高中数学人教A版选修1-1练习课件：2.2.3 双曲线的简单几何性质(1)
人教A版高中数学高二版选修1-1练习 双曲线的简单几何性质
第二章 圆锥曲线与方程2.2 双曲线2.2.2 双曲线的简单几何性质A 级 基础巩固一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4.答案：C2．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 解析：由已知可得c ＝6，所以 a ＝b ＝22c ＝32， 所以 双曲线的标准方程是x 218－y 218＝1.答案：D3．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：由e ＝62得e 2＝32，所以 c 2a 2＝32，则a 2＋b 2a 2＝32，所以 b 2a 2＝12.即a 2＝2b 2.答案：B4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .又离心率为e ＝ca＝a 2＋b 2a＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52， 所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .答案：C5．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：双曲线的一条渐近线方程为x a －yb ＝0，即bx －ay ＝0，焦点(c ，0)到该渐近线的距离为bc a 2＋b2＝bc c ＝3，故b ＝3，结合ca ＝2，c 2＝a 2＋b 2得c ＝2，则双曲线C 的焦距为2c ＝4.答案：C 二、填空题6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______，渐近线方程为______．解析：因为椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，所以在双曲线中，c ＝4，且满足ca ＝2，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝23，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x ..答案：(4，0)，(－4，0) y ＝±3x 7．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．解析：双曲线的左焦点为F 1(－2，0)，将直线AB 方程：y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程．得8x 2－4x －13＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以 x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，所以 |AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋13× ⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 答案：38．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．解析：双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k2，又因为e ∈(1，2)，则1＜4－k2＜2，解得－12＜k ＜0 答案：(－12，0) 三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(3，－2)，离心率e ＝52； (2)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)． 解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为双曲线过点(3，－2)，则9a 2－2b 2＝1.①又e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝52，故a 2＝4b 2.② 由①②得a 2＝1，b 2＝14，故所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理可得b 2＝－172，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. (2)由2a ＝2b 得a ＝b ，所以 e ＝1＋b 2a2＝2， 所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点P (4，－10)， 所以 16－10＝λ，即λ＝6.所以 双曲线方程为x 2－y 2＝6. 所以 双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1.10．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求实数a 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值．解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a2－y 2＝1(a ＞0)中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0，所以 0＜a ＜2且a ≠1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0，1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a2. 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960. 由a ＞0，解得a ＝1713.B 级 能力提升1．若0＜k ＜a 2，则双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的虚线B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ．相同的焦点解析：因为0＜k ＜a 2，所以 a 2－k ＞0.对于双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1，焦点在x 轴上且c 2＝a 2－k ＋b 2＋k ＝a 2＋b 2.同理双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1焦点在x 轴上且c 2＝a 2＋b 2，故它们有共同的焦点．答案：D2．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．解析：如图，连接F2P，P是MF1中点，则PF2⊥MF1，在正三角形MF1F2中，|F1F2|＝2c，则|PF1|＝c，|PF2|＝3c.因为P在双曲线上，所以|PF2|－|PF1|＝2a而3c－c＝2a所以ca＝23－1＝2（3＋1）（3－1）（3＋1）＝3＋1.答案：3＋13．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．