动力学中的临界问题
动力学中的临界与极值问题
考点二 动力学中的临界与极值问题动力学中的临界问题一般有三种解法：1.极限法在题目中如出现“最大”“最小”“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，应把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，达到尽快求解的目的．2．假设法有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类题，一般用假设法．3．数学法将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式求解得出临界条件．命题点1 接触与脱离的临界条件3．一个弹簧测力计放在水平地面上，Q 为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P 为一重物，已知P 的质量M ＝10.5 kg ，Q 的质量m ＝1.5 kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k ＝800 N/m ，系统处于静止．如图所示，现给P 施加一个方向竖直向上的力F ，使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.2 s 内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力．求力F 的最大值与最小值．(取g ＝10 m/s 2)【解析】 设开始时弹簧压缩量为x 1，t ＝0.2 s 时弹簧的压缩量为x 2，物体P 的加速度为a ，则有kx 1＝(M ＋m )g ①kx 2－mg ＝ma ②x 1－x 2＝12at 2③ 由①式得x 1＝(M ＋m )g k＝0.15 m ， 由②③式得a ＝6 m/s 2.F min ＝(M ＋m )a ＝72 N ，F max ＝M (g ＋a )＝168 N.【答案】 F max ＝168 N F min ＝72 N命题点2 相对滑动的临界条件4.如图所示，12个相同的木块放在水平地面上排成一条直线，相邻两木块接触但不粘连，每个木块的质量m ＝1.2 kg ，长度l ＝0.5 m ．木块原来都静止，它们与地面间的动摩擦因数均为μ1＝0.1，在左边第一个木块的左端放一质量M ＝1 kg 的小铅块(可视为质点)，它与各木块间的动摩擦因数均为μ2＝0.5，现突然给小铅块一个向右的初速度v 0＝9 m/s ，使其在木块上滑行．设木块与地面间及小铅块与木块间的最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，重力加速度g ＝10 m/s 2.求：(1)小铅块相对木块滑动时小铅块的加速度大小；(2)小铅块下的木块刚发生运动时小铅块的瞬时速度大小．【解析】 (1)设小铅块相对木块滑动时加速度大小为a ，由牛顿第二定律可知μ2Mg ＝Ma解得a ＝5 m/s 2.(2)设小铅块最多能带动n 个木块运动，对n 个木块整体进行受力分析，当小铅块下的n 个木块发生运动时，则有μ2Mg ≥μ1(mgn ＋Mg )解得n ≤3.33即小铅块最多只能带动3个木块运动设当小铅块通过前面的9个木块时的瞬时速度大小为v ，由动能定理可知－μ2Mg ×9l ＝12M (v 2－v 20) 解得v ＝6 m/s.【答案】 (1)5 m/s 2 (2)6 m/s命题点3 数学方法求解极值问题5．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33.重力加速度g 取10 m/s 2.求：(1)物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小；(2)拉力F 与斜面夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？【解析】 (1)设物块加速度的大小为a ，到达B 点时速度的大小为v ，由运动学公式得L ＝v 0t ＋12at 2① v ＝v 0＋at ②联立①②式，代入数据得a ＝3 m/s 2③v ＝8 m/s ④(2)设物块所受支持力为F N ，所受摩擦力为F f ，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得F cos α－mg sin θ－F f ＝ma ⑤F sin α＋F N －mg cos θ＝0⑥又F f ＝μF N ⑦联立⑤⑥⑦式得F ＝mg (sin θ＋μcos θ)＋ma cos α＋μsin α⑧ 由数学知识得cos α＋33sin α＝233sin(60°＋α)⑨ 由⑧⑨式可知对应F 最小的夹角α＝30°⑩联立③⑧⑩式，代入数据得F 的最小值为F min ＝1335N. 【答案】 (1)3 m/s 2 8 m/s (2)30°1335N“四种”典型临界条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N ＝0.(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：F T＝0.(4)加速度变化时，速度达到最值的临界条件：当加速度变为0时．。
临界极值问题(解析版)--动力学中九类常见问题
动力学中的九类常见问题临界极值问题【问题解读】1.题型概述在动力学问题中出现某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态即临界问题。
问题中出现“最大”“最小”“刚好”“恰能”等关键词语，一般都会涉及临界问题，隐含相应的临界条件。
2.临界问题的常见类型及临界条件(1)接触与分离的临界条件：两物体相接触(或分离)的临界条件是弹力为零且分离瞬间的加速度、速度分别相等。
临界状态是某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态，有关的物理量将发生突变，相应的物理量的值为临界值。
(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力。
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是绳上的张力恰好为零。
(4)出现加速度最值与速度最值的临界条件：当物体在变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度。
当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值。
【方法归纳】求解临界、极值问题的三种常用方法极限法把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的假设法临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题数学方法将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件解题此类题的关键是：正确分析物体的受力情况及运动情况，对临界状态进行判断与分析，挖掘出隐含的临界条件。
