胡松瀛数模讲义

胡松瀛数模讲义对策与决策模型古人云：“世事如棋。

”人生就像下棋一样，每天都要面对许多的对策与决策问题。

有些是生活琐事的对策与决策，如要不要买你看中的一件商品；今天中午你点什么菜，喝什么酒？有些则可能是决定你命运的重大事情的对策与决策，如高考填志愿你该填什么学校，什么专业？许多人在竞争某一职位，你应当怎样做才能最好的表现自己，使自己脱颖而出？等等，等等。

对策与决策问题都要求你面对几种方案做出选择，不同之处在于遇到对策问题时，你面对的是一个或几个与你一样可以可以选择行动方案的对手；而遇到决策问题时则不然，你面对的并非一些对手，而是将来会出现的几种可能结果，它们虽不会故意为难你（即不会和你博弈），但你一般却不知道究竟哪一种结果会真正出现。

当然，两类问题也有一定的联系，不必分得过于清楚。

例如，在某些情况下，如果我们把可能出现的若干种情况看成是竞争对手可以采取的几种策略，那么求解对策问题的方法也可以用来求解决策问题。

对策问题对策论的思想早就有之，我国战国时期的“田忌赛马”就是一例。

传说齐王欲与大将田忌赛马，双方约定每人挑选上、中、下三个等级的马个一匹进行比赛，每局赌局诶一千金。

齐王同等级的马均比田忌的马略胜一筹，似乎必胜无疑。

田忌的朋友孙膑给他除了一个主意，让他用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马，结果田忌两胜一败，反而赢得了一千金。

然而，对策论作为一门真正独立的学科，其发展的历史却并不久远。

1912年，策墨罗利用集合论思想研究下棋，发表了题为《关于集合论在象棋对策中的应用》的论文。

1928年与1937年著名美籍匈牙利科学家冯.诺伊曼和摩根斯藤合著了《对策论与经济行为》一书。

这些研究成果被公认为是对策论作为一门学科创立的标志，他们引进了严格的定义，构建了对策论的理论框架，使对策论研究走上了系统化、公理化的道路。

1950年，美国数学家纳什将冯.诺伊曼等人的合作对策理论发展到非合作对策情况，提出了纳什平衡点概念（纳什本人也因此而获得了诺贝尔经济学奖）。

此后，对策论围饶着纳什平衡点这一核心问题发展，又有了新的重大突破。

对策问题的参与者为利益相互冲突的各方，其结局不取决于其中任意一方的努力而是各方所采取的策略的综合结果。

究竟什么是对策问题呢？让我们先来考察两个简单的实例。

例 1 （囚犯的困惑）警察同时逮捕了两人，并将他们分别关押在两处，逮捕的原因是他们持有大量伪币。

警方怀疑他们伪造钱币，但尚未找到充分的证据，希望他们能自己供认。

这两个人都知道：如果他们双方都不供认，将被以持有和使用大量伪币罪各判刑18个月；如果双方都供认伪造了钱币，将因伪造钱币罪各判刑3年；如果一方供认另一方不供认，则供认方将被从宽处理仅关押半年，但未供认一方将被判刑7年。

将嫌疑犯A、B被判刑的几种可能情况如表一所示。

表一表中每对数字表示嫌疑犯A、B被判刑的年数。

让我们来分析一下囚犯们会怎样决策。

囚犯A也许会这样想：若B招认了，我如果不招认会被判7年，但我也招认的话只有3年；若B不招认，我如果招认判刑只有半年，而不招认则被判刑1.5年。

也就是说，不论B招认还是不招认，对A来说，招认都比不招认要好。

既然如此，除非A是傻瓜，他肯定会采取招认的策略。

同样道理，如果B不是傻瓜，他也会这样想，从而采取招认的策略。

看来这一案件的最终结果一定是，A、B均供认并各被判刑3年，不管他们真的有没有伪造钱币。

由此可以看出，在这种情况下，过分的强调了坦白从宽、抗拒从严，即使不使用刑罚，也完全有可能制造冤案，这就是为什么法律界人士要再三强调量刑时应当重事实、重证据的原因之一。

在上面这个简单实例的分析中，我们其实已经先验地做了一条假设：“防人之心不可无”，不管对方怎么做，我们的策略应当保证我不会成为牺牲品。

例如，假如A、B都不招认，他们都只需服刑1.5年（而不是3年）。

可是双方都会这样想，凭什么我要相信对方，有什么对东西能保证对方不会出卖我呢？“囚徒的困惑”是一个很出名的实例，它之所以出名是因为它揭示了一种现象，即在自然状态下，动物（包括人）是趋利避害的。

假取的策略全体可用一个矢量表示，称之为一个纯局势（简称局势）。

例如，若一个对策问题中包含着A 、B 两名局中人，其策略集合分别为},,{1m A S αα =，},,{1n B S ββ =。

若A 选择策略i α，而B 选择策略j β，则),(j i βα就构成此策略的一个纯局势。

显然，A S 与B S 一共可构成n m ⨯个纯局势，它们构成了表二。

对策问题的全体纯局势构成的集合S 称为此对策问题的局势集合。

表 二对策的结果用矢量表示，称之为赢得函数。

赢得函数F 是定义在局势集合S 上的失值函数，对于S 中的每一纯局势s ，)(s F 指出了每一局中人在此对策结果下应赢得（或支付）的值。

综上所述，一个对策模型由局中人、策略集合喝赢得函数三部分组成。

记局中人集合为},,2,1{k I =，对每一I i ∈，有一策略集合i S ，当I 中每一局中人i 选定策略后得一个局势s ；将s 代入赢得函数F ，即得一矢量())(,),()(1s F s F s F k =，其中)(s F i 为在局势s 下局中人i 的赢得（或支付）。

