M大理论教程 兵法 最简 Span和曲面连续性和有理均匀
高等数学课件D851曲面方程
曲面方程的优化方法
梯度下降法：通过迭代求解，找到最优解 牛顿法：利用二阶导数信息，加速求解过程 拟牛顿法：通过近似Hessian矩阵，提高求解效率 共轭梯度法：利用共轭梯度信息，提高求解精度
曲面方程的近似解法
泰勒级数法：将曲面方程展开为泰 勒级数，然后求解
蒙特卡洛法：使用随机采样的方法 求解曲面方程
a. 建立曲面方程的图形表示 b. 利用几何关系求解曲面方程 c. 验证求解结果
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅的阐述观点。
数值法求解曲面方程的案例
案例背景：求解一 个复杂的曲面方程
数值方法：采用有 限元法、边界元法 等数值方法
求解过程：建立数 学模型，进行数值 计算，得到解
数值法求解曲面方程
数值积分法：通过数值积分求 解曲面方程
差分法：通过差分求解曲面方 程
迭代法：通过迭代求解曲面方 程
牛顿法：通过牛顿法求解曲面 方程
几何建模中的应用
曲面方程在几何建模中的应用广泛，如曲面建模、曲面分析等 曲面方程可以帮助我们理解和分析曲面的性质，如曲率、方向等 曲面方程还可以帮助我们进行曲面的变形和优化，如曲面的平滑、扭曲等 曲面方程在几何建模中还可以用于曲面的渲染和可视化，如曲面的着色、光照等
曲面方程的分类
显式曲面方程：通过方 程显式表示曲面
极坐标曲面方程：通过 极坐标方程表示曲面
柱面方程：通过柱面方 程表示曲面
双曲曲面方程：通过双 曲曲面方程表示曲面
椭圆面方程：通过椭圆 面方程表示曲面
隐式曲面方程：通过方 程隐式表示曲面
参数曲面方程：通过参 数方程表示曲面
球面方程：通过球面方 程表示曲面
汇报人：
代数法求解曲面方程的案例
兵法——最简1Span
NURBS的Span在讲Span（跨度）之前，先说一下阶数。
阶数degree也称作级数。
它跟Span息息相关，那么它扮演的是什么样的角色呢？从数学上来看，它代表方程式中的最高次方。
例如：直线方程式X+Y=C，明显都是一次方，所以直线被称为“一次线”，Degree=1。
二次方程式，例如：圆、椭圆....还有三次方的，例如渐近线。
不过这些太数学了，很多人都会看着头昏。
回来看Degree=1时，曲线至少保证两个控制点，也是直线的最低要求条件。
所以Degree=1时，需要最少两个到无限多个控制点数。
Degree=2，为弧。
至少需要三个控制点，常说“三点定弧”，“三点定圆”。
所以照这样下去......可以得到如下等式：这是最精简的公式，CP可以无限大。
这是目前NURBS的技术。
早期没有NURBS时，cp=degree+1 公式永远成立，没有例外的。
也就是说你想画条10个控制点曲线，按照公式一定要用9阶线。
NURBS发明之后,出现一个新技术叫做knot,翻译成“节点”。
我们可以理解成“在绳子上打结”。
例如：按公式我画3阶曲线，就需要4个控制点。
如果我想画拥有5个控制点的3阶曲线，就需要用到NURBS的Knot技术。
将一绳子打个结，每个结可以多一个控制点，依此类推。
所以又有个公式了3阶5个控制点是1个节（结），3阶6个控制点2个Knot。
5阶8个控制点就有2个节点。
......这是固定的！阶数好比绳子的材质，有麻绳、橡皮绳等等，弹性各不一样。
直线1阶，好比钢条，不可弯曲；2阶的弧线像铁线，可以弯，但不够软；3阶就类似橡皮绳，很有弹性，可以任意拉伸；更高阶，......自己想比喻。
这些材料的形状都是有限的。
因为不够长，想要让它长长些，就要接。
接就要打结，打结在NURBS中就是节点Knot。
一个没有打过结的曲线，叫做最简曲线。
因为没有被接过，就是我们常说的1Span（Span：knot跟knot之间的间隔）。
如上图是一条三阶线。
第四章曲面论基本定理
关的，与 E 3 中直角坐标变换是无关的，因而与曲面在 E 3 中的刚体运动也是无关的。总之，
,
Γ
1 12
= Γ121
=
1 EG − F 2
G 2
∂E ∂v
−
F 2
∂G ∂u
,
Γ 122
=
1 EG −
F2
G
∂F ∂v
−
G 2
∂G ∂u
−
F 2
∂G ∂v
,
Γ
2 11
=
1 EG −
F2
−
F 2
∂E ∂u
−
E 2
∂E ∂v
+
E
∂F ∂u
,
（13）
下在我们引进用第一类基本量（ gαβ ）将一组带指标的量的上指标或下指标下降或上升
的概念。命
bβ γ = bβξ g γξ
（14）
把 bβ γ 看成是将 bβγ 的指标 v 借助于（ gαβ ）上升的结果，这个过程是可逆的。即
bβγ = bβξ gγξ
故 bβγ 恰是将 bβ γ 的指标借助于（ gαβ ）下降的结果。（ bβ γ ）这组量与（ bβγ ）是彼此
Γ121
=
1+
f y f xx
f
2 x
+
f
2 y
,
Γ
2 12
= Γ 2 21
=
1+
第二章 曲面论 2.3 曲面的第二基本形式
故这个公式的几何意义为：R为Rn在（C）的密切
平面上的投影，由于它们的端点为曲率中心C和法 曲率中心C0，因此几何意义可叙述成： 梅尼埃定理：曲面曲线（C）在给定点P的曲率中心C就是与曲 线（C） 具有共同切线的法截线（C0）上同一个点P的曲率中 心C0在曲线（C）的密切平面上的投影。 四、一个例，球面。
由于
r ur v r u v r u 2 2r uv r v2 r u r v vv v r uu uv u
所以
2 2 2 n r ds n ruu du 2n ruv dudv n rvv dv
4）若 L M N 0 ，则称P为曲面的平点，这时杜邦指标线 不存在。 例：平面上的点为平点。 因为平面方程为 r r0 ua vb 它的二阶微商全为零，因此第二类基本量全为零。
3、4 曲面上的渐近方向与共轭方向 一、曲面的渐近方向与渐近线 1、定义：如果P是曲面的双曲点，则它们的杜邦指标线有一对 渐近线，我们把沿渐近线的方向(d)称为曲面在P点的渐近方向。 设L，M，N在P点的值为L0，M0，N0，则由解析几何知，这 两个方向满足方程