解：(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理，得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0，①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k2－2≠0，Δ＝（2k）2－8（k2－2）＞0，－2kk2－2＞0，2k2－2＞0，解得k的取值范围为{}k|－2＜k＜－2.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则由①，得x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1x 2＝2k 2－2.② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过以曲线C 的右焦点F (c ，0)， 则由FA ⊥FB ，得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0. 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.整理，得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式，化简，得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知存在k ＝－6＋65，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．。
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：2-2-2《双曲线的简单几何性质》
2．基本不等式的应用 在利用基本不等式求最值时，一定要紧扣“一 正、二定、三相等”这三个条件，即每个项都 是正值，和或积是定值，所有的项能同时相等； 而“二定”这个条件是对不等式进行巧妙拆分、 组合、添加系数等使之能变成可用基本不等式 的形式的关键．倘若要多次用基本不等式求最 值，必须保持每次“=”的一致性．
专题三 不等式、数列、推理与 证明
1．不等式的重要性质 1 a b a c b c. 推论1 a b，c d a c b d . 2 a b，c 0 ac bc；a b，c 0 ac bc. 推论1 a b 0，c d 0 ac bd； 1 1 推论2 a b，ab 0 ; a b 推论3 a b 0 a n b n (n N*，且n 2)． * n n 3 a b 0 a b (n N ，且n 2)．
f x 0 ②log a f x log a g x 0 a 1时， ; g x 0 f x g x f x 0 a 1时， . g x 0 f x g x
3．线性规划 二元一次不等式表示平面区域的快速判断法. 4．推理与证明 (1)归纳推理： ①通过观察个别情况发现某些相同的性质； ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性 命题(猜想)．一般地，如果归纳的个别情况越多， 越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可靠．
二、应用基本不等式求最值 例2 1 若a 0，b 0，a b 2，则下列不等式对一切 满足条件的a，b恒成立的是 __________ ． (写出所有正 确命题的编号) ①ab 1；② a b ；③a 2 b 2 2； 1 1 3 3 ④a b 3；⑤ 2. a b 的两个正方形，其中BC 2，A 90，则这两个 正方形的面积之和的最小值为 __________ ．
2018学年高中数学人教A版选修1-1课件：2.2.2 双曲线的简单几何性质 精品
∴x±y＝0，∴顶点到渐近线的距离为
d＝|±1±20|＝
2 2.
(2)因为 0<k<5，所以两曲线都表示双曲线，在1x62 －5－y2 k＝1 中 a2＝16，b2
＝5－k；在16x－2 k－y52＝1 中 a2＝16－k，b2＝5.由 c2＝a2＋b2 知两双曲线的焦距
相等，故选 D.
(3)不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a.∵△PF1F2 是等腰直 角三角形，∴只能是∠PF2F1＝90°，
________. 【解析】 由双曲线 x2－by22＝1，得 a＝1，∴b1＝2，b＝2. 【答案】 2
(2)求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、 离心率和渐近线方程．
【解】 将原方程转化为x92－y42＝1，即3x22－2y22＝1， ∴a＝3，b＝2，c＝ 13， 因此顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)， 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4，
(2)∵直线与双曲线只有一个公共点， ∴Δ3－＝a224≠－04a2＝0， 或 3－a2＝0， ∴a＝± 6或 a＝± 3. 故当 a＝± 6或 a＝± 3时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)∵直线与双曲线没有公共点， ∴3－a2≠0，且 Δ＝24－4a2＜0. ∴a＞ 6或 a＜－ 6. 故当 a＞ 6或 a＜－ 6时，直线与双曲线没有公共点．
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
实轴长＝_2_a_，虚轴长＝__2_b_
y＝±bax
e＝ac且 e＞1 y＝±abx
2.等轴双曲线 (1)定义：实轴和虚轴__等__长____的双曲线叫做等轴双曲线．其方程的一般形 式为 x2－y2＝λ(λ≠0)． (2)性质：①渐近线方程为：_y_＝__±__x__. ②离心率为：e＝ 2.
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1课件：2.2.2 双曲线的简单几何性质
1
双曲线的简单
几何性质
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Z 知识梳理
UBIAODAOHANG
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2
【做一做 1-1】 中心在原点,实轴长为 10,虚轴长为 6 的双曲线
)
的标准方程是(
2
2
A. 25 − 9 = 1
2
2
2
2
离心率
e= a ( > 1)
渐近线
F1(0,-c),F2(0,c)
c
x y
b
± =0 或y=± x
a b
a
y x
a
± =0 或y=± x
a b
b
名师点拨 离心率 e= > 1, 离心率越大, =
2 -1就越大,双曲线
“张口”越大.
第四页，编辑于星期日：点 十五分。
-4-
2.2.2
2
10
9
Z 知识梳理
UBIAODAOHANG
,得
HISHI SHULI
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HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
2
2
=
10
9
.
