非线性动力有限元法及其在膜结构裁剪分析中的应用[1]

动力有限元方程进行求解的方法。 这一方法被 应用于膜结构预张力释放计算中 , 从而解决 了膜结构裁 剪分析中 的一个重要 问 题 , 就此还进行了实例计算。 [ 关键词 ] 非线性动力有限元 ; 纽马克法 ; 膜结构 ; 动力松驰 法 [ 中图分类号 ] TU383 [ 文献标识码 ] A
Non- Linear Dynamic Finite Element Method and its Application to the Cutting Pattern of Membrane Structures
受阻尼力的影响 , 计算结构从开始运 动到最终 静止的整个 运 动过程。 ! 算例∀ 双曲面方程 x2 y2 z =+ , 20 20
2
非线性动力方程的求解
非线性的动力方程在求解时要求在 时间域上进 行离散 ,
(x ,y ) #
[- 5 2 , 5 2 ]
并在每一时间段 内进 行迭 代求解。 对 于非 线性情 况 , 常用 纽 马克方法求解 , 其插值格式为
泊松比 ! wf 0. 1 !fs 0. 072
剪切刚度 G wf t( N/ cm) 102. 5
(i) t+ ∀ t
{u }
( 17 )
( 18 )
用非线 性动力 有限元 法计算此 结构在 预张力 作用下 的 运动 , 计算其在无应力 状态下 的曲面 形状 , 结果见 图 2, 计 算 前与计算后曲面中各线的对比见表 2、 3。 ( 下转第 4 页 )
t+ ∀t t+ ∀t t+ ∀t
t+ ∀ t t+ ∀t
{u ( i) } + [C] ( i)
{u (i) } + ([K 0 ] (i ) + [K L ] (i)
t+ ∀t (i) ∀t {P}
+ [K NL ] (i) ) { u (i) } = - t+
+
t+ ∀t
{ F} (i)
( 13 )
v
3
非线性动力有限元法在膜结构裁剪分析中的应 用
膜结构是一个柔性结构 , 其形状 的维持主 要依靠结构 中
预张 力的作用。 对膜 结构 进行 裁剪分 析时 , 需 要考虑 预张 力 的作用 , 以保证将平面的裁剪片安装 成形时能 在结构中产 生 预张力。 可以通过先将结构中预张力 释放来得 到无应力膜 结 构曲面 , 再对这一曲面进行裁剪下料的 作法 ( 见 膜结构裁 剪 分析中考虑预张力释 放的计 算方 法 , 待 发表 ) 。 对预 张力 释 放的过程可用非线性动力有限元法来计算。 在计算膜结构的无应力曲面时 , 不考虑结 构所受外荷 载 的作用 , 只考虑结构在内部应力的作 用下的运 动及运动中 所
位移矩阵 可分为线 性和非线性 两 (4 )
考虑大位移小应变 , 用更新的拉 格朗日格 式来表示应 力 应变关系 , 可记为 { ∃} = {%} + [D ] { } (5 ) 将它们代入式 ( 1) , 可以得到以下的有 限元平衡方程 : [M ] {u} + [C] {u } + ([K 0 ] + [K L ] + [K NL ]) {u}
第 18 卷第 5 期 2002 年 10 月 [ 文章编号 ] 1002- 8528( 2002) 05- 0018- 02
建
筑
科
学
Vol. 18, No. 5 Oct. 2002
BUILDING SCIENCE
非线性动力有限元法 及其在膜结构裁剪分析中的应用
马 明
( 中国建筑科学研 究院 建筑结构研究所 , 北京 100013) [摘 要 ] 根据哈密顿原理推导了非线性动力有限元的平衡方 程 , 并提 出用牛顿 拉夫逊法 与纽马克 法相结合 对非线 性
e { } = [B ] { u e k } = ([ B L ] + [B NL ]) {u k }
1
非线性动力有限元方程
应用 Lagrange 物质描述 的方 法 [3] , 令参 考时 刻 t = t 0 初
(3 )
始构形上一点坐标为 X i (i = 1, 2, 3) , 对 于在任 意时间 t 的 构 形 , 该点的坐标为 xi (i = 1, 2, 3) , 记为 x i = x i (X j , t) (i ,j = 1 , 2 ,3 ) (1 ) 用哈密顿原理描述物体的运动 , 可建立如 下方程 :
[ B L ] T [D] [B L ] dv N X
T
(7 ) (8 )
[K L ] =
v
[S]
N dv X
[K NL ] =
v
1 T ( [B NL ] [D ] [ B L ] + 2 [B NL ] [D ] [ B NL ] +
T
1 [B ] T [D ] [B NL ]) dv 2 L
