6.2正切函数图象(2)习题课(课后拓展作业)
北师大版高中数学必修4课后练习-正切函数的定义正切函数的图像与性质
§7 正切函数7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的图像与性质课后篇巩固探究A 组 基础巩固1.已知角α的终边落在直线y=2x 上,则tan α的值是( ) A.2B.±2C.2√55D.±2√55P (a ,2a )(a ≠0),则tan α=2aa=2.2.函数y=3tan (2x +π4)的定义域是( ) A .{x |x ≠kπ+π2,k ∈Z}B .{x |x ≠kπ+3π,k ∈Z} C .{x |x ≠kπ+π,k ∈Z}D .{x |x≠kπ2,k ∈Z},则2x+π4≠k π+π2(k ∈Z ),则x ≠kπ2+π8(k ∈Z ). cos 3·tan 4的值为( ) B.正数C.0D.不存在∵π<2<π,∴sin 2>0.∵π2<3<π,∴cos 3<0.∵π<4<3π2,∴tan 4>0.∴sin 2·cos 3·tan 4<0.4.函数y=tan x+1tanx 是( )A .奇函数B .偶函数C .既是奇函数又是偶函数{x |x ≠kπ+π2,k ∈Z}∩{x|x ≠k π,k ∈Z }={x |x ≠kπ2,k ∈Z},关于原点对称.又∵f (-x )=tan(-x )+1tan (-x )=-(tanx +1tanx )=-f (x ),∴函数y=tan x+1tanx 是奇函数.5.函数f (x )=2x-tan x 在(-π2,π2)上的图像大致为( )f (x )=2x-tan x 为奇函数,所以图像关于原点对称,故排除A,B .当x →π2时,f (x )→-∞,所以排除D,6.若tan (2x -π6)≤1,则x 的取值范围是 .z=2x-π6,满足tan z ≤1的z 值是-π2+k π<z ≤π4+k π,k ∈Z ,即-π2+k π<2x-π6≤π4+k π,k ∈Z . 解得-π6+12k π<x ≤5π24+12k π,k ∈Z .-π6+12kπ,5π24+12kπ],k ∈Zy=a 与y=tan x 的图像的相邻两个交点的距离是 .,相邻两个交点间的距离即为一个周期的长度,故为π.:①sin -π18>sin -π10;②cos -25π4>cos -17π4;③tan 5π9>tan 17π18;④tan π5>sin π5.其中正确结论的序号是 .解析函数y=sin x 是-π2,0上的增函数,0>-π18>-π10>-π2,所以sin -π18>sin -π10,①正确;cos -25π4=cos -6π-π4=cos π4,cos -17π4=cos -4π-π4=cos π4,所以cos -25π4=cos -17π4,②不正确;函数y=tanx 是π2,π上的增函数,π2<5π9<17π18<π,所以tan 5π9<tan 17π18,③不正确;易知在0,π2上,tan x>x>sin x ,所以tan π5>sin π5,④正确. 答案①④ 9.已知角α的终边上一点P 的坐标为(-√3,y )(y ≠0),且sin α=√24y.求tan α.r 2=x 2+y 2=3+y 2,由三角函数定义sin α=yr =√3+y =√24y , ∴y=±√5,∴tan α=-3,即tan α=±√153.10.利用函数图像解不等式-1≤tan x ≤√33.y=tan x ,x ∈(-π2,π2)的图像,如图所示.观察图像可得:在区间(-π,π)上,自变量x 应满足-π≤x ≤π.由正切函数的周期性可知,不等式的解集为{x |-π4+kπ≤x ≤π6+kπ,k ∈Z}.y=tan 2x 的定义域、值域、单调区间,并作出它在区间[-π,π]内的图像.要使函数y=tan 2x 有意义,只需2x ≠π2+k π(k ∈Z ),即x ≠π4+kπ2(k ∈Z ), ∴函数y=tan 2x 的定义域为{x |x ≠π4+kπ2,k ∈Z}.(2)设t=2x ,由x ≠π4+kπ2(k ∈Z ),知t ≠π2+k π(k ∈Z ).∴y=tan t 的值域为(-∞,+∞),即y=tan 2x的值域为(-∞,+∞).(3)由-π2+kπ<2x<π2+kπ(k∈Z),得-π4+kπ2<x<π4+kπ2(k∈Z),∴y=tan 2x的单调递增区间为(-π4+kπ2,π4+kπ2) (k∈Z),无单调递减区间.(4)函数y=tan 2x在区间[-π,π]内的图像如图所示.B组能力提升1.函数t=tan(3x+π3)的图像的对称中心不可能是()A.(-π9,0)B.(π18,0)C.(-π18,0)D.(-5π18,0)y=tan x图像的对称中心是(kπ2,0),k∈Z.令3x+π3=kπ2(k∈Z),解得x=kπ6−π9(k∈Z),所以函数y=tan(3x+π3)的图像的对称中心为(kπ6-π9,0),k∈Z.当k=0,1,-1时,得kπ6−π9=-π9,π18,-5π18.A,B,D选项是函数图像的对称中心.故选C.答案C导学号93774024下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan|x|在x∈(-3π2,3π2)内的大致图像,则由a到d对应的函数关系式应是()A.①②③④B.①③④②D.①②④③tan(-x)=-tan x在(-π2,π2)上是减少的,只有图像d符合,即d对应③.3.已知函数y=tan ωx在区间(-π2,π2)上是减少的,则ω的取值可能是()A.1B.-1D.-2ω的值在给定区间上取特殊值来进行验证.选B.4.若不等式tan x>a在x∈(-π4,π2)上恒成立,则a的取值范围为()A.a>1B.a ≤1D.a ≤-1y=tan x 在x ∈(-π4,π2)上是增加的,所以tan x>tan (-π4)=-1,所以a ≤-1.答案D 5.导学号93774025若y=tan(2x+θ)图像的一个对称中心为(π3,0),且-π2<θ<π2,则θ的值是 .kπk ∈Z ),由对称中心为(π3,0),得θ=2−3(k ∈Z ).又θ∈(-π2,π2),故θ=-π6或π3. -π6或π3y=|tan x|的图像,并讨论其定义域、值域、奇偶性和单调性.tan x|={tanx ,x ∈[kπ,kπ+π)(k ∈Z ),-tanx ,x ∈(kπ-π,kπ](k ∈Z ).其图像如图所示,由图像可得y=|tan x|的性质如下: (1)定义域为(kπ-π2,kπ+π2)(k ∈Z );(2)值域为[0,+∞);(3)由|tan(-x )|=|-tan x|=|tan x|,知函数为偶函数;(4)单调递增区间为[kπ,kπ+π2)(k ∈Z ),单调递减区间为(kπ-π2,kπ](k ∈Z ). 7.是否存在实数a ,且a ∈Z ,使得函数y=tan π4-ax 在区间π8,5π8上单调递增?若存在,求出a 的一个,请说明理由. 解y=tan π4-ax =tan -ax+π4,∵y=tan x 在区间k π-π2,k π+π2(k ∈Z )上为增函数,∴a<0,又x ∈π8,5π8,∴-ax ∈-aπ8,-5aπ8,∴π4-ax ∈π4−aπ8,π4−5aπ8, ∴{kπ-π2≤π4-aπ8(k ∈Z ),kπ+π2≥π4-5aπ8(k ∈Z ). 解得-25−8k5≤a ≤6-8k (k ∈Z ). 由-25−8k5=6-8k 得k=1,此时-2≤a ≤-2.∴a=-2<0,∴存在a=-2∈Z ,满足题意.。
6.2 正切函数的图像与性质(含答案)
【课堂例题】根据研究正弦函数、余弦函数的图像与性质的经验，结合正切线和诱导公式，依次写出正切函数的定义域、周期、奇偶性、单调区间和值域; 并利用正切线画出正切函数的大致图像：例1.求函数tan(2)4y x π=-的定义域.例2.求函数tan(2)3y x π=+的周期和单调区间.课堂练习1.观察正切曲线，写出满足tan 0x >的x 的取值范围.2.求函数()tan()23f x x ππ=+的定义域、周期和单调区间.【知识再现】1.正切函数y = ，是一个以 为定义域， 为最小正周期，在每一个 内单调 且值域为 的 函数.2.正切曲线的大致如图所示：(画三个周期)【基础训练】1.写出下列函数的周期： (1)tan2xy =, ；(2)tan y x π=, ； (3)tan(2)4y x π=-, .2.观察正切曲线，写出满足tan 0≤的x 值的范围 .3.不求值，根据正切函数的单调性比大小：2tan()3π 3tan()4π;tan()3k ππ- tan()3k ππ+. 4.已知[0,2]x π∈，求适合下列条件的角x 的区间：(1)角x 的正弦函数、正切函数都是增函数 ;(2)角x 的余弦函数是减函数，正切函数是增函数, .注：多个单调区间之间请勿用“ ”符号联结.5.判断下列函数的奇偶性，并说明理由.(1)()2tan3f x x =-; (2)()tan f x x x =.6.求函数()4tan()25x g x π=-的定义域和单调区间.O xy7.已知tan |tan |(),,22x x f x x k k Z ππ+=≠+∈，(1)画出该函数的大致图像；(2)指出它的周期，单调区间和值域.【巩固提高】8.求函数22tan2()1tan 2xf x =-的最小正周期.提示：注意定义域9.在一幢高29米的大楼AC 顶端，树立着一块高7米的广告牌， 求在距离楼水平距离多少远处观看广告牌的视角((精确到0.01)提示：参考上教版教材高一第二学期P94/例2.(选做)10.以下3题任选1题回答：(1)利用正切值与余切值的关系，或者利用余切线，完成下列问题： 正余函数cot y x =是一个以 为定义域， 为最小正周期， 在每一个 内单调递 ，且值域为 的 函数. 利用cot tan()2x x π=-+，可知余切函数的图像可以经过正切函数的图像得到，具体方法是把正切曲线 ，画出余切函数在三个周期内的图像.(2)在同一个坐标系中画出tan ,,sin y x y x y x ===这三个函数在区间(0,)2π上的图像，并分析图像的位置关系及公共点的坐标. (3)证明：正切函数tan y x =在区间(0,)2π上的图像是“下凸”的，即对于任意1212,(0,),2x x x x π∈≠，都有1212tan tan tan()22x x x x++>【温故知新】 11.求证：1cos 4cos 2tan sin 41cos 2ααααα-⋅=+O x y【课堂例题答案】 探究：正切函数tan ,,2y x x k k Z ππ=≠+∈ 定义域是{|,,}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈，周期为π，奇函数， 在每一个区间(,),22k k k Z ππππ-+∈上 为增函数，值域为R . 例1.3{|,,}28k x x R x k Z ππ∈≠+∈ 例2.2T π=，单增区间为5(,),212212k k kππππ-+【课堂练习答案】 1.(,),2x k k k Z πππ∈+∈2.定义域为1{|,2,}3x x R x k k Z ∈≠+∈，周期2T =， 单调增区间为51(2,2),33k k k Z -+∈ 【知识再现答案】 1.tan ,{|,,},2x x x R x k k Z πππ∈≠+∈，(,),22k k k Z ππππ-+∈，递增，R ，奇.【习题答案】 1.(1)2π;(2)1;(3)2π 2.(,],2k k k Z πππ-∈3.,<<4.(1)3[0,),(,2]22πππ;(2)[0,),(,]22πππ5.(1)奇函数，()2tan[3()]2tan3()f x x x f x -=--==-；ππππ5π(2)偶函数，()()tan()tan ()f x x x x x f x -=--== 6.定义域7{|,2,}5x x R x k k Z ππ∈≠+∈，单增区间为每一个37(2,2),55k k k Z ππππ-+∈ 7.(1)如图：提示：tan ,tan 0()0,tan 0x x f x x ≥⎧=⎨<⎩(2)T π=,单增区间[,),2k k kπππ+∈值域为[0,)+∞.8.2T π=提示：()tan f x x =，因为tan ,tan2xx 都要有意义， 因此定义域为{|,,2,}2D x x R x k x k k Z ππππ=∈≠+≠+∈，此定义域下0,D D π∈∉所以最小正周期为2π. 9.max () 6.18AMB ∠≈提示：设,,AMC BMC MC x αβ∠=∠==7tan tan()1044AMB x xβα∠=-=≤+， 当且仅当x =max (tan )AMB ∠=max () 6.18AMB ∠≈ .10.(1){|,,},x x R x k k Z ππ∈≠∈，(,k k Z π，减，R ，奇.向左平移2π个单位，再关于x 轴对称.xyO 11-2ππ32ππ-2π-2π12(,0)(0,)22x x -∈-，因此121cos()0x x -->，故①0> 即1212tan tan tan()22x x x x++> 证毕 11.证：左边=cos 2sin 2tan 2tan 1cos 21cos 2αααααα⋅==++=右边 证毕。