ruu n ru nu 0 ruv n ru nv 0 rvu n rv nu 0 rvv n rv nv 0
L ruu n ru nu
M ruv n ru nv rv nu N rvv n rv nv
3.3 杜邦指标线 一、杜邦指标线
为方便，取P点为坐标原点，坐标曲线在P点的切方向为ru , rv
(M大理论教程)兵法----最简1Span和曲面连续性和有理均匀
M大理论教程)兵法----连续性曲面Part01记录付费主题, 价格:M币 5 元对直线做G2连续的数学涵义先向各为介绍这王教授简历：CAD&CG高科技奖、一等奖获得者：王国瑾教授（浙江大学数学系）。
男，1944年10月生。
主要研究方向为计算器辅助几何设计与图形学。
现为浙江大学数学系教授，博导。
以下向王教授求证所言：按数学上的观点来看，我认为你们对NURBS曲线理解欠妥。
因为一般一次NURBS曲线，也就是一段直线。
把它与已知直线做连续拼接，那是无实用价值的平凡情况，且是无限阶连续。
所以你的事情应当是指3阶NURBS曲线与已知直线做连续拼接，那肯定是G1连续，做不到G2连续。
因为G2连续必须两者在拼接点有公共的曲率圆ICAD 曲面设计人员参考手册中这样描述：C0 连续性意味着两个相邻段间存在一个公共点（即两个段相连）。
C1 意味着有一个公共点，并且多项式的一阶导数（即切向矢量）是相同的。
C2 意味着一阶导数和二阶导数都相同。
几何连续性没有数学连续性严格：G0和C0的意思相同，即两个段在位置上的连续。
G1意味着切向矢量的方向相同，但模量不同。
G2意味着曲率相同，但二阶导数不同。
下面为问答：C：从数学上是否意味着任何2次以上的曲线对着直线(1次)做G2连续,最高只能得到G1?王教授：对, 只能得到G1。
C：直线曲率=0, 只要曲线末端曲率=0, 就可以称为G2, 这样的理论正确吗?王教授: 错误, 因为曲线末端曲率=0是不可能的C：那么从数学上如何解释呢?王教授: 曲线上任何一点(包括末端)处的密切圆的半径都是一个有限数, 而此点处的曲率为以上半径值的倒数, 故不为0。
以下为结论：不论Gcon如何该改判定, 只是为了减少使用者的争议, 就数学上来说直线只能做到G1。
Cafer跟Mikko 讨论后决定未来Rhino V4 Gcon判定：另一边由曲线接直线接G2这里的认定，因为与直线端点一样是没有曲率的（曲率圆无限大），所以"曲率圆无限大=曲率圆无限大"，改为判定为G2。
第二章 弹性力学的基本理论
2
0 0 0
0 0 0
0
0
0
x （2－18）
y
0 0 0
0
0
z
yz
0 0
0
0
66
zx xy
61
弹性力学简明教程
二、平面问题
平面问题｛ 平面应力问题 平面应变问题 1、平面应力问题:
z zx zy 0
xz yz 0
由（2－15）式知：
z
fy
0
(2-4)
xz
x
yz
y
z
z
fz
0
x
0
0
0
y 0
0
0 z
0
z y
z
0
x
x
y x
0
36
y
z yz
zx xy
61
fx fy fz
31
0 31
H P 0
36
61
31
31
(2-6)
弹性力学简明教程
二、空间问题的平衡微分方程
弹性力学简明教程
§2 平衡微分方程
一、平面问题的平衡微分方程
y
y
y
dy
x
fy
yx
yx
y
dy
xy
xy
x
dx
y
xy
dy c dx
fx
yx
x
x
x
dx
o(z)
x y
平衡微分方程：
Fx 0 Fy 0
微元体：厚度为1
平面问题的特点：
一切现象都看作是在一个平面内发生的
Fx 0 Fy 0
Mc 0
有关曲面连续的介绍
有关曲面连续的介绍(ZT)对这方面知识很缺乏,最近又因为需要用上,所以加紧补上,发现这一块还是挺难的,虽然我们目前的项目还不需要要到A级曲面,但是还是很有必要把一块的概念理清,发现要理清这些概念也不是一件容易的事,什么A 级,B级,什么G0-G1-G2…连续,有时被整得都晕了,还是踏踏实实先把这些概念理清楚了,再计划学习~关于A级曲面的定义A级面介绍：1.轮廓曲面–通常都是A级曲面，这样的曲面通常都要求曲率连续，沿着曲面和相邻的曲面有几乎相同的曲率半径（相差0.05或更小，位置偏差0.001mm或角度相差0.016度。
）2、A级曲面用高光等高线检测时显亮的曲线–这些曲线应该有一个共同的曲率特征，等高线连续且过度均匀、逐渐的发散或收缩，而不是一下子汇集消失到一点3、A级曲面上的控制点也应该按一定的规律分布，一行控制点与另一行相邻的控制点的角度变化应该有一定的规律可循，这是画高质量的曲线所必需的4、A级曲面模型的曲面的边界线又该可以被编辑、移动以生成另外一个曲线，同时这个新生成的曲线可以重新加入曲面来控制区面。
6、贝塞尔曲面的阶次和控制点数目一般应该是六，有时候可能会更高7、是说关于拔模角度、对称性、间歇以及同相关曲面德关系等都要考虑。
这个要求我们在造型是对相关的工程问题也要予以足够的重视。
8、这是专门就曲率的变化来说的，光是曲率连续是不足以做出class a的曲面的。
还要求曲率的变化本身也是光顺的，实际上就是引出了G3的概念。
当然并不是说class a要求G3，但是比较接近G3的品质对曲面的品质肯定是有好处的。
[/list]CLASS A 曲面没有十分严格的数学描述也没有十分严格的概念定义有个等于没有解释的解释：VERY SIMPLE AND VERY BUEATIFUL SURFACE。
1、一般CLASS A的阶次与控制点数目都不多，UV方向大概在6~8个控制点2、单独一个CLASS A曲面在UV方向都保证曲率的连续性及变化趋势的一致3、CLASS A曲面之间的连接至少满足切向连续4、使用多种数学检验方法来检验CLASS A曲面，不应该出现视觉上的瑕疵。
Rhino连续性曲面样例(台湾M大理论教程)
曲面的连续性几乎都是逼近的。
做个实验，这里有两个曲面我们用BlendSrf G2混接它们，你认为它会是G2吗？阶数是3没错，但只能是逼近G2。
为什么它不是正真的G2呢？Blend的精度是由设定好的公差值影响的。
依照公差值去逼近两面达到G2。
