运用几何画板动态解析二次函数的图象和性质
探索二次函数性质(几何画板动态)
几何画板运用于探索二次函数性质（y=ax2）（动态）二次函数图像的性质是初三学习的一个难点，通过改变二次函数系数大小，直观看见图像变化，采取动态比较过程，学生更容易吸收理解，下面我将介绍具体操作过程：
打开几何画板：步骤1准备工作：绘图→网络样式→方形网格
得到如图所示：
y=ax2的图像性质
步骤2绘制函数图像：数据→新建参数→名称输入a→点击确定→绘图→绘制新函数，
在弹出的方框中选择“方程→符号y=”，
选择参数a，并依次在方框中选择*、x、^、2,；点击确定即可。
具体操作方法见下图
步骤3设置动态系数：
选中参数后选择编辑→操作类按钮→动画
如下图所示更改参数（如图中所示范围为参数变化范围可根据自己需求设置），其中标签为按钮名称。
完成后如图所示点击a<0按钮即可生成动画：
同理：按照上述方法操作可制作而成系数为正时。
也可以再绘制y=x2图形作为参考。
用几何画板研究二次函数性质
用几何画板研究二次函数性质迄今为止，绝大部分教师都是利用几何画板来探讨二次函数开口方向、开口大小、对称轴等. 本文是利用几何画板从二次函数的重要点之间形成的关系来展开研究和探讨.二次函数中的重要点主要指与x轴的交点、与y轴的交点、顶点. 为方便起见，下面研究二次函数y=ax2+bx与x轴的交点、顶点之间形成的关系. 对y=ax2+bx+c假设（1）c=0；（2）与x轴的交点为A，B；（3）顶点为C；（4）b≠0.一、用几何画板探求问题蕴涵的规律性1. 确定系数a和ba和b是二次函数y=ax2+bx的系数，它们的值是可以任意变化. 在坐标轴x 轴上任取一点t，过t点作x轴的垂线l，在垂线l上任取一点B’，度量B’的纵坐标，并更改结果的标签为b. 这样就确定了系数b. 然后，度量点t的横坐标，并与任一个大于零的数作为纵坐标，在垂线l上画点m，过点t和m作射线r，最后在射线r上任取一点A’并度量A’的纵坐标，并更改结果的标签为a，这样就确定了系数a（在这里只讨论a>0的情况）.确定了系数a和b之后，然后为动点a和动点b建立动画，并分别改标签为“动点a”和“动点b”. 如图1所示.2. 计算并画点首先，根据系数a和b绘制函数y=ax2+bx的图象. 如图2所示.其次，根据系数a和b计算与x轴交点A，B及抛物线顶点C的坐标.然后，绘制点A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），并连结AC和BC，度量∠ACB的度数.3. 度量角的度数以上操作完成之后，度量∠BCA的度数. 下面用几何画板来探求这个角度与系数a和b的关系. 提出以下问题：（1）当b取某个值时，使a发生变化时，∠BCA的度数如何变化？（2）当a取某个值时，使b发生变化时，∠BCA的度数又如何变化？对于第一种情况，单击“动点a”按钮，可以看到不管a是不断减小还是a是不断增大，∠BCA的度数未发现任何变化. 如图3和4所示.对于第二种情况，单击“动点b”按钮，可以发现当b的绝对值越来越大时，∠BCA的度数越来越小，反之，当b的绝对值越来越小时，∠BCA的度数越来越大. 如图5和6所示.因此，函数与x轴的两个交点和顶点构成的∠BCA的度数与系数a和b的关系借助几何画板，可以得出以下结论：结论1系数b固定，无论系数a怎么变化，∠ACB的度数不变.结论2系数a固定，则∠ACB的度数随着b的绝对值的增大而减小；∠ACB 的度数随着b的绝对值的减小而增大.二、代数方法验证结论通过讨论，得出了∠ACB与系数a，b的变化. 其实，以上结论也可以用代数方法进行验证.由此可见，∠ACB只与系数b有关，而与系数a无关. 因此，只要确定了b 值，不管a如何变化，∠ACB永远保持不变.对于a<0，结论同样成立.针对以上结论，教师在教学过程中或者让学生进行数学实验时，就可以设计一些思考题，开阔学生思考问题的空间，全方位认识二次函数y=ax2+bx蕴涵的有趣的规律.三、拓展与延伸1. 根据结论确定b值借助以上结论，可以展开进一步的思考，b取何值时，∠ACB是直角或等于60°？可以做以下实验：（1）单击“动点b”按钮，使b发生变化，同时，观察∠ACB的变化，当∠ACB=90°时，再次单击“动点b”按钮，停止b的变化，这时的b值即是所求，可以看出等于2或-2. 如图7和8所示.（2）单击“动点b”按钮，使b发生变化，同时，观察∠ACB的变化？当∠ACB=60°时，再次单击“动点b”按钮，停止b的变化，这时的b值即是所求，可以看出等于3.4或-3.4. 如图9和10所示.根据以上实验，可以得出以下结论：结论3函数y=ax2+bx中的b=2或-2时，△ACB为等腰直角三角形.结论4函数y=ax2+bx中的b=3.4或-3.4时，△ACB为等边三角形.2. 坐标平移对角的影响坐标平移包括横坐标上（下）平移和纵坐标左（右）平移. 由此，可进一步思考如下问题：坐标平移对以上结论将造成什么影响？利用几何画板，可以继续做以下实验：（1）纵坐标左（右）平移：设将y轴向左（右）平移h个单位，∠ACB如何变化？（2）横坐标上（下）平移：设将x轴向上（下）平移h个单位，∠ACB如何变化？对于第（1）种情况，当y轴向左（右）平移了h个单位后，函数图象与x 轴的交点未发生变化，顶点也不变，因此，∠ACB的度数也不改变. 但是，函数的表达式由y=ax2+bx变成了y=a（x±h）2+b（x±h），该表达式可变形如下：y=ax2+（b±2ah）x+ah2±bh，令a’=a，b’=b±2ah，c’=ah2±bh，则该表达式为y=a’x2+b’x+c’ ，根据上述结论，可以得出：结论5 当二次函数y=a’x2+b’x+c’中的系数满足a’=a，b’=b±2ah和c’=ah2±bh 关系时，以上结论同样成立.对于第（2）种情况，当x轴向上（下）平移h个单位，函数图象与x轴的交点位置则发生了变化，∠ACB也跟随变化. 根据图象可以看出，可以得出以下结论：结论6 当x轴向上平移h个单位时，∠ACB不断减小.结论7 当x轴向下平移时，当且仅当h<|-|时，∠ACB不断增大，否则图象与x轴无交点.著名数学家欧拉曾说过：“数学这门科学，需要观察，也需要实验. ”同时，《数学课程标准》中指出：“20世纪以来，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展. ”因此，利用信息技术构建实验情境，通过运用实验方法，进行数学教学活动，已越来越显示了现代教育技术手段在数学教学中的创造性应用.。
用几何画板探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
用几何画板探究二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质资料编号:202211051045在探究二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象及其性质时,我们可以利用配方法把一般式化为顶点式进行探究,配方过程如下:c a b a b x a b x a c x a b x a c bx ax y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=222222244 a b ac a b x a 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴二次函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点式为a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,其图象的对称轴为直线a b x 2=,顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b ac a b 44,22.当a b x 2=时,函数取得最值,最值为a b ac y 442-=:当0>a 时,a b ac y 442min -=;当0<a 时,ab ac y 442max -=.虽然我们可以用学习顶点式的成果来研究一般式,但我们还不能对一般式有一个全面的了解和掌握,如b a ,的符号与对称轴的位置关系、抛物线与y 轴的交点与c 的关系以及抛物线与x 轴的相交情况等.下面,我们通过制作几何画板课件,设置c b a ,,三个参数,来探究一下二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象及其性质.几何画板课件制作1.打开几何画板,单击“绘图”,选择“定义坐标系”,单击“点工具”,在x 轴上任意作出一点A ,选中点A 和x 轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出x 轴的垂线.单击“点工具”,在x 轴上方的垂线上任取一点B ,在x 轴下方的垂线上任取一点C .选中点B 、C ,依次单击“构造”、“线段”,作出线段BC .选中垂线BC 并隐藏.单击“点工具”,在线段BC 上任取一点,标签设为a .选中点a ,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点a 的纵坐标.选中点a 纵坐标的度量值,右单击,选择“度量值的标签”,在“标签”中输入a .如图1所示.单击确定.2.