高中数学第二章平面向量25平面向量应用举例252平面向量在物理中的应用举例课前引导素材新人教A版必修4
高中数学《第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中...》227PPT课件 一等奖名师
(10，10 3)，向量 v2＝(20，0)，
则帆船的行驶速度为 v＝v1＋v2＝(10，10 3)＋(20，0)＝(30，10 3)，
所以|v|＝ 302＋10 32＝20 3(km/h).
因为
(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功.
解 W＝F·A→B＝(F1＋F2)·A→B
＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102. ∴合力F对质点所做的功为－102.
跟踪训练2 一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2， F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°， |F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功.
第二章 2.5 平面向量应用举例
2.5.2 向量在物理中的应用举例
先学知识检查
知识点一 向量的线性运算在物理中的应用
思考1
向量与力有什么相同点和不同点？ 答案 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共 同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是 既有大小，又有方向且作用于同一作用点的.
思考2
N，与铅垂线成
(2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项 水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速 度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不 考虑其他因素，求帆船的速度与方向.
解 建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°， 速 度 为 |v1| ＝ 20(km/h) ， 水 流 的 方 向 为 正 东 ， 速 度 为 |v2| ＝ 20(km/h)，
高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举
2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例一览众山小诱学导入材料：在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.问题：如何从数学的角度解释这种现象？图2-5-1导入：我们把上面的问题抽象为如图2-5-1所示的数学模型.只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系(其中F 为F 1、F 2的合力)，就得到了问题的数学解释.在这里不妨设|F 1|=|F 2|，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道|F 1|=2cos 2||θF .通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐变大时，2θ由0°到90°逐渐变大，cos 2θ的值由大逐渐变小，因此|F 1|由小逐渐变大，即F 1、F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.温故知新1.什么是向量加法的平行四边形法则和三角形法则？答:平行四边形法则：把这两个向量置于同一起点上，以这两个向量为邻边作平行四边形，从公共顶点出发的对角线所对应的向量就表示这两个向量的和，它适用于不共线的两个向量求和.三角形法则：把两个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量就表示两个向量的和，它适用于任意两个向量作和.2.什么是平面向量的基本定理？答:平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2.其中不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.3.如何计算向量的数量积？答:已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·b =0.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
高中数学《第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中...》333PPT课件 一等奖名师
平面向量在物理中的应用
例2.已知船在静水中的速度是v1,水流的速度是v2 ,河的 宽度是 500m.若|v1|=10km/h,|v2|=2km/h,d=500m,则要使船 垂直到达对岸，v1与v2的夹角为多少？航行了多少时间？
精确到0.1min
v1
v
v2
解：如图所示
v2
| vr |
|
r v1
|2
r | v2
标是（ B ）
A.(8,0)
B.(9,1)
C.(-1,9)
D.(3,1)
练习
rr 3、一个物体受到两个相互垂直的力 f1, f2 的作用，两边
大小都为5 3N ，则两个力的合力的大小为（ C ）
A.10 3N B.0N
C.5 6N
D. 5 6 N 2
rr r
4、三个力
rr
F1、F2、F3
同时作用于点O且处于平衡状态，
|2
96(km / h)
t
|
d vr
|
0.5 * 60 3.1(min) 96
答:略
B 水流方向
A
练习：一条河宽为400m，一船从A出发航行垂直到 达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则 船到达B处所需时间为__1_._5_m_i_n__
练习
1、一船从某河的一岸驶向对岸，船速为 已知船可垂直到达对岸，则（ B ）
形法则、力的平衡及直角三角形的知
识可知
r
r |G|
| F1 |
2 cos
2
F
θ
F1
F2
∴逐增渐 大当r θ增，由r大0，°而～1c8o0s°2逐的渐值增逐大渐时缩，小2，由因0此°～| F9r10°|逐G渐
高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例课件
2．向量在物理中的应用： (1)物理问题中常见的向量有_力__，__速__度__，__加__速__度__，__位__移__等． (2)向量的加减法运算体现在_力__，__速__度__，__加__速__度__，__位__移__的__合__成__与__分__解__． (3)动量 mv 是向量的__数__乘__运算． (4)功是_力__F___与_所__产__生__的__位__移__s__的数量积．
2用向量法证明平面几何中 AB∥CD 的方法： 法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示A→B和C→D)；③寻找实数 λ，使 A→B＝λC→D，即A→B∥C→D；④给出几何结论 AB∥CD. 法二：先求A→B，C→D的坐标，A→B＝x1，y1，C→D＝x2，y2.利用向量共线的坐 标关系 x1y2－x2y1＝0 得到A→B∥C→D，再给出几何结论 AB∥CD.,以上两种方法， 都是建立在 A，B，C，D 中任意三点都不共线的基础上，才有A→B∥C→D得到 AB ∥CD.
依题意 OC⊥OA，BC＝OA＝20，OB＝40， ∴∠BOC＝30°. 故船应向上游(左)与河岸夹角为 60°的方向行进．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．过点 M(2,3)，且垂直于向量 u＝(2,1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0
B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0
D．x－2y－4＝0
同学们： 不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪
律秩序。 听课时有问题，应先举手，经教师同意后，
起立提问。
现在开始上课啦！！！
第二章 平面向量
2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例
学习目标：1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际 问题．(重点)2.体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具．(重点)3. 培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．(难点)
高中数学《第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中...》303PPT课件 一等奖名师
几何问题向量化
向量运算关系化
向量关系几何化.
2.向量概念源于物理中的矢量，物理中 的力、位移、速度等都是向量，功是向 量的数量积，从而使得向量与物理学建 立了有机的内在联系，物理中具有矢量 意义的问题也可以转化为向量问题来解 决.因此，在实际问题中，如何运用向量 方法分析和解决物理问题，又是一个值 得探讨的课题.
