax + By + C=。
2021人教版第四章几何图形初步 精品导学案(全章汇总)(6)
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直线、射线、线段【学习目标】1.理解和掌握两点之间线段最短的事实,并能应用于解决实际问题。
2.知道两点之间的距离的定义。
3. 重点:理解认识线段的性质“两点之间，线段最短”并能应用于解决实际问题。
难点:两点间距离定义的理解。
【自主学习】小狗应选哪一条路最近？这说明了什么？1.线段基本性质：两点的所有连线中，。
简述为：之间，最短。
2.两点之间的距离的定义：连接两点之间的，叫做这两点的距离。
3.如图，从小华家去学校共有4条路，第条路最近，理由是。
4.锯木料时，一般先在木板上画出两点，然后过这两点弹出一条墨线，这是利用了_______________________的原理。
【合作探究】例1.如图所示，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一点A和B表示工厂，要在铁路旁建一货站，使它到两厂距离之和最短，问这个货站应建在何处.。
理由是：______ _______.。
例2.如图所示，一只昆虫要沿正方体表面从正方体的一个顶点A爬到顶点1B哪条路线短？如果从正方体的一个顶点A爬到相距它最远的另一个顶点1C，哪条路线最短？画图说明．「分析」把正方体的表面展开，转化为平面图形，根据平面上两点间线段最短，找到最短路线．【达标测试】1、若点B在直线AC上，AB=12，BC=7，则A，C两点间的距离是（）目的地Ａ、5 Ｂ、19 Ｃ、5或19 Ｄ、不能确定2、如图，线段AB=6cm，BC=31AB，D是BC的中点．则AD= cm。
3、下列说法中，正确的是（）A、连接两点的直线叫做两点间的距离B、连接两点的射线叫做两点间的距离C、连接两点的线段叫两点间的距离D、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离4．如图，学生要去博物馆参观，从学校A处到博物馆B处的路径共有⑴、⑵、⑶三条，为了节约时间，尽快从A处赶到B处，假设行走的速度不变，你认为应该走第条线路（只填序号）最快，理由是5.如图所示，B处有一只蚂蚁，D处有一只虫子，那么蚂蚁要到虫子那里选择最近的路为，理由是。
【精品】高中数学 必修2_《解析几何初步》全章复习与巩固 -讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)基础
《解析几何初步》全章复习与巩固【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.【知识网络】【要点梳理】要点一：直线方程的几种形式（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法． 常用的直线方程有： ①00()y y k x x -=-； ②y kx b =+；③220(0)Ax By C A B ++=+≠；④111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(λ为参数)．要点二：两条直线的位置关系 1．特殊情况下的两直线平行与垂直．(1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为090，互相平行；(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为090），另一条直线的倾斜角为00时，两直线互相垂直。
2．斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则1l ∥2l ⇔212121C C B B A A ≠= 。
高三数学以解析几何为背景的应用题预习导学案
微专题以解析几何为背景的应用题例1.如图，为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC为河岸)，tan ∠BCO＝43.(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？变式：如图，一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°36≈，33 5.7446≈）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现．数学应用问题是江苏数学高考的突出亮点，常以中档题(17或18题)的形式呈现，具有良好的区分度，是高考的重点与热点．本专题集中介绍以解析几何为载体的应用问题，常见的处理手段是结合实际问题，利用图形中的几何关系，通过解析法建立数学模型，应用相关数学知识予以解决.例2.某城市为了美化旅游景区，决定在夹角为45的两条道路EB、EF 之间挖一个半椭圆形状的人工湖，如图所示，AB=40米，O 为AB 的中点，OD 为椭圆的半长轴，椭圆的一个焦点P 在OD 上，在椭圆形区域内建造三角形游艇MNP，其中M,N 在椭圆上，且MN 平行于AB 交OD 于G，P 在线段OG 上。
（1）若OE=30米，为了不破坏道路EF，求椭圆半长轴长的最大值；（2）若椭圆的离心率为22，当线段PG 长为何值时，游船区域MNP 的面积最大？例3.如图所示，有一矩形钢板ABCD 缺损了一角(图中阴影部分)，边缘线OM 上每一点到点D 的距离都等于它到边AB 的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，已知AB＝4米，AD ＝2米．(1)如图所示建立直角坐标系．求边缘线OM 的轨迹方程；(2)①设点P(t，m)为边缘线OM 上的一个动点，试求出点P 处切线EF 的方程(用t 表示)．②求AF 的值，使截去的△DEF 的面积最小．变式：为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端(如图)，渠宽为4m ，渠深为2m .（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行(不改变渠宽)，问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？(2)考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖(不能填土)成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行(不改变渠深)，要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．。
高中数学 第2章《解析几何初步》2直线的方程(1)导学案 北师大版必修2(1)
陕西省榆林育才中学高中数学 第2章《解析几何初步》2直线的方程（1）导学案 北师大版必修2【学习目标】1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程.【重点难点】重点：理解直线的点斜式、斜截式方程.难点：掌握直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围.【自主学习】1.直线方程的点斜式：如果一条直线的方程是由直线上的一点)y ,x (P 00和斜率为k （一个方向）所确定，那么这个直线方程称为直线方程的 式.其形式为 .当直线与x 轴垂直时，斜率k 不存在.且直线经过点)y ,x (P 00，则它的特点是：直线上任一点的横坐标为 ，所以直线的方程为 .2．直线方程的斜截式：特别地，当直线经过点P(0，b),其斜率为k 时，由点斜式可得该直线方程为 .我们称它为直线方程的 式. b 为直线在y 轴上的 .4.求满足下列条件的直线方程：（1）经过点)5,2(A ，斜率是4；（2）斜率是3，在y 轴上的截距是3 ；（3）过点P(1,5)，且与x 轴垂直.【课堂检测】1.过点(1,2)且与x 轴平行的直线方程是_____________.2.过点(1,2)且与x 轴垂直的直线方程是_____________.3.有下列说法：其中正确的序号是_________.①方程))(2(R k x k y ∈-=表示过点)0,2(-的所有直线；②方程))(2(R k x k y ∈-=表示过点)0,2(的所有直线；③方程))(2(R k x k y ∈-=表示过点)0,2(且不垂直与x 轴的所有直线；④方程))(2(R k x k y ∈-=表示过点)0,2(且除去x 轴的所有直线；【课堂小结】。