(9 )
1 t+ ∀t - & {u } + & u ∀t 2 2 (11 )
t+ ∀t
{u } =
1 t+ ∀t 1 [ { u} - t { u} ] { u} &∀t & ∀t 2
t 1 - 1 { u} 2&
( 12 )
在每一时间步内进行迭代 , 动力 平衡方程可 改写为如 下 形式 : [M] (i) 其中 :
[ 收稿日期 ] 2002- 04- 04 [ 作者简介 ] 马 明 ( 1977- ) , 男 , 硕士 , 助工
第 5期
马
明 : 非线性动力有限元法及其在膜结构裁剪分析中的应用 (6 )
19
= - {P} + { F}
式中 , [ M ] 为质量矩 阵 ; [ K 0] 与 [ K L ] 为线 性刚 度矩阵 与几 何 刚度矩阵 ; 考虑到动 力计 算中的 精度 问题 , 在 上式中 没有 忽 略与位移 2、 3 次项有关的非线性刚度矩阵 [ K NL] ; { P } 为等 效 结点力 ; [ F ] 为外荷载向量。 其中 : [K 0 ] =
MA Ming
( I nstitute o f Building Structures , China Academy of Building Research , Beijing 100013 , China) [ Abstract] Based on the Hamilton Principle, this paper derives the equation of Non linear dynamic finite element, and presents a way to solve this equation, which combines the Newton Raphson iteration method and Newmark method. The method is applied to the releasing com putation of prestressing force in membrane structures, which is an important problem in the cutting pattern of membrane structures. Finally a calculating example is given in the paper. [ Key words] Non linear dynamic finite element; Newmark method; membrane structures; dynamic relaxation method 膜结构 是近二十多 年来 发展迅 速的 一种 大跨空 间结 构 形式 , 以其丰富的表现能力而倍受人 们青睐 , 在体育 场馆、 展 览馆、 航空港等设施中建造了一大批 造型优美别 致的大跨 度 膜结构。 近年来 , 我国的膜结构的发展非常 迅速 , 人们对膜 结 构的研究也日趋 深入。 由 于膜结 构所 用高 强薄膜 材料 , 不 能 抵抗弯矩 , 需要在 膜材中 施加 预应力 才能 得到一 定的 形状 , 是一个非线性结构 , 因此对膜结构的 分析必须从 非线性的 角 度出发 , 甚至于从动力的角度来考虑。 =
t+ ∀ t t+ ∀t
用双曲面 作为 找 形分 析的 初 始曲 面 , 膜 材中 预应 力 为 6kN/ m, 膜材 性质见表 1, 此曲面形状 见图 1 。
{u } = t {u} + [( 1 -
)t {u } +
t
t+} + t {u } ∀t +
t1 s t 1 t t 2
2
(
v
{ u} {u} t
T
{ } {S} d v ) d t +
t 1 t
T
(
v
! {u} T { u } d v) d t
2
2
{ u}
T t+ ∀ t
{ # } d s dt t
t1 v
{ u}Tt+ ∀t {f }t d v d t
(2 )
式中 , 为物体密度 ; { u } 与{ u } 表示位 移向量与速度向量 ; { } 是格林应变向量; { S } 是克希 霍夫应 力向量 ; { f } 与 t + ∀t { # } 分 别为作用在系统上的体力与面力 ; ! 为粘滞阻尼系数。 用有限单元对结构进行离散 , 单元 位移可表示为 {u e } = [N ] { u e k} 大位移变形下 , 应变 项 , 记为
{ u} (i) = t {u} + { u } ( i) { u} (i) = t {u} + { u } ( i) (i) t { u} = {u} + {u} ( i) ( 14 )