G
思考5：上述结论表明，若重力G一定， 则拉力的大小是关于夹角θ的函数.在物 理学背景下，这个函数的定义域是什么？ 单调性如何？
| F1 |=
|G | 2 cos q
,
θ∈[0°180°)
2
思考6：|F1|有最大值或最小值吗？|F1| 与|G|可能相等吗？为什么？
探究（二）：向量在运动学中的应用 思考1：如图，一条河的两岸平行，一艘 船从A处出发到河对岸，已知船在静水中 的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝ 2㎞/h，如果船垂直向对岸驶去，那么船 的实际速度v的大小是多少？
|v|= 104 ㎞/h.
A
思考2：如果船沿与上游河岸成60°方向 行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？
v1
v
60° v2
|v|2＝| v1＋v2|2＝（v1＋v2）2＝84.
思考3：船应沿什么方向行驶，才能使航
程最短？
B
与上游河岸的夹角为 78.73°.
v1 v
C
A v2
思考4：如果河的宽度d＝500m，那么船
个力的合力所做的功. F3 北
W=F·s= 24 6 J.
F1
F2
西
东
南
练习例22：已知点 P(－3,0)，点 A 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正
半轴上，点 M 在直线 AQ 上，满足P→A·A→M＝0，A→M＝－32 M→Q，当点 A 在 y 轴上移动时，求动点 M 的轨迹方程．
高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.2 平面向量在物理中的应用举例课后集训
2.5.2 向量在物理中的应用举例课后集训基础达标1.已知一物体在共点力F 1=（2，2），F 2=（3，1）的作用下产生位移s =(23,21)，则共点力对物体所做的功为（ ）A.4B.3C.7D.2 解析：首先求出合力：F =F 1+F 2=（2，2）+（3，1）=（5，3）. ∴共点力F 对物体所做的功为 F ·s =5×21+3×23=7. 答案：C2.在下列命题中为真命题的有（ ）①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量 ②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 ④平面上的数轴都是向量 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析：①作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量，故是一对共线向量，所以①正确；②温度是数量，只有大小没有方向，所以②不正确；③显然共线，所以③正确；④平面上的数轴虽然具有方向但没有确定的长度，所以数轴不是向量，所以命题④不正确.所以应选B. 答案：B3.已知作用在A （1，1）点的三个力F 1=（3，4），F 2=（2，-5），F 3=（3，1），则合力F =F 1+F 2+F 3的终点坐标为（ ）A.（9，1）B.（1，9）C.（9，0）D.（0，9）解析：F =（8，0），设终点坐标为（x,y ），则⎩⎨⎧=-=-,01,81y x ∴⎩⎨⎧==.19y x答案：A4.某人以时速为a km/h 向东行走，此时正刮着时速为a km/h 的南风，则此人感到的风向及风速为（ ）A.东北，2km/hB.东南，a km/hC.西南，2a km/hD.东南，2a km/h 解析：由速度的合成可得. 答案：C5.一架飞机向北飞行300 km ，然后改变方向向西飞行300 km ，则飞机两次位移的和为____________.解析：如下图，由于每次飞行的位移是向量，所以可以用向量加法的三角形法则考虑.由向量加法三角形法则知合位移的大小|s |=2|s 1|=2300(km),方向是北偏西45°.答案：大小：2300 km 方向：北偏西45°6.已知两个力F 1、F 2的夹角为90°，它们的合力为12 N ，合力与F 2的夹角为60°，那么力F 1的大小为____________. 解析：|F 1|=|F |·cos30° =12×3623= (N). 答案：36N综合运用7.当两人提起重量为|G |的书包时，夹角为θ，用力为|F |，则三者的关系式为（ ） A.|F |=θcos 2||G B.|F |=θsin 2||G C.F =2cos2||θGD.|F |=2cos2||θG解析：由向量的平行四边形法则及力的分解可得.答案：C8.一个质量为m 的物体，受到三个水平作用力，静止在光滑的水平面上，将其中一个水平向南的力F 减少了43，其他两个力保持不变，那么该物质在时间t 的位移是（ ） A.0 B.m t F 8||2，向南C.m t F 8||2，向北D.mt F 8||32，向北解析：设另两力为F 1、F 2，则F 1+F 2+F =0， ∴F 1+F 2=-F ，若F 减少43，则合力变为F 1+F 2+41F =-43F ，加速度|a |=43|F |m,方向向北. 位移|s |=21|a |t 2=m t F 8||32,方向向北.答案：D9.平面上有两个向量e 1=(1,0),e 2=(0,1)，今有动点P 从P 0（-1，2）开始沿着与向量e 1+e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e 1+e 2|;另一动点Q 从点Q 0（-2，-1）出发，沿与向量3e 1+2e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e 1+2e 2|,设P ，Q 在时刻t=0秒时分别在P 0、Q 0处，则当PQ ⊥00Q P 时,t=___________秒（ ）A.1.5B.2C.3D.4 解析：∵P 0(-1,2),Q 0(-2,-1)，∴00Q P =(-1,-3). 又∵e 1+e 2=(1,1),∴|e 1+e 2|=2.∵3e 1+2e 2=(3,2), ∴|3e 1+2e 2|=13.∴当t 时刻时，点P 的位置为（-1+t,2+t ）,点Q 位置为（-2+3t,-1+2t ）. ∴=(-1+2t,-3+t),∵00Q P ⊥.∴(-1)×(-1+2t)+(-3)×(-3+t)=0， ∴t=2. 答案：B 拓展探究10.一条河的两岸平行，河的宽度d=500 m ，一艘船从A 处出发到河对岸，已知船的速度|v 1|=10 km/h, 水流速度|v 2|=2 km/h,要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的比值必须最小，分三种情况讨论：（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时； （2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.计算以上三种情况，是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短.