数形结合巧解分段函数问题
分段函数的几个问题-人教版
分段函数的几个问题分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明。
学生对此理解比较肤浅，本文就分段函数的相关问题整理、归纳如下：1、 分段函数的含义所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。
对它应有以下两点基本理解：（1） 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2） 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
2、 求分段函数的函数值例1已知函数132(0)()1)log (1)x x f x x x x ⎧<=≤≤>⎪⎩,求{[()]}f f f a (a <0)的值。
分析 求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相对应的对应法则求值。
()f x 是分段函数，要求{[()]}f f f a ，需要确定[()]f f a 的取值范围，为此又需确定()f a 的取值范围，然后根据所在定义域代入相对应的解析式，逐步求解。
解 ∵a <0,∴()2a f a =,∵0<2a <1,∴[()]f f a =(2)a f =3, ∵3>1,∴{[()]}f f f a=f=13log =－21,3、 求分段函数的解析式例2 已知奇函数()f x (x R ∈)，当x >0时，()f x =x (5－x )+1.求()f x 在R 上的表达式。
解 ∵()f x 是定义域在R 上的奇函数，∴(0)f =0.又当x ＜0时，－x >0,故有()f x -=－x [5－(－x )]+1=－x (5+x )+1。
再由()f x 是奇函数,()f x =－()f x =x (5+x )－1.∴(5)1(0)()0(0)(5)1(0)x x x f x x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪+-<⎩例3 求函数()f x =2x +(2－6a )x +32a (0≤x ≤1)的最小值。
分段函数的几种常见题型和解法
函数的概念和性质考点 分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域.2．求分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)x x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩226(12).()3(24)x x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩5．作分段函数的图像例5．函数|ln ||1|x y ex =--的图像大致是（ ）CD6．求分段函数得反函数例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31xf x =-, 设()f x 的反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.9．解分段函数的方程例10．设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为10．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值围是（ ）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞例12．设函数2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值围为（ ）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃反馈练习1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值围是( )A ．(－∞，0] B.(－∞，1] C ．[－2,1]D ．[－2,0]2．（2013，4分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.3．（2013，5分）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ， x ≥1，2x ， x <1的值域为________．4．（2012，5分）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．05．（2011，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,166．（2012，5分）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________．7．（2011，5分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．函数的概念和性质考点一 分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域. 【解析】作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.2．求分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x--≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .【解析】因为311222()|1|2f =--=-, 所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-.3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)xx x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 226(12).()3(24)xx x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 【解析】当[2,0]x ∈-时, 121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得222(10)()2(02)x x x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A .5．作分段函数的图像 例5．函数|ln ||1|x y ex =--的图像大致是（ ）CD解析：在定义围讨论，当0<x<1时，11y x x=+-；当x>1时1y =，故选D 6．求分段函数得反函数例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31xf x =-, 设()f x 的反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.【解析】设0x <, 则0x ->, 所以()31xf x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13xf x -=-, 因此31(0)()0(0)13(0)x x x f x x x -⎧->⎪==⎨⎪-<⎩, 从而可得33log (1)(0)()0(0)log (1)(0)x x g x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.【解析】当0x >时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.【解析】显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.【解析】121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩, 画图易知单调减区间为12(,]-∞-.9．解分段函数的方程例10．（01年）设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为【解析】 若142x-=, 则222x--=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =,则1481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.10．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)x x f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值围是（ ）x.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞【解析1】首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.【解析2】因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x -->, 解得01x <-, 当00x >时,1201x >, 解得01x >, 综上0x 的取值围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.例12．设函数2(1)(1)()41(1)x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值围为（ ）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃ 【解析】当1x <时, 2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时, ()14111310f x x x x ≥⇔--≥⇔-≤⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.【点评：】以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.反馈练习1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值围是( )A ．(－∞，0]B.(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]解析：本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力．当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，选择D.答案：D2．（2013，4分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析：本题主要考查分段函数的求值，意在考查考生的应用能力和运算求解能力．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案：－2 3．（2013，5分）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ， x ≥1，2x ， x <1的值域为________．解析：本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度．分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．当x ≥1时，log 12x ≤0，当x <1时，0<2x<2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)4．（2012，5分）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0解析：f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2.答案：B5．（2011，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ c x ，x <A ，c A ，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16 解析：因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15(1)，所以必有4<A ，且c 4＝c 2＝30(2)，联立(1)(2)解得c ＝60，A ＝16.答案：D 6．（2012，5分）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________． 解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f (32)＝f (－12)，且f (－1)＝f (1)，故f (12)＝f (－12)，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1,3a ＋2b ＝－2. ① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，故b ＝－2a . ②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.答案：－107．（2011，5分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意，所以综上所述，a ＝－34. 答案：－34。
用数形结合思想解决函数问题
B
a＞ 0 a＞1
a ＞1
y=x+a
(三)与函数有关的问题
考题剖析
［解析］画出y=a|x|与y=x+a的图象
y
情形2： a 0时
a＜ 0 a＜－1 ＜ 1 -a>1 a
-a
k=1
o
x
y=-ax
k=-a
［点评］ 在使用数形结合方法解决问题时，也要注意含字母参数 的讨论，本题中，主要是分a＞0与a＜０两种情况.
A. 1个 B. 2个
)
C. 3个 D. 1个或2个或3个
解析：判断方程的根的个数就是判断图象 y a|x|与y | loga x | 的交点个数，画出两个函数图象， y
１
O
M
１
N
x
易知两图象只有两个交 点．故方程有2个实根，选（B）。 数形结合显威力！杀伤指数：
一.与方程有关的问题 例2 已知 是方程x log 2 x 4的根， 而 是方程x 2 x =4的根，那么 + =？
(二）与函数有关的问题 例3 函数y a x 与函数y x a的图象恰有 两个公共点，则实数a的取值范围是（）
A. (1，+∞) C. (－∞，－1]∪[1，+∞) 方法2：特殊值法，排除法 当a=0时，函数y=0和y=x的图像只有一个公共点；排除B 当a=1时，函数y=׀x׀与y=x+1只有一个公共点，排除C 当a=-2时，函数y=-2׀x׀与y=x-1也有两个公共点，排除A,故选D y y=x+1 y=x-1 排除法秒杀！杀伤 x 指数 o y=׀x ׀
（1）k=0时，
2 x
0
1
考点04 分段函数(解析版)