本节讨论只有两名局中人的对策问题，即两人对策，其结果可以被推广到一般的对策模型中去。

对于只有两名局中人的对策问题，其局势集合和赢得函数均可用表格表示。

例如，表二就给出了一般两人对策问题的局势集合喝赢得函数。

一、 零和对策存在一类特特殊的对策问题。

在这类对策问题中，当纯局势确定后，A 之所得恰为B 之所失，或A 之所失恰为B 之所得，即双方所得之和总为零，这样的对策问题被称为零和对策问题。

在零和对策中，因)()(21s F s F -=，故只需指出其中一人的赢得值即可，此时，赢得函数可用真正的赢得矩阵来表示。

例如若A 有m 中策略，B 有n 种策略，赢得矩阵可写成⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯mn m m n n nm a a a a a a a a a R 212222111211 n m R ⨯的元素ij a 表示若A 选取策略i 而B 选取策略j ，则A 之所得为ij a （当0<ij a 时为为支付）。

在有些两人对策的赢得表中，A 之所得并非明显为B 之所失，但双方赢得数之和为一常数。

例如在表三中，无论A ，B 怎样选取策略，双方赢得总和均为10，此时，若将各人赢得数减去两人的平均赢得数，即可将赢得表化为零和赢得表。

表三中的对策在转化为零和对策后，具有赢得矩阵R .表 三综上所述可知，要给定一个两人零和对策只需给出局中人A ，B 的策略集合A S 、B S 及表示赢得值的赢得矩阵R 。

当遇到零和对策或可转化为零和对策的问题时，R 可用通常意义下的矩阵表示，否则R 中的元素为一个两维矢量。

故两人对策G 又被称为矩阵对策并可简记为},,{R S S G B A =例 3 给定一个零和对策},,{R S S G B A =，其中},,{321ααα=A S ，},,,{4321ββββ=B S4321ββββ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=16100610182142230612R 321ααα （1） 零和对策不存在合作基础，A 之所得即B 之所失，故在求解两人零和对策时只能根据利己原则。

从R 中可以看出，若A 希望获得最大盈利30，需采取策略1α，但此时若B 采取策略4β，A 非但得不到30，反而会失去22。

此时任何一方都不应当抱有侥幸心理，根据利己原则，双方都应考虑到对方为了使自己能获得最大利益，都有使对手遭受最大损失的动机，为稳妥起见，应当从最坏的可能中去争取最好的结果。

局中人A 采取策略1α，2α，3α时，最坏的赢得结果分别为22}22,30,6,12min{-=--；2}10,18,2,14min{=；10}16,10,0,6min{-=-- 如果A 采取策略2α，无论B 采取什么策略，A 的赢得均不会少于2.B 采取各方案的最大损失为14}6,14,12max{=-；2}0,2,6max{=-；30}10,18,30max{=-；16}16,10,22max{=- 而当2}16,30,2,14min{=，当B 采取策略2β时，其损失不会超过2。

注意到在赢得矩阵中，2即是所在行中的最小元素又是所在列中的最大元素。

此时，只要双方不改变策略，任一局中人都不可能通过仅变换自己的策略来增大赢得或减小损失。

我们称这样的局势为对策问题的一个纯局势，亦称之为稳定点或稳定解（注：又称之为鞍点）。

定义1 （对策的下值与上值）称11max{min }t ij j n i mv a ≤≤≤≤=为矩阵对策的下值（又称之为最大最小值），称}min {max 11ij m i nj s a v ≤≤≤≤=为矩阵对策的上值（又称之为最小最大值）。

定理1 对任一矩阵对策问题，有t s v v ≤。

证明：显然对每一个i ，有1min ij ij j na a ≤≤≤ ，1,,i m = 同样，对每一个j ，有1max ij ij i ma a ≤≤≤ ，1,,j n = 由i 和j 的任意性可知：11max{min }t ij j n i m v a ≤≤≤≤=11max{min }ij s i m j na v ≤≤≤≤≤=，证毕。

定义2 对于两人对策},,{R S S G B A =，若有max min min max ij ij G j j i i a a V ∆==，则称G 具有稳定解，并称G V 为对策问题G的值。

如果纯局势**(,)i j αβ使得**min max G i j ij j j V αα==，则称**(,)i j αβ为对策问题G 的鞍点或稳定解，赢得矩阵中与**(,)i j αβ相对应的元素**i j α则被称为赢得矩阵的鞍点，*i α与*j β分别被称为局中人A 与B 的最优策略。

对（1）式中的赢得矩阵，容易发现不存在具有上述性质的鞍点。

给定一个对策G ，如何判断它是否具有鞍点呢？为了回答这一问题，先引入下面的极大极小原理。

定理 2 设},,{R S S G B A =，记max min ij j ia μ=，min max ij jia γ=-，则必有0μγ+≤。

证明min max()ij jia γ=-，易见μ为A 的最小赢得，γ为B 的最小赢得，由于G 是零和对策，故0μγ+≤。

定理3 零和对策G 具有稳定解的充要条件为0μγ+=。

证明 （充分性）由μ和γ的定义可知，存在一行（例如p 行），μ为p 行中的最小元素且存在一列（例如q 列），γ-为q 列中的最大元素。

故有pq a μ≥且 pq a γ≤-，又因0μγ+=，所以μγ=-，从而得出pq a μ=，pq a 为赢得矩阵的鞍点，(,)p q αβ为G 的稳定解。