用同样的方法制作参数c b ,.依次单击“绘图”、“隐藏网格”,如图2所示.3.依次单击“绘图”、“绘制新函数”,在弹出的对话框中依次输入“a的值”、“*”、“x”、“∧”、“2”、“+”、“b的值”、“*”、“x”、“+”、“c的值”,如图3所示.单击确定,作出函数()c+=2的图象.如图4所示.f+bxaxx4.选中函数的图象,修改线型为“中等”.选中函数解析式,右单击,选中“函数的标签”,在“标签”中输入“y”,如图5所示.单击“确定”.5.单击“点工具”,在抛物线上任取一点P,选中点P和x轴,依次单击“构造”、“平行线”,交抛物线于另一点Q.双击点P,选中点Q,依次单击“变换”、“缩放”,设置“固定比”为“1/2”,如图6所示.单击“确定”,作出线段PQ的中点'Q.6.选中直线PQ、点P、点Q并隐藏,选中点'Q和x轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出抛物线的对称轴.选中对称轴,修改线型为“细线/虚线”,颜色为红色.选中点'Q并隐藏.如图7所示.7.单击抛物线与y轴的交点处,得到点M.选中点M,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点M的纵坐标.如图8所示.8.选中点a,修改点的颜色为浅蓝色;选中点b,修改点的颜色为粉红色;选中点c,修改点的颜色为浅绿色.如图8所示.经此一步,完成作图.课件探索对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,课件设置了三个参数c b a ,,,通过拖动点c b a ,,,使这三个参数可以在一定范围内变化,以观察函数图象的变化与这三个参数之间的关系.探究参数a 对函数图象的影响（1）拖动点a 在线段AB 上移动,此时0>a ,观察函数图象的变化,不难发现函数图象开口_________,且a 的值越小,函数图象的开口越_________;（2）拖动点a 在线段AC 上移动,此时0<a ,观察函数图象的变化,不难发现函数图象开口_________,且a 的值越大,函数图象的开口越_________.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0>a 时,函数图象开口_________,当0<a 时,函数图象开口_________,并且a 越小,函数图象的开口越_________,a 越大,函数图象的开口越_________.探究参数b a ,对函数图象的影响在由二次函数的一般式化为顶点式的过程中,我们得到函数图象的对称轴为直线ab x 2-=,这说明抛物线的对称轴与b a ,有着直接的关系,同时参数b a ,的改变也必将影响抛物线的变化.我们来实际操作一下.（3）把点a 移动到线段AB 上,此时0>a ,拖动点b 在线段EF 上移动,可以发现:当点b 在线段DE 上移动,即0>b 时,抛物线的对称轴在y 轴的左侧;当点b 在线段DF 上移动,即0<b 时,抛物线的对称轴在y 轴的右侧.（4）把点a 移动到线段AC 上,此时0<a ,拖动点b 在线段EF 上移动,可以发现: 当点b 在线段DE 上移动,即0>b 时,抛物线的对称轴在y 轴的右侧;当点b 在线段DF 上移动,即0<b 时,抛物线的对称轴在y 轴的左侧.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0,0>>b a 或0,0<<b a 时,函数图象的对称轴在y 轴的_________侧;当0,0<>b a 或0,0><b a 时,函数图象的对称轴在y 轴的_________侧.特别地,当0=b 时,函数图象的对称轴是_________.由此,我们可以根据b a ,的符号确定抛物线对称轴与y 轴的相对位置关系,也可以根据抛物线的对称轴与y 轴的相对位置关系,确定b a ,的符号.实际上,当b a ,同号时,02<-=a b x ,抛物线的对称轴位于y 轴的左侧;当b a ,异号时,02>-=ab x 抛物线的对称轴位于y 轴的右侧.如此,我们探究参数b a ,对二次函数图象影响的过程,经历了由观察到推理,由感性认识到理性认识的过程.探究参数c 对函数图象的影响（5）拖动点c 在线段HI 上移动,观察函数图象的变化,不难发现,函数图象与y 轴的交点的纵坐标,等于_________的值.当0>c 时,函数图象与y 轴的_________轴相交;当0=c 时,函数图象经过_________;当0<c 时,函数图象与y 轴的_________轴相交.因此,参数c 的值,决定了函数图象与y 轴的相交情况.实际上,对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当函数图象与y 轴相交时,令0=x ,则=y _________,所以函数图象与y 轴的交点为_________.二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质的应用例1. 用配方法将二次函数6422++-=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式,则k h a ++的值为【 】（A ）5 （B ）7 （C ）1- （D ）2-解析 ∵()()81261122642222+--=+-+--=++-=x x x x x y ∴8,1,2==-=k h a ∴7812=++-=++k h a ∴选择答案【 B 】.例2. 关于抛物线122+-=x x y ,下列说法错误的是【 】（A ）开口向上（B ）顶点在x 轴上（C ）对称轴是直线1=x（D ）当1>x 时,y 随x 的增大而减小解析 ()22112-=+-=x x x y .对于（A ）,01>=a ,抛物线开口向上.故（A ）正确;对于（B ）,抛物线顶点坐标为()0,1,在x 轴上.故（B ）正确;对于（C ）,抛物线的对称轴为直线1=x .故（C ）正确;对于（D ）,当1>x 时,y 随x 的增大而增大.故（D ）错误.∴选择答案【 D 】.例3. 若二次函数a x ax y ++=42的最大值是3,则=a _________。
几何画板在教学中的应用——以二次函数y＝a(x－h)２＋k_教学为例
信息技术２０２２年４月下半月㊀㊀㊀几何画板在教学中的应用以二次函数y＝a(x－h)２＋k教学为例◉武汉市恒大城学校㊀王华峰◉武汉市吴家山第三中学㊀万建光㊀㊀摘要:二次函数的图象与性质是初中阶段的重点与难点,利用几何画板去剖析性质的形成过程,使学生认识到函数就是研究运动变化的重要数学模型,体验知识产生㊁发展㊁形成的过程．在九年级数学的课堂上,几何画板的应用研究应该更加普及,通过数形结合的方式,使二次函数y＝a(x－h)２＋k的教学更加自由与开放,能够让学生的积极性被充分调动起来,并且可以培养学生的沟通与协作能力,逐步培养学生抽象概括能力,激发学生的求知欲,把课堂还原给学生．关键词:二次函数;几何画板;教学设计㊀㊀１ 几何画板 在二次函数y＝a(x－h)２＋k图象与性质教学中的优势㊀㊀(１)学生可以观察到二次函数图象动态化的过程,对教师在各个参量变化时提出的问题,学生可以更为直观地回答．(２)操作性强,效率高．相比于编程软件,教师不需要强大的编程能力作为基础,只要熟悉 几何画板中菜单栏里的各项功能,便可做到画出函数图象．(３) 变到不变 的转化与总结．学生可以从变化的图象当中总结出不变的量,也实现了 动静结合 的教学效果．２ 几何画板具体教学案例分析图１２．１打开几何画板,定义平面直角坐标系如图１,点击菜单栏中的ʌ绘图Gɔ功能中的 定义坐标系(D) ,便会生成带有网格状的平面直角坐标系,为了使学生看起来更加清晰与直观[１]．可以继续选择ʌ绘图Gɔ中 隐藏网格(G) ．图２２．２定义二次函数顶点式中的各项参数a,h,k㊀㊀如图２,选择左侧工具栏的ʌ点工具ɔ,分别在x轴上点击一个点,y轴上点击两个点．再选择左侧工具栏的ʌ文本工具ɔ,点击坐标轴上生成的三个点,此时便会出现相应的字母,为了与二次函数顶点式中各项参数保持一致,故把x轴上的点用字母h代替,y轴上的点用字母a和k表示．点击点h,选择菜单栏中的ʌ度量Mɔ中 横坐标(x) ,点h的横坐标便自动生成．运用类似的方法,可以生成点k与点a的纵坐标．备注:其中,a,k两点可在y轴上任意移动,点h可在x轴上任意移动,点移动的同时 几何画板 会自动计算数据,这就为本节课让学生互相学习从而总结出二次函数的顶点坐标与对称轴奠定了基础．２．３绘制二次函数y＝a(x－h)２＋k的各项参数如图３,和点h一样,在x轴上定义二次函数的自变量x,选中a,h,k三个参量和自变量 x ,选择菜单图３栏ʌ数据Nɔ中的ʌ新建函数Nɔ,会弹出新建函数窗口,点击新建函数窗口的 方程 模块,选择 符号y＝ ,再选择数值 ,在 新建函数窗口 输入a(x－h)２＋k,几何画板便会自动生成二次函数y＝a(x－h)２＋k．并且可在坐标轴上移动参数a,h,k和自变量x,函数值y都可计算出来．图４２．４绘制动点(x,y)和二次函数y＝a(x－h)２＋k的图象㊀㊀如图４,选择各项参数中的x＝２．９９,y＝８．７０,并选择菜单栏中ʌ绘图Gɔ的 绘制点(x,y) 功能,便在已构建的４９Copyright©博看网. All Rights Reserved.