【典例精析】1(2024河北安平中学自我提升)如图所示，A、B两个木块静止叠放在竖直轻弹簧上，已知m A=m B =1kg，轻弹簧的劲度系数为100N/m。
若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使木块A由静止开始以2m/s2的加速度竖直向上做匀加速直线运动，从木块A向上做匀加速运动开始到A、B分离的过程中。
动力学中的临界问题
临界
例 ２ 如 图 ３所示 ， 将质 量 为 １ 的 小球 Ｏ 用轻 绳挂 在 倾 角为 ３ 。 ７ 的光 滑斜 面上 ， 分析 试 小车向左加 速 ， 加 速度 逐 渐 增 大时 小球 所 受 且
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
各 弹力 的变化 ， 求 小球 能与 小 车始 终相 对静 并 止 时 ， 车加 速 度 的 最 大 值．（ ｉ ７ ＝ ０ ６ 小 ｓｎ 。 ３ ．’ ，
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量 的关 系分 析不 透 ， 能合 理 的选 择 对 应 的运 不 动学规 律 ， 致 解 题 费 时 费 力． 题 若 画 出运 导 此 动 的状 态 、 程 简 图 ， 在 图上标 明 状 态 物理 过 并 量和过 程物 理量 ， 可 清 晰运 动 情景 ， 活 、 就 灵 快
样 我们就 可 以利用求导 的方 法顺 利解决 ．
度 的最 大值 为 ： ＝７ ５ ｍ ｓ ， 果加 速度 继续 口 ． ／ 如 增 大 ， 球 将 与车 发 生 相 对运 动 ， 小 即相 对 车沿 斜 面上滑． 三、 当物 体 与接 触面 或 点的 弹 力为零 时两 物体 恰将 脱离 若例 ２中的小 车加 速 度 向右 逐渐 增 大 时 ，
方 向 ： ，ｉ３ 。一Ｆ ｃｓ７ Ｆｖ ｎ ７ ｓ ｒｏ３ 。＝ｍ０ Ｙ方 向 ：ｆｏ３ 。 ｒｉ３ 。＝ｍ Ｆｖ ｓ７ ＋Ｆ ｓ ７ ｃ ｎ ｇ ①
动力学中的临界问题
动力学中的临界问题在动力学问题中,常常会出现临界状态,对于此类问题的解法一般有以下三种方法.一、极限法如果题目中出现“最大〞、“最小〞、“刚好〞等关键词时,一般隐藏着临界问题,处理这类问题时,常常把物理问题或过程推向极端,从而将临界状态及临界条件显露出来,以便解题. 例1 如图1所示,质量均为M 的两个木块A 、B 在水平力F 的作用下,一起沿光滑的水平面运动,A 与B 的接触面光滑,且与水平面的夹角为60°,求使A 与B 一起运动时的水平力F 的范围.解析 当水平推力F 很小时,A 与B 一起做匀加速运动,当F 较大时,B对A 的弹力F N 竖直向上的分力等于A 的重力时,地面对A 的支持力F NA为零,此后,物体A 将会相对B 滑动.显而易见,此题的临界条件是水平力F 为某一值时,恰好使A 沿A 与B 的接触面向上滑动,即物体A 对地面的压力恰好为零,受力分析如图2. 对整体有：Ma F 2=；隔离A,有：0=NA F ,Ma F F N =- 60sin ,060cos =-Mg F N . 解得：Mg F 32=所以F 的范围是0≤F ≤Mg 32 二、假设法 有些物理过程没有出现明显的临界问题的线索,但在变化过程中不一定出现临界状态,解答此类问题,一般用假设法,即假设出现某种临界状态,物体的受力情况及运动状态与题设是否相符,最后再根据实际情况进行处理. 例2 一斜面放在水平地面上,倾角 53=θ,一个质量为0.2kg 的小球用细绳吊在斜面顶端,如图3所示.斜面静止时,球紧靠在斜面上,绳与斜面平行,不计斜面与水平面的摩擦,当斜面以10m/s 2的加速度向右运动时,求细绳的拉力及斜面对小球的弹力.〔g 取10m/s 2〕解析 斜面由静止向右加速运动过程中,斜面对小球的支持力将会随着a 的增大而减小,当a 较小时,小球受到三个力作用,此时细绳平行于斜面；当a 增大时,斜面对小球的支持力将会减少,当a 增大到某一值时,斜面对小球的支持力为零；假设a 继续增大,小球将会“飞离〞斜面,此时绳与水平方向的夹角将会大于θ角.而题中给出的斜面向右的加速度a=10m/s 2,到底属于上述哪一种情况,必须先假定小球能够脱离斜面,然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定.设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为a 0,此时斜面对小球的支持力恰好为零,小球只受到重力和细绳的拉力,且细绳仍然与斜面平行.对小球受力分析如图4所示.易知 0cot ma mg =θ 代入数据解得20/5.7s m a =由于2/10s m a =＞0a ,所以小球已离开斜面,斜面的支持力0=N F.图1图2图3 0 图4同理,由受力分析可知,细绳的拉力为：N ma mg T 83.2)()(22≈+=此时细绳拉力T 与水平方向的夹角为： 45arctan ==mamg θ 三、数学方法将物理过程转化为数学表达式,然后根据数学中求极值的方法求出临界条件.例3 如图5所示,质量为kg M 2=的木块与水平地面的动摩擦因数4.0=μ,木块用轻绳绕过光滑的定滑轮,轻绳另一端施一大小为20N的恒力F,使木块沿地面向右做直线运动,定滑轮离地面的高度cm h 10=,木块M 可视为质点,问木块从较远处向右运动到离定滑轮多远时加速度最大？最大加速度为多少？ 解析 设当轻绳与水平方向成角θ时,对M 有Ma F Mg F =--)sin (cos θμθ整理得Ma Mg F =-+μθμθ)sin (cos令A =+θμθsin cos ,可知,当A 取最大值时a 最大.利用三角函数知识有： )sin(12ϕθμ++=A ,其中211arcsinμϕ+=,而2max 1μ+=A ,与此相对应的角为 8.2111arcsin 902≈+-=μθ 所以加速度的最大值为：22max /8.61s m g M F a ≈-+=μμ此时木块离定滑轮的水平距离为：cm h S 25cot ≈=θ说明：此题并非在任何条件下都能到达上述最大加速度,当木块到达一定值时,有可能使物体脱离地面,此后物体将不在沿着水平面运动.因此,F 、M 、μ必须满足θsin F ≤Mg.此题所给数据满足上述条件,能够到达最大加速度.图5。
图解法分析动力学临界问题、动态分离问题的解题技巧、理想气体的图象问题
【思维导引】本题是动力学临界问题中两大类型之一——静摩擦力类临界问题的基本例题。很多学生 在解决这类问题时，把小物块视作始终处于静止状态，然后对小车分析得出拉力超过小物块对小车的摩擦 力就可以将小车拉出——其实，原来没能将小车拉出时，小物块就与小车相对静止具有共同加速度，而能 够将小车拉出来的情况下，小物块也因水平方向受到小车摩擦力而在向右加速运动。在明白这点的基础上， 才可能进行正确的分析，即对两者相对滑动的条件——从受力特点或者是从运动学特点——作出合乎逻辑 的分析，进而列方程求解。