我们把模型放很大时就会看到有裂缝这个裂缝就是公差值范围内的，所以BlendSrf做出来的曲面都是逼近的。
而斑马纹原理也是逼近的，那测出来就更不准了。
所以说斑马纹只能测个大概，不可能无限的去放大后都还能接顺的。
既然斑马纹测不准，那就只有曲率梳了，只有它能测出是否绝对的G2。
那么要怎么做才能是绝对G2呢？先想想怎样能让两条线完全重叠。
控制点位置相同、阶数相同、均匀、有理。
简单的说，只要两条线属性完全相同，就能重叠。
或者说复制上去的曲线就可以了重叠。
因此，除非两个曲面属性完全相同，否则不可能两边能100％无缝接。
这跟Span数量无关，只要两曲面的衔接向的UV属性相同就可以无缝隙。
例如，曲面a的U衔接曲面b的V，只要曲面a的U跟衔接曲面b的V属性一样就行了。
属性包含控制点数量、阶数、有无理、是否均匀。
四大属性一致就能无缝隙。
就以刚才的两曲面来举例，它们是镜像的，属性自然相同，match后就能100％无缝隙，不论你放大多少倍，都不会有缝隙。
平时建模，遇到四大属性不同时，想办法把它们弄成相同，不然就只能是逼近。
很多人建模ISO十分复杂，就是逼近的原因。
但我们建模不求全部100％相同，至少有一部分做到100％相同。
这样就能大大简化曲面。
能避免逼近。
就尽量不去逼近。
什么情况是不能避免的呢？例如：剪切边，剪切本身就是一个逼近的命令。
投影也是一样的原理，曲线要投影在曲面上，既然不属于曲面本身的ISO 线，就是逼近了。
切割Split也是逼近的，除非Split ISO。
SW2是一个全能的命令，逼近、互补、最简都能做。
像刚才的例子中，两曲面的边都不是剪切边，接G2就没必要用逼近了，这里可以选择用SW2做无缝G2连续的混接面。
曲面论知识点总结
曲面论知识点总结曲面是三维空间中的一个特殊的几何概念，它在数学中有着重要的地位。
曲面理论研究曲面的性质、形状以及与其他几何概念之间的关系，广泛应用于物理学、计算机图形学、工程等领域。
本文将就曲面的定义、参数化、曲面的性质等知识点进行总结。
一、曲面的定义曲面是三维空间中的一种二维对象，可以用各种数学方法描述，常见的方法有参数方程和隐式方程。
常见的曲面包括球面、圆柱面、圆锥面等。
曲面的定义可以用数学语言描述为：在三维空间中，一般点(x, y, z)可以用参数形式描述为：P(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，其中u和v分别表示曲面上的两个参数。
根据参数的不同取值，曲面上的点可以覆盖整个曲面。
二、曲面的参数化曲面的参数化是指用参数的方法来描述曲面上的点。
参数化的目的是将曲面上的点与参数空间中的点建立起一一对应的关系，以方便对曲面上的点进行计算和研究。
不同的曲面可以采取不同的参数化方法，一般来说，可以采用自然参数化、球坐标参数化等方法来描述曲面。
例如，球面可以用球坐标参数化描述为：P(u, v) = (r * sinu * cosv, r * sinu * sinv, r * cosu)，其中u和v分别表示极角和方位角，r表示球的半径。
通过参数化，我们可以方便地对球面上的点进行计算和研究。
三、曲面的性质曲面有许多重要的性质，包括曲率、法线、切平面等。
这些性质可以帮助我们更好地理解曲面的形状和结构，从而在实际问题中应用。
以下就曲面的性质进行详细介绍：1. 曲率：曲率是描述曲面弯曲程度的重要概念，可以分为高斯曲率、平均曲率等多种类型。
曲率的计算可以通过偏微分方程或直接计算曲面上某点的曲率向量而得到。
2. 法线：曲面上的每一点都有一个与曲面垂直的法线，它可以用来描述曲面的方向。
法线在计算机图形学中有着重要的应用，可以用来进行阴影计算、光照计算等。
3. 切平面：曲面上的每一点都有一个切平面，它与曲面在该点的切线垂直。
曲面的局部和全局理论
曲面的局部和全局理论曲面是数学中重要的研究对象之一，它在几何学、微分几何学以及应用数学等领域发挥着重要作用。
曲面可以被描述为三维空间中的二维图形，其中每一点都有一个法向量与曲面相切。
局部理论是研究曲面上某一点附近的性质和行为，它主要关注曲面的切平面、法线、曲率等几何性质。
而全局理论则考察整个曲面的整体性质，比如曲面的拓扑结构、几何度量以及曲面的分类等问题。
下面将分别介绍曲面的局部和全局理论。
一、曲面的局部理论1. 切平面和法线在曲面上的任意一点P上，可以定义曲面的切平面，即与曲面在该点切于一点的平面。
切平面上的切线是曲面在该点处的切线。
曲面的法线是与切平面垂直的直线，它的方向决定了曲面的凹凸性。
2. 曲率和主曲率曲面的曲率是描述曲面弯曲程度的量，它可以分为两个方向上的曲率，即主曲率。
主曲率的大小和方向可以用曲率向量来表示。
曲率向量在曲面上的方向是法线，其长度则与曲率相关。
3. 曲面的一阶和二阶导数对于曲面上的函数，可以通过求取其一阶和二阶导数来描述曲面的变化情况。
一阶导数包括曲面上的切向量和法向量，而二阶导数则包括曲率和二次曲率。
二、曲面的全局理论1. 曲面的拓扑结构曲面的拓扑结构指的是曲面的空间组织形态。
常见的曲面拓扑结构有球面、环面、复形面等。
研究曲面的拓扑结构可以帮助我们理解曲面的连通性和孔洞等性质。
2. 曲面的几何度量曲面的几何度量是指描述曲面内部的距离、角度以及面积等几何量。
例如，曲面的长度可以通过测量曲面上的弧长来计算，曲面的面积则可以通过计算曲面上的曲边梯形面积来得到。
3. 曲面的分类曲面的分类是将曲面根据其几何性质进行划分和分类的过程。
常见的曲面分类方法包括欧氏分类和黎曼分类。
欧氏分类是根据曲面的几何性质进行分类，而黎曼分类则是根据曲面的度量性质进行分类。
总结：曲面的局部和全局理论是研究曲面性质的重要内容。
局部理论主要关注曲面上某一点附近的性质，包括切平面、法线、曲率等；全局理论则考察整个曲面的整体性质，包括拓扑结构、几何度量以及曲面的分类等。
曲面论(一)
-曲线: 是半大圆 , 过两极--也叫经线; -曲线: 是圆---也叫纬圆。
例 3 旋转曲面 x (t ) cos , y (t ) sin , z (t ) 的坐标曲线
是什么曲线?
习题：P67.