２０２２年４月下半月㊀信息技术㊀㊀㊀㊀平面直角坐标系中生成一个点,命名为点P ．在坐标系中同时选中 点P 和 自变量x 之后,在菜单栏中的ʌ构造C ɔ模块中选择 轨迹U 功能,二次函数y ＝a (x －h )２＋k 的图象便绘制成功．备注与反思预设:教学设计演示,此时二次函数的图象虽然初步绘制完成,但是学生对于解析式中的各项参数意义理解必然不够深刻,甚至于不理解a ,h ,k 各参数在二次函数中代表的意义．所以模仿在物理实验中也经常用到的 控制变量法 来研究二次函数中各项参数a ,h ,k 的含义．２．５二次函数y ＝a (x －h )２＋k 的开口方向保证参数h ,k 不变,移动几何画板中参数a 的位置,观察a 的变化会引起图象怎样的改变．教师引导学生直观地发现:①如图５,当a ＞０时,抛物线开口方向向上;如图６,当a ＝０时,图象为一条平行于x 轴的直线;如图７,当a ＜０时,抛物线开口方向向下．图５㊀㊀图６②当a ＞０时,随着a 的减小,抛物线的开口越来越大;如图７,如图８,当a ＜０时,随着a 的减小,抛物线开口越来越小．故发挥学生主体作用,总结出:在二次函数y ＝a (x －h )２＋k 中,a 越大,开口越小．图７图８２．６二次函数y ＝a (x －h )２＋k 的对称轴如图９~１０,保证参数a ,k 不变,在x 轴上移动参数h ,会给学生呈现出抛物线的开口方向与开口大小程度都没有改变,改变的是图象整体的平移．在图象中选中x 轴和点h ,接着在菜单栏中选择ʌ构造C ɔ的 垂线D ,抛物线上出现一条垂直于x 轴的直线,命名为直线l ,为了使学生看得更加清晰,把直线设置为虚线．图９图１０此时,学生可以轻易看出垂线l 为二次函数图象的对称轴．但作为教师更要用严谨的方式来说明 垂线l 为抛物线的对称轴．我们可以先双击垂线l ,将其作为对称轴,再在图象中选择点P ,菜单中选择ʌ变换T ɔ的 反射F 功能模块,图象中会自动生成一个点P ᶄ,此时,带动学生一起发现点P ᶄ恰好在二次函数的图象上．紧接着在图象中移动自变量x ,发现点P 的对称点P ᶄ依然在二次函数的图象上,这就充分说明二次函数y ＝a (x －h )２＋k 的对称轴为垂线l ,也就是对称轴为x ＝h ．如图１１~１２．图１１㊀图１２２．７二次函数y ＝a (x －h )２＋k的顶点坐标图１３教师可以设问:通过图象你可以发现这个抛物线的顶点在哪呢相信大部分学生可以回答出是对称轴l 与抛物线的交点．如图１３,与此同时,教师要帮助学生进行验证．选择几何画板左侧工具栏中的ʌ点工具ɔ,将抛物线与对称轴l 的交点设置为点Q ,选中点Q ,再次选择ʌ度量M ɔ里的 坐标T ,便会计算出Q 点坐标Q (１．９６,１．１１)．５９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.信息技术２０２２年４月下半月㊀㊀㊀图１４此时教师可以再次进行设计问题让学生回答:点Q的横坐标,纵坐标和目前的参数a,h,k的值有没有什么数量关系?细心的同学会发现点Q的横坐标与参数h的值相等,都为１．９６,点Q的纵坐标与参数k的值相等,都为１．１１．故引发学生猜想抛物线顶点坐标为(h,k),为验证此结论成立,教师可在图中任意移动参数a,h,k的值包括自变量x的位置,我们发现上述的猜想依然成立．如图１４,这就充分说明二次函数y＝a(x－h)２＋k的顶点坐标就是点(h,k)．２．８二次函数的增减性与最值从如上展示的图象中可以发现:当a＜０时,在对称轴的左边,函数值y随着自变量x的增大而增大;在对称轴右边,函数值y随着自变量x的增大而减小．当a＞０时,在对称轴的左边,函数值y随着自变量x的增大而减小;在对称轴右边,函数值y随着自变量x的增大而增大．当a＜０时,二次函数有最大值,最大值也是顶点的纵坐标,可记为:a＜０时,当x＝h时,y m a x＝k．当a＞０时,二次函数有最小值,最小值也是顶点的纵坐标,可记为:a＞０时,当x＝h时,y m i n＝k．３ 几何画板 在教学中的效果分析３．１数形结合,增加学生参与度新课标提倡:积极培养学生主动构建知识的能力和动手能力[２]．这也是核心素养背景下,数学教育教学的主要方向．同时, ２０＋２５ 的课堂教学模式的得到了充分且有效的体现,能够让更多的学生参与到本节课的教学活动中．通过几何画板中各项参数的变化,学生可尝试总结出二次函数图象变化的特点,最重要的是可以提高学生自主学习的动力．３．２有效运用,提高课堂实效一般性的课堂教学中,教师必然是课前充分备课,使课堂教学按照自己的预设进行,课堂中设计的学生活动多半是以给学生提问并且让学生回答的方式来呈现,教学目标的达成并不是一节课教师所追求的最终目标,可以运用现代化多媒体工具使课堂教学更为丰富,真正做到把课堂还原给学生．在几何画板演示二次函数图象的过程中,让学生自主总结图象的变化规律以及所蕴含的相关知识点,既可以提高学生学习效率,又能够把课堂还原给学生．３．３寻真教学,启发思维学校要求每一位教师按照 寻真课堂 的教学方式来进行教学活动, 导学寻趣,独学寻疑,互学寻路,展学寻法,评学寻悟 ．导学以各类教学资源为载体,教师在课堂上通过创设情境㊁营造氛围㊁情感渲染等手段,激发学生的学习兴趣,充分调动学生进入学习的状态．独学要让学生独立思考㊁独立看书㊁独立练习,教师摸清独学中的困难重点问题．互学注重学习探究活动,目的在于通过教师与学生㊁学生与学生围绕学习中的困难重点问题之间开展互动式对话㊁交流,达到逐渐深入问题本质,探索解决问题路径的目的．展学过程中,教师可根据课堂生成对核心的概念㊁问题的本质以及关键点进行精讲升华,以达到促进学生举一反三的目的．评学的价值在于了解学生的学习效果,让学生体悟学习,消化学习．４教学反思本节课的课程设计重点在于教师引导学生自主发现在变化的过程当中,二次函数y＝a(x－h)２＋k中的图象与性质,此过程中,学生是主体,教师引导并进行阶段性的总结．作为教师,二次函数顶点式中基本的问题,例如,二次函数顶点式开口方向㊁对称轴㊁顶点坐标㊁增减性与函数最值需让学生有最基本的认识,为后续的具体学习奠定基础．在几何画板中变换参数与绘制图象的形成过程,进一步引导学生通过图象的变化发现各参数中变与不变的量,鼓励学生提出自己的猜想．如文献[３]中所阐述,二次函数图象如同盖着红布的新娘,至于新娘的音容笑貌很早就在新郎的梦想中千万次思寻．其本质在于本节课二次函数顶点式y＝a(x－h)２＋k的教学有了之前二次函数y＝a x２的知识储备,学生对二次函数有了一定的逻辑认知,再结合教师在课堂上的动态演示,对于本节课的知识点就会大胆的猜测与验证,并且能够结合几何画板证实自己的猜想,以便得出结论．但使用通过现代化工具之余,教师要充分明白课堂的本质在于学生,学生的互动与落实是目的,教学方法是手段,作为教育者,我们既要充分且合理地运用几何画板,体现现代化工具在初中数学教学中的优势,又要回归课堂,把课堂交还给学生．参考文献:[１]万剑．几何画板在初中二次函数教学中的应用研究[D]．南昌:南昌大学,２０１３．[２]刘清．数学教学的利器:几何画板 以 二次函数 为例[J]．数学教学通讯,２０１９(１１):４７Ｇ４８．[３]张安军,蒋华灵．函数性质的教学要基于整体视角下的设计 以二次函数y＝a x２的图象和性质为例[J]．中学数学,２０１９(２):３．Z ６９Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
运用几何画板动态解析二次函数的图象和性质
“左加右减” ）。
2 . 二 次 函 数 y=ax2± k可 以 看 作 y=ax2上下移动得到
y x 图 8 所 示 ： =0.4 2+4.4的 图 象 可 y x 以 看 作 是 =0.4 2 的函数图象向上移动 y x 4.4个 单 位 长 度 得 到 。 =0.4 2-3.6的图 y x 象 可 以 看 作 是 =0.4 2 的函数图象向下
一 、 二 次 函 数 y=ax2 的图 象与性质
在二次函数的图象和性质的教学
中 ，我 们 是 从 简 单 的 二 次 函 数 y= ax2 人
手学习二次函数的图象和性质的。二次
函 数 y=ax2 中 只 含 有 一 个 系 数 a ，我们 a 利 用 几 何 画 板 改 变 的 取 值 观 看 y=ax2
是由
移动得到
y x 例如：图 9 所示 ， =0.4( ±4.8)2+
y x 3.1可 以 看 作 =0.4 2 的函数图象向右移
动 4.8个 单 位 长 度 ，再 向 上 移 动 3.1个
单位长度得到。
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图9
通 过 动 态 解 析 二 次 函 数 顶 点 式 y=a x h k ( - ) 2+ 的图象，从图象就可以直观 得出二次函数顶点式y=a (x-h ) 2+k 的
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运用几何画板动态解析二次函数的图象和性质
顾桂新
在 二 次 函 数 的 教 学 中 ，二 次 函 数
顶 点 式 y=a (x-h ) 2+k 的顶点坐标是学
生难以理解也很容易错的知识点。而二
怎样用几何画列表描点连线板画二次函数图象
怎样用几何画板进行列表描点连线画二次函数图象
例如：画6322-+=x x y 的象
第一步：设置参数：在几何画板点击数据\ 新建参数在对话框中左边填上x ,右边填上1点确定。
在画板中出现：X =1 .