考点4 分段函数以及应用一、 知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:（1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.（2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.（3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。
（4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x >0,x -<0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值，若有)(x f =)(x f --,当x =0有定义时0)0(=f ，则)(x f 是奇函数；若有f(x)=)(x f -，则)(x f 是偶函数.（6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题.（7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决.（8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最值.（10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可.（11）分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.（12）分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围.2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或中档题.将本考点近五年内的命题规律从题型、考题类型、难度、分值等方面作以总结，对今后考题规律作以展望.二、题型与相关高考题解读 1.分段函数求值1.1考题展示与解读例1.（2017山东文9）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【命题意图探究】本题考查了分段函数求值及分类整合思想是中档试题. 【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【解题能力要求】分析问题能力、分类整合思想【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 1.2【典型考题变式】1.【变式1：改编条件】已知函数)(x f =⎩⎨⎧≥+-<<+2,8220,2x x x x x ，若)2()(+=a f a f ，则)1(a f =（ ）A.165 B. 2 C.6 D.217【答案】B【解析】由2x ≥时()28f x x =-+是减函数可知,若2a ≥,则()()2f a f a ≠+,所以02a <<,由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++,解得1a =,则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,故选B.2. 【变式2：改编结论】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()12f a =,则a = （ ）B.41 B. 45 C. 41或45D. 2【答案】C【解析】由题意知，⎪⎩⎪⎨⎧=<<2110a a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-≥21)1(21a a ，解得14a =或45=a ，故选C【变式3：改编问法】已知f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）=，则f （﹣）=（ ）A ．B ．C ．1D ．﹣1【答案】C ．【解析】∵f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）=，则f （﹣）=﹣f （）=﹣f （）=﹣log 2=1，故选C ．【变式4：函数迭代】已知a ∈R ，函数()24,2,3, 2.x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则a = ． 【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值．【解析】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =，故答案为：2． 2.分段函数的最值与值域2.1考题展示与解读例2【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.【命题意图探究】本题主要考查分段函数的最值及分类整合思想、数形结合思想. 【答案】2，(,1)-∞-.【解析】如图作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =-是函数()g x 的极大值点，①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由332a a a -<-，因此()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-，故填：2，(,1)-∞-．【解题能力要求】分类整合思想、数形结合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】先根据各段函数的图象与性质求出各段函数在相应区段上的值域，这些值域的并集就是函数的值域. 2.2【典型考题变式】 【变式1：改编条件】设函数的最小值是1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，4]B ．[4，+∞）C ．（﹣∞，5]D ．[5，+∞） 【答案】B【解析】由题知，当x ＜1时，f （x ）=x 2﹣4x+a=（x ﹣2）2+a ﹣4，且为减函数，可得f （x ）＞f （1）=a ﹣3，由x≥1时，f （x ）递增，可得f （x ）的最小值为f （1）=1，由题意可得a ﹣3≥1，即a≥4，故选B ．【变式2：改编结论】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩，讨论)(x f 的值域.【答案】当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞； 当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞； 当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【解析】如图作出函数3()3h x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33h x x =-，知1x =-是函数()h x 的极大值点，1=x 是函数()h x 的极小值点，当1-<a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为)2(33a a a --- =0)1)(1(<-+a a a ，所以a a a 233-<-，所以函数)(x f 的值域为)2,(a --∞；当21≤≤-a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]2,(-∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为22≤-a ，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞；当2>a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为a a a 323-<-，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞；综上所述，当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞； 当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞； 当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数g （x ）=asin （x ）﹣2a+2（a ＞0），若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣，1] B ．[，] C ．[，] D ．[，2] 【答案】B【解析】当x ∈[0，]时，y=﹣x ，值域是[0，]；x ∈（，1]时，y=，y′=＞0恒成立，故为增函数，值域为（，1]．则x ∈[0，1]时，f （x ）的值域为[0，1]，当x ∈[0，1]时，g （x ）=asin （x ）﹣2a+2（a ＞0），为增函数，值域是[2﹣2a ，2﹣]，∵存在x 1、x 2∈[0，1]使得f （x 1）=g （x 2）成立，∴[0，1]∩[2﹣2a ，2﹣]≠∅，若[0，1]∩[2﹣2a ，2﹣]=∅，则2﹣2a ＞1或2﹣＜0，即a ＜，或a ＞．∴a 的取值范围是[，]，故选B ．3.分段函数的解析式3.1考题展示与解读例3．（2021年高考天津卷9）设a ∈R ，函数()()()22cos 22,,215,x a x a f x x a x a x aπ-π<⎧⎪=⎨-+++≥⎪⎩，若函数()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是 （ ）A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B ．7511,2,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．711,2,344⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【解题能力要求】本题主要考查分段函数、函数零点、数形结合思想、转化与化归思想，是难题. 【答案】A【分析】由()222150x a x a -+++=最多有2个根，可得()cos 220x a π-π=至少有4个根，分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出． 【解析】()222150x a x a -+++=最多有2个根，()cos 220x a ∴π-π=至少有4个根，由22,2x a k k ππ-π=+π∈Z 可得1,24k x a k =++∈Z ，由1024k a a <++<可得11222a k --<<-． （1）x a <时，当15242a -≤--<-时，()f x 有4个零点，即7944a <≤；当16252a -≤--<-，()f x 有5个零点，即91144a <≤；当17262a -≤--<-，()f x 有6个零点，即111344a <≤．（2）当x a ≥时，()()22215f x x a x a =-+++，()()()22Δ414582a a a =+-+=-，当2a <时，∆<0，()f x 无零点；当2a =时，0∆=，()f x 有1个零点； 当2a >时，令()()22215250f a a a a a a =-+++=-+≥，则522a <≤，此时()f x 有2个零点；∴若52a >时，()f x 有1个零点．综上，要使()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则应满足7944522a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩或91144522a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩或或1113442a a ⎧<≤⎪⎨⎪<⎩，则可解得a 的取值范围是95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦．【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况． 【方法技巧归纳】较复杂的函数零点个数问题，常转化为对应方程解得个数问题，再通过移项、局部分离等方法转化为两边都是熟悉函数的方程解得个数问题，再转化为这两个函数的交点个数问题，画出对应函数的函数的图象，利用数形结合思想求解. 3.2【典型考题变式】【变式1：改变条件】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) （A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<.【变式2：改编条件】已知函数f（x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}【答案】D【解答】函数f（x）=，可得f（1﹣x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，即为f（1﹣x）=kx﹣k+有三个不同的实根，作出y=f（1﹣x）和y=kx﹣k+的图象，当直线y=kx﹣k+与曲线y=（x≤1）相切于原点时，即k=时，两图象恰有三个交点；当直线y=kx﹣k+与曲线y=（x﹣2）2（1＜x＜2）相切，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k=2（m﹣2），且km﹣k+=（m﹣2）2，解得m=1+，k=﹣2，即﹣2＜k≤0时，两图象恰有三个交点；综上可得，k的范围是（﹣2，0]∪{}，故选D．【变式3：改编结论】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若方程()()=0f x g x - 恰有2个不同的解，则b 的取值范围是( ) （A ）()72,{}4+∞⋃ （B ）()2,+∞ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()(2)0f x f x b +--=有2个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知2b >或47=b ，故选.A.【变式4：改编问法】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =x x 42-，则方程2)(-=x x f 解的个数为 . 【答案】3【解析】当0<x 时，0>-x ，所以x x x f 4)()(2+-=-，因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以)()(x f x f -=-=x x 42+，所以x x x f 4)(2--=，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥-<--=0,404)(22x x x x x x x f ，，所以2)()(+-=x x f x g =⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+--0,250,2522x x x x x x ，由)(x g y =的图象知，)(x g y =有3个零点，所以方程2)(-=x x f 解的个数为3.4.分段函数图像4.1考题展示与解读例4．