2019-2020高中数学第三章导数及其应用3-1-1平均变化率学案苏教版选修1_1
高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021
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3.1。
2 瞬时变化率—导数学习目标：1。
理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。
当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。
高中数学第3章导数及其应用3.1.1平均变化率课件苏教版选修1-1
1.函数 y＝x2＋ax＋b，当自变量由 0 变化到 1 时，函数值的变化量为________. 【解析】 函数值的变化量为 f(0＋1)－f(0)＝(0＋1)2＋a(0＋1)＋b－02－a·0－b ＝1＋a. 【答案】 1＋a
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
图 3-1-1
1.若已知函数的图象，可从函数的图象上大致分析函数的变化快慢. 2.利用平均变化率的计算公式可以对函数的平均变化快慢进行具体精确的分 析，在实际问题中，平均变化率具有更为具体的现实意义.
求函数的平均变化率
已知函数 f(x)＝x12， (1)求 f(x)在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率.(x0≠0)； (2)求 f(x)在 2 到 2.1 之间的平均变化率.
阶
阶
段
段
一
三
3.1 导数的概念
3.1.1 平均变化率
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1.理解并会求具体函数的平均变化率.(重点) 2.会在具体的环境中说明平均变化率的实际意义.(难点)
[基础·初探] 教材整理 平均变化率 阅读教材 P67～P68 例 1 以上部分，完成下列问题. 平均变化率
高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念 3.1.1
3.1.1 平均变化率学习目标：1.理解并会求具体函数的平均变化率．(重点) 2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中说明平均变化率的实际意义．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]平均变化率 1．定义：一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.2．实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． 3．意义：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．[基础自测]1．判断正误：(1)f (x )＝x 2，f (x )在[－1,1]上的平均变化率为0.( )(2)f (x )＝x 2在[－1,0]上的平均变化率小于其在[0,1]上的平均变化率，所以f (x )在[－1,0]上不如在[0,1]上变化的快．( )(3)平均变化率不能反映函数值变化的快慢．( ) 【解析】 (1)√.f (x )在[－1,1]上的平均变化率为f 1－f －11－－1＝1－12＝0. (2)×.f (x )＝x 2在[－1,0]和[0,1]上的变化快慢是相同的． (3)×.平均变化率能反映函数值变化的快慢． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×2．f (x )＝1x2在[1,2]上的平均变化率为________．【解析】 函数f (x )在[1,2]上的平均变化率为14－12－1＝－34.【答案】 －34[合 作 探 究·攻 重 难]变化率的概念及意义的应用2012年冬至门统计，该市小麦受旱面积如图311所示，据图回答：【导学号：95902174】图311(1)2012年11月到2012年12月期间，小麦受旱面积变化大吗？ (2)哪个时间段内，小麦受旱面积增加最快？(3)从2012.11到2013.2与从2013.1到2013.2间，小麦受旱面积平均变化率哪个大？ [思路探究] (1)(2)根据图形进行分析；(3)利用平均变化率公式进行具体分析． 【自主解答】 (1)由图形可知，在2012年11月～2012年12月期间，小麦受旱面积变化不大．(2)由图形可知，在2013.1～2013.2间，平均变化率较大，故小麦受旱面积增加最快． (3)从2012.11～2013.2，小麦受旱面积平均变化率为y B －y A4，从2013.1～2013.2，小麦受旱面积平均变化率为y B －y C1＝y B －y C ，显然y B －y C ＞y B －y A4，所以，从2013.1～2013.2期间小麦受旱面积平均变化率大．[规律方法]1．若已知函数的图象，可从函数的图象上大致分析函数的变化快慢．2．利用平均变化率的计算公式可以对函数的平均变化快慢进行具体精确的分析，在实际问题中，平均变化率具有更为具体的现实意义．[跟踪训练]1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图如图312，同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？图312【解】 山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB＝10－050－0＝15， 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝15－1070－50＝14，∴h BC ＞h AB .∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多.求函数的平均变化率已知函数f (x )＝1x2，(1)求f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．(x 0≠0)； (2)求f (x )在2到2.1之间的平均变化率.【导学号：95902175】[思路探究] (1)由于自变量出现在分母中，因此题目中给出了“x 0≠0”的条件．在一些特殊条件下，如果题干中未给出这一条件，就需分类讨论．因此，本例只需直接套用公式就可以了；(2)利用(1)的结论计算．【自主解答】 (1)f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x＝1x 0＋Δx2－1x 2Δx＝－Δx 2x 0＋Δx x 0＋Δx 2x 20Δx ＝－2x 0＋Δx x 0＋Δx 2x 20.(2)把x 0＝2，Δx ＝2.1－2＝0.1代入(1)中得到的结论可得：－2×2＋0.12＋0.12×22＝－0.232.[规律方法]1．求平均变化率的步骤：(1)先求x 2－x 1，再计算f (x 2)－f (x 1)； (2)由定义得出f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx.2．注意事项：计算时要对f (x 2)－f (x 1)进行合理的变形，以便化简． [跟踪训练]2．求函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝2附近的平均变化率． 【解】 设自变量x 在x ＝2附近的变化量为Δx ， 则平均变化率为[2＋Δx2－22＋Δx ＋1]－22－4＋1Δx ＝Δx 2＋2ΔxΔx＝Δx ＋2.平均变化率的应用[探究问题]1．平均变化率的定义式为f x 2－f x 1x 2－x 1，它刻画了函数f (x )在区间[x 1，x 2]内变化的快慢，f x 0＋Δx －f x 0－Δx2Δx表示的是函数f (x )在哪个区间上的平均变化率？【提示】 [x 0－Δx ，x 0＋Δx ]2．平均变化率为0，能否说明函数没有发生变化？【提示】 不能说明．理由：函数的平均变化率只能粗略地描述函数的变化趋势，增量Δx 取值越小，越能准确地体现函数的变化情况．在某些情况下，求出的平均变化率为0，并不一定说明函数没有发生变化．如函数f (x )＝x 2在[－2,2]上的平均变化率为0，但f (x )的图象在[－2,2]上先减后增．3．平均变化率的几何意义是什么？平均变化率的物理意义是什么？ 【提示】 平均变化率的几何意义就是曲线上两点对应割线AB 的斜率． 平均变化率的物理意义是变速运动的物体s ＝s (t )在某一时间段内的平均速度．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲从25 m/s到0 m/s 花了5 s ，乙从18 m/s 到0 m/s 花了4 s ，试比较两辆车的刹车性能．[思路探究] 计算两车的平均变化率，从而确定刹车性能．