1,
2
3
微分几何教案（九）
1.1 简单曲面及其参数表示
第二章
曲面论
对于欧氏空间中曲面论的研究是经典微分几何的重要内容。 本章 在给出曲面的第一、 第二基本形式的基础上， 推导出曲面的高斯曲率， 以及讨论曲面在一点邻近的形态与结构，直纹曲面的可展性，给出曲 面论的基本定理，讨论曲面的几个内在性质
§1
曲面的概念
1
0
0
0
0
0
0
微分几何教案（九）
1.1 简单曲面及其参数表示
的函数：x = x(u,v), y = y(u,v) , z = z(u,v) ——（1） ， （1）叫做曲面 S 的参数方程或参数表示；u 和 v 称为曲面 S 的参数或曲纹坐标。如果 则 (u0 , v0 ) 叫 P0 的曲纹坐标， 也叫曲 曲面上的点 P0 是由 (u0 , v0 ) 确定的， 线坐标，简称坐标，可记为 P(u0 , v0 ) 或 (u0 , v0 ) 。
例3
xoz 平面的曲线 x (t ) 0, z (t ), t 绕 z 轴旋转
z
生成的旋转曲面的参数方程是
x (t ) cos , y (t ) sin , z (t )
G 是长条形：0 2 , t
1.1 简单曲面及参数表示 一 简单曲面 1 约当(Jordan)曲线:平面上不自交的闭曲线。 2 初等区域：约当曲线把平面分成为两部分，有限的那部分区域 叫初等区域。 例如 正方形或矩形，圆或椭圆的内部等都是初等区域。 3 简单曲面：平面上初等区域到三维空间的一一的、双方连续的 映射的像叫简单曲面。 例如 矩形纸片（初等区域）可以卷成有裂缝的圆柱面或其它柱 面，如果纸片是橡皮膜，还可进一步使它变为圆环面。所以圆柱面、 圆环面都是简单曲面。 注：以后讨论的曲面都是简单曲面 二 （简单）曲面的参数方程 1 曲面的参数方程、曲纹坐标 设 G 是初等区域，G 中点的笛氏坐标是(u,v),G 在空间的一一的 双方连续的像是曲面 S，S 上的点笛氏坐标为（x,y,z),则 x,y,z 都是 u,v
第四章曲面论基本定理
（25）
求曲面 z = f ( x, y ) 的 Christoffel 记号。 因为已经给出了曲面方程，我们用运动公式（ 16 ）出发直接求 Γ
α βγ
，曲面的参数
方程是
r ( x, y ) = ( x, y, f ( x, y )),
因此 x, y 分别对应于 u , u .Γ
1 2 1 11 就是 xx
γ Dβ = −bβ γ
γ
γ
（15）
由于 n 是单位向量场，故从（ 11）式得到 Dβ = 0 ，综上所述， （ 11 ）式成为
∂rα = Γγ αβ rγ + bαβ n β ∂u ∂n = −b γ r β γ ∂u β
现在我们来求 Γ
γ αβ
（16）
。
在（ 16 ）的第一式两边点乘 rξ ，则得
实际上，
（8）
g 11 g 21
g 12 1 g 22 = g 22 g − g 21
− g 12 。 g11
（9）
采用上述记号，曲面上的自然标架就成为 {r , r1 , r2 , n} ，要考虑的是自然标架场的运动 公式。着先，标架原点的微商根据定义为
（13）
下在我们引进用第一类基本量（ g αβ ） 将一组带指标的量的上指标或下指标下降或上升 的概念。命
bβ = bβξ g γξ
把 bβ 看成是将 bβγ 的指标 v 借助于（ g
γ bβ = bβξ g γξ
γ
（14 ）
αβ
γ
）上升的结果，这个过程是可逆的。即
（ bβ ）这组量与（ bβγ ）是彼此 故 bβγ 恰是将 bβ 的指标借助于（ g αβ ）下降的结果。 决定的。这样，所求的系数是
§2曲面论基本定理
§2曲面论基本定理第五章曲面论基本定理§2曲面论基本定理关于曲面如何依赖于其第一和第二基本形式，本节将要做出回答．一方面，关于唯一性，需要确定具有相同的第一和第二基本形式的曲面是否合同；另一方面，关于存在性，需要确定什么样的函数组能够成为正则曲面第一和第二基本形式的系数函数组．利用自然标架场的运动公式，以下的理论证明建立在相应的微分方程组的解的存在唯一性定理——Darboux 定理的基础之上．曲面论基本定理给定 (u1, u2) 平面上的单连通区域U．给定U上C2函数?g ij和 C1函数?Ωij，使?g= (?g ij)2?2正定、?Ω= (?Ωij)2?2对称，并且?g 和?Ω满足Gauss-Codazzi方程．则在E3中①存在正则曲面S: r=r(u1, u2) , (u1, u2)∈U，使其第一和第二基本形式的系数函数组g ij=?g ij，Ωij=?Ωij；②上述曲面S在合同意义下是唯一的．一．相关方程及其解的性质首先建立并考察一阶齐次线性偏微分方程组(2.1)?ru i=r i , ?r iu j=?Γi k j r k+?Ωij n ,?nu i=-?Ωil?g lk r k ;其中 (?g ij)2?2=?g-1，?Γi k j=12 [(?g lj)i+ (?g li)j- (?g ij)l]?glk，i, j, k, l= 1, 2 ．任意取定一点(u01, u02)∈U，任意取定右手标架 {r0; (r1)0, (r2)0, n0} ，考虑微分方程组 (2.1) 在初始条件(2.2)r(u01, u02) =r0 ,r i(u01, u02) = (r i)0 ,n(u01, u02) =n0 ,i= 1, 2之下的解，并且满足适定条件(2.3)[r i?r j](u01, u02) =?g ij(u01, u02) ,[r i?n](u01, u02) = 0 ,[n?n](u01, u02) = 1 ，i, j= 1, 2 ．此即：考虑自然标架场{r; r1, r2, n} 所满足的一阶线性偏微分方程组(2.1) 在初始条件(2.2) 下的解的存在性以及在适定条件(2.3) 下的解的性质．而由Gauss-Codazzi方程的导出过程可见，方程组(2.1) 解函数的二阶偏导次序可交换的充要条件即为?g和?Ω满足Gauss-Codazzi方程，故可得下列引理1，并由Darboux定理得到推论1．引理1在曲面论基本定理条件下，方程组(2.1) 是完全可积的，即：若方程组 (2.1) 有解 {r; r1, r2, n} ，则解函数的二阶偏导可交换次序．推论1在曲面论基本定理条件下，?(u01, u02)∈U，存在单连通区域U0?U，满足(u01, u02)∈U0，使方程组 (2.1) 在初始条件 (2.2) 下存在唯一一组解 {r; r1, r2, n} ．注记一般而言，单连通条件是必要的．从本质上看，微积分学相应的结论是说，单连通区域上的二元函数f(u1, u2) 若具有连续的二阶偏导函数且偏导次序可交换，即f ij=f ji，则沿路径的积分? d f=?f i d u i只依赖于路径的端点而与中间途径选取无关，从而使二元函数f是单连通区域上的单值函数．引理2在曲面论基本定理条件下，对于推论1所确定的单连通区域U0?U，方程组 (2.1) 在初始条件 (2.2) 和适定条件 (2.3) 下的唯一解{r; r1, r2, n} 一定满足(2.4)r i?r j=?g ij，r i?n= 0 ，n?n= 1 ，(r1, r2, n) > 0 ，i, j= 1, 2 ．证明[想法是等价地转化为一阶线性常微分方程组的解的存在唯一性问题]沿着从(u01, u02)∈U0出发的任意一条曲线Γ: u i=u i(t) , i = 1, 2 ，函数组 {r; r1, r2, n} 由 (2.1) 式直接可验证满足下列三组等式：(r i?r j-?g ij)k=r ik?r j+r i?r jk-?g ijk=?Γi l k r l?r j+?Ωik n?r j+?Γj l k r l?r i+?Ωjk n?r i-?g ijk=?Γi l k(r l?r j-?g lj) +?Γj l k(r l?r i-?g li) +?Γi l k?g lj+?Γj l k?g li-?g ijk+?Ωik n?r j+?Ωjk n?r i=?Γi l k(r l?r j-?g lj) +?Γj l k(r l?r i-?g li) +?Ωik n?r j+?Ωjk n?r i，(r i?n)j=r ij?n+r i?n j=?Γi l j r l?n+?Ωij n?n-?Ωjl?g lk r k?r i=?Γi l j r l?n+?Ωij(n?n- 1) +?Ωij-?Ωjl?g lk(r k?r i-?g ki) -?Ωjl?g lk?g ki=?Γi l j r l?n+?Ωij(n?n- 1) -?Ωjl?g lk(r k?r i-?g ki) ，(n?n- 1)i= 2n i?n=-2?Ωil?g lk r k?n．