解析：(1)如图1，当船逆流行驶，与水流成钝角时，要使行程最短，合速度要垂直于对岸，此时|v|=2221||||v v -=9.8 km/h,t=3.11 min. (2)如图2，当船顺流行驶，与水流成锐角时，t=αsin ||5.01v ,|v 1|sin α＜|v 1|.(3)如图3，当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时,t=||5.01v =3(min)， 即当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短. 备选习题11.河水的流速为2 m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为____________.解析：由速度的合成及向量的平行四边形法则，得静水速度大小为26221022=+m/s. 答案：262m/s12.一艘船以3 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，同时河水的流速为3 km/h ，求船实际航行速度的大小和方向.思路分析：如右图，设表示船向垂直于对岸方向行驶的速度.表示水流速度，以AD 、AB 为邻边作ABCD,则AC 就是船的实际航行速度.解：在Rt△ABC 中，||=3 km/h,| BC |=3 km/h,∴|AC |=.233322=+=tan∠CAB=33=1，∴∠CAB=45°. 即船实际航行的速度的大小为23km/h.方向总与河岸的夹角为45°.13.一架飞机从A 地向西北飞行200 km 到达B 地后，又从B 地向东飞行2100km 到达C 地，再从C 地向南偏东60°飞行250km 到达D 地，求飞机从D 地飞回A 地的位移.解：如右图，根据题意，可作出四边形ABCD ，依题得，△ABC 是等腰Rt△，斜边AB=200，AC=2100.在Rt△CAD 中，∠DCA=60°,CD=250,DA=650,||=650,∠DAC=30°,即∠ADE=30°.14.如右图，重力为G 的均匀小球放在倾角为α的斜面上，球被与斜面夹角为θ的木板挡住，球面、木板均光滑，若使球对木板压力最小，则木板与斜面间的夹角θ应为多大？解：小球受力如右上图所示，重力为G ，斜面弹力N 2（垂直于斜面），木板弹力N 1（垂直于木板），其中N 1和N 2合力大小恒为G ，方向向上，N 2方向始终不变，随着木板的转动，N 1的大小在不断变化.|N 1|=θαsin sin ||G ,当sin θ取最大值1时，|N 1|min =|G|sin α，此时θ=2π.15.如右图，有两条相交成60°的公路xx′,yy′，其交点为O ，甲、乙两辆汽车分别在xx′,yy′上行驶，起初甲离O 点30 km ，乙离O 点为10 km ，后来两车均用60 km/h 的速度，甲沿xx′方向，乙沿yy′方向行驶. (1)起初两车的距离是多少？（2）t 小时后两车的距离是多少？解：（1）连结A 、B ，设甲、乙两车最初的位置为A 、B ，则 ||2=|OA |2+|OB |2-2|OA ||OB |cos60°=700.故||=710（km ）.(2)连结P 、Q ，设甲、乙两车t 小时后的位置分别为P 、Q ，则||=60t ，=60t. 当0≤t≤21时，|PQ |2=（30-60t ）2+（10+60t ）2-2（30-60t ）（10+60t ）cos60°; 当t ＞21时，|PQ |2=（60t-30）2+(10+60t)2-2(60t-30)(10+60t)cos120°. 上面两式可统一为：|PQ |2=10 800t 2-3 600t+700, 即|PQ |=107361082+-t t .。
高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例2课件
分析解本题首先根据题意作图,再把物理问题转化为向量的有关运算求
解.
解设 ω=风速,va=有风时飞机的航行速度,vb=无风时飞机的航
行速度,va=vb-ω.如图所示.
设||=|va|,||=|ω|,||=|vb|,
作 AD∥BC,CD⊥AD 于 D,BE⊥AD 于 E,
(tíyì)F1+F2+F3+F4=0,
No
Image
12/8/2021
第二十三页，共二十三页。
小是(
)
A.2 m/sB.10 m/s
C.12 m/s
D.
m/s
解析(1)由已知F1+F2+F3+F4=0,
2 [(91
故F4=-(F1+F2+F3)=-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]=-(-1,-2)=(1,2).
(2)∵|v|2=|v1+v2|2=|v1|2+2v1·v2+|v2|2
=100+2×10×12cos 60°+144=364,
即5-2≤|v|≤2+5,3≤|v|≤7.
答案C
2021/12/8
第十九页，共二十三页。
1
2
3
4
5
3.已知物体(wùtǐ)在四个力F1,F2,F3,F4的共同作用下处于平衡状态,且
F1=(2,6),F2=(1,-2),F3=(3,4),则F4=
解析依题意F1+F2+F3+F4=0,
所以F4=(-6,-8).
在 Rt△ACD 中,∠ACD=90°,| |=||=12.5,||=25,所以∠
高中数学《第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中...》27PPT课件 一等奖名师
d=500m，问行驶航程最短时,所用时间是多少？
(精确到0.1min) .
分析：如果水是静止的，则船只要 取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶 航程最短，所用时间最短，考虑到水的流速， 要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合
速度v 必须垂直于对岸，如图
v1 v v2
解：|v|= | v1 |2 | v2 |2
=
96
（km/h），所以 t=
d |v|
= 0.5 ×60=3.1（min）.
96
答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min.
（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？
（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船 在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要 使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所 用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这 个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小 船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指 向河对岸），小船过河所用时间才最短。
| F1 | 由小逐渐变大.