第二步：数据\计算在对话框中输入：6322-+=x x y 方法：2乘以X ，这个X 是点击设计的参数：x = 1 ..输入完后点击确定出现 16322-=-+x x 。
第三步：右键点击：16322-=-+x x 。
选择属性，在对话框中选择标签。
在对话框中输入Y 。
点击确定。
在画板中出现Y= -1
第四步列表：选择 X=1 和Y=-1 ，点击数据，点击制表，确定后就出现
选择添加表中数据。
或点击数据，选择添加表中数据。
在对话框中选择：当数值改变时添加 条目。
想添加多少个条目就在框中填相应的数字。
点击确定。
接着选中X=1，改变X 的值，左键单击，表中就增加一组数据，改变X 的值，重复操作，列表完成。
第五步：描点：选中所列的表格。
选择绘图，选择中绘制表中数据，选中直角坐标，点击绘制，描点完成。
第六步：::画图。
点击绘图，选中绘制新函数，在对话框中输入6322-+=x x y 点击确定。
函数图象画完。
在图象中选择点A ，然后点击显示，隐藏函数图象。
选中点A ，点击显示，选择追踪点，拖动点A 就可以把图象画出来。
想擦去痕迹，点击显示选择擦除追踪踪迹。
几何画板软件在初中二次函数教学中的应用
几何画板软件在初中二次函数教学中的应用1. 引言1.1 背景介绍在二次函数教学中，常常需要通过图形来帮助学生理解和掌握概念。
传统的教学方法往往局限于纸上作图，学生难以直观地看到图形的变化规律，容易出现理解上的困难。
而几何画板软件的出现，为二次函数教学提供了全新的可能性。
背景介绍部分将重点介绍几何画板软件在教学中的意义和作用。
几何画板软件是一种通过电脑设备进行交互式几何绘图的工具，具有绘制几何图形、动态演示、自动求解等功能。
它不仅可以提供丰富多彩的图形展示，还能够实时显示图形变化过程，帮助学生更好地理解数学概念。
通过引入几何画板软件，可以激发学生学习的兴趣，提高他们对数学的实践能力和自主学习的积极性。
教师可以更灵活地设计课堂教学内容，提升教学效果。
在二次函数教学中应用几何画板软件，有助于提高教学效率，促进学生的数学学习兴趣，并提升他们的学习成绩。
1.2 问题提出在二次函数教学中，学生往往会遇到难以理解和抽象的概念，例如抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴等。
传统的教学方法往往难以激发学生的兴趣和积极性，也限制了他们对数学概念的深入理解和应用能力的提升。
如何有效地教授二次函数知识，并使学生能够快速掌握和运用这些知识成为了教师们面临的重要挑战。
在这种背景下，引入几何画板软件成为了一种新的教学方式。
这种先进的技术工具结合了数学知识和视觉化展示，可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念，提升他们的学习效果和学习兴趣。
在实际的教学实践中，教师们还需要面对如何有效地利用几何画板软件进行教学的问题。
本文将从几何画板软件的功能介绍开始，探讨在二次函数教学中的具体应用，以及如何利用几何画板软件进行实例演示，激发学生的兴趣和参与度。
通过学生参与互动讨论和教师评估指导，进一步提高教学效果，同时展望未来几何画板软件在二次函数教学中的应用前景。
愿本文能为广大教师和学生提供有益的启示和帮助。
2. 正文2.1 几何画板软件的功能介绍几何画板软件是一种可以在电脑上进行几何图形绘制和操作的工具。
利用几何画板，培养学生探究能力——以《二次函数的图象和性质》教学为例
利用几何画板，培养学生探究能力——以《二次函数的图象和性质》教学为例发布时间：2022-10-21T08:14:42.870Z 来源：《教育学》2022年8月总第293期作者：潘荣义[导读] 探究能力是一种重要的学习能力，培养学生的探究能力是数学教学的一个重要的根本目标。
上林县白圩中学广西南宁530507摘要：探究能力是一种重要的学习能力，培养学生的探究能力是数学教学的一个重要的根本目标。
本文试以几何画板为辅助的二次函数的图象和性质的教学，谈谈学生探究能力的培养。
关键词：几何画板探究能力二次函数 “品质教育，学在南宁”提出：要全面落实国家“双减政策”，通过提升学生的学习品质提高课堂教学质量。
老师们也都知道“授人以鱼不如授人以渔”，培养学生的学习能力要比知识输灌重要得多，而探究能力是一种重要的学习能力。
因此在教学中，教师要注意发挥学生作为教学活动的主体地位，充分调动学生的学习主动性，培养学生的探究能力。
下面本人就以初中数学第二十二章《二次函数》(新人教版)的教学为例，谈谈学生探究能力的培养。
因为本人是借助几何画板来调动学生的学习兴趣，培养学生的探究能力，所以本人先简单介绍几何画板的功能。
几何画板是一款由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的优秀教学软件，它具有动态图形功能、简便的动画功能、有趣的变换功能、方便的计算功能、独特的自定义工具、丰富的图象功能、及时的帮助功能等七大常用功能。
可以说，几何画板既是一个优秀的演示工具，能准确、动态地表达以及演示数学问题；也是一个有力的探索工具，可以用它去发现、探索、表现、总结数学规律。
二次函数是初中数学中学生感到最难学、老师感到最难教的一章，究其原因主要是：一是二次函数与一元二次方程关系紧密；二是二次函数的解析式有四种形式，它们之间的关系及转化理不清；三是二次函数手工画图象花费时间多，且精确度不高。
要学习这一章，学习好第一单元《二次函数的图象和性质》是关键。
二次函数几何画板课件
复习导入
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2之间的关系
移动方向
平移前解析式
Hale Waihona Puke 平移后解析式简记向左平移h
个单位
y=ax2
y=a(x+h)2
左加
向右平移h
个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
右减
探究新知
画出二次函数 =
,
=
(−) ,
=
(−) +3的图象，并探究它们的图
象特征和性质．
列表：自变量x从顶点的横坐标向右开始取值．
x
0
2
3
4
=
0
2
8
x
1
2
3
4
5
(−)
0
2
8
x
1
2
3
4
5
= (−) +3
3
5
11
=
1
探究新知
描点和连线：画出图
象在对称轴右边的部
分．利用对称性，画
第一章 二次函数
1.2 二次函数的图象与性质4
复习导入
二次函数y=a（x-h）2的性质
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，0）
最值
增减性
当x=h时，y最小=0
【免费下载】如何用几何画板动态演示二次函数函数图像
如何用几何画板作二次函数图二次函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型，是以变化与对应为基础的重要数学概念。
要让学生理解二次函数的变量之间的相互依赖关系，清楚地看到二次函数的几种形式y=ax2、y=ax2 +k、y=（x－h）2、y=a（x－h）2+k、y=ax2+bx+c之间的平移、对称关系，需要给学生提供大量的图象素材，让学生观察、分析与对比。
当然最好还是让他们直观地观看当函数中的几个参数a、b、c或参数h、k发生变化时，图形是如何变化的，看到在运动和变化的过程中变量之间的对应关系。
这个靠老师口头讲解、黑板上画图都很难达到这个要求，而利用多媒体技术可以帮助我们做到这一点。
几何画板与Z+Z教育平台可以让抽象的函数问题变得直观形象、化静为动，动态地演示作图过程，动态地演示函数值随自变量的变化而变化的情景，有利于学生理解函数的概念、图象与性质。
如何有效地把信息技术和数学教学进行整合？如何把几何画板与Z+Z教育平台这些新的教学工具完美地融合到二次函数的教学过程中？下面我简单介绍一下用几何画板制作二次函数课件：我想用几何画板制作课件的目标主要有三个：1、快速地作出我们想要的二次函数的图象；2、动态演示几种形式的二次函数的图象，帮助学生理解二次函数的图象、性质及几种形式的二次函数图象之间的平移与对称关系；3、动态演示二次函数的函数值随自变量的变化而变化的情景，帮助学生理解二次函数的单调性与二次函数的极值问题。
一、利用几何画板作二次函数y=3x2－4x+1的图象。
这种形式的图象比较容易在几何画板窗口上画出，教师可以在上课过程中即兴作图。
1、建立平面直角坐标系。
在进入几何画板窗口后，单击编辑窗口上的“图面”选择“显示坐标轴”，此时你可以看到窗口上出现了一个坐标轴，你拉动x轴正半轴上的一个滑动点，可以改变单位长度的大小。
2、画点。
点击编辑窗口左侧的工具栏中的画点工具，在x轴上任意处单击，可以在x轴上做出一个点，如点A。
利用几何画板研究二次函数图像
利用几何画板研究二次函数图像二次函数在初中数学中是比较难学的内容，而在中考中所占比例比较大，要解决二次函数问题，首先要解决二次函数的图像问题，用几何画板研究二次函数图像，加强了直观性、生动、形象，效果良好，能够引起学生的兴趣，教学事半功倍。
一、利用参数建立二次函数，画出二次函数的图像演示图像的开口大小与二次项系数的关系做法：建立参数a，b,c,然后用几何画板画出函数y=ax2+bx+c图像，改变a的取值观察得知；当a的绝对值变大时（选中a按数字键盘中的“+”号），图像的开口变小，当a的二、利用已经建立的参数二次函数函数的图像演示二次函数的图像形状与二次项系数a有关，而b,c的值影响图像的位置具体做法：选定a的取值，按数字键盘中的“+”或“-”号，变换a的取值，可以看到图像的形状变化，当选定b或c，或同时选中b,c,按数字键盘中的“+”或“-”号，变换b,c的取值,发现图像的形状没有发生变化，只是位置移动了，并且只变化c时，图像只做上下平移。