【自主解答】 甲车速度的平均变化率为0－255＝－5(m/s 2)，乙车速度的平均变化率为0－184＝－4.5(m/s 2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．[规律方法] 平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等.解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量.,平均变化率为正值，表示函数值在增加；平均变化率为负值，表示函数值在减少.[跟踪训练]3．人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.(1)求运动员在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率； (2)求高度h 在1≤t ≤2这段时间内的平均变化率.【导学号：95902176】【解】 (1)运动员在第一个0.5 s 内高度h的平均变化率为：h 0.5－h 00.5－0＝4.05(m/s)；(2)在1≤t ≤2这段时间内，高度h 的平均变化率为h 2－h 12－1＝－8.2(m/s)．[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．函数y ＝x 2＋ax ＋b ，当自变量由0变化到1时，函数值的变化量为________． 【解析】 函数值的变化量为f (0＋1)－f (0)＝(0＋1)2＋a (0＋1)＋b －02－a ·0－b ＝1＋a .【答案】 1＋a2．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及相邻的一点(1.1,2.21)，则该曲线在[1,1.1]上的平均变化率为________.【导学号：95902177】【解析】2.21－21.1－1＝0.210.1＝2.1【答案】 2.13．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是________(m/s)．【解析】 v ＝3＋2.12－3＋220.1＝4.1(m/s)．【答案】 4.1 4．函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的平均变化率是________．【解析】 函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的平均变化率是sin π－sinπ2π－π2＝－1π2＝－2π. 【答案】 －2π5．物体的运动方程是s ＝t ＋1(s 的单位：m ；t 的单位：s)，求物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度.【导学号：95902178】【解】物体在这段时间内的平均速度为1＋Δt＋1－1＋11＋Δt－1＝2＋Δt－22＋Δt＋2Δt2＋Δt＋2＝12＋Δt＋2，故物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度为12＋Δt＋ 2m/s.。
2019-2020年高中数学 第三章 第1课 平均变化率教学案 苏教版选修1-1
2019-2020年高中数学 第三章 第1课 平均变化率教学案 苏教版选修1-1班级：高二（ ）班 姓名：____________教学目标：1.通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理；2.通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率，领会以直代曲和数形结合的思想，培养学生的抽象思维与归纳综合的能力，提升学生的数学思维与数学素养；3.培养学生关注身边的数学，并能从数学的视角来分析问题、解决问题，体验数学发展的历程，感受数形统一的辨证思想．教学重点：会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢．教学难点：对平均变化率概念的本质的理解；对生活现象作出数学解释．教学过程：一、问题情境1．问题情境．法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场．这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95秒的奥运会纪录，但经过验证他是以12.91秒的成绩追平了世界纪录，他的平均速度达到了8.52m/s ．某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：观察图象，回答问题：问题1 从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少？问题2 从A 到B 这一段与从B 到C 这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？2．学生活动．案例中，从B 到C 位移“陡增”，这是我们从图象中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？（1）由点B 上升到C 点必须考察的大小，但仅注意到的大小能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？（2）还必须考察什么量？在考察的同时必须考察．（3）曲线上BC 之间的一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线倾斜程度？二、建构数学1．一般地，函数在区间上的平均变化率为．注意：平均变化率不能脱离区间而言．s2．平均变化率是曲线陡峭程度“数量化”．曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．思考：（1）若设，即将看作是对于的一个增量, ，则在平均变化率为xxfxxfxyxxxfxf∆-∆+=∆∆=--)()()()(111212．（2）在平均变化率的几何意义即为区间两端点连线所在直线斜率．三、数学运用例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．问题（1）如何解释例1中从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1（月）？问题（2）本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么？讲评在不同的区间上平均变化率可能不同．例2水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，s后容器甲中的水的体积（单位：），试计算第一个内的平均变化率．例3已知函数xxgxxf2)(,12)(-=+=，分别计算在区间上，函数及的平均变化率．问题你在解本题的过程中有没有发现什么？讲评一次函数在区间上的平均变化率等于它的斜率．例4已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：① ② ③ ④【巩固练习】1．函数y ＝f(x)的平均变化率的几何意义是指函数y ＝f(x)图象上两点，P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线的 ．2.在曲线上取点及它的附近点，那么为班级：高二（ ）班 姓名：____________1．某物体位移公式为s ＝s(t)，从t0至t0＋Δt 这段时间内，下列说法正确的有________．①(t0＋Δt)－t0称为函数增量； ②t0即为函数增量③Δs ＝s(t0＋Δt)－s(t0)称为函数增量； ④Δs Δt 称为函数增量2.设函数，当自变量由到时，函数的改变量 。
2019_2020学年高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.1函数的平均变化率学案新人教B版选修1_1
Δx
Δx
1．函数 y＝f(x)，当自变量 x 由 x0 改变到 x0＋Δx 时，Δy＝( )
A．f(x0＋Δx)
B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx
D．f(x0＋Δx)－f(x0)
答案：D
2．函数 y＝2x＋1 在 x＝3 到 x＝5 的平均变化率是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B 3．函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当 x0＝2， Δx＝0.1 时平均变化率的值为________． 解 析 ： 函 数 y ＝ f(x) ＝ 3x2 ＋ 2 在 区 间 [x0 ， x0 ＋ Δ x] 上 的 平 均 变 化 率 为 f（x0＋Δx）－f（x0） （x0＋Δx）－x0 ＝[3（x0＋Δx）2＋2]－[3x20＋2]
Δx ＝6x0·Δx＋3（Δx）2＝6x0＋3Δx.