从而，沿着曲线Γ，函数组 {r i?r j-?g ij , r i?n , n?n- 1} 是关于t 的一阶齐次线性常微分方程组在初始条件(2.3) 下的解，即为零解，从而{r; r1, r2, n} 是沿着曲线Γ连续可微的标架场并且适合 (2.4) 式中的等式．由混合积的连续性可知，标架场{r; r1, r2, n} 沿着曲线Γ是右手的．进一步，由曲线Γ的任意性和区域U0的单连通性，得知 (2.4) 式成立．□推论2在曲面论基本定理条件下，对于推论1所确定的单连通区域U0?U，方程组 (2.1) 在初始条件 (2.2) 和适定条件 (2.3) 下的唯一解{r; r1, r2, n} 是正则曲面S: r(u1, u2) 的自然标架场，并且其第一和第二基本形式的系数函数组g ij=?g ij，Ωij=?Ωij．从上述过程中可以进一步体会标架空间在几何学中的合理运用．二．曲面论基本定理的证明和说明曲面论基本定理的证明对于推论1所确定的单连通区域U0?U，推论1和推论2说明方程组 (2.1) 在初始条件 (2.2) 和适定条件 (2.3) 下所存在的唯一解{r; r1, r2, n} 对应于解曲面S: r(u1, u2) 在初始条件(2.2) 和适定条件(2.3) 下在区域U0内的存在性和唯一性结论．以下需要证明解曲面在区域U0内的唯一性结论②．已知方程组 (2.1) 在区域U0内的两张解曲面S: r=r(u1, u2) 和S*: r= r*(u1, u2) 同时以 (u1, u2) 为参数并具有相同的第一和第二基本形式的系数函数组g ij=g*ij，Ωij=Ω*ij；要证这两张曲面合同．任取定点(u01, u02)∈U0，这两张曲面在此对应点的自然标架分别记为{r0; (r1)0, (r2)0, n0} 和{r*0; (r*1)0, (r*2)0, n*0} ，则这两个右手标架之间相差一个线性变换；因为这两个右手标架的度量系数矩阵相同，所以其间相差的线性变换是一个平移和正交变换的复合，并且该变换对应于一个刚体运动σ: E3→E3．由于第一和第二基本形式的系数函数组在刚体运动下都不变，故不妨设S* 在σ下的像σ(S *) 在点 (u 01, u 02) 处的自然标架重合于 {r 0; (r 1)0, (r 2)0, n 0} ．再由推论1，可知在区域 U 0 内σ(S *) 与 S 重合；此即在区域 U 0 内 S * 与 S 合同．关于解曲面，其局部存在性保证其在区域U 内具有可延拓性，而其局部唯一性保证其在单连通区域U 内的任意延拓与途径无关；从而解曲面在单连通区域 U 内具有合理延拓，结论得证．□注记① 解曲面不一定能“解出显式”．② 利用有限覆盖和局部唯一性可以证明解曲面在单连通区域 U 内的任意延拓与途径无关，而在复连通区域内的延拓与途径有可能相关．例已知对常数a ≠ 0 ，正螺面r = r (u , v ) = (v cos u , v sin u , au ) , -∞ < u < +∞ , -∞ < v < +∞ 的第一和第二基本形式分别计算为Ⅰ = d s 2 = (v 2 + a 2)d u 2 + d v 2 ，Ⅱ = 2av cos u sin u a 2 + v 2 d u 2 + 2a a 2 + v 2d u d v ，反解时其局部解可以任意延拓．若更换参数，取 (x , y ) 平面上的极坐标系，令x = ρ cos θ , y = ρ sin θ , ρ > 0 ，则在 (x , y ) 平面去掉原点的范围内为容许参数变换，并且在此二连通区域内可写r = r *(x , y ) = (x , y , a Arctg y x) = r *(ρ cos θ , ρ sin θ) = (ρ cos θ , ρ sin θ , a θ) ，d ρ = x d x + y d y x 2 + y 2, d θ = x d y - y d x x 2 + y 2 ，Ⅰ = d s 2 = (ρ 2 + a 2)d θ 2 + d ρ 2= (x 2 + y 2 + a 2) (x d y - y d x )2 (x 2 + y 2)2 + (x d x + y d y )2 x 2 + y 2，Ⅱ = 2a ρ cos θ sin θ a 2 + ρ 2 d θ 2 + 2a a 2 + ρ 2d θd ρ = 2axy (x d y - y d x )2 (x 2 + y 2)2 (x 2 + y 2)( a 2 + x2 + y 2) + 2a (x d y - y d x )(x d x + y d y ) (x 2 + y 2) (x 2 + y 2)(a 2 + x 2 + y 2)．这说明正螺面位置向量为 (x , y ) 的多值函数，而在参数 (x , y ) 下的第一和第二基本形式系数分别为 (x , y ) 的单值函数；此即说明，在二连通区域内由预定的第一和第二基本形式系数函数组反解而确定曲面时，局部解的延拓确实可以受到途径的影响．形象地看，正螺面的“一个螺纹”对应于在参数(x, y) 下保持唯一性的解存在的“极大范围”．□习题⒈设曲面S在参数(u, v) 下的第一和第二基本形式为Ⅰ=Ⅱ= d u2+ cos2u d v2．试证曲面S是单位球面的一部分．⒉下列微分形式组?, ψ能否分别成为某张正则曲面在参数 (u, v) 下的第一和第二基本形式？①?= d u2+ d v2 , ψ= d u2+ d v2；②?= d u2+ cos2u d v2 , ψ= cos2u d u2+ d v2．⒊设正则曲面S在参数 (u, v) 下的第一和第二基本形式为Ⅰ= (1 +u2) d u2+u2 d v2 , Ⅱ= d u2+u2 d v21 +u2．试证：曲面S是旋转抛物面．⒋设平移曲面S: r(u, v) =a(u) +b(v) 的参数曲线构成正交网．试证：曲面S是柱面．第五章曲面论基本定理 (1)§1曲面论基本方程.................................................... 错误!未定义书签。
人大微积分课件7-6曲面及其方程
曲面的方程
曲面的方程是描述曲面上的点满足某种条件的数学表达式。 对于给定的曲面，可以用方程来表示其上点的坐标满足的条 件。方程的形式取决于曲面的类型和形状。
例如，球面的方程为 (x^2 + y^2 + z^2 = r^2)，其中 (r) 是球的半径。平面方程如 (Ax + By + Cz + D = 0)，其中 (A, B, C, D) 是常数。
曲面的分类
曲面可以根据其形状和性质进行分类。常见的分类方式包 括根据曲面是否规则、是否封闭、是否具有对称性等。例 如，球面和锥面是规则曲面，平面和旋转曲面也是规则曲 面；而像马鞍面这样的曲面则是非规则曲面。
封闭曲面是指没有边界的曲面，如球面和圆环面；非封闭 曲面则有边界，如马鞍面和抛物面。对称曲面是指具有对 称性的曲面，如球面对称于其中心点，旋转曲面则绕某一 直线对称。
06
曲面的积分与微分
曲面的积分
曲面的面积
通过计算曲面在某一方向上的投影面 积，再乘以该方向的法向量模长，得 到曲面的面积。
曲面的线积分
在曲面上沿着某一路径进行积分，用 于计算诸如曲线长度、面积等几何量 。
Байду номын сангаас面的微分
要点一
曲面上的切线
通过曲面上某一点的切平面和法线，可以得到该点处的切 线。
要点二
人大微积分课件7-6曲面及其方程
$number {01}
目录
• 曲面及其方程的基本概念 • 常见的曲面及其方程 • 曲面的几何性质 • 曲面的方程与图形 • 曲面的微积分性质 • 曲面的积分与微分
第三章曲面的第二基本形式
v = v( s) 是 S 上过 P 点，且在 P 点以 du : dv 为切方向的一条曲线，仍记曲面在 P 点的单位
法 向 量 为 n ， α 、 β 分 别 表 示 曲 线 在 P 点 处 的 单 位 切 向 量 和 单 位 主 法 向 量， 且 记
θ = ∠( β , n) 。我们考察 C 的曲率向量 kβ 在 n 上的投影
n = ( 0,0,1)
所以
? = dr ⋅ dr = du 2 + dv 2 , ? = −dr ⋅ dn = 0
设圆柱面 S2 的方程是
（15）
u u r = (a cos , a sin , v) a a
故
u u ru = − sin , cos , 0 a a rv = (0,0,1) u u ru × rv = cos , sin , 0 = n a a u 1 u 1 ruu = − cos , − sin ,0 a a a a ruv = rvv = 0
一方面，
kβ ⋅ n = k cosθ
另一方面
kβ ⋅ n = n ⋅
结合两方面，我们看到
d 2r ? = ， ds 2 ?