设 a2=9k(k>0),
则 c2=10k,b2=c2-a2=k.
2
于是,设所求双曲线方程为 9 −
2
= 1, ①
2 2
或
UBIAODAOHANG
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HISHI SHULI
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HONGNAN JVJIAO
高中数学人教A版选修1-1课件：2.2.2《双曲线的简单几何性质》课时1
F1
A1
O
A2 F2
x
(3)焦点坐标： F1(5,0), F2 (5,0) (4)离心率： e c 5
a4
思考：y
1 的图像是什么？
x
图 像 无 限 靠 近 x轴 和 y轴
x轴, y轴叫做y 1 的渐进线. x
5、渐近线
双曲线 x2 y 2 1, (a 0, b 0) a2 b2
拖动下方中间的两个点绘制双曲线 图像，体会双曲线和渐近线的关系
yb a
x2 a2 b | x | a
1
a2 x2
b x 1 a2
a
x2
y
当x
时,
a2 x2
0.
说明:
O
当x 时, 双曲线上点的纵坐标
ybx a x
与y b x的纵坐标很接近. a
即y b x a
y
13
C′
C
12
A′
0
Ax
20
B′
B
x2 y2 1．若双曲线 8 － m ＝1
的渐近线方程为
y＝±2x，则实数
m
等于( )
A．4 B．8 C．16 D．32
解析：由题意，得双曲线焦点在 x 轴上，且 a2＝8，b2＝m， ∴a＝2 2，b＝ m.
又渐近线方程为 y＝±2x， ∴m8＝4.∴m＝32.
双曲线的方程为 x2 y2 1 64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
例2、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其
虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为
高中数学人教A版选修2-1第二章2.3.2双曲线的简单几何性质(一)课件(共30张PPT)
双曲线 x2 y2 1 16 9
(1)范围： x 4或x 4, y R
(2)顶点坐标： A1(4,0), A2 (4,0) (3)焦点坐标： F1(5,0), F2 (5,0) (4)离心率： e c 5
a4
（5）渐近线方程： y 3 x 4
y F1• • A1 O A2• •F2 x
双曲线的方程为 x2 y2 1 64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
课堂练习
练习：求下列双曲线的渐近线方程
x2 1.
y2
1
94
2. x2 y2 1 18 8
x2 y2 1与 x2 y2
a2 b2
a2 b2
x2 3.
y2
1
36 16
具有相同的渐近线。
根据下列条件，求双曲线方程:
与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点(3, 2 3) ； 9 16
例3、若双曲线过点（6，3），且渐近线方程
是y=
1 3
x，求双曲线的方程。
渐近线方程为
x a
y b
0
的双曲线可设为
x2 a2
y2 b2
（
0）
渐近线方程为 ax by 0 的双曲线可设为 a2 x2 b2 y2
双曲线的焦点在x轴上，且c 2 2
双曲线的渐近线方程为 y 3 x
b
3
，而c 2
a2
3 b2，a2
b2
8
a3
解出 a2 6，b2 2
双曲线方程为 x2 y2 1
62
一、二、三、五
一个特例：
新疆 王新敞
高二数学,人教A版选修1-1, 2.2双曲线的综合问题 ,习题课课件
中,a=3,c=5,不妨设|PF1|>|PF2|,则
答案: (1)26
(2)16 3
探究一
探究二
探究三
思维辨析
− 2=1 (a>0,b>0),若其左、右焦点分 ������ 别为F1,F2,点P是双曲线上任意一点,则有如下结论: (1)若点P在左支上,则|PF1|的最小值为c-a,|PF2|的最小值为c+a; (2)若点P在右支上,则|PF1|的最小值为c+a,|PF2|的最小值为c-a. 2.解决双曲线的焦点三角形问题时,通常也是利用双曲线的定义 并结合余弦定理、三角形面积公式,通过配方等变形,解决面积计 算等相关问题.