高中数学 7.1《解析几何初步2》学案 湘教版必修3
“解析几何初步”（第二课时）一、高考《考试大纲》的要求：① 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.② 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系.③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.④ 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.二、基础知识填空：1.确定圆的条件是：一个圆的________位置和________一旦给定，这圆就被确定下来了。
2.圆的标准方程：圆心为C （a,b ）,半径为r 的圆的标准方程是_____________________________.3.圆的一般方程：____________________________,其圆心坐标为_______,半径为______________.4.直线与圆的位置关系:设圆222r )b y ()a x (=-+-的圆心C （a,b ）到直线ｌ:Ax+By+C=0的距离为d.则当______时，直线与圆相离；当______时，直线与圆相切；当______时，直线与圆相交。
5.圆与圆的位置关系：设圆C 1：212121r )y y ()x x (=-+-和圆C 2：222222r )y y ()x x (=-+-的圆心距为d=|C 1C 2|.则当___________时，两圆相离；则当___________时，两圆外切；则当___________时，两圆相交；则当___________时，两圆内切；则当___________时，两圆内含。
三、例题选讲：例1． (2006重庆文)以点(2，－1)为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为( )（A ）22(2)(1)3x y -++= （B ）22(2)(1)3x y ++-=（C ）22(2)(1)9x y -++= （D ）9)1()2(22=-++y x例2．（2004全国卷Ⅲ文、理）圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A.023=-+y x B.043=-+y x C.043=+-y x D.023=+-y x例3．（2004湖北文）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的公切线有且仅有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条例4．（2006天津理）设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为a =____________．四、基础训练：1．（2006江苏）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是( )（A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝02．（2006全国Ⅰ卷文）从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )A ．12 B ．35 C 2．03.（2004上海文、理）圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C 的方程为 .4．（2005湖南文）设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB的垂直平分线方程是 .五、巩固练习：1.(2007安徽文)若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22,则a 的值为（ ）(A)-2或2 (B)2321或 (C)2或0 (D)-2或02.（2007上海文）圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ） Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y x Ｄ．2)2()3(22=++-y x3.(2004天津理)若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A.03=--y xB.032=-+y xC.01=-+y xD.052=--y x4．（2002春招北京理）圆2x 2+2y 2=1与直线xsin θ+y –1=0 (θ∈R, θ≠π/2+k π, k ∈Z)的位置关系是（ ）（A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）不能确定5、（2006湖北文）若直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .6.（2007天津文、理）已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线AB 的方程是 ．7.（2002上海文、理）过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是8、（2006广东）设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,），该平面上动点P 满足•4PA PB = ,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点.求: (I)求点A B 、的坐标； (II)求动点Q 的轨迹方程.“解析几何初步”（第二课时）-----圆与圆的方程（参考答案）三、例题选讲：例1. C 例2. D 例3. B 例4. 0四、基础训练：1.C 2 .B 3.5)3()2(22=++-y x 4. 3x-2y-3=0五、巩固练习：1---4. CCAC 5. )34,0( 6. x+3y=0 7. 348.。
四星级高中解析几何初步导学案
解析几何2.1. 1直线的斜率学习目标1. 理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式；2. 理解直线的倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围；3. 掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系.学习过程一学生活动1. 确定直线位置的要素有哪些？2. 直线的倾斜程度如何来刻画？二建构知识1. 直线的斜率的定义：(1)已知两点A x1?y1、B x2, y2.如果x1 x2，那么直线AB的斜率为k ；如果x1 x2，那么直线AB的斜率____________ .(2)对于与x轴不垂直的直线AB，它的斜率也可以看作是纵坐标的增量k横坐标的增量---------- --------------- .注意：直线斜率公式与两点在直线上的位置及顺序无关.2. 倾斜角的定义：在平面直角坐标系中， ______________________________________________________________________________________ 便是直线的倾斜角.直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ______________ .因此该定义也可看作是一个分类定义.3 .倾斜角的范围是4. 直线的斜率与倾斜角的关系：当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角之间满足___________________________ 当直线与x轴垂直时，直线的斜率k _________ ，但此时倾斜角为__________ .5 .斜率与倾斜角之间的变化规律：当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率 __________ ；且均为正；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率 __________ ；且均为负；并规定tan _______________ ；但我们不能错误的认为倾斜角越大，斜率越大.