2019—2020年最新北师大版高中数学必修四《正切函数》课时练习及解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四§7 正切函数课时目标 1．了解正切函数图像的画法，理解掌握正切函数的性质．2．能利用正切函数的图像及性质解决有关问题．1．函数y ＝tan x 的性质与图像见下表：y ＝tan x图像定义域 值域周期 最小正周期为____奇偶性单调性在开区间______________________内递增2．正切函数的诱导公式． (1)tan(2π＋α)＝__________； (2)tan(－α)＝__________； (3)tan(2π－α)＝__________； (4)tan(π－α)＝__________； (5)tan(π＋α)＝__________；一、选择题1．函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }B ．{x |x ≠k2π－3π8，k ∈Z }C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z }D ．{x |x ≠k2π，k ∈Z } 2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z3．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图像是( )4．下列函数中，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，且以π为周期的偶函数是( )A ．y ＝tan|x |B ．y ＝|tan x |C ．y ＝|sin 2x |D ．y ＝cos 2x 5．下列各式中正确的是( )A ．tan 735°>tan 800°B ．tan 1>－tan 2C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan 9π8<tan π76．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )A ．0B ．1C ．－1D ．π4二、填空题 7．函数y ＝tan x －1的定义域是____________．8．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝____________________________．9．已知a ＝tan 1，b ＝tan 2，c ＝tan 3，则a ，b ，c 按从小到大的排列是________________．10．函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的对称中心的坐标是_________________________________．三、解答题11．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．12．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、周期、单调区间和对称中心．能力提升13．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图像是( )14．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－11．正切函数y ＝tan x 在每段区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )上是单调递增函数，但不能说正切函数在其定义域内是单调递增函数．并且每个单调区间均为开区间，而不能写成闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )．2．正切函数是奇函数，图像关于原点对称，且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是(k π2，0) (k ∈Z )．正切函数的图像无对称轴，但图像以直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )为渐近线．§7 正切函数 答案知识梳理1．{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z } R π 奇函数 ⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z ) 2．(1)tanα (2)－tan α (3)－tan α (4)－tan α (5)tan α作业设计1．C 2．C 3．A 4．B 5．D6．A [由题意，T ＝πω＝π4，∴ω＝4．∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π＝0．]7．[k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z ．8．±2解析 T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2．9．b <c <a解析 ∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0，∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0， 显然－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是增函数，∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1．∴b <c <a ．10．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )解析 由x ＋π3＝k π2 (k ∈Z )，得x ＝k π2－π3(k ∈Z )． ∴对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )．11．解 由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1．∴函数定义域为⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π－π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )关于原点对称．f (－x )＋f (x )＝lg tan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1＝lg 1＝0． ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．12．解 ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋53π，k ∈Z ．∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠2k π＋53π，k ∈Z ．②T ＝π12＝2π，∴函数的周期为2π．③由k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π3<x <2k π＋53π，k ∈Z ．∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈Z ．④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋23π，k ∈Z ．∴函数的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋23π，0，k ∈Z ．13．D [当π2<x <π，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <32π时，tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故选D ．]14．B [∵y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，∴ω<0且T ＝π|ω|≥π．∴|ω|≤1，即－1≤ω<0．]。
正切函数的图像与性质(带答案)
正切函数图像及性质 知识点梳理函数y ＝tan x 的图象与性质 y ＝tan x π例1、求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋tan x；(2)y ＝lg(3－tan x )．练习、求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.例3、求下列函数的周期（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42tan 3πx y （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=421tan 3πx y例4、求函数区间，对称中心的定义域、周期和单调⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx y练习1、求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的单调性、周期性；练习2、求函数的单调区间⎪⎭⎫⎝⎛+-=421tan 3πx y课堂练习1． 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是 ( )2.在区间(－3π2，3π2)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点个数为( )A.1B.2C.3D.43．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是 ( )4.利用函数图象，解不等式－1≤tan x ≤33.5.下列说法正确的是( )A.y ＝tan x 是增函数B.y ＝tan x 在第一象限是增函数C.y ＝tan x 在每个区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内是增函数D.y ＝tan x 在某一区间上是减函数6.函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是 ( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z}C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z}D ．{x |x ≠k 2π，k ∈Z}7.直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan x 相交的相邻两点间的距离是( )A.π2B.2πC.πD.与a 值有关8.下列各式中正确的是( )A.tan 4π7＞tan 3π7B.tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＜tan ⎝⎛⎭⎫－17π5C.tan 4＞tan 3D.tan 281°＞tan 665°9.函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π4(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋π2(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )10.已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围为__________.11.函数y ＝2tan(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜π2的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，则φ＝________.12.若tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是________.13已知函数f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3.(1)求f (x )的定义域和值域.(2)讨论f (x )的周期性、奇偶性和单调性.14.求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3的值域.。