大或者减小等）。
其他物体提供的力可以在一定范围内变化；若所需要的力在该范围内，则能够维持物体间的某种关联，
若所需要的力超出该范围，则物体间的该种关联被破坏。
二、动力学临界问题的类型
依据其他物体提供给物体的力的特点，可将动力学临界问题分为两大类型：供可变型和供不可变型。
1、供可变型 其他物体提供的力可以在一定范围内变化；若所需要的力在该范围内，则能够维持物体间的某种关联，
解法 1：“极端分析+受力转变条件”法 【要点提醒】这种方法的基本思路是：第一步，用极端分析法找到临界状态——两者就要发生相对滑 动（但还没有相对滑动）的状态，第二步，分析临界状态对应的临界条件，即受力转变条件——静摩擦力 增加到最大静摩擦力 Ff=Ffm。 【手把手】 第一步，用极端分析法找到临界状态 根据经验，我们知道，拉力 F 很小时，小物块将随小车一起向右加速运动，拉力 F 很大时，小物块将 相对小车向后滑动。因此，拉力 F 从很小逐渐增大时，必定有一个时候（F 取某个值 F0），此时，小物块 就要相对小车向后滑动但还没有相对滑动。这个状态即为本问题的临界状态。 第二步：分析临界条件——受力转变条件 在拉力 F 很小时，小物块之所以能够随小车一起向右加速运动，是因为小车对小物块的静摩擦力足以 维持两物体相对静止——给小物块提供随小车一起向右加速运动的加速度——这个加速度随整体加速度 增大而增大；当达到临界点时，整体加速度达到了一个临界值，此时，是最大静摩擦力给小物块提供加速 度；若整体加速度再增大，静摩擦力将不足以提供足够大的加速度——不能满足需要，于是就会发生相对
临界问题
临界问题1．临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态．2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件．3．临界问题的常见类型及临界条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体间的弹力恰好为零．(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断裂的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是张力为零．(4)加速度最大与速度最大的临界条件：当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值．例1.如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球(重力加速度为g )，(1)当滑块至少以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？(2)当滑块至少以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力等于零？(3)当滑块以2g 的加速度向左运动时，线上的拉力为多大？答案 (1)g (2)g (3)5mg例2. 一个质量为m 的小球B ，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A 、C 两点，如图所示，已知两绳拉直时，两绳与车厢前壁的夹角均为45°.重力加速度为g ，试求：(1)当车以加速度a 1＝12g 向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力的大小； (2)当车以加速度a 2＝2g 向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力的大小．答案 (1)52mg 0 (2)322mg 22mg例3.如图所示，在光滑的水平面上叠放着两木块A 、B ，质量分别是m 1和m 2，A 、B 间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g ，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，要把B 从A 下面拉出来，则拉力的大小必须满足( )A ．F >μ(m 1＋m 2)gB ．F >μ(m 1－m 2)gC ．F >μm 1gD ．F >μm 2g例4．如图所示，物体A 叠放在物体B 上，B 置于足够大的光滑水平面上，A 、B 质量分别为m A ＝6 kg 、m B ＝2 kg.A 、B 之间的动摩擦因数μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10 m/s 2.若作用在A 上的外力F 由0增大到45 N ，则此过程中( )A ．在拉力F ＝12 N 之前，物体一直保持静止状态B ．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N 时，开始发生相对运动C ．两物体从受力开始就有相对运动D ．两物体始终不发生相对运动总结：练习1.如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 、2m 的A 、B 两个物体，A 、B 间的最大静摩擦力为μmg ，现用水平拉力F 拉B ，使A 、B 以同一加速度运动，则拉力F 的最大值为( )A ．μmgB ．2μmgC ．3μmgD ．4μmg2.(多选)如图所示，已知物块A 、B 的质量分别为m 1＝4 kg 、m 2＝1 kg ，A 、B 间的动摩擦因数为μ1＝0.5，A 与地面之间的动摩擦因数为μ2＝0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，g 取10 m/s 2，在水平力F 的推动下，要使A 、B 一起运动且B 不下滑，则力F 的大小可能是( )A ．50 NB ．100 NC ．125 ND ．150 N3．(多选)在小车车厢的顶部用轻质细线悬挂一质量为m 的小球，在车厢水平底板上放着一个质量为M 的木块．当小车沿水平地面向左匀减速运动时，木块和车厢保持相对静止，悬挂小球的细线与竖直方向的夹角是30°，如图所示．已知当地的重力加速度为g ，木块与车厢底板间的动摩擦因数为0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．下列说法正确的是( )A ．此时小球的加速度大小为12gB ．此时小车的加速度方向水平向左C ．此时木块受到的摩擦力大小为33Mg ，方向水平向右5 D．若增大小车的加速度，当木块相对车厢底板即将滑动时，小球对细线的拉力大小为4mg。
第四章 运动和力的关系 临界(极值)问题(课件)高中物理课件(人教版2019必修第一册)
θ
G
【例题】在水平向右运动的小车上，有一倾角θ=370的光滑斜面，质量为m的小球被平行
于斜面的细绳系住而静止于斜面上，如图所示。当小车分别以a1=g和a2=2g 的加速度水平