注意：任何直线都有倾斜角且是唯一的，但不是任何直线都有斜率. 三知识运用例题例1如图，直线11, 12, 13,都经过点P (3, 2),又11, 12, 13分别经过点Q i (- 2,— 1) , Q 2 (4,— 2), Q 3 (-3,2),试计算直线11, 12, |3的斜率.二变：若过点A 2m , 3、B 2 , 1的直线的倾斜角为 90 ,求实数m 的值.经过点( (1) 3 ；43, 2)画直线，使直线的斜率分别为:(2)-.5例3 证明三点A (— 2, 12), B (1, 3), C (4, — 6)在同一条直线上.变式 已知两点 A (1, — 1), B (3 , 3),点C (5 , a )在直线 AB 上,求实数a 的值.已知直线经过点 P (a , 1), Q (3, — 3),求直线PQ 的斜率.例5已知过点A 2m , 3B 2 , 1的直线的倾斜角为 45 ,求实数m 的值.一变：若过点A 2m , 3、B 2 ,1的直线的倾斜角为135 ,求实数m 的值.三变：实数m 为何值时，经过两点 A 2m , 3、B 2, 1的直线的倾斜角为钝角?例6 过两点(— J3 , 1), (0, b )的直线I 的倾斜角介于30°与60°之间, 求实数b 的取值范围.已知两点A (m , 3), B (2 , 3+2 ,3 )，直线I 的斜率是——，且I 的倾斜角是31直线AB 倾斜角的—，求m 的值.3例8 设点A(2, 3), B ( 3 , 2),直线I 过点P(1 , 2),且与线段 AB 相交,求直线I 的斜率的取值范围.巩固练习1•分别求经过下列两点的直线的斜率.(1) 2, 3 , 4 , 5 ; (2) 2, 3 , 2 , 1 ； (3) 3, 1 , 2 , 1 ; (4)1 , 3 , ( .3 , ,3 )2 .根据下列条件，分别画出经过点p ,且斜率为k 的直线.(1) P 1, 2 , k 3;3(2) P 2, 4 , k 3 ;4(3) P 1, 3 , k 0 ； (4)P 2, 0，斜率不存在.3 .分别判断下列三点是否在同一直线上.1)0,2,2,5,3，7； (2) 1, 4 , 2,1 ,2,5.4 .判断正误：(1) 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率. ( ) (2) 若一直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为tan . ( ) (3) 倾斜角越大，斜率越大. () (4) 直线斜率可取到任意实数.()5 .光线射到x 轴上并反射，已知入射光线的倾斜角130，则斜率k 1 _____________________反射光线的倾斜角2 _____________，斜率k 2 ____________ .6 .已知直线I1的倾斜角为，则I1关于x轴对称的直线I2的倾斜角为 _____________ .7 .已知直线I过点P (1 , 2)且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线I的斜率.四回顾小结掌握过两点的直线的斜率公式•理解直线的倾斜角的范围；掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系五学习评价双基训练1 •经过A(0,0), B(lJ3)的直线I的斜率的斜率k ___________ ，倾斜角 ________ .2. ABC的三个顶点为(A 3, 2), B (-4 , 1), C (0, -1 )，写出ABC三边所在直线的斜率：k AB ____________ ； k eo ___________ ； k AC ___________ -3. _________________________________________________________________ 已知过点(1,2m),( m,m 3)的直线I的斜率为雄则实数m的值为___________________________________________ .4. 若三点A(3,a),B(2,3),C(4,b) 在一条直线上，则a= ____________ ,b ______ (写出满足条件的一组解).5. 设直线I的斜率为________________________________________ (0)，则它关于y轴对称的直线的倾斜角是.6. 设a, b, c是两两不等的实数，直线 ___________________________ I 经过点P(b,b+c),Q(a,a+c)与点，则直线I的斜率是____________________________________________________ .7. 已知M(2, m+3),N (m-2 ,1).(1) 当为m何值时，直线MN的倾斜角为锐角？(2) 当为m何值时，直线MN的倾斜角为直角?(3) 当为m何值时，直线MN的倾斜角为钝角?8. 已知A(4,5),B(-2a,-3),C(1,a)三点共线，求a 的值.拓展延伸9 • ( 1)线段PQ的两个端点的坐标为P (2, 2), Q (6, 2J3 )在直角坐标系中画出线段PQ，并写出线段PQ 上的另3点A, B, C,的坐标(答案不惟一);(2)分别计算A , B, C和原点连线的斜率；(3)若过原点的直线I与连接P (2, 2), Q (6, 2.3 )的线段相交，求直线I的斜率和倾斜角的取值范围.2.1.2 直线的方程一一点斜式学习目标1. 掌握直线方程的点斜式、斜截式，能根据条件熟练求出直线的方程；2. 感受直线的方程和直线之间的对应关系.学习过程一学生活动若直线|经过点A( 1,3)，斜率为-2，点P在直线丨上运动，那么点P的坐标(x, y)满足什么条件?二建构知识1. (1)若直线l经过点P o x o, y o，且斜率为k，则直线方程为___________________________这个方程是由直线上__________ 及其 __________ 确定的，所以叫做直线的_____________ 方程.(2)直线的点斜式方程①一般形式：②适用条件：2. (1)若直线l的斜率为k，且与y轴的交点为0, b，代入直线的点斜式，得___________________ ，我们称b为直线l在y轴上的____________________ .这个方程是由直线I的斜率和它在y轴上的______________ 确定的，所以叫做直线的______________________ 方程.(2)直线的斜截式方程①截距：②一般形式：③适用条件：注意：当直线和x轴垂直时，斜率不存在，此时方程不能用点斜式方程和斜截式方程表示.三知识运用例题例1 已知一直线经过点P (-2, 3),斜率为2，求此直线方程.例2 直线2y 5 0的斜率和在y轴上的截距分别为5A . 0, ——B . 2, —5 C. 0, —5( ) — 5D .不存在，一一22例3 将直线l i：x y , 3 2 0绕着它上面的一点(2, .. 3)按逆时针方向旋转15得直线12,求12的方程.3例4 已知直线1的斜率为一，且与坐标轴所围成的三角形的面积为6，求直线I的方程.4巩固练习1 •根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)经过点4, 2，斜率为3;1(2)经过点3, 1，斜率为-;2(3)斜率为2，在y轴上的截距为2 ;眞一(4)斜率为，与x轴交点的横坐标为7 ;2(5)经过点3, 3，与x轴平行；(6)经过点3, 3，与y轴平行.2 •若一直线经过点P 1, 2，且斜率与直线y 2x 3的斜率相等，则该直线的方程是 _________________________ .四回顾小结掌握直线方程的点斜式、斜截式，能根据条件熟练求出直线的方程.五学习评价基础训练：1. 写出下列直线的点斜式方程：(1) 经过点A(2, 3)，斜率为 3 : _____________________________ ;(2) 经过点B( 2, 2)，倾斜角是60 : _________________________________2. 