正切函数的性质与图象教案
正切函数的性质与图象教案一、教学目标：1. 让学生理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质，能够运用正切函数的性质解决问题。
2. 让学生通过观察正切函数的图象，加深对正切函数性质的理解。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学重点：1. 正切函数的性质。
2. 正切函数的图象特征。
三、教学难点：1. 正切函数性质的推导。
2. 正切函数图象的绘制。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究正切函数的性质。
2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解正切函数的图象特征。
3. 通过小组讨论，培养学生的合作能力。
五、教学准备：1. 教师准备正切函数的图象和性质的PPT。
2. 学生准备笔记本和文具。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 复习正切函数的定义：正切函数是指在直角三角形中，对边与邻边的比值。
2. 提问：正切函数有什么性质呢？它的图象又是怎样的呢？二、探究正切函数的性质（15分钟）1. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的周期性。
2. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的奇偶性。
3. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的单调性。
三、总结正切函数的性质（5分钟）1. 总结正切函数的周期性。
2. 总结正切函数的奇偶性。
3. 总结正切函数的单调性。
四、绘制正切函数的图象（15分钟）1. 引导学生利用函数图象绘制工具，绘制正切函数的图象。
2. 引导学生观察正切函数的图象，验证正切函数的性质。
五、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成正切函数性质的练习题。
2. 让学生绘制正切函数的图象，并分析图象的性质。
六、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课学习的内容，总结正切函数的性质。
2. 强调正切函数的性质在实际问题中的应用。
七、作业布置（5分钟）1. 完成正切函数性质的相关练习题。
2. 绘制正切函数的图象，并分析图象的性质。
八、课后反思（教师）1. 反思本节课的教学效果，调整教学方法。
高中数学复习：正切函数的图像和性质练习及答案
高中数学复习：正切函数的图像和性质练习及答案1.如下图所示，函数y ＝cos x |tan x |(0≤x ＜3π2且x ≠π2)的图象是( )A ．B ．C ．D ．2.函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2,3π2)内的图象是( )A ．B ．C ．D ．3.函数f (x )＝tan x ＋1tanx ，x ∈{x|−π2<x <0或0＜x ＜π2}的图象为( )A ．B ．C ．D ．4.函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在(－π2，π2)上的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)等于( )A．2＋√3 B．√3 C．√33D．2－√36.下列图象分别是函数①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈(－3π2，?3π2)内的大致图象.那么图a、b、c、d依次对应的函数关系式应是( )A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③7.函数y＝tan(π4x－π2)的部分图象如图所示，则△AOB的面积等于( )A．1 B．2 C．4 D．928.使不等式tan x≥√3成立的x的集合为( )A．(kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z) B．[kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)C．[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z) D．(kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)考点2 正切函数的定义域、值域9.函数y＝1tanx的定义域为( )A．{x|x≠0}B．{x|x≠kπ，k∈Z}C．{x|x≠kπ+π2，k∈Z}D．{x|x≠kπ2，k∈Z}10.函数y＝√sinx＋√tanx的定义域为( )A．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2,k∈Z}B．{x|2kπ＜x≤kπ＋π2,k∈Z}C．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2,k∈Z}∪{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}D．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2且x≠2kπ＋π，k∈Z}11.函数y＝tan x(−π4≤x≤π4且x≠0)的值域是( )A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1] C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 12.函数y＝tan(sin x)的值域为( )A．[−π4,π4]B．[−√22,√22]C．[－tan1，tan1] D．以上都不对13.(1)求函数y＝√tanx−√3的定义域；(2)已知f(x)＝tan2x－2tan x(|x|≤π3)，求f(x)的值域.14.函数y＝tanωx的最小正周期为π2，则实数ω的值为( )A．12B．1 C．2 D．415.已知函数y＝tanωx(ω＞0)的图象与直线y＝a相交于A，B两点，若AB长度的最小值为π，则ω的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．3 16.函数y ＝tan 35x 是( )A ．周期为π的偶函数B ．周期为53π的奇函数 C ．周期为53π的偶函数 D ．周期为π的奇函数 17.下列函数中，为偶函数的是( ) A ．f (x )＝sin(2015π2＋x ) B ．f (x )＝cos(2015π2＋x ) C ．f (x )＝tan(2015π2＋x ) D ．f (x )＝sin(2014π2＋x )18.函数y ＝tan (x +π3)图象的对称中心的坐标是( ) A ．(k π−π3,0)(k ∈Z ) B ．(k 2π－π3，0)(k ∈Z )C ．(k π2，0)(k ∈Z ) D ．(k π，0)(k ∈Z )19.下列坐标所表示的点不是函数y ＝tan(x2－π6)的图象的对称中心的是( ) A ．(π3,0) B ．(−5π3,0) C ．(7π3,0) D ．(2π3,0)20.下列关于函数y ＝tan (x +π3)的说法正确的是( ) A ．在区间(−π6+5π6)上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点(π4,0)成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称21.若函数f (x )＝2cos(4x ＋π7)－1与函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期相同，则实数a ＝______.22.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的； ②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的周期分别为π，π2；③若x1＞x2，则sin x1＞sin x2；④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－T2)＝0. 其中正确命题的序号是________.23.试判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝1－2cos x＋|tan x|；(2)f(x)＝x2tan x－sin2x.24.下列说法正确的是( )A．y＝tan x是增函数B．y＝tan x在第一象限是增函数C．y＝tan x在某一区间上是减函数D．y＝tan x在区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数25.函数y＝tan(x＋π5)的单调递增区间是( )A．(−π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)B．(−7π10＋kπ，3π10＋kπ)(k∈Z)C．(−3π10＋kπ，7π10＋kπ)(k∈Z)D．(−π5+kπ，π5＋kπ)(k∈Z)26.关于函数f(x)＝－tan2x，有下列说法：①f(x)的定义域是{x∈R|x≠π2＋kπ，k∈Z}；②f(x)是奇函数；③在定义域上是增函数；④在每一个区间(－π4＋kπ2，π4＋kπ2)(k∈Z)上是减函数；⑤最小正周期是π.其中正确的是( )A ．①②③B ．②④⑤C ．②④D ．③④⑤ 27.已知函数f (x )＝√3tan πxω(ω＞0).(1)当ω＝4时，求f (x )的最小正周期及单调区间；(2)若|f (x )|≤3在x ∈[－π3，π4]上恒成立，求ω的取值范围.28.对于函数y ＝tan x2，下列判断正确的是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π2的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数29.