a
向右运动时，绳对小球的拉力及斜面对小球的弹力各为多大？
FT
解：小球即将脱离斜面支持力FN =0
对小球进行受力分析，得合力：
必须大于或等于1 N．
当F较大时，在A到达B的右端之前，就与B具有相同的速度，之后A必须相对于B
静止，才不会从B的左端滑落．对A、B整体和A分别应用牛顿第二定律
得F＝(m＋M)a，μMg＝Ma 解得F＝3 N．
若F大于3 N，A就会相对于B向左滑下
综合得出力F应满足的条件是1 N≤F≤3 N．
【例题】如图甲所示，物体P置于光滑的水平面上，用轻细线跨过质量不计的光滑
沿y轴方向
FNcosθ + FTsinθ=mg
将 a=g 代入
得
FT=－0.2mg
FN=1.4mg
FT的负号表示绳已松弛，故FT=0
a
y
FN
FT
x
θ
G
【拓展】上述问题中，若小车向左加速运动 ，试求加速度a=g时的绳中张力。
解：绳子即将变柔软时拉力FT =0
a
对小球进行受力分析，得合力：
FN
F=mgtanθ =ma
M
fm
则两者保持相对静止的最大加速度为
am=fm/M= µmg/M=3m/s2
再取整体为研究对象受力如图
得：Fm=(M+m) am=30N
m
而 F=25N <Fm
M
Fm
木块与小车保持相对静止一起加速
高中物理-动力学中的临界问题
动力学中的临界问题1．当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件。
用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键。
2．临界或极值条件的标志（1）有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，表明题述的过程存在着临界点；（2）若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；（3）若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点；（4）若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度。
3．产生临界问题的条件（1）接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N=0。
（2）相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值。
（3）绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是F T=0。
（4）加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度。
当出现速度有最大值或最小值的临界条件时，物体处于临界状态，所对应的速度便会出现最大值或最小值。
例1：如图所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg的恒力F 向上拉B，运动距离h时，B与A分离，下列说法正确的是( )A．B和A刚分离时，弹簧长度等于原长B．B和A刚分离时，它们的加速度为gC．弹簧的劲度系数等于mg hD．在B和A分离前，它们做匀加速直线运动例2：如图所示，质量为m =1 kg 的物块放在倾角为θ=37°的斜面体上，斜面体质量为M=2 kg ，斜面体与物块间的动摩擦因数为μ=0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F ，要使物块m 相对斜面静止，试确定推力F 的取值范围。
专题：动力学中的临界问题
专题：动力学中的临界问题一、什么是临界问题特征：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态关键词：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件二、临界问题如何处理1.对整体写牛顿第二定律2.把其中任意一个物体隔离写牛顿第二定律3.找出临界条件三、常见的临界问题的类型1.叠加体之间的临界问题（1）假设两物体相对静止，对整体写牛顿第二定律（2）隔离叠放在上面的物体，列牛顿第二定律（3）取临界条件：f=μmg，F=F0（4）此F0就是保持两物体相对静止的最大力F，或者使两物体相对运动的最小力F2.斜面上小球的飞离问题（1）取临界条件N=0，隔离小球，列牛顿第二定律，求出临界加速度a0（2）若加速度超过a0，小球会飞起来，绳子与竖直方向的夹角会发生变化（3）若加速度小于a0，小球对斜面有挤压，重新列牛顿第二定律，计算拉力和支持力（注意a的方向）3.接触与脱离的临界条件：弹力为0.4.加速度最大与速度最大临界条件：当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值．5.绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是绳上的张力为零．【典型例题剖析】例1：一个质量为m 的小球B ，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A 、C 两点，如图所示，已知两绳拉直时，两绳与车厢前壁的夹角均为45°.重力加速度为g ，试求：(1)当车以加速度a 1＝12g 向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力的大小；(2)当车以加速度a 2＝2g 向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力的大小． 答案 (1)52mg 0 (2)322mg 22mg 例2：如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球．(1)当滑块至少以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？ (2)当滑块至少以多大的加速度a 1向左运动时，小球对滑块的压力等于零？ (3)当滑块以a ′＝2g 的加速度向左运动时，线中拉力为多大？思路点拨：①当绳的拉力为0时，加速度由重力和支持力的合力提供． ②当小球对斜面的压力为0时，加速度由绳拉力和重力提供． ③正确受力分析以及找准临界条件是解题关键．甲[解析] (1)对小球受力分析，小球受重力mg 、线的拉力T 和斜面支持力N 作用，如图甲，当T ＝0时有N cos 45°＝mgN sin 45°＝ma解得a ＝g .故当向右加速度为g 时线上的拉力为0.乙(2)假设滑块具有向左的加速度a1时，小球受重力mg、线的拉力T1和斜面的支持力N1作用，如图乙所示．由牛顿第二定律得水平方向：T1cos 45°－N1sin 45°＝ma1，竖直方向：T1sin 45°＋N1cos 45°－mg＝0.由上述两式解得N1＝2m(g－a1)2，T1＝2m(g＋a1)2.