平面向量数量积授课优秀教案

平面向量的数量积授课教案张辉
授课内容：平面向量的数量积
授课类型：复习课
授课教师：张辉
教学目标：
①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

教学重点：平面向量数量积的运算
教学难点：平面向量与其他知识点的综合问题的处理
命题走向：
本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。

重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。

平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。

预测09年高考：
（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。

（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；
教学过程：
一．知识点梳理
（1）数量积的概念
已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫
做a 与b 的数量积（或内积）。

规定00a ⋅=；
向量的投影：︱b ︱cos θ=||
a b a ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影。

投影的绝对值称为射影；
（2）数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积。

（3）向量数量积的性质
①向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==。

②乘法公式成立
()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b ±=±⋅+2
22a a b b =±⋅+； ③平面向量数量积的运算律
交换律成立：a b b a ⋅=⋅； 对实数的结合律成立：()()()
()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈； 分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±。

④向量的夹角：cos θ=cos ,a b
a b a b •<>=•=222221212
121y x y x y y x x +⋅++。

当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。

（4）两个向量的数量积的坐标运算
已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +。

（5）垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 。

两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔02121=+y y x x ，平
面向量数量积的性质。

（6）平面内两点间的距离公式
设),(y x =，则222||y x +=或22||y x +=。

如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)。

二：典例解析
例1：已知向量a=(cosa,sina),b=(cos ,sin )a b ββ≠±且.那么 a+b 与a-b 的夹角的大小是？ 分析：()()cos ,a b a b a b a b a b a b +•-<+->=+-，易得
()()0a b a b +•-= 2πθ∴=
例2
：已知2a b ==。

（1） 若a 与b 的夹角为0150，求2a b +
（2） 若a-b 与a 垂直，求a 与b 夹角的大小
分析：通常用一个向量与自身做内积来求它的模，当两个向量互相垂直时它们的内积为0 , 本题主要考察了内积的定义以及学生对向量的内积运算的理解。

2a b +=
==解：
2
2a b ====因为上式 例3．已知()4,3a =，()1,2b =-，,m a b λ=-2n a b =+，按下列条件
求实数λ的值。

（1）m n ⊥；（2）//m n ；(3)m n =。

解析：()4,32,m a b λλλ=-=+-()27,8n a b =+=
（1）m n ⊥()()082374=⨯-+⨯+⇒λλ9
52-
=⇒λ； （2）//m n ()()072384=⨯--⨯+⇒λλ21-=⇒λ； (3)m n =()()08845872342222
2=--⇒+=-++⇒λλλλ 51122±=
⇒λ。

点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。

三．练习：
1．判断下列各命题正确与否：
（1）00a ⋅=； （2）00a ⋅=；
（3）若0,a a b a c ≠⋅=⋅，则b c =；
（4）若a b a c ⋅=⋅，则b c ≠当且仅当0a =时成立；
（5）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅对任意,,a b c 向量都成立； （6）对任意向量a ，有22a a =。

学生完成，教师点评：
（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。

点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚a ⋅0为零向量，而a ⋅0为零。

2.已知向量a 与b 的夹角为120o ，3,13,a a b =+=则b 等于（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．1
点评：选择B,掌握向量数量积的逆运算Q b cos ||||=22
||=。

3．(2005广东12)已知向量)3,2(=a ，)6,(x b =，且b a //，则=x 。

点评：∵b a //，∴1221y x y x =，∴x 362=⋅，∴4=x 。

4.（06湖南理，5）已知,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0
||2=⋅++b a x a x 有实根, 则a 与b 的夹角的取值范围是（ ）
A ．]6,0[π
B ．],3[ππ
C ．]32,3[ππ
D ．],6[ππ
点评：选择B
作业： P138 2，3
四．思维总结
1．两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0。

因为其中cos θ有可能为0；
（2）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c 。

但
是a ⋅b = b ⋅c c a =；
如右图：a ⋅b = |a |b |cos β = |b ||O A |，b ⋅c = |b |c |cos α =
|b ||O A |⇒a ⋅b =b ⋅c ，但a ≠c ；
(3)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )，显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线。

2．平面向量数量积的运算律
特别注意：
（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；
（2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到b c =⋅；
（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =0。

3． 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直；
4．注重数学思想方法的教学
①．数形结合的思想方法。

由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。

②．化归转化的思想方法。

向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式22a a =，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。

③．分类讨论的思想方法。

如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量a 在b 方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；
课后记： 在高考复习中，应突出向量的工具性，注重向量与其它知识的交汇与融合，但不宜“深挖洞”。

我们可以预测近两年向量高考题的难度不会也不应该上升到压轴题的水平。