向量复习.ppt

1 = 9 1 2 3 1 = 13 . 2
故选C.
5.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为( A ) A.
65 5
B.
13 5
C. 13
D. 65
a b |b|
=
=
a b |a|cosθ=|a| = | a ||b | 2 (4) 3 7 13
(3)若向量d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求d.
分析（ 1 ） 由 b,c 不 共 线 ， 从 而 有
a=mb+nc ，根据向量相等的充要条 件求参.
（2）由向量平行的充要条件列出关于 k的方程求解. （3）由两向量平行及向量的模列方程 组求解.
(1) 由题意，非零向量 b,c 不共线， 故可作为一组基底，表示a.
ka-2b=(k-4,k+6),a=(1,1),
由 已 知 得 (ka-2b)· a=k-4+k+6=0 ， 解得k=-1.
4.已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°, 那么|a+3b|=( C )
A. 7 B. 10 C.
13 D.4
a+b遵循平行四边形法则.
|a+3b|= | 3b |2 | a |2 2 | 3b || a | cos 60
点评 平面向量基本定理及向量关系
是向量核心，通过基底能表示平面内 任何一个向量，从而迅速发现关系及 运算求解；若 a=(x1,y1),b=(x2,y2) ， a∥b 的充要条件是a=λb或x1y2-x2y1=0，但不 能写成 定向量,常用待定系数法列方程求解.
x1 = x2
y1 ( 其中 x , y 可能为零） ; 确 2 2 y2
小结
1、平面向量的基本概念及性质 2、平面向量基本定理的应 3、平面向量数量积的应用
若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a· b= 44 x1x2+y1y2 .
向量a在b上的投影为45 a b . 12.定理
|b|
两个向量a、b垂直的充分必要条件 是 45 x1x2+y1y2=0 .
典例精讲
题型一 向量的基本概念、线性运算及简单性质
例1 判断下列各题是否正确：
(1)向量 AB 与 CD 是共线向量，则A、B、 C、D必在同一直线上；
点评该例为向量与函数及导数的综合问
题，求解时要灵活变换，及时调整思维角 度,并注意解题的严谨性,如t≠0容易忽略.
1.(2009· 宁 夏 / 海 南 卷 ) 已 知 点 O,N,P 在 △ABC所在的平面内，
走进高考
NC=0， 且|OA |=| OB |=| OC |, NA＋NB＋
PA · PB = PB · PA，则点O、N、P PC = PC ·
C C D C
M
O M B
O A
BA B A
由| OA |=| OB|=| OC |O为△ABC的
外心；
由 NA + NB + NC=0知,N为△ABC的重心； 因为 PA · PC ,所以( PC- PA )· PB = PB· PB=0， 所以CA · PB =0，所以 CA⊥PB. 同理，AP ⊥ BC ,所以P为△ABC的垂心.故选C.
数量积的性质： e = 39 |a|cosθ (e是与a同方向的 (1)e· a= 38 a· 单位向量); 2 | a | 40 (2)a2= ; (3)a· b=0 41 a⊥b ; a b (4)cosθ= 42 ; | a ||b | (5)|a· b| 43 ≤ |a||b|.
11.向量数量积的坐标运算
题型三 平面向量数量积及应用 例3 已知平面向量a=(
(1)证明：a⊥b;
3
,-1),b=(
1 2
,
3 2
).
(2) 若 存 在 不 同 时 为 零 的 实 数 k 和 t ， 使 c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb ， 且 c⊥d ， 试 求 函 数关系式k=f(t);
(3)对(2)的结论，讨论函数k=f(t)的单调性.
6.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴、 y 轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底， 18 有且只有一对实数 x、y,使得 对任一向量a， a=xi+yj,则实数对 19 (x,y) 叫做向量a的直角坐标,
记作 a=(x,y)，其中 x、 y 分别叫做 a在 x轴、 y 轴上的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示. 相等的向量坐标 20 相同 ，坐标相同的 向量是 21 相等 的向量. 7.平面向量的坐标运算 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a±b= 22 (x1±x2,y1±y2) . (2)如果23 A(x1,y1),B(x2,y2) , 则AB = 24 (x2-x1,y2-y1) . (3)若a=(x,y)则λa= 25 (λx,λy) .