G 即 F1 与 F2 之间的夹角越大越费力,
| F1 || F2 |
夹角越小越省力！
（1） θ为何值时， |F1|最小，最 小值是多少？
答：在上式中，当θ =0º时， cos 2最大，| F1最| 小
且等于
|
G 2
|
.
（2） |F1|能等于|G|吗？为什么？
答：在上式中，当
体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于（ C ）
A.(-1，-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2)
2.已知作用在A点的三个力F1 (3, 4), F2 (2, 5), F3 (3,1), A(1,1),则合力F F1 F2 F3的终点 坐标为（ B ） A.(8, 2) B.(9,1) C.(-1,9) D.(3,1)
高中数学《第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中...》346PPT课件 一等奖名师
船从A出发航行到河的正对岸B处。航行的速度
ur
uur
v1 10km / h，水流的速度 v2 2km / h，
问行驶航程最短时，所用的时间是多少？
B
r ur uur
分析：如图，已知v
ur
uur
v1
v2，
V
v1 10km / h, v2 2km / h，
r uur
v v2，求t.
解：由已知条件得 v v2 0
| vr | | v1 |2 | v2 |2 96(km / h),
所以 t d 0.5 60 3.1(min). | v | 96
探究二向量在力学中的应用
例2 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越 大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学 的角度解释这种现象吗?
作业
课本习题2.5 A组3、4
解:不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、 力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道
cos
1 2
|G
|
|G|
2 | F1 | 2 cos
2
通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大
时,
2
由0°到90°逐渐变大,cos
2
的值由大逐渐变小,因此|F1|
由小逐渐变大,即F1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省
解答: 1.B 点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求.
2. 41 点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出.
课堂小结
1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤. ①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题; ②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型; ③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值; ④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现 象. 2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型. ①力、速度、加速度、位移都是向量; ②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向. 知能训练
高中数学《第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中...》358PPT课件 一等奖名师
a
b
记作：a // b// c
c
任一组平行向量都可移到同一条直线上,平行向量也叫
共线向量
rr
规定：零向量与任一向量平行 记作: 0 // a
3. 向量的负向量：长度相等且方向相反的向量。
a
b
a a 向量 的负向量，记作 － ．
规定：零向量的负向量仍为零向量．
a a 与 — 互为相反向量
- - a a
.例试2一：试在4
uuur 5方格纸中有一个向量 AB,以图中
uuur
的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的
uuur
向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个？
uur
(AB除外）
B
相等的有 7个
长度相等
A
的有15个
例1．判断下列结论是否正确。
• (1)平行向量方向一定相同； • (2)不相等向量一定不平行； • (3)与零向量相等的向量是零向量； • (4)单位向量是相等向量； • (5)共线向量一定在一条直线上； • (6)相等向量一定是平行向量;
(×)
(×)
(√ )
( ×) (×)
(√)
【例2】:如图，设O是正六边形的中心，分别写出
图中与向量 OA、 OB、OC 相等的向量，OC负向量。
B
A
C
O
F
D
E
解：
B
OA CB DO
OB DC EO C
OC AB ED FO
D
OC BA DE OF
A
O F
E
下面几个命题：
（1）若a = b， b = c，则a = c。
高中数学 第2章 平面向量 2.5 平面向量应用举例课件
2021/12/9
第三十三页，共四十八页。
1.向量在几何中的应用
(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、 夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种 思路：一种思路是选择一组基底(而选择的基底的长度和夹 角应该是已知的，这样方便计算)，利用基向量表示涉及的 向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的 坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证 明．
2021/12/9
第五页，共四十八页。
2．做一做
(1)若向量O→F1＝(2,2)，O→F2＝(－2,3)分别表示两个力 F1，
F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0,5)
B．(4，－1)
C．2 2
D．5
解析 F1＋F2＝(0,5)，|F1＋F2|＝5.
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第六页，共四十八页。
(2)在四边形 ABCD 中，A→B·B→C＝0，B→C＝A→D，则四边形
第二十一页，共四十八页。
拓展提升 向量法解决解析几何问题的关键点及常用知识
(1)向量法在解析几何中的应用，正确写出点的坐标， 并由已知条件转化为向量坐标是解题的关键．
(2)要掌握向量的常用知识：①共线，②垂直，③模， ④夹角，⑤向量相等则对应坐标相等．
(3)有时需要建立平面直角坐标系．
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第二章 平面 向量 (píngmiàn) 2．5 平面向量(xiàngliàng)应用举例
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课前自主(zìzhǔ)预习
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1.向量在几何中的应用 (1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长