（2021高考上海卷14）已知参数方程[]334,1,12x t t t y ⎧=-⎪∈-⎨=⎪⎩，下列选项的图中，符合该方程的是 （ ）【答案】B【解析】当0,0,0,t x y ===∴过原点，排除A ；当1t =时1,0x y =-=，排除C 和D ；当31230,340,0,,22x t t t t t =-===-=时，1230,,22y y y ==-=，故选B ． 4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，g （x ）=f （x ）+x +a ．若g （x ）存在2个零点，则a的取值范围是（ ） A ．[﹣1，0）B ．[0，+∞）C ．[﹣1，+∞）D ．[1，+∞）【命题意图探究】本题主要考查利用分段函数图像解含参数函数零点问题，是难题. 【答案】C【解析】由g （x ）=0得f （x ）=﹣x ﹣a ，作出函数f （x ）和y =﹣x ﹣a 的图象如图，当直线y =﹣x ﹣a 的截距﹣a ≤1，即a ≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g （x ）存在2个零点，故实数a 的取值范围是[﹣1，+∞），故选C ．【解题能力要求】数形结合思想、转化思想、分类整合思想、运算求解能力【方法技巧归纳】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为()0F x >的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围.【变式2：改编条件】已知函数()22,0,{ ,0x x f x x x ≤=>，若函数()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是A. ()(),14,-∞-⋃+∞B. ][(),14,-∞-⋃+∞ C. [)()1,04,-⋃+∞ D. [)[)1,04,-⋃+∞【答案】C【解析】()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，等价于()y f x =与()1y k x =-有两个交点，同一坐标系，画出()y f x =与()1y k x =-的图象，直线过()0,1时， 1k =-，直线与()20y xx =≥，相切时4k =，由图知， [)()1,04,k ∈-⋃+∞时，两图象有两交点，即k 的取值范围是[)()1,04,-⋃+∞，故选C.【变式3：改编结论】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，则函数||)(x x f y -=零点个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】A【解析】函数||)(x x f y -=零点个数，即为方程||)(x x f =解得个数，即为函数)(x f y =与函数||x y =交点个数，画出函数()f x 的图象与函数||x y =，由图像知，函数)(x f y =与函数||x y =交点个数0， 所以函数||)(x x f y -=零点个数为0，故选A.【变式4：改编问法】已知函数，则函数f (x )的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】函数，当x ＜0时，函数是二次函数，开口向下，对称轴为x=﹣1，排除选项B ，C ；当x≥0时，是指数函数向下平移1单位，排除选项A ，故选D ．5.分段函数性质5.1考题展示与解读例5【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}【命题意图探究】本题主要考查分段函数的性质及函数方程解的个数问题，考查数形结合思想、运算求解能力，是中档题. 【答案】C【解析】由()f x 在R 上递减可知43020131a a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩，解得1334a ≤≤，由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是123[,]{}334，故选C.【解题能力要求】数形结合思想、分类整合思想、运算求解能力. 【方法技巧归纳】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 5.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，] B ．[，+∞）C ．[，]D ．（，）【答案】C【解析】由于函数f （x ）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，2a≥e ﹣a ，解得a≥．排除A ，D ，当a=2时，x=1可得e x ﹣2x 2=e ﹣2；2a+lnx=4＞e ﹣2，显然不成立，排除B ，故选C ．【变式2：改编结论】已知()2243,0,23,0,x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩不等式()()2f x a f a x +>-在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B.C.D.【答案】A【解析】二次函数243x x -+的对称轴是2x =，所以该函数在(],0-∞上单调递减； 2433x x ∴-+≥，同样可知函数223x x --+， 2233x x ∴--+<，在()0,+∞上单调递减， ()f x ∴在R 上单调递减，；，所以由()()2f x a f a x +>-得到2x a a x +<-，即2x a < , 2x a ∴<在[],1a a +上恒成立，()21;2a a a ∴+<∴<-，所以实数a 的取值范围是(),2-∞-，故选A.【变式3：改编问法】已知函数则下列结论错误的是（ ）A ．f （x ）不是周期函数B ．f （x ）在上是增函数C ．f （x ）的值域为[﹣1，+∞）D ．f （x ）的图象上存在不同的两点关于原点对称 【答案】D 【解析】函数的图象如图所示，则f （x ）不为周期函数，A 正确；f （x ）在[﹣，+∞）递增，B 正确；f （x ）的最小值为﹣1，无最大值，则C 正确；由于x ＜0时，f （x ）=sinx ，与原点对称的函数为y=sinx （x ＞0），而sinx=x 在x ＞0无交点，则D 不正确，故选D ．6.分段函数的综合应用6.1考题展示与解读例2【2018全国卷Ⅰ】设函数2,0()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(1)(2)+<f x f x 的x 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【命题意图探究】本题主要考查分段函数不等式及分类整合思想，是中档题. 【答案】D【解析】当0x ≤时，函数()2xf x -=是减函数，则()(0)1f x f =≥，作出()f x 的大致图象如图所示，结合图象可知，要使(1)(2)+<f x f x ，则需102021x x x x +<⎧⎪<⎨⎪<+⎩或1020x x +⎧⎨<⎩≥，所以0x <，故选D ．【解题能力要求】分类整合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.6.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，则不等式f （x+2）＜f （x 2+2x ）的解集是（ ）A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】函数f （x ）=，可得x≥0，f （x ）递增；x ＜0时，f （x ）递增；且x=0时函数连续，则f （x ）在R 上递增，不等式f （x+2）＜f （x 2+2x ），可化为x+2＜x 2+2x ，即x 2+x ﹣2＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2，则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故选C ．【变式2：改编结论】．已知函数(),0{2,lnx x e f x lnx x e<≤=->，若正实数,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ）A. ()2,e eB. ()21,e C. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 21,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】作出)(x f 的图像，不妨设c b a <<，由图知，201a b e c e <<<<<<,由题知，|ln ||ln |b a =，即b a ln ln =-，所以0)ln(ln ln ==+ab b a ，所以ab =1,则c abc =),(2e e ∈,故选A.【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数y=f （x ）﹣a 有四个不同的零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2+x 3x 4的取值范围为（ ） A ．[4，5） B ．（4，5] C ．[4，+∞） D ．（﹣∞，4]【答案】A【解析】当x ＞0时，f （x ）=x+﹣3≥2﹣3=1，可得f （x ）在x ＞2递增，在0＜x ＜2处递减，由f（x ）=e，x≤0，当x ＜﹣1时，f （x ）递减；﹣1＜x ＜0时，f （x ）递增，可得x=﹣1处取得极小值1，作出f （x ）的图象，以及直线y=a ，可得e=e=x 3+﹣3=x 4+﹣3，即有x 1+1+x 2+1=0，可得x 1=﹣2﹣x 2，﹣1＜x 2≤0，x 3﹣x 4=﹣=，可得x 3x 4=4，x 1x 2+x 3x 4=4﹣2x 2﹣x 22=﹣（x 2+1）2+5，在﹣1＜x 2≤0递减，可得所求范围为[4，5），故选A ．三、课本试题探源必修1 P39页习题1.3 A 第6题：已知函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =)1(x x +.画出函数)(x f 的图象，并求出函数的解析式.【解析】当0<x 时，0>-x ，所以)1()(x x x f --=-， 因为函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数， 所以)1()()(x x x f x f --=-=-， 所以)1()(x x x f -=， 所以函数的解析式⎩⎨⎧≥+<-=0),1(0),1()(x x x x x x x f ，函数图象如下图所示：四．典例高考试题演练一、单选题1．（2021·四川成都零模（文））已知函数2log (2),1()e ,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则(2)(ln 4)f f -+=（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【分析】分别求出()2f -和()ln 4f 的值再求它们的和，从而可得正确的选项. 【详解】()22log 42f -==，()ln4ln 44f e ==，故(2)(ln 4)6f f -+=，故选：C. 【点睛】易错点睛：本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据自变量的大小选择合适的解析式来计算，本题属于基础题.2．（2021·四川射洪模拟（理））定义函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[1.3]1=，[ 1.5]2-=-，[2]2=.当*[))0,(x n n N ∈∈时，()f x 的值域为n A .记集合n A 中元素的个数为n a ，则2020211i i a =-∑的值为（ ） A ．40402021B ．20192021C ．20192020D ．20191010【答案】D【分析】先根据条件分析出当[)0,x n ∈时，集合n A 中的元素个数为222n n n a -+=，进而可得111211n a n n ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，再结合裂项相消法进行求和可得结果. 【详解】因为[][)[)[)[)0,0,11,1,22,2,3......1,1,x x x x n x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪-∈-⎪⎩，所以[][)[)[)()[)0,0,1,1,22,2,3......1,1,x x x x x x x n x x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪-∈-⎪⎩，所以[]x x 在各个区间中的元素个数分别为：1,1,2,3,4,......,1n -，所以当[)*0,,x n n N ∈∈时，()f x 的值域为n A ，集合n A 中元素个数为：()()2121123 (1122)n n n n n a n --+=+++++-=+=，所以()1112211n n a n n ⎛⎫=-≥ ⎪--⎝⎭， 所以2020211111112019212...22112232019202020201010i ia =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑，故选：D. 3．（2021·山东高三其他模拟）已知函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1a ∈B ．3,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．30,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】C 【分析】 将条件()()12120f x f x x x -<-等价于函数函数()f x 为定义域上的单调减函数，由分段函数的单调性要求，结合指数函数、一次函数的单调性得到关于a 的不等式组，求解即得. 【详解】由题意，函数()f x 对任意的12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，即函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩为R 上的减函数，可得0120,123a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-+⎩解得304a <≤，故选:C.4．（2021·江苏南京模拟（理））我们知道，任何一个正实数N 都可以表示成10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈.定义：(),00,0N n W N N n ≥⎧⎨<⎩的整数部分的位数＝的非有效数字的个数，如()()()2211.2103,(1.2310)2,3102, 3.001101W W W W --⨯=⨯=⨯=⨯=，则下列说法错误的是（ ）A ．当1,1M N >>时，()()()W M N W M W N ⋅=+B ．当0n <时，()W N n =-C ．当0,()1n W N n >=+D ．