由此两式可以看出，当加速度a1增大时，球所受的支持力N1减小，线的拉力T1增大．当a1＝g时，N1＝0，此时小球虽与斜面接触但无压力，处于临界状态，这时绳的拉力为F T1＝2mg.所以滑块至少以a1＝g的加速度向左运动时小球对滑块的压力等于零．丙(3)当滑块加速度大于g时，小球将“飘”离斜面而只受线的拉力和重力的作用，如图丙所示，此时细线与水平方向间的夹角α<45°.由牛顿第二定律得T′cos α＝ma′，T′sin α＝mg，解得T′＝m a′2＋g2＝5mg.[答案](1)g(2)g(3)5mg例3：如图所示，质量分别为m和2m的两物体A、B叠放在一起，放在光滑的水平地面上，若用水平力分别作用在A或B上，使A、B保持相对静止做加速运动，则作用于A、B上的最大拉力F A与F B之比为多少？例4：如图所示,A、B两物块的质量分别为2m和m,静止叠放在水平地面上.A、B间的动摩擦因数为μ,B与地面间的动摩擦因数为12μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g.现对A施加一水平拉力F,要使AB相对运动，则力F的最小值为多少？【课后巩固练习】1．质量为0.1 kg的小球，用细线吊在倾角α为37°的斜面上，如图所示．系统静止时绳与斜面平行，不计一切摩擦．当斜面体向右匀加速运动时，小球与斜面刚好不分离，则斜面体的加速度为( )A ．g sin αB ．g cos αC ．g tan α D.gtan α答案：D2.如图所示，小球A 和B 的质量均为m ，长度相同的四根细线分别连接在两球间、球与水平天花板上P 点以及与竖直墙上的Q 点之间，它们均被拉直，且P 、B 间细线恰好处于竖直方向，两小球均处于静止状态，则Q 、A 间水平细线对球的拉力大小为( )A.22mg B.mg C.3mg D.33mg 答案 C3. 如图所示，质量为M 的框架放在水平地面上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端固定一个质量为m 的小球，小球上下振动时，框架始终没有跳起，当框架对地面压力为零的瞬间，小球的加速度大小为多少？答案M ＋mmg 4.如图所示，在前进的车厢的竖直后壁上放一个物体，物体与壁间的动摩擦因数为μ，要使物体不下滑，车厢前进的加速度至少应为(重力加速度为g ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( )A ．μg B.gμC.μg D ．g 答案：B5.如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 、2m 的A 、B 两个物体，A 、B 间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，则拉力F的最大值为() A．μmg B．2μmgC．3μmg D．4μmg答案：C[要使A、B以同一加速度运动，拉力F最大时，整体具有最大加速度，整体由牛顿第二定律得F＝3ma；此时，A与B间达到最大静摩擦力，对A由牛顿第二定律得μmg＝ma，即a＝μg，则F＝3ma＝3μmg，故选项C正确．]6.如图所示，质量为M的木板，上表面水平，放在水平桌面上，木板上面有一质量为m的物块，物块与木板及木板与桌面间的动摩擦因数均为μ，若要以水平外力F将木板抽出，则力F的大小至少为(设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等)()A．μmg B．μ(M＋m)gC．μ(m＋2M)g D．2μ(M＋m)g答案 D7.如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于足够大的光滑水平面上，A、B质量分别为m A ＝6 kg、m B＝2 kg.A、B之间的动摩擦因数μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2.若作用在A上的外力F由0增大到45 N，则此过程中()A．在拉力F＝12 N之前，物体一直保持静止状态B．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N时，开始发生相对运动C．两物体从受力开始就有相对运动D．两物体始终不发生相对运动答案 D8.(多选)如图所示，已知物块A、B的质量分别为m1＝4 kg、m2＝1 kg，A、B间的动摩擦因数为μ1＝0.5，A与地面之间的动摩擦因数为μ2＝0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，g取10 m/s2，在水平力F的推动下，要使A、B一起运动且B不下滑，则力F的大小可能是()A．50 N B．100 NC．125 N D．150 N答案CD9.如图所示，一夹子夹住木块，在力F作用下向上提升，夹子和木块的质量分别为m、M，夹子与木块两侧间的最大静摩擦力均为f。
高中物理：动力学中的临界、极值问题
高中物理：动力学中的临界、极值问题1．动力学中的典型临界问题(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离的临界条件是弹力N ＝0.(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绝对张力等于它所能承受的最大张力．绳子松弛与拉紧的临界条件是T ＝0.(4)加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，所对应的速度便会出现最大值或最小值．2．求解临界极值问题的三种常用方法(1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的．(2)假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题．(3)数学法：将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件．[典例3] 如图所示，质量m ＝1 kg 的光滑小球用细线系在质量为M ＝8 kg 、倾角为α＝37°的斜面体上，细线与斜面平行，斜面体与水平面间的摩擦不计，g 取10 m/s 2.试求：(1)若用水平向右的力F 拉斜面体，要使小球不离开斜面，拉力F 不能超过多少？(2)若用水平向左的力F ′推斜面体，要使小球不沿斜面滑动，推力F ′不能超过多少？[解析] (1)小球不离开斜面体，两者加速度相同、临界条件为斜面体对小球的支持力恰好为0对小球受力分析如图：由牛顿第二定律得：mg ·cot 37°＝maa ＝g cot 37°＝403m/s 2 对整体由牛顿第二定律得：F ＝(M ＋m )a ＝120 N.(2)小球不沿斜面滑动，两者加速度相同，临界条件是细线对小球的拉力恰好为0，对小球受力分析如图：由牛顿第二定律得：mg tan 37°＝ma ′a′＝g tan 37°＝7.5 m/s2对整体由牛顿第二定律得：F′＝(M＋m)a′＝67.5 N.