高中数学《第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中...》204PPT课件 一等奖名师
∴合力 F 所做的功为 24 6 J．
三.例题精讲
例 2：用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为 G．两绳受到
的拉力分别为 F1、F2，夹角为 ．
（1）求其中一根绳子受的拉力|F1|与 G 的关系式，用数学观点分析 F1
的大小与夹角 的关系；
（2）求 F1 的最小值；
（3）如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求 的取值范围．
如图，则 F1 (1, 3) ， F2 (2 3, 2) ， F3 (3,3 3) ，
则 F F1 F2 F3 (2 3 2, 2 4 3) ．
又位移 s (4 2, 4 2) ，
合
力
F
所
做
的
功
为
W F s (2 3 2) 4 2 (2 4 3) 4 2 4 2 6 3 24 6（J）．
由于函数 y=cos 在 ∈[0°，180°]上为减函数，∴ 逐渐增大时，
|G|
cos
2 cos
2 逐渐减小，即 2 逐渐增大，∴ 增大时，|F1|也增大．
例2规范解答
|G|
（2）由上述可知，当 =0°时，|F1|有最小值为 2 ．
（3）由题意，
|
G 2
Hale Waihona Puke ||F1||
G
|
，
1 2
1
2cos
1
1 cos 1
∴
2 ，即 2
2．
0 60
由于 y=cos 在[0°，180°]上为减函数，∴ 2
，
∴ ∈[0°，120°]为所求．
四.课堂练习
在风速为 75( 6 2) km / h 的西风中，飞机以 150 km / h
高中数学《第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中...》214PPT课件 一等奖名师
F1
F2
θ
G
小结：
（1）、为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物 理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的 受力平衡，画出相关图形！
（2）、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题， 用向量的有关法则解决问题！
（3）、用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。
例4：如图，一条河流的两岸平行，河的宽度d = 500m，一 艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度 v1 =10km/h，水流 的速度 v2 = 2km/h。
处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游 （与河岸平行），水速大小为5m/s为了使小 船能安全过河，船的划速不能小于多少？当 划速最小时，划速方向如何？
60m
P
120º
Q
θ 瀑 布
l
Q，
总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛，它也是解释某些 物理现象的重要基础知识。通过这节课的学习，我们应掌握什么 内容？ 如何解决物理中与向量有关的问题：
（1）、弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系（数学模型）；
（2）、灵活运用数学模型研究有关物理问题；
（3）、综合运用有关向量的知识，三角等和物理知识解决实际 问题；
（4）、用所得的结果解释物理现象。
问：（1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？ 500m
（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？
A
练习；
如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具， 已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是 ——10—N —。
如图，今有一艘小船位于d = 60m宽的河边
P处，从这里起，在下游 l =80m处河流有一
3、功的定义即是F与所产生位移S的数量值
例题
高中数学 第二章 平面向量 252向量在物理中的应用举例
W1
＝
F1·s＝
→ F1·AB
＝
(1,1)·(－13
，
－
15)
＝
－
28(J)．
F2 做的功 W2＝F2·A→B＝(4，－5)·(－13，－15)＝23(J)． (2)F＝F1＋F2＝(5，－4)，
故 F 做的功 W＝F·A→B＝(5，－4)·(－13，－15)＝－5(J)．
变式训练 3 已知力 F 与水平方向的夹角为 30°(斜向上)， F 的大小为 50 N，F 拉着一重 80 N 的木块在摩擦系数 μ＝0.02 的水平平面上运动了 20 m，求 F 和摩擦力 f 所做的功．
规律技巧 向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合 成与分解，充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化 为数学问题.同时该类题目往往涉及三角形问题，能够正确作图 是解决问题的关键.
变式训练 2 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着 风速计和风向标，测得风往东偏南 30°方向吹，风速为 4 米/秒， 这时气象台报告实际风速为 2 米/秒．试求风的实际方向和汽车 的速度大小．
(1)力、速度、加速度、位移都是向量． (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的 加、减法． (3)动量mv就是数m与向量v的积． (4)功的定义即是力F与所产生的位移s的数量积F·s.
2．用向量解答物理问题的模式 (1)建模，把物理问题转化成数学问题． (2)解模，解答得到的数学问题． (3)回答，利用解得的数学答案解释物理现象．
【答案】 B
变式训练1
若向量
→ OF1
＝(2,2)，
→ OF2
＝(－2,3)分别表示两
个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0,5)
高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.
2.5.1 平面几何中的向量方法课堂导学三点剖析1.用向量方法解决简单的平面几何问题【例1】如右图平行四边形ABCD 中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2.求对角线AC 的长.思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决. 解：设AD =a ，AB =b ，则BD =a -b , AC =a +b .而|BD |=|a -b |=b a b a b b a a •-=•-+=+•-25241||2||22, ∴|BD |2=5-2a ·b =4.①又|AC |2=|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=1+4+2a ·b .由①得2a ·b =1,∴|AC |2=6,∴|AC |=6,即AC=6.温馨提示(1)合理地选择基底是解决好问题的第一步，虽说任意两个不共线的向量都可以做基底，但选择恰当与否直接关系到解题过程的简单与复杂.(2)几何问题用向量法解决体现出了较强的优势，有关线段的长度、平行、夹角等问题都可考虑向量法.(3)在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快. 2.