若1002,lg 20.301N ≈＝，则()31W N = 【答案】A【分析】A ．理解()W N 的含义，举例分析即可；B ．根据0n <分析所表示数的特点，由此可得()W N 的结果；C ．根据0n >分析所表示数的特点，由此可得()W N 的结果；D ．先将N 化为10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈的形式，然后计算出()W N 的值.【详解】当[)0,100N ∈时，N 的整数部分位数为2，当[)100,1000N ∈，N 的整数部分位数为3，一般地，)()110,100,1,2,3,4,......n n N n +⎡∈=⎣时，N 的整数部分位数为1n +； 当[)0.1,1N ∈时，N 的非有效数字0的个数为1，当[)0.01,0.1N ∈时，N 的非有效数字0的个数为2，一般地，)()110,101,2,3,4,5,......n n N n +⎡∈=-----⎣时，N 的非有效数字0的个数为n -，A ．取210,10M N ==，所以()()()()33,2,104W M W N W M N W ==⋅==，()()325W M W N +=+=，所以()()()W M N W M W N ⋅≠+，故错误；B ．当0n <时，)11010,10n n n N a +⎡=⨯∈⎣，N 的非有效数字0的个数为n -，所以()W N n =-，故正确；C ．当0n >时，)11010,10n n n N a +⎡=⨯∈⎣，N 整数部分位数为1n +，所以()1W N n =+，故正确； D ．因为1002N ＝，所以lg =100lg230.1N ≈，所以30.110N ≈，所以)303110,10N ⎡∈⎣，所以()30131W N =+=，故正确，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解()W N 的含义以及计算的方法， 通过对10n N a =⨯的分析，首先判断n 与0的关系，然后决定采用哪一种计算方法（类似分段函数）.5．（2021·安徽皖江名校联考）已知函数()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩，方程()10f x -=有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,1)2B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．()1,+∞【答案】B【分析】根据已知条件对a 进行分类讨论：01a <<、1a >，然后分别考虑每段函数的单调性以及取值范围，确定出方程()10f x -=有两解时a 所满足的不等式，由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩，所以0a >且1a ≠， 当01a <<时，()f x 在(,1]x ∈-∞-时单调递增，所以()()max 11f x f =-=； 又()f x 在()1,x ∈-+∞时单调递增，且()()12f x f a >-=， 因为方程()10f x -=有两解，所以21a <，所以102a <<； 当1a >时，()f x 在(,1]x ∈-∞-时单调递减，()()min 11f x f =-=； 又()f x 在()1,x ∈-+∞时单调递增，()()12f x f a >-=， 因为方程()10f x -=要有两解，所以21a <，此时不成立. 综上可得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：B.【点睛】方法点睛：根据方程解的个数求解参数范围的常见方法：方法（1）：将方程解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过图象直观解答问题；方法（2）：若方程中有指、对数式且底数为未知数，则需要对底数进行分类讨论，然后分析()f x 的单调性并求解出其值域，由此列出关于参数的不等式，求解出参数范围.6．（2021·山东济南模拟）若函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．(]0,2C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【分析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得. 【详解】因函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则有2y ax =-在(,2]-∞上递增，()()32ln 1y a x =--在(2,)+∞上也递增， 根据增函数图象特征知，点(2,22)a -不能在点(2,0)上方，于是得0320220a a a >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩ ，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围是(]0,1. 故选：A7．（2021·山西名校联考）已知函数()cos ()ln f x x g x x ==，用max{,}a b 表示a ，b 中的最大值，则函数{}()max (),()(0)h x f x g x x =>的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】分1x >，1x =，01x <<三种情况讨论可得结果. 【详解】 分三种情况讨论：① 当1x >时，()ln 0g x x =>，所以()()0h x g x ≥>，故()h x 无零点；② 当1x =时，(1)cos110f =-<，(1)0g =，所以(1)0h =，故1x =是()h x 的零点；③ 当01x <<时，()ln 0g x x =<，所以()f x 的零点就是()h x 的零点.显然，()cos f x x =(0,1)上单调递减，且(0)10=>f ，(1)cos110f =-<， 故()f x 在(0,1)内有唯一零点，即()g x 在(0,1)内有唯一零点. 综上可知，函数()h x 在0x >时有2个零点. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：分1x >，1x =，01x <<三种情况讨论.8．（2021·北京市十一学校高三其他模拟）已知函数()22,0313,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a->-成立，则满足条件的整数a 的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．无数【答案】C 【分析】作出f （x ）的函数图象，利用直线的斜率，根据不等式只有1整数解得出a 的范围． 【详解】作出f （x ）的函数图象如图所示：()1f x x a--表示点(,())x f x 和点(,1)a 所在直线的斜率，即曲线上只有一个点(,())x f x 且x 是整数和点(,1)a 所在直线的斜率大于零.如图所示，动点(,1)a 在直线1y =上运动.因为(0)0,(1)3,(2)0f f f ===,当[1,0]a ∈-时，只有点(1,3)这个点满足()10f x x a ->-，当[1,2]a ∈时，只有点(0,0)这个点满足()10f x x a->-. 所以a ∈][1,01,2⎡⎤-⋃⎣⎦.所以满足条件的整数a 有4个.故选：C.【点睛】关键点睛：本题主要考查函数的图像，考查直线的斜率，关键在于考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力. 二、多选题9．（2021·重庆高三三模）()f x 是定义在R 上周期为4的函数，且()(](]1,112,1,3x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，则下列说法中正确的是（ ） A ．f ()x 的值域为[]0,2B ．当(]3,5x ∈时，()f x =C ．()f x 图象的对称轴为直线4,x k k Z =∈D ．方程3f x x 恰有5个实数解【答案】ABD 【分析】画出()f x 的部分图象结合图形分析每一个选项即可. 【详解】根据周期性，画出()f x 的部分图象如下图所示，由图可知，选项A ，D 正确，C 不正确；根据周期为4，当(3,5]x ∈时，()(4)f x f x =-==B 正确.故选：ABD.10．（2021·辽宁铁岭二模）设函数()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 值域为[)1,-+∞C ．存在00x <，使得()()00f x f =D ．()f x 与()f x -具有相同的单调区间【答案】BC【分析】根据函数奇偶性的定义判断A ，由分段函数求值域确定B ，由余弦函数性质确定C ，由二次函数及余弦函数的单调性确定D.【详解】因为()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≤-=⎨>⎩.所以()()f x f x -≠，()f x 不是偶函数，故选项A 错误. 当0x ≥时，211x +≥，当0x <时，cos [1,1]x ∈-，所以()f x 值域为[)1,-+∞，故B 正确； 因为()01f =，()21f π-=，选项C 正确.因为()f x 具有单调性的区间与()f x -具有单调性的区间不同，是数轴上关于原点对称的，选项D 错误(由()f x -表达式也可以看出).故选：BC 。
求解分段函数问题
ｘ＋ ＝ ｇ 。 ￣ １ － （ ）
故ｇ 为 奇 函数 。 （）
ｙ
说 明 判 断 函数 奇偶 性 时 ， 应按 照 函数 奇偶
性 的定 义 来判 断 ， 得 注 意 的是 自变 量 取 值 变化 值
时 函数 的表 达式 也 随之 变 化 。
题 型 四 ： 分 段 函 数 的 最 值 求
说明 求 分 段 函数 的 最值 ， 以先 求各 段 函数 的极 值 ， 后取 这 些极 值 的最 值 。 可 然
总之 ， 分段 函数 也 是 函数 ， 处理 其 相关 内容 时 ， 质上 仍 是 按 照求 函数 的思 路 去 解 在 本
决 即可 。●
又≥ ３ ： ・３（） 。 ３且 时 （ ． ） ３ ≥ ） ． ＝ ＝ 丢 ≥吉
且ｆ 。 ｏ） ｆ 专 ２
说 明 在求 分 段 函数 的 函数值 时 ． 当按 白变 量 所取 的值 去选 择 相应 的函数 解 析式 。 应
题 型二 ： 分段 函数 的解 析 式 求
例 ２ 已知 函 数 ｙ ｇ ） 图像 如 图 ， 关 ５ｘ 函数 关 系 式 。 ：（ 的 求ｙ －＠
ｌ ｌ
４
一
／
－
－
Ｉｘ ３（ ３＋ ≤０ ， ）
一
例４ 已知 （ ＝ ＋ （ ≤１， 数最大值 厂 ）｛ ３ ０ ）求函
【ｘ ５（＞ ） －＋ ｘ １ ，
３２ ０ —ｌ
２ ４５ ３ ＼ ＼
解 析 方 法 １ 利 用 数 形 结 合 ， 出分 段 函 数 的 图像 ， 图 中观 察 可 知 道 函数 最 大 值 ： 作 从
ｆ ｘ ＝ 。 ｃ ） ４
方法２利用函数单调性 ， ： 函数厂 ）３＋ 在（ ∞，］ （ ＝ ３ 一 ０ 是增函数 ， 其最大值为３ 函 ；
数形结合法在解答函数问题中的应用
探索探索与与研研究究数形结合法是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，从而实现解题的目的的思想方法．函数图象是由函数在平面上的点的集合构成的曲线.因而函数的解析式和图象是呈一一对应的关系,在一定的条件下,它们是可以相互转化的．在解答函数问题时，我们不妨绘制出函数图象，运用数形结合思想来解题,这样能使复杂问题简单化，抽象问题具体化.运用数形结合思想来解答函数问题的基本步骤是:1.结合函数的解析式绘制出相应的函数图象;2.明确函数图象的性质、特点，尤其要关注函数图象的对称轴、最值点、零点以及单调性，3.联系所要求解（求证）的目标，借助函数图象来分析问题，求得结果.例1.定义max {}a ,b ={a ,a ≥b ，b ,a <b .已知f (x )=max{||x +1+1,2x },g ()x =ax +b .若f (x )≤g ()x 对任意x ≥1恒成立，则2a +b 的最小值是．解析：解答本题，要先求得f (x )的最大值.若采用代数方法求解，需要通过分类讨论来比较||x +1+1与2x 的大小，而借助函数的图象可以直接比较出||x +1+1与2x 的大小，因此本题需采用数形结合思想来解题.解：根据题意画出f (x )=max {}||x +1+1,2x 的图象，如图1所示.要使f (x )≤g ()x 对x ≥1恒成立，只需使g （x ）恒大于f （x ）的最大值即可.由图1可知，当a ≥2时,a ×1+b ≥||1+1+1=3，即a ≥2,a +b ≥3，所以2a +b =a +()a +b ≥2+3=5，即所求的最小值为5.在求含参函数的值域问题时，若用代数方法求解较为复杂，我们不妨将数形结合起来，绘制出相应的函数图象，通过分析函数图象的最值和曲线的变化情况，来建立新的关系式，便可求得参数的取值范围.图1图2图3例2.已知函数f ()x =ìíî2x +1,x ≤0,||lg x ,x >0,若关于x 的方程f 2()x -af ()x +2=0恰有6个不相同的实数解，则a 的取值范围是．解析:本题中的函数是复合函数，直接求解很难，我们需借助函数f (x )的图象，运用数形结合思想来解题.首先将问题转化，令f （x ）=t ，则方程f 2()x -af ()x +2=0恰有6个不相同的实数解,等价于方程t 2-at +2=0在(]1,2上有两个不同的解,然后根据函数的解析式画出函数f （x ）的图象，根据一元二次方程根的分布情况建立关系式，即可求得a 的取值范围.解：令f （x ）=t ，由f 2()x -af ()x +2=0可得t 2-at +2=0，要使方程f 2()x -af ()x +2=0恰有6个不相同的实数解，只需使g （t ）=t 2-at +2=0在（0,2）上有两个解.绘制出函数f （x ）的图象，如图2所示，由图可得ìíîïïïïïïïïg （a 2)<0,0<a 2≤2,g （0)>0,g （2)≥0,解得ìíîïïa <-22或a >22,0<a ≤4,a ≥3,所以22<a ≤3.例3.已知f ()x =||2x -2,若a ≠b ,且f ()a =f ()b =m ,求m 以及a +b 的取值范围.解：作出y =f ()x 的图象，如图3所示.不妨设a <b ，显然函数f ()x 与y =m 的图象有两个交点，所以0<m <2.若a ≠b ,且f (a )=f (b ),则f ()a =2-2a ,f ()b =2b -2,而f ()a =f ()b ，所以2-2a =2b -2，即2a +2b =4，所以4=2a +2b ≥22a ∙2b =22a +b ,即2a +b ≤4，所以a +b ≤2.又因为a ≠b ，所以a +b <2．本题若采用代数方法，通过分类讨论来解题，较为复杂，我们通过绘制函数f ()x 的图象，利用分段函数图象的性质，直观地建立了a ，b 的关系，只要把所求的范围看作求函数的值域问题来求解即可．数形结合思想在解答函数问题中发挥着非常重要的作用，尤其是在解答函数最值、零点、单调性等问题时，将数形结合，可以很容易找到解答问题的突破口和思路.运用数形结合思想解题，能通过图象直观地感知函数的变化趋势，进而得到满足题意的关系式，从而快速解题.这样能有效避免复杂的推理和计算，少走弯路.（作者单位：许辉煌，福建省德化第一中学；指导老师：赖玉枝）56Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