写出下列直线的点斜式方程：(1) 斜率是2，在y轴上的截距为1: ______________________________(2) 斜率是-2,与x轴的交点为(3, 0): ___________________________________3•直线y 3 2(x 1)的斜率是_____________ ;在y轴上的截距是_______________ .4•直线y k(x 1) 2经过一定点，该定点的坐标为______________________ •5•若ABC在第一象限，A(1,1),B(5,1)，且点C在直线AB的上方，CAB 60 ,B 45，则直线AC的方程是____________________ ;直线BC的方程是 __________________6 •直线l i的方程为y 2x 1，若12与l i关于y轴对称，则I2的方程为 __________________________ 若12与l i关于X轴对称，则12的方程为 __________________ ；7 •经过两点A( a,3), B(6, a)的直线斜率为2，求直线AB的方程._ 18•求倾斜角是直线y .3 1的倾斜角的一，且分别满足下列条件的直线方程:2(1)经过点C，3, 1)；(2)在y轴上的截距为5 •拓展延伸：49 •求与两坐标轴围成的三角形周长为9，且斜率为一的直线I的方程•310.已知直线I经过点P(1,4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，求直线I的方程•2.1. 2 直线的方程——两点式学习目标1. 掌握直线方程的两点式、截距式，能根据条件熟练求出直线的方程；2. 能正确理解直线方程一般式的含义；能将点斜式、斜截式、两点式转化成一般式学习过程一学生活动探究如果直线l经过两点R（x「yj, P2（X2, y2）（x i X2），求直线l的方程。
江苏省常州市四星级重点高中2022届高考冲刺数学复习单元卷解析几何(详细解答)
江苏省常州市四星级重点高中2022届高考冲刺数学复习单元卷解析几何（详细解答）一、填空题（每小题4分，满分40分）1、直线某tany0的倾斜角是72、设集合A某|2lg某lg(8某15),某R,B某|co0,某R，则AB的子集个2某数为个。
3、椭圆某a22yb22）的半焦距为c，若直线y＝2某与椭圆的一个交点的横坐标恰（1ab0）为c，则椭的离心率为4、若定义在区间D上的函数f某对D上的任意n个值某1，某2，，某n，总满足1nf某1f某2f某n≤某某2某nf1，则称f某为D上的凸函数．已知函数nyin某在区间0,上是“凸函数”，则在△ABC中，inAinBinC的最大值是5、函数yin2某in某co某在[0,]上的单调减区间为6、设某,y,z是空间中不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，则下列结论中能保证“若某z，且yz，则某//y”为真命题的是①某为直线，y、z为平面②某、y、z为平面③某、y为直线，z为平面④某、y为平面，z为直线⑤某、y、z为直线7、E、F是椭圆是8、设M是△ABC内一点，且ABAC23，BAC30o，定义f(M)(m,n,p)，141pmnf(P)(,某,y)MBCMCA其中、、分别是△、△、△MAB的面积，若，则某y2某24y221的左、右焦点，l是椭圆的准线，点Pl，则EPF的最大值的最小值是某y6≥0,9、已知平面区域3某y6≤0,恰好被面积最小的圆C及其内部所覆盖，则圆C的方程2某y6≥0为-1-10、若关于某的方程a某1某23有且只有一个正实根，则实数a的取值范围是二、解答题（满分60分）coB11、（14分）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且inAinBcoA1613，，ABC的外接圆半径R3。
（1）求角C；（2）求ab的值。
12、（14分）已知等差数列{an}中，a11，前12项和S12186．1（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn2an，记数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式Tnm对所有nN某恒成立，求实数m的取值范围．13、（15分）如图，l1、l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且MO3km，点N到l1、l2的距离分别为4km和5km．（Ⅰ）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（Ⅱ）若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校,考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于26km，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）。
2019学年高中数学第7章解析几何初步7.4几何问题的代数解法学案湘教版必修3word版本
7．4 几何问题的代数解法[学习目标]1．理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题． 2．进一步掌握用解析法处理平面几何问题． [预习导引]1．解决几何问题的基本方法——解析法解析法是解决解析几何、立体几何等问题的重要方法，它是把几何问题转化成代数问题，通过建立适当的坐标系加以分析研究解决问题的方法． 2．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”为：(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；(2)通过代数运算，解决代数问题；(3)把代数运算结果“翻译”成几何结论并作答．要点一 用解析法证明几何问题例1 △ABD 和△BCE 是边AB ，BC 在直线AC 上且位于直线AC 同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE |＝|CD |.证明 如图，以B 点为坐标原点，取AC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系．设△ABD 和△BCE 的边长分别为a ，c ，则A (－a ，0)，E (c 2，32c )，C (c ，0)，D (－a 2，32a )，于是|AE |＝[c 2－（－a ）]2＋（32c －0）2 ＝a2＋ac ＋c24＋34c2＝a2＋ac ＋c2.|CD |＝[（－a 2）－c]2＋（32a －0）2＝a24＋ac ＋c2＋34a2＝a2＋ac ＋c2. 所以|AE |＝|CD |.规律方法 坐标法的基本步骤第一步：建立适当的坐标系用坐标表示有关量． 第二步：进行有关代数运算．第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．跟踪演练1 在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，求证：△ABC 为等腰三角形．证明 如图，作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．设A (0，a )，B (b ，0)，C (c ，0)，D (d ，0)．因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以由两点间的距离公式，得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )，即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )， 又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c . 所以△ABC 为等腰三角形． 要点二 代数问题的几何解法例2 求函数y ＝x2＋x ＋1－x2－x ＋1的值域． 解 显然函数的定义域为R ，y ＝（x ＋12）2＋34－（x －12）2＋34＝（x ＋12）2＋（0－32）2－（x －12）2＋（0－32）2.设P (x ，0)，A (12，32)，B (－12，32)为平面上三点， 则|PA |＝（x －12）2＋34＝x2－x ＋1，|PB |＝（x ＋12）2＋34＝x2＋x ＋1.y ＝|PB |－|PA |.∵||PB |－|PA ||<|AB |，且|AB |＝1，∴|y |<1，即－1<y <1，故函数的值域为(－1，1)．