向量坐标运算的应用【例2】如右图已知四边形ABCD 是正方形，BE∥AC,AC=CE,EC 的延长线交BA 的延长线于F. 求证：AF =AE .思路分析：可以建立直角坐标系，要证明|AE |=|AF |，只要求出A 与E 、F 点的坐标即可. 证明：如题图，以正方形ABCD 的CD 所在直线为x 轴,以C 点为原点建立直角坐标系.设正方形的边长为1,则A 、B 的坐标分别为（-1，1），（0，1）若E 点的坐标为（x,y ），则=（x,y-1）,AC =(1,-1).∵BE∥AC,即x+y=1①又∵|CE|=|AC|. ∴x2+y2=2.②由①②得E点的坐标为（231+，231-）.如果设F点的坐标为（x′,1），由CF=（x′,1）与CE=（231+，231-）共线，得231-x′-231+=0，解得x′=-(2+3)，即点F的坐标为（-2-3，1）.∵AF=(-1-3,0),AE=(233+,231--).∴|AF|=1+3=|AE|.即AF=AE.温馨提示由于向量同时具备数、形的特点，能够顺利实现形、数的相互转化，因此在解决几何问题时常常能够化严格的逻辑推理为简单的计算.特别是在触及线段的平行或垂直问题时，向量便更有用武之地了.3.将平面几何问题转化为向量问题【例3】如下图三角形ABC是等腰直角三角形，∠B=90°,D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连结DF，求证：∠ADB=∠FDC.思路分析：建立适当的坐标系，利用向量平行和垂直的条件及向量的数量积，转化为证明两向量的夹角相等.解析：如题图，建立直角坐标系，设A（2，0），C（0，2），则D（0，1），于是=（-2，1），=（-2，2），设F（x,y）,由BF⊥，得BF·=0，即（x,y）·(-2,1)=0, ∴-2x+y=0.①又F点在AC上，则∥.而FC =（-x,2-y ）,因此2（-x ）-(-2)(2-y)=0, 即x+y=2.②由①②式解得x=32,y=34, ∴F(32,34),DF =(32,31),DC =(0,1)DF ·DC =31,又DF ·DC =|DF ||DC |cos θ=35cos θ, ∴cosθ=55,即cos∠FDC=55, 又cos∠ADB=5551||||==AD BD ,∴cos∠ADB=cos∠FDC, 故∠ADB=∠FDC. 温馨提示在解题中要注意题目的隐含条件.如本题中点F 满足的关系除了BF⊥AD,还有F 点在AC 上.点在直线上问题往往转化成两向量共线，利用两向量共线的条件求解. 各个击破 类题演练1用向量的方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.证明：如右图，设四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O 点且互相平分（即AO =OC ，OB =DO ）则AB =AO +OB =OB +AO =DO +OC =DC 因此AB ∥DC ，且|AB |=|DC | 因此四边形ABCD 为平行四边形.变式提升1如右图，平行四边形OACB 中，BD=21DC ，OD 与BA 相交于点E ，求证：BE=41BA.解析：设E′是线段BA 上的一点，且使BE′=41BA,∴只要证E ，E′重合即可.设OA =a ，OB =b ，则BD =31a ， OD =OB +BD =b +31a ，∵'BE ='OE -b , A E '=a -'OE 又∵3'BE =A E ' ∴3('OE -b )=a -'OE∴'OE =41(a +3b )=43(b +31a ) ∴'OE =43OD∴O、E′、D 三点共线. ∴E、E′重合，∴BE=41BA. 类题演练2如果正方形OABC 的边长为1，点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，试求cos∠DOE 的值. 解：分别以OA 、OC 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则D （1，21），E （21，1）， ∴OD =（1，21），OE =（21，1）. ∴cos∠DOE=.541)21()21(1121211||||2222=++⨯+⨯=OE OD OE OD 变式提升2如右图P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PECF 是矩形，用向量法证明：（1）PA=EF ；（2）PA⊥EF.证明：建立如上图所示的坐标系，设正方形的边长为1，|DP |=λ，则A （0，1），P （22λ，22λ），E （1，22λ），F （22λ，0），∴PA =（-22λ，1-22λ），EF =（22λ-1，-22λ）.（1）∵|PA |2=（-22λ）2+（1-22λ）2=λ2-λ2+1，|EF |2=（22λ-1）2+（-22λ）2=λ2-λ2+1，∴|PA |2=|EF |2，故PA=EF.(2)∵PA ·EF =（-22λ）（22λ-1）+（1-22λ）·(-22λ)=0,∴PA ⊥EF ,即PA⊥EF.类题演练3已知直角△ABC,∠C=90°，设AC=m ，BC=n ， （1）若D 为斜边AB 的中点，求证：CD=21AB ； （2）若E 为CD 的中点，连结AE 并延长交BC 于F. 求AF 的长度（用m,n 表示）.解：以C 为坐标原点，以边CB 、CA 所在的直线为x 轴,y 轴建立坐标系，如右图所示，A （0,m ）,B(n,0).(1)∵D 为AB 的中点，D （n2，m2）， ∴||=2222||,21n m AB m n +=+. ∴||=21|AB |，即CD=21AB. (2)∵E 为CD 的中点，所以E （4n ,4m）,设F （x,0），则=（4n ，-43m ），=（x,-m ）.∵A、E 、F 共线， ∴=λ， 即（x,-m)=λ(4n ,-43m)∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=,43,4λλm m n x 即x=3n ,即F （3n ，0）.∴|AF |=22931m n +. 变式提升3如右图在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN=2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP∶PM 的值.解：设=e 1，=e 2，则AM =AC +CM =-3e 2-e 1，BN =2e 1+e 2.∵A、P 、M 和B 、P 、N 分别共线， ∴存在实数λ,μ,使=λ=-λe 1-3λe 2, =μ=2μe 1+μe 2.故=-=（λ+2μ）e 1+(3λ+μ)e 2. 而=BC +CA =2e 1+3e 2， 由基本定理，得⎩⎨⎧=+=+.33,22μλμλ解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.53,54μλ 故=54，即AP∶PM=4∶1.。
高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.
1 2.5.
2 平面向量在物理中的应用举例
课前导引
问题导入
如右图所示顶角是2θ的等腰劈，今有力F =100 N 作用于劈背上将物体劈开，力F 是怎样分解的呢？分力又与角θ有何关系呢？
解析：根据力的作用效果（力F 1、力F 2的方向分别都垂直于劈面），可将力分解如右图：
由向量的平行四边形法则及解直角三角形的知识有
|F 1|=|F 2|=.sin 50sin 2100sin 2||sin 2|
|θ
θθθN N F F === 据题意有0＜2θ＜π,∴0＜θ＜2
π, 又θ∈(0,2
π)时，sinθ是增函数. ∴随着θ的增加，|F 1|在减小，即顶角越小，分力越大；
当θ=6π时，即顶角为3
π时，|F 1|=|F 2|=|F |. 知识预览
1.力、速度、加速度、位移都是向量.