Δx
当 x0＝2，Δx＝0.1 时，
1
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函数 y＝3x2＋2 在区间[2，2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3. 答案：6x0＋3Δx 12.3
求函数的平均变化率[学生用书 P44]
函数的平均变化率反映的是函数的图象在这一点附近的“陡峭”程度，此题中“函数在
x＝3 附近平均变化率的绝对值最大”说明在 x＝1，2，3 这三点中，在 x＝3 附近函数的图
象最为“陡峭”．
函数 f(x)＝2x2＋1 在 x＝1 附近的平均变化率________在 x＝3 附近的变
化率(填“大于”“小于”“等于”)．
Δx
＝－2x0·Δx－（Δx）2＝－2x0－Δx， Δx
2020版高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.1 函数的平均变化率学案(含解析)新人教B版选修1
3．1.1 函数的平均变化率学习目标 1.理解平均变化率的意义.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．知识点 函数的平均变化率 1．函数的平均变化率的定义已知函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义， 令Δx ＝x －x 0；Δy ＝y －y 0＝f (x )－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． 则当Δx ≠0，比值f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝ΔyΔx叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．2．平均变化率的实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． 3．作用：刻画函数在区间[x 0，x 0＋Δx ]上变化的快慢．4．几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率ΔyΔx＝f x 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率．1．在平均变化率的定义中，自变量x 的增量Δx ＞0.( × )2．对于函数f (x )在区间[x 1，x 2]内的平均变化率也可以表示为f x 2－f x 1x 2－x 1.( √ )3.Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx 是f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率，也可以说是f (x )在x ＝x 0处的变化率．( × )题型一 函数的平均变化率命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？ 考点 题点解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133， k 3＝6＋13＝193，由于k 1<k 2<k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大． 反思感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图象上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx ＝________.考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率答案Δx解析ΔyΔx＝f－1＋Δx－f－1Δx＝－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6Δx＝Δx.命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用解割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率ΔyΔx.∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，∴割线PQ的斜率k＝ΔyΔx＝1＋Δx.又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.反思感悟函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率的实质是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线P1P2的斜率，即kP1P2＝ΔyΔx＝f x2－f x1x2－x1.跟踪训练2 (1)甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是( )A．v甲>v乙B．v甲<v乙C．v甲＝v乙D．大小关系不确定(2)过曲线y ＝f (x )＝x1－x 图象上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx ，－2＋Δy )作割线，则当Δx ＝0.5时割线的斜率为________． 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 (1)B (2)23解析 (1)设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙． (2)当Δx ＝0.5时，2＋Δx ＝2.5， 故－2＋Δy ＝ 2.51－2.5＝－53，故k ＝－53＋22.5－2＝23.题型二 求物体的平均速度例3 一质点做直线运动，其位移s 与时间t 的关系为s (t )＝t 2＋1，求该质点在t ＝1,2,3附近，Δt ＝13时，平均速度的值，并比较在哪一时刻附近的平均速度最大．解 s (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的位移增量为s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝(t 0＋Δt )2＋1－(t 20＋1)＝2t 0Δt ＋(Δt )2，Δs Δt ＝2t 0Δt ＋Δt 2Δt＝2t 0＋Δt ，将t 0＝1,2,3，Δt ＝13分别代入上式得，当t 0＝1时，平均速度Δs Δt ＝73；当t 0＝2时，平均速度Δs Δt ＝133；当t 0＝3时，平均速度Δs Δt ＝193.由上面的计算知，t ＝3附近的平均速度最大． 引申探究若该质点在2到2＋Δt 之间的平均速度不大于5，则Δt (Δt ＞0)的取值范围是什么？解 s (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的位移增量为s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝(t 0＋Δt )2＋1－(t 20＋1)＝2t 0Δt ＋(Δt )2.Δs Δt ＝2t 0Δt ＋Δt 2Δt＝2t 0＋Δt .当t 0＝2时，由题意，得4＋Δt ≤5，得Δt ≤1. 又因为Δt ＞0，故Δt 的取值范围是(0,1]．反思感悟 已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在[t 0，t 0＋Δt ]内的平均变化率．跟踪训练3 动点P 沿x 轴运动，运动方程为x ＝10t ＋5t 2，式中t 表示时间(单位：s)，x 表示距离(单位：m)，求在20≤t ≤20＋Δt 时间段内动点的平均速度，其中 (1)Δt ＝1；(2)Δt ＝0.1；(3)Δt ＝0.01.解 动点在20≤t ≤20＋Δt 时间段内的平均速度为 v ＝1020＋Δt ＋520＋Δt 2－10×20－5×202Δt＝210Δt ＋5Δt 2Δt＝5Δt ＋210，(1)当Δt ＝1时，v ＝5×1＋210＝215(m/s)． (2)当Δt ＝0.1时，v ＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)． (3)当Δt ＝0.01时，v ＝5×0.01＋210＝210.05(m/s)．1．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4B ．2C ．0.3D ．0.2 答案 B 解析s 2.1－s 22.1－2＝3＋2×2.1－3＋2×20.1＝2.2．如图，函数y ＝f (x )在1到3之间的平均变化率为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 答案 B解析Δy Δx ＝1－33－1＝－1. 3．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋2的图象上取一点(2,6)及邻近一点(2＋Δx ,6＋Δy )，则ΔyΔx 为( )A ．Δx ＋1Δx ＋4B ．Δx －1Δx －4C ．Δx ＋4D ．4＋Δx －1Δx答案 C解析 Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx＝2＋Δx2－4Δx＝Δx ＋4.4．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________． 答案 2解析 ΔV ＝4π3m 3－4π3×13＝4π3(m 3－1)，∴ΔV ΔR ＝4π3m 3－1m －1＝28π3. ∴m 2＋m ＋1＝7， ∴m ＝2或m ＝－3(舍)．理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率f x 2－f x 1x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达式常写为f x 0＋Δx －f x 0Δx的形式．(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．一、选择题1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在时间[2，2.1]内的平均速度是( ) A ．