规律方法 将被开方式配方，可化为两点间的距离公式的形式，结合几何意义求值域． 跟踪演练2 求函数y ＝x2＋1＋x2－4x ＋8的最小值． 解 ∵函数的解析式可化为y ＝x2＋1＋x2－4x ＋8＝（x －0）2＋（0－1）2＋（x －2）2＋（0－2）2.令A (0，1)，B (2，2)，P (x ，0)，则问题转化为在x 轴上求一点P (x ，0)，使得|PA |＋|PB |取最小值．∵A 关于x 轴的对称点为A ′(0，－1)， ∴(|PA |＋|PB |)min ＝|A ′B |＝（2－0）2＋（2＋1）2＝4＋9＝13， 即函数y ＝x2＋1＋x2－4x ＋8的最小值为13. 要点三 坐标法的实际应用例3 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度．则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9， 港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)， 则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y4＝1，即4x ＋7y －28＝0. 圆心(0，0)到直线4x ＋7y －28＝0的距离d ＝|－28|42＋72＝2865，而半径r ＝3，∵d >r ，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．规律方法 先以台风中心为原点建立适当的坐标系，把有关的几何元素用坐标和方程表示，然后把此实际问题转化为数学问题来解决．跟踪演练3 有弱、强两个喇叭在A ，O 两处，若它们的强度之比为1∶4，且相距60 m ，问在什么位置听到两个喇叭传来的声音强度是相等的？(假设声音强度与距离的平方成反比)解 以直线OA 为x 轴，O 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系．则O (0，0)，A (60，0)．设在P (x ，y )处听到O ，A 两处的喇叭声音强度相等． 由题设知|OP|2|PA|2＝14， 即x2＋y2（x －60）2＋y2＝14，整理，得(x ＋20)2＋y 2＝402.故P 点的轨迹是以(－20，0)为圆心，40为半径的圆，也就是在此圆周上听到的声音强度相等.1．过点A (－1，4)作圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线，则A 到切点的距离为( ) A.5 B ．3 C.10 D ．5答案 B解析 设圆心C (2，3)，则|AC |＝10， ∴点A 到切点的距离即切线长l ＝10－1＝3.2．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值是( ) A ．6 B ．4 C ．5 D ．1答案 B解析 圆心到直线3x ＋4y －25＝0的距离为255＝5.则圆上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值为5－1＝4.3．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则b ＝________. 答案 4解析 已知圆的圆心为(－1，2)，且点(－1，2)在直线y ＝2x ＋b 上，则2＝－2＋b ，∴b ＝4.4．若点P (x ，y )在圆C ：(x －2)2＋y 2＝3上，则y x的最大值是________． 答案3解析 半径长|PC |＝3，|OC |＝2，y x ＝y －0x －0是圆上的点与原点连线的斜率．当OP 与圆上方相切时，此时斜率最大，则∠POC ＝60°， tan ∠POC ＝3.5．点P 在圆O ：x 2＋y 2＝1上运动，点Q 在圆C ：(x －3)2＋y 2＝1上运动，则|PQ |的最小值为________．答案 1解析如下图．设连心线OC与圆O交于点P′，与圆C交于点Q′，当点P在P′处，点Q在Q′处时|PQ|最小，最小值为|P′Q′|＝|OC|－r1－r2＝1.1．利用数形结合思想求某些二元代数式的最值是直线和圆的方程的一个重要应用，它是利用代数式的几何意义转化为斜率、截距、距离等来求解．2．利用坐标法解决平面几何问题，将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题．适当建系时，通常取定直线为坐标轴，定点或线段的中点为原点，使其具有对称性，这样便于设坐标．很多实际问题也可采用这种方法转化．一、基础达标1．已知△ABC的三个顶点是A(5，5)，B(1，4)和C(4，1)，则△ABC的形状是( ) A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案 B解析∵|AB|＝（5－1）2＋（5－4）2＝17，|BC|＝（1－4）2＋（4－1）2＝32，|AC|＝（5－4）2＋（5－1）2＝17，∴|AB|＝|AC|，∴△ABC为等腰三角形．2．方程y＝－25－x2表示的曲线是( )A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆答案 D解析 由y ＝－25－x2得x 2＋y 2＝25. ∵y ＝－25－x2≤0, ∴曲线表示半个圆．3．点M ，N 在x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径为( ) A ．22 B.2 C ．1 D ．3答案 D解析 由M ，N 两点关于直线x －y ＋1＝0对称，可知直线x －y ＋1＝0过圆心 (－k 2，－1)，∴k ＝4，∴圆的方程即为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝9，∴r ＝3.4．点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线PA ，PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A ，B 两点，则四边形PAOB (O 为坐标原点)的面积的最小值为( ) A ．24 B ．16 C ．8 D ．4答案 C解析 ∵四边形PAOB 的面积S ＝2×12|PA |×|OA |＝2|OP|2－|OA|2＝2|OP|2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，|OP |min ＝1022＋12＝25.此时，四边形PAOB 的面积的最小值为2（25）2－4＝8.5．已知直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9相交于E ，F 两点，圆心为C ，则△CEF 的面积为________． 答案 25解析 圆心(2，－3)到直线x －2y －3＝0的距离为d ＝|2＋2×3－3|5＝5， ∴|EF |＝2×9－d2＝29－5＝4， ∴S △CEF ＝12×4×5＝25.6．已知x ＋y ＋1＝0，那么（x ＋2）2＋（y ＋3）2的最小值是________． 答案 22解析 （x ＋2）2＋（y ＋3）2表示点P (x ，y )和点(－2，－3)的距离，则（x ＋2）2＋（y ＋3）2的最小值为点(－2，－3)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|－2－3＋1|2＝42＝22. 7．有一种大型商品，A ，B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A ，B 两地距离10 km ，顾客选A 或B 地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A ，B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点． 解 如图，以A ，B 所确定的直线为x 轴，线段AB 中点O 为坐标原点，建立直角坐标系，则A (－5，0)，B (5，0)，设某地P 的坐标为(x ，y )，假设居民选择A 地购买商品便宜，并设A 地的运费3a 元/千米，B 地的运费为a 元/千米，则价格＋x A 地运费≤价格＋x B 地运费，∴3a （x ＋5）2＋y2≤a （x －5）2＋y2. ∵a >0，∴3（x ＋5）2＋y2≤（x －5）2＋y2. 