操作如图:三、用几何画板验证函数y=a(x-h)2+k, y=a(x-h)2, y=ax 2+k，y=ax 2的图像的关系做法：建立参数a，h，k，用几何画板在同一坐标系内画出函数y=a(x-h)2+k, y=a(x-h)2, y=ax 2+k，y=ax 2的图像,然后选中a，按数字键盘中的“+”或“-”号，变换a的取值，发现四只图像的形状都在变，但是仍然保持相同；再取消选a，选中h，按数字键盘中的“+”或“-”号，变换h的取值，发现图像的形状都不变，h的值接近0时，抛物线y=a(x-h)2+k接近抛物线y=ax2+k；抛物线y=a(x-h)2接近抛物线y=ax 2；若只选中k，按数字键盘中的“+”或“-”号，变换k的取值,图像的形状也不变，k的值接近0时，抛物线y=a(x-h)2+k 接近抛物线y=a(x-h)2，抛物线y=ax2+k接近抛物线y=ax2，当h、k 的值同时取0时，四条抛物线归一，都重合于抛物线y=ax2处，这说明四者之间可以相互平移得到。
二次函数的图像和性质分析
二次函数图像的平移和变换
向上平移：增加常数项b的值 向下平移：减小常数项b的值 向左平移：增加x的系数a的值 向右平移：减小x的系数a的值
二次函数的性质
二次函数的开口方向
开口方向与二次项系数a有关，当 a>0时，开口向上；当a<0时，开 口向下。
开口方向与一次项系数b和常数项c 无关。
添加标题
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一 元二次方程的
根的关系
ห้องสมุดไป่ตู้
二次函数与一 元二次方程的
图像关系
二次函数与一 元二次方程的
系数关系
二次函数与一 元二次方程在 实际问题中的
应用
二次函数与三角函数的关系
二次函数与三角函数图像的相 似性
二次函数与三角函数的周期性
二次函数与三角函数的对称性
二次函数与三角函数的极值点
添加标题
添加标题
添加标题
开口大小与二次项系数a的绝对值有 关，|a|越大，开口越小；|a|越小， 开口越大。
二次函数的开口方向与对称轴的位 置有关，对称轴在y轴左侧时，开口 向上；对称轴在y轴右侧时，开口向 下。
二次函数的对称轴
二次函数图像的对称轴是x=-b/2a
对称轴的性质：当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，抛物线开口向下， 对称轴为x=-b/2a
计算梯形面积：利用二次函数表示梯形的上底、 下底和高，进而求出面积
计算圆和椭圆面积：将圆和椭圆看作是无 数个小的等腰三角形，利用二次函数表示 这些三角形的面积，进而求出整个圆或椭 圆的面积
计算抛物线形物体面积：利用二次函数表示抛物 线形物体的面积，进而求出其表面积或体积
利用几何画板探究二次函数一般式的性质
利用几何画板探究二次函数一般式的性质第一篇：利用几何画板探究二次函数一般式的性质2y=ax+bx+c(a≠0)的性质二次函数目标：学生经历使用几何画板绘制二次函数图像，通过观察、思考、讨论得出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的待定系数a、b、c与图像之间的关系重点：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质难点：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)性质的得出信息技术硬件：信息技术教室、学生计算机信息技术软件：几何画板、幻灯片投影过程：一、几何画板操作讲解1.将下载好的几何画板分发给学生机器，并控制所有学生机2.启动几何画板的方法：双击图标，进入界面3.启动函数绘图的操作方法：图表→绘制新函数→新建函数对话框或用快捷键（Ctrl+G）4.绘制指定函数图像的输入方法：注意：指数使用“”输入例如：要绘制函数y=3x2+4x-1，应该在对话框中依次输入3,X，︿，2，+，4，*，X，-，1，然后确定，就得到图像可以通过向右、向左拖拽下图中的红点控制坐标系的精度大小和图像的大小例如：要绘制函数y=3(x-1)2+2，应该在对话框中依次输入3，（，X,-,1，）︿,2，+,2然后确定，就得到图像二、学生实践1.教师取消学生机控制，让学生尝试用几何画板作函数y=-x2和y=x2-2x+1的图像2.教师指导个别边缘学生操作三、自主探究探究1.利用几何画板分别作函数y=x2+3x+2，y=-2x2-x+1的图像探究2.利用几何画板分别作函数y=x2-2x-2，y=-x2+3x-4四、思考与讨论1.教师利用幻灯展示以上四个函数的图像2.教师提问，学生独立思考一下问题，教师随机抽查：问题1：以上四个二次函数都是以一般式y=ax2+bx+c(a≠0)形式给出的，他们的图像都是什么形状的？问题2：以上四个二次函数中的待定系数a、b、c各是多少？问题3：以上四个二次函数图像的开口方向、顶点位置、图像与y 轴的交点位置情况如何？3.学生以四人小组讨论：二次函数中的待定系数a、b、c与图像的开口方向、顶点位置、图像与y轴的交点位置有怎样的关系？学生展示，教师逐一抽查各小组讨论结果五、教师讲解难点问题：“待定系数b的作用”注意观察第一组函数y=x2+3x+2和y=-2x2-x+1的待定系数与图像，他们的二次项系数与一次项系数同号，且顶点都位于y轴的左侧；而第二组函数y=x2-2x-2，y=-x2+3x-4的二次项系数与一次项系数异号，且顶点都位于y轴的右侧，由此我们不难得出这样的猜想：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的待定系数b与抛物线的顶点位置有关，当b与a同号时，顶点位于y轴的左侧，当b与a异号时，顶点位于y 轴的右侧。
几何画板在初中二次函数教学中的应用
几何画板在初中二次函数教学中的应用数学在学校课程中始终位居重要地位，是所有学科之首。
初中数学课程具有复杂性，其中，二次函数是学习数学的重点之一。
二次函数涉及多种难点，如因式解二次方程等，这对学生来说是一个挑战。
如何让学生更好地理解二次函数，提高学习效率，成为当前数学教育的热点问题。
几何画板是一种多功能的画板，具有色彩丰富的作图能力，它可以帮助学生以图形的方式深入理解二次函数，从而提高学习效率。
首先，几何画板可以帮助学生以图形的方式更好地理解二次函数的形式。
通过几何画板，可以轻松地画出一系列比例关系下的二次函数图形，从而更加直观地比较它们的特性，同时也可以通过几何画板将抽象的函数表达式塑造成图像，让学生更好地理解。
其次，几何画板可以帮助学生更好地理解二次函数的局部性质，解答所涉及的各种求导公式，轻松完成微积分问题，使学生更加透彻地理解和运用二次函数，更好地解决实际问题。
此外，几何画板的应用可以激发学生的学习兴趣，引导学生在学习中动手实践，让学生更加深入地体验二次函数，从而提高学习效果。
综上所述，几何画板在初中二次函数教学中具有重要意义，可以帮助学生更好地理解和运用二次函数，有效地提高学生的理解能力。
因此，教师应积极引入几何画板设备，合理使用几何画板，积极开展几何画板教学活动，有效提升初中数学教学效果。
在几何画板引入教学的过程中，应注意几点：首先，几何画板的使用要结合课堂上的教学，让学生更加深入地理解课程内容；其次，要通过给学生进行合适的练习和演示，有效辅助学生进行学习；第三，在教学活动中积极引导学生发现学习中的问题，同时激发学生的学习兴趣。
总之，几何画板在初中二次函数教学中的应用对提高学生的学习效率具有重要意义。
在新的数学教学环境中，教师们应重视几何画板的引入，恰当使用几何画板设备，有效地利用几何画板提升初中数学教学质量，在提高数学素养的同时，也有助于培养学生的创新能力。
如何用几何画板动态演示二次函数函数图像
如何用几何画板作二次函数图二次函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型，是以变化与对应为基础的重要数学概念。
要让学生理解二次函数的变量之间的相互依赖关系，清楚地看到二次函数的几种形式y=ax2、y=ax2 +k、y=（x－h）2、y=a（x－h）2+k、y=ax2+bx+c之间的平移、对称关系，需要给学生提供大量的图象素材，让学生观察、分析与对比。
当然最好还是让他们直观地观看当函数中的几个参数a、b、c或参数h、k发生变化时，图形是如何变化的，看到在运动和变化的过程中变量之间的对应关系。
这个靠老师口头讲解、黑板上画图都很难达到这个要求，而利用多媒体技术可以帮助我们做到这一点。
几何画板与Z+Z教育平台可以让抽象的函数问题变得直观形象、化静为动，动态地演示作图过程，动态地演示函数值随自变量的变化而变化的情景，有利于学生理解函数的概念、图象与性质。
如何有效地把信息技术和数学教学进行整合？如何把几何画板与Z+Z教育平台这些新的教学工具完美地融合到二次函数的教学过程中？下面我简单介绍一下用几何画板制作二次函数课件：我想用几何画板制作课件的目标主要有三个：1、快速地作出我们想要的二次函数的图象；2、动态演示几种形式的二次函数的图象，帮助学生理解二次函数的图象、性质及几种形式的二次函数图象之间的平移与对称关系；3、动态演示二次函数的函数值随自变量的变化而变化的情景，帮助学生理解二次函数的单调性与二次函数的极值问题。