4B ．4.1C ．0.41D ．3 答案 B 解析v ＝3＋2.12－3＋220.1＝4.1.2.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是( )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ，所以在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小． 所以乙厂的治污效果较好．3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及附近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则ΔyΔx 等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x答案 B解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[2(1＋Δx )2－1]－1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2Δx 2Δx＝4＋2Δx .4．函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率f x 0＋Δx －f x 0Δx中，Δx 不可能( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0答案 C5．函数y ＝f (x )＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( ) A ．Δx ＋2 B ．2Δx ＋(Δx )2 C ．Δx ＋3 D ．3Δx ＋(Δx )2答案 C 解析Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx＝1＋Δx 2＋1＋Δx －12＋1Δx＝Δx ＋3.6．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1＜k 2B ．k 1＞k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定答案 D解析 k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－Δx Δx＝2x 0－Δx .又因为Δx 可正可负且不为0， 所以k 1，k 2的大小关系不确定． 二、填空题7.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________________．(用“＜”连接)答案 v 1<v 2<v 3解析v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ，由图象知，k OA <k AB <k BC .8．函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝________. 答案 5解析函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是ΔyΔx＝f t－f－2t－－2＝t2－t－－22－2t＋2＝2，即t2－t－6＝2t＋4，所以t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)．所以当函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2时，t的值是5.9．在曲线y＝2x2＋1的图象上取一点(1,3)及邻近一点(1＋Δx,3＋Δy)，则ΔyΔx＝________.答案2Δx＋4解析ΔyΔx＝21＋Δx2＋1－3Δx＝2Δx＋4.10．已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr2，其中r∈(0，＋∞)，则当半径r∈[1,1＋Δr]时，圆的面积S的平均变化率为________．答案2π＋πΔr解析当r∈[1,1＋Δr]时，圆的面积S的平均变化率为ΔSΔr＝π1＋Δr2－πΔr＝π＋2π·Δr＋Δr2π－πΔr＝2π＋πΔr.三、解答题11．过曲线y＝f(x)＝x3＋2x上两点P(1,3)和Q(1＋Δx，3＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.2时割线的斜率．解由条件可知，当Δx＝0.2时，k PQ＝3＋Δy－31＋Δx－1＝ΔyΔx＝1＋Δx3＋21＋Δx－13＋2×1Δx＝(Δx)2＋3Δx＋5＝0.22＋3×0.2＋5＝5.64.故当Δx＝0.2时，割线的斜率为5.64.12．若函数f(x)＝－2x2＋x在[1,1＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用解 ∵函数f (x )在[1,1＋Δx ]上的平均变化率为 Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝－21＋Δx2＋1＋Δx －－2＋1Δx＝－3－2Δx∴由－3－2Δx ≤－1，得Δx ≥－1.又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞)．13．以初速度v 0竖直向上抛一物体的位移s 与时间t 的关系为s (t )＝v 0t －12gt 2(g 为物体的重力加速度)．(1)求物体从时刻t 0到时刻t 0＋Δt 这段时间内的平均速度v ； (2)求物体在t ＝10s 到10.4s 这段时间内的平均速度． 解 (1)由t 0到t 0＋Δt ，则改变量为Δt . 因为Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝v 0Δt －gt 0·Δt －12g (Δt )2，所以v ＝ΔsΔt ＝v 0Δt －gt 0·Δt －12g Δt2Δt＝v 0－gt 0－12g Δt .(2)当t 0＝10s ，Δt ＝0.4s 时，则物体在t ＝10s 到10.4s 这段时间内的平均速度 v ＝v 0－10g －12×g ×0.4＝v 0－10.2g .14．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则第二年婴儿体重的平均变化率为________千克/月．精品--精品答案 0.25解析 第二年婴儿体重的平均变化率为 14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)． 15．若函数y ＝f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围． 解 ∵函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为 Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx＝－2＋Δx 2＋2＋Δx －－4＋2Δx ＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞).。
2019-2020年高中数学 第3章《导数及其应用》瞬时变化率 导数(3)导学案 苏教版选修1-1
2019-2020年高中数学第3章《导数及其应用》瞬时变化率导数（3）
导学案苏教版选修1-1
学习目标：
通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了
解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵；
2．会求简单函数的导数，通过函数图象直观地了解导数的几何意义；
3．体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数
学的思想方法．
教学重点：导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵，导数的几何意义．
教学难点：对导数的几何意义理解．
课前预习：
1.导数的定义．
2.导数的几何意义：
3.导函数：
4.求函数在某一点处的导数的一般步骤：
课堂探究：
2.求下列函数在相应位置的导数（1），（2），
（3），
3.求在点x＝a处的导数．
4.已知
课堂检测：
'
,,2
y x y x
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求并求出函数在处的切线方程．。
2019学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.1 平均变化率作业 苏教版选修1-1
3.1.1 平均变化率[基础达标]1. 如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率为________．解析：∵A (1,3)，B (3,1)， ∴Δx ＝3－1＝2，Δy ＝1－3＝－2.∴平均变化率Δy Δx ＝－22＝－1. 答案：－12．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为________；当Δt ＝0.1时，相应的平均速度为________．解析：∵Δs ＝4－2(1＋Δt )2－(4－2×12)＝－2[2Δt ＋(Δt )2]，∴平均速度为Δs Δt＝－2(2＋Δt )＝－4－2Δt . 当Δt ＝0.1时，Δs Δt＝－4－2×0.1＝－4.2. 答案：－4－2Δt －4.23．函数f (x )＝5x ＋4，①在区间[0,1]上的平均变化率是________；②在任一区间[a ，b ](a <b )上的平均变化率是________．解析：①Δx ＝1－0＝1，Δy ＝f (1)－f (0)＝9－4＝5.∴Δy Δx＝5. ②Δx ＝b －a ，Δy ＝f (b )－f (a )＝(5b ＋4)－(5a ＋4)＝5(b －a )，∴Δy Δx ＝b －a b －a＝5. 答案：5 54．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝1x中，平均变化率最大的是________．解析：①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率约为－0.77.故③的平均变化率最大．