（1）
k cosθ = ? /?
[注 1]（ 1）式右端只是点和方向的函数，给定点处，其值仅由方向 du : dv 决定，因此， 对于过点 P 且具有相同切线的诸多曲线而言， 尽管它们在 P 点的曲率 k 不同； 对应的 θ 也不 相同，但乘积 k cosθ 却是个固定值。 [注 2] （ 1 ）式左端含有反映曲线弯曲程序的曲率项，而右端有反映曲面弯曲程度的第 二基本型，因此， （ 1）式把曲线与曲面的弯曲性联系起来，为我们利用曲线来研究曲面的弯 曲程序提供了方便 定义 1 称 k cosθ 为曲线 C 在 P 点处的法曲率，记为
M大理论教程 兵法 最简 Span和曲面连续性和有理均匀
M大理论教程)兵法----连续性曲面Part01记录付费主题, 价格:M币 5 元对直线做G2连续的数学涵义先向各为介绍这王教授简历：CAD&CG高科技奖、一等奖获得者：王国瑾教授（浙江大学数学系）。
男，1944年10月生。
主要研究方向为计算器辅助几何设计与图形学。
现为浙江大学数学系教授，博导。
以下向王教授求证所言：按数学上的观点来看，我认为你们对NURBS曲线理解欠妥。
因为一般一次NURBS曲线，也就是一段直线。
把它与已知直线做连续拼接，那是无实用价值的平凡情况，且是无限阶连续。
所以你的事情应当是指3阶NURBS曲线与已知直线做连续拼接，那肯定是G1连续，做不到G2连续。
因为G2连续必须两者在拼接点有公共的曲率圆ICAD 曲面设计人员参考手册中这样描述：C0 连续性意味着两个相邻段间存在一个公共点（即两个段相连）。
C1 意味着有一个公共点，并且多项式的一阶导数（即切向矢量）是相同的。
C2 意味着一阶导数和二阶导数都相同。
几何连续性没有数学连续性严格：G0和C0的意思相同，即两个段在位置上的连续。
G1意味着切向矢量的方向相同，但模量不同。
G2意味着曲率相同，但二阶导数不同。
下面为问答：C：从数学上是否意味着任何2次以上的曲线对着直线(1次)做G2连续,最高只能得到G1?王教授：对, 只能得到G1。
C：直线曲率=0, 只要曲线末端曲率=0, 就可以称为G2, 这样的理论正确吗?王教授: 错误, 因为曲线末端曲率=0是不可能的C：那么从数学上如何解释呢?王教授: 曲线上任何一点(包括末端)处的密切圆的半径都是一个有限数, 而此点处的曲率为以上半径值的倒数, 故不为0。
以下为结论：不论Gcon如何该改判定, 只是为了减少使用者的争议, 就数学上来说直线只能做到G1。
Cafer跟Mikko讨论后决定未来Rhino V4 Gcon 判定：另一边由曲线接直线接G2这里的认定，因为与直线端点一样是没有曲率的（曲率圆无限大），所以"曲率圆无限大=曲率圆无限大"，改为判定为G2。
曲面论基本定理
表出的系数是什么呢？
结论 对于 r r 1 u r r 1,r r 2 u r r 2,n r 1 g (r r 1 r r 2 ),我们有
rrij
nri
k
ikjrrk Lijnr Lik gkjrrj ij
1, 2
这式称为曲面的基本方
jk
程。第一式称为高斯方程，第. 二是称为魏因加尔吞方程。
l u k l ijr r l p ,l ip j lp k r r ll i ljL lk n r u L ik jn r m ,lL ijg lm L m k r r l
类似的：
r r ik jl u l ik jr r l l,m i lk l m k r r m l i lk L ijn r L u ik jn r m ,lL ik g lm L m jr r l 因 为l曲 u 面l ik j是r r l C p 3,l类 i的p k ，lp jr r 所l 以l r rii ljk k L ljn rr r ik j ,L u 又 ik jn r 因 为 m ,lr L r1 i,kg r r2 lm ,L n rm jr r l
E g 1 1 r r1r r1 ,F g 1 2 g 2 1 r r1r r2 ,G g 2 2 r 2r r2 ,g E F F 2 g g 1 2 1 1g g 1 2 2 2
r r
r r r r
L L 1 1 r 1 1 n , M L 1 2 L 2 1 r 1 2 n , N L 2 2 r 2 2 n
k
[[iijj,,12]]gg1121
gg22211ii2jj
两边左乘
g11 g21
gg1222gg1121
gg222111ggg2221
微分几何 2.5 曲面论的基本定理
R1212 K =− g
l (rij )′ = (∑ Γij rl + Lij n )′, i, j = 1,2. 对高斯方程求导 l rij = ∑ Γijk rk + Lij n , l ∂Γij ∂Lij l k (rij ) k = ∑ ( k rl + Γij rlk ) + k ⋅ n + Lij nk ) ∂u ∂u ni = −∑ Lik g kj rj , l
∂u k l l m m ,l ∂Lij l m l ∴ rijk = ∑ k rl + ∑ Γij Γlk rm + ∑ Γij Llk n + k ⋅ n − ∑ Lij g lm Lmk rl ∂u l ∂u l ,m l m ,l l ∂Γik ∂Lik l m l rikj = ∑ j rl + ∑ Γik Γlj rm + ∑ Γik Llj n + j ⋅ n − ∑ Lik g lm Lmj rl ∂u l ∂u l ,m l m ,l
∂Lik l l − j = ∑ (Γik Llj − Γij Llk ). ∂u k ∂u l
三、高斯定理：曲面的高斯曲率为内蕴量。 由前面知，Rmijk的16个分量中只有一个是独立的，即R1212 ，并且 为内蕴量，利用高斯公式得到− L11 L22 = M 2 − LN = −( LN − M 2 ) = − K ( EG − F 2 )
21??rn???????ljilr?r?ijllijij?l?????????u??kijkijlklijlklijkijn?ln?ulr?r?r??l?m?l?m???????????u???u??llmklmijkijlkmmlklijlklijijkr?r?lgln?u??lln?lr?r???????????j?kkjkjikiijkkijijr?gln?n?lr????l??m??l??ml???????????ulik??lmklmijjkkijlkljijmmlkljijlkklijijkr?r?lgln?ln?lr?r?lju?l?m?l?ml?????????????llmjlmikjikljlikmmljlikljikj?r?lgln?u?n?lr?r?r上面两式相减左边为0而右边为lm12所以实际上右边为021??????nrrqrp的线性组合但的线性组合可写为但线性无关不共面故pqr均为0如p0有nr?r?mln?r?r?21?n?r?r?21
§22 曲面的第一基本形式
因此, 所求曲线的弧长为
π/2
s=
0
E
π/2 √ 0
dθ dt
2
+ 2F
dθ dφ dt dt
+G
dφ dt2ຫໍສະໝຸດ dt=√ 2 dt = π/ 2.