已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4).(1)求该函数的定义域，周期及单调区间； (2)若f (θ)＝17，求2cos 2θ2−sinθ−12sin(θ＋π4)的值.30.已知函数y ＝tan(12x －π6).(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图； (2)求出此函数的定义域、周期和单调区间；(3)写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标.31.已知关于实数x的不等式|x−(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，x2－3(tanθ＋1)x＋2(3tanθ＋1)≤0的解集分别为M，N，且M∩N＝∅，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围. 答案1.如下图所示，函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π2且x≠π2)的图象是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】∵y＝cos x|tan x|＝{sinx,0≤x＜π2,−sinx,π2＜x≤πsinx,π＜x＜3π2.，∴函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π2且x≠π2)的图象是C.2.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间(π2,3π2)内的图象是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】当π2＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；当x＝π时，y＝0；当π＜x＜3π2时，tan x＞sin x，y＝2sin x.故选D.3.函数f (x )＝tan x ＋1tanx ，x ∈{x|−π2<x <0或0＜x ＜π2}的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为y ＝tan x 是奇函数，所以f (x )＝tan x ＋1tanx ，x ∈{x|−π2<x <0或0＜x ＜π2}是奇函数，因此B ，C 不正确，又因为f (x )＝tan x ＋1tanx ，0＜x ＜π2时函数为正数，所以D 不正确，A 正确.4.函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在(－π2，π2)上的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】∵sin x ＜x ＜tan x ，x ∈(0，π2)， ∴在(0，π2)上无交点，又它们都是奇函数，故在(－π2，0)上无交点， 观察图象知两个函数的图象有1个交点.5.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)等于( )A ．2＋√3B ．√3C ．√33D ．2－√3【答案】B【解析】由图象知πω＝2×(3π8−π8)＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋π4(k∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π4.这时f (x )＝A tan (2x +π4).又图象过(0,1)，代入得A ＝1，故f (x )＝tan (2x +π4).所以f (π24)＝tan (2×π24+π4)＝√3，故选B.6.下列图象分别是函数①y ＝|tan x |；②y ＝tan x ；③y ＝tan(－x )；④y ＝tan|x |在x ∈(－3π2，?3π2)内的大致图象.那么图a 、b 、c 、d 依次对应的函数关系式应是( )A ．①②③④B ．①③④②C ．③②④①D ．①②④③ 【答案】D【解析】y ＝tan(－x )在(－π2，?π2)内是减函数，故选D.7.函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如图所示，则△AOB 的面积等于( )A ．1B ．2C ．4D ．92【答案】A【解析】函数的周期T＝ππ4＝4，则A(2,0)，∴△AOB的面积S＝12×2×1＝1.8.使不等式tan x≥√3成立的x的集合为( )A．(kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)B．[kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)C．[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)D．(kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)【答案】C【解析】∵不等式tan x≥√3，由正切函数的性质可得kπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z，∴使不等式成立的x的集合为{x|kπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z}，即x∈[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z).9.函数y＝1tanx的定义域为( ) A．{x|x≠0}B．{x|x≠kπ，k∈Z}C．{x|x≠kπ+π2，k∈Z}D．{x|x≠kπ2，k∈Z}【答案】D【解析】函数y＝1tanx 有意义，则{x≠kπ，k∈Z，x≠kπ+π2，k∈Z，可得函数的定义域为{x|x ≠k π2，k ∈Z}.10.函数y ＝√sinx ＋√tanx 的定义域为( ) A ．{x|2k π≤x ＜2k π＋π2,k ∈Z} B ．{x|2k π＜x ≤k π＋π2,k ∈Z}C ．{x|2k π≤x ＜2k π＋π2,k ∈Z}∪{x|x ＝2k π＋π，k ∈Z }D ．{x|2k π≤x ＜2k π＋π2且x ≠2k π＋π，k ∈Z} 【答案】C【解析】由{sinx ≥0tanx ≥0，即{2kπ≤x ≤2kπ＋πkπ≤x ＜kπ＋π2(k ∈Z )，得2k π≤x ＜2k π＋π2(k ∈Z )或x ＝2k π＋π(k ∈Z ).所以函数y ＝√sinx ＋√tanx 的定义域是{x|2k π≤x ＜2k π＋π2,k ∈Z}∪{x|x ＝2k π＋π，k ∈Z } 11.函数y ＝tan x (−π4≤x ≤π4且x ≠0)的值域是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞) 【答案】B【解析】根据正切函数图象，结合函数的单调性可得. 12.函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) A ．[−π4,π4]B ．[−√22,√22]C ．[－tan1，tan1]D ．以上都不对 【答案】C【解析】∵sin x ∈[－1,1]，结合函数y ＝tan x 的图象可知，tan(－1)≤tan(sin x )≤tan1，即y ∈[－tan1，tan1].13.(1)求函数y ＝√tanx −√3的定义域；(2)已知f (x )＝tan 2x －2tan x (|x |≤π3)，求f (x )的值域.【答案】(1)要使函数有意义，必须使tan x －√3≥0，即tan x ≥√3， ∴k π＋π3≤x ＜k π＋π2，k ∈Z .∴函数y ＝√tanx −√3的定义域为[k π＋π3,k π＋+π2)(k ∈Z ). (2)令u ＝tan x ，∵|x |≤π3，∴u ∈[－√3，√3]， ∴函数化为y ＝u 2－2u . 对称轴为u ＝1∈[－√3，√3]. ∴当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1. 当u ＝－√3时，y max ＝3＋2√3， ∴f (x )的值域为[－1,3＋2√3].14.函数y ＝tan ωx 的最小正周期为π2，则实数ω的值为( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】C【解析】因为函数y ＝tan ωx 的最小正周期为π2，所以π|ω|＝π2，考察选项可知，实数ω的值为2. 15.已知函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图象与直线y ＝a 相交于A ，B 两点，若AB 长度的最小值为π，则ω的值为( )A．4 B．2 C．1 D．3【答案】C【解析】根据函数y＝tanωx(ω＞0)的图象特点可知，两点间的距离必是最小正周期的正整数倍，又由两点间长度的最小值为π，即函数最小正周期为π，所以π|ω|＝π.又由ω＞0，则ω＝1.16.函数y＝tan35x是( )A．周期为π的偶函数 B．周期为53π的奇函数C．周期为53π的偶函数 D．周期为π的奇函数【答案】B【解析】正切函数的周期T＝π35＝53π，函数y＝tan35x是奇函数.17.下列函数中，为偶函数的是( )A．f(x)＝sin(2015π2＋x)B．f(x)＝cos(2015π2＋x)C．f(x)＝tan(2015π2＋x)D．f(x)＝sin(2014π2＋x)【答案】A【解析】对于A，f(x)＝sin(2015π2＋x)＝sin(1007π＋π2＋x)＝sin(3π2＋x)＝－cos x，为偶函数，则A正确；对于B，f(x)＝cos(2015π2＋x)＝cos(1007π＋π2＋x)＝cos(3π2＋x)＝sin x，为奇函数，则B错误；对于C ，f (x )＝tan(2015π2＋x )＝tan(1007π＋π2＋x )＝tan(π2＋x )＝－cot x ，为奇函数，则C 错误；对于D ，f (x )＝sin(1007π＋x )＝sin(π＋x )＝－sin x ，为奇函数，故D 错误. 故选A.18.函数y ＝tan (x +π3)图象的对称中心的坐标是( ) A ．(k π−π3,0)(k ∈Z )B ．(k2π－π3，0)(k ∈Z ) C ．(k π2，0)(k ∈Z )D ．(k π，0)(k ∈Z )【答案】B【解析】函数y ＝tan (x +π3)的图象由函数y ＝tan x 的图象向左平移π3个单位得到， 又由函数y ＝tan x 的对称中心的坐标是(k π2，0)(k ∈Z )，∴函数y ＝tan(x ＋π3)的对称中心的坐标是(k2π－π3，0)(k ∈Z ).19.下列坐标所表示的点不是函数y ＝tan(x2－π6)的图象的对称中心的是( ) A ．(π3,0) B ．(−5π3,0) C ．(7π3,0) D ．(2π3,0)【答案】D 【解析】将π3，－5π3，7π3代入y ＝tan(x 2－π6)均为0，而2π3代入y ＝tan(x 2－π6)不为0，所以选D.20.下列关于函数y ＝tan (x +π3)的说法正确的是( ) A ．在区间(−π6+5π6)上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于点(π4,0)成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 【答案】B【解析】令k π－π2＜x ＋π3＜k π＋π2，解得k π－5π6＜x ＜k π＋π6，k ∈Z ，显然(−π6，5π6)不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan (x +π3)的图象也没有对称轴，故D 错误.故选B.21.若函数f (x )＝2cos(4x ＋π7)－1与函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期相同，则实数a ＝______. 