[答案](1)120 N(2)67.5 N[规律总结]求解此类问题时，一定要找准临界点，从临界点入手分析物体的受力情况和运动情况，看哪些量达到了极值，然后对临界状态应用牛顿第二定律结合整体法、隔离法求解即可．7．如图所示，有一光滑斜面倾角为θ，放在水平面上，用固定的竖直挡板A与斜面夹住一个光滑球，球质量为m.若要使球对竖直挡板无压力，球连同斜面应一起()A．水平向右加速，加速度a＝g tan θB．水平向左加速，加速度a＝g tan θC．水平向右减速，加速度a＝g sin θD．水平向左减速，加速度a＝g sin θ解析：球对竖直挡板无压力时，受力如图所示，重力mg和斜面支持力N的合力方向水平向左．F＝mg tan θ＝ma，解得a＝g tan θ，因此斜面应向左加速或者向右减速．答案：B8．(多选)如图所示，粗糙水平面上放置质量分别为m、2m和3m的3个木块，木块与水平面间动摩擦因数相同，其间均用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为T.现用水平拉力F拉其中一个质量为2m 的木块，使3个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是()A．绳断前，a、b两轻绳的拉力比总为4∶1B．当F逐渐增大到T时，轻绳a刚好被拉断C．当F逐渐增大到1.5T时，轻绳a刚好被拉断D．若水平面是光滑的，则绳断前，a、b两轻绳的拉力比大于4∶1解析：取三木块为整体，则有F－6μmg＝6ma，取质量m、3m的木块为整体，则有T a －4μmg＝4ma，隔离m则有T b－μmg＝ma，所以绳断前，a、b两轻绳的拉力比总为4∶1，与F、μ无关，A对，D错；当a绳要断时，则a＝T4m－μg，所以拉力F＝1.5T，B错，C对．答案：AC9．一弹簧秤的秤盘A 的质量m ＝1.5 kg ，盘上放一物体B ，B 的质量为M ＝10.5 kg ，弹簧本身质量不计，其劲度系数k ＝800 N /m ，系统静止时如图所示．现给B 一个竖直向上的力F 使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.20 s 内，F 是变力，以后F 是恒力，求F 的最大值和最小值．(g 取10 m/s 2)解析：设刚开始时弹簧压缩量为x 1，则x 1＝(m ＋M )g k＝0.15 m ① 设两者刚好分离时弹簧压缩量为x 2，则kx 2－mg ＝ma ②在前0.2 s 时间内，由运动学公式得：x 1－x 2＝12at 2③ 由①②③解得：a ＝6 m/s 2由牛顿第二定律，开始时：F min ＝(m ＋M )a ＝72 N最终分离后：F max －Mg ＝Ma即：F max ＝M (g ＋a )＝168 N.答案：168 N 72 N。
动力学中临界问题
2m k
D.这个过程A的位移为 mg k
图13
ACD
一弹簧称的称盘质量m1=1.5kg，盘内放一物体P，P的质量
m2=10.5kg，弹簧质量不计，其劲度系数k=800N/m，系统处于静
止状态，现给P施加一竖直向上的力F使Ｐ从静止开始向上做匀 加速运动，已知在最初0.2s内F是变力，在0.2s后F是恒力，求F
(3)数学方法
将物理过程转化为数学表达式，再由数学中求极值的方法，求出临界条件。通常 要涉及二次函数、不等式、三角函数等。
典型问题一：张紧的绳子变成松驰绳子的临界条件是FT=0
a
典型问题二：相互挤压的物体发生分离的临界条件是FN=0
变式7 (多选)(2018·盐城中学段考)如图13所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上
、t、x五个量中知“ 三”可求“二”
找准角度不要与斜面 倾角混淆
(1)极限法
特征：题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等关键词时,一般隐含着临界问题。处 理方法：常把物理问题或过程推向极端,从而将临界状态及临界条件显露出来,以 达到快速求解的目的。
(2)假设法
特征：有些物理过程无明显的临界问题线索,但在变化过程中可能出现临界状态, 也可能不会出现临界状态。处理方法：一般用假设法,即假设出现某种临界状态, 分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符,然后根据实际情况进行处理。
的最小值和最大值各为多少？
典型问题三：相对静止的物体发生相对运题，详尽分析问题中变化的过程(包括分析整体 过程中有几个阶段)； (2)寻找过程中变化的物理量； (3)探索物理量的变化规律； (4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系。 挖掘临界条件是解题的关键。
2．几种临界状态和其对应的临界条件如下表所示：
超级经典实用的临界问题和极值问题(吐血整理)
如图3—51所示，把长方体切成质量分别为m和M的 两部分，切面与底面的夹角为θ长方体置于光滑的 水平地面，设切面亦光滑，问至少用多大的水平力 推m，m才相对M滑动?
如图1所示，质量均为M的两个木块A、B在水平力F 的作用下，一起沿光滑的水平面运动，A与B的接触面 光滑，且与水平面的夹角为60°，求使A与B一起运 动时的水平力F的范围。
临界问题和极值问题
一、临界状态
在物体的运动状态发生变化的过程中，往往 达到某一特定的状态时，有关物理量将发生 变化，此状态即为临界状态，相应物理量的 值为临界值。【讨论相互作用的物体是否会 发生相对滑动，相互接触的物体是否会分离 等问题就是临界问题】 注意：题目中出现“最大、刚好、恰好、最 小”等词语时，常有临界问题。
F
A
ห้องสมุดไป่ตู้
B 60°
图1
1、在水平向右运动的小车上，有一倾角θ=370的光 滑斜面，质量为 m 的小球被平行于斜面的细绳系住 而静止于斜面上，如图所示。当小车以（1）a1=g, (2) a2=2g 的加速度水平向右运动时，绳对小球的拉 力及斜面对小球的弹力各为多大？
a
θ
二、动力学中常见的临界问题
1、接触的两物体发生脱离（分离）临界条件： 弹力FN=0； 2、两相对静止的物体发生相对滑动的临界条 件：静摩擦力达到最大值，即f=fMax； 3、绳子断裂和松弛的临界条件：（1）断裂 的临界条件：绳子受的拉力达到它能承受拉 力的最大值；（2）松弛临界条件：绳子受的 拉力为零，即FT=0
4、加速度达到最大和最小的临界条件：物体 受到变化的合外力作用，加速度不断变化， 当所受合外力最大时，加速度最大；合外力 最小时，加速度最小； 5、速度最大或最小的临界条件：加速度为零， 即a=0
如何分析动力学中的临界问题
如何分析动力学中的临界问题在应用牛顿定律解决动力学的问题中，当物体的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，常常会有临界现象出现。
解决临界问题的方法常常有三种：1、极限法：在题目中如出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，一般隐蔽着临界问题，处理此类问题时，应把物理问题（或过程）推向极端，从而使临界现象（或状态）暴露出来，达到尽快求解的目的。