化简为(x ＋254)2＋y 2≤(154)2. ∴以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－254，0为圆心，154为半径的圆是这两条购货区域的分界线． 圆C 内的居民，从A 地购货便宜， 圆C 外的居民，从B 地购货便宜，圆C 上的居民，从A ，B 两地购货的总费用相等，因此可随便从A ，B 两地之一购货． 二、能力提升8．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心不超过30 km 地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间是( )A ．0.5 hB ．1 hC ．1.5 hD ．2 h答案 B解析 如图所示，以A 地为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40，0)，以B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x －40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，B 城市将处于危险区，台风移动所在直线方程为y ＝x ，它与圆B 的相交弦为MN ，则可求得|MN |＝2302－⎝ ⎛⎭⎪⎫4022＝20 (km)，|MN|20＝1 (h)，所以B 城市位于危险区内的时间为1 h.9．一束光线从点A (－1，1)出发经x 轴反射到圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短距离为________． 答案 4解析 A 关于x 轴的对称点为A ′(－1，－1)，A ′与圆心的距离为32＋42＝5，故所求最短距离为5－1＝4.10．两圆相交于两点(1，3)和(m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________． 答案 3解析 由平面几何性质知：两相交圆圆心的连线与两圆的公共弦垂直，且经过弦的中点，则3＋11－m＝－1，得m ＝5，∴弦中点坐标为(3，1)，∴3－1＋c ＝0，得c ＝－2，∴m ＋c ＝3. 11．已知x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0，求x －2y 的最大值．解 设x －2y ＝b ，则点(x ，y )既在直线x －2y ＝b 上，又在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0上， 即直线x －2y ＝b 和圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5有公共点，故圆心(1，－2)到x －2y －b ＝0的距离小于或等于半径5，所以|1－2×（－2）－b|5≤5，即|b －5|≤5，所以0≤b ≤10，即x －2y 的最大值是10. 三、探究与创新12．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0(b ≠0)的距离为22，求直线l 斜率的取值范围．解 ∵圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可整理为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2， ∴圆心坐标为C (2，2)，半径为r ＝32.要使圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则圆心到直线的距离d 满足d ＝|2a ＋2b|a2＋b2≤2，∴(a b )2＋4(ab )＋1≤0，∴－2－3≤ab≤－2＋3.∵k ＝－a b，∴2－3≤k ≤2＋3，∴直线ax ＋by ＝0的斜率范围是[2－3，2＋3]． 13．已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上． (1)求y x的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值与最小值； (3)求x ＋y 的最大值与最小值．解 圆x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4，故圆心为C (3，3)，半径r ＝2.如图所示．(1)y x表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然PO 与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由圆心C (3，3)到切线的距离等于半径2，可得|3k －3|k2＋1＝2，解得k ＝9±2145， 所以，y x 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145. (2)x 2＋y 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋y 2＋2，它表示圆上的点P 到E (－1，0)的距离的平方再加2，所以，当点P 与点E 的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点P 与点E 的距离的最大值为|CE |＋2，点P 与点E 距离的最小值为|CE |－2，又|CE |＝（3＋1）2＋32＝5，所以x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.(3)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 的纵截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取最大值或最小值．此时圆心C (3，3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径2，则|3＋3－b|12＋12＝2， 即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以，x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－22.。
解析几何初步+教案设计与总评-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
12.5%
空间直角 坐标系
代数 方法
圆与方 程
直线与 方程
经典案例探讨
02
教学目标 教学重难点 教学设想
严格按照新课标标准 编写，内容很完整，目 标很明确。
利用学生已有知识 进行引入，使学生更 容易接受。
师生间互动较多， 积极引导学生发现知 识，让学生主导学习。
知识点间循序渐进， 从特殊到一般，引出 新知识。
通过例题巩固所学 新知识，加强学生对 判别方法熟悉程度。
提炼知识点的数学 思想，对“数形结合” 有更形象的认识。
对课堂重难点进行 回顾，加深学生记忆。
教案展示及模拟课堂
03
教案展示 模拟课堂
2020年“田家炳杯”第六届全国师范院校师范生教学技能竞赛一等奖——刑云新
教学内容
第三章 圆锥曲线的方程 ξ1 椭圆的标准方程
用代数方法研究几 何图形
化，二是代数向几 何转化
数形结合
教案组成简介
教学内容
教案组成简介
教 学 内 容 框 架
教案组成简介
过程与方法
学习过程：小组讨 论式、发现式、分组 竞赛式等。
教学目标
知识与技能
课本主要知识及课 程中需要运用的技能。
情感态度与价值观
以学生发展为本， 激发正确的学习态度， 有机渗透人文教育和 价值取向。
授课类型
理论课
教学目标： 知识技能： 〈1〉掌握随圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程。 〈2〉能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用定义法，待定系统法求随圆的标准方程。 过程方法： 〈1〉通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力。 〈2〉通过对椭圆标准方程的推导，是学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数结合 和等价转化的思想方法，提高运用坐标解决几何问题的能力。 情感态度和价值观： 〈1〉通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的 学习兴趣和创新意识。