一、利用几何画板作二次函数y=3x2－4x+1的图象。
这种形式的图象比较容易在几何画板窗口上画出，教师可以在上课过程中即兴作图。
1、建立平面直角坐标系。
在进入几何画板窗口后，单击编辑窗口上的“图面”选择“显示坐标轴”，此时你可以看到窗口上出现了一个坐标轴，你拉动x轴正半轴上的一个滑动点，可以改变单位长度的大小。
2、画点。
点击编辑窗口左侧的工具栏中的画点工具，在x轴上任意处单击，可以在x轴上做出一个点，如点A。
用几何画板探究二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
用几何画板探究二次函数()2h=的图象和性质y-xa资料编号:202211031810 几何画板课件制作1.打开几何画板,单击“绘图”,选择“定义坐标系”,单击“点工具”,在y轴上任意画出一点A,选中点A和y轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出y轴的一条垂线.单击“点工具”,在y轴左侧的垂线上任画一点B,在y轴右侧的垂线上任画一点C.选中垂线并隐藏,选中点B、C,隐藏单击“构造”、“线段”,作出线段BC.单击“绘图”,选择“隐藏网格”如图1所示.2. 单击“点工具”,在线段BC上任意画出一点P.选中点P,依次单击“度量”、“横坐标（X）”,量出点P的横坐标.选中点P横坐标的度量值右单击,选择“属性”,在对话框中选择“标签”,输入“h”.选中点P,修改点P的标签为h,如图2所示.3. 依次单击“绘图”、“绘制新函数”,在弹出的对话框中依次单击输入“1”、“÷”、“2”、“ *”、“（”、“x ”、“﹣”、“h 的值”、“）”、“∧””、“2”,如图3所示,单击“确定”,作出函数()()221h x x f -=的图象,如图4所示.4.选中函数的图象,修改线型为“中等”.选中函数的标签（函数解析式）,右单击,选择“函数的标签”,从弹出对话框中修改标签为y .如图5所示.选中点h ,修改点的颜色为浅蓝色,表示该点为可拖动的点.如图6所示.5.使用“点工具”在抛物线上任取一点D ,选中点D 和x 轴,依次单击“构造”、“平行线”,作出x 轴的平行线,交抛物线于另一点E .双击点D ,选中点E ,依次单击“变换”、“缩放”,从弹出的对话框中设置“固定比”为1/2,如图7所示.单击“缩放”,得到线段DE 的中点'E .6.选中点'E 和x 轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出的垂线'E x x 即为抛物线的对称轴.选中对称轴,修改线型为“细线/虚线”,颜色为“红色”.选中点D 、E 和直线DE 并隐藏.选中点'E ,依次单击“度量”、“横坐标”.如图8所示.经此一步,完成作图.课件探索对于二次函数()()02≠-=a h x a y ,课件设置了一个参数h ,通过拖动点h ,改变h 的值,从而在一定范围内改变二次函数的图象.注意观察函数图象的变化.通过课件制作和拖动点h 时对二次函数图象的观察,我们可以发现:二次函数()()02≠-=a h x a y 图象的对称轴为直线h x x E ==',顶点在x 轴上,坐标为()0,h .二次函数()2h x a y -=的图象及性质二次函数()2h x a y -=与2ax y =的关系二者的图象可以相互平移得到.将二次函数()02≠=a ax y 的图象沿x 轴向左（0<h ）或向右（0>h ）平移h 个单位长度,即可得到函数()()02≠-=a h x a y 的图象.二次函数()02≠=a ax y 与()()02≠-=a h x a y 图象的开口方向相同,开口大小相同,对称轴不同,y 随x 的变化规律（增减性）不同,二者的顶点坐标以及最值也不同.二次函数()2h x a y -=的图象与性质的应用例1. 二次函数()2231-=x y 的图象开口_________,对称轴是直线_________,顶点坐标是_________,当x _________时,y 随x 的增大而增大.当=x ________时,y 有最_________值,为_________.分析 对于二次函数()2h x a y -=,其图象的顶点坐标为()0,h ,对称轴为直线h x =.若0>a ,当h x <时,y 随x 的增大而减小;当h x >时,y 随x 的增大而增大. 解: 上 , 2=x , ()0,2 , 2> , 2 , 小 , 0 . 例2. 在平面直角坐标系中画出函数()2321--=x y 的图象. （1）指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;（2）说明该函数图象与二次函数221x y -=的图象的关系;（3）工具图象说明,何时y 随x 的增大而减小. 解:函数图象如图所示.y x () =1212∙x 3()2（1）该函数图象开口向下,对称轴为直线3=x ,顶点坐标是()0,3;（2）该函数图象可由函数221x y -=的图象沿x 轴向右平移3个单位长度得到;（3）由函数图象可知:当3>x 时,y 随x 的增大而减小. 例3. 已知抛物线()22+=x a y 过点()3,1-.（1）求抛物线的解析式; （2）画出函数的图象;（3）求抛物线的对称轴和顶点坐标;（4）观察函数图象,当x 取何值时,y 随x 的增大而增大. 解:（1）把()3,1-代入()22+=x a y 得:9-=a 解之得:31-=a∴抛物线的解析式为()2231+-=x y ; （2）如图所示;（3）抛物线的对称轴为直线2-=x ,顶点 坐标为()0,2-;（4）由函数图象可知,当2-<x 时,y 随x 的增大而增大. 巩固练习1. 将抛物线2x y =向_________平移_________个单位得到抛物线()25+=x y ;将抛物线2x y =向_________平移_________个单位得到抛物线()25-=x y .2. 二次函数()22--=x y 的图象不经过第_________象限.3. 在函数()21-=x y 中,当1>x 时,y 随x 的增大而_________.4. 已知抛物线()2h x a y -=的形状及开口方向与抛物线22x y -=相同,且顶点坐标为()0,2-,则=+h a _________.5. 下列抛物线中,对称轴是直线3=x 的是【 】 （A ）332--=x y （B ）332-=x y（C ）()2321+-=x y （D ）()233-=x y 6. 比较抛物线()222121,12,-=-==x y x y x y 的共同点,说法正确的是【 】（A ）顶点都是原点 （B ）对称轴都是y 轴（C ）开口方向都向上 （D ）开口大小相同7. 已知二次函数()2h x y --=,当3-<x 时,y 随x 的增大而增大,当3->x 时,y随x 的增大而减小,则当0=x 时,y 的值为【 】（A ）1- （B ）9- （C ）1 （D ）9 8. 已知二次函数()23-=x y .（1）写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值;（2）若点()11,y x A ,()22,y x B 位于对称轴右侧的抛物线上,且21x x <,试比较1y 与2y 的大小;（3）抛物线()27+=x y 可以由抛物线()23-=x y 平移得到吗?如果可以,请写出平移的方法;如果不可以,请说明理由.9. 已对于函数()2231+=x y ,请回答下列问题: （1）把抛物线231x y =怎样移动得到抛物线()2231+=x y ?（2）写出图象的对称轴和顶点坐标; （3）试讨论函数()2231+=x y 的增减性及最值问题.10. 已如图,已知二次函数的图象顶点坐标为（2 , 0）,直线1+=x y 与二次函数的图象交于A 、B 两点,其中点A 在y 轴上. （1）二次函数的关系式为________________;（2）证明点()12,--m m 不在（1）中所求的二次函数的图象上.yxA BO。
用几何画板探究二次函数最值模型