答案：③5．函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2，则t ＝________.解析：Δy Δx ＝f t －f －t －－＝2，解得t ＝5或t ＝－2(舍去)．答案：56．甲、乙二人跑步路程与时间关系如图所示，________跑得快．解析：乙跑得快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．答案：乙7．一正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm ，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at ) cm ，a 为常数．试求在这一过程中铁板面积对温度的平均膨胀率．解：铁板面积对温度的平均膨胀率即为铁板面积对温度的平均变化率．铁板面积s 的增量Δs ＝[10(1＋at )]2－102＝100(a 2t 2＋2at )．则当温度从0 ℃变化到t ℃这一过程中，铁板面积对温度的平均膨胀率为Δs Δt ＝a 2t 2＋2at t －0＝100a 2t ＋200a . 8．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，求m 的值． 解：ΔV ＝4π3m 3－4π3×13＝4π3(m 3－1)， ∴ΔV ΔR ＝4π3m 3－m －1＝28π3.∴m 2＋m ＋1＝7. ∴m ＝2或m ＝－3(舍)．[能力提升]1．函数y ＝3x 2－2x －8在x 1＝3处有增量Δx ＝0.5，则f (x )在x 1到x 1＋Δx 上的平均变化率是________．解析：Δy ＝3×(3＋0.5)2－2(3＋0.5)－8－(3×32－2×3－8)＝8.75.∴平均变化率为Δy Δx ＝8.750.5＝17.5. 答案：17.52．甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是________．解析：由图象可知W 1(0)<W 2(0)，W 1(t 0)＝W 2(t 0)，∴0>W 1t 0－W 1t 0>W 2t 0－W 2t 0， 从而|W 2t 0－W 2t 0|>|W 1t 0－W 1t 0|. ∴乙在[0，t 0]上的平均变化率绝对值较大． 因此乙厂治污效果较好．答案：乙3．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小． 解：在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π； 在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sin π3π2－π3＝－3π. ∵2－3<1，∴3π>－3π. ∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为－3π，且在0到π6之间的平均变化率较大． 4．(创新拓展)假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c (x )＝x3－6x 2＋15x (元)，而售出x 台的收入是r (x )＝x 3－3x 2＋12x (元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？解：由题意，生产并售出x 台机器所获得的利润是：L (x )＝r (x )－c (x )＝(x 3－3x 2＋12x )－(x 3－6x 2＋15x )＝3x 2－3x ，故所求的平均利润为： L ＝L －L 20－10＝87010＝87(元)．。
高中数学 第3章 导数及其应用 3.1.1 平均变化率学案 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数
3.1.1 平均变化率学习目标 1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率.2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义.3.了解平均变化率的正负.知识点一 函数的平均变化率在吹气球时，气球的半径r (单位：dm)与气球空气容量(体积)V (单位：L)之间的函数关系是r (V )＝33V4π. 思考1 当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率是多少？ 答案 平均膨胀率为r (1)－r (0)1－0≈0.621＝0.62 (dm/L).思考2 当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少？ 答案 平均膨胀率为r (V 2)－r (V 1)V 2－V 1.梳理 函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，其中Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是函数值的改变量.知识点二 平均变化率的意义思考 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答案 如图，表示A ，B 之间的曲线和B ，C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化.如用比值y C －y Bx C －x B近似量化B ，C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率.梳理 平均变化率的几何意义：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx为割线AB 的斜率.1.函数y ＝x 2＋1在[2,3]上的平均变化率是5.( √ )2.甲、乙二人销售化妆品，从2014年2月开始的3个月内，甲投入资金5万元，获利4万元，乙投入资金8万元，获利6万元.因此我们认为乙的经营效果较好.( × )3.一次函数任意两点的平均变化率都是相应直线的斜率.( √ )4.函数f (x )在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)上的平均变化率就是直线AB 的斜率.( √ )类型一 求函数的平均变化率 例1 (1)已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.①求：当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ；②求：当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx.(2)求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率解 (1)因为f (x )＝2x 2＋3x －5， 所以Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx .Δy Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx Δx ＝2Δx ＋4x 1＋3. ①当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1，Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝2＋19＝21，Δy Δx ＝21.②当x 1＝4，x 2＝4.1时，Δx ＝0.1，Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋4x 1＋3＝19.2. (2)在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大. 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)如图所示，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是________.考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 12解析 ∵A (－1,2)，B (3,4)，∴Δx ＝3－(－1)＝4，Δy ＝4－2＝2， ∴A ，B 两点间的平均变化率为Δy Δx ＝24＝12.(2)已知函数f (x )＝5－3x 2，分别计算f (x )在区间[0,1]，[1,2]，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上的平均变化率.考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率解 f (x )在[0,1]上的平均变化率是 Δy Δx ＝f (1)－f (0)1－0＝2－5＝－3. 在[1,2]上的平均变化率是Δy Δx ＝f (2)－f (1)2－1＝(5－3×4)－(5－3×1)＝－9. 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上的平均变化率是 Δy Δx＝f (1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫121－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－⎝⎛⎭⎪⎫5－3×14＝－92. 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上的平均变化率是Δy Δx ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－f (1)32－1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫5－3×94－2＝－152. 类型二 平均变化率的应用例2 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.(1)求运动员在第一个0.5s 内高度h 的平均变化率； (2)求高度h 在1≤t ≤2这段时间内的平均变化率. 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用解 (1)运动员在第一个0.5s 内高度h 的平均变化率为h (0.5)－h (0)0.5－0＝4.05m/s.