高中数学：解析几何导学案苏教版必修2
§2.1.4 两条直线的交点【教学目标】1．知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解2．当两条直线相交时，会求交点坐标3．学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力【教学重点】根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两直线相交求交点【教学难点】对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解【自主预习】．两条直线的交点设两条直线的方程分别是1l :0111=++C y B x A ,2l :0222=++C y B x A ．【典例示X 】 例1．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点：(1)1l :72=-y x ，2l :0723=-+y x ；(2)1l :0462=+-y x ，2l :08124=+-y x ；(3)1l :0424=++y x ，2l :32+-=x y ．例2．直线l 经过原点，且经过另外两条直线0832=++y x ，01=--y x 的交点，求直线l 的方程．跟踪1：(1)求证：无论m 为何实数，l ：5)12()1(-=-+-m y m x m 恒过一定点，求出此定点坐标．(2)求经过两条直线0332=--y x 和02=++y x 的交点，且与直线013=-+y x 垂直的直线的方程．例3．(教科书P 83例3)某商品的市场需求1y (万件)、市场供求量2y (万件)、市场价格x (元/件)分别近似地满足下列关系：202,70-=+-=x y x y ．当21y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．(1)求市场平衡价格和平衡需求量；(2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？【归纳总结】通过对两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程组的解的个数与直线位置关系的联系．培养同学们的数形结合、分类讨论和转化的数学思想方法．【巩固拓展】已知直线1l :310x my +-=，2l :3250x y --=，3l :650x y +-=，(1)若这三条直线交于一点，求m 的值；(2)若三条直线能构成三角形，求m 的值。
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解析几何2.1. 1 直线的斜率学习目标1.理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式；2.理解直线的倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围；3.掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系.学习过程一 学生活动1.确定直线位置的要素有哪些？2.直线的倾斜程度如何来刻画？二 建构知识1.直线的斜率的定义：（1）已知两点()11y x A ，、()22y x B ，．如果21x x ≠，那么直线AB 的斜率为=k ；如果21x x =，那么直线AB 的斜率_______．（2）对于与x 轴不垂直的直线AB ，它的斜率也可以看作是==横坐标的增量纵坐标的增量k = ． 注意：直线斜率公式与两点在直线上的位置及顺序无关．2.倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，便是直线的倾斜角．直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ．因此该定义也可看作是一个分类定义．3．倾斜角α的范围是 ．4．直线的斜率与倾斜角的关系：当直线与x 轴不垂直时，直线的斜率k 与倾斜角α之间满足 ； 当直线与x 轴垂直时，直线的斜率k ，但此时倾斜角α为 ．5．斜率与倾斜角之间的变化规律：当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率 ；且均为正；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率 ；且均为负；并规定=αtan ；但我们不能错误的认为倾斜角越大，斜率越大． 注意：任何直线都有倾斜角且是唯一的，但不是任何直线都有斜率．三 知识运用例题例1 如图，直线l 1，l 2，l 3，都经过点P （3，2），又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1（－2，－1），Q 2（4，－2），Q 3（－3，2），试计算直线l 1，l 2，l 3的斜率．例2 经过点（3，2）画直线，使直线的斜率分别为：（1）43； （2）54-．例3 证明三点A （－2，12），B （1，3），C （4，－6）在同一条直线上．变式：已知两点A （1，－1），B （3，3），点C （5，a ）在直线AB 上，求实数a 的值．例4 已知直线经过点P （a ，1），Q （3，－3），求直线PQ 的斜率．例5 已知过点()32 ，m A 、()12- ，B 的直线的倾斜角为︒45，求实数m 的值．一变：若过点()32 ，m A 、()12- ，B 的直线的倾斜角为︒135，求实数m 的值．二变：若过点()32 ，m A 、()12- ，B 的直线的倾斜角为︒90，求实数m 的值．三变：实数m 为何值时，经过两点()32 ，m A 、()12- ，B 的直线的倾斜角为钝角？ 过两点（－3，1），（0，b ）的直线l 的倾斜角介于30°与60°之间，求实数b 的取值范围．已知两点A （m ，3），B （2，3+23），直线l 的斜率是33，且l 的倾斜角是 直线AB 倾斜角的31，求m 的值．例8 设点），（，，23)32(- - - B A ，直线l 过点)21( ，P ，且与线段AB 相交，求直线l 的斜率的取值范围．巩固练习1．分别求经过下列两点的直线的斜率．（1）()()5432 ，，，； （2）()()1232 -，，，； （3）()()1213- - -，，，； （4）()31 -，，（33- ，） 2．根据下列条件，分别画出经过点p ，且斜率为k 的直线．（1）()21，P ，3=k ； （2）()42 ，P ，43-=k ； （3）()31-，P ，0=k ； （4）()02 -，P ，斜率不存在． 3．分别判断下列三点是否在同一直线上．（1）()()()735220 ，，，，，； （2）()()()521241- -，，，，，． 4．判断正误：（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率． （ ）（2）若一直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为αtan ． （ ）（3）倾斜角越大，斜率越大． （ ）（4）直线斜率可取到任意实数． （ ）5．光线射到x 轴上并反射，已知入射光线的倾斜角︒=301α，则斜率=1k ________，反射光线的倾斜角=2α_____________，斜率=2k ____________．6．已知直线l 1的倾斜角为α，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角为____ _．7．已知直线l 过点P （1，2）且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的斜率．例7 例6四 回顾小结掌握过两点的直线的斜率公式．理解直线的倾斜角的范围；掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系.五 学习评价双基训练1． 经过(0,0),A B 的直线l 的斜率______,______.l k α==的斜率倾斜角2.ABC A ABC ∆∆的三个顶点为（3，2），B （-4，1），C （0，-1），写出三边所在直线的斜率：_____;_____;_____.AB BC AC k k k ===3.