例1、如图甲，质量为m=1Kg的物块放在倾角为θ的斜面上，斜面体质量为M=2Kg，斜面与物块间的动摩擦因数μ=0.2，地面光滑，θ=370，现对斜面体施一水平推力F，要使物体m相对斜面静止，力F应为多大？（设物体与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2）[解析]：现采用极限法把F推向两个极端来分析：当F较大时（足够大），物块将相对斜面上滑；当F较小时（趋于零），物块将沿斜面加速下滑；因此F不能太小，也不能太大，F的取值是一个范围。
（1）设物块处于相对斜面向下滑的临界状态时，推力为F1，此时物块受力如图乙，取加速度a的方向为x轴正方向。
对m：x方向：NSinθ-μNCosθ=ma1y方向：NCosθ+μNSinθ-mg=0对整体：F1=（M+m）a1把已知条件代入，解得：a1=4.78m/s2，F1=14.34N（2）设物块处于相对斜面向上滑的临界状态时，推力为F2，此时物块受力如图丙，对m：x方向：NSinθ+μNCosθ=ma2y方向：NCosθ-μNSinθ-mg=0对整体：F2=（M+m）a2把已知条件代入，解得：a2=11.2m/s2，F2=33.6N则力F的范围：14.34N≤F≤33.6N2、假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答此类题目，一般采用假设法。
例2、一个物体沿摩擦因数一定的斜面加速下滑，下列图象，哪个比较准确地描述了加速度a与斜面倾角θ的关系？[解析]：设摩擦图1图2因数为μ，则a=gSin θ-μgCos θ做如下几种假设：（1）当θ=00时，物体静止在水平面上，a=0（2）当θ=arctg μ时，物体开始匀速下滑，a=0（3）当θ>arctg μ时，物体加速下滑，a>0（4）当θ=900时，F=μmgCos900=0，加速度达到极限值，a=g 即物体做自由落体运动。
动力学临界问题的类型和处理技巧
动力学临界问题的类型和处理技巧动力学临界问题是指在连续系统中，当一些参数取特定值时，系统的行为会发生显著变化，通常会出现稳定态与不稳定态之间的转变或者出现周期性的运动。
这些问题在物理学、化学、工程学以及生物学等领域中都有重要的应用。
1.同宿临界：同宿临界是指当系统参数达到其中一特定值时，系统在稳定态与不稳定态之间出现切换。
典型的例子是在化学反应中的化学平衡点，当温度、压力或浓度等参数发生变化时，反应体系将从不稳定态向稳定态过渡，反应速率变化明显。
2.分岔临界：分岔临界是指当系统一些参数改变时，系统的稳定态之间产生分岔现象。
例如，在分岔临界下，液滴在滑坡顶部的平衡状态将无法确定，可能会选择以不同的方式滑落。
3.透明临界：透明临界是指在系统中存在从透明到不透明的突变现象。
典型的例子是计算机图形学中的阴影投射，当光源趋近于物体表面时，物体的阴影发生突变。
处理动力学临界问题的技巧与问题类型密切相关。
以下是一些常见的处理技巧：1.稳定性分析：稳定性分析是研究系统施加微小扰动后是否趋于稳定态的方法。
通过线性化系统方程，可以得到系统的稳定性条件。
当参数达到临界值时，稳定性条件发生变化，从而导致系统行为的显著变化。
2.极限环分析：极限环是指在动力学系统中出现的周期性运动。
通过分析系统非线性特性和极限环的存在条件，可以预测系统在临界点附近运动的行为。
3.数值模拟：数值模拟是通过数值方法对动力学系统进行模拟和分析的技术手段。
通过在临界点附近进行数值模拟，可以研究系统的行为变化，并预测系统在临界点的稳定态。
4.实验观测：实验观测是研究动力学临界问题的重要手段。
通过改变系统参数，观察系统行为的变化，并记录实验数据，可以揭示临界点的存在和系统行为的变化。
总之，动力学临界问题是一个具有重要应用价值的研究领域。
通过理论分析、数值模拟和实验观测等手段，可以揭示系统在临界点附近的动力学行为，并为解决一些现实问题提供理论依据。
在实际研究中，还需要结合具体问题的特点，选择合适的处理技巧进行分析。
动力学中的临界问题
动力学中的临界问题（1）一、平衡中临界、极值1、临界问题：当某种物理现象(或物理状态)变为另一种物理现象(或另一物理状态)时的转折状态叫做临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．2临界问题的分析方法：极限分析法：通过恰当地选取某个物理量推向极端(“极大”、“极小”)从而把比较隐蔽的临界现象(“各种可能性”)暴露出来，便于解答．例1 如图所示，水平面上两物体m1、m2经一细绳相连，在水平力F 的作用下处于静止状态，则连结两物体绳中的张力可能为( )A.零 B.F/2 C.F D.大于F例2如图所示质量为3㎏的球A用两根不可伸长的轻质细线BA、BC连接在竖直墙上，AC 垂直于墙，现在给A施加一个力F，图中的θ角均为60○，要使两条细线都能绷直且A保持静止，求F的大小应满足的条件。
取g=10m/s2二、动力学中临界、极值1刚好相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值，即f静=fm。
注：此时加速度仍相等。
例5如图所示,在光滑水平面上叠放着A、B两物体,已知mA=6 kg、mB=2 kg,A、B间动摩擦因数μ=0.2,在物体A上系一细线,细线所能承受的最大拉力是20 N,现水平向右拉细线,g 取10 m/s2,则( )A.当拉力F<12 N时,A静止不动B.当拉力F>12 N时,A相对B滑动C.当拉力F=16 N时,B受A的摩擦力等于4 ND.无论拉力F多大,A相对B始终静止例6.如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m和2m的四个木块，其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg.现用水平拉力F拉其中一个质量为2m的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m的最大拉力为()2.相互接触的两物体脱离的临界条件----相互作用的弹力为零。
即N=0，此时速度v、加速度a相同。
3、绳子松弛的临界条件是绳中张力为零， 即T=0。