2.力、速度、加速度、位移的合成与分解运用的就是向量的加减法，其运算法则就是平行四边形法则和三角形法则.
3.动量mv 就是数学上的数与向量的乘法运算.
4.功即是力F 与所产生位移s 的数量积.。
高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.2 平面向量在物理中的应用举例课堂导学
2.5.2 平面向量在物理中的应用举例课堂导学三点剖析1.用平面向量解决物理问题【例1】如右图所示，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F 1，求：（1）|F 1|、|F 2|随角θ的变化而变化的情况；（2）当|F 1|≤2|G |时，θ角的取值范围.思路分析：本题主要考查利用向量加法的平行四边形法则解决物理问题.解：(1)如右图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：G =F 1+F 2. 解直角三角形得，|F 1|=θcos ||G ,|F 2|=|G |·tanθ 当θ从0°趋向于90°时，|F 1|、|F 2|皆逐渐增大.(2)令|F 1|=θcos ||G ≤2|G |， 得cosθ≥21,又0°≤θ＜90°,∴0°≤θ≤60°. 温馨提示用向量知识解决相关的物理问题步骤是：（1）将物理问题抽象出数学模型，（2）用数学知识解决模型.(3)将解决的问题还原到物理问题中去.(4)在解决力的合成与分解问题时，一般用向量的平行四边形法则解决.2.物理量关系抽象成数学模型【例2】一自行车以6 m/s 的速度向北行驶，这时骑车人感觉风自正西方吹来，但站在地面上测得风自西偏南6π方向吹来，试求： （1）风相对于车的速度；（2）风相对于地的速度.思路分析：本题主要考查利用向量知识解决速度的合成问题.解：设v 风车、v 车地、v 风地分别是风对车，车对地，风对地的相对速度.如右图|v 车地|=6 m/s,方向正北，v 风车、v 风地的夹角为6π. ∴(1)风相对车的速度大小为 |v 风车|=|v 车地|·c ot 6π=36m/s. (2)风相对于地面的速度大小为|v 风地|=126sin ||=π车地v m/s.温馨提示(1)解答本题的关键在于运用向量的观点将物理问题转化为数学问题，并建立相应的数学模型，这也是今后能力培养的主要方面.(2)在解决速度的合成与分解问题时，一般利用向量的三角形法则.【例3】已知两恒力F 1(3,4)、F 2(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求:(1)F 1,F 2分别对质点所做的功;(2)F 1,F 2的合力F 对质点所做的功.思路分析：本题主要考查利用向量数量积知识解决物理中的做功问题,由于给出各分力的坐标,采用坐标法计算,首先求出位移的坐标,代入F ·s 公式即可.解：AB =(7,0)-(20,15)=(-13,-15).(1)W 1=F 1·AB =(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦)；W 2=F 2·AB =（6，-5）·（-13，-15）=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦).（2）W =F ·AB =（F 1+F 2）·AB =［（3，4）+（6，-5）］·（-13，-15）=（9，-1）·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦).温馨提示力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即W=F ·s ，若用坐标运算，应当注意首先求出位移s 这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐标.各个击破类题演练1用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如右图，已知灯具的重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小是 ___________.解析：因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力都是10 N.答案：10 N变式提升1如左下图，在重300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅锤线的两侧，与铅锤线的夹角为30°和60°，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.解：如右上图，作OACB ，使∠AOC=30°，∠BOC=60°.在△OAC 中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，|OA |=|OC |·cos30°=1503(N),| AC |=|OC |·sin30°=150(N),| OB |=|AC |=150 N.答：与铅锤线成30°角的绳子拉力是1503N ，与铅锤线成60°角的绳子的拉力是150 N. 类题演练2一条河宽为400 m ，一船从A 出发航行垂直到达河正对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h,则船到达B 处所需时间为____________min.解析：如右图所示，用v 1表示船速,v 2表示水速，v 表示船的实际航行速度.则|v |=2222211220||||-=-v v =16 km/h ， ∴t=16400.0=0.025(h) =1.5(min).答案：1.5变式提升2一艘船以5 km/h 速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度.解：如右图，OA 表示水流速度，OB 表示船向垂直于对岸行驶的速度，OC 表示船实际速度，∠AOC=30°，|OB |=5 km/h.∵OACB 为矩形， ||||OA OA =， ∴||=3530tan 5tan ||=︒=∠AOC OB km/h ， ∴||=︒30sin ||OB =10 km/h ， ∴水流速度为35km/h,船实际速度为10 km/h.类题演练3已知F=（2，3）作用于一物体，使物体从A （2，0）移动到B （-2，3），则力F 对物体做的功为__________________.解析：∵=(-4,3)，∴W =F ·s =F ·AB =(2,3)·(-4,3)=1.答案：1变式提升3已知力F 与水平方向的夹角为30°（斜向上），F 的大小为50 N ，F 拉着一个重80 N 的木块在摩擦系数μ=0.02的水平平面上运动了20 m,问F 和摩擦力f 所做的功分别是多少？ 解：设木块的位移为s ,则F ·s =|F ||s |cos30°=50×20×23=3500(J), F 在铅垂方向上分力大小为|F |sin30°=50×21=25(N), ∴摩擦力F 的大小为|f |=(80-25)×0.02=1.1(N).∴f ·s =|f ||s |cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J),∴F 、f 所做的功分别是5003J 、-22 J.。
高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.12.5.2向量在物理中的应用举例
12/13/2021
考纲定位
重难突破
1.体会向量的工具性，并能利用 重点：1.用向量方法解决实际问题
向量的运算解决相关问题．
的基本方法．
2.掌握向量法解决实际问题的基
2.向量方法解决几何问题
本方法和利用向量解决几何问
12/13/2021
(2)由(1)，得|F1|＝co|Gs |θ. 由|F1|≤2|G|，得 cos θ≥12. 又因为 0°≤θ＜90°，所以 0°≤θ≤60°.