【做一做
在双曲线上,且 AF1⊥AF2,则三角形 AF1F2 的面积等于( A.1 B.2 C. 3 D.2 5
������2 2 1】 已知双曲线 -y =1 4
的左右焦点分别为 F1,F2,点 A )
|������������1 |-|������������2 | = ±4, |������������1 |2 + |������������2 |2 = 20, 于是|AF1|· |AF2|=2, 解析: 依题意有 因此������△������������1 ������2 = |AF1|· |AF2|=1.
∠F1PF2=60°,则△F1PF2 的面积等于
������2 − =1 16
的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 .
思路点拨:(1)可直接利用双曲线的定义求解;(2)利用双曲线的定 义以及余弦定理、三角形面积公式求解.
探究一
探究二
探究三
人教A版高中数学选修21PPT课件：.2双曲线的简单几何性质(1)
解：原方程可化为 :
y2 42
x2 32
1
y
实半轴长 a 4，虚半轴长 b 3 .
c a2 b2 42 32 5
4
焦点坐标 (0， 5)，(0，5) .
人教A版高中数学选修21PPT课件：.2 双曲线 的简单 几何性 质(1)
离心率
e
c a
5 4
.
渐近线方程为:
y
4 3
x
.
-3 O 3
2.3.2 双曲线的简单几何性质（1）
思考回顾 椭圆的简单几何性质 ？
①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等
双曲线是否具有类似的性质呢?
图象
方程 性质
A1 F1
y B1
O
B2
M
A2
F2 x
范围
| x | a，| y | b
B1 A1 A2
B2
| x|a
对称性 顶点 离心率
关于坐标轴对称、 关于原点对称．
a
ab
x2
a2
y2
b2
1 (
0)
即
x2 a2
y2 b2
(
0)
即为以
x a
y b
0
为 渐 近 线的
例3 求与双曲线 x2 y2 1 共渐近线且过点 (2 3， 3)
16 9
的双曲线方程及离心率．
解：设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为 x2 y2 0
16 9
∵ 点 (2 3， 3)在双曲线上，
解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为
x2
y2
1
13 3
所求双曲线的渐近线为
y
1 2
高中数学人教A版选修1-1课件：2.2.2+双曲线的简单几何性质
答疑解惑
AYIJIEHUO
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探究二根据几何性质求双曲线的标准方程 【例2】 求解下列各题: (1)已知双曲线的焦点在y轴上,实轴长与虚轴长之比为2∶3,且
过点 P( 6,2),求双曲线方程; (2)已知双曲线的焦点在 x 轴上,离心率为53,且经过点 M(-3,2 3),求双曲线方程;
−
bx22=1(a>0,b>0)
图形
性 质
焦点 焦距 范围
F1(-c,0),F2(c,0) |F1F2|=2c x≤-a 或 x≥a,y∈R
F1(0,-c),F2(0,c) y≤-a 或 y≥a,x∈R
-3-
2.2.2 双曲线的简单几何性质
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答疑解惑
AYIJIEHUO
故所求双曲线方程为x2
9
−
y42=1
或y 2
9
−
4x2 81
=1.
(4)双曲线方程可化为x22-y2=1,依题意设所求双曲线的方程为
x2 2
-y2=k,将点
M(2,-2)代入,得
k=222-(-2)2=-2,
因此双曲线方程为x22-y2=-2,即y22
−
x2 4
=1.
-16-
2.2.2 双曲线的简单几何性质
离心率 e=ac = 529,渐近线方程为 y=±25x.