已知过点(1,2),(,3)_____.m m m l m --+的直线的值为_____,_____b =4.若三点A(3,a),B(2,3),C(4,b)在一条直线上，则a=（写出满足条件的一组解）.5.设直线l 的斜率为(0)αα≠，则它关于y 轴对称的直线的倾斜角是__________.6.设a ，b ，c 是两两不等的实数，直线l 经过点P(b,b+c),Q(a,a+c)与点，则直线l 的斜率是___________.7.已知M(2, m+3),N (m-2 ,1).（1）当为m 何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？（2）当为m 何值时，直线MN 的倾斜角为直角？（3）当为m 何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？8.已知A(4,5),B(-2a,-3),C(1,a)三点共线，求a 的值.拓展延伸9．（1）线段PQ 的两个端点的坐标为P （2，2），Q （6，PQ ，并写出线段PQ 上的另3点A ，B ，C ，的坐标（答案不惟一）；（2）分别计算A ，B ，C 和原点连线的斜率；（3）若过原点的直线l 与连接P （2，2），Q （6，l 的斜率和倾斜角的取值范围.2.1.2 直线的方程——点斜式学习目标1.掌握直线方程的点斜式、斜截式，能根据条件熟练求出直线的方程；2.感受直线的方程和直线之间的对应关系．学习过程一 学生活动若直线l 经过点)3,1(-A ，斜率为-2，点l P 在直线上运动，那么点P 的坐标),(y x 满足什么条件？二 建构知识1.（1）若直线l 经过点()000y x P ，，且斜率为k ，则直线方程为 ；这个方程是由直线上 及其 确定的，所以叫做直线的 方程．（2）直线的点斜式方程①一般形式：②适用条件：2．（1）若直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为()b ，0，代入直线的点斜式，得 ，我们称b 为直线l 在y 轴上的 ．这个方程是由直线l 的斜率和它在y 轴上的 确定的，所以叫做直线的 方程．（2）直线的斜截式方程①截距：②一般形式：③适用条件：注意：当直线和x 轴垂直时，斜率不存在，此时方程不能用点斜式方程和斜截式方程表示．三 知识运用例题例1 已知一直线经过点P （－2，3），斜率为2，求此直线方程．例2 直线052=+y 的斜率和在y 轴上的截距分别为 （ ）A ．0，－25B ．2，－5C ．0，－5D ．不存在，－25例3 将直线l 1：023=-+-y x 绕着它上面的一点)32( ，按逆时针方向旋 转︒15 得直线l 2，求l 2的方程．已知直线l 的斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．巩固练习1．根据下列条件，分别写出直线的方程：（1）经过点()24- ，，斜率为3；（2）经过点()13 ，，斜率为21；（3）斜率为2-，在y 轴上的截距为2-；（4）斜率为23，与x 轴交点的横坐标为7-；（5）经过点()33- -，，与x 轴平行；（6）经过点()33- -，，与y 轴平行．2．若一直线经过点()21，P ，且斜率与直线32+-=x y 的斜率相等， 则该直线的方程是 ．四 回顾小结掌握直线方程的点斜式、斜截式，能根据条件熟练求出直线的方程．五 学习评价基础训练：1．写出下列直线的点斜式方程:(1) 经过点(2,3)A -： ；(2)经过点(B -，倾斜角是60： ．2．写出下列直线的点斜式方程:(1)，在y 轴上的截距为1-： ；(2) 斜率是-2，与x 轴的交点为（3，0）： ．例43．直线32(1)y x +=--的斜率是 ；在y 轴上的截距是 ．4．直线(1)2y k x =-+经过一定点，该定点的坐标为 ．5．若ABC ∆在第一象限，(1,1),(5,1)A B ，且点C 在直线AB 的上方，60CAB ∠=︒，45B ∠=︒，则直线AC 的方程是 ；直线BC 的方程是6．直线1l 的方程为21y x =+，若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为 ； 若2l 与1l 关于x 轴对称，则2l 的方程为 ；7．经过两点(,3),(6,)A a B a --的直线斜率为2，求直线AB 的方程．8．求倾斜角是直线1y =的倾斜角的12，且分别满足下列条件的直线方程：（1）经过点1)-；（2）在y 轴上的截距为5-．拓展延伸：9．求与两坐标轴围成的三角形周长为9，且斜率为43-的直线l 的方程．10．已知直线l 经过点(1,4)P ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，求直线l 的方程．2.1. 2 直线的方程——两点式学习目标1.掌握直线方程的两点式、截距式，能根据条件熟练求出直线的方程；2.能正确理解直线方程一般式的含义；能将点斜式、斜截式、两点式转化成一般式.学习过程一 学生活动探究 如果直线l 经过两点),(),,(222111y x P y x P )(21x x ≠，求直线l 的方程。
二 建构知识1．直线的两点式方程：（1）一般形式：（2）适用条件：2．直线的截距式方程：（1）一般形式：（2）适用条件：注：“截距式”方程是“两点式”方程的特殊形式，它要求直线在坐标轴上的截距都不为0．3．直线的一般式方程：4．直线方程的五种形式的优缺点及相互转化：思考：平面内任意一条直线是否都可以用形如()00不全为，B A C By Ax =++的方程来表示？三 知识运用例题 例1 三角形的顶点()()()303405 - -，，，，，C B A ，试求此三角形所在直线方程．例2 求直线01553=-+ y x l ：的斜率以及它在x 轴、y 轴上的截距，并作图．例3 设直线l 的方程为062=+-+m my x ，根据下列条件分别确定m 的值：（1）直线l 在x 轴上的截距是3-； （2）直线l 的斜率是1； （3）直线l 与y 轴平行．例4 过点()21 ，的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于B A ，两点， 当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程．巩固练习1． 由下列条件，写出直线方程，并化成一般式：（1）在x 轴和y 轴上的截距分别是23，－3； （2）经过两点P 1（3，－2），P 2（5，－4）．2．设直线l 的方程为()00不全为，B A C By Ax =++，根据下列条件， 求出C B A ，，应满足的条件：（1）直线l 过原点； （2）直线l 垂直于x 轴；（3）直线l 垂直于y 轴； （4）直线l 与两条坐标轴都相交．四 回顾小结掌握直线方程的两点式、截距式，能根据条件熟练求出直线的方程；能将点斜式、斜截式、两点式转化成一般式．五 学习评价双基训练:1经过点1(,3)2A ,和4(,2)3B -的直线方程是__________________2在x 轴、y 轴上的截距分别是2,3-的直线方程是_____________________.3.直线方程24x y -=的截距式方程是_____________________.4.过两点(1,1)-和(3,9)的直线在x 轴上的截距是_________________.5.直线22(23)(2)41m m x m m y m -+++=+在x 轴上的截距为1，则m 等于_________.6.直线l 过点(1,3)P 且与两坐标正半轴轴围成三角形的面积为6个平方单位，则该直线方程为_______________7.求过点(3,4)M -，且在坐标轴上的截距相等的直线方程.拓展延伸：8.已知直线(31)(2)10a x a y -+--=且该直线不经过第二象限，求实数a 的取值范围.9.已知直线kx+y+2=0和以M （-2，1），N （3，2）为端点的线段相交，求实数k 的取值范围.10.在直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点为A （0，3），B （3，3），C （2，0）.若直线x a =将ABC ∆分割成面积相等的两部分，求实数a 的值.2.1.3 两条直线的平行与垂直（1）学习目标1. 掌握用斜率判断两条直线平行的方法.2. 感受用代数方法研究几何图形性质的思想。