【答案】±2【解析】函数f (x )＝2cos(4x ＋π7)－1的周期是π2，函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期是π|a|， 因为周期相同，所以π|a|＝π2，解得a ＝±2. 22.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的； ②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的周期分别为π，π2； ③若x 1＞x 2，则sin x 1＞sin x 2；④若f (x )是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f (－T2)＝0. 其中正确命题的序号是________. 【答案】④【解析】①正切函数的图象的对称中心是唯一的，由正切函数的性质可知，①是错误的； ②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的周期分别为π，π2，前者正确，后者错误，②是错误的； ③若x 1＞x 2，则sin x 1＞sin x 2，如果x 1＝390°，x 2＝90°，sin x 1＜sin x 2，③是错误的；④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－T2)＝0，f(x＋T)＝f(x)，f(－T2＋π)＝f(－T2)＝－f(T2)，f(－T2)＝0，④是正确的.故答案为④.23.试判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝1－2cos x＋|tan x|；(2)f(x)＝x2tan x－sin2x.【答案】(1)函数的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cos x＋|tan x|＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数.(2)函数的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tan x－sin2x，∴函数f(x)是非奇非偶函数.24.下列说法正确的是( )A．y＝tan x是增函数B．y＝tan x在第一象限是增函数C．y＝tan x在某一区间上是减函数D．y＝tan x在区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数【答案】D【解析】由正切函数的图象可知D正确.25.函数y＝tan(x＋π5)的单调递增区间是( )A．(−π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)B ．(−7π10＋k π，3π10＋k π)(k ∈Z ) C ．(−3π10＋k π，7π10＋k π)(k ∈Z ) D ．(−π5+k π，π5＋k π)(k ∈Z )【答案】B【解析】∵y ＝tan x 的单调递增区间为(−π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )， 令k π－π2＜x ＋π5＜k π＋π2，解得k π－7π10＜x ＜k π＋3π10， ∴函数y ＝tan(x ＋π5)的单调递增区间是(−7π10＋k π，3π10＋k π)(k ∈Z ). 26.关于函数f (x )＝－tan2x ，有下列说法：①f (x )的定义域是{x ∈R |x ≠π2＋k π，k ∈Z }；②f (x )是奇函数；③在定义域上是增函数；④在每一个区间(－π4＋k π2，π4＋k π2)(k ∈Z )上是减函数；⑤最小正周期是π.其中正确的是( )A ．①②③B ．②④⑤C ．②④D ．③④⑤ 【答案】C【解析】①由正切函数的定义域可得，2x ≠π2＋k π，k ∈Z ，故①错误； ③由正切函数的定义域可知，函数y ＝－tan2x 在(－π4＋k π2，π4＋k π2)(k ∈Z )上是减函数，故③错误；⑤根据周期公式可得，T ＝π2，故⑤错误. 27.已知函数f (x )＝√3tan πx ω(ω＞0).(1)当ω＝4时，求f (x )的最小正周期及单调区间；(2)若|f (x )|≤3在x ∈[－π3，π4]上恒成立，求ω的取值范围. 【答案】(1)当ω＝4时，f (x )＝√3tan π4x ，则f (x )的最小正周期T ＝ππ4＝4，由k π－π2＜π4x ＜k π＋π2，k ∈Z .得4k －2＜x ＜4k ＋2，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为(4k －2,4k ＋2)，k ∈Z . (2)∵ω＞0，∴函数f (x )的周期T ＝ππω＝ω，∴若|f (x )|≤3在x ∈[－π3，π4]上恒成立， 则f (x )在x ∈[－π3，π4]上为单调递增函数， 满足－π3＞－12T ＝－ω2， ∴ω＞2π3，∵|f (－π3)|＞f (π4)，此时满足f (－π3)≥－3，即f (－π3)＝√3tan(－π3×πω)≥－3， 即tan(－π3×πω)≥－√3，则－π3×πω≥－π3， 则πω≤1，即ω≥π， 综上，ω≥π.28.对于函数y ＝tan x2，下列判断正确的是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π2的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数 【答案】A【解析】函数y ＝tan x 2的周期T ＝πω＝2π，再由tan(－x 2)＝－tan x2可得，此函数为奇函数. 29.已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4).(1)求该函数的定义域，周期及单调区间； (2)若f (θ)＝17，求2cos 2θ2−sinθ−12sin(θ＋π4)的值.【答案】(1)由题意得，T ＝π2. 由2x ＋π4≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π8，由－π2＋k π＜2x ＋π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得k π2－3π8＜x ＜k π2＋π8，综上得，函数的周期是π2，定义域是{x |x ≠k π2＋π8，k ∈Z }，单调增区间是(k π2－3π8，k π2＋π8)(k ∈Z ).(2)2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝cosθ－sinθsinθ＋cosθ＝1－tanθtanθ＋1，①∵f (θ)＝17，∴tan(2θ＋π4)＝17， 则tan2θ＝tan[(2θ＋π4)－π4]＝17−11+17＝－34，由tan2θ＝2tanθ1－tan 2θ＝－34，得tan θ＝3或－13， 把tan θ＝3代入上式①得，2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝－12，把tan θ＝－13代入上式①得，2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝2.30.已知函数y ＝tan(12x －π6).(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图； (2)求出此函数的定义域、周期和单调区间；(3)写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标. 【答案】(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图：则对应的图象如图：(2)由12x －π6≠k π＋π2，得x ≠2k π＋4π3，即函数的定义域为{x |x ≠2k π＋4π3，k ∈Z }，函数的周期T ＝π12＝2π.由k π－π2＜12x －π6＜k π＋π2，k ∈Z ， 得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为(2k π－2π3，2k π＋4π3)，k ∈Z .(3)由12x －π6＝k π＋π2，得x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ， 即函数图象的渐近线方程为x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ，由12x －π6＝k π2，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .即所有对称中心的坐标为(k π＋π3，0).31.已知关于实数x的不等式|x−(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，x2－3(tanθ＋1)x＋2(3tanθ＋1)≤0的解集分别为M，N，且M∩N＝∅，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围.【答案】假设θ存在.由|x−(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，得2tanθ≤x≤tan2θ＋1，∴M＝{x|2tanθ≤x≤tan2θ＋1}.∵x2－3(tanθ＋1)x＋2(3tanθ＋1)≤0，∴当tanθ≥13时，2≤x≤3tanθ＋1.当tanθ＜13时，3tanθ＋1≤x≤2.∵M∩N＝∅，∴当tanθ≥13时，有3tanθ＋1＜2tanθ或tan2θ＋1＜2，即tanθ＜－1或－1＜tanθ＜1，∴13≤tanθ＜1.①当tanθ＜13时，有2＜2tanθ或3tanθ＋1＞tan2θ＋1，即tanθ＞1或0＜tanθ＜3，∴0＜tanθ＜13.②由①②得0＜tanθ＜1，∴θ的取值范围是(kπ，kπ＋π4)，k∈Z.。
初中数学教案正切
初中数学教案正切一、教学目标1. 让学生理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质及其图像。
2. 培养学生运用正切函数解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的兴趣，培养学生的抽象思维能力。
二、教学内容1. 正切函数的定义2. 正切函数的性质3. 正切函数的图像4. 应用正切函数解决实际问题三、教学重点与难点1. 重点：正切函数的定义、性质及其图像。
2. 难点：正切函数图像的特点及其应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。
2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
3. 引导学生运用数形结合的思想方法，深入理解正切函数。
五、教学过程1. 导入：回顾锐角三角函数的概念，引导学生思考正切函数的定义。
2. 讲解：(1) 讲解正切函数的定义，解释正切函数的物理意义。
(2) 讲解正切函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
(3) 演示正切函数的图像，引导学生观察图像的特点。
3. 练习：让学生独立完成一些有关正切函数的练习题，巩固所学知识。
4. 应用：引导学生运用正切函数解决实际问题，如计算角度、设计建筑等。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调正切函数的定义、性质及其图像的重要性。
六、课后作业1. 完成教材后的练习题。
2. 搜集有关正切函数在实际应用中的例子，下节课分享。
七、教学反思通过本节课的教学，发现部分学生在理解正切函数的定义和性质方面存在困难。
在今后的教学中，应更加注重引导学生运用数形结合的思想方法，帮助学生深入理解正切函数。