令a=mb+nc， 则(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n), 所以 -m+4n=3 2m+n=2，
8 5 a= b+ c. 9 9
m= 得 n=
5 9 8. 9
(2)因为a+kc=(3+4k,2+k)，2b-a=(-5,2), 又因为(a+kc)∥(2b-a), 所以2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0,所以k=- 16 . 13 (3)设向量d的坐标为(x,y)， 则d-c=(x-4,y-1)，a+b=(2,4)， 4(x-4)-2(y-1)=0 由题意知 (x-4)2+(y-1)2=5， x=3 x=5 所以 或 y=-1 y=3. 所以d的向量坐标为(3,-1)或(5,3).
10.向量的数量积
已知两个非零向量 a和b，它们的夹角为 θ， 32 |a||b|cos θ a与b的数量积(或 我们把数量 叫做 b=|a||b|cosθ 33 a· 内积),记作 .
规定:零向量与任一向量的数量积为 34 0 . 向量的数量积满足的运算律： b=|a||b|cosθ ; (1) 35 a· b=λ(a· b)=a· (λb) (2) 36 (λa)· ; c=a· c+b· c . (3) 37 (a+b)·
新课标高中一轮 总复习
理数
高三数学组
平面向量
平面向量的概念 与运算
1.下列说法正确的是( C )
A.平行向量就是与向量所在直线平 行的向量
B.长度相等的向量叫相等向量 C.零向量的长度为0 D.共线向量是在一条直线上的向量
平行向量指方向相同或相反的非零 向量，其所在直线可以平行也可以重合， 故A错；长度相等的向量不一定是相等 向量，故B错；共线向量即平行向量， 不一定在同一条直线上，故D错；C是正 确的.
2.若向量a=(x,1),b=(4,x)，则当x= 2 时，a与b 共线且方向相同. 因为a=(x,1),b=(4,x),
若a∥b,则x· x-1×4=0,即x2=4,所以x=±2，
当x=-2时，a与b方向相反，
当x=2时，a与b方向相同.
3.已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若ka-2b与a垂 直，则实数k等于 -1 .
依次是△ABC的(注：三角形的三条高线交 于一点，此点称为三角形的垂心)（C ） A. 重心、外心、垂心 C. 外心、重心、垂心 B. 重心、外心、内心 D. 外心、重心、内心
知识解析：在 ABC 中 ① OA OB OCAC 一定过边 BC 的中点；通过 ABC 的 重心 ； ③ OA OB OC 0 ， O 是 ABC 的 重心 ；
42 7 2
65 5
=
65
.
故选A.
1.向量的有关概念 既有①大小又有② 方向 的量叫做向量. ③ 长度为0 的向量叫做零向量，记作0，规 定零向量的方向是任意的. ④ 长度为1 的向量叫做单位向量. 方向⑤ 相同或相反 的⑥ 非零 向量叫做平 行向量(或共线向量). ⑦ 长度相等 且⑧ 方向相同 的向量叫做相等 向量. 方向相反 的向量叫做相反 ⑨ 长度相等 且⑩ 向量.
2.向量的表示方法 用小写字母表示，用有向线段表示， 用坐标表示. 3.向量的运算
加法、减法运算法则：平行四边形法 则、三角形法则.
实数与向量的积：实数 λ 与向量 a 的积 是一个向量，记作λa，它的长度和方向规 定如下：
(1)|λa|=
11
|λ||a| ;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向 相同λa的方向与a的方向 12 当λ <0时， 相反 13 14 0 λ=0 时， λa= .
所以c· d=-4k+t3-3t=0,
t 3 3t 所以k=f(t)= (t≠0). 4
(3)由(2)知，f(t)=
令f ′(t)>0得t>1或t<-1,
13 (t -3t), 4
f ′(t) =
1 (3t2-3), 4
令f ′(t)<0得-1<t<1，且t≠0.
所以函数 k=f(t)的单调递增区间为 (1,+∞)和 (-∞,-1)，单调递减区间为(-1,0)和(0,1).
(2) 向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相 同或相反； (3)四边形ABCD是平行四边形的充要条件 是 AB = DC ;
(1) AB∥CD ,直线AB和CD可以共线, 也可以平行，故不正确. (2)若其中一个是零向量，则其方向不确定， 故不正确. (3) 若 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， 则 AB∥CD,所以 AB= DC ;若四边形ABCD中， AB=DC,则 ∥ AB ，所以四边形 ABCD是 DC 平行四边形，判断正确.