(2)在1≤t ≤2这段时间内，高度h 的平均变化率为h (2)－h (1)2－1＝－8.2m/s.反思与感悟 (1)结合物理知识可知，在第一个0.5s 内高度h 的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1≤t ≤2这段时间内，高度h 的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降.事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0.(2)平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等.解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量.跟踪训练2 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，则从出生到第3个月与从第6个月到第12个月体重的平均变化率分别为________千克/月.考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 1,0.4解析 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为6.5－3.53－0＝1(千克/月).从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为11－8.612－6＝2.46＝0.4(千克/月).1.一质点运动的方程为S ＝5－3t 2，则在一段时间[1,1＋Δt ]内相应的平均速度是________. 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 －3Δt －6解析 v ＝[5－3(1＋Δt )2]－(5－3×12)Δt＝－3Δt －6.2.圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为________. 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 0.4π 解析 ∵S ＝πr 2，∴ΔS Δr ＝S (0.3)－S (0.1)0.3－0.1＝0.09π－0.01π0.2＝0.4π. 3.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率为________.考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 －1 解析 因为k AB ＝y A －y B x A －x B ＝3－11－3＝－1，由平均变化率的意义知，y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率为－1.4.如图，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________.考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 [x 3，x 4]解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3.结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4].5.甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元) 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用解 甲企业生产效益的平均变化率为100－1012×2－0＝154.乙企业生产效益的平均变化率为30－106－0＝103.∵154>103，∴甲企业的生产效益较好.1.准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量Δy 与自变量取值增量Δx 的比值.涉及具体问题，计算Δy 很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法.2.函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等.解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的.一、填空题1.函数f (x )＝1x在[2,6]上的平均变化率为________.考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 －112解析 f (6)－f (2)6－2＝16－126－2＝－112.2.在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24h 内发现水位从102.7m 上涨到105.1m ，则水位涨幅的平均变化率是________m/h. 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 0.1 解析105.1－102.724＝0.1 (m/h).3.已知某质点的运动规律为S (t )＝5t 2(单位：m)，则在1s 到3s 这段时间内，该质点的平均速度为________m/s. 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 20解析S (3)－S (1)3－1＝5×32－5×122＝20 (m/s).4.函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝________. 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f (t )－f (－2)t －(－2)＝t 2－t －(－2)2－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去).所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5.5.假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c (x )＝x 3－6x 2＋15x (元)，而售出x 台的收入是r (x )＝x 3－3x 2＋12x (元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是________元.考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 87解析 由题意，得生产并售出x 台机器所获得的利润是L (x )＝r (x )－c (x )＝(x 3－3x 2＋12x )－(x 3－6x 2＋15x )＝3x 2－3x ，故所求的平均利润为 L ＝L (20)－L (10)20－10＝87010＝87(元).6.在x ＝1附近取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x中平均变化率最大的是________. 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 ③解析 由平均变化率的定义计算可得③最大.7.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为h ＝2t 2＋2t ，则下列说法正确的是________.(填序号)①前3s 内球滚下的垂直距离的增量为Δh ＝24m ； ②在时间[2,3]内球滚下的垂直距离的增量为Δh ＝12m ； ③前3s 内球的平均速度为8m/s ； ④在时间[2,3]内球的平均速度为12m/s. 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 ①②③④解析 前3s 内，Δt ＝3s ，Δh ＝h (3)－h (0)＝24(m)，此时平均速度为Δh Δt ＝243＝8(m/s)，故①③正确；在时间[2,3]上，Δt ＝3－2＝1(s)，Δh ＝h (3)－h (2)＝12(m)，故平均速度为ΔhΔt ＝12(m/s)，所以②④正确.综上，①②③④都正确.8.如果函数y ＝f (x )＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a 的值为________. 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 3解析 根据平均变化率的定义可知， Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3. 9.汽车行驶的路程S 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________________.(用“<”连接)考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图象知，k OA <k AB <k BC .10.给半径为R 的热气球加热使其体积增大，若半径从R ＝1到R ＝m 时的体积膨胀率为19π3，则m ＝________. 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 1.5解析 ∵V ＝4π3R 3，∴4π3m 3－43πm －1＝4π3(m 2＋m ＋1)＝19π3，∴m 2＋m －154＝0，解得m ＝1.5(负值舍去).二、解答题11.函数f (x )＝x 2＋2x 在区间[0，a ]上的平均变化率是函数g (x )＝2x －3在区间[2,3]上的平均变化率的2倍，求a 的值. 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率解 由题意，得函数f (x )在区间[0，a ]上的平均变化率为f (a )－f (0)a －0＝a 2＋2a a＝a ＋2.函数g (x )在区间[2,3]上的平均变化率为g (3)－g (2)3－2＝2×3－3－(2×2－3)1＝2.又a ＋2＝2×2，所以a ＝2.12.若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围.