同时，加强课后辅导，针对学生的薄弱环节进行有针对性的训练。
高中数学 正切函数及三角函数综合问题课后练习二 新人教A版必修4
课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
（老师读，学生读，加深理解。
高中数学北师大版必修4课时分层作业汇编：正切函数的定义、图像与性质、诱导公式含解析
课时分层作业(一) 正切函数的定义 正切函数的图像与性质(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、填空题1．已知角α的终边上一点P (－2,1)，则tan α＝________. －12 [由正切函数的定义知tan α＝1－2＝－12.] 2．比较大小：tan 211°________tan 392°. ＜ [tan 211°＝tan(180°＋31°)＝tan 31°. tan 392°＝tan(360°＋32°)＝tan 32°， 因为tan 31°＜tan 32°， 所以tan 211°＜tan 392°.]3．函数f (x )＝tan x －1＋1－x 2的定义域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，1 [要使函数f (x )有意义， 需⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥1，x 2≤1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－1≤x ≤1.故π4≤x ≤1.] 二、选择题4．已知sin θ·tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角B [若sin θ>0，tan θ<0，则θ在第二象限；若sin θ<0，tan θ>0，则θ在第三象限．]5．若已知角α满足sin α＝35，cos α＝45，则tan α＝( )A.43B.34C.13D.23B [由三角函数定义可知tan α＝34.]6．函数f (x )＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数D [f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2.]7．直线y ＝a (常数)与正切曲线y ＝tan ωx (ω为常数且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为( )A ．πB ．2πC ．π|ω|D ．与a 值有关C [两相邻交点间的距离为正切函数的一个周期，因而距离为π|ω|.] 8．方程tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2B [由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝3，得 2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z )，所以x ＝k π2(k ∈Z )，又x ∈[0,2π)，所以x ＝0，π2，π，3π2.故选B.]三、解答题9．根据正切函数的图像，写出tan x ≥－1的解集． [解] 作出y ＝tan x 及y ＝－1的图像，如下图．∴满足此不等式的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x <π2＋k π，k ∈Z. 10．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．[解] 由3x －π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋5π18，k ∈Z . 所以所求定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π3＋5π18，k ∈Z. 值域为R ，周期T ＝π3，是非奇非偶函数．在区间⎝⎛⎭⎪⎫k π3－π18，k π3＋5π18(k ∈Z )上是增函数．[等级过关练]1．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >bC [b ＝cos 55°＝sin 35°，又a ＝sin 33°，0°<33°<35°<90°， 且y ＝sin x 在[0°，90°]是增加的，所以sin 33°<sin 35°， 即b >a .tan 35°＝sin 35°cos 35°，又cos 35°∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，32，所以tan 35°>sin 35°，故c >b >a .]2．函数f (x )＝2x －tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图像大致为( )C [∵f (－x )＝2(－x )－tan(－x )＝－2x ＋tan x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A 、B.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2×π6－tan π6＝π3－33>0， ∴排除D ，选C.]3．已知tan α＝3，则3sin α＋cos αsin α－2cos α＝________.10 [原式＝3tan α＋1tan α－2＝3×3＋13－2＝10.]4．函数y ＝－tan 2x ＋2tan x 的最大值是________．1 [定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z.设tan x ＝t ，则t ∈R ，则y ＝－t 2＋2t ＝－(t－1)2＋1，∴当t ＝1，即tan x ＝1，x ＝π4＋k π(k ∈Z )时，y 取得最大值1.]5．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，已知函数y ＝f (x )的图像与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图像关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，求f (x )的解析式．[解] 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即πω＝π2，∴ω＝2，从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．∵函数y ＝f (x )的图像关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，∴2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋φ＝k π或π2＋k π(k ∈Z )． 即φ＝k π＋π4或φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．∵0<φ<π2，∴φ＝π4，故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(二)正切函数的诱导公式(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、填空题1．函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋2，且f (－3)＝5，则f (3)等于________．－1 [∵f (－3)＝a sin(－6)＋b tan(－3)＋2＝5. ∴－a sin 6－b tan 3＝3，即a sin 6＋b tan 3＝－3. ∴f (3)＝a sin 6＋b tan 3＋2＝－3＋2＝－1.] 2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋α＝________.－33 [tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－33.]3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝________.－ 3 [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，所以sin φ＝－32. 因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以tan φ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－tan π3＝－ 3.]二、选择题4．tan 31π3的值为( )A ．33B ．－33C ． 3D ．－ 3C [tan 31π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝tan π3＝ 3.] 5．已知角α终边上有一点P (5n,4n )(n ≠0)，则tan(180°－α)的值是( ) A ．－45B ．－35C ．±35D ．±45A [∵角α终边上有一点P (5n,4n )，∴tan α＝45，tan(180°－α)＝－tan α＝－45.]6．已知tan(－80°)＝k ，那么tan 100°的值是( ) A ．－kB ．kC.k1－k2D.－k 1－k2B [tan(－80°)＝－tan 80°＝k ，则tan 80°＝－k . tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝k .]7．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32B [由于tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2＝－cos α－sin α＝cos αsin α，所以f (α)＝sin αcos α·cos αsin α－cos α＝－cos α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π－π3＝－cos π3＝－12.]8．已知tan(π＋α)＋1tan (3π＋α)＝2，则tan(π－α)＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1D [tan(π＋α)＋1tan (3π＋α)＝tan α＋1tan α＝2，即tan 2α－2tan α＋1tan α＝0，解得tan α＝1.所以tan(π－α)＝－tan α＝－1.]三、解答题9．求下列各式的值： (1)sin π4cos 19π6tan 21π4；(2)3sin(－1 200°)tan 19π6－cos 585°tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π4.[解] (1)原式＝sin π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋7π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋π4 ＝22cos 7π6tan π4＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6＝－22×32＝－64. (2)原式＝－3sin(4×360°－240°)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6－cos(360°＋225°)⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan37π4＝－3sin(－240°)tan π6－cos 45°tan ⎝⎛⎭⎪⎫9π＋π4 ＝3×33sin(180°＋60°)－22tan π4＝－sin 60°－22＝－3＋22. 