-10-
2.2.2 双曲线的简单几何性质
探究一
探究二
探究三
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2018高中数学人教A版选修1-1课件：第二章2.2-2.2.2双曲线的简单几何性质 精品
类型 2 根据双曲线的几何性质求解标准方程 [典例 2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为153； (2)渐近线方程为 y＝±12x，且经过点 A(2，－3)．
略判断Δ是否大于 0，导致错误．
防范措施：研究直线与椭圆、双曲线相交问题时，一 定要注意Δ＞0.若关于Δ＞0 的不等式很复杂，可以先求 出参数的值，再代入验证Δ是否大于零．
解：设直线 l 的方程为 y－2＝k(x－1)，
代入 C 的方程，并整理，得 (2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0.①
设直线 l 与双曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由根与系数的关系， 得 x1＋x2＝－65m，x1x2＝130(m2＋2)， 又 y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m， 所以 y1－y2＝2(x1－x2)，
所以 |AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2＝ 5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5[3265m2－4×130(m2＋2)]． 因为|AB|＝4，所以 356m2－6(m2＋2)＝16. 所以 3m2＝70，m＝± 2310. 由(*)式得Δ＝24m3－240，
y1－y2
所以直线 AB 的斜率为 k＝
＝1.
x1－x2
将 k＝1 代入方程①，经验证判别式Δ≥0.
所以这样的直线存在，方程为 y＝x＋1.
(2)假设弦 AB 以 Q 为中点，且 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 2x21－y21＝2，2x22－y22＝2.
人教A版高中数学选修1-1课件双曲线的简单几何性质(1)
a2
(-x,y)
(x,y)
-a o a
x
x a, x a
2、对称性
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长
6
4
18
4
|x|≥3
|y|≥2
x 2 y 2 1 49 25
10
14 |y|≥5
顶点 焦点
4 2,0
6,0
(±3,0)
3 10,0
(0,±2)
0,2 2
(0,±5)
0, 74
离心率 渐进线
e3 2 2
y 2x 4
e 10
y=±3x
e 2 y x
a4
渐近线方程: y 4 x 3
例2.求与双曲线 x2 - y2 =1有共同的渐近线, 16 9
经过点(2 3,-3)的双曲线方程.
解一(待定系数法):双曲线方程 9x2 y2 1,e= 5 . 44 3
解二(双曲线系法):设双曲线方程 x2 y2 ( 0),
16 9
e 74 5
y5x 7
例题讲解
例1 :求双曲线 9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
y2 42
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.2.3双曲线的简单几何性质(一)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.2.3 双曲线的简单几何性质（一）同步练习题【基础演练】题型一：由双曲线的方程研究其几何性质请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 双曲线3y x 322=-的渐近线方程是A. x 3y ±=B. x 31y ±=C. x 3y ±=D. x 33y ±= 2. 双曲线3y x 22=-的A. 顶点坐标是（3±，0），虚轴端点坐标是（0，3±）B. 顶点坐标是（0，3±），虚轴端点坐标是（3±，0）C. 顶点坐标是（3±，0），渐近线方程是x y ±=D. 虚轴端点坐标是（0，3±），渐近线方程是y x ±=3. 若a k 0<<，则双曲线1k b y k a x 2222=+--与1by a x 2222=-有A. 相同的实轴B. 相同的虚轴C. 相同的焦点D. 相同的渐近线4. 已知双曲线的渐近线方程为x 21y ±=，焦距为10，求双曲线方程。
题型二：由双曲线的几何性质求其方程 充分利用双曲线的几何性质，以及a 、b 、c 间的数量关系，并结合平面几何知识，求出基本参数a 、b 、c 的值，进而求出双曲线的标准方程，请根据以上知识解决以下5~7题。
5. 双曲线C 的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线C 的方程为A. 14y 4x 22=-B. 14x 4y 22=-C. 18x 4y 22=-D. 14y 8x 22=-6. 过点（2，-2）且与1y 2x 22=-有公共渐近线的双曲线方程是A. 12y 4x 22=+-B. 12y 4x 22=-C. 14y 2x 22=+-D. 14y 2x 22=- 7. 求与双曲线19y 16x 22=-共渐近线且过点A （32，-3）的双曲线方程。
高二数学人教A版选修1-1课件：2.2.2 双曲线的简单几何性质
(3)设所求双曲线方程为2������42 − 4������02=λ(λ≠0),过点 M(3 2,
λ=1284
−
10 40
=
12.
故双曲线方程为������2
24
−
������2 40
=
12,即1������22
−
2������02=1.