例7．如图所示，在光滑的水平面上放着紧靠在一起的A 、B 两物体，B 的质量是A 的2倍，B 受到向右的恒力FB ＝2 N ，A 受到的水平力F A ＝(9－2t )N(t 单位是s)．从t ＝0开始计时，则 ( )•• A 物体在3 s 末时刻的加速度是初始时刻的 5/11 倍• B ．t ＞4 s 后，B 物体做匀加速直线运动• C ．t ＝4.5 s 时，A 物体的速度为零 • D ．t ＞4.5 s 后，A 、B 的加速度方向相反例8．一个质量为m 的小球B ，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A 、C 两点，已知两绳拉直时，如图所示，两绳与车厢前壁的夹角均为45°.试求：• (1)当车以加速度a 1＝ 0.5g 向左做匀加速直线运动时1、2两绳的拉力．• (2)当车以加速度a 2＝2g 向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力．例9.如图所示,倾角为α的光滑斜面体上有一个小球m 被平行于斜面的细绳系于斜面上,斜面体放在水平面上.(1)要使小球对斜面无压力,求斜面体运动的加速度范围,并说明其方向.(2)要使小球对细绳无拉力,求斜面体运动的加速度范围,并说明其方向.(3)若已知α=60°,m=2 kg,当斜面体以a=10 m/s2向右做匀加速运动时,绳对小球拉力多大?(g 取10 m/s2)三、弹簧中临界、极值问题例10：一弹簧秤的秤盘质量m1=1．5kg ，盘内放一质量为m2=10．5kg 的物体P ，弹簧质量不计，其劲度系数为k=800N/m ，系统处于静止状态，如图9所示。
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A
T (2mg) (mg)
2 2
2
mg
450
故此时，绳中的拉力:
T (2mg ) 2 (mg ) 2 5mg
拓展：滑块以向左的加速度a=0.5g运动时，线中拉力T和斜面 的支持力各为多少？ ．
在水平方向：Tcos45°－Nsin45°=0.5mg ① 在竖直方向：Tsin45°+Ncos45°=mg 联立①②得： T= N= mg
②
动力学中的临界问题（三）
【例2】如图所示，一质量为M、长为L的长方形木板B放在光滑的 水平地面上，在其右端放一质量为m的小木块A。 A、B之间摩擦因 数为µ。现用水平恒力F作用于B。试求使AB滑离的最小拉力F。
滑： A、B间摩擦为滑动摩擦 未滑：A、B速度相等或加速度相等。 解：A、B即将滑离时有： 对B有： m g Ma ① ② A F B
动力学中的临界问题（三）
接触体中的临界问题-------“要离而未离” 、“要飘而未飘” 【例3】【教辅P59例2】如右图所示，细线的一端固定于倾角为 45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的 小球当滑块以向左的加速度a=0.5g运动时，线中拉力T= 斜面 的支持力N= ． y 分析：当滑块具有向左的加速度a=0.5g时，加 T N 速度小于g，故此时小球未脱离斜面。小球受 重力mg、绳的拉力T和斜面的支持力N作用， x 如图所示．有：
A F
பைடு நூலகம்
B
拉力不大时，A、B会保持相对静止；随着拉力F的增大，A的 加速度因大于B的加速度时，而有了相对滑动。 分析：求A、B滑离的临界条件。此时，系统应兼具滑与未滑 的特点。只需分别列出滑与未滑的表达式，联立即可。
动力学中的临界问题（二）
【知识回顾】 滑板模型中的临界问题-------“要滑而未滑”
分析：求A、B不相撞的临界条件。此时，系统应兼具撞与未撞 的特点。只需分别列出撞与未撞的表达式，联立即可。
撞： 两车距离为零，即有表达式：△x=0
未撞：VA=VB 解：小汽车恰不撞拖拉机时应有： 1 2 x 0 10t at 3t 10 即 2 v A vB 10 at 3 解得： a
动力学中的临界问题
一、什么叫临界问题？
当物体由一种物理状态变为另一种物理状态时，可能存在一个
过渡的转折点，这时物体所处的状态通常称为临界状态，与之相
关的物理条件则称为临界条件.解答临界问题的关键是找临界条件. 二、如何在题干中捕捉临界问题？ 许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、 “不相撞”、“恰脱离”等词语对临界状态给出了明确的暗示，审
动力学中的临界问题（二）
【知识回顾】 滑板模型中的临界问题-------“要滑而未滑” 【例2】如图所示，一质量为M、长为L的长方形木板B放在光滑的 水平地面上，在其右端放一质量为m的小木块A。 A、B之间摩擦因 数为µ。现用水平恒力F作用于A。试求使AB滑离的最小拉力F。
F f 分析：A的加速度 a A m f mg B的加速度 a B M M
（M m)a 对A、B整体有： F
联立①②得使AB滑离的最小拉力 F
m( M m) g
M
动力学中的临界问题
【知识小结】 1、所谓临界问题，就是物体由一种物理状态变为另一种物理状 态时的一个转折点。
2、临界问题的处理技巧关键在于把握两个状态下的物理状态特点， 并用物理公式将其表述出来。
题时，一定要抓住这些特定的词语，发掘其内含规律，找出临界条
件.
动力学中的临界问题（一）
【例1】一辆小汽车以速度10m/s作匀速直线运动经过某一处时，发 现前面10m处有一拖拉机以3m/s的速度匀速前进，为不相撞，小汽 车至少应施以多大的加速度？
【知识回顾】 追赶问题中的临界问题-------“要撞而未撞”
【例3】【教辅P59例2】如右图所示，细线的一端固定于倾角为 45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小 球．当滑块至少以向左的加速度a= 运动时，小球对滑块的压力等 于零，当滑块以向左的加速度a=2g运动时，线中拉力T= ． 飘： 滑块与斜面间支持力为0 T 未飘： 绳依然平行于斜面. 解：球即将”飘”离斜面时,小球受重力mg、绳的 拉力T作用，如图所示． mg
①“要撞而未撞” ②“要滑而未滑”
撞： x 0 未撞：v A vB 滑： A、B间摩擦为滑动摩擦 未滑：A、B速度相等或加速度相等。
动力学中的临界问题（三）
接触体中的临界问题-------“要离而未离” 、“要飘而未飘”
【例3】【教辅P59例2】如右图所示，细线的一端固定于倾角为 45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小 球．当滑块至少以向左的加速度a= 运动时，小球对滑块的压力等 于零，当滑块以向左的加速度a=2g运动时，线中拉力T= y． 分析：当滑块具有向左的加速度a时，假设 小球受重力mg、绳的拉力T和斜面的支持力 N作用，如图所示． 在水平方向：Tcos45°－Nsin45°=ma T N x mg
由上式可看出，当加速度a增大时，球受绳拉力T增加．当加速度 增大到一定值时，因绳的拉力的竖直分力大于重力，而使小球“飘 离”斜面．所以本题中蕴涵着”临界点问题”-----此类问题谓之 “要离而未离” 、“要飘而未飘”
动力学中的临界问题（三）
接触体中的临界问题-------“要离而未离” 、“要飘而未飘”
mg 则有 tan 45 ma
0
故小球对滑块的压力刚好等于零时,a=g 。
动力学中的临界问题（三）
接触体中的临界问题-------“要离而未离” 、“要飘而未飘” 【例3】【教辅P59例2】如右图所示，细线的一端固定于倾角为 45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的 小球．当滑块至少以加速度a= 向左运动时，小球对滑块的压力 等于零，当滑块以向左的加速度a=2g运动时，线中拉力T= ．