10．已知角α的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，试求sin (2π－α)tan (π＋α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan (－α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π－α)tan (3π－α)的值．[解] 原式＝(－sin α)·tan α·(－cot α)·(－tan α)cot α·(－cos α)·(－tan α)＝－sin α·tan αcos α＝－tan 2α.∵角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴tan α＝－33.∴原式＝－13. [等级过关练]1．已知tan(π－α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos α2cos α－sin α的值是( )A.15B.13C.35D ．1B [由tan(π－α)＝－12得tan α＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos α2cos α－sin α＝－sin α＋cos α2cos α－sin α＝－tan α＋12－tan α＝13.]2．化简tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2B [原式＝tan[90°－(63°＋α)]·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(90°＋49°－β)＝1tan (63°＋α)·tan(63°＋α)·tan(49°－β)·(－1)tan (49°－β)＝－1.]3．已知tan(π－x )＝13，则tan(x －3π)＝________.－13 [由tan(π－x )＝13，知tan x ＝－13， 故tan(x －3π)＝－tan(3π－x )＝－tan(π－x )＝tan x ＝－13.]4．已知cos(α＋β)＝－1，且tan α＝2，则tan β＝________. －2 [由cos(α＋β)＝－1，知α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )， ∴β＝2k π＋π－α，k ∈Z .∴tan β＝tan(2k π＋π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－2.] 5．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32π⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值．[解] 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝cos α·(－sin α)sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α ＝－916.。
高中数学三角函数图像练习题及参考答案2023
高中数学三角函数图像练习题及参考答案2023一、函数图像的绘制1. 绘制函数y=sin(x)的图像。
解答:首先，我们需要确定绘图的范围和坐标轴的刻度。
取x轴范围为[-2π, 2π]，y轴范围为[-1, 1]，设定x轴和y轴的刻度为π/2。
接下来，我们选择一些特殊点来绘制图像。
由于sin(x)函数的周期为2π，我们可以选择x=0、x=π/2、x=π、x=3π/2作为参考点。
将这些点连接起来，我们可以得到函数y=sin(x)的图像。
2. 绘制函数y=cos(x)的图像。
解答:同样地，我们选择范围为[-2π, 2π]，y轴范围为[-1, 1]，x轴和y轴的刻度为π/2。
选择x=0、x=π/2、x=π、x=3π/2作为参考点，并连接它们，得到函数y=cos(x)的图像。
3. 绘制函数y=tan(x)的图像。
解答:由于tan(x)函数在某些点处无定义，我们需要对图像进行适当的处理。
取x轴范围为[-π/2, π/2]，y轴范围为[-10, 10]，x轴和y轴的刻度为π/4。
选择x=-π/4、x=0、x=π/4作为参考点，并连接它们，得到函数y=tan(x)在[-π/4, π/4]范围内的图像。
由于tan(x)函数的周期为π，我们可以继续复制这个图像，直到覆盖整个坐标轴。
二、函数图像的性质1. 函数y=sin(x)的性质。
解答:a. 周期性：函数y=sin(x)的周期为2π，即sin(x+2π)=sin(x)。
b. 对称性：函数y=sin(x)关于原点对称，即sin(-x)=-sin(x)。
c. 奇偶性：函数y=sin(x)是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
2. 函数y=cos(x)的性质。
解答:a. 周期性：函数y=cos(x)的周期为2π，即cos(x+2π)=cos(x)。
b. 对称性：函数y=cos(x)关于y轴对称，即cos(-x)=cos(x)。
c. 奇偶性：函数y=cos(x)是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
正切函数图象性质基础练习题(整理)
正切函数图象性质基础练习题(整理)
正切函数是三角函数中的一种，具有特定的图象性质。
以下是
一些正切函数图象性质的基础练题。
1. 已知角度A为45°，求其正切值的大小。
2. 如果角度B的正切值为1，求角度B的大小。
3. 给定正切函数图象的一个周期为π，求其振幅。
4. 若正切函数的定义域为(-π/2, π/2)，求其值域。
5. 若正切函数的图象经过点P(0, -1)，求其周期。
6. 给定正切函数图象的周期为π/2，求其在x轴上的一个零点。
7. 若给定角度C的正切值为无穷大，求角度C的大小。
8. 已知角度D的正切值为-1/3，求角度D的大小。
这些练题旨在帮助你巩固正切函数图象性质的理解。
通过解答这些问题，你将更好地理解正切函数的基本特点和图象性质，为以后的研究打下基础。
注意：在解答时请使用合适的数学符号和公式，确保结果的准确性。
请根据题目要求独立解答上述练题，并理解每个问题所涉及的正切函数图象性质。
以上是关于正切函数图象性质的基础练题的整理。
希望这些练题能够帮助你巩固知识，并在研究中取得进步。
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_注意：本文档所述内容仅供参考，具体数值请以实际计算结果为准。
_。
正切函数目标课时教案
正切函数目标课时教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解正切函数的定义；（2）掌握正切函数的性质；（3）学会运用正切函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察实例，引导学生发现正切函数的规律；（2）利用图形计算器，观察正切函数的图像，加深对正切函数性质的理解；（3）运用正切函数解决生活中的实际问题，培养学生的应用能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性；（2）培养学生合作探究的精神，提高学生的团队协作能力；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强学生的实践操作能力。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）正切函数的定义；（2）正切函数的性质；（3）运用正切函数解决实际问题。
2. 教学难点：（1）正切函数的图像与性质的内在联系；（2）运用正切函数解决实际问题的方法。
三、教学准备：1. 教师准备：正切函数的相关知识资料、PPT、图形计算器等；2. 学生准备：掌握初中阶段三角函数的基本知识，具备一定的观察和分析能力。
四、教学过程：1. 导入新课：（1）复习初中阶段学习的三角函数基本知识；（2）提问：同学们，你们知道正切函数吗？它有什么特点呢？2. 探究正切函数的定义：（1）引导学生观察正切函数的实例，发现正切函数的规律；（2）总结正切函数的定义：正切函数是指在直角三角形中，对边与邻边的比值，用符号tan表示。
3. 学习正切函数的性质：（1）引导学生利用图形计算器观察正切函数的图像；（2）总结正切函数的性质：正切函数是周期函数，周期为π；正切函数的图像是一条波浪线，具有单调性、奇偶性等。
4. 运用正切函数解决实际问题：（1）出示实际问题，如：一个直角三角形，已知斜边和一条直角边，求另一条直角边；（2）引导学生运用正切函数解决问题，培养学生的实际操作能力。
5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容，总结正切函数的定义、性质和应用；（2）强调正切函数在实际生活中的重要性。
正切函数的图像和性质
课题：正切函数的图象和性质教学目的：1．会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象。
2．理解正切函数的性质。
3．会用数形结合的思想理解和处理有关问题。
教学重点：正切函数的图象和性质。
教学难点：用单位圆中的正切线作正切函数的图象。
教学方法：探索+讲练结合学法指导：学会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，探索性质，并会用性质解决相关问题。
教学过程1．设置情境前面我们学习了正弦、余弦函数的图像和性质，正切函数是不同于正弦、余弦函数的又一三角函数，我们今天要学习的就是正切函数的图象和性质。
板书课题。
2．复习请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出x y sin =图像的． 回答后联想画正切函数的图像的方法。
3．新知传授：（1）在直角坐标系中，如果角α满足：)(2,z k k R ∈+≠∈ππαα，那么，角α的终边与单位圆交于点),(b a P ，唯一确定比值a b ，根据函数的定义，比值ab是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作αtam y =，其中)(2,z k k R ∈+≠∈ππαα。
αααcos sin tan =，)(2,z k k R ∈+≠∈ππαα由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。
我们统称为三角函数。
正切线：在直角坐标系中，设单位圆与x 轴的交点为：)0,1(A ，任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点)0,1(A 作x 轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T 点。
AT 为正切线。
如下图，正切线是AT ．(注意A 点的位置)（2）正切函数x y tan =的图象：首先考虑定义域：()z k k x ∈+≠2ππ再考虑一下它的周期：从正切线猜想周期为π，证明如下： ()()()⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈=--=++=+z k k x R x x x x x x x ,2,tan cos sin cos sin tan πππππ且⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈=∴z k k x R x x y ,2,tan ππ且的周期为π=T （最小正周期） 因此我们可选择⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象。
高中数学-正切函数的图象与性质课后练习
A、 C、 D 代入解析式，只有 C 符合题意 .