12/13/2021
利用向量解决物理问题的思路及注意问题 (1)向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运 算解决向量问题，最后用所获得的结果解释物理现象． (2)在用向量法解决物理问题时，应作出相应图形，以帮助建立数学模型，分析解 题思路． (3)注意问题：①如何把物理问题转化为数学问题，也就是将物理之间的关系抽象 成数学模型；②如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．
12/13/2021
向量在几何应用中的误区 [典例] 在△ABC 中，已知向量A→B与A→C满足|AA→→BB|＋|AA→→CC|·B→C＝0 且|AA→→BB|·|AA→→CC|＝12， 则△ABC 的形状为________．
12/13/2021
[解析] 因为向量|AA→ →BB|，|AA→→CC|分别表示与向量A→B，A→C同向的单位向量， 所以以|AA→→BB|，|AA→→CC|为邻边的平行四边形是菱形． 根据平行四边形法则作A→D＝|AA→→BB|＋|AA→→CC|(如图所示)，则 AD 是∠BAC 的平分线．
12/13/2021
高中数学《第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中...》1PPT课件 一等奖名师
利用向量解决力（速度、位移）的合成与分解 例1.两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动， 根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有 什么关系？
夹角越大越费力.
你能从数学角度来解释这 种现象？
思考1Gu:r 若,那两么只Fur1、手Fuur2臂、Gur的三拉个力力为之Fu间r1、Fu具ur2，有物什体么的关重系力？为
2.用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合. 一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标 系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值.
ur
1人.用当力两都人为能提Fr起，重若量∣为Fr∣∣G=∣∣的Gur ∣物，体则，θ夹的角值为为θ（，D两）
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
21.0已N，知合两力个与力Fr1Fr1的、Fr夹2的角夹为角6为0°90，°则，Fr它1 的们大合小力为的（大D小等）于N
A.5 3
B. 10
|
uur
v1
|2
|
uur
v2
|2
96(km / h),
所以
t
dur |v
|
0.5 60 3.1(min). 96
答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min
利用向量研究力的做功问题
例偏303东°.4一，5个°|Fr物方2|体向=受移4N到动，同了方一8向m平，为面已东内知偏三|北Fr个31|0力=°2N,Fur，1、|Fu方Frur2，3向|的=为6作N北，用偏方，东向沿为北北
2.5.2 向量在物理中的应用举例
授课人：张继秀 单 位：兰州二十八中
向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、 位移、速度等都是向量，功是向量的数量积， 从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系， 物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量 问题来解决.因此，在实际问题中，如何运用向 量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探 讨的课题.
高中数学《第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中...》301PPT课件 一等奖名师
uur v2
r v
ur v１
v2 4
问题延伸
一艘小船在100m宽中的河中横渡到对岸，已知
水流速度 V1 ＝4m/s，小船在静水中的速度 V2 ＝3 m/S,求小船渡河最短航程是多少？
解：当合速度的方向与圆Ｏ相
D
切时，小船渡河最短航程。
r B uur
由 ＡＢＯ ∽ ＡＣＤ得：
t dr 500 100 3 (s) v 53 3
向量在物理中的应用举例
娄底市第一中学 曾佩良
提出问题 经验，两只手臂的夹角大小与所耗力 气的大小有什么关系？
探究新知 例 在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省
力，如何从数学的角度解释这种现象呢？
F
解：如图所示，不妨设 F1 F2 ，由向量 的平行四边形法则，力的平衡
为G 的物体，绳子与垂直方向的夹角为 ，绳子所受
的拉力为
（1）求
uur F1
,
uFur1 F2
随 变化而变化的情况； θ
F1 O
F2
（2）当 F1 2G 时， 求 的取值范围.
G
解：(1)ur由力的平衡得：
uur G
uur ur
F1 COS
F2 G tan
uur uur
当 从0趋向于 2 时，F1 , F2
都逐渐变大
。
自主检测
1.如图，在细绳 0 处用水平力 F2 缓慢拉起所受重力
为G 的物体，绳子与垂直方向的夹角为 ，绳子所受
的拉力为
（1）求
uur uur F1 , F2
随 变化而变化的情况； θ
F1 O
F2
（2）当 F1 2G 时， 求 的取值范围.
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1 2.5.
2 平面向量在物理中的应用举例
课前导引
问题导入
如右图所示顶角是2θ的等腰劈，今有力F =100 N 作用于劈背上将物体劈开，力F 是怎样分解的呢？分力又与角θ有何关系呢？
解析：根据力的作用效果（力F 1、力F 2的方向分别都垂直于劈面），可将力分解如右图：
由向量的平行四边形法则及解直角三角形的知识有
|F 1|=|F 2|=.sin 50sin 2100sin 2||sin 2|
|θ
θθθN N F F === 据题意有0＜2θ＜π,∴0＜θ＜2
π, 又θ∈(0,2
π)时，sin θ是增函数. ∴随着θ的增加，|F 1|在减小，即顶角越小，分力越大；
当θ=6π时，即顶角为3
π时，|F 1|=|F 2|=|F |. 知识预览
1.力、速度、加速度、位移都是向量.
2.力、速度、加速度、位移的合成与分解运用的就是向量的加减法，其运算法则就是平行四边形法则和三角形法则.
3.动量mv 就是数学上的数与向量的乘法运算.
4.功即是力F 与所产生位移s 的数量积.。