分段函数的几种常见题型及解法
分段函数的几种常见题型及解法关键词：分段函数、定义域、值域或最值、函数值、解析式、图象、奇偶性、单调性、方程、不等式、应用。
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同对应法则的函数，它是一个函数，它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集，由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题型做了一些思考，解析如下：1、求分段函数的定义域和值域例1、求函数x)=22[1,0]1(0.2)2[2.)3xxx xx+⎧∈-⎪⎪-∈⎨⎪∈+∞⎪⎩的定义域，值域。
解析：的定义域为[-1,0](0,2)[2,+)=[-1, +） X∈[-1,0] 2X+2 ∈[0,2]X∈(0,2) —∈(-1,0)的值域为（-1，0）[0,2]{3}=(-1,2]{3} 2、求分段函数的函数值.例2、（2012福建），设f(x)= 100010x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩g(x)= 10x x ⎧⎨⎩为有理数为无理数，则f(g(π))的值为（ ） A ． 1 B.0 C.-1 D. π 解析：=0==0 故选B3、 求分段函数的最值。
例3、求函数f(x)= 43(0)3(01)5(1)x x x x x x +≤⎧⎪+<<⎨⎪-+≥⎩的最大值。
解析：作图：利用“数形结合”易知， max=44、 求分段函数的解析式设X ≥0时，f(x)=2，X<0时f(x)=1，又规定：g(x)= 3(1)(2)2f x f x --- (x>0) ,试写出y=g(x) 的表达式。
解析：当 0<X<1时 X-1<0, X-2<0,∴ g(x)= 312- =1当1≤X<2时 X-1≥0 ， X-2<0, ∴ g(x)= 3212⨯-=52当X≥2时 X-1>0 ， X-2≥0, ∴ g(x)= 3222⨯-=2 g(x)= 1(01)5(12)2(2)2x x x ⎧<<⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩5.作分段函数的图象。
分段函数常见题型解法-含答案
【知识要点】分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题.1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为：1122()()()()n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈⎧⎪∈⎪=⎨∈⎪⎪∈⎩，不要写成1122()()()()n n ny f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈⎧⎪=∈⎪=⎨∈⎪⎪=∈⎩.注意分段函数的每一段的自变量的取值范围的交集为空集，并集为函数的定义域D .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并.4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合.5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】【例1】已知函数)(x f 对实数R x ∈满足)1()1(,0)()(+=-=-+x f x f x f x f ，若当[)1,0∈x 时，21)23(),1,0()(-=≠>+=f a a b a x f x .（1）求[]1,1-∈x 时，)(x f 的解析式；（2）求方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数.（2） )()2()1()1(,0)()(x f x f x f x f x f x f =+∴+=-=-+ )(x f ∴是奇函数，且以2为周期.方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数也就是函数x y x f y 4log )(==和的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像，由图像得交点个数为2，所以方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数为2.【点评】（1）本题的第一问，根据题意要把[1,1]-分成三个部分，即(1,0),1,(0,1)x x x ∈-=±∈,再一段一段地求. 在求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性、对称性等. (2)本题第2问解的个数，一般利用数形结合解答.【检测1】已知定义在R 上的函数()()22f x x =-.（Ⅰ）若不等式()()223f x t f x +-<+对一切[]0,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）设()g x =，求函数()g x 在[]0,(0)m m >上的最大值()m ϕ的表达式．【例2】已知函数()()22log 3,2{21,2x x x f x x ---<=-≥ ，若()21f a -= ，则()f a = （ ）A. 2-B. 0C. 2D. 9【解析】当22a -< 即0a >时， ()()211log 3211,22a a a ---=⇒+==- （舍）； 当22a -≥ 即0a ≤时， ()2222111log 42a a f a ---=⇒=-⇒=-=- ，故选A.【点评】（1）要计算(2)f a -的值，就要看自变量2a -在分段函数的哪一段，但是由于无法确定，所以要就2222a a -<-≥和分类讨论. （2）分类讨论时，注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.当0a >时 ，解得12a =-，要舍去.【例3】【2017山东，文9】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【点评】（1）要化简()()1f a f a =+，必须要讨论a 的范围，要分1a ≥和01a <<讨论.当1a≥时，可以解方程2(1)2(11)a a -=+-，得方程没有解.也可以直接由2(1)y x =-单调性得到()()1f a f a ≠+.【检测2】已知函数210()0xx f x x -⎧-≤⎪=>,若0[()]1f f x =，则0x = ．【例3】已知函数则的解集为（ ）A.B.C.D.【点评】（1）本题中()f x 的自变量x 不确定它在函数的哪一段，所以要分类讨论. (2)当20x -<<时，计算()f x -要注意确定x -的范围，02x <-<，所以求()f x -要代入第一段的解析式.数学思维一定要注意逻辑和严谨. (3)分类讨论时，一定要注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.【检测3】已知函数()()()22log 2,02,{2,20,x x f x f x x --+≤<=---<<则()2f x ≤的解集为__________．【检测4】【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.【例4】判断函数⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f 的奇偶性 【解析】由题得函数的定义域关于原点对称.设0,x <2()f x x x =+,则0x ->，222()()()()f x x x x x x x f x -=---=--=-+=- 设0,x >2()f x x x =-+则0x -<，222()()()()f x x x x x x x f x -=--=-=--+=- 所以函数()f x 是奇函数.【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论. （2）注意，当0x <时，求()f x -要代入下面的解析式，因为0x ->,不是还代入上面一段的解析式.【检测5】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时22)(+=x xx f . （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性（不必证明）；（3） 若对任意的t R ∈，不等式0)2()3(22≤++-t t f t k f 恒成立，求k 的取值范围.【例5】若函数62()3log 2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩(01)a a >≠且的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是 .【点评】（1）分段函数求最值（值域），方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.（2）本题既可以用方法一，也可以利用数形结合分析解答. （3）对于对数函数log a y x =，如果没有说明a 与1的大小关系，一般要分类讨论.【检测6】设()()2,014,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+++⎪⎩，＞若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( ) A. []2,3- B. []2,0- C. []1,3 D. []0,3【检测7】已知函数()()222log 23,1{1,1x ax a x f x x x -+≥=-<的值域为R ，则常数a 的取值范围是（ )A. ][()1123-，，B. ][()12-∞+∞，，C. ()[)1123-，，D. (,0]-∞{}[)123，【例6】若()()3,1{log ,1a a x a x f x x x --<=> 是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）.A. ()1,+∞B. 3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. (),3-∞D. ()1,3【点评】（1）函数是一个分段函数是增函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是增函数；条件二：左边一段的最大值必须小于等于右边一段的最小值. 函数是一个分段函数是减函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是减函数；条件二：左边一段的最小值必须大于等于右边一段的最大值. （3）一个分段函数是增函数，不能理解为只需每一段是增函数. 这是一个必要不充分条件.【检测8】已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是 （ ）A ．()1,2B ．(][),12,-∞+∞C ．[]1,2D ．()(),12,-∞+∞【例7】已知函数()21,0,{log ,0,x x f x x x +≤=>则函数()()1y ff x =+的所有零点构成的集合为__________．【点评】（1）分段函数的零点问题，一般有三种方法，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的. （2）本题由于函数()()1y f f x =+的图像不方便作出，所以选择解方程的方法解答. （3）在函数()()1y f f x =+中，由于没有确定x 的取值范围，所以要分类讨论.【例8()()g x f x k =-仅有一个零点，则k 的取值范围是________.【解析】函数()()22,1{91,1x xf x x x x >=-≤ ，若函数()()g x f x k =- 仅有一个零点，即()f x k = ，只有一个解，在平面直角坐标系中画出， ()y f x =的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，)4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ )4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【点评】（1）直接画()()g x f x k =-的图像比较困难，所以可以利用方程+图像的方法. 分离参数得到()f x k =，再画图数形结合分析. 学.科.网【例9】已知函数关于的方程，有不同的实数解，则的取值范围是（ ）A. B.C. D.【解析】【点评】本题考查了类二次方程实数根的相关问题，以及数形结合思想方法的体现，这种嵌入式的方程形式也是高考考查的热点，这种嵌入式的方程首先从二次方程的实数根入手，一般因式分解后都能求实根，得到和，然后再根据导数判断函数的单调性和极值等性质，画出函数的图象，若直线和函数的交点个数得到参数的取值范围.【检测9】已知函数()()1114{(1)x x f x lnx x +≤=>，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（ ）（注： e 为自然对数的底数）A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第15讲：分段函数中常见题型解法参考答案【反馈检测1答案】（Ⅰ）11t -<<（Ⅱ）()222,011,112,1m m m m m m m m ϕ⎧-+<≤⎪⎪=<≤+⎨⎪->⎪⎩方法二：不等式恒成立等价于恒成立 .即等价于对一切恒成立，即恒成立，得恒成立， 当时，，，因此，实数t 的取值范围是11t -<<．【反馈检测2答案】或1【反馈检测2详细解析】当时，，则，即 ；当时，，则，即。
2.1.4分段函数(2)
x, x 0 已知f ( x) , 则不等式x xf ( x) 2 x, x 0 的解集是 __________________
Байду номын сангаас
题型二、有关分段函数的零点问题
x 2 , ( x 0) 例2.函数f ( x) , 则集合{x | f ( f ( x)) 0} sin x, (0 x ) 中元素的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5
2.1.4 分段函数（2）
学习目标
1.进一步巩固落实有关分段函数的不等式问题
2.会利用数形结合思想解决有关分段函数的零点问题
3.能解决有关分段函数的综合问题
题型一、解不等式
1, x 0 例1、已知f ( x) , 则不等式x ( x 2) f ( x 2) 5 1, x 0 的解集是 __________________
练习
x 已知函数f ( x) , 分别给出下面几个结论： 1 | x | ①函数f ( x)的值域为R；②若x1 x2 , 则一定有f ( x1 ) f ( x2 ); ③函数g ( x) f ( x) x有三个零点其中正确的结论是（ . ） A.② B.①② C.②③ D.①③
练习
| x 1| 已知函数y 的图象与y kx的图象恰有 x 1 两个交点，则实数k的取值范围是 _________ .