答案： C
1x
6. 已知正切函数 y= tan
(A＞ 0) 的最小正周期为 3π，则 A=_______________.
2
A
解析： 由于 y= 1 tan （ 1 x+ ）的最小正周期为 T= =Aπ. ∴Aπ=3π，故 A=3.
2
AA
1
A
答案： 3
综合运用
7. 若 f(x)=tan(x+
), 则（
4
A.f(-1) ＞ f(0) ＞ f(1)
） B.f(0)
C.f(1) ＞ f(0) ＞ f(-1)
D.f(0)
解析： f(x)=tan(x+
) 在（
4
3 ， ）上是增函数 . 44
又
3
＜ -1 ＜ 0＜
，故 f(-1) ＜ f(0).
4
4
由于 f(x) 的周期为 π，故 f(1)=f(1- π).
高中数学 - 正切函数的图象与性质课后练习
基础达标
1. 下列函数中，既是以 π 为周期的奇函数，又是（ 0， ）上的增函数是（
）
2
A.y=tanx
B.y=tan
ωｘ
C.y=tan
x
D.y=
｜ sinx ｜
2
答案： A
2. 直线 y=a(a 为常数）与正切曲线 y=tan ωx（ω 为常数，且 ω＞ 0）相交的相邻两点间的
2 46
2
4
8
得 4kπ - ＜ x＜ 4kπ + ,(k ∈ Z).
3
3
∴原函数的周期为
4π，单调递减区间为（源自4kπ4-
数学课后训练：余弦函数、正切函数的图象与性质第二课时
正切函数的图象与性质练习1．已知()πtan 4f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝，则（ ）A ．f （1)＞f (0）＞f (－1）B ．f （0)＞f （1）＞f （－1）C ．f (0)＞f (－1)＞f (1)D ．f (－1)＞f （0）＞f （1)2．与函数π=tan 24y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象不相交的一条直线是（ ）A ．π2x = B ．π2y =C ．π8x =D ．π8y =3．若将函数πtan 4y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω＞0）的图象向右平移π6个单位长度后,与函数πtan 6y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ω的最小值为( )A ．16B ．14C ．13D ．124．在区间3π3π,22⎛⎫-⎪⎝⎭内,函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为（ )A ．1B ．2C ．3D ．45．函数()sin |cos |x f x x =在区间［－π，π]内的大致图象是下列图中的（ ）6．比较tan 1，tan 2，tan 3的大小：__________。
7．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0）的图象的相邻两支截π4y =所得的线段长为π4，则π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是__________．8．下面五个命题中，正确命题的序号是__________．①πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是π4； ②终边在坐标轴上的角的集合是π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ；③π4tan 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度,可得y ＝4tan 2x 的图象;④函数()π3tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π5π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数．9．已知函数()1π3tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求f (x )的定义域、值域；(2)讨论f (x )的周期性、奇偶性和单调性．10．若x ∈ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,求函数y ＝21cos x＋2tan x ＋1的最值及取得最值时相应的x 的值．参考答案1．答案：C 2．答案：C3．解析:将函数πtan 4y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（ω＞0）的图象向右平移π6个单位长度，得ππtan 46y x ωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭。
正切的练习题
正切的练习题在数学中，正切（tangent）是一个重要的三角函数，表示一个角的正弦值除以其余弦值。
正切函数在解决各种几何和物理问题中起着重要的作用，同时也是高中数学和大学数学中的一个重点内容。
为了帮助大家更好地掌握正切的概念和运用，下面将给出一些与正切相关的练习题。
请大家根据题目要求计算并作答，以加深对正切函数的理解与应用。
练习题1：已知一个直角三角形，其一条直角边长为3，另一边长为4。
求该直角三角形中，另一个角的正切值。
练习题2：角A的正切值为1.5，角B的正切值为0.5，且角A+角B=90°。
求角A和角B的度数。
练习题3：已知tan(π/4 + x) = 2，求x的值。
练习题4：已知tan(A-B) = √3，tan(A+B) = 1，且角A和角B都是锐角。
求角A和角B的度数。
练习题5：已知tanθ = -2/3，且角θ在第三象限，求cosθ和sinθ的值。
练习题6：已知一个直角三角形，其斜边长为5，一个锐角的正切值为4/3，求该锐角的度数。
练习题7：已知tanα = 1/3，tanβ = 3/4，且α和β都是锐角。
求sin(α + β)的值。
练习题8：已知tanθ = 1/3，且θ在第四象限，求sinθ和cosθ的值。
练习题9：已知tan(A + B) = 1，tan(A - B) = 2，且角A和角B都是锐角。
求sin(A + B)和sin(A - B)的值。
练习题10：已知tan(x + y) = 1，tan(x - y) = 2，且角x和角y的和是45°。
求sin(x + y)和sin(x - y)的值。
以上是一些关于正切函数的练习题，希望能够帮助大家更好地理解和应用正切函数。
通过解答这些题目，你可以进一步巩固正切的概念，培养对正切函数的灵活运用能力。
祝大家学业进步，数学能力更上一层楼！。
正切函数的性质与图象
探究正切函数的性质
问题：类比研究正弦和余弦函数的方法，从前面 学过的有关正切函数的知识中你认为有哪些性 质？
1.正切函数是周期函数吗？若是，周期是多少呢？ 2.正切函数具备奇偶性吗？
正切函数的性质
(1)周期性：
2 正切函数是周期函数，周期是 ．
(2)奇偶性： 由诱导公式 tan x = tan x ，x 可知正切函数是奇函数．
= f ( x 2 ) 周期T = 2
2
4
周期T = | |
17 13 达标练习 比较 tan( ) 与 tan( ) 的大小. 5 4
17 13 tan 解： tan = tan 4 5 4 2 0 4 5 2 又： y = tan x在 0, 内单调递增， 2
x
答案：（k，k+/2）， kz
答案：（k–/2，k+/4），kz
例1、观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围：tanx>0
解：画出y=tanx在 ( , ) 上的 2 2 图象 不难看出在此区间上满足tanx>0的x的范 围为：
0 x 2
结合周期性考虑，满足条件的范围为：
{x | x 1 2k , k Z }. 所以，原函数的定义域是 3
x 1 2k , k Z 3
2
3
2
3
2
3
所以原函数的周期是2.
由 k x k , k Z
2
解得
2 5 2k x 1 2k , k Z 3 3
2
2
所以正切函数的值域为 R
正切函数的性质：
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课后作业（6.2（2）正切函数图象习题课） 班级 姓名
1.比较大小
（1）1.2tan()5π-与11tan()5π-
（2）tan 43︒与5tan
3π
（3）tan()4k ππ+与tan()4k ππ- （ k Z ∈）
2.求定义域
（1）y = （2）tan 1tan x y x =-
3.判断奇偶性
（1）3tan y x x =+ （2）cos tan 2y x x =⋅
4.求周期
（1）tan(4)4y x π
=+ （2）1tan ()1tan x
f x x
+=-
5.求单调区间
（1）tan(
)3y x π=-
6.作图题
（1）作出函数y tan ||x =的图象，并观察函数的最小正周期和单调区间.
（2）做出函数y tan()3x π=+
的图象
7.下列函数中,同时满足(1)在(0, 2
π)上递增,(2)以2π为周期,(3)是奇函数的是 ( ) (A)x y tan = (B)x y cos = (C)x
y 21tan = (D)x y tan -=
8.给出下列命题:
(1)函数y =sin|x |不是周期函数; (2)函数y tan(2)6x π
=+的周期是2π;
(3)函数y =tan x 在定义域内是增函数; (4)函数|tan |y x =是偶函数;
(5)函数y tan()6x π
=+图象的一个对称中心为(6
π,0) 其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上)。