10),有
一 二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
(4)方法一:首先确定所求双曲线的标准类型,可在图中判断一下
一 二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
若双曲线的焦点在 y 轴上,设������������22 − ������������22=1(a>0,b>0).
同理,有������������22
=
5 4
,
2 ������2
−
���9���2=1,a2+b2=c2.
解得 b2=-127(舍去).
∴双曲线的焦点只能在 x 轴上,故所求双曲线方程为 x2-4y2=1.
(2)若是根据双曲线的渐近线求标准方程,设法为:
若双曲线的渐近线方程为 y=±������������x,则双曲线方程可表示为
������2 ������2
−
������������22=λ(λ≠0).
一 二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
【例 2】 根据以下条件,求双曲线的标准方程.
(1)虚轴长为 12,离心率为54;
目标导航
预习导引
12
顶点
性
轴长
质
离心率
渐近线
A1(-a,0),A2(a,0)
实轴长=2a,虚轴长=2b e=ac ∈(1,+∞)
高中数学人教A版选修1-1课件：2.2.2《双曲线的简单几何性质》课时1
（4）渐近线: （5）离心率:
yax b
e c a
y
a o bx -a
性
双 曲
质
图象
线
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
范围 对称性 顶点
渐近线 离心率
xa
或
x a
关于 坐标 轴和
(a,0)
ybx a
e
c a
ya
或
原点 都对 称
(其中
（2）如 轴图 ,它,线的段长为2Aa1,Aa叫叫2 做做双实曲半线轴的长实;
线段 叫做双曲线的虚轴,它的 长为2Bb1B,b2叫做双曲线的虚半轴长.
y
b B2
A1 -a o a A2
x
（3） 实轴与虚轴等长的双曲线叫等 轴双曲线
-b B1
x2 y2 m(m 0)
4、离心率
（1）定义: 双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做
y2 a2
1 的渐近线是直线y
a b
x
技法要点:
3.双曲线
x2 a2
y2 b2
的渐近线方程是
x2 a2
y2 b2
0,即
x a
y b
0.
4.渐近线方程为 x a
y b
0的双曲线方程是 x 2 a2
y2 b2
.
课后练习 课后习题
1 的图像是什么？
x
图 像 无 限 靠 近 x轴 和 y轴
x轴, y轴叫做y 1 的渐进线. x
5、渐近线
双 曲 线 x2 y 2 1, (a 0, b 0) a2 b2
拖动下方中间的两个点绘制双曲线 图像,体会双曲线和渐近线的关系
人教版A版高中数学选修1-1：双曲线的简单几何性质_课件1
（2）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴
长和虚轴长相等，且过点 P(4，－ 10)．
【解析】1.由题意知双曲线的焦点为 ( 7,0)，( 7,0)，即 c 7,
又因为双曲线的离心率为 2 7 ，所以a=2,故b2=3,双曲线的方程
4
为
x2
y2
1.
43
答案：x2 y2 1
双曲线的简单几何性质
1.通过双曲线的方程和几何图形,了解双曲线的对称性、范围、 顶点、离心率等简单几何性质. 2.了解双曲线的渐近性,并能用双曲线的简单几何性质解决一 些简单的问题.
1.本节的重点是对双曲线几何性质的理解和简单应用. 2.本节的难点是对双曲线渐近线的理解和运用.
1.双曲线的几何性质
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
（a＞0，b 0）
性 质
图形
y2 a2
x2 b2
1
（a＞0，b＞0）
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
（a＞0，b 0）
y2 a2
x2 b2
1
（a＞0，b＞0）
焦点 __F_1(_-_c_，__0_)_,_F_2_(_c_,_0_)__ __F_1(_0_，__-_c_)_,_F_2_(_0_，__c_)_
43
2.(1)设双曲线的标准方程为
x2 a2
－
y2 b2
＝1
或
y2 a2
－
x2 b2
＝1
a
0,b 0,
2a=8.