2
题型三、分段函数的综合题型
1 ,x0 x 1 例3、已知函数f ( x) , 若不等式f (ax 1) f ( x 2) 1 ,x 0 x 1 在[3, 4]上恒成立，则实数a的取值范围是 ___________ .
九年级数学下册《分段函数的应用问题》教案、教学设计
4.探究性问题：鼓励学生思考分段函数在其他学科领域的应用，如物理学中的速度与时间关系、经济学中的成本分析等。
示例题目：
-请思考并举例说明分段函数在物理学中的一个应用场景，并建立相应的数学模型。
示例题目：
-选择题：下列哪个选项是关于分段函数的正确描述？
-填空题：已知分段函数f(x) = { x+1 (x<0), 2x (x≥0) }，则f(-2) = ______，f(3) = ______。
2.应用题：布置一些与分段函数相关的实际问题，要求学生建立分段函数模型，并解决问题。这些题目可以涉及生活中的例子，如购物优惠、交通工具票价等。
九年级数学下册《分段函数的应用问题》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解分段函数的定义，掌握分段函数的表示方法和性质。
-学生能够描述分段函数在实际问题中的应用场景，如气温变化、税率调整等。
-学生能够运用数学符号准确地表示分段函数，并识别各段的定义域和值域。
-学生能够通过数形结合，分析分段函数的连续性、单调性等性质。
2.分步骤引导，逐步深入。
-教学过程中，应由浅入深，先从简单的分段函数开始，让学生逐步理解其定义和性质，然后过渡到复杂的多段函数。
3.多元化教学方法，促进理解。
-结合小组讨论、案例研究、数学实验等多种教学方法，让学生在互动中学习和理解分段函数。
4.强调数形结合，提高解题能力。
-在教学中，教师要强调数形结合的重要性，引导学生通过绘制和观察图像来辅助分析问题，提高解题效率。
数形结合巧解函数问题
数形结合巧解函数问题作者：姚圣海来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2010年第09期借助图象研究函数的性质是中学数学学习中的一种常用方法.著名数学家华罗庚说过:“数形结合无限好,割裂分家万事休.数无形时难生动,形无数时难入微.”数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,即通过抽象思维与形象思维的结合,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征.本文就数形结合巧解函数问题展开讨论.作为一种数学思想方法,数形结合的应用大致又可分为两种情形:一是借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系,二是借助于数的精确性来阐明形的某些属性.数形结合思想在函数问题中的应用主要侧重于第一种应用情形,即通过“以形助数”优化解题途径.1. 研究函数的值域或最值例1 (1)求函数f(x)=(x-1)2+1,x∈\2x-1的定义域是(-∞,1)∪\解:(1)作出函数图像,如图1-1所示,当x∈\2x的图像,向右平移1个单位后得到y=2x-1,如图1-2所示,当x∈(-∞,1)∪\12,2\〗.图1-1图1-2说明:本题中两类函数,也可从自变量x出发,由内而外,步步推出函数值域,但比较繁琐.尤其是(2)中的函数,分母x-1的范围有正有负,在研究1x-1的范围时需要分情况探究.而用数形结合思想,画出函数图像,可直接观察出函数值域,大大简便了解题过程,增加了解题的准确性.例2 设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.(1)解不等式f(x)>2;(2)求函数y=f(x)的最小值.解:函数f(x)=-x-5 x作出函数图像,如图2所示,(1)不等式f(x)>2的解集是{x|x53};(2)函数y=f(x)的最小值是-92.图2说明:本题函数解析式变形成分段函数形式后,也可分别研究三个一次不等式的解集以及三个一次函数在各自自变量范围内的值域,最后再得出答案,但运算量大,容易弄错.通过研究分段函数的图像,经过简单运算,可直接得到不等式的解集,并从图像最低点的位置得到函数的最小值.2. 研究函数的单调区间例3 写出函数y=log3|x|的单调区间.解:当x≠0时,由于函数满足f(-x)=log3|-x|=log3|x|=f(x),所以函数y=log3|x|是偶函数.它的图像关于y轴对称.如图3所示,函数y=log3|x|的单调减区间是(-∞,0),单调增区间是(0,+∞).图3说明:初等函数y=log3x的图像是基础,利用对称性,作出其关于y轴的对称图像,得到y=log3|x|的图像,从而整体得到函数的图像.直接观察图像,得到函数的单调区间,简便又准确.这种利用图像求函数单调性的方法非常重要,在解决一些函数问题时往往有意想不到的效果.比如研究函数y=log3|x-2|,y=log3|x-a|的单调区间.3. 研究函数的零点例4 已知函数f(x)=2x2-mx-4x+m+10有两个大于2的零点,求实数m的取值范围.解:f(x)的图像开口向上,由题意,f(x)=0有两个大于2的不等实根,如图4所示,Δ=(m+4)2-8(m+10)>0,m+44>2,f(2)=10-m>0,m>8或mm>4, 8图4说明:利用“根的分布”思想,通过图像,直观找到限制条件,一般来说,从三方面控制:①Δ;②对称轴;③区间端点处的值.需要强调的是,运用此类方法,要注意等价性.例5 若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点为x1,x2满足m图5解:f(x)的图像开口向上,如图5所示,显然f(m)>0,f(n)0,则f(m)•f(n)•f(p)说明:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)是连续函数,图像是不间断的曲线,画出草图,直观观察函数值的正负就能解决问题.例6 利用计算器,求方程lg x=3-x的近似解(精确到0.1).解:分别画函数y=lg x和y=3-x的图像,如图6所示,在两个函数图像的交点处,函数值相等.因此,这个点的横坐标就是方程lg x=3-x的解.由函数y=lg x和y=3-x的图像可以发现,方程lg x=3-x有唯一解,记为x1,并且这个解在区间(2,3)上.设f(x)=lg x+x-3,用计算器计算,得f(2)0x1∈(2,3),f(2.5)0x1∈(2.5,3),f(2.5)0x1∈(2.5,2.75)f(2.5)0x1∈(2.5,2.625)f(2.625)0x1∈(2.5625,2.625)∵2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6,∴原方程的近似解为2.6.图6说明:对于在区间\上连续不断且f(a)•f(b)4.研究方程根的情况例7 判断方程log2(x+2)=-x的实数解的个数.解:画出y=log2(x+2)和y=-x的草图,如图7所示,它们一定有1个交点.图7图8说明:通过函数图像的交点个数来研究方程根的个数是非常简便直观的方法,但一定要注意草图位置的相对准确性.例8 若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,求x1+x2的值.解:2x=5-2x,即2x-1=52-x2log2(x-1)=5-2x,即log2(x-1)=52-x作出y=2x-1,y=52-x,y=log2(x-1)的图像,如图8所示,y=2x-1与y=log2(x-1)的图像关于y=x-1对称,它们与y=52-x的交点A,B的中点为y=52-x与y=x-1的交点C,则交点C的横坐标x C=x1+x22=74,∴x1+x2=72.说明:通过图形的对称性找到方程根的关系,但需要借助于数的精确性来阐明形的属性.例9 若方程x+2x-1-1=t(x2-2x+3)|x|有三个解,求实数t的取值范围.解:由题意知,x-1+2x-1=t(x2-2x+3)|x|因为x≠0,且x≠1,化简,得t=1|x|(x-1)即1t=|x|(x-1)=x2-x,x>0,且x≠1,-x2+x,x画出函数f(x)=x2-x,x>0,且x≠1,-x2+x,x函数g(x)=1t与函数f(x)=x2-x,x>0,且x≠1,-x2+x,x所以t图9说明:方程的根的个数与函数图像交点个数密切相关,解题时通过对方程的变形处理把方程根的个数问题转化为研究函数交点个数问题.通过对图像的直观研究解决问题.总之,数形结合的确是一个非常好,也非常实用而且重要的思想方法,应用性强.但它又是一把双刃剑,时时充满诱惑和危险.因此,我们要慎之又慎,扬长避短,合理分析,在直观的同时,要辅有严谨的演绎.(作者:姚圣海,江苏省苏州第十中学)。
利用数形结合解决关于min{f(x),g(x)}, max{f(x),g(x)}的问题
利用数形结合解决关于min{f(x),g(x)),max{f(x),g(x)}的问题解决分段函数的方法通常是两种：分类讨论和数形结合。
min{f(xXg(x)),max(f(x),g(x))是一类特殊的分段函数：min{f(x),g(x)}指在定义域范围内取两个函数中较小的函数，max{f(x),g(x))指在定义域范围内取两个函数中较大的函数。
一般的分段函数通常是对定义域进行分段，min{f(x),g(x)),max{f(x),g(x)}是对值域进行分段。
如，对α,b∈R,记max{a,b}="-，函数/(x)=max{x+l,2x}以下用两种方法来获h,a<b得函数/的解析式1 .分类讨论法当x+l≥2x时，即x≤l时，f(x)=x+l当x+l<2x时，即x>l时，f(x)=2x2 .数形结合法分别作出y=x+l,及y=2x的函数图像(图1)图2根据题意比较两个函数图像的位置关系，由y的值“上大下小”可得y=f(x)的函数图像如右图所示的实线部分(图2)。
由函数图像知，只要求出两函数图像的交点坐标A就可以得到函数y=f(x)的解析式为[x+l,x≤12x,x<1/(x)=< ,同理可得min{x+l,2x}二4 。
[2x,x>l [x+l,x›l对于较为简单的两个函数用分类讨论的方法也很方便，但是如果min{f(x),g(x)},max{f(x),g(x)}中的f(x),g(x)比较复杂时，分类讨论就会显得费时费力，还会有分类不完全的担忧。
例(2006年浙江)对α,b∈R,记max{a,b}=,，函数f(x)=max{∣x+1∣,∣x-2∣)(x∈R)b,a<b的最小值是()2图3方法总结:解min{f(x),g(x)},max{f(x),g(x)}的问题分两步走：第一步，画图像；第二步,求交点坐标。
变式.对α,记max{a, 函数/。
)=0^乂{次+1],|1一帆|}(%€氏)的3最小值是不，则实数m的值是( )2A.2B.-4C.3D.2或・43 解析：对m的值进行分类讨论：(1)当m>-l时，如图4(2)m<-l时如图5;由最小值是2,可得mw ・l观察图4和图5可知，f(X)的最小值在函数y=∣x+l∣与函数y=∣x-叫的交点处取得。
分段函数常见题型的解法
2014-05教学实践分段函数对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。
它是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。
由于课本没有明确给出分段函数的定义，只以例题的形式出现，不少学生对它的认识肤浅模糊，以致解题常常出错。
本文归类介绍分段函数的若干种题型及其解法，以供大家参考.题型一：求函数值例1.（2012年山东高考卷8）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +6）=f （x ），当-3≤x <-1时，f （x ）=-（x +2）2，当-1≤x <3时，f （x ）=x 。
则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2012）=（A ）335（B ）338（C ）1678（D ）2012分析：本题为已知分段函数求值问题，此函数有两段表达式，利用函数的周期性将自变量化到已知段上来求值.解析：（-3）=-1，f （-2）=0，f （-1）=-1，f （0）=0，f （1）=1，f （2）=2，而函数周期为6，f （1）+f （2）+···+f （2012）=335（-1+0-1+0+1+2）+f （1）+f （2）=335+3=338.答案应选B.例2.已知函数f （x ）=-x 3，x ≤0x 2+2x ，x >0,若f(a )=8，求a.分析：本题为已知函数值求自变量，应分段求a 值，将符合要求的a 值并起来即可，a =±2。