用几何画板探究二次函数最值模型资料编号:202210311539模型制作1.打开几何画板,单击“自定义工具”,从弹出的工具菜单中选择“函数工具”,从弹出的子菜单中选择“三点二次函数（1）”,在绘图区三个不同的位置单击,作出一条经过A、B、C三点的抛物线.同时,在绘图区会出现抛物线的解析式,调整三个点的位置,可以改变抛物线开口大小和开口方向.如图1所示.2.依次单击“绘图”、“隐藏网格”.选中抛物线,单击“显示”,修改线型为“细线/虚线”.选中单位点,单击“显示”、“隐藏单位点”.如图2所示.3.单击“线段直尺工具”,在向右弹出的工具中单击“线段工具”,在x轴上任意作出一条线段DE,修改线型为“中等/实线”,颜色为“黑色”.如图3所示.4.单击“点工具”,在线段DE上任取一点“F”.依次选中点D、F、E和线段DE,依次单击“构造”、“垂线”,分别交抛物线与点G、I、H.构造线段DG、EH,修改线型为“细线/实线”.选中三条垂线并依次.如图4所示.5.依次选中点F、I,依次单击“构造”、“轨迹”,修改线型为“中等/实线”.选中点B、C、I、F并隐藏点.如图5所示.6.单击“文字工具”,单击点G和点H,隐藏两个点的标签.选中抛物线与x轴,依次单击“构造”、“交点”,得到两个交点,标签分别为J、K.双击点J,选中点K,依次单击“变换”、“缩放”,按“固定比”1 : 2进行缩放,得到线段JK的中点'K,选中点'K和x轴（注意不是线段DE）,依次单击“构造”、“垂线”,作出抛物线的对称轴,修改对称轴的线型为“细线/虚线”,颜色为“红色”.如图6、图7所示.7.选中点J、K、'K并隐藏.修改点D的标签为m,点E的标签为n,如图8所示.经此一步,完成作图.模型探索拖动点D 或点E ,即改变m 或n 的值,可以改变x 的取值范围,观察轨迹的变化,我们可以借助于轨迹的变化来直观地研究二次函()02≠++=a c bx ax y 的最值情况.而拖动点A ,可以改变抛物线的开口大小和开口方向.确定二次函数在指定区间（自变量的取值范围）上的最值,要画出二次函数图象的简图,结合其图象对称轴与区间的相对位置关系以及开口方向来进行.具体情况见下面的表格所示.模型应用例1.当t ≤x ≤1+t 时,求函数25212--=x x y 的最小值（其中t 为常数）.分析 二次函数在指定区间（自变量的取值范围）上的最值与其图象的开口方向和对称轴的位置有关.必要时可画出图象的简图进行求解.本题中,抛物线的对称轴是确定的,指定的区间为含参区间,这样的问题被称为定轴动区间,要对区间与对称轴的相对位置关系进行讨论.解:()3121252122--=--=x x x y ,其图象开口向上,对称轴为直线1=x ∵t ≤x ≤1+t ∴分为三种情况:①当1+t ≤1,即t ≤0时,二次函数的图象在t ≤x ≤1+t 上是下降的,表明y 随x 的增大而减小∴当1+=t x 时,y 取得最小值,最小值为()3213112122min -=--+=t t y ;②当11+<<t t ,即10<<t 时,3min -=y ;③当t ≥1时,二次函数的图象在t ≤x ≤1+t 上是上升的,表明y 随x 的增大而增大∴当t x =时,y 取得最小值,最小值为()2521312122min --=--=t t t y .综上所述,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--<<-≤-=252110,30,32122mint t t t t y .例2.在1≤x ≤2的条件下,求函数122++-=ax x y （a 是实常数）的最大值M 和最小值m .解:()112222++--=++-=a a x ax x y ,其图象开口向下,对称轴为直线a x =.①当a ≥2时,函数图象在1≤x ≤2上是上升的,表明y 随x 的增大而增大∴当2=x 时,34max -==a y M ;当1=x 时,a y m 2min ==.②当a <1≤23221=+,a x =时,12max +==a y M ;当2=x 时,34min -==a y m .③当223<<a ,12max +==a y M ;当1=x 时,a y m 2min ==.④当a ≤1时,函数图象在1≤x ≤2上是下降的,表明y 随x 的增大而减小∴当1=x 时,a y M 2max ==;当2=x 时,34min -==a y m .综上所述,⎪⎩⎪⎨⎧≤<<+≥-=1,221,12,342a a a a a a M ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥=23,3423,2a a a a m .例3.已知函数4121412+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x m x y ,是否存在实数m ,使得当m ≤x ≤2+m 时,函数有最小值5-?若存在,求出m 的值;若不存在,说明理由.分析 本题难度较高,属于对称轴和自变量的取值范围均含参数的最值问题.解:函数4121412+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x m x y 的图象开口向上,对称轴为直线12+=m x .①当2+m ≤12+m ,即m ≥1时,当2+=m x 时()()54123434122124122min -=+--=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=m m m m m y 整理得:0722=-+m m 解之得:221,22121--=+-=m m ∵m ≥1∴221+-=m ;②当212+<+<m m m ,即11<<-m 时,当12+=m x 时()()541122112412min -=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=m m m y 整理得:()21122=+m 解之得:2211,221121--=+-=m m∵11<<-m ∴21,m m 都不符合题意,舍去;③当12+m ≤m ,即m ≤1-时,当m x =时541214*********min -=+--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=m m m m m y 整理得:021232=-+m m 解之得:37,321=-=m m ∵m ≤1-∴3-=m .综上所述,存在实数3-=m 或221+-=m 满足题意.。
几何画板软件在初中二次函数教学中的应用
几何画板软件在初中二次函数教学中的应用随着科技的不断发展，计算机软件在教学中的应用越来越广泛，其中几何画板软件在数学教学中扮演着非常重要的角色。
初中二次函数教学作为数学教学中的一个重要内容，几何画板软件的应用也是十分必要的。
本文将就几何画板软件在初中二次函数教学中的应用进行分析，探讨其在教学中的作用和价值。
一、几何画板软件的优势我们来看一下几何画板软件相对于传统教学方法的优势。
传统学习二次函数的方式往往依赖于教师向学生进行讲解，并通过黑板书写展示相关的图形和方程式。
这种方式有一定的局限性，一是学生对于二次函数的图像理解可能有所欠缺，二是学生无法实时地进行交互式的学习，无法根据自己的思考和需求来调整学习内容。
1. 图像直观化：几何画板软件能够直观地展示二次函数的图像，让学生能够更直观地理解二次函数的性质和特点。
2. 交互性强：几何画板软件可以让学生根据自己的需求和思考进行图像的调整和变换，从而更好地理解二次函数的性质和规律。
3. 灵活性大：几何画板软件能够让学生自由地进行图像的绘制和编辑，从而更好地发挥学生的创造力和思维活力。
几何画板软件对于初中二次函数的教学具有非常明显的优势，能够帮助学生更好地理解和掌握二次函数的知识。
接下来，我们来看一下几何画板软件在初中二次函数教学中的具体应用。
几何画板软件可以在以下几个方面起到重要的作用：2. 变换演示：几何画板软件可以用来进行二次函数图像的变换演示，比如平移、旋转、缩放等操作，让学生可以更清晰地看到二次函数图像的变化规律和效果。
4. 应用实例：几何画板软件可以用来展示二次函数在现实生活中的应用实例，让学生更好地理解二次函数的实际意义和价值。
1. 学习兴趣增强：利用几何画板软件进行教学，使得学生可以通过图像的直观展示和交互操作来进行学习，使得学习兴趣大大增强。
2. 知识理解更深入：通过几何画板软件的应用，学生可以更清晰地看到二次函数的图像特点和变化规律，从而对二次函数的知识有更为深入的理解。
二次函数函数图象几何画板展示
22(0)+0y ax a x ==-0,0,0,y x=a b c ≠==对称轴：轴（直线0）,顶点坐标（0，0） max min 0,000,00a x y a x y <==>==时，时，22=40400b ac a -=-∙∙=x 图象与轴只有一个交点（图象与x 轴相切）0,00,0a y a y <≤>≥恒，恒0,000,00a x y x y x a x y x x y x <><>><时，随的增大而减小，时，随的增大而增大时，随的增大而增大，时，随的增大而减小22+k=(0)y ax a x k=-+0,0,0,y x=a b c ≠=≠对称轴：轴（直线0）,顶点坐标（0，k ） max min 0,00,0a x y k a x y k <==>==时，，时， 22=4040b ac a c -=-∙∙<x 图象与轴无交点（图象与x 轴相离）0,00,0a y a y <>恒小于，恒大于0,000,00a x y x y x a x y x x y x <><>><时，随的增大而减小，时，随的增大而增大时，随的增大而增大，时，随的增大而减小2222222()()0=(2)2y ax bx c a x h a x h a x hx h ax ahx ah=++=-=-+-+=-+ 2max min 0,=2,=,x=h x=220,00,022a b ah c ah y b a y b a b a b ab b a x h y a x h y a a ≠<===>===对称轴在轴左侧，的符号与相同，对称轴在轴右侧，的符号与相反对称轴：直线或直线-,顶点坐标（h,0）或（-，0）-时，，-时， 2222222=4(2)4440b ac ah a ah a h a h -=-∙∙=-=x 图象与轴有一个交点（图象与x 轴相切）0,00,0a y a y <≤>≥恒，恒0,0,a x h y x h y x a x h y x x h y x <><>><时，随的增大而减小，时，随的增大而增大时，随的增大而增大，时，随的增大而减小22222222222222()+=()[()()]224[()][()]24244()24y