考点 平均变化率的概念 题点 函数因变量的增量解 ∵函数f (x )在区间[2,2＋Δx ]上的平均变化率为 Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx ＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞).13.巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？考点 平均变化率的概念题点 平均变化率的应用解 山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15， 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14， ∵h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭得多.三、探究与拓展14.如图所示是物体甲、乙在时间0到t 1范围内运动路程的变化情况，下列说法正确的是________.①在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；②在0到t 0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；③在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；④在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；⑤在0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度.考点 平均变化率的概念题点 平均变化率的应用答案 ③⑤解析 在0到t 0范围内，甲、乙的平均速度都为v ＝S 0t 0，故①②错；在t 0到t 1范围内，甲的平均速度为S 2－S 0t 1－t 0，乙的平均速度为S 1－S 0t 1－t 0.因为S 2－S 0>S 1－S 0，t 1－t 0>0，所以S 2－S 0t 1－t 0>S 1－S 0t 1－t 0.所以甲的平均速度大于乙的平均速度；在0到t 1范围内，甲的平均速度为S 2t 1，乙的平均速度为S 1t 1，又S 2>S 1，所以甲的平均速度大于乙的平均速度.故填③⑤.15.很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.试从平均变化率的角度，比较气球容量V 从0增加到1L 及从1L 增加到2L 时平均膨胀率的大小关系，能否用来解释气球的半径增加得越来越慢？ 考点 平均变化率的概念题点 平均变化率的应用解 气球的体积V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3，将半径r 表示为体积V 的函数，那么r (V )＝33V 4π，当气球容积V 从0增加到1L 时，气球半径增加了r (1)－r (0)≈0.62(dm).气球的平均膨胀率为r (1)－r (0)1－0≈0.62(dm/L).类似地，当空气容积从1L 增加到2L 时，气球半径增加了r (2)－r (1)≈0.16(dm). 气球的平均膨胀率为r (2)－r (1)2－1≈0.16(dm/L).因为0.62>0.16，所以随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了，因此气球的半径增加的越来越慢.。
江苏省响水中学高中数学 第3章《导数及其应用》平均变化率导学案 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学 第3章《导数及其应用》3.1.1平均变化率导学案 苏教版选修1-1学习目标：通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理； 通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率，领会以直代曲和数形结合的思想，培养学生的抽象思维与归纳综合的能力，提升学生的数学思维与数学素养； 培养学生关注身边的数学，并能从数学的视角来分析问题、解决问题，体验数学发展的历程，感受数形统一的辨证思想．教学重点：会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢． 教学难点：对平均变化率概念的本质的理解；对生活现象作出数学解释．课前预习：1.某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：观察图象，回答问题：问题1 从A 到B 的位移是__________从B 到C 的位移是___________.问题2 从A 到B 这一段与从B 到C 这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？2．案例中，从B 到C 位移“陡增”，这是我们从图象中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？ 由点B 上升到C 点必须考察C B y y -的大小，但仅注意到C B y y -的大小能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？ （2）还必须考察什么量？在考察C B y y -的同时必须考察C B x x -． （3）曲线上BC 之间的一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？3.(1)一般地，函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率为_______________．注意：平均变化率不能脱离区间而言．(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”．曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． t /s 20 30 34 210 2030A (1, 3.5)B (32, 18.6) 0 S/m2 10 C (34, 33.4)课堂探究：1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么？2 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s 后容器甲中的水的体积t t V 1.025)(-⨯=（单位：3cm ），试计算第一个10s 内V 的平均变化率．3 已知函数x x g x x f 2)(,12)(-=+=，分别计算在区间],1,3[--]5,0[上，函数)(x f 及)(x g 的平均变化率．你在解本题的过程中有没有发现什么？W /kg 6 3 9 12 3.56.58.611甲乙 t/月4 已知函数2)(x x f =，分别计算在下列区间上的平均变化率：①]3,1[⑤]1,9.0[ ②]2,1[⑥]1,99.0[ ③]1.1,1[⑦]1,999.0[ ④]001.1,1[ ⑧]1,9999.0[ 题中八个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化的实际意义和数学意义分别是什么？5．求函数x x x f -=2)(在区间[]t ,1上的平均变化率课堂检测： 函数x x f 1)(-=在[]1,2--上的平均变化率为_________________.已知函数x x x f +-=2)(在区间[]a ,1上的平均变化率为-3，则a =____________. 已知函数322++=bx x y 从1=x 到2=x 的平均变化率为9，则=b _______. 已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式.已知函数12)(2-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求x y∆∆。
高中数学 第3章《导数及其应用》平均变化率 精品导学案 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学 第3章《导数及其应用》3.1.1平均变化率导学案 苏教版选修1-1学习目标：通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理；通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率，领会以直代曲和数形结合的思想，培养学生的抽象思维与归纳综合的能力，提升学生的数学思维与数学素养；培养学生关注身边的数学，并能从数学的视角来分析问题、解决问题，体验数学发展的历程，感受数形统一的辨证思想．教学重点：会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢．教学难点：对平均变化率概念的本质的理解；对生活现象作出数学解释．课前预习：1.某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：观察图象，回答问题：问题1 从A 到B 的位移是__________从B 到C 的位移是___________.问题2 从A 到B 这一段与从B 到C 这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？2．案例中，从B 到C 位移“陡增”，这是我们从图象中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？由点B 上升到C 点必须考察C B y y -的大小，但仅注意到C B y y -的大小能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？（2）还必须考察什么量？在考察C B y y -的同时必须考察C B x x -．（3）曲线上BC 之间的一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？3.(1)一般地，函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率为_______________．注意：平均变化率不能脱离区间而言．