2. 求曲面上两条曲线之间的夹角 曲面上两条曲线之间的夹角即两曲线在交点处切向量之间的夹角. 设 C 与 C ∗ 是曲面 S : r = r (u, v ) 上两条交于 P0 (u0 , v0 ) 点的曲线, 并设其参数方程分别为 u = u(t), u = u∗ (t∗ ), 它们在 P0 (u0 , v0 ) 点处的切向量为 ru ru dv du + rv dt dt ,
个符号, 这表示曲线有两个夹角, 它们之和为 π . 推论 2.3 推论 2.4 切平面上两个方向 dr = r u du + r v dv 及 δ r = r u δu + r v δv 垂直的必要充分 曲面 S : r = r (u, v ) 上 u -曲线和 v -曲线之间的夹角 θ 的余弦为 F cos θ = √ , EG 进而参数曲线(网)正交的必要充分条件是 F = 0. 【例 7】 设一个曲面的第一基本形式为 ds2 = du2 + (u2 + a2 )dv 2 , 求它上面两条曲线 u + v = 0, u − v = 0 的交角(注意：解此题时, 不需要知道曲面的方程 和曲面的形状). 【解】 关于曲线 u + v = 0, 令 u = u1 , v = v1 , 则 du1 = −dv1 ; 关于曲线 u − v = 0, 令 u = u2 , v = v2 , 则 du2 = dv2 . 设此二曲线交角为 θ, 则 cos θ = Edu1 du2 + F (du1 dv2 + du2 dv1 ) + Gdv1 dv2
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男，1944年10月生。
主要研究方向为计算器辅助几何设计与图形学。
现为浙江大学数学系教授，博导。
以下向王教授求证所言：按数学上的观点来看，我认为你们对NURBS曲线理解欠妥。
因为一般一次NURBS曲线，也就是一段直线。
把它与已知直线做连续拼接，那是无实用价值的平凡情况，且是无限阶连续。
所以你的事情应当是指3阶NURBS曲线与已知直线做连续拼接，那肯定是G1连续，做不到G2连续。
因为G2连续必须两者在拼接点有公共的曲率圆ICAD 曲面设计人员参考手册中这样描述：C0 连续性意味着两个相邻段间存在一个公共点（即两个段相连）。
C1 意味着有一个公共点，并且多项式的一阶导数（即切向矢量）是相同的。
C2 意味着一阶导数和二阶导数都相同。
几何连续性没有数学连续性严格：G0和C0的意思相同，即两个段在位置上的连续。
G1意味着切向矢量的方向相同，但模量不同。
G2意味着曲率相同，但二阶导数不同。
下面为问答：C：从数学上是否意味着任何2次以上的曲线对着直线(1次)做G2连续,最高只能得到G1王教授：对, 只能得到G1。
C：直线曲率=0, 只要曲线末端曲率=0, 就可以称为G2, 这样的理论正确吗王教授: 错误, 因为曲线末端曲率=0是不可能的C：那么从数学上如何解释呢？王教授: 曲线上任何一点(包括末端)处的密切圆的半径都是一个有限数, 而此点处的曲率为以上半径值的倒数, 故不为0。
以下为结论：不论Gcon如何该改判定, 只是为了减少使用者的争议, 就数学上来说直线只能做到G1。
Cafer跟Mikko讨论后决定未来Rhino V4 Gcon 判定：另一边由曲线接直线接G2这里的认定，因为与直线端点一样是没有曲率的（曲率圆无限大），所以"曲率圆无限大=曲率圆无限大"，改为判定为G2。
也就是说1）打断直线；2）对直线衔接或是混接G2的共享点处；3）两边六点控制点共线。
曲面的连续性在讲曲面连续性之前，我们先来看下曲线倒角。
将下图直角线段倒角。
倒角后其实就是补上一个圆弧。
这段圆弧对两边直线产生G1连续。
为什么是G1因为控制点排列在同一直线上，所以倒角命令出来的就是G1。
倒角一定有三个控制点共线的状况，这也可从曲率梳来看。
你会发现直线没有曲率梳。
前面讲过梳齿长度就是曲线瞬间半径，直线没有半径，所以没有曲率梳。
但是它仍然具有方向。
而G1的含意就是方向一致。
所以直线可以做到G1。
没有曲率半径，所以数学含意上不能做G2。
因此弧线与直线连续的话，顶多只能到G1。
对直线做G2连续，严格来说也不叫G2。
原因就是前面说的“直线没有曲率，只有方向”。
这里留个问题，“既然说曲线对直线的连续只能做到G1，那么对两直线做Blend G2有意义吗”虽然我们用GCON检测工具检测曲线对直线的连续能得到提示是G2的结果，这当中的缘由就是前面那段王国瑾教授与原厂CAFER讨论的对话历史。
时，曲线对直线的连续判定为G1，数学上是正确。
后来因为造型上争议，把直线判定改成G2。
在后就改了。
来看下直线Blend后的曲率梳，右边的是Blend G2，看它的梳子图，你会发现接近直线处急速向下为零。
也就是说端点顺接处的曲率半径趋近消失（无曲率）。
趋近消失不代表没有。
单一的1Span曲线是不可能没有曲率的，除非所有控制点都在同一直线上。
只要有一点不在这一直线上，整条曲线就有曲率圆存在。
回过来看前面留的那个问题，“既然说曲线对直线的连续只能做到G1，那么对两直线做Blend G2有意义吗”试着将曲线拉成曲面，右边是G1，左边是Blend G2。
会发现光顺度有些差别，原因是阶数存在差别，Blend G2多了一个控制点的缓冲。
所以对两直线做Blend G2在造型上是有意义的。
总的来说，对直线做G2 做出来的不是G2，只是在衔接处的光影会比较顺畅。
光影是一种感觉，因为曲面接近平面时，曲面也几乎变平面了，所以光影会比较缓和，其实G1也是很顺的。
你们有空可以观察一下iPod的倒角，它的光影顺不顺。
在“G2倒角”和“G1倒角”之间我会选择G1。
因为G2倒角曲线化了，没有G1那么有型。
G2的光影会有扭曲，G1的光影则是很正的弧线。
对实际的产品来说，G1的倒角比G2的倒角漂亮些。
因为倒角是很几何的形状，曲线化就没那种Shape的感觉了。
主要造型时倒角的感觉就很重要,iPod主要造型的倒角四周都是G1。
Blend已经不是正圆弧了。