ax bx c a x h kb c b b b c a x x a x x a a a a a ab c b b ac b a x a x a a a a ab ac b a x a a =++=-+++=++-+-=++-=++-=++ 22max 2min 0,0,0,x=h x=242440,2440,24a b c b ab ac b a ab ac b a x h y k a ab ac b a x h y k a a ≠≠≠--<====->====对称轴：直线或直线-,顶点坐标（h,k ）或（-，）-时，-时， 2=400b ac -大于或者小于x 图象与轴有2个交点或无交点（图象与x 轴相交或相离）0,0,a x h y x h y x a x h y x x h y x <><>><时，随的增大而减小，时，随的增大而增大时，随的增大而增大，时，随的增大而减小221222max 2(4)90(4)907,1(7,0),(1,0)1,74044(4,0)4(4)9878422(1)(4,9)990(04)97y x y x x x x A B OB OA x x x P OP y x x x b x a D DP y y =-++=⇒-++=⇒=-=-⇒--⇒==+=⇒=-⇒=-⇒-⇒==-++=----⇒=-=-=-⨯-⇒-⇒=⇒==⇒=-++=-⇒令图象与轴交点坐标令对称轴为直线对称轴为直线顶点坐标令x 图(0,7)7OC -⇒=象与y 轴交点坐标C21212221212221183(4)9,78317(8,7),(3,8)405(4)9,8218(5,8)4=06(4)95x x y x y y y x H G b ac x x y x y y y x Q b ac x y x y y =-=-⎧=-++⎧⎧⇒⎨⎨⎨=-==+⎩⎩⎩⇒---⇒⇒∆=->==-⎧=-++⎧⇒⎨⎨===+⎩⎩⇒-⇒⇒⇒∆=-=-⎧=-++⇒⎨=⎩联立抛物线与直线有两个交点联立抛物线与直线有1个交点抛物线与直线相切联立22212122,556(2)(6,5),(2,5)42(4)944,2224,2),(4,2)4x y E F x y x x x y y y M N x =-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩-+-⇒--⇒==-⎧⎧⎧=-++==⎪⎪⇒⎨⎨⎨===⎪⎪⎩⎩⎩⇒⇒==-⇒对称轴为直线联立对称轴为直线抛物线上纵坐标相同的两个点它们的横坐标关于对称轴对称222221(7)6909()()[(8(3)](78)252252501=3,=311=,=33:31731705B A D p H G H G GH KH AL KH AB x x DP y y HG x x y y k k GH KH k k GH KH GH y x x y FR =-=---==-=-==-+-=---+--=+=-⇒⊥--⇒//=+⇒-+===。
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运用几何画板动态解析二次函数的图象和性质
作者：顾桂新
来源：《教师·下》2016年第10期
在二次函数的教学中，二次函数顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标是学生难以理解也很容易错的知识点。
而二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数a、b、c与二次函数的图象与性质的关系更是学生容易混淆、难以掌握的知识点。
文章通过运用几何画板动态解析二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k是如何产生的，动态解析一般式y=ax2+bx+c中系数a、b、c的改变后二次函数的图象是如何变化的，从中梳理二次函数的图象和性质。
一、二次函数y=ax2的图象与性质
在二次函数的图象和性质的教学中，我们是从简单的二次函数y=ax2入手学习二次函数的图象和性质的。
二次函数y=ax2中只含有一个系数a，我们利用几何画板改变a的取值观看
y=ax2的图象的变化。
从图1、图2发现：a>0时，二次函数y=ax2的图象开口向上；a
利用几何画板，把二次函数y=ax2的左侧抛物线翻折到右侧（如图3、图4所示），可以发现：二次函数y=ax2不管a的正负，其对称轴都是y轴（即直线x=0）；顶点坐标是（0，0）。
当a>0时，图象有最低点，即有最小值0；当a
在二次函数y=ax2上取一点Q，通过移动点Q。
如图5所示：当a>0时，在y轴左侧（即x0），y随x的增大而增大。
如图6所示：当a0），y随x的增大而变小。
二、二次函数顶点式y=a（x-h）2+k的动态形成
在函数的学习中，先学习最简单函数。
从简单到复杂，从特殊到一般。
二次函数顶点式的形成可以看作由二次函数y=ax2的图形移动得到。
1.二次函数y=a（x+h）2可以看作y=ax2左右移动得到
如图7所示：y=0.4（x+4.7）2的图象可以看作y=0.4x2的函数图象向左移动4.7个单位长度得到。
y=0.4（x-4.7）2的图象可以看作y=0.4x2的函数图象向右移动4.7个单位长度得到。
归纳规律：函数图象向左移动时，在表达式y=ax2中x后加上移动的单位长度；函数图象向右移动时，在表达式y=ax2中x后减去移动的单位长度（即“左加右减”）。
2.二次函数y=ax2+k可以看作y=ax2上下移动得到
图8所示：y=0.4x2+4.4的图象可以看作是y=0.4x2的函数图象向上移动4.4个单位长度得到。
y=0.4x2-3.6的图象可以看作是y=0.4x2的函数图象向下移动3.6个单位长度得到。
通过动态解析二次函数顶点式y=a（x-h）2+k的图象，从图象就可以直观得出二次函数顶点式y=a（x-h）2+k的性质。
如开口、对称轴、最大值、最小值、单调性等可以直接通过图象观察得到。
三、二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数a、b、c与二次函数的图象的关系
1.二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数a与函数图象的关系
当b、c的值不变时，a的值发生改变，二次函数图象变化情况如图10所示，图示所表示的是二次函数y=ax2+4.3x+3.3的图象变化。
从图像中可以得到：a的改变会影响到二次函数的开口变化和对称轴的变化，然而，二次函数与y轴的交点是不会改变的。
2.二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数b与函数图象的关系
当a、c的值不变时，b的值发生改变，二次函数图象变化情况如图11所示，图示所表示的是二次函数y=2.7x2+bx+3.3的图象变化。
从动画中可以得到：b的改变会影响到二次函数对称轴的变化，然而，二次函数的开口与y轴的交点都是不会改变的。
另外，顶点运动的轨迹也是一条抛物线，该抛物线与原抛物线开口方向相反，开口大小一样，对称轴是y轴，由此可以猜想顶点运动的轨迹是y=2.7x2+3.3。
3.二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数c与函数图象的关系
当a、b的值不变时，c的值发生改变，二次函数图象变化情况如图12所示，图示所表示的是二次函数y=1.7x2+6.6x+c的图象变化。
从动画中可以得到：c的改变会影响到二次函数与y轴的交点的改变，而图象的开口、对称轴都是不会改变的。
c的值和二次函数与y轴交点的纵坐标值一样。
顶点运动的轨迹是一条直线，就是y=1.7x2+6.6x+c的对称轴。
4.二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数a、b与函数图象的关系
有上述可知，a、b影响二次函数的对称轴位置。
那a、b具体是如何决定对称轴的具体位置的呢？
从图13可以观察到：a、b同时为正数或同时为负数时，二次函数的对称轴在y轴的左侧；a、b为一正一负时，二次函数的对称轴在y轴的右侧。
为什么会有这样的性质，我们可以从对称轴公式入手说明。
二次函数对称轴公式是。
当a、b同号时，为负数，所以二次函数
y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧；当a、b异号时，为正数数，所以二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴左侧。
综上所述，二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数a、b、c与二次函数图象的关系为：a影响二次函数的开口与对称轴的位置，b影响二次函数对称轴的位置，c决定了二次函数与y轴交点坐标。
运用几何画板动态解析二次函数的图象和性质，能够用动态的思维学习二次函数，也能够解决学习二次函数的难点问题，如顶点式中读取顶点坐标问题，学生容易把横坐标符号弄错。
二次函数一般式中a、b、c与二次函数的图象是学生学习一个重难点。
通过动态解析后，学生对a、b、c是如何影响二次函数图象一目了然，再通过图象就很容易得出二次函数的性质。
（作者单位：广东省广州市骏景中学）。