题型二：求函数值域或最值例3.已知函数f （x ）=2x-x 2，0≤x ≤3x 2+6x ，-2≤x <0的值域为分析：分段函数的值域为各段函数值域的并集，分别求出各段的值域即可，值域为［-8，1］例4.设a >0，函数f （x ）=x 2+a ln x -1，求函数f （x ）在［1，+∞）的最小值.分析：去绝对值后可化为分段函数，然后分段求最小值，再比较各段的最小值确定函数的最小值。
第二节 利用数形结合求解函数问题
A∩B第二节 利用"数形结合"求解函数问题“数”和“形”是数学学习的两个基本对象，对于一些问题，单纯的从“数”的角度去分析探求需要分类讨论，运算会较繁冗，因此应当设法从“形”的角度去构造直观图形来刻划问题的条件和结论，使错综复杂的关系变得清晰可辨，解题思路顿开。
本文仅针对函数的几个问题进行讨论“数形结合”，而“数形结合”的题型远不止函数的这些题型，我们应根据题目的结构特征，提倡使用“数形结合”。
1.利用数形结合求函数的定义域面对求函数的定义域问题，有些人常常是顾此失彼，所以在看到题目后，首先的应该把所有使函数有意义的条件列出，待求出所有满足条件的解后用相应的图形表示出来，再逐一判断，这样才能尽量避免失误，得出正确的答案。
例1.已知函数f(x)的定义域是[a,b]其中a<0<b 且|a|>b,求函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域。
分析：若g(x)的定义域为M,f(x)f(-x)的定义域分别为A 、B ，则有M=A ∩B ，利用数轴分析得知，阴影部分即为所求。
如图解：∵函数f(x)的定义域为[a,b] ∴a ≤x ≤b若使f(x)e 有意义，必须有a ≤－x ≤b ，即有－b ≤x ≤－a∵a ＜0＜b ∴－b ＜0＜－a 又∵|a|＞b ＞0 ∴.a ＜－b ∴函数g(x)的定义域{x|a ≤x ≤b}∩{x|－b ≤x ≤－a}={x|－b ≤x ≤b} 小结：这样的题目要是改为选择题，图形一画那就简单明了，不用解题，要是象上面的求解，画出图形有助于解题。
2.利用数形结合求函数的值域对于一些给了的定义域求值域的函数，若只采用代数的方法思考问题，往往会太过于抽象或无从下手。
但如果根据函数的定义，引入图象，使所求的问题具体化，可从图中一目了然，则达到事半功倍的效果。
例2.求函数y=|x+3|－|x+1|的值域。
分析：就自变量x 的范围讨论去掉绝对值，将函数表示为分段函数，画出分段函数的图象，由图象即可得y 的范围⎪⎩⎪⎨⎧-+=2422)(x x f 3131-≤-≤≤--≥x x x函数的图象如图，由图象即可得y ∈［－2，2］。
求解函数问题策略三之数形结合一望而解
求解函数问题策略三：数形结合一望而解
翻开近年的高考题仔细看，可以发现，这些较难试题所涉及的知识点都是函数题。
想一想也正常，函数具有抽象性、灵活性、应用性。
那么，当我们面对这些函数题时，该如何应对呢?
解决方案：数形结合一望而解
“数少形时缺直观，形少数时难入微”它准确的告诉我们：数形结合，相得益彰;利用数、式进行深入细致的分析;利用图形直观又可以看出数、式的内在关系;
点评：本题通过图形，立即发现函数是增函数，从而将函数值的不等关系转化为二次不等式，方便、快捷的产生了结论。
点评：本题不仅要会画图，更重要的是善于分析图形的关系，当然，如果图形画的比较准确的话，凭直觉也许能提出较准确的猜想。
数形结合妙解2009高考中的分段函数问题
数形结合妙解2009高考中的分段函数问题
祁居攀
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2009(000)009
【摘要】借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法，函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，尤其分段函数更能体现数形结合的特征与方法．本文以2009高考中出现的几道分段函数题为例，为大家展现数形结合的妙用．
【总页数】1页(P16)
【作者】祁居攀
【作者单位】甘肃省临泽一中,734200
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.浅说2009年高考中的分段函数 [J], 左月求
2.巧用“数形结合”，妙解含参数的函数单调性问题 [J], 刘克江
3.提高数学整体与部分阅读,妙解函数的数形结合问题 [J], 王小伟
4.浅说2009年高考中的分段函数 [J], 左月求
5.探析“数形结合”,妙解二次函数、方程、不等式问题 [J], 唐渭明
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方法技巧专题32 数形结合(解析版)
方法技巧专题32 数形结合 解析篇【一】函数图象数形结合法1.例题【例1】设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为2π的偶函数，)(x f '是)(x f 的导函数．当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，0)(2>'-x f x ）（π.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．8【解析】∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，f (x )是最小正周期为2π的偶函数，∴当x ∈[－3π，3π]时，0≤f (x )≤1. ∵当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎫x －π2f ′(x )>0，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )为单调减函数； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，f (x )为单调增函数， ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝f (x )的草图如图，由图知y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C.【例2】在R 上定义的函数()f x 是偶函数,且()(2)f x f x =-,若()f x 在区间[12]，上是减函数,则()f xＡ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数 Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数 Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数 【解析】 f （x ）= f （－x ）= f （2－x ），故f （x ）的草图如图：由图可知，B 正确。
2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解之和为( ) A ．－7 B ．－6 C ．－3 D ．－1答案 A【解析】因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设7个解中x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A.【练习2】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1(x ≤0)，f (x －1)(x ＞0)，若方程f(x)＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)答案 C【解析】函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1(x ≤0)，f (x －1)(x ＞0)的图象如图所示，当a<1时，函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f(x)＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．【二】几何意义数形结合法—线性规划问题1.例题【例1】如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则yx 的最大值为( )A.12B.33C.32D.3【解析】方程(x －2)2＋y 2＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M (2,0)，半径为r ＝3(如图)，而yx ＝y －0x －0则表示圆M 上的点A (x ，y )与坐标原点O (0，0)的连线的斜率．所以该问题可转化为动点A 在以M (2,0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值． 由图可知当∠OAM 在第一象限，且直线OA 与圆M 相切时，OA 的斜率最大， 此时OM ＝2，AM ＝3，OA ⊥AM ，则OA ＝OM 2－AM 2＝1，tan ∠AOM ＝AMOA ＝3，故yx 的最大值为3，故选D. 答案 D【例2】已知实数x ，y 满足不等式组2435y x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z=y ﹣mx 取得最大值时有唯一的最优解（1，3），则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＜﹣1 B ．0＜m ＜1 C ．m ＞1 D ．m≥1【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，由z=y -mx ,得y=mx+z ,即直线的截距最大，z 也最大 当m=0,此时y=z ,不滴足条件；当m>0,直线y=mx+z 的斜率k=m>0,要使目标函数最大时有唯一的最优解（1，3）， 则直线y=mx+z 的斜率m>1当m<0,目标函数y=mx+z 的斜率k=m<0,不滿足題意. 综上，m>1.故选：C.:2.【练习1】设点P (x ，y )满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+110103y x y x y x ，则y x －x y的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.⎣⎡⎦⎤－32，32C.⎣⎡⎦⎤－32，1 D ．[－1,1] 答案 B【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2,1)，B (1,2)，令t ＝y x ，f (t )＝t －1t ，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t －1t 在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －xy的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，32.【练习2】若函数f （x ）=x 2+ax+2b 在区间（0，1）和（1，2）内各有一个零点，则31a b a +--的取值范围是 A ．（14，1） B ．（34，32） C ．（14，54） D ．（54，2） 【答案】D【解析】∵函数f （x ）=x 2+ax+2b 在区间（0，1）和（1，2）内各有一个零点，∴(0)20(1)120(2)4220f b f a b f a b =>⎧⎪=++<⎨⎪=++>⎩，求得012020b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩， 它所表示的区域为△ABC 内的部分，【三】圆锥曲线数形结合法1.例题【例1】已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，－1B.⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)【解析】点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F ，过点P 作准线的垂线，垂足为S ，则|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故当S ，P ，Q 三点共线时取得最小值，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，设点P 的横坐标为x 0，代入y 2＝4x 得x 0＝14，故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，－1，故选A. 1.圆锥曲线数形结合法：是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点： ①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等；②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解；③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．2.破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种： ①通过数形结合建立相应的关系式；②通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．答案 A【例2】设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D.5 答案 D【解析】如图所示，设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ，连接OQ ，则OQ ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2，O 为F 1F 2的中点， 所以|PF 1|＝2|OQ |＝2a .又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝4a .在Rt △F 1PF 2中，由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，得4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2，即e ＝ca ＝ 5.2.巩固提升综合练习【练习1】已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－2，12 【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PQ |＋|P A |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |.因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12.【练习2】如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】抛物线x 2＝4y 的焦点为（0，1），准线方程为y ＝﹣1，圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1），与抛物线的焦点重合，且半径r ＝2， ∴|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ， ∴三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3，∵1＜y B ＜3，∴三角形ABF 的周长的取值范围是（4，6）．【四】数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用1.例题【例1】函数f (x )＝2x －1x 的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B【解析】在同一平面直角坐标系下，作出函数y 1＝2x 和y 2＝1x 的图象，如图所示.函数f (x )＝2x －1x 的零点个数等价于2x ＝1x 的根的个数， 等价于函数y 1＝2x 和y 2＝1x 图象的交点个数. 由图可知只有一个交点，所以有一个零点.故选B. 【例2】方程lgx = sinx 的实根的个数为 （ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】画出y = lgx 和y = sinx 在同一坐标系中的图象，如图所示，两函数图象有3个交点，选C.2.巩固提升综合练习【练习1】若关于x 的方程||x x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________.答案 ⎝⎛⎭⎫14，＋∞由图可得0<1k <4， 解得k >14.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 【练习2】已知函数f (x )⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋1，x ≤1，ln x ，x >1，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎭⎫14，1e【解析】画出函数f (x )的图象如图所示，由图可知，要使直线y ＝ax 与函数f (x )有两个交点，当y ＝ax 与y＝x 4＋1平行时，显然有两个交点，此时a＝14.当a >14时，只需求出当直线y ＝ax 和曲线y ＝ln x 相切时的斜率即可.由于相切时交点只有1个，故结合图象知，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，1e .【五】数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用1.例题【例1】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0) 答案 D④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0). 故选D.方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，∴函数f (x )的图象如图所示.由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x . 此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x ). 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0).故选D. 【例2】若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12解析 作出y 1＝|x －2a |和y 2＝12x ＋a －1的简图，如图所示.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤2－2a ，a －1<0，故a ≤12.2.【练习1】设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________.答案 [2－1，＋∞)【解析】集合A 是圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是[2－1，＋∞).【练习2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2ax ，x ≥1，2ax －1，x <1，若存在两个不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则实数a的取值范围为________. 答案 [0，＋∞)解析 根据题意知f (x )是一个分段函数，当x ≥1时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为x ＝a ；当x <1时，是一个一次函数.当a >1时，如图(1)所示，符合题意；当0≤a ≤1时，如图(2)所示，符合题意；当a <0时，如图(3)所示，此时函数在R 上单调递减，不满足题意.综上所述，可得a ≥0.【六】数形结合思想在圆与直线问题中的应用1.例题【例1】已知实数x、y满足x2＋y2=3（0y≥），求（1）13ymx+=+，（2）b=2x+y的取值范围。
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数形结合巧解分段函数问题
作者: 日期:
数形结合巧解分段函数问题-中学数学论文
数形结合巧解分段函数问题
湖北武汉关山中学刘元利张璟怡
在数学研究过程中，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，数形结合是历年高考的重点和热点之一。
而分段函数作为一类特殊的函数,凡是函数中所涉及到的内容，它都有可能涉及到，如求分段函数的定义域和值域、极值和最值、判断其奇偶性、对称性、单调性、周期性，作图象等在历届高考中也都有所体现，解决这些问题的主要思想方法有数形结合、等价转化及分类讨论等三种方法。
本文仅从数形结合方面来求解分段函数问题作了一些整理和归纳，以供参考。
一、求分段函数的定义域、值域及最值
例1.对任意实数x，设f (x)是4x+1,x+2,-2x+4 三个函数中的最小值，求f (x )的最大值
分析：4x+1,x+2,-2x+4 三个中哪个会最小呢？三个都有可能，因而要进行
讨论，故f (x)应为分段函数
解：依题意知，
所
2
求分段函数的单调区间
-
由伺\町知屮 2・对于给定的正数心定文附数川A ） 解徘主三-1
或 （X ）的解析式是解题关键，再作图象求最值比分类讨论求值 评注：先找出 -W 作岀兀图象如M 2所示.由
作岀尸沢幻的岡象如圈 函数屮耳庖弋当时心壬炳数A ⑴的单碉区间为］
£1>-匚即.由/（灯輕*
比较要好得多，有时数形结合法就是一种最佳之法。
2呵知/（A ■啲逮增区间为（-X.-I ］，ii （
例2X 2009年湖南卷［设两数/(iWoc ,4®)内有定 |
/( x )./(x J W *
11 ,_/■( jc )乂
2 JI
4K +L *
评注：这是一种自定义函数的题型，具有创新意识，要弄懂定义求出函数解
析式
三、求函数的零点个数
4^-4 * W 」
例3.设爾数f")二i
，则函数讯小寸(工卜
的零点个数为 ____ . 解：g (x ) =f (x ) -Iog4x 的零点个数，即为f (x ) =log4x 的方程根的个 数，即为y=f (x )与y=log4x 的图象交点的个数。
在同一直角坐标系中分别作 出他们的图象如图3所示。
由图3可知，两个图象有三个交点(图3中A,B,C ),故g (x )=f ( x )-Iog4x 的零点个数有3个。
P'/
例4J2D10年江苏卷记知代工)二 ・则满M
* 1・曲) 不竽式* 1-A?)”(2v 啲X 的燃值砌11圧
懈4 分析：若通过代解析式来解不等式，则需要讨论四种情况，且出现四次不等 式，显然麻烦还不一定解得出来。
解：作出y=f (x )的图象如图4所示，欲使f (1-x2 ) f (2x )，则必有
求 x 的范 BJ 为(-i.vT-i ).
，解得-iud 或o ,故所
2x5=0
图2
图3
评注：由图象知，当x约0时，f (2x) =1,欲使f (1-x2 ) f (2x),贝U只须
1-x20，足可保证f (1-x2 ) 1 ;当x > 0时，欲使f (1-x2 ) f (2x),则必须借
助单调性求解。
本题看似简单，但稍不注意和仔细分析，解题就有可能进入死胡同。
五、求参数范围
f I ]nx I
例5启知甬数jGb；•若味弘互不相
I, —( X—r—l 工X
號且畑弓则4的取值范圉为]),
LIO) (:』J
解：作岀瞄號fix咁勺I树爵如岡、所川•不抵设T论
一69为b )才(芒)*山题庫町知0<«< L <b茎範.则a)=
| Jnc | =—}= | Ini | =—所叫Ina |
= |】n6 |、即-I EIO TM,二O6M i”又
*的取值也隅为
nhc的収值世例为(e，“ 1 ).选U
评注;数形结合可使星朶何
题简单化*本JH若不借助图象*分
类讨论会有名种情況■不易求解。