(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”．曲线陡峭程度是平均变化 s 210 2030A (1, 3.5)B(32, 18.6) S/mC (34, 33.4)率的“视觉化”．课堂探究：1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么？2 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s 后容器甲中的水的体积t t V 1.025)(-⨯=（单位：3cm ），试计算第一个10s 内V 的平均变化率．W /kg 6 3 9 12 3.56.58.6 11甲乙t/月3已知函数xxgxxf2)(,12)(-=+=，分别计算在区间],1,3[--]5,0[上，函数)(xf及)(xg的平均变化率．你在解本题的过程中有没有发现什么？4已知函数2)(xxf=，分别计算在下列区间上的平均变化率：①]3,1[⑤]1,9.0[②]2,1[⑥]1,99.0[③]1.1,1[⑦]1,999.0[④]001.1,1[⑧]1,9999.0[题中八个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化的实际意义和数学意义分别是什么？5．求函数xxxf-=2)(在区间[]t,1上的平均变化率课堂检测：函数x x f 1)(-=在[]1,2--上的平均变化率为_________________.已知函数x x x f +-=2)(在区间[]a ,1上的平均变化率为-3，则a =____________. 已知函数322++=bx x y 从1=x 到2=x 的平均变化率为9，则=b _______. 已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式.已知函数12)(2-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求x y∆∆教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
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(2)由图可知，在20xx年1月至20xx年2月间，平均变化率 较大，故小麦受旱面积增幅最大．
(3)在20xx年11月至20xx年2月间，平均变化率＝ ，在20xx年1月至20xx年2月间，平均变化率＝ ＝sB－sC，显然kBC>kAB，即sB－sC> ，
知识点二 平均变化率的意义
思考 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？
梳理 平均变化率的几何意义：设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率 ＝________________为割线AB的斜率．
类型一 求函数的平均变化率
例1 (1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
2019-2020高中数学第三章导数及其应用3-1-1平均变化率学案苏教版选修1_1
编 辑：__________________
时 间：__________________
3．1.1 平均变化率
学习目标 1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率(重点).2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义(难点).3.了解平均变化率的正负(易混点)．
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝ ＝
＝6＋Δx.
当Δx＝ 时，k1＝2＋ ＝ ，
k2＝4＋ ＝ ，k3＝6＋ ＝ .
由于k1<k2<k3，所以在x＝3附近的平均变化率最大．
跟踪训练1 (1)Δx(2)
例2 解 (1)运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为 ＝4.05 m/s.
(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为 ＝－8.2 m/s.
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，
＝21.
②当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx
＝0.02＋1.9＝1.92.
＝2Δx＋4x1＋3＝19.2.
(2)在x＝1附近的平均变化率为
k1＝ ＝
＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝ ＝
＝4＋Δx；
(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？
(3)从20xx年11月至20xx年2月间，与从20xx年1月至20xx年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？
1．若函数f(x)＝x2的图象上存在点P(1,1)及邻近的点Q(1＋Δx,1＋Δy)，则 的值为________．
2．圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(3)得平均变化率 ＝ .
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则 ＝________.
(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
所以在20xx年1月至20xx年2月间，小麦受旱面积增幅较大．
当堂训练
1．2＋Δx2.0.4π 3.－1 4.[x3，x4]
5．解 甲企业生产效益的平均变化率为 ＝ .
乙企业生产效益的平均变化率为 ＝ .
∵ > ，
∴甲企业的生产效益较好．
梳理 ＝
题型探究
例1 解 (1)因为f(x)＝2x2＋3x－5，
所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)
＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x ＋3x1－5)
＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx
＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
＝
＝2Δx＋4x1＋3.
①当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，
知识点一 函数的平均变化率
在吹气球时，气球的半径r(单位：dm)与气球空气容量(体积)V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝ .
思考1 当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少？
思考2 当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？
梳理 一般地，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上_____是函数值的改变量．
类型二 平均变化率的应用
例2 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率；
(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．
反思与感悟 (1)结合物理知识可知，在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降．事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0.
①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率 ；
②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率 .
(2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为 ，哪一点附近的平均变化率最大？
反思与感悟 求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．
跟踪训练2 20xx年冬至20xx年春，我国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图所示，据图回答：
(1)20xx年11月至20xx年12月间，小麦受旱面积变化大吗？
提醒：完成作业 第3章 §3.1 3.1.1
问题导学
知识点一
思考1 平均膨胀率为 ≈ ＝0.62 (dm/L)．
思考2 平均膨胀率为 .
梳理
Δy＝f(x2)－f(x1)
知识点二
思考 如图，表示A、B之间的曲线和B、C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．
如用比值 近似量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[xB，xC]上的平均变化率．
3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．
4．如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
5．甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元)
1．准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量Δy与自变量取值增量Δx的比值．涉及具体问题，计算Δy很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法．
2．函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等．解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的．