由题意知 c＝5 且c2＝a2＋b2，
a4
∴a=4,c=5,b=3，
人教A版高中数学选修1-1课件2.2.2《双曲线的简单几何性质》
P56
• 过程与方法目标
• （1）复习与引入过程
• 引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的 方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线 的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质 的理解和应用，而且还注意对这种研究方法 的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和 非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由 方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥 曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶 点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息 技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问 题；⑤探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心 率
例2.求一渐进线为3x+4y=0,一个焦 点为(5,0)的双曲线的标准方程.
•例3：点M（x,y)到定点F（5，0） 的距离和它到定直线l:x=16/5 的距离的比是常数5/4，求点M 的轨迹。
• 例4：双曲线型冷却塔的外形，是双曲线 的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它 的最小半径为12m，上口半径为13m，下 口半径m，高为55m，试选择适当的坐标 系，求出此双曲线的方程。
y
N QM
B2
A1 O
b a
A2
B1
1.范围:
两直线x=±a的外侧
x2.对称性:
关于x轴, y轴,原点对称
原点是双曲线的对称中心
x2 y2 a2 - b2 = 1
对称中心叫双曲线的中心
一.双曲线的简单几何性质
y
N QM
B2
A1 O
b a
A2
B1
x2 a2
-
y2 b2
=
1
3.顶点::
x (1)双曲线与x轴的两个交A1 (-a,0), A (a,0)叫双曲线的顶点
高中数学课件
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)
x2 y2 4 2 2 2 解析：由25－ 4 ＝0，得 y ＝25x ，即 y＝± 5x.
答案：A
x2 y 2 2．双曲线25－16＝1 的离心率是( 3 A.5 41 C. 5 5 B.3 D. 2＝a2＋b2＝41， c 41 ∴e＝a＝ 5 .
答案：C
c2 y2 解：设 F1(c,0)，将 x＝c 代入双曲线的方程得a2－b2＝1， b2 ∴y＝±a . 由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90° ， 知|PF1|＝|F1F2|， b2 ∴ a ＝2c.∴b2＝2ac.
∴c2－2ac－a2＝0.
c 2 c ∴ a －2×a－1＝0.
即 e2－2e－1＝0. ∴e＝1＋ 2或 e＝1－ 2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为 1＋ 2.
课后提升训练
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2 y 解析：双曲线 x2－b2＝1(b>0)的渐近线方程为 y＝± bx，
比较系数得 b＝2.
答案：2
知识点三
求双曲线的离心率
x2 y2 5.已知 F1， F2 是双曲线a2－b2＝1(a>0， b>0)的两个焦点， PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦， 如果∠PF2Q＝90° ， 求双曲线的离心率．
知识点二
由双曲线的几何性质求标准方程
3.[2013· 广东高考] 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点 3 为 F(3,0)，离心率等于2，则 C 的方程是( x2 y2 A. 4 － ＝1 5 x2 y2 C. 2 － 5 ＝1 x2 y2 B. 4 － 5 ＝1 D. x2 y2 2 － 5＝1 )
3 解析： 由右焦点为 F(3,0)可知 c＝3， 又因为离心率等于2， c 3 所以a＝2，所以 a＝2.由 c2＝a2＋b2 知 b2＝5，故双曲线 C 的 x2 y2 方程为 4 － 5 ＝1，故选 B. 答案：B
2 y 4．已知双曲线 x2－b2＝1(b>0)的一条渐近线的方程为 y
＝2x，则 b＝__________.
第二章
圆锥曲线与方程
2.2 双曲线
课时作业16 双曲线的简单几何性质（1）
1
课堂对点训练
2
课后提升训练
• [目标导航] • 1．了解双曲线的范围、对称性、顶点、 离心率、渐近线等几何性质． • 2．能解决一些简单的双曲线问题．
课堂对点训练
知识点一
由双曲线的标准方程研究几何性质
x2 y2 1.双曲线25－ 4 ＝1 的渐近线方程是( 2 A．y＝± 5x 4 C．y＝± 25x 5 B．y＝± 2x 25 D．y＝±4 x