总之，你想要几何些的倒角就选择G1，软些的倒角就G2，G2的圆角感觉是比较软的。
现在来讲下斑马纹。
斑马线的原理只是一种规范，用它来判断曲面对平面的连续性有失客观。
你们只知道斑马纹接顺没，实际的产品光影却不是看斑马纹。
斑马纹也是一种贴图，把黑白条纹贴在了曲面上。
既然是说到贴图，就是多边形原理。
我们画个圆球，Ctrl+Alt+S调到Shade显示模式。
放大这圆球来看，会发现涂色阴影偏离线形框架。
放更大些，会看到其实涂色阴影圆球只是以多边形式去渲染来逼近正圆球线形的。
例如正30边形或更多，斑马纹也是这原理。
点下 Asjust Mesh键，你就可以观察到它渲染的多边形球体。
将多边形球体放很大看，如下图。
因此斑马纹显示想要越准确就要用越密的多边形显示，特别是放大看时要更密，可能你会觉得斑马纹放大看老是不顺。
其实没必要放很大，因为斑马纹也只能看大概，再怎设置永远都不准确。
最后看到的结果跟斑马纹密度和斑马纹多边形种类都有关系。
多边形种类还有很多种，下面这些选项都会影响多边形种类。
((转Part02? ?由于发帖有字数限制??各位谅解!))(续Part01)曲面的连续性几乎都是逼近的。
做个实验，这里有两个曲面。
我们用BlendSrf G2混接它们，你认为它会是G2吗？阶数是3没错，但只能是逼近G2。
为什么它不是正真的G2呢Blend的精度是由设定好的公差值影响的。
依照公差值去逼近两面达到G2。
我们把模型放很大时就会看到有裂缝。
这个裂缝就是公差值范围内的，所以BlendSrf做出来的曲面都是逼近的。
而斑马纹原理也是逼近的，那测出来就更不准了。
所以说斑马纹只能测个大概，不可能无限的去放大后都还能接顺的。
既然斑马纹测不准，那就只有曲率梳了，只有它能测出是否绝对的G2。
那么要怎么做才能是绝对G2呢先想想怎样能让两条线完全重叠。
控制点位置相同、阶数相同、均匀、有理。
简单的说，只要两条线属性完全相同，就能重叠。
或者说复制上去的曲线就可以了重叠。
因此，除非两个曲面属性完全相同，否则不可能两边能100％无缝接。
这跟Span数量无关，只要两曲面的衔接向的UV属性相同就可以无缝隙。
例如，曲面a的U衔接曲面b的V，只要曲面a的U跟衔接曲面b的V属性一样就行了。
属性包含控制点数量、阶数、有无理、是否均匀。
四大属性一致就能无缝隙。
就以刚才的两曲面来举例，它们是镜像的，属性自然相同，match后就能100％无缝隙，不论你放大多少倍，都不会有缝隙。
平时建模，遇到四大属性不同时，想办法把它们弄成相同，不然就只能是逼近。
很多人建模ISO十分复杂，就是逼近的原因。
但我们建模不求全部100％相同，至少有一部分做到100％相同。
这样就能大大简化曲面。
能避免逼近。
就尽量不去逼近。
什么情况是不能避免的呢例如：剪切边，剪切本身就是一个逼近的命令。
投影也是一样的原理，曲线要投影在曲面上，既然不属于曲面本身的ISO线，就是逼近了。
切割Split也是逼近的，除非Split ISO。
SW2是一个全能的命令，逼近、互补、最简都能做。
像刚才的例子中，两曲面的边都不是剪切边，接G2就没必要用逼近了，这里可以选择用SW2做无缝G2连续的混接面。
互补就是互相补上对方ISO。
如下图，这两个ISO数量和位置都不同，补上的混接面把两边曲面的ISO都对上了，这就叫互补，各取所需。
逼近就是尽量的去接近。
例如，在BMP位图上有一条曲线，放大后你会发现它其实是用很多点去“逼近”的。
看起来是一整条曲线，其实是由无数点组成的，放大后可以看到点。
同一条线，如果点越多，这些点也就越小，就必须放更大才能发现他是点。
犀牛里面曲线是没有点的，因为它是矢量的，是一个数学方程式。
数学方程式不同的时候，曲线的轨迹就会不同。
白话些，两条曲线属性不同时曲线的轨迹就会不一样。
这“属性”我们所幸就当它是“数学方程式”。
轨迹虽然不一样，但也可以“很像”。
能多像，就得看能有多少点去让它模拟。
这“点”就是曲线的控制点。
曲线的控制点越多就好比BMP位图的像素越高，但是控制点越多，文件量就越大。
虽然犀牛中的曲线都是矢量的，但它很多时候都是以像素的方式运算。
用大量的点去“逼近”。
逼近的程度（精度）就跟公差设置有关系了，公差设置越精密，值越小，越逼近，点就就越多。
(M大理论教程)兵法----最简1SpanNURBS的Span在讲Span（跨度）之前，先说一下阶数。
阶数degree也称作级数。
它跟Span息息相关，那么它扮演的是什么样的角色呢从数学上来看，它代表方程式中的最高次方。
例如：直线方程式X+Y=C，明显都是一次方，所以直线被称为“一次线”，Degree=1。
二次方程式，例如：圆、椭圆还有三次方的，例如渐近线。
不过这些太数学了，很多人都会看着头昏。
回来看Degree=1时，曲线至少保证两个控制点，也是直线的最低要求条件。
所以 Degree=1时，需要最少两个到无限多个控制点数。
Degree=2，为弧。
至少需要三个控制点，常说“三点定弧”，“三点定圆”。
所以照这样下去......可以得到如下等式：控制点Control Points（简称CP）=Degree+1这是最精简的公式，CP可以无限大。
这是目前NURBS的技术。
早期没有NURBS时，cp=degree+1 公式永远成立，没有例外的。
也就是说你想画条10个控制点曲线，按照公式一定要用9阶线。
NURBS发明之后,出现一个新技术叫做knot,翻译成“节点”。
我们可以理解成“在绳子上打结”。
例如：按公式我画3阶曲线，就需要4个控制点。
如果我想画拥有5个控制点的3阶曲线，就需要用到NURBS的Knot技术。
将一绳子打个结，每个结可以多一个控制点，依此类推。
所以又有个公式了CP=Knot+Degree+1。
3阶5个控制点是1个节（结），3阶6个控制点2个Knot。
5阶8个控制点就有2个节点。
......这是固定的！阶数好比绳子的材质，有麻绳、橡皮绳等等，弹性各不一样。
直线1阶，好比钢条，不可弯曲；2阶的弧线像铁线，可以弯，但不够软；3阶就类似橡皮绳，很有弹性，可以任意拉伸；更高阶，......自己想比喻。